初二最短路径问题归纳
八年级数学最短路径题型归纳
八年级数学中的最短路径问题，通常涉及到几何图形中的点、线、面等元素，需要利用一些基本的几何知识和数学原理来求解。以下是一些常见的最短路径题型及其解题方法：
1.两点之间的最短距离：
题型描述：在平面上给定两点A和B，求A到B的最短距离。
解题方法：直接连接A和B，线段AB的长度即为最短距离。
2.点到直线的最短距离：
题型描述：在平面上给定一点P和一条直线l，求P到l的最短距离。
解题方法：作点P到直线l的垂线，垂足为Q，则PQ的长度即为最短距离。
3.直线到直线的最短距离：
题型描述：在平面上给定两条直线l1和l2，求l1到l2的最短距离。
解题方法：如果l1和l2平行，则它们之间的距离即为最短距离；如果l1和l2不平行，则作l1到l2的垂线，垂足所在的线段即为最短
4.点到圆的最短距离：
题型描述：在平面上给定一点P和一个圆O，求P到圆O的最短距离。
解题方法：如果点P在圆O内，则最短距离为P到圆心的距离减去圆的半径；如果点P在圆O外，则最短距离为P到圆心的距离；如果点P在圆O上，则最短距离为0。
5.圆到圆的最短距离：
题型描述：在平面上给定两个圆O1和O2，求O1到O2的最短距离。
解题方法：如果两圆外离，则它们之间的最短距离为两圆的半径之和；如果两圆外切，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差；如果两圆相交或内切，则它们之间的最短距离为0；如果两圆内含，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差减去两圆半径之和的绝对值。
6.多边形内的最短路径：
题型描述：在一个多边形内给定两个点A和B，求A到B的最短
解题方法：通常需要将多边形划分为多个三角形，然后利用三角形内的最短路径（即连接两点的线段）来求解。
八年级最短路径问题归纳
八年级最短路径问题归纳
最短路径问题是图论中的一个经典问题，也是计算机科学中的重要研究领域之一。在八年级的学习中，我们也会接触到最短路径问题，并且通过一些简单的算法来解决这个问题。本文将对八年级最短路径问题进行归纳总结，希望能够帮助大家更好地理解和应用这个问题。
一、最短路径问题的定义
最短路径问题是指在一个给定的图中，找出两个顶点之间的最短路径，即路径上的边权之和最小。其中，图由顶点和边组成，顶点表示路径中的点，边表示路径中的通路或连接。
二、最短路径问题的应用
最短路径问题在生活中有着广泛的应用，比如导航系统中的最短路径规划、货物运输中的最短路径选择等等。通过寻找最短路径，可以帮助我们节省时间和资源，提高效率。
三、最短路径问题的解决方法
1. 迪杰斯特拉算法
迪杰斯特拉算法是解决最短路径问题的一种常用算法。该算法通过不断更新起点到各个顶点的最短路径，直到找到终点的最短路径为
止。迪杰斯特拉算法的具体步骤如下：
- 初始化起点到各个顶点的距离为无穷大，起点到自身的距离为0；- 选择一个未访问的顶点，更新起点到其他顶点的距离；
- 重复上述步骤，直到找到终点的最短路径或所有顶点都被访问过。
2. 弗洛伊德算法
弗洛伊德算法是解决最短路径问题的另一种常用算法。该算法通过不断更新任意两个顶点之间的最短路径，直到更新完所有顶点对之间的最短路径为止。弗洛伊德算法的具体步骤如下：
- 初始化任意两个顶点之间的距离，如果两个顶点之间有直接的边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大；
- 选择一个顶点作为中转点，更新任意两个顶点之间的距离；
初中数学常考的最短路径13种模型，都给你准备好了，请查收！
初中数学常考的最短路径13种模型，都给你准备好了，请查
收！
问题概述：最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始
结点，求最短路径的问题
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点
的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短
路径的问题
③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知
起点和终点，求两结点之间的最短路径
④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短
路径
问题原型：“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”。
涉及知识：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。
出题背景：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题思路：找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
八上数学最短路径问题知识点
八上数学最短路径问题知识点
八上数学中的最短路径问题是一个经典的问题，它涉及到多种方法和知识点。以下是该问题的总结：
知识点1：线段和角的表示方法
解决最短路径问题需要先掌握线段和角的表示方法。线段用两个端点表示，如线段AB，而角则用顶点表示，如∠AOB。
知识点2：线段和角的基本性质
线段的基本性质包括两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边。角的基本性质包括角平分线上的点到角两边的距离相等和三角形内角和为180度。这些性质在解决最短路径问题时非常重要。知识点3：轴对称和镜像对称
轴对称和镜像对称是解决最短路径问题的两个重要概念。通过轴对称或镜像对称，可以将图形转化为更简单的形状，从而更容易找到最短路径。
知识点4：勾股定理
勾股定理是一个经典的几何定理，它可以用来解决与直角三角形有关的几何问题。在最短路径问题中，勾股定理可以用来计算两点之间直线的距离，从而得到最短路径的长度。
知识点5：三角形的稳定性
三角形的稳定性是指三角形具有稳定的结构，它可以用来解决一些与固定长度线段有关的最短路径问题。通过将问题转化为三角形问题，可以更容易地找到最短路径。
知识点6：将军饮马问题
将军饮马问题是一个经典的数学问题，它涉及到最短路径和对称性。在最短路径问题中，将军饮马问题可以用来解决一类特殊的几何最短路径问题。通过找到两个对称点，可以很容易地找到最短路径。知识点7：平移、旋转和反射
平移、旋转和反射是解决最短路径问题的三种重要变换。通过这些变换，可以将图形转化为更简单的形状，从而更容易找到最短路径。知识点8：代数方法求解最短路径
最短路径问题归纳总结
八年级数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．
【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．
作直线AB ，与直线l 的交
点即为P ．
三角形任意两边之差小于
第三边．PB PA -≤AB ．
PB PA -的最大值＝AB ．
【问题11】 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．
作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即
为P ．
三角形任意两边之差小于
第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．
【问题12】“费马点” 作法
图形 原理
△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．
所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠
【初二】最短路径问题归纳
最短路径问题专题学习【基本问题】
一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使
AM +MN +NB 的值最小．
【问题9】 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小．
连AB ，作AB 的中垂线与
直线l 的交点即为P ．
垂直平分上的点到线段两
端点的距离相等．
PB PA -＝0．
【问题10】 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．
作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即
为P ．
三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．
【精品练习】
1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
A ．3．6 C ．3 D 6
2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、
CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ）
A ．2
B ．32
C ．32+
D ．4
l
B
A
l A
B
D
E
A
B
C A
D
E
P
B C
D
A
M
A
B
M
N
3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小 时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）
A ．120°
B ．130°
C ．110°
D ．140°
4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠
(完整版)八年级最短路径问题归纳小结.doc
八年级数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址” ，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短” ，“三角形三边关系”，“轴对称” ，“平移”．
【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
【十二个基本问题】
【问题1】作法图形原理
A A
l
连 AB，与 l 交点即为 P．P
l
两点之间线段最短．
B PA+PB 最小值为 AB．
B
在直线 l 上求一点P，使
PA+PB 值最小．
【问题 2】“将军饮马”作法图形原理
A A
B 作 B 关于 l 的对称点 B＇ B 两点之间线段最短．
l
连 A B ＇，与 l 交点即为 P．l PA+PB 最小值为 A B＇．
P
在直线 l 上求一点P，使
B'
PA+PB 值最小．
【问题3】作法图形原理
l 1 P' l
1
P
分别作点 P 关于两直线的
M
两点之间线段最短．对称点 P＇和 P＇，连 P＇P＇，PM +MN +PN 的最小值为l2 P
在直线 l1、 l 2上分别求点与两直线交点即为 M， N．
初中最短路径问题7种类型
初中最短路径问题7种类型
初中最短路径问题7种类型
最短路径问题是离散数学中一个重要的研究领域，其应用广泛，包括交通路线规划、网络优化等。对于初中学生来说，了解和掌握最短路径问题，有助于培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。下面将介绍初中最短路径问题的七种类型。
1. 单源最短路径问题
单源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，从一个确定的源点出发，求到其他所有顶点的最短路径。这个问题可以通过使用迪杰斯特拉算法或贝尔曼-福特算法来求解。通过学习和理解这些算法，学生可以逐步掌握寻找最短路径的基本方法。
2. 多源最短路径问题
多源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，求任意两个顶点之间的最短路径。这个问题可以通过使用佛洛依德算法来解决。学生可以通过了解和实践佛洛依德算法，掌握多源最短路径问题的求解方法。
3. 无权图最短路径问题
无权图最短路径问题是指在一个无向无权图中，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。这个问题可以通过使用广度优先搜索算法来解决。学生可以通过学习广度优先搜索算法，了解和掌握无权图最短路
径问题的解决方法。
4. 具有负权边的最短路径问题
具有负权边的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，存在负权边，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法来解决。学生可以通过了解和实践贝尔曼-福特算法，理解和应用具有负权边的最短路径问题。
5. 具有负权环的最短路径问题
具有负权环的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，存在负权环，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法的改进版来解决。学生可以通过学习和理解贝尔曼-福特算法的改进版，解决具有负权环的最短路径问题。
(完整版)初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．
【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．
作直线AB ，与直线l 的交
点即为P ．
三角形任意两边之差小于
第三边．PB PA -≤AB ．
PB PA -的最大值＝AB ．
【问题11】 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．
作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即
为P ．
三角形任意两边之差小于
第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．
【问题12】“费马点” 作法
图形 原理
△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．
所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠
初中最短路径问题总结
初中最短路径问题总结
初中最短路径问题是指在一个带权重的图中，寻找两个顶点之间的最短路径。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，比如在交通运输领域中寻找最短路径可以帮助我们规划最优的行车路线，提高交通效率。在通信网络中，最短路径算法也可以帮助我们找到数据传输的最佳路径，提高网络的传输速度。因此，了解和掌握最短路径算法对于初中生来说是非常重要的。
首先，我们来介绍最短路径算法中的两种经典算法，Dijkstra算法和Floyd算法。
Dijkstra算法是一种用于解决带权重图中单源最短路径问题的算法。它的基本
思想是从起始顶点开始，逐步扩展到所有顶点，每次选择当前距离起始顶点最近的顶点进行扩展，直到扩展到目标顶点为止。Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，
其中V为顶点数。
Floyd算法是一种用于解决带权重图中多源最短路径问题的算法。它的基本思
想是利用动态规划的思想，逐步更新顶点之间的最短路径长度，直到得到所有顶点之间的最短路径。Floyd算法的时间复杂度为O(V^3)。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题场景来选择合适的最短路径算法。如
果是单源最短路径问题，可以选择Dijkstra算法；如果是多源最短路径问题，可以
选择Floyd算法。
除了Dijkstra算法和Floyd算法，还有一些其他的最短路径算法，比如
Bellman-Ford算法、SPFA算法等。这些算法在不同的场景下都有着各自的优势和
局限性，需要根据具体的问题来选择合适的算法。
在解决最短路径问题时，我们需要注意一些常见的问题，比如负权边、负权环等。负权边指的是图中存在权重为负数的边，而负权环指的是图中存在环路，使得环路上的边权重之和为负数。这些情况会对最短路径算法造成影响，需要特殊处理。
八年级数学最短路径问题知识点
八年级数学最短路径问题知识点
教学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最瀛路径.算法具体的形式包括：
E确定起点的最短路径问题■即已知起始结点，求最短路径的问题.
②确定终点的最短路径问题•与确定包点的问题相反，该问题是已知终结结点,求最短路径的问题，
③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.
④全局最短路径问题-求图中所有的最理路径.
【问题原型】“将军饮马北"造桥选址）〃费马点
【涉及知识「俩点之间线段最短”「,垂线段最短1 “三角形三边关系,"轴对称，“平移二
【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等，
【解题思路】我对称点实现“折”转"直北近两年出现三折线”转“直”等变式问题考查.
【例题及解析】
例1 如图1,在直角梯形ABCD 中,ZABC=90°, AD〃BC, AD=4, AB=5, BC=6, 点P
是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时，PB的长为（）
(A)l (B)2 (C)2.5 (D)3
分析此题首先要确定P点的位看可以延长CB （或DA）的一倍，即CB=BM,再连接MD
交AB于点P（大家可以思考一下P点的正确性与合理性一可运用两点之间，线段最短
这一性质）.我们可以通过AMPBS/WPA,从而求出PB的长，故选D.
例2如图2, AABC礼AB=AC=13, BC=10, AD是BC边上的中线，F为AD上的动点，E 为AC边上的动点，则CE+EF的最小值为
八年级最短路径问题归纳小结
【精品练习】
1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有
一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
A
． B
． C ．3 D
2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2
B ．32
C ．32
D ．4
3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）
A ．120°
B ．130°
C ．110°
D ．140°
4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．
5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合）， 且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．
6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，
D
E
A
B
C
A
D
E
P
B C
B
N
即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）
初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．
【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．
作直线AB ，与直线l 的交
点即为P ．
三角形任意两边之差小于
第三边．PB PA -≤AB ．
PB PA -的最大值＝AB ．
【问题11】 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．
作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即
为P ．
三角形任意两边之差小于
第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．
【问题12】“费马点” 作法
图形 原理
△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．
所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠
【初二】最短路径问题归纳
最短路径问题专题学习
(
【问题10】 作法
图形 原理
】
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．
作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．
三角形任意两边之差小于
第三边．PB PA -≤AB ＇．
PB PA -最大值＝AB ＇．
【精品练习】
1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
A ．23
B ．6
C ．3
D 6
2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ）
A ．2
B ．32
C ．32+
D ．4
。
3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小 时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）
A ．120°
B ．130°
C ．110°
D ．140°
4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD
和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．
5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重
l A
B
D
E
A
B
C A
D ~
E P
B C
D
A
M
A
B
M
N
第2题 第3题 第4题 第5题
合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．
(完整word版)【初二】最短路径问题归纳.doc
最短路径问题专题学习
【基本问题】
【问题1】作法图形原理A
l
连 AB，与 l 交点即为 P．
两点之间线段最短．
B PA+PB 最小值为 AB．在直线 l 上求一点P，使
PA+PB 值最小．
【问题 2】“将军饮马”作法图形原理A
B
作 B 关于 l 的对称点B＇
l
连 A B ＇，与 l 交点即为P．在直线l 上求一点P，使
PA+PB 值最小．
两点之间线段最短．
PA+PB 最小值为 A B＇．
【问题 3】作法图形原理l 1
P
分别作点P 关于两直线的两点之间线段最短．
对称点 P＇和 P＇，连 P＇P＇，PM +MN +PN 的最小值为l2
M， N．线段 P＇P＇＇的长．与两直线交点即为
在直线 l1、 l 2上分别求点
M 、 N，使△ PMN 的周长
最小．
【问题 4】作法图形原理l 1
Q
分别作点 Q 、P 关于直线
P 两点之间线段最短．
l 1、 l 2的对称点Q＇和P＇
l2 四边形 PQMN 周长的最小
连 Q＇P＇，与两直线交点即
值为线段P＇P＇＇的长．在直线 l1、 l 2上分别求点为 M ， N．
M 、 N ，使四边形PQMN
的周长最小．
【问题 5】“造桥选址”作法图形原理A
M m 将点 A 向下平移 MN 的长
n 度单位得 A＇，连 A＇B，交 n
N
于点 N，过 N 作 NM ⊥ m 于
B
直线 m ∥ n ，在 m 、 n ，M ．
上分别求点M 、N，使 MN
两点之间线段最短．AM +MN +BN 的最小值为A＇B+MN ．
值最小．
【问题 6】
A
B
l
M a N
在直线 l 上求两点M、N（M 在左），使 MN a ，并使AM + MN+ NB 的值最小．
八年级最短路径问题归纳小结
八年级数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研讨中的一个经典算法问题, 旨在查找图（由结点和路径构成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的情势包含：
①肯定起点的最短路径问题 - 即已知肇端结点,求最短路径的问题．
②肯定终点的最短路径问题 - 与肯定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题．
③肯定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”,“造桥选址”,“费马点”．
【涉及常识】“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“三角形三边关系”,“轴对称”,“平移”．
【出题布景】角.三角形.菱形.矩形.正方形.梯形.圆.坐标轴.抛物线等．【解题思绪】找对称点实现“折”转“直”,近两年消失“三折线”转“直”等变式问题考核．
【十二个根本问题】
1．如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形
A D
P
E
ABCD 内,在对角线AC 上有一点P ,使PD +PE 的和最小,则这个最小值为
（ ）
A ．23
B ．26
C ．3
D ．6
2．如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠ABC ＝60°,若将△ACD 绕点A 扭转,当AC ′.AD ′分离与BC .CD 交于点E .F ,则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2B ．32
C ．32+
D ．4
3．四边形ABCD 中,∠B ＝∠D ＝90°,∠C ＝70°,在BC .CD 上分离找一点M .N ,
使△AMN 的周长最小时,∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）
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初二最短路径问题归纳 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
最短路径问题专题学习【基本问题】
m n
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小．
【问题10】
作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．
作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为
P ．
三角形任意两边之
差小于第三边．PB PA -≤
AB ＇．
PB PA -最大值＝
AB ＇．
【精品练习】
1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD
内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（
） A ．23．6 C ．3 D 6
2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当
AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ）
A ．2
B ．32
C ．32+
D ．4
3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小
时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）
l A
B
D
E
A
B
C A
D
E P
B
C
D
A
M
A
B
M
N
第2题 第3题 第4
A ．120
° B ．130° C ．110° D ．140° 4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4
2
，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，
M 、N 分别是AD
和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．
5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重
合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．
6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分
别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．
7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为
B (36，0)．
OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值
是______．
8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最
小值为 ，
此时 C 、D 两点的坐标分别为 ．
9．已知A （1，1）、B （4，2）．
y
x
B
O
A y
x
B
A
O
第6题 第
（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；
（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；
（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；
10．点C 为∠AOB 内一点．
（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形； （2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．