第5章刚体转动及角动量守恒.

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大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律

方向垂直于轴，其效果是改
变轴的方位，在定轴问题中，
第二项
与轴承约束力矩平衡。
M 2rF
方称为向力平对行于轴的轴矩，，其效表果为代是数改变量绕：轴M 转z 动状r态，F
即： i j k
Mo rFx y z
Fx FyFz
i yFz zFy jzFxxFzk xFyyFx
Mz xFyyFx
由
rc
i
miri M
rc
i
miri M
ri m ivcM rc vc0
i
质心对自己的位矢
L r c m iv ir i m iv c r i m iv i
i
i
i
与 i 有关
第三项：
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
o ri
vi
mi
L io 大方小向 Lio ：： rimiv沿 i miri2 即 L iomiri2
在轴上确定正方向，角速度表示为代数量，则
定义质点对 z 轴的角动量为:
LizLiom iri2
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri2mi
i
i
ri2mi
i
对质量连续分布的刚体：
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ

5-刚体的定轴转动

L1 L2
刚体定轴转动的角动量 L=?
z
v
ri mi
O
刚体定轴
L Li mirivi
m iri(ri) ( miri2)
J M=0的原因，可能
1）F＝0（不受外力） 2）外力作用于转轴上 3）外力作用线通过转轴
4）外力作用线与转轴平行
刚体定轴转动的角动量守恒
L1 L2
J11J22
位置，求它由此下摆角时的角速度。
解：如图建立坐标
x
杆受到的重力矩为：
O
M ＝ gxd g m xdm
X
dm
据质心x定 d＝ m 义 mCx MmgxC
xc
1l 2
cos
M1mgclos
2
dmg
MJJdJ d d J d M dJd
dt d dt d
0 1 2mc go lds 0 Jd
mglsin
端点 o 且与桌面垂直的固定光滑轴转动,另有一水平运动的质量 m2为的小滑块,从侧面垂直与杆的另一端 A 相碰撞,设碰撞时间极短,已知小滑块在碰撞前后的速度分别为 v1 和 v2 ,方向如图所示,求碰撞后从细杆开始转动到停止转动过程所需时间,（已知杆绕点 o 的转动惯量 J= ml2/ 3 )
dLR J2J0m0d2 其中 Jo 12moR2
J J1J2 1 3m LL 21 2m oR 2m o(LR )2
2.对薄平板刚体的正交轴定理
z
Jz miri2
yi
xi
ri
y
m i(x2y2) m ix 2 m iy 2
x
Δmi
Jz JxJy
z
应用
例：已知圆盘

刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。

2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。

（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。

3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。

练习：1角动量守恒的条件是。

0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。

刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律

刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学——刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学是研究刚体运动的物理学分支，主要研究刚体的平动和转动。

在刚体的运动过程中，角动量的守恒定律是关键的一条定律，它在很多物理问题的求解中起着重要的作用。

一、刚体转动的基本概念刚体是指具有一定形状和大小的物体，在运动过程中保持其形状和大小不变的情况下，绕一个固定轴线进行旋转。

在刚体转动的过程中，存在着固定轴线上的角位移、角速度、角加速度等概念。

角位移表示刚体在转动过程中的角度变化，通常用符号θ表示；角速度表示单位时间内刚体转动的角度变化率，通常用符号ω表示；角加速度表示单位时间内角速度的变化率，通常用符号α表示。

二、刚体的转动与力矩刚体在转动过程中需受到外力的作用，这些外力可以将刚体带动产生转动现象。

力矩是刚体转动的重要力学量，它描述了力对于刚体转动的影响程度。

力矩的大小等于力乘以作用点到转轴的距离，用数学式表示为：τ = F × r其中τ表示力矩，F表示力的大小，r表示作用点到转轴的距离。

三、刚体的转动惯量与角动量刚体的转动惯量与角动量是刚体转动过程中的另外两个重要概念。

转动惯量描述了刚体对于转动的惯性程度，它的大小取决于刚体的质量分布和几何形状。

角动量描述了刚体在转动过程中的旋转性质，它等于刚体质量的转动惯量乘以角速度，用数学式表示为：L = I × ω其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。

四、角动量守恒定律角动量守恒定律是刚体动力学中的一个基本定律，它表明在没有外力矩作用的情况下，刚体转动过程中的角动量保持不变。

如果一个刚体在初态时角动量为L1，在末态时角动量为L2，且没有外力矩作用，则有L1 = L2。

这一定律体现了一个自然规律，对于理解刚体的转动过程和求解相关物理问题具有重要意义。

五、应用案例角动量守恒定律可以应用于各种实际物理问题的求解中，例如刚体的转动稳定性、陀螺的运动等。

第5章刚体力学-物理学第三版-刘克哲

19
如果有几个外力矩对刚体做功，则各外力矩做功之和为
A Ai
i 1
n
2 1
M1d
2 1
M 2d

2 1
M n d
2 n 1
M d
i 1 i
即
A Md
1
2
M为刚体所受合外力矩
当M为恒力矩时，力矩的功为
A M
根据质点力学中功率的定义，力矩的功率可表示为
为刚体绕给定轴的转动惯量
11
二、刚体的转动惯量
描述刚体转动惯性大小的物理量。 1、定义：刚体对转轴的转动惯量：
J m i ri
i 1
n
2
J
2 r dm
SI单位：kg . m
2 、转动惯量的计算：

若质量离散分布：
（质点，质点系）
J mi ri2
若质量连续分布：
J r2 d m dm dl
两轴平行；
2
说明： JC 为刚体绕质心轴的转动惯量 d 为两平行轴间距离。例均匀圆盘对O 轴的转动惯量。
1 J C mR 2 2
o
d
C
1 J o mR2 md 2 2
17
垂直轴定理：
设一薄板如图所示，过其上一点作z轴垂直于板面，x，y轴在平板面内，若取一质元 mi 则有
z
J z mi ri mi ( xi yi )
类似一维运动,各角量的方向由“+”,“–”号表示。
r
d
dS
P
注意: 这里的角量单位都用弧度(rad)
a n ω v
a β r
9

转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒

转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒转动力学是力学研究的一个重要分支，它主要研究刚体的旋转运动。

刚体的旋转运动受到力矩和角加速度的作用，其中转动平衡和角动量守恒是转动力学的基本原理。

一、转动平衡刚体的转动平衡是指刚体处于稳定的旋转状态，不受到外力的扰动，既不会产生角加速度，也不会改变角速度。

要实现转动平衡，必须满足以下条件：1. 力矩平衡条件力矩平衡条件是指刚体上作用的力矩的代数和为零。

对于一个刚体绕固定轴的旋转运动，力矩平衡条件可以表示为：∑M = ∑(r × F) = 0其中，∑表示对刚体上所有力矩求和，r表示作用力的杠杆臂，F表示作用力。

根据力矩平衡条件，可以求解出刚体的转动平衡状态。

2. 重心位置与支撑点位置的关系对于一个转动平衡的刚体，重心必须位于支撑点上方以保持稳定。

当重心位于支撑点下方时，刚体会不稳定，并发生滚动现象。

3. 稳定、不稳定和中立平衡刚体的转动平衡可以分为稳定、不稳定和中立平衡三种情况。

当刚体偏离平衡位置时，稳定平衡会使刚体回复原位置，而不稳定平衡会使刚体继续偏离平衡位置。

中立平衡则是指刚体在偏离平衡位置后，不会有任何变化。

二、角动量守恒角动量守恒是指一个刚体在没有外力矩作用下，角动量的大小和方向保持不变。

对于一个旋转的刚体，角动量可以表示为：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。

根据角动量守恒定律，在没有外部力矩作用下，刚体的角动量将保持不变。

三、应用举例下面通过一个实际例子来说明转动平衡和角动量守恒的应用。

假设有一个均匀的圆盘，圆盘质量为M，半径为R。

将圆盘以转轴垂直于盘面且通过重心的方式固定，使其处于转动平衡状态。

此时，圆盘的转动平衡可以通过力矩平衡条件来解释。

由于圆盘的重心位于转轴上，且没有施加外力矩，所以∑M=0，根据这个条件可以得到圆盘上各点产生的力矩之和为零。

进一步分析可以发现，圆盘上受重力的作用产生的力矩沿转轴方向相互抵消，所以圆盘能够保持转动平衡。

第五章刚体的定轴转动

单位: 单位:rad / s 角速度
刚体定轴转动
ω
v 的方向按右手螺旋法则确定. 的方向按右手螺旋法则确定.
在定轴转动中, 在定轴转动中,角速度的方向沿转轴方向. 沿转轴方向.
角加速度α 角加速度
v ω
2
ω dω d θ = = 2 α = lim t →0 t dt dt
单位: 单位:rad /s 2 角加速度也是矢量, 角加速度也是矢量,方向与角速度增量的极限方向相同,在定轴转动中, 与同向的极限方向相同,在定轴转动中,α与ω同向或反向. 或反向. 刚体的转动其转轴是可以改变的, 刚体的转动其转轴是可以改变的,为反映瞬时轴的方向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 注意退化为代数量. :定轴转动时, ω,α退化为代数量. 定轴转动时, 退化为代数量
刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合. 刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合.
1. 用角量描述转动 (1) 角位移 θ : ) 时间内刚体转动角度. 在 t 时间内刚体转动角度. 单位: 单位:rad (2)角速度 ω : )
z θ
B A
θ dθ ω = lim = t →0 t dt
●
r2
转动惯量的定义: 转动惯量的定义:
J = ∑mi ri
2
对质量连续分布的刚体, 对质量连续分布的刚体,上式可写成积分形式
J = ∫ r dm
2
dm—质元的质量质元的质量 r—质元到转轴的距离质元到转轴的距离
线分布 dm = λdx 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
λ 是质量的线密度
F iz
ri = roi sinθ

大学物理第5章-角动量守恒定律-刚体的转动

第5章角动量守恒定律刚体的转动5-1 质点的动量守恒与角动量守恒的条件各是什么，质点动量与角动量能否同时守恒？試说明之。

答：质点的动量守恒的条件是：当0F =时，p mv ==恒矢量。

质点的角动量守恒的条件是：当0M =时，即000,F r θπ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩时，L =恒矢量。

可见，当0F =时，质点动量与角动量能同时守恒。

5-2 质点在有心力场中的运动具有什么性质？答：质点在有心力场中运动时，0,0F M ≠=，则角动量守恒，即：当0M =时，L =恒矢量。

又因为有心力是保守力，则机械能守恒，即：当0ex in nc A A +=时，K P E E E =+=恒量。

5-3 人造地球卫星是沿着一个椭圆轨道运行的，地心O 是这一轨道的一个焦点。

卫星经过近地点和远地点时的速率一样吗？卫星在近地点和远地点时的速率与地心到卫星的距离有什么关系？答：卫星经过近地点和远地点时的速率不一样，由角动量守恒定律得：a ab b r mv r mv = a b b av r v r ∴= 可见，速率与距离成反比。

5-4 作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？答：作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量不守恒；对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量不守恒；对于圆心定点，它的角动量守恒。

5-5 以初速度0v 将质量为m 的小球斜上抛，抛射角为θ，小球运动过程中，相对于抛射点的角动量如何变化？小球运动到轨道最高点时，相对于抛射点的角动量为多少？答：取抛射点为坐标原点，取平面直角坐标系Oxy ，y 轴正方向向上，则质点的运动方程和速度表达式为：020cos 1sin 2x v ty v t gt θθ=⎫⎪⎬=-⎪⎭ ， 00cos sin x y v v v v gt θθ=⎫⎬=-⎭ 对于抛射点的角动量：()()x y y x L r mv xi y j mv i mv j xmv k ymv k =⨯=+⨯+=- 将,,,x y x y v v 代入得：201cos 2L mgv t k θ=- 当小球到达最高点时，时刻为：0sin v t gθ=，代入上式得：小球相对于抛射点的角动量为：320sin cos 2mv L k gθθ=-。

第5章角动量角动量守恒定律

任一行星和太阳之间的联线,在相等的时间内扫过的面积相等, 即掠面速度不变.
(2) 说明天体系统的旋转盘状结构.
v
r
O
B S
A r
[证明]
(1) 行星对太阳O的角动量的大小为 L r p rmvsin
其中是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
用 s 表示 t 时间内行星所走过的弧长, 则有
dt
若 M外 0
则 dL 0 或 L 常矢量
dt
若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，则质点对
该固定点的角动量矢量保持不变。
例：质点做匀速直线运动中，对0点角动量是否守恒？
Lo r mv
rmvsin
r mv
L
r
O r
A
p mv
6
例试利用角动量守恒定律:
1) 证明关于行星运动的开普勒定律:
v1
r1
B S
A
O
r1
积, 如图中所示.
其中 d /dt 称为掠面速度.
由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零, 所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且
d L 常量
dt 2m
这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.
8
(2) 角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
lim L r ms sin
t0 t
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
若用 r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
7
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
C D
其中是 t时间内行星 v2

刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律课件

转动惯量的特性
只与刚体的质量和各质点到转动轴的距离有关，与转动角速度的大小无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量，等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量，具有方向和大小；对于定轴转动，角动量位于转轴上；角动量是相对量，与参考系的选择有关。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种，一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导，另一种是通过分析系统的能量变化来证明。通过这些证明方法，可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明，对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统，其总角动量保持不变。这一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用，如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实例，其工作原理就是角动量守恒定律。
当风扇的扇叶旋转时，可以将其视为刚体定轴转动，这个过程涉及到角动量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时，也是一个刚体定轴转动的例子，其转动惯量对于理解角动量定理和角动量守恒定律非常有帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时，可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量，从而控制旋转的速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例

第五章角动量角动量守恒定理

第五章角动量角动量守恒定理本章结构框图学习指导本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。

许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。

建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。

本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。

还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。

基本要求1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。

2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。

3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。

4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。

5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。

6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。

内容提要1.基本概念刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。

定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。

即：I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。

质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。

表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。

表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：即：大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。

对于力矩的概念应该注意明确以下问题：•区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。

例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点的力矩在三个坐标轴上的投影：由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。

刚体的转动角动量守恒定律

L
r
mv
二.力矩
M
r
F
大小：M
方向： r
rF F
sin
单位： N m 量纲： ML2T 2
三.角动量定理
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时
间的变化率
M
dL
dt
2.8 角动量角动量守恒定律
一L.角动r量 mv二.力M矩 r三.角F动量定理
M
dL
dt
四.角动量守恒定律：如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该固定
x dx
IB
1 3
m L2
1 mL2 12
m
L 2
2
B A h O质
IC
1 XmL2 12
IA
1 12
m L2
m h2
IB
1 mL2 12
m
L
2
2
平行轴定理：绕任意轴的转动惯量等于绕过质心的平行的转动惯量加上质量与两轴间距的平方
I IC md2
d
A
C
例2）半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。
质心运动定理反映了物体的平动规律。
2.刚体的定轴转动刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运动，称为刚体作定轴转动。
3.刚体的一般运动
蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为一个随质心的平动加上绕质心的转动。
三. 刚体定轴转动的特点
每一质点都作圆心在轴上，圆平面垂直轴，
且角位置.角速度.角加速度都相同的圆周运动
复习
冲量：
dI Fdt
I
动量定理：

大学物理第5章角动量守恒定律

1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2）对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2

刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律.

l 1 l 2 2 mv0 m l m( ) 4 12 4
12 v 0 7 l
12 v 0 7 l
由角动量定理
dL d ( I ) dI M dt dt dt
即
d 1 dr 2 2 mgr cos ( ml mr ) 2mr dt 12 dt
※ 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动对轴上一点的角动量（自学）：
结论：
一般情况下，刚体定轴转动对轴上一点的角动量并不一定沿角速度（即转轴）的方向，而是与其成一定夹角；但对于质量分布与几何形状有共同对称轴的刚体，当绕该对称轴转动时，刚体对轴上任一点的角动量与角速度的方向相同.
4 m 2m M
[讨论] ① M>>m ② M<<m
作业：
7.4.3. 思考： 7.4.1.
例:
已知均匀直杆(l ,M),一端挂在光滑水平轴上，开始时静止在竖直位置，有一子弹（m.vo)水平射入而不复出。求杆与子弹一起运动时的角速度.
解：
子弹进入到一起运动，瞬间完成.
I
i i
i
const.
但角动量可在内部传递。
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律若 M 0 ，则讨论
守恒条件:
L I 常量
M 0
若 I 不变，不变；若 I 变，也变，但 L I 不变. 内力矩不改变系统的角动量. 在冲击等问题中

M in M ex L 常量
现在讨论力矩对时间的积累效应。
※ 现在讨论力矩对时间的积累效应。质点系： dL 对点： M 外
dt

《大学物理》第五章刚体的定轴转动

偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。
o
解：角动量守恒：
30°
mva 1 Ml 2 ma 2
la
3
v
机械能守恒：
1 1 Ml 2 ma 2 2 mga1 cos 30 Mg l 1 cos 30
23
2
v 1 g 2 3 Ml 2ma Ml 2 3ma 2 ma 6
刚体可以看成是很多质元组成的质点系，且在外力作用下，各个质元的相对位置保持不变。因此，刚体的运动规律，可通过把牛顿运动定律应用到这种特殊的质点系上得到。
3
2.刚体的运动
平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。
刚体的平动可看做刚体质心的运动。
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
r2dm
L
r2 dl
L
（线质量分布）
12
3 平行轴定理
如果刚体的一个轴与过质心轴平行并相距d，则质量为 m 的刚体绕该轴的转动惯量，等于刚体绕过质心轴的转动惯量与 md2 之和：
J z Jc md 2
请同学们自己证明平行轴定理的。
提示：利用余弦定理 ri2 ri '2 d 2 2dxi 13
hc hi
若A外+ A内非=0
Ep=0
则Ek +Ep =常量。
例13 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。求： ( )
解方法一动能定理
M mg L cos
2
W
Md
mg
L cosd
0
0
2
mg L sin
2
θ

第五章刚体定轴转动

(1
cos
)
1
JHale Waihona Puke 2232arc cos(1
3 4m2l 2
)
例题 14
14、如图所示，滑轮转动惯量为0.5kg·m2，半径为0.3m,
物体质量为60kg，由绳与倔强系数k=2000N/m的弹簧相
连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，假设开始使物体静止而弹簧无伸长。求：物体下落h=0.4m时的速率是多大。
v
2
mgl sin 30
0
2 2 2 r
解得： v 2.15m / s
（2）当物体沿斜面下滑到最大距离时，系统静止
kL2 mgL sin 30 2
解得： L 3.16m
Mr ]
R
T
T
a
mg
例题6
6、如图所示，轻绳跨过半径为R具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮；绳的两端分别悬有质量为m1和m2物体 (m1<m2)，绳与轮之间无相对滑动，滑轮轴处的摩擦不计；设开始时系统静止，求滑轮的角加速度α及物体的
加速度a ？
M
R
m2 m1
解：受力分析如图， m1、m2利用牛顿第二定律：
m2 )r2 2
例题9
9、如图所示，质量为m，长为l的均匀细杆，可绕一端光滑的水平轴在竖直面内转动（ J 1 ml 2），求(1)杆
从水平位置摆下角 ( < 90 o ) 时的角速3 度（分别用转动
定律和机械能守恒定律求解）？（2）细杆的长度缩小一半时，角速度的大小如何变化？
0
解：（1）方法一：杆、地球组成的系统在下落过程机
第五章刚体定轴转动教学基本要求基本概念例题分析

5.5 刚体定轴转动的角动量守恒定律

周期约1.19 s
脉冲星的精确周期性信号
J z const .
星体不被惯性离心力甩散，必须满足条件：
GM 4 2 3 R , ( M R ) 2 3 R
3 2 3 11 3 10 kg / m 4 G GT 2 3 3
恒星红巨星中子星脉冲星是高速旋转的中子星。
5.5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
一、角动量定理质点系对点对轴刚体
M外
dL dt
Lz J z
M 外z dLz dt
d ( J z ) Mz dt
刚体的角动量定理
二、刚体定轴转动的角动量守恒定律
d ( J z ) Mz dt
M 外z 0
J z

t2 M 外z t1
d t J z 2 J z 1
——刚体定轴转动的角动量定理
【例题】一质量为 m 的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失 3/4,求子弹穿出后棒的角速度解：棒对子弹的阻力为 f
M
l
对子弹 fdt m( 0 ) m0 4
Fe 7.8 10 kg / m 白矮星黑洞
三、角动量定理的另一形式对点
M外

冲量矩
t2 M外 t1
dL dt
M外 d t d L
d t L2 L1

t2
t1
M 外 d t 力矩对时间的积累效应
刚体定轴转动
d ( J z ) Mz dt
子弹对棒的反作用力
m
f3Leabharlann 对棒的冲量矩0
3 f ldt l f dt l fdt lm0 J 4 9m0 3 lm0 4J 4Ml

刚体转动及角动量守恒--最新

转动：定轴转动
刚体的平面运动
2. 刚体定轴转动
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的园周运动, 且在相同时间内转过相同的角度。
特点：角位移，角速度和角加速度均
相同质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动.
刚体的一般运动可看作：随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
定轴转动参量
1. 角位臵
J R 3
可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其轴 1 的转动惯量也是 J mR 2 。
2
例求质量为m半径为R的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量。
解:在球面取一圆环带，半径 r R sin m dm 2p rRd 2 4p R
R sin d
J r dm
2
2 mR sin d
例1 求长为L 质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。
A L B A L/2 C L/2 B x
x
m 解：取轴处为原点建立一维坐标系如图所示，dm =λdx L
J A x 2dx
0
L
L3
mL2 3 3
J A与J C的关系：
A,C 相距L/2
JC

L 2 L 2
2 j j
z
O
I m r I r 2 dm
2 j j j
定义转动惯量
r j m j
Fej
Fij
转动定律
M I
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
转动定律 M M I I b
M 讨论（1） I
d （2） M I I dt

5.5 定轴转动刚体的角动量守恒

3
3
2
3 24
4
5.5 角动量守恒定律
第5章刚体的定轴转动
例：长为 2L、质量为 m 的匀质细杆，静止在光滑的水平桌面上。两个质量、速率均为 m 和υ 的小球，在水平面内与杆的两端同时发生完全
非弹性碰撞（设碰撞时间极短）。求：两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？
解：碰撞过程角动量守恒:
作圆周运动的质点的角动量：L = rmυ sin θ = mr 2ω
1、刚体定轴转动的角动量
∑ ∑ L = mi ri vi = ( mi ri2 )ω
i
i
L = Jω
(所有质元的动量矩之和)
强调：对于刚体的定轴转动，只能用角动量来描述，而不能用动量来描述。
z
ω
O rvi vvi
mi
4
5.5 角动量守恒定律
第5章刚体的定轴转动
2、刚体定轴转动的角动量定理
由转动定律：
Mz
=
J
dω dt
=
d( Jω ) dt
=
dLz dt
M zdt = d (Jω ) = d (Lz )
（角动量定理的微分形式）
∫ ∫ ( ) t2 t1
M
z
dt
=
ω2d Jω
ω1
= Jω2 − Jω1
（角动量定理的积分形式）
定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩，等于其角动量的增量。
安装在轮船、飞机、导弹或宇宙飞船上的回
转仪（也叫“陀螺”）的导航作用，也是角动量守恒应用的最好例证。
14
5.5 角动量守恒定律
第5章刚体的定轴转动
回转仪定向原理
回转体（转动惯量）