高中数学《正弦定理》教案苏教版必修5

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高中数学(正弦定理)教案2 苏教版必修5 教案

听课随笔第2课时正弦定理【学习导航】知识网络正弦定理→测量问题中的应用学习要求1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．学会用计算器，计算三角形中数据。

【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===CcB b A a sin sin sin R 2, 变形：（1）A R a sin 2=，_____________，________________. （2）RaA 2sin =，______________，________________.2．三角形的面积公式：（1）C ab s sin 21==_________=_________ （2）s=C B A R sin sin sin 22 （3）Rabcs 4=【精典X 例】【例1】如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）．分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑解△ＡＢＤ．【解】【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=050，∠B=055，AB=120m ，如何求得它的高？（819.055sin ,766.050sin 0≈≈）分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C ；（2）求三角形的高。

【解】听课随笔【例3】一座拦水坝的横断面为梯形，如图所示，求拦水坝的横断面面积。

（请用计算器解答，精确到1.0）【解】注：本题也可以构造直角三角形来解，过C 作CE ⊥AB 于E ，过D 作DF ⊥AB 于F 即可。

【例4】已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、 ∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a =4，b =5，S =35，求c 的长度。

高中数学 1.1 正弦定理教案苏教版必修5

江苏省赣榆县智贤中学2014高中数学 1.1 正弦定理教案苏教版必修5=ABC abc，32中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。

2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。

（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。

3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。

4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。

（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。

三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。

（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

苏教版必修五1.1《正弦定理》word教案

第一章解斜三角形1．1．1正弦定理（一）教学目标1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：正弦定理的推导即理解（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sin sin abc==，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。

教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学过程 1[创设情景]如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B2[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c==(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin ab=sin c=A c B(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.1.1 正弦定理》44

正弦定理一、教材分析本节课时?必修五?第一课内容，学生在初中已经学习了直角三角形的边角关系。

师生一起从已有知识出发，通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用观察-猜测-验证-发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。

课本按照从简原那么和最近开展区原那么，采用“作高法〞证明了正弦定理。

教学过程中，为了开展学生思维，再引导学生从向量，作外接圆，三角形面积计算等角度找到证明的途径，让学生感受数学知识相互紧密联系的特点。

正弦定理是把三角形中边角关系的研究由特殊〔直角三角形〕进一步推广到了一般三角形，扩大了知识的使用范围。

用正弦定理解三角形，表达了数形结合的思想，而且正弦定理的使用不依托直角坐标系，在以后的极坐标中也能应用。

因此，正弦定理的地位表达在它的根底性，作用表达在它的工具性。

二、学生学情分析正弦定理是学生在已经系统学习了平面几何，解直角三角形，三角函数，平面向量等知识根底上进行的。

本人所任教的学校学生整体水平中等偏上，他们有一定的观察、分析。

解决问题的能力，但是再往深处思考的能力有所匮乏，这时就需要教师的指引，利用学生已有的知识根底，设置最近开展区，从而激发学生的兴趣和求知欲，在正弦定理这一知识方面走得更远。

三、教学目标1掌握正弦定理及其证明，能够利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；2通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，培养学生的自主学习和自主探究能力；3提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣，在合作学习中，学会交流，相互评价，提高学生的合作意识与交流能力。

教学重点与难点本节课重点是正弦定理及其证明过程，难点是正弦定理的推导和证明。

教学过程一、问题情境探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在RtABC中，设C=90°,间有哪些关系？探索2 在RtABC中，我们得到，对于任意三角形，这个结论还成立吗？二、学生活动一组验证结论对锐角三角形是否成立，另一组验证结论对于钝角三角形是否成立？三、建构数学探索3 我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量运算的角度来证明这个结论呢？探索4 观察正弦定理的结论，看它有什么特点？你能用语言把它表达出来吗？定理中的正弦假设改成余弦，结论还成立吗？探索 5 这个式子中包含了哪几个等式？每个等式中有几个量？它可以解决斜三角形中的哪些类型问题？四、数学运用例1、中，a=2021=30°，C=45°解三角形。

高中数学1.1正弦定理(1)教案苏教版必修5

1．1 正弦定理（1）一、课题：正弦定理（1）二、教学目标：1．要求学生掌握正弦定理，并能应用解斜三角形，解决实际问题；2．熟记正弦定理sin sin sin a b c A B C==2R = （R 为ABC ∆的外接圆的半径）及其变形形式。

三、教学重点：正弦定理及应用。

四、教学难点：正弦定理的向量证明。

五、教学过程：（一）复习引入：在直角三角形中，利用三角形内角和定理．勾股定理．锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。

那么斜三角形怎么办？——提出课题：正弦定理。

（二）新课讲解：1．特殊情况：直角三角形中的正弦定理：c a A =sin ， c b B =sin ， 1sin =C ，即：A a c sin =， B b c sin =，， C c B b A a sin sin sin ==． 2．能否推广到斜三角形？证明：（法一）在任意斜ABC ∆中：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆，两边同除以abc 21即得：Cc B b A a sin sin sin ==， 3．用向量证明正弦定理：法二：当ABC ∆为锐角三角形时，过A 作单位向量j 垂直于AC ，AC +CB =AB 两边同乘以单位向量j ，j ⋅(AC +CB )=j ⋅AB 则：j ⋅AC +j ⋅CB =j ⋅AB ，∴|j |⋅|AC |090cos +|j |⋅|CB |)90cos(0C -|j |⋅|AB |)90cos(0A -，∴A c C a sin sin =， ∴C c A a sin sin =，同理：若过C 作j 垂直于CB 得：Cc B b sin sin = ∴Cc B b A a sin sin sin ==，当ABC ∆为钝角三角形时， A C B j A CB j设090>∠A ，过A 作单位向量j 垂直于向量AC ，同样可证得：C c B b Aasin sin sin ==．正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：C cB bA asin sin sin ==．说明：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明R C cB bA a2sin sin sin ===（R 为ABC ∆的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.1.1 正弦定理》43

1.1.1正弦定理⑴辽宁省辽阳市第一高级中学李晨一、教材分析本节知识是人教B版必修⑤第一章?解三角形?的第一节正弦定理的第一课时。

本节课与初中学习的三角形的边和角的根本关系有密切的联系。

并为以后学习余弦定理提供了方法上的模式，为运用正、余弦定理解决测量、工业、几何等方面的实际问题提供了理论根底，使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发他们的学习兴趣。

而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。

因此，正弦定理的知识非常重要。

二、学情分析1、学生是辽阳市第一高级中学高一年级的学生。

2、学生对多媒体进行数学学习有非常浓厚的兴趣。

3、学生已经初步学习了解直角三角形的根本知识。

4、学生具有初步的观察能力，敢于发表意见，有创新意识。

5．学生能积极参与讨论，逐步提高语言表达能力。

6．学生能与同伴共同学习，共同探讨，增强合作与团队意识。

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。

三、教学目标1知识与技能：①掌握正弦定理的内容及推导定理的思想方法和过程；②能用正弦定理进行有关的运算，会运用定理解决有关问题。

2过程与方法：①通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；②通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会数形结合的思想方法。

3情感、态度与价值观：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。

面向全体学生，创造平等的教学气氛，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。

四、教学重点、难点教学重点：正弦定理的根本应用。

教学难点：正弦定理的发现及证明。

五、学法与教法1学法：①合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题〔公式的推导〕。

②自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动〔如例1、2的处理〕。

③探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知〔如例3的处理〕。

高中数学《正弦定理》教案4篇

高中数学《正弦定理》教案4篇高中数学《正弦定理》教案1教材地位与作用：本节学问是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与学校学习的三角形的边和角的基本关系有亲密的联系与判定三角形的全等也有亲密联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。

因此，正弦定理的学问特别重要。

学情分析：作为高一同学，同学们已经把握了基本的三角函数，特殊是在一些特别三角形中，而同学们在解决任意三角形的边与角问题，就比较困难。

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探究及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时推断解的个数。

(依据我的教学内容与学情分析以及教学重难点，我制定了如下几点教学目标)教学目标分析：学问目标：理解并把握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。

力量目标：探究正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论。

情感目标：通过推导得出正弦定理，让同学感受数学公式的干净对称美和数学的实际应用价值。

教法学法分析：教法：采纳探究式课堂教学模式，在老师的启发引导下，以同学自主和合作沟通为前提，以“正弦定理的发觉”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让同学的思维由问题开头，到猜测的得出，猜测的探究，定理的推导，并逐步得到深化。

学法：指导同学把握“观看——猜测——证明——应用”这一思维方法，实行个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学学问应用于对任意三角形性质的探究。

让同学在问题情景中学习，观看，类比，思索，探究，动手尝试相结合，增添同学由特别到一般的数学思维力量，锲而不舍的求学精神。

教学过程(一)创设情境，布疑激趣“爱好是最好的老师”，假如一节课有个好的开头，那就意味着胜利了一半，本节课由一个实际问题引入，“工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠a=47°,∠b=53°,ab 长为1m,想修好这个零件，但他不知道ac和bc的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗?”激发同学关心别人的热忱和学习的爱好，从而进入今日的学习课题。

高一数学必修5正弦定理苏教版教案

高一数学必修5正弦定理【教学目的】1.探究并证明正弦定理，了解数学理论的发现发展过程；2.理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形。

【教学重点】正弦定理的证明和解三角形【教学难点】正弦定理的证明【教学过程】一．定理引入：三角形中的边角关系：A+B+C=π;A>B 则a>b;a+b>c; 直角三角形中A+B=90°;勾股定理;c a A =sin ,c b B =sin ,1sin =C CcB b A a sin sin sin ==⇒ 在非直角三角形ABC 中有这样的关系吗?几何画板验证二．定理证明：方法1,转化为直角三角形中的边角关系方法2,面积公式法方法3,外接圆法方法4,向量法三．定理直接应用：1.在△ABC 中,(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,则=C B A sin :sin :sin 7:5:32.在△ABC 中,A:B:C=4:1:1,则a:b:c= ( D ) A 4:1:1 B 2:1:1 C 2:1:1 D 3:1:1 四．解斜三角形：正弦定理可以解决三角形中两类问题：①已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角;②已知两角和一边，求另一角和其他边。

例1 在△ABC 中，已知c=10,A=45°,C=30°求边 a,b 和角B. B=105°a =b =例2 已知a=16,b=316,A=30°,求角B ，C 和边c. 60,90,32B Cc =︒=︒=或120,30,16B C c =︒=︒= 例3 已知a=30,b=26,A=30°,求角B ，C 和边c. 例4 已知b=40,c=20,C=45°,求角A ，B 和边a. 无解五．练习与拓展：练习:P9 1 2 3 P10 练习3 作业:P11习题 1 2补充在△ABC 中,a:b:c=4:5:6,则(2sinA-sinB):sinC= 拓展:P12 10 1.1正弦定理（2）【教学目的】1.利用正弦定理，解决三角形中的有关问题；2.利用正弦定理，解决实际生活中的有关问题。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.1.1 正弦定理》32

正弦定理永年一中刘丽平【问题导思】正弦定理1．如图在Rt△ABC中，C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∠A、∠B与∠C的正弦值有怎样的关系？【提示】∵in A＝错误!，in B＝错误!，错误!∴错误!＝错误!＝c又∵in C＝in 90°＝1，∴错误!＝错误!＝错误!2．对于锐角三角形中，问题1中的关系是否成立？【提示】成立．3．钝角三角形中呢？【提示】成立．1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：错误!＝错误!＝错误!2．三角形中的元素与解三角形1三角形的元素把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．2解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．对应学生用书第3页知识运用已知两角及一边解三角形例1在△ABC中，A＝60°，in B＝错误!，a＝3，求三角形中其他边与角的大小．【思路探究】1由in B＝错误!能解出∠B的大小吗？∠B唯一吗？2能用正弦定理求出边b吗？3怎样求其他边与角的大小？【自主解答】∵in B＝错误!，∴B＝30°或150°，当B＝30°时，由A＝60°得，C＝90°；当B＝150°时，不合题意，舍去．由正弦定理可得：错误!＝错误!＝错误!故b＝错误!·a＝错误!×3＝错误!，c＝错误!·a＝错误!×3＝2错误!1．解答本题时首先应把已知条件in B＝错误!进行转化，把问题化归为已知两角及一边解三角形问题，要注意当B＝150°时不合题意．2．解决已知两角及一边类型的解题方法是：1若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．2若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．在△ABC中，c＝错误!，A＝75°，B＝60°，则b等于【解析】因为A＝75°，B＝60°，所以C＝180°－75°－60°＝45°因为c＝错误!，根据正弦定理得错误!＝错误!，所以b＝错误!＝错误!＝错误!【答案】 A已知两边及一边的对角解三角形例2 在△ABC中，若c＝错误!，C＝错误!，a＝，B，b【思路探究】1条件中已知边c和其对角C，又知边a，能否用正弦定理求得A 值？2求得A值后，怎样求其他元素？【自主解答】由错误!＝错误!，得in A＝错误!＝错误!∴A＝错误!或A＝错误!π又∵c>a，∴C>A，∴只能取A＝错误!，∴B＝π－错误!－错误!＝错误!，b＝错误!＝错误!＝错误!＋11．解题时由已知条件用正弦定理直接得到的是in A的值，由in A求A可能有两种情况，要根据题意进行取舍．2．在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下：角A为钝角或角A为锐角直角图形关系式①a＝b in A②a≥b b in A b a≤b解的个数一解两解无解一解无解2021·青岛高二检测在△ABC中，已知b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形的解的情况是A．一个解 B．两个解C．无解 D．无法确定【解析】∵b in C＝30×in 26°b，从而A>B【防范措施】已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角时，要分清是大边对的角还是小边对的角，从而确定解的情况．【正解】∵错误!＝错误!，∴in B＝错误!＝错误!＝错误!∵a>b，∴A>B，。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.1.1 正弦定理》30

正弦定理1
高邮市第一中学嵇德玲
【学习目标】
1从特殊三角形的边角关系出发，通过对任意三角形边长和角度的关系探索，掌握正弦定理的内容及证明方法；
2会应用正弦定理解决解三角形的基本问题．
【学习重点】
正弦定理的发现及生成过程．
【学习难点】
正弦定理的证明及其应用．
【预习单】
回顾整理已学的有关解三角形的相关知识：
【活动单】
问题情境：
如图：高邮市政府为方便河两岸居民出行，拟在大运河上建一座大桥，需测量河两岸点A和点B之间的距离。

探究活动一：若只给你米尺和测角仪，如何在河的一侧得出两岸A与B之间的距离？
探究活动二：结合情境中问题的探究过程，尝试归纳三角形基本元素间存在什么样的数量关系？
探究活动三：试着验证这种关系是否对任意三角形也成立。

探究活动四：尝试用不同的方法证明上述结论。

法1：法2：
建构新知：
正弦定理：三角形的各边和它所对角的正弦之比相等，即 ______________________
尝试应用：
结合本节课所学知识，利用你在情境问题中测得的数据，求AB 的长
探究活动五：利用正弦定理可以解决哪几类解斜三角形的问题：
【巩固单】
1．在ABC ∆中，5,15,135===a C B o
o ,则此三角形的最大边长为_ ____
2．60,3,ABC A BC AB C ︒∆∠===∠=中，则
3．______,sin 2=∠=∆C B c b ABC 则中，若在
4
在ABC ∆中，若,3,60==a A o 则C B A c b a sin sin sin ++++=
【反思单】
小结本节课你有哪些收获？。

高中数学第一章解三角形 1.1 正弦定理教案2 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学教案

3. 两边一角解的不确定性的判断。
1. 在中：（1）已知，求，；
（2）已知，求，．
2. 已知两角一边会不会出现以上情况？
学生练习：
学案：5,7
6,9板演，
课外作业
教学小结
正弦定理
教学目标
1. 掌握正弦定理的内容；
2.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
教学重难点
利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题
教学参考
各省高考题教学与测试
授课方法
自学引导类比
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教
学
过
程ห้องสมุดไป่ตู้
设
计
教
学
二次备课
一、引入新课
1．正弦定理：在△ABC中
===。
练习：
学案1,2,3
1.已知两边一对角，为什么分别会出现两解、一解和无解的情况呢？
教
学
过
程
设
计
教
学
二次备课
例2、仿照正弦定理的证明，证明，并运用此结论解决下面问题：
（1）在中，已知，，，求；
（2）在中，已知，，，求和；
三、课堂小结
1．正弦定理的内容。
2．应用正弦定理解两类三角形问题。
2．正弦定理可解决两类问题：
（1）已知，求；
（2）已知，求。
二、学生活动
1.一个三角形的两角和边分别是和，若角所对边的长为8，那么角所对边的长是.
2. 在中，，，，求角C．
例题剖析
例1. 在中：
（1）已知，，，求，，；

苏教版高中数学必修五教案正弦定理

课题：11.1 正弦定理教学目标：(1)掌握正弦定理及其证明,会初步运用正弦定理解斜三角形,培养数学应用意识; (2)在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力;(3)提供适当的问题情境,激发学生的学习热情,培养学生学习数学的兴趣;在合作学习中,学会学习,学会交流,相互评价,提高学生的合作意识与交流能力. 教学重点：正弦定理及其证明过程教学难点：正弦定理的推导与证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：几何画板教学过程：一.问题情境引言：从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量,从大禹治水到都江堰的修建,从天文观测到精密仪器的制造,人们都离不开对几何图形的测量,设计和计算.测量河流两岸码头之间的距离,确定待建隧道的长度,确定卫星的角度与高度等等问题,都可以转化为求三角形的边与角的问题,这就需要我们进一步探索三角形的边角关系. 探索1:在Rt △ABC,C=900,那么边角之间有哪些关系? sinA=c a ,sinB=c b,sinC=cc =1,…… 即c=A a sin ,c=B b sin ,c=C csin ． ∴A a sin =B b sin =Ccsin 探索2:在任意三角形里, A a sin =B b sin =Ccsin 还成立吗? (几何画板演示) 二.学生活动数学实验:分组一:对于锐角三角形验证结论是否成立?c b a DBA C分组二:对于钝角三角形验证结论是否成立?数学猜想:A a sin =B b sin =Ccsin ; 三.建构数学:数学证明: 证法一:证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin证明三：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD Da A a 2sin sin ===同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R 证明四：（向量法）探索活动3:观察正弦定理的结构,看它有什么特点?你能用语言把它叙述出来吗?定理中的正弦改成余弦,结论还成立吗?正弦定理具有结构和谐,对称,体现了数学的和谐美与对称美; 若改成余弦,除正三角形外,其余三角形都不成立.探索活动4:这个式子包含了哪些等式?每个等式有几个量?它可以解决斜三角形中的哪些类型的问题?三个等式:A a sin =B b sin ,B b sin =C c sin ,A a sin =Ccsin ; 每个式子中有四个量,如果知道其中三个可以求出第四个? 正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:(原因是三角形全等的判定定理) ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b ababab a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAAC B ACB1ABACB2CHHH⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a四.数学运用：例1 :在△ABC 中,A=300,C=1000,a=10,求b,c注:这是已知两角以及其中一角的对边,求另一角对边,方法:直接用正弦定理. 例2:在△ABC 中:(1)已知a=16,b=26,A=300,求B,C,c; (2)已知a=30,b=26,A=300,求B,C,c; (3)已知a=25,b=11,B=300,解这个三角形;注:这是已知两边以及其中一边的对角,求另一边对角,方法:直接用正弦定理,注意比较确定几解. 五.巩固练习： 1 P9 练习2在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) A2R B R C4R D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)3△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( )A 直角三角形B 等腰直角三角形C 等边三角形D 等腰三角形p 六.回顾小结本节课通过自己的努力发现并证明了正弦定理，我们经历了数学实验→数学猜想→数学证明的科学治学历程,得到了正弦定理,其表达式具有和谐性,对称性的特点.通过本节课的学习,我们应该感受到数学的确是一个神奇的世界,不同的人可以用不同的方法去解决相同的问题,一个人也可以用不同的方法解决同一个问题,只要你肯探索并善于探索,总会有丰厚的回报.七.课后作业八.教后感:。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.1.1 正弦定理》1

《正弦定理》教学设计一、课程分析：本节课以“任务驱动，情境体验，真实探究”为教学要求，“任务驱动”的核心是“驱动”——变“要我学”到“我要学”，所以在这节课的任务设计上就是利用卷尺和测角仪两种工具，设计测量登瀛楼高度方案，让学生通过建立数学模型，去实践这个问题，激发学习驱力，让学生积极参与学习，获得体验，建构意义，要想完成设计方案，学生就要去研究正弦定理在解决三角形问题中的应用，实现学习任务完成的过程，就是学习的过程，体验的过程，建构意义的过程。

任务在情境中展开，目标在学习过程中实现。

1教材内容解析本节课是必修五第一章《解三角形》中的第一节课，正弦定理，它是初中“解直角三角形”内容的直接拓展，三角形是最基本的几何图形，三角形中的数量关系在天文、地理、航海等领域中有着及其广泛的作用，本节课我们将在以前学习的三角形、三角函数和解直角三角形等知识的接触上，通过对任意三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中边长和角度之间的数量关系，运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

本节课的内容共分为三个阶段：第一，从实际问题引入，如何设计测量登瀛楼高度问题，在解决特殊的直角三角形的边角关系的基础上思考解斜三角形，从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形，符合学生的认知思维；第二，带着疑问，在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上，以此作为启发点，后面就是严格的数学推导证明，得到正弦定理，以解直角三角形为知识基础，验证和证明，教学过程中充分体现了转化化归（从直角三角形中来回归到直角三角形问题）的数学思想；第三，设计测量登瀛楼高度方案，首尾呼应，并学以致用。

从实际中来，到实际中去。

本节课的主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，学生通过对定理证明的探究和讨论，体验到数学发现和创造的历程，课堂上，引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用，培养学生的提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

高中数学 11(正弦定理(2))教案苏教版必修5 教案

第 2 课时： §1.1 正弦定理（2）【三维目标】：一、知识与技能1.学会利用正弦定理解决有关平几问题以及判断三角形的形状，掌握化归与转化的数学思想；2.能熟练运用正弦定理解斜三角形；二、过程与方法通过解斜三角形进一步巩固正弦定理，让学生总结本节课的内容。

三、情感、态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解斜三角形问题的运算能力；2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力。

【教学重点与难点】：重点：利用正弦定理解斜三角形难点：灵活利用正弦定理以及三角恒等变换公式。

【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题 1.正弦定理：2.已知两边和其中一边的对角，如何判断三角形的形状？二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材9P 例4）在ABC ∆中，已知CcB b A a cos cos cos ==，试判断三角形的形状. 例2 （教材10P 例5）在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BDAC DC=．证明：设BAD α∠=，BDA β∠=，则CAD α∠=，180CDA β∠=︒-．在ABD ∆和ACD ∆中分别运用正弦定理，得sin sin AB BD βα=，sin(180)sin AC DC βα︒-=，又sin(180)sin ββ︒-=，所以AB AC BD DC =，即AB BDAC DC=．例3 在ABC ∆中，已知角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若b c a 2=+,（1）求证：2cos2cos 2CA C A -=+；（2）若3π=B ，试确定ABC ∆形状例4 在ABC ∆中，c b a ,,分别为ABC ∆三边长，若31cos =A ，（1）求A C A 2cos 2sin 2++的值；（2）若3=a ，求bc 的最大值例5 （教材9P 例3）某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度(精确到1米)．分析：要求BC ，只要求AB ，为此考虑解ABD ∆．解：过点D 作//DE AC 交BC 于E ，因为20DAC ∠=︒，所以160ADE ∠=︒，于是36016065135ADB ∠=︒-︒-︒=︒．又352015BAD ∠=︒-︒=︒，所以30ABD ∠=︒．在ABD ∆中，由正弦定理，得sin 1000sin13510002()sin sin 30AD ADB AB m ABD ∠︒===∠︒．在Rt ABC ∆中，sin 35235811()BC AB m =︒=︒≈．答：山的高度约为811m ．四、巩固深化，反馈矫正1.在ABC ∆中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么ABC ∆一定是________2.在ABC ∆中，A 为锐角，2lg sin lg 1lglg -==+A cb ，则ABC ∆形状为_______ 3.在ABC ∆中，若3,600==a A ，则_______sin sin sin =++++CB A c b a五、归纳整理，整体认识让学生总结本节课的内容（1）知识总结：（2）方法总结：六、承上启下，留下悬念。

苏教版高中数学(必修5)1.1《正弦定理》精品教案.doc

1.1正弦定理教学过程（二）推进新课［合作探究］师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当AABC是锐角三角形时，设边ABk的高是CD,根据任意角三角函数的定义，有CD=/sinS=BsirU,贝U —-—=—-—,同理，可得一-—=—-—.从而sin/ sin 5 sinC sin 5a _b _ csin/ sin 5 sinC（当AABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a _b _ csin/ sin 5 sinC师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作AABC的外接圆，在AABC中，令BC=AAC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明—=—=这一关系•sin/ sin 5 sinC师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在厶ABC 中，已知BC=AAC=BAB=C,作厶ABC的外接圆,O为圆心，连结BO并延长交圆于B', 设B夕=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到ZBAB'=90°, ZC=ZB',sinC=siiiB - sin C = sinB'= ------ .2R :.= 2R .sinC同理，可得 ~^— = = 2R .sin/ sin 5sin A sin B sin C这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式a _b _ csin/ sin 5 sinC点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫. ［知识拓展］师接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一知识点体现边角关系呢？生向量的数量积的定义式A-B=\A\\B\Co^,^中9为两向量的夹角.师回答得很好，但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢？生可以通过三角函数的诱导公式sin0=Cos(9O°-6)进行转化.师这一转化产生了新角90。

高中数学 1.1 正弦定理(第2课时)教案苏教版必修5

第2课时正弦定理(2)(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)学会利用正弦定理解决有关平面几何问题以及判断三角形的形状，掌握化归与转化的数学思想；(2)能熟练运用正弦定理解斜三角形．2.过程与方法通过解斜三角形进一步巩固正弦定理，让学生总结本节课的内容．3．情感、态度与价值观(1)培养学生在方程思想指导下处理解斜三角形问题的运算能力；(2)培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力．●重点、难点重点：利用正弦定理判断三角形形状．难点：灵活利用正弦定理以及三角恒等变换公式．教学时要抓住知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合三角形中的边角关系，不断地观察、比较、分析，总结判断三角形形状的方法，揭示其中的规律．(教师用书独具)●教学建议本节内容安排在学生学习了正弦定理之后，是对正弦定理的应用和深化．因此，建议本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的应用”为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨．让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．●教学流程结合所提问题，引导学生在复习正弦定理内容的基础上探究正弦定理的各种变形形式.⇒引导学生结合已学三角形面积公式探究已知两边夹角时三角形的面积公式.⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第4页)在正弦定理的表达式中，asin A＝bsin B＝csin C，其中比值的几何意义是什么？探索并证明你的结论．【提示】比值是△ABC外接圆的直径，可先对直角三角形探索，并推广到一般三角形，其证明过程如下：若△ABC 为锐角三角形，如图所示，连结BD .∵A 与D 对应，∴A ＝D ，∴a sin A ＝b sin ∠ABC ＝c sin ∠ACB ＝asin D. 又∵a sin D ＝2R sin ∠DBC，∠DBC ＝90°，∴asin D ＝2R 1，∴a sin A ＝b sin ∠ABC ＝c sin ∠ACB＝2R .若△ABC 为钝角三角形，不妨设B ＞90°，如图所示，连结BD .∵A 与D 对应，∴A ＝D ，∴a sin A ＝b sin ∠ABC ＝c sin ∠ACB ＝asin D.又∵a sin D ＝2R sin ∠DBC ，∠DBC ＝90°，∴a sin D ＝2R 1，∴a sin A ＝b sin ∠ABC ＝c sin ∠ACB＝2R .正弦定理经常变形如下，以便于边角互化． (1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ； (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(3)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C； (4)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(5)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C.1．在△ABC 中，已知BC ＝a ，高AD ＝h ，如何计算△ABC 的面积S? 【提示】 S ＝12ah .2．在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，角C 已知，你能否求出△ABC 的面积？【提示】 ∵h ＝AD ＝b sin C ， ∴S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C .S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .(对应学生用书第4页)在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC ＝7，求△ABC的面积．【思路探究】画图，由图形可知，不能直接利用面积公式，应由正弦定理求出sin C ，从而求出sin B .【自主解答】由正弦定理，得7sin 120°＝5sin C ，∴sin C ＝5314，且C 为锐角，∴cos C ＝1114，∴sin B ＝sin (180°－120°－C )＝sin (60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B＝12×5×7×3314＝1534. 即△ABC 的面积为154 3.1．由于A ＞90°，所以B ，C 均为锐角，应避免对角C 分类讨论．2．利用两边一夹角公式求△ABC 的面积，应注意已知条件是否符合公式要求，即两边及它们的夹角，否则不能乱用．△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．【解析】由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，A ＝90°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.故△ABC 的面积是23或 3. 【答案】 23或 3在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b ＝a cos C ，试判定△ABC 的形状．【思路探究】利用正弦定理的变形，将边化为角，再利用三角形内角和定理及三角恒等变换进行转化．【自主解答】 ∵b ＝a cos C ，由正弦定理得sin B ＝sin A ·cos C . ∵B ＝π－(A ＋C )，∴sin(A ＋C )＝sin A ·cos C .即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A ·cos C ， ∴cos A sin C ＝0. ∵A 、C ∈(0，π)， ∴cos A ＝0，A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．1．确定三角形的形状主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边．2．确定三角形形状的思想方法：先将条件中的边角关系由正弦定理统一为角角或边边关系，再由三角变形或代数变形分解因式，判定形状．在变形过程中要注意等式两端的公因式不要约掉，应移项提取公因式，否则会有漏掉一种解的可能．若将条件“b＝a cos C”换为“b cos A＝a cos B”，试判断△ABC的形状．【解】∵b cos A＝a cos B，∴sin B cos A＝sin A cos B，∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝0，∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．台风中心位于某城市正东方向300 km 处，并以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250 km的范围内将会受其影响．如果台风风速不变，那么该城市在多长时间后开始受到台风的影响？这种影响将持续多长时间？(精确到0.1 h)【思路探究】本题实质上是三角形中已知两边和其中一边所对的角，解三角形问题．【自主解答】如图所示，该城市位于点A，台风中心点B在点A的正东方向300 km处，以40 km/h的速度向西北方向移动．设经过t1小时，该城市受到影响，经过t2小时，台风刚好离开，城市受影响的时间为t小时．则在△ABC 1中，AB ＝300 km ，AC 1＝250 km ，AC 2＝250 km ，BC 1＝40t 2 km ，B ＝45°，由正弦定理得AC 1sin B ＝AB sin ∠AC 1B ＝BC 1sin ∠C 1AB ，即sin ∠AC 1B ＝AB sin B AC 1＝352≈0.8485， ∴∠AC 1B ≈58.05°，∠AC 2B ≈121.95°.当∠AC 1B ≈58.05°时，∠C 1AB ＝180°－(B ＋∠AC 1B )≈76.95°，BC 1＝AC 1sin ∠C 1ABsin B≈344.42(km)，此时t 2＝BC 140≈8.6(h)．同理，当∠AC 2B ≈121.95°时，BC 2≈79.83(km)，t 1≈2.0(h)．t ＝t 2－t 1≈8.6－2.0＝6.6(h)．答：约2小时后该城市开始受到台风影响，持续时间约为6.6 h.1．解决正弦定理的实际应用问题的关键是根据题意将已知量置于可解的三角形中，通过正弦定理与其他知识解三角形后，根据实际问题得出结论．2．以三角形为数学模型求解实际问题时，要正确使用仰角，俯角，方位角，方向角等概念，依此得出相应的三角形内角的大小．甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B点处，测得乙船以每小时a海里的速度向正北行驶．已知甲船的速度是每小时3a海里，则甲船应如何航行才能最快地与乙船相遇？【解】如图所示，设这两船最快在C点相遇，在△ABC中，B＝120°，AB为定值，AC，BC分别是甲船与乙船在相同时间内的行程，由已知条件有AC∶BC＝3a∶a＝3∶1，由正弦定理得sin ∠CAB＝BCAC sin B＝13sin 120°＝12，又0°＜∠CAB＜60°，∴∠CAB＝30°.故甲船的航向是北偏东60°－∠CAB＝60°－30°＝30°.故甲船向北偏东30°的方向航行，才能最快地与乙船相遇．(对应学生用书第5页)判断三角形形状时忽略隐含条件而致误在△ABC中，(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．【错解】由已知得a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，所以2a2cos A sin B＝2b2cos B sin A.由正弦定理，得sin A sin B(sin A cos A－sin B cos B)＝0，所以sin 2A＝sin 2B.所以2A＝2B，即A＝B.所以△ABC为等腰三角形．【错因分析】解题过程中忽略角的范围这一限制条件，约分时应指出sin A≠0，sinB ≠0.同时由sin 2A ＝sin 2B 及角2A,2B 的范围应得出两种情况：2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.出现上述错误的主要原因就是三角函数的知识掌握得不扎实．【防范措施】在进行有关三角形内角的三角恒等变换时，先讨论角的范围，然后在所求范围内，由三角恒等式讨论角的关系．【正解】由(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，得a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]＝b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]，所以2a 2sin B cos A ＝2b 2sin A cos B .由正弦定理得sin 2A cos A sinB ＝sin 2B sin A cos B . 因为A ，B ∈(0，π)，所以sin A ＞0，sin B ＞0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B . 因为0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．1．基础知识： (1)三角形面积公式； (2)正弦定理的深化及变化． 2．基本技能： (1)求三角形的面积； (2)判断三角形形状；(3)正弦定理的综合应用与实际应用．3．思想方法：(1)转化与化归思想；(2)数学建模；(3)公式法求面积．(对应学生用书第6页)1．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B ＝________. 【解析】 sin A ∶sin B ＝a 2R ∶b2R＝a ∶b ＝5∶3. 【答案】 5∶32．已知△ABC 中，AB ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为________．【解析】由BC sin A ＝ABsin C ，得BC ＝6，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝9 3.【答案】 9 33．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________千米．【解析】如图所示，∠C ＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理AC sin B ＝ABsin C得AC ＝AB ·sin Bsin C ＝2×3222＝ 6. 【答案】64．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若a b ＝cos Bcos A，试判断△ABC的形状．【解】由正弦定理得a b ＝sin Asin B，所以，a b ＝cos B cos A ⇒sin A sin B ＝cos B cos A⇒sin A cos A＝sin B cos B ⇒sin 2A ＝sin 2B ⇒2A ＝2B 或2A ＝π－2B ⇒A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.(对应学生用书第80页)一、填空题1．(2013·岳阳高二检测)在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则A 、B 、C 分别所对边a ∶b ∶c ＝________.【解析】 a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4. 【答案】 3∶2∶42．(2013·无锡检测)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，∠A ＝60°，AC ＝23，S △ABC ＝92，则AB ＝________.【解析】 ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12AB ×23×32＝32AB ，∴32AB ＝92，∴AB ＝3. 【答案】 33．(2013·南通检测)在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin A cosC ＝sin B ，则ac＝________.【解析】 ∵2sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ∴sin A cos C －cos A sin C ＝0，∴sin(A －C )＝0.∴A ＝C ，∴ac＝1. 【答案】 14．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 一定是________三角形．【解析】 ∵a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2， ∴sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2， ∴sin A 2＝sin B 2＝sin C 2.∵0°＜A 2，B 2，C2＜90°，∴A 2＝B 2＝C2，∴A ＝B ＝C ，∴△ABC 为等边三角形．【答案】等边5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________. 【解析】 ∵a sin A ＝bsin B，∴sin B ＝b sin A a ＝33. ∵b ＜a ，∴B ＜A ，∴B 为锐角，∴cos B ＝63. 【答案】636．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(a 2，b 2)，n ＝(tan A ，tan B )，且m ∥n ，那么△ABC 一定是________三角形．【解析】 ∵m ∥n ，∴a 2tan B ＝b 2tan A ， ∴sin 2A tanB ＝sin 2B tan A ， ∴sin A cos B ＝sin Bcos A，∴sin 2A ＝sin 2B ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 是等腰或直角三角形．【答案】等腰或直角7．(2013·德州高二检测)△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．【解析】设最小角为α，则最大角为120°－α， ∴sin120°－αsin α＝3＋12，∴2sin(120°－α)＝(3＋1)sin α， ∴sin α＝cos α，∴α＝45°， ∴最大角为120°－45°＝75°. 【答案】 75°8．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则AC ＋AB 的取值范围是________．【解析】根据正弦定理，得AC ＝BC sin B sin A ＝23sin B ，AB ＝BC sin C sin A＝23sin C ，∴AC ＋AB ＝23(sin B ＋sin C ) ＝23[sin B ＋sin(2π3－B )]＝23(sin B ＋32cos B ＋12sin B ) ＝6sin(B ＋π6)．∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6， ∴12＜sin(B ＋π6)≤1， ∴3＜6sin(B ＋π6)≤6.∴AC ＋AB 的取值范围是(3,6]．【答案】 (3,6] 二、解答题9．(2013·如皋检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A＝45，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．【解】 (1)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝35×12＋45×32＝110(3＋43)．(2)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，∴a ＝b sin Asin B ＝3×3532＝65，∴S ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝93＋3650.10．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状．【解】 ∵A 、B 、C 是三角形的内角， ∴A ＝π－(B ＋C )， ∴sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C .∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， ∴sin(B －C )＝0.又∵0＜B ＜π，0＜C ＜π， ∴－π＜B －C ＜π，∴B ＝C . 又∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， (R 为△ABC 外接圆的半径) 可得a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角， ∴△ABC 是等腰直角三角形．11．在△ABC 中，若C ＝3B ，求cb的取值范围．【解】由正弦定理可知c b ＝sin C sin B ＝sin 3B sin B ＝sin B cos 2B ＋cos B sin 2B sin B＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1. 又因为A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ，故0°＜B ＜45°，22＜cos B ＜1，所以12＜cos 2B ＜1，所以1＜4cos 2B －1＜3，故1＜c b＜3.即c b的取值范围是(1,3)．(教师用书独具)在△ABC 中，求证a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.【思路探究】由正弦定理把等式左边统一为角的三角函数，通过三角变换证明．【证明】由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 左边＝2R sin A －2R sin C ·cos B 2R sin B －2R sin C ·cos A＝sin A －sin C ·cos Bsin B －sin C ·cos A＝sin B ＋C －sin C ·cos Bsin A ＋C －sin C ·cos A＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C －sin C ·cos Bsin A ·cos C ＋cos A ·sin C －sin C ·cos A＝sin B ·cos C sin A ·cos C ＝sin Bsin A＝右边．所以a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.如图所示，D 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点，且AB ＝AD ，记∠CAD ＝α，∠ABC ＝β.(1)求证sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC ＝3DC ，求β的值．【解】 (1)证明：因为AB ＝AD ，所以∠ADB ＝∠ABD ＝β. 又因为α＝π2－∠BAD ＝π2－(π－2β)＝2β－π2，所以sin α＝sin(2β－π2)＝－cos 2β，即sin α＋cos 2β＝0. (2)在△ADC 中，由正弦定理得 DC sin α＝ACsin ∠ADC ，即DC sin α＝ACsin π－β，即DCsin α＝3DCsin β，所以sin β＝3sin α.由(1)知sin α＝－cos 2β，所以sin β＝－3cos 2β＝－3(1－2sin 2β)，即23sin 2β－sin β－3＝0. 解得sin β＝32或sin β＝－33. 因为0＜β＜π2，所以sin β＝32，所以β＝π3.拓展三角形中的几个隐含条件1．A ＋B ＋C ＝π. 2．sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .4．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．5．在△ABC 中，sin A ＞sin B ⇔A ＞B ⇔a ＞b ；A ＞B ⇔cos A ＜cos B .。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.1.1 正弦定理》2

“正弦定理”教学设计顺昌一中张晨曦一、教学内容解析《正弦定理》是高中课程数学必修5第一章第一节内容，教学安排二个课时，本节为第一课时内容。

学生在初中已经学习了直角三角形的边角关系。

教师带领学生从已有知识出发，通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用观察-猜想-验证-发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。

课本按照从简原则和最近发展区原则，采用“作高法”证明了正弦定理。

教学过程中，为了发展学生思维，再引导学生从向量，作外接圆，三角形面积计算等角度找到证明的途径，让学生感受数学知识相互紧密联系的特点。

正弦定理是研究任意三角形边角之间关系的重要开端；用正弦定理解三角形，是典型的用代数的方法来解决的几何问题的类型；正弦定理作为三角形中的一个定理，在日常生活和工业生产中的应用又十分广泛。

因此，正弦定理的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。

二、学生学情分析正弦定理是学生在已经系统学习了平面几何，解直角三角形，三角函数，平面向量等知识基础上进行的。

虽然对于学生来说，有一定观察、分析、解决问题的能力，但正弦定理的发现，探索、证明还是有一定的难度，教师恰当引导调动学生学习主动性，注重前后知识间的联系，激起学生学习新知的兴趣和欲望，发现并探索正弦定理。

三、教学目标定位1、掌握正弦定理的内容及其证明方法；能用正弦定理解决一些简单的三角度量问题；2、让学生从已有的几何知识出发,探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、猜想、推导，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力。

3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现及探索过程，逐步学生培养探索精神和创新意识。

教学重点：正弦定理的探索与发现。

教学难点：正弦定理证明及简单应用。

四、教学策略“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。

基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，在教师的启发引导下，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，结合现代多媒体教学手段，通过观猜想—验证--发现--证明--应用等环节逐步得到深化，体验数学知识的内在联系，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，逐步培养学生探索精神和创新意识。