CP080-常微分方程解
常微分方程的初等解法与求解技巧
师大学本科毕业论文（设计）常微分方程的初等解法与求解技巧姓名娟院系数学与计算机科学学院专业信息与计算科学班级12510201学号1251020126指导教师王晓锋答辩日期成绩常微分方程的初等解法与求解技巧容摘要常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.【Key Words】the separation of variables the first order implicitdifferential equation integrating factor solution techniques目录1.引论 ............................... 1 2.变量分离方程与变量变换 . (1)2.1变量分离方程的解法 ....................... 1 2.2变量分离方程的举例 ....................... 2 2.3变量分离方程的几种类型 (2)3.线性微分方程和常数变易法 (6)3.1线性微分方程与常数变易法 .................... 6 3.2伯努利微分方程 . (8)4.恰当微分方程与积分因子 (9)4.1恰当微分方程 .......................... 9 4.2积分因子 (11)5.一阶隐式微分方程与参数表示 (13)5.1一阶隐式微分方程的主要类型 (13)6.常微分方程的若干求解技巧 (18)6.1将一阶微分方程dxdy变为dy dx 的形式 (18)6.2分项组合 (19)6.3积分因子的选择 (20)7.总结 .............................. 21 参考文献 ..................... 错误!未定义书签。
常微分方程的解的解析法
常微分方程的解的解析法一、引言在数学领域中，常微分方程是一个重要的分支。
因为它可以被用来描述一系列的物理过程，如自然增长、衰变、震荡等等。
而为了理解这些现象，需要研究常微分方程的解法。
在这篇文章中，我们将会探讨常微分方程的解的解析法。
二、常微分方程常微分方程是指只含有一个自变量的函数和它的一阶或高阶导数的方程。
例如以下的方程：y' = f(x, y)y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)其中y是自变量x的函数，f, p, q, g都是已知的函数。
在数学上，我们关注的是如何求出y的解析解。
三、解析解解析解指通过代数式或者特殊函数表示的y的解。
求解解析解有许多的方法，下面将介绍二阶线性方程的解法：四、二阶线性方程解析解对于下列形式的二阶线性常微分方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0其中p(x)和q(x)都是函数。
我们假设存在y1(x)和y2(x)为它的两个线性无关解。
那么我们有以下几个定理：定理1：齐次线性方程的通解是其任意两个解的线性组合。
定理2：如果y1(x)和y2(x)是二阶线性方程的两个解，并且它们不成比例，那么它们的Wronskian不为零，则任何一个二阶线性方程的解都可以表示成它们的线性组合。
现在，我们通过一个例子来理解上述定理：例1：y'' + y = 0此时，p(x) = 0，q(x) = 1。
我们通过试解法得到两个解：y1(x) = sin(x), y2(x) = cos(x)由于Wronskian为：W[y1, y2](x) = | sin(x) cos(x) || cos(x) -sin(x) |因此非零。
我们可以通过上述定理得到该方程通解为：y(x) = c1 sin(x) + c2 cos(x)其中c1, c2为任意常数。
因此，我们求得了上述二阶线性方程的析解解。
五、总结到目前为止，我们已经介绍了如何求解二阶线性常微分方程的解析解。
常微分方程组的解法
常微分方程组的解法常微分方程组是由多个关于未知函数及其导数的方程组成的方程组，它是数学中的重要研究对象。
常微分方程组的解法可以分为解析解法和数值解法两种。
解析解法是指通过数学方法求出常微分方程组的解析表达式。
常微分方程组的解析解法主要包括分离变量法、一阶线性方程法、变量代换法、常数变易法、特殊函数法等。
其中，分离变量法是指将常微分方程组中的各个变量分离出来，然后对每个变量分别积分，最后得到常微分方程组的解析解。
一阶线性方程法是指将常微分方程组转化为一阶线性方程，然后通过求解一阶线性方程来得到常微分方程组的解析解。
变量代换法是指通过合适的变量代换将常微分方程组转化为更简单的形式，然后通过求解简化后的方程组得到常微分方程组的解析解。
常数变易法是指将常微分方程组中的常数作为未知量，然后通过求解常数得到常微分方程组的解析解。
特殊函数法是指通过特殊函数的性质求解常微分方程组，如指数函数、三角函数等。
数值解法是指通过计算机数值计算的方法求出常微分方程组的数值解。
常微分方程组的数值解法主要包括欧拉法、龙格-库塔法、变步长法等。
其中，欧拉法是一种简单的数值解法，它的基本思想是将常微分方程组的解曲线上的点离散化为一系列点，然后通过计算机逐步求解得到常微分方程组的数值解。
龙格-库塔法是一种高阶数值解法，它通过计算机采用多个不同的计算公式来逼近常微分方程组的解曲线，从而得到更为准确的数值解。
变步长法是一种自适应数值解法，它通过计算机根据误差大小自动调整步长大小，从而得到更为准确的数值解。
常微分方程组的解法包括解析解法和数值解法两种，每种方法都有其适用的范围和优缺点。
在实际应用中，需要根据具体问题的性质和求解要求选择合适的解法来求解常微分方程组。
08常微分方程数值解法(工程数学)
k2为 x i + ph 点处的切线斜率值,对照改进的欧拉 法,将
x i + p 视为 x i +1，即可得 k 2 = f ( x i + ph, y i + phk1 )
21
对常微分方程初值问题的解 y=y(x),根据微分中值定 理，存在点 ξ ∈ ( x i , x i + 1 ) ，使得
0.96 0.8523 0.7003 0.5325 0.3750
0.9616 0.8549 0.7025 0.5327 0.3725
0.9615 0.8549 0.7022 0.5327 0.3730
0.9608 0.8521 0.6977 0.5273 0.3679
3.1、龙格-库塔法
考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合 来构造近似公式，构造时要求近似公式在(xi,yi)处的 Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面几项 重合，从而使近似公式达到所需要的阶数。既避免求偏 导,又提高了计算方法精度的阶数。或者说,在[xi,xi+1]这 一步内多预报几个点的斜率值，然后将其加权平均作为 平均斜率，则可构造出更高精度的计算格式，这就是龙 格—库塔（Runge-Kutta）法的基本思想。
20
1 二阶龙格—库塔法 在 [x , x ] 上取两点xi和 xi+ p = xi + ph,以该两点处
i i +1
的斜率值k1和k2的加权平均(或称为线性组合)来求取 平均斜率k*的近似值K，即
K = λ 1k 1 + λ 2k 2
式中:k1为xi点处的切线斜率值，k = f ( x , y ) = y ′ ( x )
常微分方程数值解实验报告
常微分方程数值解实验报告实验报告：常微分方程数值解1.引言常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学领域中一个重要的研究对象，涉及到许多自然科学和工程技术领域的问题。
解常微分方程的数值方法是一种求解差分方程的方法，通过计算机找到方程的近似解，对于模拟和预测连续过程非常有用。
本实验旨在通过数值解法，验证和应用常微分方程的解，并比较不同数值方法的精度和效率。
2.实验目的2.1理解常微分方程的基本概念和数值解法；2.2掌握将常微分方程转化为数值求解问题的基本方法；2.3运用数值解法求解常微分方程；2.4比较不同数值解法的精度和效率。
3.实验内容3.1 欧拉方法（Euler Method）给定一个一阶常微分方程dy/dx=f(x,y)，通过将其离散为差分形式，欧拉方法可以通过以下递推公式来求解：y_{n+1}=y_n+h*f(x_n,y_n)其中，h为步长，x_n和y_n为当前的x和y值。
3.2 改进的欧拉方法（Improved Euler Method）改进的欧拉方法使用欧拉方法的斜率的平均值来估计每一步中的斜率。
具体公式如下：k1=f(x_n,y_n)k2=f(x_n+h,y_n+h*k1)y_{n+1}=y_n+h*((k1+k2)/2)3.3 二阶龙格-库塔法（Second-order Runge-Kutta Method）二阶龙格-库塔法通过计算每个步骤中的两个斜率来估计每个步长中的斜率。
具体公式如下：k1=f(x_n,y_n)k2=f(x_n+h/2,y_n+(h/2)*k1)y_{n+1}=y_n+h*k24.实验步骤4.1选取常微分方程，并将其转化为数值求解问题的形式；4.2根据给定的初始条件和步长，使用欧拉方法、改进的欧拉方法和二阶龙格-库塔法求解该方程；4.3比较三种方法的数值解与理论解的差异，并分析其精度和效率；4.4尝试不同的步长，观察相应的数值解的变化。
常微分方程解法总结
常微分方程解法总结引言在数学领域中，常微分方程是一类以函数与其导数之间关系为描述对象的方程。
它广泛应用于物理、化学、生物等自然科学的建模和解决问题中。
常微分方程的求解有许多方法，本文将对其中一些常见的解法进行总结和讨论。
一、分离变量法分离变量法是求解常微分方程中常用的一种方法。
它的基本思想是将方程中的变量分离，将含有未知函数的项移到方程的一侧，含有自变量的项移到方程的另一侧，然后对两边同时积分，从而得到最终的解析解。
例如，考虑一阶常微分方程dy/dx = f(x)g(y)，可以将此方程改写为1/g(y)dy = f(x)dx，然后对两边同时积分得到∫1/g(y)dy =∫f(x)dx。
在对两边积分后，通过求解不定积分得到y的解析表达式。
二、常系数线性齐次微分方程常系数线性齐次微分方程是另一类常见的常微分方程。
它具有形如dy/dx + ay = 0的标准形式，其中a为常数。
这类方程的解法基于线性代数中的特征值和特征向量理论。
对于形如dy/dx + ay = 0的一阶常微分方程，可以假设其解具有形式y = e^(rx)，其中r为待定常数。
带入方程，解得a的值为r，于是解的通解即为y = Ce^(rx)，其中C为任意常数。
通过特定的初值条件，可以确定常数C的值，得到方程的特解。
三、变量分离法变量分离法是一种适用于某些特殊形式常微分方程的解法。
其基本思想是将方程中的变量进行适当的变换，从而将方程化为分离变量的形式。
例如，考虑一阶非齐次线性微分方程dy/dx = f(x)/g(y)，其中f(x)和g(y)为已知函数。
通常情况下，变量分离法需要对方程变形，将含有未知函数和自变量的项进行合并处理。
假设存在一个新的变量z(x) = g(y)，则dy/dx = (dy/dz)*(dz/dx) = (1/g'(y))*(dz/dx)。
将dy/dx和f(x)分别代入原方程，进而可以求得dz/dx。
对dz/dx进行积分后，可以得到z(x)的解析表达式。
常微分方程中的初值问题及解析解的求解
常微分方程中的初值问题及解析解的求解常微分方程是数学中重要的一个分支，它研究的是一类关于未知函数及其派生函数的方程。
其中，初值问题是求解常微分方程的一种基本方法，通过给定初始条件，计算出函数在这个初始点上的值，并逐步推算出函数在逐渐逼近所求解点上的值。
解析解是指能够通过代数或函数的方式得到的函数表达式或公式，它在常微分方程中起着重要的作用。
本文将通过详细的论述，探讨常微分方程中的初值问题及解析解的求解方法。
一、初值问题1.什么是初值问题初值问题是指，给定一个常微分方程及其初始条件，求该方程在初始点上的解，即求解函数在一个点的值。
通常，初值问题可以表示为：y' = f(x, y), y(x0) = y0其中，y'表示关于x的导数，f(x,y)表示一般的函数表达式，y(x0)表示在x0这一点上，函数y的值为y0。
2.求解初值问题的方法为了求解常微分方程的初值问题，我们需要利用数值方法和解析方法两种基本的求解方法。
数值方法是通过数值计算得出函数的数值近似解，它可以在一定程度上解决一些复杂的常微分方程。
具体来看，数值方法通常采用数值迭代等一系列计算方法，将x值串联起来，以近似解代替函数的实际值。
解析方法是指利用已知的数学方法求解常微分方程的解析解。
解析方法适合于求解简单的常微分方程。
解析解的求解通常渐近地得到表达式，这些表达式能够明确地刻画出注重解析的科学问题。
二、解析解的求解1. 一阶微分方程的求解对于一阶线性微分方程，可以采用分离变量的方法求解。
常见的分离变量方法表示为：dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)，g(y)都是与x 和y有关的函数，两边同时积分，就得到：∫1/g(y)dy = ∫f(x)dx有时，可以将一阶微分方程变形为某种特定的方程，从而得到解析解。
2. 二阶微分方程的求解二阶微分方程最常见的形式为y'' + p(x)y' + q(x)y = 0。
常微分方程数值解-PPT精品文档
称为局部截断误 差。显然，这个 y ( x ) y ( x ) h 误差在逐步计算 n 1 n y ' ( x ) y ' ' ( ) n n 过程中会传播， h 2 积累。因此还要 y ( x ) y ( x ) h n 1 n f ( x , y ( x )) y ' ' ( ) 估计这种积累 n n n h 2
对于一个常微分方程：
9.1 Euler方法
dy y ' f( x ,y ), x [ a , b ] dx 通常会有无穷个解。如：
dy cos( x ) y sin( x ) a , a R dx 因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出， 如下面的初值问题： dy f (x , y) , x [a ,b ] dx )y 0 y(a 为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y 满足Lipschitz条件：
求 y ( x ) 在 x i 上的近似值
y i 。 { y i } 称为分割 I
上的格点函数
我们的目的，就是求这个格点函数
② 由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足： A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容 ③ 解差分方程，求出格点函数
数值方法，主要研究步骤②，即如何建立差分方程，并研究 差分方程的性质。
x0
x1
y i 1 y i h f ( x i 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , n 1)
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故 称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。 一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。
大学数学常微分方程的解法与应用
大学数学常微分方程的解法与应用数学在科学研究和工程应用中起着重要的作用，而微分方程则是数学中的一大分支。
大学数学常微分方程是数学专业必修课程之一，它研究的是未知函数的导数与自变量之间的关系。
本文将介绍常微分方程的解法及其在实际问题中的应用。
一、常微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是常微分方程求解中最常用的方法之一。
它适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程。
具体步骤如下：（1）将方程中的含有y和x的项分别放在一边，得到dy/g(y) =f(x)dx。
（2）对方程两边同时积分，得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx。
（3）对积分后的表达式进行求解，得到y的解析表达式。
以一个简单的例子来说明分离变量法的应用。
考虑方程dy/dx = x/y，我们可以将方程改写为ydy = xdx，然后对方程两边同时积分，得到∫ydy = ∫xdx，最后求解得到y^2 = x^2 + C。
2. 常系数齐次线性微分方程的解法常系数齐次线性微分方程指的是形如dy/dx + ay = 0的一阶微分方程，其中a为常数。
对于这类微分方程，我们可以使用特征方程法来求解。
具体步骤如下：（1）将方程改写为dy/y = -adx。
（2）对方程两边同时积分，得到∫dy/y = ∫-adx。
（3）求解积分后的表达式，得到y的解析表达式。
例如，考虑方程dy/dx + 2y = 0，我们可以将方程改写为dy/y = -2dx，然后对方程两边同时积分，得到∫dy/y = -2∫dx，最后求解得到y = Ce^(-2x)，其中C为常数。
二、常微分方程的应用1. 物理学中的应用常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
例如，牛顿第二定律F=ma可以通过微分方程来描述。
考虑一个质点在平面上运动，其速度为v(t)，则根据牛顿第二定律，我们可以得到质点的运动方程mdv/dt = F，其中m为质量，F为合力。
这个方程可以化简为一阶微分方程，进而求解得到速度随时间的变化规律。
常微分方程求解过程
常微分方程求解过程嘿，朋友们！今天咱来聊聊常微分方程求解过程这档子事儿。
你说这常微分方程啊，就像是个调皮的小精灵，藏在那一堆数学符号和式子里面，等着我们去把它给揪出来。
求解常微分方程，就好比是一场刺激的探险。
咱得先观察它的模样，看看它是个啥性格。
有的方程简单直接，一眼就能看穿；可有的呢，就像那雾里看花，得费点心思。
比如说，有些方程可以用分离变量法来解决。
就好像把一个大拼图分成小块，然后一块块地拼起来。
把变量分离开，各自求解，最后再合到一块儿，嘿，答案就出来啦！还有那常数变易法，就像是给方程穿上了一件特别的衣服，让它变得不一样了，然后就能找到新的解法。
有时候啊，还得用到积分因子。
这积分因子就像是一把神奇的钥匙，能打开那些看似紧闭的大门，让我们顺利地找到答案。
咱举个例子吧，就说那个简单的一阶线性常微分方程。
哎呀，一开始看着它可能觉得有点头疼，可一旦找到方法，那就像找到了通关密码一样。
求解的过程中，可不能马虎大意。
就跟走迷宫似的，一步错了，可能就绕不出来啦！得细心，得耐心，就跟绣花似的。
咱再想想，这常微分方程在生活中也有好多类似的情况呢！好比我们解决一个难题，得一步一步来，找对方法，不能瞎碰乱撞。
那复杂的方程就像生活中的大挑战，看着难，可只要我们鼓起勇气，认真钻研，总能找到解决的办法。
而且啊，在求解常微分方程的过程中，还能培养我们的思维能力呢！让我们学会怎么去分析问题，怎么去寻找线索，这不就是在锻炼我们的大脑嘛！所以说啊，别小瞧了这常微分方程求解过程。
它可不只是一堆数学式子，它里面藏着好多智慧和乐趣呢！朋友们，好好去探索吧，说不定你就能在这个奇妙的数学世界里发现好多惊喜呢！总之，常微分方程求解过程就是这么一个充满挑战又有趣的事情。
只要我们用心去对待，就一定能在其中找到属于我们自己的精彩！。
常微分方程常见形式及解法
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
[答案] C
[题组冲关]
1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
B．铁路运输
C．轮船运输
常微分方程 毕文彬
4
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
常微分方程 毕文彬
5
01一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： 对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值
常微分方程 毕文彬
6
02二阶常系数齐次常微分方程
齐次二阶线性微分方程：
描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：
非齐次一阶非线性微分方程：
描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
常微分方程 毕文彬
3
微分方程的解
微分方程的解通常是一个函数表达式（含一 个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如： dy/dx=sinx， 的解是 y=-cosx+C， 其中C是待定常数； 例如，如果知道 y=f(π)=2， 则可推出 C=1， 而可知 y=-cosx+1，
出口价格同步变动的现象。与这一现象直接相关的近代事
业是
()
A．电报业
B．大众报业
C．铁路交通业 D．轮船航运业
[解析] 材料主要反映了信息交流的快捷，故选A。
[答案]A
[题组冲关]
常微分方程的解法及其应用
常微分方程的解法及其应用在物理学、工程学、经济学等领域的建模和分析中，常微分方程的解法和应用具有重要的意义。
本文将介绍一些基本的常微分方程的解法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指只包含一个自变量和它的一阶或高阶导数的方程。
例如，y''+2y'+y=0就是一个二阶常微分方程，其中y是自变量的函数。
常微分方程通常用符号y'(t)表示y对时间t的导数。
在解常微分方程时，主要任务是找到y(t)的函数形式，使得它满足给定的微分方程和初始条件。
初始条件可能是y(0)=a和y'(0)=b之类的信息。
二、常微分方程的解法1.变量分离法变量分离法是一种适用于第一阶微分的方法。
当方程可以表示为dy/dx=f(x)g(y)时，我们可以将其转化为dy/g(y)=f(x)dx，然后对两边积分即得到y(x)的解析式。
例如，dy/dx=2x/(1+y^2),我们可以将其转化为dy/(1+y^2)=2xdx，然后对两边积分即可求解。
2.常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程是指形如y''+ay'+by=0的微分方程，其中a 和b是常数。
对于这种类型的微分方程，有特征方程r^2+ar+b=0，解得特征根r1和r2，然后根据通解公式y=c1e^(r1x)+c2e^(r2x)求解。
其中，c1和c2是待定系数，由初始条件求得。
3.欧拉方程的解法欧拉方程是指形如ax^2y''+bxy'+cy=0的微分方程，其中a、b和c是常数。
解欧拉方程需要做一个变量替换，设置y=x^r，然后求得r满足的特征方程ar^2+(b-a)r+c=0的两个根r1和r2，通解为y=c1x^r1+c2x^r2。
4.变换系数法变换系数法是对不齐次线性微分方程使用，它可以将y''+ay'+by=f(x)这样的方程转化为(r^2+ar+b)y=g(x)，其中g(x)是已知的函数。
常微分方程的常见解法
Euler折线法
近似导数
y(x0)
y(x1) h
y( x0 )
记为
y( x1 ) y( x0 ) hy( x0 ) y0 h f ( x0 , y0 )
解:设t时刻雪球的体积为
，表面积为 ，
由题得
球体与表面积的关系为
引入新常数
再利用题中的条件得
分离变量积分得方程得通解为
再利用条件 确定出常数C和r代入关系式得 t的取值在 之间。
方程为全微分方程的充要条件
定理2.1 设函数
和
在一个矩形区域
中连续且有连续的一阶偏导数，则
是全微分方程的充要条件为:
（2.3.3)
nan (x x0 )n1
f
x,
an
(
x
x0
)n
n1
n0
展开后比较两端同次幂的系数确定
an ,
y
y0
N n1
cn1 (x n
x0 )n
例：用待定系数法求
dy x2 y2 ,
的近似解。
dx
y(0) 1
解： 令 y a n (x x0 )n, 由 y (0) 1 得 a0 1 n0
([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x),
# 定义微分方程
x=-2..2,
# 指定x范围
[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]], # 给出3个初始值
dirgrid=[17,17],
常微分方程的解法介绍
常微分方程的解法介绍常微分方程是描述自变量和未知函数及其导数之间关系的方程。
在数学和工程领域中，常微分方程是一种非常重要的数学工具，广泛应用于描述自然现象和工程问题。
解常微分方程是求解这些方程的未知函数的过程，下面将介绍几种常见的解法。
一、分离变量法分离变量法是解常微分方程最基本的方法之一。
对于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，可以通过将变量分离来求解。
具体步骤如下：1. 将方程写成dy/g(y)=f(x)dx的形式；2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy=∫f(x)dx；3. 分别对y和x积分，得到方程的通解。
例如，对于方程dy/dx=x/y，可以将方程改写为ydy=xdx，然后对两边同时积分，得到y^2=2x+C，其中C为积分常数，即为方程的通解。
二、齐次方程法对于形如dy/dx=F(y/x)的一阶齐次微分方程，可以通过引入新的变量u=y/x来将其转化为分离变量的形式。
具体步骤如下：1. 令u=y/x，即y=ux，然后对x求导得到dy/dx=u+x(du/dx)；2. 将dy/dx和u代入原方程，化简得到F(u)=u+x(du/dx)；3. 通过变量分离法解出u的表达式，再将u=y/x代入，即可得到原方程的通解。
三、一阶线性微分方程法一阶线性微分方程的一般形式为dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)为已知函数。
解一阶线性微分方程的方法是利用积分因子来将其转化为恰当微分方程。
具体步骤如下：1. 将方程写成dy/dx+p(x)y=q(x)的形式；2. 求出积分因子μ(x)=exp(∫p(x)dx)；3. 用积分因子乘以方程两边，化为恰当微分方程的形式；4. 求解恰当微分方程，得到原方程的通解。
四、常数变易法对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程，如果p(x)和q(x)为常数，可以利用常数变易法来求解。
具体步骤如下：1. 令y=u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)为待定函数；2. 将y=u(x)v(x)代入原方程，化简得到关于u(x)和v(x)的两个方程；3. 解出u(x)和v(x)，再将其代入y=u(x)v(x)，即可得到原方程的通解。
CP080-常微分方程解
例：用R-K方法解例题8.1.2
例..2
dQ dt
I
L dI IR Q E
dt
C
Q() I()
Qn
k
k
hf hf
k
hf
( xn
1 2
h,
yn
2k3 1 2 k)
k4
)
公式推导 见P37-44
k3
hf
( xn
1 2
h,
yn
1 2
k2 )
k3 hf (xn h, yn k3 )
例：用R-K方法解例题8.1.1
例..Leabharlann dQ Q dt RC
Q() Q
function y=f(Q,I) global E R C L; y=(E-Q/C-I*R)/L;
（用改进的Euler法解）：
、先用Euler法预报：
Q n
Qn
hIn
,
(n
,,,...)
I n
In
h(E
Qn
/
C
I n R)
/
L, (n
,,,...)
、改进的Euler法：
8.1 Euler方法
如果用xn1代替x0 ,于是该式可离散为：
y( xn
h) h
y(xn )
f
(xn1, y(xn1))
常微分方程的数值解及实验-PPT精品
这里必须特别说明，因为初值问题(4―1)满足李普
希茨条件
y y (k1) (k)
i1
i1
h 2
f(xi1,xi(k1))fi1yi(k11)
h2Lyi(k1)
y(k1) i1
当h足够小时，可使得q h L 1 于是有
2
y ( k 1) i 1
y (k ) i 1
k1=f(xi，yi) k2=f(xi+λ1h，yi+μ11k1h) k3=f(xi+λ2h，yi+μ21k1h+μ22k2h) k4=f(xi+λ3h，yi+μ31k1h+μ32k2h+μ33k3h) 其中ω1、ω2、ω3、ω4、λ1、λ2、λ3、μ11、μ21、μ22、 μ31、μ32、μ33均为待定系数。
y(xi+1)≈y(xi)+hy′(xi) =y(xi)+hf(xi，y(xi)) =yi+hf(xi，yi)
若取前三项，可得到截断误差为O(h3)的公式
y(xi1)y(xi)hy(xi)h22 y(xi)
y(xi)hf (xi, y(xi))
h2 2
[fx(xi,
y(xi))
k1 f (xi, yi)
k
2
f (xi h, yi hk1)
y i1
yi
h 2
(k1
k2)
i 0 , 1 , 2 ,
(4―8)
2.4误差估计
初值问题(4―1)的等价积分方程为
y(xi 1)y(xi)xx ii1 f(x,y(x))dx
设初值问题(4―1)的准确解为y=y(x)，则利用泰勒 公式
常微分方程的解法及应用_(常见解法及举实例)---高数论文
华北水利水电学院常微分方程的解法及应用（常见解法及举实例）课程名称：高等数学（2）专业班级：成员组成：联系方式：2012年05月25日摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中。
求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。
本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统总结：先对常微分方程定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微分方程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程，并且用具体的实例分析常微分方程的应用。
关键词：微分方程降阶法变量代换法齐次型一阶线性英文题目：The solution of ordinary differential equations and its application（Common solution and examples）Abstract:Ordinary differential equation is an important part of calculus, widely used in specific problems in the study. Solving differential problem, often through the variable separation, both sides integral, if is high level, through the appropriate variable substitution, achieve the purpose of the reduced order to solve the problem. This article is to different types of ordinary differential equation of the solution system conclusion: first definition of ordinary differential equation and the general solution do simple paper, then apply variable substitution method of homogeneous solution of differential equation, and the reduced order method for high order ordinary differential equation, discussion special second order differential equations, and use a specific example analysis of the application of ordinary differential equations.Key words:Differential equations、Reduced-order method、Variable substitution method 、Homogeneous、First order linear1、 引言微积分学研究的对象是变量之间的函数关系，但在许多实际问题中，往往不能直接找到反映某个变化过程的函数关系，而是根据具体的问题和所给的条件，建立一个含有未知函数或微分的关系式。
CP080-计算物理常微分方程解资料
k
hf
( xn
1 2
h,
yn
2k3 1 2 k)
k4
)
公式推导 见P37-44
k3
hf
( xn
1 2
h,
yn
1 2
k2 )
k4 hf (xn h, yn k3 )
例：用R-K方法解例题8.1.1
例..
dQ Q dt RC
Q() Q
f
(
xn1
,
y(k) n
)]
（k ,,,..）（. 3）
当|
y (k ) n
yn(k )
|
时, 取yn
y (k ) n
8.2 改进Euler方法
对于(2)计算yn1 ,由于迭代工作量较大, 一般只 迭代一次,构成一类预估 校正算法,即
y(0) n1
%1、预报 Q(i)=Q(i-1)+h*I(i-1); I(i)=I(i-1)+h*f(Q(i-1),I(i-1)); %2、计算Q k1=h*I(i-1); k2=h*I(i); Q(i)=Q(i-1)+1/2*(k1+k2); %3、计算I k1=h*f(Q(i-1),I(i-1)); k2=h*f(Q(i),I(i)); I(i)=I(i-1)+1/2*(k1+k2); end plot(t,Q,'r',t,I,'m');%改进欧拉法的曲线
hf
(tn
h, Qn
k3 )
h(
Qn k RC
常微分方程的求解与定性分析实验报告
常微分方程的求解与定性分析实验报告 一、实验综述1、实验目的及要求● 归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法；● 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； ● 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；● 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；● 通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB 软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。
这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。
2、实验仪器、设备或软件电脑 、matlab7.0二、实验过程（实验步骤、记录、数据、分析）实验内容：根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）1．求微分方程的解析解，并画出它们的图形。
y '= y + 2 x, y (0) = 1, 0< x <1；m=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x')ezplot(m,[0 1])m =3*exp(x) - 2*x – 21．求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧====-+]100[0)0(;0)0(01.03t uu u u u &&& 的数值解，要求编写求解程序。
function dy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=-y(1)+0.1*y(1)^3;[T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 10],[0 0]);plot(T,Y(:,1),'-')3．Rossler 微分方程组：当固定参数b =2，c =4时，试讨论随参数a 由小到大变化（如 a ∈(0，0.65))而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？function r=rossler(t,x)global a;global b;global c;r=[-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c)];global a;global b;global c;b=2;c=4;t0=[0,200];for a=0:0.1:0.6[t,x]=ode45('rossler',t0,[0,0,0]);subplot(1,2,1);plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b');title('x(红色),y(绿色),z(蓝色)随t的变化情况');xlabel('t');subplot(1,2,2);plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))title('相图');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');pauseend结果显示：a=0:a=0.1:a=0.2:a=0.3:a=0.4:a=0.5:结果分析：从图像可以看出，当a=0时，微分方程的解（x,y,z）收敛与（0，0.5，0.5）；当a=0.1时，（x,y,z）仍收敛与（0，0.5，0.5），只是收敛速度减慢；当a=0.2时，（x,y,z）已发散，周期性变化；随着a的增大，(x,y,z)接近其极限环的速度加快，空间曲线成混沌状。
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常微分方程
我们考虑一阶常微分方程初值问题
dy dx
f
( x,
y)
y(x ) y
在区间[a, b]上的解，其中 f (x, y)为 x, y 的已知 函数，y0 为给定的初始值，将上述问题的精确 解记为 y(x)。
的不同在于，它每算一步要解函数方程(2)才能得到 yn1。
8.1 Euler方法-梯形公式
如果取以上两式的算术平均值的结果，则得
yn
yn
h[f
(xn , yn )
f
(xn1, yn1)]
（n ,,,..）.
称为梯形公式。
计算yn时常用以下迭代式：
y(k) n
绪论
在工程和科学计算中，所建立的各种常微分方程的 初值或边值问题，除很少几类的特殊方程能给出解析解， 绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的，其主 要原因在于积分工具的局限性。因此，人们转向用数值 方法去解常微分方程，并获得相当大的成功，讨论和研 究常微分方程的数值解法是有重要意义的。
常微分方程描写的物理现象
对于(2)计算yn,由于迭代工作量较大, 一般只 迭代一次, 构成一类预估 校正算法,即
y( p) n
yn
hf
(xn ,
yn )
y(c) n`
yn
h[ f
(xn , yn )
f
( xn ,
y( p) n
)]
并取yn yn(c)。
8.2 改进Euler方法
散化，并用xn代替x , 于是该式可离散为：
dy dx
|xn
y(xn
h) h
y(xn )
f
(xn, y(xn ))
以yn表示y(xn )的近似值，则有
yn yn hf (xn, yn 显式的`Euler公式，它可以从y出发，逐次 算出y, y, y...。
例..2如图，当开关K接通时，求RLC电路 中C的电量和电流的变化情况
dQ
dt
I
L dI IR Q E
dt
C
Q()
I()
R=100欧 L=10H
试分别用Euler法和改进Euler法求解。
K E=10V
C=10mF
解：初始状态： Q ; I ; 取h .,计算t [,]上结果，此时 Euler法：
上式还常写成
yn k
yn hf (xn ,
(k
yn )
k
)
k hf (xn h, yn k)
(n ,,,...)
该式称为改进Euler方法, 亦可写成
yn
yn
h[
f
( xn
yn )
f
( xn ,
yn
hf
Qn Qn hIn , (n ,,,...)
In In h(E Qn / C InR) / L, (n ,,,...)
常微分方程数值解基本思想
数值方法的基本思想是：在解的存在区间上取 n + 1 个节点 a x0 x1 x2 xn b
这里差 hi xi1 xi ，i = 0,1, …, n 称为由 xi 到 xi+1 的步长。这些 hi 可以
不相等，但一般取成相等的，这时 h b a 。在这些节点上采用离散化 n
Euler法：Qn
Qn
h(
Qn RC
)
(n ,,,...)
改进的Euler法
Qn
：k hf
Qn (Qn )
(k k ) h( Qn )
RC
k
hf
(Qn
k )
h(
Qn k RC
)
(n ,,,...)
yn
hf (xn , yn )
y (k ) n
yn
h[f
(xn , yn )
f
(
xn1
,
y(k) n
)
]
（k ,,,..）（. 3）
当|
y (k ) n
yn(k )
|
时, 取yn
y (k ) n
8.2 改进Euler方法
8.1 Euler方法
如果用xn1代替x0 ,于是该式可离散为：
y( xn
h) h
y(xn )
f
(xn1, y(xn1))
以yn表示y(xn )的近似值，则有
yn1 yn hf (xn1, yn1) （n 0,1,2,..）. (2)
这就是隐式的`Euler公式或向后Euler方法，它与显式
function main global E R C; E=10;R=10;C=0.01; Q0=E/C; h=0.01; t=[0:h:1]; QE(1)=Q0; QEG(1)=Q0; for i=2:length(t)
QE(i)=QE(i-1)+h*f(QE(i-1));%欧拉法 k1=h*f(QEG(i-1));%改进欧拉法 k2=h*f(QEG(i-1)+k1); QEG(i)=QEG(i-1)+1/2*(k1+k2); end plot(t,QE,'r');%改进欧拉法的曲线 hold on plot(t,QEG,'b');%改进欧拉法的曲线 plot(t,Q0*exp(-1*t./(R*C)),'.');%理论曲线
方法，（通常用数值积分、微分。泰勒展开等）将上述初值问题化成关于 离散变量的相应问题。把这个相应问题的解 yn 作为 y(xn)的近似值。这样 求得的 yn 就是上述初值问题在节点 xn 上的数值解。一般说来，不同的离 散化导致不同的方法。
8.1 Euler方法
为实现这一目标，Euler方法首先将微分算子离
(xn ,
yn ))]
例..1 如图，当开关从1接至2时，求RC电路 放电过程中电量的变化情况
dQ Q dt RC Q() Q 试分别用Euler法和改进Euler法求解。
R=10欧
2K 1
C=0.01法
E=10伏
解：初始状态：
Q E / C / .; 取h .,计算t [,]上结果，此时