课题_高等数学选讲
高等数学心得体会范文
高等数学心得体会范文篇一:《大学数学选讲学习心得》大学数学选讲学习心得大学数学选讲不仅对考研的同学有很大帮助，对像我这样不考研学习一般的学生也有益处。
刚上大学时，高等数学我一度跟不上，总是云里雾里，后来抓紧学了一阵才有了些头绪。
后来，我们学习的专业课如材料力学，结构力学等都用到了高等数学，才愈发感到它的重要性。
现在大学数学选讲课，再一次让我面对高等数学，我的态度更加端正谨严。
重温旧的知识点，在老师的点拨下，我能发现新的亮点，加深加固了我对知识点的理解和掌握。
一题多解的解题过程，启发了我的解题思路，更是帮助我把许多知识点串联起来，增强了记忆。
慢慢地，我从学习中找到了乐趣，对学习高等数学也有了信心，信心又激励着我不断探索，我发现学好一门课程树立信心很重要。
经过一学期的学习，我在高等数学的学习上也逐渐积累了一些经验体会。
我感受到大学数学的学习和中学数学的学习是不样的。
在大学之前的学习时，都是老师在黑板上写满各种公式和结论，我便一边在书上勾画，一边在笔记本上记录。
然后像背单词一样，把一堆公式与结论死记硬背下来。
哪种类型的题目用哪个公式、哪条结论，老师都已一一总结出来，我只需要将其对号入座，便可将问题解答出来。
而现在，我不再有那么多需要识记的结论。
唯一需要记住的只是数目不多的一些定义、定理和推论。
老师也不会给出固定的解题套路。
因为高等数学与中学数学不同，它更要求理解。
只要充分理解了各个知识点，遇到题目可以自己分析出正确的解题思路。
所以，学习高等数学，记忆的负担轻了，但对思维的要求却提高了。
每一次高数课，都是一次大脑的思维训练，都是一次提升理解力的好机会。
高等数学的学习目的不是为了应付考试，因此，我们的学习不能停留在以解出答案为目标。
我们必须知道解题过程中每一步的依据。
正如我前面所提到的，中学时期学过的许多定理并不特别要求我们理解其结论的推导过程。
而高等数学课本中的每一个定理都有详细的证明。
最初，我以为只要把定理内容记住，能做题就行了。
高等数学精品课教案
高等数学精品课教案选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。
课题：§4.1微分中值定理与洛必达法则教学目的：1.理解微分中值定理及其推论的内容2.理解未定式的概念及洛必达法则，能熟练运用法则求函数的极限教学重点：微分中值定理、洛必达法则及其应用教学难点：微分中值定理、洛必达法则及其应用课型：讲授课课时：2课时教学过程一、导入新课本章将介绍中值定理及导数的应用，其中中值定理在微分学中占有十分重要的地位，也称为微分中值定理，是导数应用的理论基础。
二、讲授新课（一）柯西中值定理定理1（柯西中值定理）如果函数满足下列条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导；（3）F'(x)在（a,b）内的每一点均不为零，那么，在（a,b）内至少存在一点, 使几何解释：若将x看成是参数，则可将X=F(X),Y=f(x)看作是一条曲线的参数方程表示式，f(b) f(a)f ( ).g(b) g(a)g ( )f(b) f(a)f'( )F(b) F(a)表示连接曲线两端点A(F(a),f(a)),B(F(b),f(b))的弦的斜率，而F'( )则表示该曲线上某一点的斜率。
因此，其几何意义是：在连续且除端点外处处有不垂直于轴的切线的曲线弧上，至少存1 在一点C，在该处的切线平行于两端点的连线。
（二）洛必达法则把两个无穷小之比或者两个无穷大之比的极限称为“0 ”型或者“”型不定式（或未0定型）的极限，洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限的方法。
定理2（洛必达法则）若（1）x x0limf(x) 0,limg(x) 0x x0（2）f(x)与g(x)在x x0x0的某个邻域（点x0除外）可导，且g'(x) 0；lim（3）f'(x)Ag'(x)（A为有限数，也可为或）则limf(x)f'(x)lim Ag(x)x x0g'(x)x0x x0证：由于要讨论的是函数在点与g(x)在在点的极限，故与函数在该点x0的值无关，所以可补充f(x)，则f(x)与g(x)在点连续，x0的定义，且对问题讨论没有影响。
现代数学选讲(分析)一讲
物理应用
导数在物理学中也有许多应用， 如描述物体的运动状态（速度、 加速度等）、求解力学问题（如 牛顿第二定律）等。
经济应用
微分在经济学中有着广泛的应用， 如边际分析、弹性分析等。通过 微分可以研究经济变量之间的变 化关系，为经济决策提供科学依 据。
05
积分学基础
定积分概念及性质
01
定积分的定义
现代数学选讲(分析)一讲
目
CONTENCT
录
• 引言 • 实数与函数 • 极限与连续 • 导数与微分 • 积分学基础 • 级数理论初步 • 总结与展望
01
引言
课程目的与意义
加深对现代数学理论的理解
通过选讲现代数学中的核心概念和理论，帮助学生 更深入地理解现代数学的思想和方法，提高数学素 养。
拓展数学视野
定积分可以用来计算总收益、总成本、消费 者剩余、生产者剩余等。
06
级数理论初步
数项级数概念及性质
数项级数定义
由无穷多个数列项按一定顺序 排列而成的表达式，形如
$sum_{n=1}^{infty} a_n$。
收敛与发散
若数项级数的部分和数列有极 限，则称该级数收敛；否则称
该级数发散。
绝对收敛与条件收敛
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对未来学习的建议
深入学习相关课程
对于有兴趣在现代数学分析领域 深造的学生，建议他们继续学习 相关的高级课程，如实变函数、 复变函数、泛函分析等，以进一 步巩固和扩展他们的知识体系。
关注前沿研究领域
鼓励学生关注现代数学分析领域 的最新研究进展和前沿问题，参 加学术研讨会和阅读相关学术论 文，以培养他们的学术视野和研 究能力。
不定积分的性质
数学分析专题选讲教案
数学分析专题选讲教案一、引言1.1 课程背景1.2 课程目标1.3 课程内容概述1.4 教学方法与手段二、函数极限与连续性2.1 函数极限的概念2.2 极限的性质与运算2.3 无穷小与无穷大2.4 函数的连续性2.5 连续函数的性质与应用三、导数与微分3.1 导数的概念3.2 导数的计算规则3.3 高阶导数3.4 隐函数与参数方程函数的导数3.5 微分学的基本定理与应用四、不定积分与定积分4.1 不定积分的基本概念与计算方法4.2 定积分的基本概念与计算方法4.3 定积分的性质与应用4.4 变限积分的导数4.5 定积分的推广与应用五、微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 常微分方程的解法5.3 线性微分方程5.4 微分方程的应用5.5 线性微分方程组六、级数6.1 级数的基本概念6.2 幂级数6.3 泰勒级数与麦克劳林级数6.4 级数的收敛性6.5 级数的应用七、多元函数微分学7.1 多元函数的基本概念7.2 多元函数的极限与连续性7.3 多元函数的偏导数7.4 全微分与高阶偏导数7.5 多元函数的极值及其判定八、重积分8.1 二重积分的基本概念与计算8.2 二重积分的性质与应用8.3 三重积分的基本概念与计算8.4 三重积分的性质与应用8.5 重积分的应用案例九、常微分方程组9.1 常微分方程组的概述9.2 常微分方程组的解法9.3 常微分方程组的解的存在性与唯一性9.4 常微分方程组的应用9.5 常微分方程组的数值解法十、泛函分析与线性空间10.1 泛函分析的基本概念10.2 线性空间与线性映射10.3 内积空间与正交关系10.4 希尔伯特空间与巴拿赫空间10.5 泛函分析在数学分析中的应用十一、微分几何11.1 微分几何基本概念11.2 曲线和曲面的切线与法线11.3 曲率、挠率和曲率张量11.4 测地线与测地线方程11.5 微分几何在物理学和工程学中的应用十二、偏微分方程12.1 偏微分方程的定义与分类12.2 偏微分方程的基本解法12.3 偏微分方程的解的存在性与唯一性12.4 偏微分方程的应用案例12.5 偏微分方程的数值解法十三、复变函数13.1 复数与复平面13.2 复变函数的基本概念13.3 复变函数的积分13.4 复变函数的级数13.5 复变函数在复平面上的应用十四、随机变量与概率积分14.1 随机变量及其分布14.2 随机变量的数字特征14.3 概率积分与变换14.4 随机过程的基本概念14.5 随机过程的应用十五、数值分析15.1 数值分析概述15.2 插值法与函数逼近15.3 数值微积分15.4 常微分方程的数值解法15.5 非线性方程与系统的数值解法重点和难点解析一、函数极限与连续性重点：函数极限的性质与运算，无穷小与无穷大的概念，函数的连续性及其性质。
高数选讲课程教学大纲
高数选讲课程教学大纲课程编码：12120602303 课程性质：专业选修课课时： 36 学分： 2开课学期： 6 先修课程：微积分、线性代数、概率论数理统计适用专业：物流工程课程简介：《高数选讲》是淮南师范学院物流工程本科专业开设的一门专业选修课。
高数选讲的授课的主要内容是研究生升学考试的数学课程考试的主要内容。
包括：微积分、线性代数、概率论与数理统计。
设置这门课的主要目的是为物流工程专业考研同学作为一门专业选修课开设的。
为部分考研同学明确考研方向，理清考研思路，明确教学内容有很大帮助。
一、课程教学目标通过开设高数选讲这门课程为部分考研同学明确考研方向，理清考研思路，明确教学内容，掌握数学知识。
能够为同学们前期的考研准备打下坚实基础，为同学们考研中期的学习准备指点迷津，能够为学生考研后期的学习坚定信心。
同时帮助学生树立终身学习观念和思想，培养学生独立思考问题和解决问题的能力。
二、课程重点、难点在本课程在教学过程中的重难点主要有函数、极限、连续，一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程、行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型、随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量的分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计。
三、整体课时分配章节序号章节名称理论学时实验学时第一章一、函数、极限、连续 3 0 第二章二、一元函数微分学 3 0 第三章三、一元函数积分学 3 0 第四章四、多元函数微积分学 3 0 第五章五、无穷级数 3 0 第六章六、常微分方程与差分方程 3 0第七章一、行列式二、矩阵三、向量四、线性方程组6 0第八章 五、矩阵的特征值和特征向量六、二次型4 0 第九章 一、随机事件和概率二、随机变量及其分布三、多维随机变量的分布四、随机变量的数字特征4 0 第十章 五、大数定律和中心极限定理六、数理统计的基本概念七、参数估计 4 0四、课程内容安排微积分一、函数、极限、连续教学内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →= 1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质教学要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学教学内容导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L'Hospital ）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值教学要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日( Lagrange )中值定理，了解泰勒（Taylor ）定理、柯西（Cauchy )中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学教学内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨（Newton- Leibniz ）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分的应用教学要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学教学内容多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算 多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分的概念、基本性质和计算 无界区域上简单的反常二重积分教学要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数教学内容常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数与莱布尼茨定理 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式教学要求1．了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p 级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解e x ，sin x ，cos x ，ln(1)x +及(1)x α+的麦克劳林（Maclaurin ）展开式．六、常微分方程与差分方程教学内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 微分方程的简单应用教学要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线性代数一、行列式教学内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理教学要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵教学内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算教学要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量教学内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法教学要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组教学内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解教学要求1.会用克拉默法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量教学内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵教学要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型教学内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性教学要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率教学内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验教学要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes ）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布教学内容随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布教学要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数{}()F x P X x =≤（x -∞<<+∞）的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布()P λ及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布()E λ的概率密度为e ,0()0,0x xf x x λλ-⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若若 5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量的分布教学内容多维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量简单函数的分布教学要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布221212(,;,;)N μμσσρ，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其简单函数的分布．四、随机变量的数字特征随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 切比雪夫（Chebyshev ）不等式 矩、协方差、相关系数及其性质教学要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理教学内容切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoulli ）大数定律 辛钦（Khinchine ）大数定律 棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre －Laplace ）定理 列维—林德伯格（Levy －Lindberg ）定理教学要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念教学内容总体 个体 简单随机样本 统计量 经验分布函数 样本均值 样本方差和样本矩 2χ分布 t 分布 F 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布教学要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为 2211()1ni i S X X n ==--∑ 2．了解产生2χ变量、t 变量和F 变量的典型模式；了解标准正态分布、2χ分布、t 分布和F 分布的上侧α分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计教学内容点估计的概念 估计量和估计值 矩估计法 最大似然估计法1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．五、教材与学习资源（一）参考教材：同济大学编，高等数学，第6版，高等教育出版社。
4 高等数学方法选讲——无穷级数
注：当交错级数不满足莱布尼茨判别法时，若一般项趋于零，可以考虑 将相邻的正负项加括号后证明其敛散性（相邻的正负项加括号后一般符 号固定，成为不变号级数）.
n =1
∞
（ 3） Dirichlet 判别法： 级数级数 ∑ un 中，un = an ⋅ bn ， 如果 (a) Bn = ∑ bk
n =1 k =1
∞
n
有界， (b) 数列 {an } 单调递减， (c) lim an = 0 ，则级数 ∑ un 收敛 . n →∞
n=1
∞
注： Abel 和 Dirichlet 判别法用到如下的 Abel 变换（分布求和公式） 设 {an } , {bn } 是两数列，记 Bk = ∑ bi , k = 1, 2, ，则
高等数学方法选讲——无穷级数 正项级数审敛法
（ 7）根值判别法（ Cauchy 判别法） ：设 ∑ an 为正项级数，且 ∃N > 0 ，
n =1 ∞
(a) 若当 n > N 时 n an ≤ q < 1 成立，则级数 ∑ an 收敛；
n =1
∞
(b) 若当 n > N 时 n an ≥ 1 成立，则级数 ∑ an 发散 .
n =1 n =1
（ 3）极限形式 . （ 4）分式形式
南京航空航天大学理学院数学系：马儒宁等
高等数学方法选讲——无穷级数 正项级数审敛法
（ 5）比值判别法（D’Alember 判别法） ：设 ∑ an (an ≠ 0) 为正项级数，
n=1 ∞
∃N > 0 ，
∞ an + 1 ≤ q < 1 成立，则级数 ∑ an 收敛； (a) 若当 n > N 时 an n=1
《高等数学选讲课件》
学习幂级数的收敛区间和收敛域的求解，掌
握幂级数在实际问题中的应用。
3
傅里叶级数
了解傅里叶级数的基本概念和性质，研究周 期函数的展开和逼近。
常微分方程
方程类型 解的求解 应用领域
学习一阶和高阶常微分方程的性质和分类，包括线 性、齐次和非齐次方程。
研究常微分方程的解的求解方法，包括特解和通解 的计算。
《高等数学选讲课件》
这个课件将带你深入了解高等数学的重要概念和技巧，帮助你更好地掌握数 学的基本原理。
课程简介
学科概述
高等数学是大学数学的重要组成部 分，包括微积分、多元函数和无穷 级数等。
教材介绍
本课程将基于大学本科教材，帮助 你全面理解数学概念和解题方法。
应用领域
高等数学广泛应用于科学、工程和 经济等领域，是解决实际问题必不 可少的工具。
应用领域
了解一阶微分方程在物理、生 物和经济等领域的实际应用。
多元函数微分学
偏ห้องสมุดไป่ตู้数
极值与最优化
学习多元函数的偏导数计算和性质， 研究多元函数的极值和最优解，包
理解方向导数和梯度的概念。
括约束条件下的拉格朗日乘子法。
曲面积分
熟悉曲面积分的计算和应用，理解 曲面的流量和高斯定理。
多重积分
1 二重积分
了解常微分方程在自然科学和工程技术领域的广泛 应用。
2 三重积分
3 坐标变换
学习二重积分的计算方法和 应用，包括直角坐标系和极 坐标系下的转换。
探究三重积分的计算过程和 几何意义，研究多面体的体 积和质量。
理解坐标变换对多重积分的 影响，掌握球坐标和柱坐标 系下的积分计算。
无穷级数
1
级数收敛性
第一讲函数的极限与连续
例
lim
1 x
0
x 2
lim(2x 1) 3
x1
1
例1* lim e x x0
有理分式极限的运算
0
lim
x
a0 b0
a1x a2 x2 an xn b1x b2 x2 bm xm
an bm
nm nm nm
例
1 x3
lim
x
2x3
lim x2 1 x1 x 1
x0 x 0在定义域中连续,则k ____.
2、函数的间断点
例22*
f
(x)
x2
x 1 2x 3
的连续区间是_______,
间断点是______.
例23*
1 1
y
x 1
x 1 2
的不连续点有____ 个.
x 1 x 1
例24* x 0是f (x) x 的第____ 类间断点, t2
)
4、无穷小的性质
例
lim sin x
x
x
例4*
lim
x0
x2
sin
1 x2
a 例5*
设
x2 lim (
3
ax b)
1
，
则
x x 2
＝， b ＝
x sin x 例6* lim
x0 1 x sin x cos x
例7*
若 lim x0
f (x) 1 cos2
x
2, 则f
例33*
lim (1
n
x n
x2 2n2
)n
例34*
lim ( x 1 )x x 2x 1
例35*
设f
(
x)
数学分析专题选讲教案
数学分析专题选讲教案一、第一章：极限与连续性1.1 极限的概念定义：函数f(x)当x趋近于某一值a时，如果存在一个实数L，使得f(x)趋近于L，称f(x)在x=a处极限为L。
性质：保号性、传递性、三角不等式性质。
1.2 极限的计算极限的基本性质：0.9^n→0（n→∞）、(1+1/n)^n→e（n→∞）。
极限的运算法则：lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x)、lim (cf(x)) = c lim f(x)、lim (f(g(x))) = lim f(t) lim g(x)。
1.3 连续性的概念定义：函数f(x)在点x=a处连续，如果满足f(a)=lim f(x)（x→a）且对于任意ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε。
1.4 连续性的性质与判定连续函数的基本性质：保号性、可积性、可微性。
连续函数的判定：函数在某一点的极限存在且等于函数在该点的函数值，则函数在该点连续。
二、第二章：导数与微分2.1 导数的定义定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在x=a 处的瞬时变化率。
导数的几何意义：函数图像在点x=a处的切线斜率。
2.2 导数的计算基本求导法则：常数倍法则、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导。
高阶导数：f''(x)、f'''(x)等。
2.3 微分的概念与计算概念：微分表示函数在某一点的切线与x轴之间的距离，记为df(x)/dx|_{x=a}。
微分的计算：dx表示自变量的增量，微分的结果为切线的斜率乘以dx的值。
三、第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与计算概念：泰勒公式是一种将函数在某一点展开成多项式的公式，用于逼近函数在某一点的值。
泰勒公式：f(x)在某一点a处的泰勒公式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2++f^n(a)(x-a)^n+R_n(x)。
高中数学选讲教案
高中数学选讲教案
教学内容：二次函数
教学目标：
1. 理解二次函数的定义和特点；
2. 掌握二次函数的基本性质和图像；
3. 能够应用二次函数解决实际问题。
教学重点与难点：
重点：二次函数的定义、性质和图像；
难点：应用题目的解题方法。
教学准备：
1. 黑板、彩色粉笔；
2. 教材课本；
3. 习题册。
教学过程：
1. 热身引入（5分钟）
教师向学生提出一个问题：你知道什么是二次函数吗？让学生回答并讨论。
然后引入本节课的主题。
2. 理论知识讲解（15分钟）
教师向学生介绍二次函数的定义和性质，包括二次函数的一般形式、顶点、对称轴等。
通过示意图和实例帮助学生理解二次函数的特点。
3. 实例训练（20分钟）
教师以几道简单的题目为例，让学生尝试解答并讨论。
通过实例训练，巩固学生对二次函数的理解和应用能力。
4. 综合应用（15分钟）
教师出示一些与实际问题相关的二次函数题目，让学生进行分析和解答。
学生可以结合生活中的实际情况来理解二次函数的应用价值。
5. 总结反思（5分钟）
教师与学生一起回顾本节课的重点内容，并对学生的表现进行总结和点评。
学生也可以提出自己的问题和疑惑。
6. 课堂作业（5分钟）
教师布置相关作业，让学生回顾和巩固本节课的知识。
教学反思：
本节课主要介绍了二次函数的定义、性质和应用。
通过实例训练和综合应用，学生能够更好地理解和掌握二次函数的相关知识。
在后续教学中，可以结合更多实际问题，帮助学生深入理解二次函数的应用价值。
说课程高等数学公开课一等奖市优质课赛课获奖课件pptx
06
总结与展望
本课程的主要收获与成果总结
知识点掌握：掌握高等数学的基本概念、定理和解题方法
能力提升：提高学生的数学思维能力、分析问题和解决问题的能力
教学方法创新：采用多种教学方法，如案例分析、小组讨论等，提高学生的学习兴趣和参 与度
获奖成果：获得市优质课赛课一等奖，得到专家和同行的高度认可
04
教学资源
教学大纲
课程简介 教学目标 教学内容 教学进度
授课教案与PPT
教案准备：精心设计，充分准 备
PPT制作：简洁明了，重点突 出
授课内容：结合实际，注重应 用
教学效果：受到好评，取得成 果
习题库与答案解析
包含大量习题
提供答案解析
针对不同难度和 知识点进行分类
可在线提交作业 和自测练习
算方法
定积分：概念、 性质、计算方
法
积分的应用： 实际应用案例
分析
积分思想：微 积分思想及其 在生活中的应
用
微分方程的概念与求解
微分方程的分类 微分方程的解法 微分方程的几何意义 微分方程的应用实例
03
教学方法
理论教学与实际应用相结合
理论教学：注重 基础知识的讲解 和巩固
实际应用：通过 案例分析和实践 操作，培养学生 的实际应用能力 和解决问题的能 力
相关参考书籍与资料
《高等数学》- 同济大学数学系主编 《数学分析》- 华东师范大学数学系主编 《实变函数与泛函分析》- 北京大学数学系主编 《微积分学教程》- 清华大学数学系主编
05
课程特色与创新点
注重数学思维的培养与运用
强调数学在实际生活中的应 用
引入多种数学思想和方法， 帮助学生更好地掌握数学知
高考数学选讲部分坐标系与参数方程市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
= -4 + 2
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;
(2)若|AB|=2√10,求 a 的值.
21/33
-22考点一
考点二
考点三
考点四
解 (1)由 ρsin2θ=2acos θ(a>0)可得 ρ2sin2θ=2aρcos θ.所以曲线 C
的普通方程为 y2=2ax;
|3cos+4sin--4|
.
√17
l 的距离为 d=
+9
+9
.由题设得
= √17,所以 a=8;
√17
√17
-+1
-+1
的最大值为
.由题设得
= √17,所以 a=-16.
√17
√17
当 a≥-4 时,d 的最大值为
当 a<-4 时,d
综上,a=8 或 a=-16.
19/33
-20考点一
= (),
都是某个变数 t 的函数
并且对于 t 的每一个允许值,上式所
= (),
确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线
的 参数方程
,其中变数 t 称为 参数
.
(1)过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为
= 0 + cos,
(t 为参数).t 的几何意义是直线上的点 P 到点
11/33
-12知识梳理
考点自测
= -1 + cos,
(α 为参数),当圆心 C
= 1 + sin
到直线 kx+y+4=0 的距离最大时,k 的值为
( D )
高考数学选讲内容精讲班讲义
高考数学核心考点选修部分一、平面几何选讲二、极坐标与参数方程三、不等式选讲附：高中平面几何常见公式及结论1过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理：三角形两边的和大于第三边16 推论：三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°18 推论1：直角三角形的两个锐角互余19 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33 推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角36 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即 a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形48定理：四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论：任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等54推论：夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 ：矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2：矩形的对角线相等62矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1：菱形的四条边都相等65菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1：关于中心对称的两个图形是全等的72定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d 8484(2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85(3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理：不在同一直线上的三个点确定一条直线110垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径119推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线L和⊙O相交 d＜r②直线L和⊙O相切 d=r③直线L和⊙O相离 d＞r122切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135①两圆外离：d＞R+r ②两圆外切 d=R+r③两圆相交：R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切：d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)136定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理：把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n140定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长142正三角形面积√3a／4 a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4144弧长计算公式：L=n∏R／180145扇形面积公式：S扇形=n∏R／360=LR／2146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)。
北航-高等数学-张奇业-高等数学选讲第5讲
北航-高等 数学-张奇
业-高等数
学选讲第
5讲
•
➢ 求导数问题及应用——利用变限积分函数的求导法则
●
d
x
e t2 x2 dt
d (ex2 _d_x____
x 0
et2dt )
dx 0
● 设f ( x)可导，且f (0) 0, F ( x) x t n1 f ( xn t n )dt, 0
y2 ),
显然，曲边梯形的面积 只与 M0 , M1, M2 的纵坐 标 y0 , y1, y2 及底边所在的区间长度 2h 有关．
由此可知 n 组曲边梯形的面积为 2
A1
1 3
h(
y0
4 y1
y2 ),
A2
1 3
h(
y2
4 y3
y4 ),
An
2
1 3
h(
yn
2
4 yn1
yn ),
其中 h b a . n
b
f ( x)dx
a
ba 3n [( y0
yn ) 2( y2
y4
yn2 )
4( y1 y3 yn1 )].
( 4)
➢ 定积分的应用——经济应用
消费过剩
需 求 函 数 p ( x ) ： 制 造 商 出 售 x 单 位 的 商 品 需 要 收 取 的 价 格 p
p p(x)
x 设 X 为 现 有 商 品 数 量 ， 则 P p ( X ） 为 当 前 售 价
lim x0
f (xn) 2nx n
1 lim 2n x0
f (xn) xn
f (0)
1 2n
f '(0)
● 设 f ( x) 在区间[a, b] 上连续，且 f ( x) 0.
22考研复习全书选讲 第五讲 一元函数积分学(3)2021.4.30
2021年4月
第五讲 一元函数积分学(3)
定积分的应用
定积分应用的基本原理——微元法
在用定积分求面积、体积、平均值、表面积、弧长、功、引力、压力等问题时,常常要
利用微元法思想,其基本步骤如下:
（1）所求量 U 是与区间[a, b]以及定义在其上的函数 f (x)有关的量；
其中 (t)、 (t)在[, ]上具有一阶连续导数, 且 (t)、 (t)不同
时为零(极,坐则标曲方线程弧)设长曲为线S弧=由 极坐2(标t)方程2
(t)
r
dt
=
. r
(θ)
(
α
≤
θ
≤
β)
给
出, 其中 r (θ)在[, ]上具有一阶连续导数, 则曲线弧长为
S r2( ) r2( ) d .
直线 x=1 所成的旋转体体积 V1.(3) 求 D 绕 x 轴旋转一周所得
旋转体的体积 V2. (3) D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积
V2
1 (e x )2 dx
1 (ex)2 dx e2 .
0
6
V2 2
e y( y ln y)dy e2 .
0e
6
全书一，P123[例2]；全书二，P119[例2]；
0
2
a2( 1 cos )2 ( a sin )2 d
0
2 2a c osd
0
2
a8
si
2
n0
=
8a|
.
全书三，P114[例5]；
例 8(2010 数 3) 设位于曲线 y
1
( e x<+ )下方, x 轴上方的
高中数学新课题讲解教案
高中数学新课题讲解教案课题名称：概率与统计教学目标：1. 了解概率与统计的基本概念2. 掌握一些常见的概率计算方法3. 能够运用统计方法对数据进行分析教学重难点：1. 随机事件与基本事件的概念2. 概率的计算方法3. 统计数据的收集与分析教学准备：1. 教师准备：教案、教具、PPT等教学资源2. 学生准备：课本、笔记、作业等学习资料教学过程：一、导入（5分钟）教师通过引入一个生活案例，引发学生对概率与统计的兴趣，激发学生的学习热情。
二、新知讲解（15分钟）1. 介绍随机事件与基本事件的概念，引导学生理解事件的可能性与不确定性。
2. 讲解概率的计算方法，包括古典概率、几何概率和统计概率等，让学生掌握概率计算的基本技巧。
3. 引导学生了解统计数据的采集方法，包括调查问卷、实证研究等，指导学生如何对数据进行分析和解释。
三、练习与实践（20分钟）1. 给学生提供一些概率计算题目，让学生独立完成计算，并相互交流讨论。
2. 分组进行统计数据的收集与分析，让学生亲自体验统计方法的应用。
四、总结与检测（10分钟）教师对本节课内容进行总结，梳理概率与统计的重点知识，并布置相应的作业，以检测学生的掌握程度。
五、作业布置（5分钟）要求学生完成相关概率与统计的作业，巩固课堂所学知识。
六、课后反思（5分钟）教师对本节课的教学效果进行评估和反思，为下节课做好准备。
教学反思：本节课主要介绍了概率与统计的基本知识，通过引导学生实际操作，培养学生的统计思维和数据分析能力。
在接下来的教学中，需要继续巩固学生对概率与统计的理解，提高他们的计算能力和应用能力，让学生对数学这门学科产生浓厚的兴趣和热情。
高中数学讲课课题
高中数学讲课课题一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务围绕“高中数学讲课课题”展开，针对高中学生进行数学知识的传授与能力的培养。
具体包括：讲解数学概念、原理及其应用，通过典型例题的分析与解答，使学生掌握数学解题方法，提高逻辑思维能力和数学素养；同时，注重培养学生的创新意识与实践能力，使他们在面对复杂数学问题时，能够运用所学知识进行有效解决。
2、教学对象教学对象为高中学生，他们已经具备了一定的数学基础知识和基本技能，具有一定的逻辑思维能力和自主学习能力。
在此基础上，他们对数学学科的兴趣和热情各不相同，个体差异较大。
因此，在教学过程中，需要关注每个学生的特点和需求，因材施教，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学素养。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、原理及其在实际问题中的应用。
（2）学会运用数学方法分析问题，提高数学解题能力，尤其是解决综合性和应用性问题。
（3）掌握数学符号、术语及其书写规范，提高数学语言的表达能力。
（4）通过学习，使学生能够运用数学知识解决生活中的实际问题，增强数学应用意识。
2、过程与方法（1）通过自主探究、合作交流、实践操作等多样化的学习方式，培养学生独立思考和解决问题的能力。
（2）注重启发式教学，引导学生主动发现、提出问题，激发学生的创新意识。
（3）采用案例分析、思维导图等教学手段，帮助学生构建知识体系，提高学习效率。
（4）通过布置有针对性的课后作业，巩固所学知识，形成良好的学习习惯。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣，激发学习热情，树立自信心。
（2）引导学生认识到数学在科学技术发展中的地位和作用，增强学生的社会责任感。
（3）通过数学学习，培养学生的团队合作精神，学会尊重他人、倾听他人意见。
（4）培养学生勇于面对困难和挑战，形成良好的学习态度，树立正确的人生观和价值观。
在教学过程中，要关注学生的个体差异，充分调动他们的学习积极性，使他们在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面提高。
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连保胜 2015-11-24第一讲 极限的求法（包括一元和多元）极限的基本形式是000,,1,,0,,00∞∞∞-∞∞∞∞等 一、型未定式的求法： 1、 分式，因式分解，约分，约去0的部分，代入计算。
或者根据留大去小原则，保留加法形式中的低阶无穷小来处理。
2、 根式，换元发，变分式，或者，有理化，包括分子有理化和分母有理化。
3、 0的等价表互相替换0，注意，相互替换的是0，或者替换复合函数中的0部分。
条件为：0x →（或者等价条件，例如：1,2nn →∞，只要是0换0，这个原则不能改变）等价表如下（根据五大类函数依次列出）：11112x x n指数函数：1ln ;1x x a x a e x --对数函数：log (1)log ;ln(1)e a a x x x x ++三角反三角函数：1sin tan arcsin arctan ;1cos 2x x x x x x x - 4、 罗必达法则：()()limlim()()f x f xg x g x '='，注意使用这个法则的时候非0的部分一定不要参与求导的运算，应使用基本的一些运算将他和0部分分开。
5、 泰勒展式替换0，使用在0处的泰勒展式替换极限中的0部分 五大函数的泰勒展式：幂函数：0112(1).........n nx C C x C x C x ααααα+=+++++期中(1)(2) (1)(1)(2) (1)nn C n n n ααααα---+=--，当1α=-时，有无穷等比数列的和的公式：2111...(1)......1n n x x x x+=-+++-++ 指数函数：22(ln )(ln )1ln .........2!!n xna a a x a x x n =+++++；2111.........2!!x n e x x x n =+++++对数函数：231ln(1)...(1)...23nn x x x x x n++--++-+ 三角反三角函数：312111sin ...(1)......3!(21)!n n x x x x n +-=+++-+- 2211cos 1...(1)......2!(2)!n n x x x n =-++-+ 二、∞∞型未定式的极限的求法 6、 保留留大去小原则，保留加法中的高阶无穷大，再求极限。
7、 洛必达法则：()()lim lim ()()f x f xg x g x '='，注意使用这个法则的时候非∞的部分一定不要参与求导的运算，应使用基本的一些运算将他和∞部分分开。
三、1∞型未定式的极限的求法 这类极限严格按照如下流程操作， 第一步、确定前提，是不是1∞型未定式第二步、依次变形满足三大特点，1、一个独立的“1”；2、使用“+”连结；3、一个倒数关系； 满足三大关系就可以直接使用公式求出极限，公式为：1im(1)n n l e n →∞+=；1im(1)x x l e x→∞+=；10im(1)x x l x e →+=. 四、;0∞-∞∞型未定式的极限的求法是通过基本运算规则转化为00或∞∞，再用上述方式求解即可。
五、00;0∞型未定式的极限的求法是通过取对数运算转化为0∞，在转化为00或∞∞，再用上述方式求解即可。
六、数列和的极限的基本模式：对于数列部分和的极限，首先考虑求和，在求极限，求和的基本方式有：分式的部分分式法；根式的有理化；分部分使用等差或者等比数列求和公式，错位相减等基本初等技巧。
其次，考虑两边夹原则，进行不等式放大或者缩小，在求和。
最后，反向使用定积分的定义，求部分和的极限。
七、多元的极限问题，基本思想是：在极限存在的情况下，可以化重极限为累次极限，即：(,)(,)(,)(,)lim limlim x y a b x ay bf x y f x y →→→=或者在众多逼近方向中选择一个过点(,)a b 的任何方向都可以，也就是：(,)(,),()(,)(,)limlimx y a b x a y g x f x y f x y →→==第二讲 极限的定义，法则，连续性，间断一个基本思想，所有抽象的函数问题，基本的原则是使用定义和法则来处理。
因此，熟悉记忆每一个定义和法则是处理问题的根本。
一、极限的定义中注意逼近的方向问题，这个是很容易忽略，但是很本质的东西。
这个在很多情况下，导致了极限不存在的问题，也是证明极限不存在的一个很好的突破口。
在一元情况下，0x x →包括两个方向，左侧0x x -→，右侧0x x +→；x →∞包括两个方向，左侧x →-∞，右侧x →+∞；在多元情况下，00(,)(,)x y x y →本质是在二维平面上动点(,)x y 向定点00(,)x y 逼近，逼近的方向是无穷多，因而任何一个方向出问题，极限就将不存在，这个逼近的多方向性，是我们证明极限不存在的一个很好的途径。
二、熟练的掌握极限的定义描叙，搞清楚本质，其实就是对两个符号的本质的认识。
∀：任意，给定但是不确定，在数学推导过程中，视为已知。
∃：存在，存在的东西是需要寻找和计算求解的，所以在数学推导过程中，它是需要求解的一个量。
几种极限的定义：lim n n a a →∞=：0,0,,N st n N ε∀>∃>≥时，有||n a a ε-<；含义是将数列分成两段，项数在N 之前的有限项去掉后，其他无限项（注意n →∞的项是这部分的一个子集）均留在(,)U a ε内，也就是,n a a 两者充分接近。
lim ()x f x a →∞=：0,0,,||N st x N ε∀>∃>≥时，有||n a a ε-<；含义是将R 分成三段，在去掉区间[,]N N -对应的函数后，其他两个区间对应的函数（注意x →∞的函数是这部分的一个子集）均留在(,)U a ε内，也就是(),f x a 两者充分接近。
强调一下，lim ()lim ()lim ()x x x f x a f x f x →∞→+∞→-∞== 是两个方向。
lim ()x x f x a →=：00,0,,||st x x εδδ∀>∃>-<时，有|()|f x a ε-<；含义是将R 分成三段，在区间0(,)U x δ对应函数（注意0x x →的函数是这部分的一个子集）均留在(,)U a ε内，也就是(),f x a 两者充分接近。
强调一下，0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x →→+→-== 是两个方向。
00(,)(,)lim(,)x y x y f x y a →=：0,0,,((,),)st U x y εδδ∀>∃>时，有|(,)|f x y a ε-<；含义是在平面区间00((,),)U x y δ对应函数（注意00(,)(,)x y x y →的函数是这部分的一个子集）均留在00((,),)U x y δ内，也就是(),f x a 两者充分接近。
强调一下，00(,)(,)lim (,)x y x y f x y a →=包括无数个逼近方向。
法则：在每个局部极限存在的情况下，有限的四则和复合函数的极限均可以分开求，或者由外层转入内层。
连续性：极限值等于函数值，也就是：00000lim ()()lim ()()()x x x x f x f x f x f x f x +-+-→→== ；所有初等函数在它的定义域内连续，这句话的意思是，间断出现在两个地方，一是定义域不存在的地方；二是非初等函数（主要是分段函数的分段点）。
此外，连续性保证了求极限的时候，趋近值的直接代入的可行性。
所以，通常而言，求极限的时候，可以直接进行代入计算。
间断的类型第一类间断：可去间断00000lim ()()lim ()()()x x x x f x f x f x f x f x +-+-→→=≠ ；跳跃间断：0000lim ()()lim ()()x x x x f x f x f x f x +-+-→→≠第二类间断：包括无穷间断，至少一侧极限是无穷；震荡间断等。
主要的题型是初等函数的非定义域处，和分段函数的分段点。
第三讲 求导的运算一、 符号系统与基本求导公式一阶导数，,()y f x ''，dy dx ，()df x dx符号含义：dy dx ，()df x dx的含义有两层：它是整体符号，意义是：1、y 是x 的函数（y 内部包含有x ）；2、对x 求一次导，也就是求导到x ，求导结束。
它是一个微商，具备普通商的特征，也就是：//dy dy dt dx dx dt =，这个就是参数求导公式；1/dy dx dx dy=，这个就是反解求导公式。
二阶导数，,()y f x ''''，22d y dx ，22()d f x dx符号含义：22d y dx，22()d f x dx 的含义仅有一层： 它是整体符号，没有微商的含义和相应的性质，意义是：1、y 是x 的函数（y 内部包含有x ）；2、对x 求一次，在求一次导数，累加到两次，每次求导到x ，求导结束。
也就是22dy d d y dx dx dx⎛⎫ ⎪⎝⎭=。
三阶导数,()y f x ''''''，33d y dx ，33()d f x dx ，以及四阶导数(4)(4),()y f x ，44d y dx ，44()d f x dx ，n 阶导数()(),()n n y f x ，n n d y dx，()n nd f x dx ；特别强调，以上符号均只有一层含义，就是一个整体符号，不再具有微商的含义，也不具备商的运算性质。
高阶导数的求导公式（依据五大类基本初等函数而论）： 幂函数：123(),()(1),()(1)(2),...a a a a a a x ax x a a x x a a a x ---''''''==-=--mnx =；1aa x x-= 对于正整数次幂，有当1m n ≥+时，()()0n m x =指数函数：23()ln ,()(ln ),()(ln ),...x x x x x x a a a a a a a a a ''''''===特别地()()x n x e e =对数函数：(4)234112!3!(log )log ,(log )log ,(log )log ,(log )log , (x)e x e x e x e a a a a a a a a x x x x ''''''==-==- 特别地(4)234112!3!(ln ),(ln ),(ln ),(ln ),...x x x x x x x x''''''==-==-三角函数：一次导数遵循这样的规律：“余”则“负”、弦变弦、切变割方（“正”则“正”）、割变切割（“余”则“余”）； 正弦和余弦的高阶导数遵循周期为4的循环，也就是：(4)()(4)()sin sin ;cos cos .n p p n p p x x x x ++==1,2,3,4p = 反三角函数的一阶导数也遵循“余”则“负”的规律，具体为：2211(arcsin ))),(arccot )11x x x x x x ''''====-++ 此外乘积的高阶导数遵循二项式定理法则，也就是：()0()(0)1(1)(1)2(2)(2)(0)()[()()]()()()()()()...()()n n n n nn n n n n f x g x C f x g x C f x g x C f x g x C f x g x --=++++偏导数符号系统一阶：(,)(,),f x y f x y x y∂∂∂∂ 二阶：222222(,)(,)(,)(,),,,f x y f x y f x y f x y x x y y x y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 本质上和一元函数没有差别， 方向导数：(,)(,)cos sin f x y f x y x yαα∂∂+∂∂是函数在方向向量(cos ,sin )αα上的导数。