第5章 刚体转动及角动量守恒.
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第5章 刚体转动及角动量守恒
合外力矩
角动量的时间变化率
（积分形式）
冲量矩
角动量的增量
刚体系统的角动量定理
若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体 系统的总合外力矩 ∑ ∑ 系统的总角动量的变化率 系统的总角动量增量 轻绳
（忽略质量）
系统的总冲量矩 例如 求角加速度
∑
系统：
静 止 释 放
∑ 总合外力矩 对O的角动量 对O的角动量 ∑ 由 得
西汉末丁缓的“被中香炉”是世界上已知最早的常平架， 其构造精巧，无论球体香炉如何滚动，其中心的半球形炉体都 能始终保持水平。镂空球内有两个环互相垂直而可灵活转动， 炉体可绕三个互相垂直的轴转动。其原理与陀螺仪的万向架相 同 球形外壳和位于中心的半球形炉体之间有两层或三层同心圆环 在欧洲，最先提出类似设计的， 是文艺复兴时期的大画家、科学家 达芬奇（1452-1519），已较我 国晚了1000多年。但遗憾的是， 这项杰出的创造，在我国仅应用于 生活用具。16世纪，意大利人 希· 卡丹诺制造出陀螺平衡仪并应用 于航海上，使它产生了巨大的作用。
刚体定轴转动 的运动方程
刚体
刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
3. 角速度
静止 常量 变角速
转动平面（包含p并与转轴垂直）
匀角速
转轴 用矢量表 示 或 时，它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则
第05章-刚体的转动
r dl
2 L
dm ds
dm dV
r dS
2 S
r dV
2 V
线分布
注 意
面分布
体分布
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。
几个常用 J 的计算举例： （1）均匀圆环：
C R
m
（2）均匀圆盘：
C R m
24
（3）均匀杆：
d 解 令 ct，即 ct ，积分 dt 1 2 t 得 ct d c t d t 0 0 2
11
1 2 ct 2
当 t =300 s 时
18 000 r min 600π rad s
1
1
2 2 600 π π 3 c 2 rad s 2 t 300 75 1 2 π 2 ct t 2 150
M Fd Fr sin
F 对转轴 z 的力矩矢量表示
O
z
M
F
r
M r F
d
*
P
F F Fi 0, M i 0 i i
F Fi 0, i
F
Mi 0
i
14
讨论
（1）若力 F 不在转动平面内，把力分
第05章_刚体的转动
Lz J z
因为
2
则，刚体沿 z 轴的角动量还可表示为
dLz d Mz Jz J z dt dt
所以，刚体绕 z 轴的合外力矩为
M = Jα 通常略去下标
——刚体定轴转动定律 11
转动惯量 Jz 物理意义：转动惯性的量度 转动惯量 Jz 的大小取决于刚体的质量、形 状及转轴的位置
L
2 πR
dl R O
R
2 3
2 πR
0
dl
m
m 2 2πR mR 2πR
例5-3 一质量为m、半径为R 的均匀薄盘，求 一过盘中心并与盘面垂直为轴的转动惯量。
解 设圆盘面密度为 ，在盘 上取半径为r，宽为dr的圆 环 圆环质量 dm 2π rdr
2
r dr
圆环的转动惯量 dJ r dm 2π r dr 而 m π R 2，因此 R 1 2 3 4 J 2 π r dr π R mR 0 2 2
33
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能 守恒定律仍成立。 刚体重力讨论：
重力力矩：M
刚体重力势能:
Ep mi ghi
mg
r m g r mg
i i c
C
mi
质心的势能
mghc
hc
hi
Ep 0
mi hi
因为
2
则，刚体沿 z 轴的角动量还可表示为
dLz d Mz Jz J z dt dt
所以，刚体绕 z 轴的合外力矩为
M = Jα 通常略去下标
——刚体定轴转动定律 11
转动惯量 Jz 物理意义：转动惯性的量度 转动惯量 Jz 的大小取决于刚体的质量、形 状及转轴的位置
L
2 πR
dl R O
R
2 3
2 πR
0
dl
m
m 2 2πR mR 2πR
例5-3 一质量为m、半径为R 的均匀薄盘，求 一过盘中心并与盘面垂直为轴的转动惯量。
解 设圆盘面密度为 ，在盘 上取半径为r，宽为dr的圆 环 圆环质量 dm 2π rdr
2
r dr
圆环的转动惯量 dJ r dm 2π r dr 而 m π R 2，因此 R 1 2 3 4 J 2 π r dr π R mR 0 2 2
33
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能 守恒定律仍成立。 刚体重力讨论：
重力力矩：M
刚体重力势能:
Ep mi ghi
mg
r m g r mg
i i c
C
mi
质心的势能
mghc
hc
hi
Ep 0
mi hi
刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
J t ω 常量
J t
ω ω
J t
例: 一均质棒, 长度为 L, 质量为M, 现
有一子弹在距轴为 y 处水平射入细 棒。
y
Nx
求: 子弹细棒共同的角速度 。 v0 解: 子弹、细棒系统的角动量守恒 m mv 0 y J 1 mv 0 y 其中 J J 棒 J 子 ML2 my 2 1 3 ML2 my 2 说明: 3 系统水平方向动量是否守恒取决于转轴对棒作用力 在水平方向的投影 Nx 是否等于0。 2 例 y L (打击中心)时， Nx=0，则动量守恒。 3
定轴转动刚体的角动量定理 M z
恒定
d( J z ) dt
M z mgr cos
1 2 J z ( ml mr 2 ) 12
dJ z Mz dt
dr mgr cos 2mr dt
dr g cos v dt 2
7lg 12 cos( v0t ) 24v0 7l
刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律 一、刚体定轴转动的角动量 z
第 i 个质元mi对z 轴的角动量:
2 Liz ri (Δmi vi ) Δmi ri
Lz
o
v i ri ri
mi
刚体对z 轴的角动量:
2 Lz ( Δmi ri ) J z
大学物理第05章_刚体的转动
转动惯量 J 是刚体转动惯性的量度
例5. 质量为M =16 kg的实心滑轮，半径为R = 0.15 m。 一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。求 （1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2）绳 子的张力。
解： mg T ma
1 T Ma 2
M
T m m1 mg
1 1 2 2 a M TR J MR MR 2 2 R
说明：
1. 物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量 和角速度的乘积不变。方向也不变。 2. 几个物体组成的系统， 绕一公共轴转动，则对该 公共转轴的合外力矩为零 时，该系统对此轴的总角 动量守恒
J ω 恒量
i i i
常平架回转仪装置
轴承光滑，在不太长的 时间内，空气与轴摩擦 阻力的冲量矩和回转仪 的角动量相比是很小的! 可近似认为: 角动量守恒，矢量方向 不变表现为转轴方向不 变，大小不变表现为回 转仪的恒定角速率转动
1 2 2 M 0 R mr ( ) 0 2
r
o R
1. 写出人的绝对角速度; 2. 运用角动量守恒定理; 由系统角动量守恒知 : 3. 积分求解;
1 2 mr (mr M 0 R ) 2 1 2 d 2 2 d mr (mr M 0 R ) dt 2 dt
2 2
C
d
平行
第五章 角动量角动量守恒定理解读
第五章角动量角动量守恒定理
本章结构框图
学习指导
本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。
基本要求
1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，
熟练进行有关计算。
6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
内容提要
1.基本概念
刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。即：
I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量
力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：
大学物理第5章-角动量守恒定律-刚体的转动
第5章 角动量守恒定律 刚体的转动
5-1 质点的动量守恒与角动量守恒的条件各是什么，质点动量与角动量能否同时守恒？試说明之。
答：质点的动量守恒的条件是：
当0F =时，p mv ==恒矢量。
质点的角动量守恒的条件是：
当0M =时，即000,F r θπ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
时，L =恒矢量。
可见，当0F =时，质点动量与角动量能同时守恒。
5-2 质点在有心力场中的运动具有什么性质？
答：质点在有心力场中运动时，0,0F M ≠=，则角动量守恒，即：
当0M =时，L =恒矢量。
又因为有心力是保守力，则机械能守恒，即：
当0ex in nc A A +=时，K P E E E =+=恒量。
5-3 人造地球卫星是沿着一个椭圆轨道运行的，地心O 是这一轨道的一个焦点。卫星经过近地点和远地点时的速率一样吗？卫星在近地点和远地点时的速率与地心到卫星的距离有什么关系？
答：卫星经过近地点和远地点时的速率不一样，由角动量守恒定律得：
a a
b b r mv r mv = a b b a
v r v r ∴= 可见，速率与距离成反比。
5-4 作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？
答：作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量不守恒；对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量不守恒；对于圆心定点，
它的角动量守恒。
5-5 以初速度0v 将质量为m 的小球斜上抛，抛射角为θ，小球运动过程中，
刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
O
l 4
昆虫的爬行，会改变系 统的转动惯量和外力矩
四、 进动 (Precession) (又叫旋进)* 高速自旋物体的转轴在空间转动的现象称为进动。
p
O
r
Mo
O Lo
mg
dLo d dLo 角动量定理 M o dLo M o dt o o' L (俯视图) o dt dLo方向与 M o 方向相同, dt 时间内轴 OO' 转过 d 角
d 进动的角速度: p dt dLo Lo dt Mo Mo Lo J
Mo
Lo dLo
为什么炮筒内壁上刻有螺旋线(又称来复线)?
f
c
r
mg p
v
L
若质量连续分布
说明: 角动量与质点动量 P mv 对比， Jz — m， — v
2 Lz ( r dm) J z
例: 质量为 m ,长为 l 的均匀细杆,中点有一垂直于杆的 转轴 O 。杆绕轴旋转的角速度为 。 求: 杆对中点的角动量。
解: 质元dm对O轴的角动量为
解: 昆虫落到杆上为完全非弹性碰撞，对于昆虫和杆 构成的系统，昆虫重力忽略，系统角动量守恒
l 1 2 l 2 mv 0 [ ml m( ) ] 4 12 4 12 v 0 7 l
5.5 定轴转动刚体的角动量守恒
第5章 刚体的定轴转动
张臂
J ↑→ ω ↓ ，
J ↓→ ω ↑
大
小
11
收臂
小 大
先使自己转动起来
12
2
5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
3）物体系的角动量守恒
若系统由几个物体组成，各物体对同一个转
轴的角动量分别为 J1ω1 , J 2ω2 , J 3ω3 …，
∑ 则总角动量为： J iωi ，
解：系统（圆盘 + 人）什么量守恒？
系统角动量守恒：
ωo
(1 2
MR 2
+
mR 2 )ωo =
1 2
MR 2ω
ω
=
(1
+
2m M
)ωo
21
5.5 角动量守恒定律
第5章 刚体的定轴转动
例：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分 别为 ω1 、ω2，求：两飞轮啮合后共同的角速度 ω 。
解：两飞轮通过摩擦达到 共同速度，合外力矩为0， 系统角动量守恒。
作圆周运动的质点的角动量：L = rmυ sin θ = mr 2ω
1、刚体定轴转动的角动量
∑ ∑ L = mi ri vi = ( mi ri2 )ω
i
i
L = Jω
(所有质元的动量矩之和)
强调：对于刚体的定轴转动， 只能用角动量来描述，而不能 用动量来描述。
第五章 刚体的转动
线元
V
dm dV r 体元
体密度
J
r
L
2
dl
J
S
dm dS
2 r dS
面元 面密度
J
V
r 2 dV
质量均匀分布的几种刚体的转动惯量
1 J mL2 12
J mR
2
1 J mR 2 2
1 J mL2 3
2 J mR 2 5
例题5-2 求质量为 m、长为 l 的均匀细棒对于 通过棒的中点而与棒垂直的轴的转动惯量。 解 在棒上取距轴OO'为x、长为dx的一小段 质量为 dm dx 根据转动惯量定义，棒对轴OO'的转动惯量为
转轴 转 轴
转 轴
转轴
转轴
作 用 力
放 大
转 轴
平动
起重吊车
刚体的一般运动 可以当作由一平动和一绕瞬时轴的转动组合而成
绕轴转动 车轮绕 轴转动
转轴平动
转轴 轮轴平动
平动和转动（转轴位置变）
三、定轴转动 转轴固定的转动
特点 刚体中任一点都在垂直于轴的平面内 作半径不同的圆周运动 在同一时间间隔内，各质点的角位移相等 同一时刻，各质点的角速度和角加速度相等
形状改变，不能视为刚体
形状大小不变 可视为刚体
有许多物体在外力不甚大时， 形状和大小改变不显著，可视为刚体
V
dm dV r 体元
体密度
J
r
L
2
dl
J
S
dm dS
2 r dS
面元 面密度
J
V
r 2 dV
质量均匀分布的几种刚体的转动惯量
1 J mL2 12
J mR
2
1 J mR 2 2
1 J mL2 3
2 J mR 2 5
例题5-2 求质量为 m、长为 l 的均匀细棒对于 通过棒的中点而与棒垂直的轴的转动惯量。 解 在棒上取距轴OO'为x、长为dx的一小段 质量为 dm dx 根据转动惯量定义，棒对轴OO'的转动惯量为
转轴 转 轴
转 轴
转轴
转轴
作 用 力
放 大
转 轴
平动
起重吊车
刚体的一般运动 可以当作由一平动和一绕瞬时轴的转动组合而成
绕轴转动 车轮绕 轴转动
转轴平动
转轴 轮轴平动
平动和转动（转轴位置变）
三、定轴转动 转轴固定的转动
特点 刚体中任一点都在垂直于轴的平面内 作半径不同的圆周运动 在同一时间间隔内，各质点的角位移相等 同一时刻，各质点的角速度和角加速度相等
形状改变，不能视为刚体
形状大小不变 可视为刚体
有许多物体在外力不甚大时， 形状和大小改变不显著，可视为刚体
第五章刚体的定轴转动
第五章 刚体的定轴转动
本章主要内容
1、刚体描述 2、刚体转动定律 3、转动惯量计算 4、刚体的角动量和角动量守恒 5、转动中的功和能
教学基本要求(力学重点）
一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌 握角量与线量的关系.
二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕 定轴转动的转动定理.
三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运 动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.
1 2
m( R22
R12 )
补例：质量为m 半径为 R 的匀质薄球壳绕过中心轴的
转动惯量 在球面取一圆环带，半径
R sin
d
r Rsin
dm
m
4R2
2
rRd
J r 2dm
2
2 mR 2 sin3 d
0
2 mR 2 3
补例：质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心轴的转动惯量 把球体看作无数个同心薄球壳的组合
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O Fz r
F
M z rF sin
（2）合力矩等于各分力 矩的矢量和 M M1 M2 M3
（3）刚体内作Байду номын сангаас力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
本章主要内容
1、刚体描述 2、刚体转动定律 3、转动惯量计算 4、刚体的角动量和角动量守恒 5、转动中的功和能
教学基本要求(力学重点）
一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌 握角量与线量的关系.
二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕 定轴转动的转动定理.
三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运 动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.
1 2
m( R22
R12 )
补例：质量为m 半径为 R 的匀质薄球壳绕过中心轴的
转动惯量 在球面取一圆环带，半径
R sin
d
r Rsin
dm
m
4R2
2
rRd
J r 2dm
2
2 mR 2 sin3 d
0
2 mR 2 3
补例：质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心轴的转动惯量 把球体看作无数个同心薄球壳的组合
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O Fz r
F
M z rF sin
（2）合力矩等于各分力 矩的矢量和 M M1 M2 M3
（3）刚体内作Байду номын сангаас力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
第五章 角动量角动量守恒定理
第五章角动量角动量守恒定理
本章结构框图
学习指导
本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。
基本要求
1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，
熟练进行有关计算。
6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
内容提要
1.基本概念
刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。即：
I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量
力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：
大学物理 第五章 角动量守恒与刚体的定轴转动
大学物理学
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
说明 a). 并非质点作周期性曲线运动才有角动量. b). 质点的角动量是相对于选定的参考点定义的.
2.
质L点的r 角p动 量定dp理
F
,(牛顿第二定律)
dL ?
dL
dt dr
mv
r
d(mv )
r
dt
F
dt dt
力矩 M rF
dt
M
F
o r
M rF sin Fd
d
大学物理学
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
质点角动量定理的微分形式
质点所受合外力对任一参考点的力矩等 于质点对该点角动量随时间的变化率.
M
dL
dt
质点角动量定理的积分形式
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
M
dt
t1
质点所受外力的冲量矩等于质点角动量的增量.
空矢定入间为义角运为r质类动,动:量似质量,为于点某, 也描相时m称述对刻的动转于相质量动原对点矩运点原以.动的点速时角O度的动的v角量位在量(角速o度L和 角r加速m度)m, 引v
L r p r mv 大小: L rp sin 单位: kg m2 s 方向: L的方向垂直于 r 和 p 所组成的平面, 符合右手法则.
刚体的角动量守恒定律
注意以下几点： 1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的； 2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加 速度、角速度的正负；
3.当系统中既有转动物体又有平动物体时，则对转
动物体按转动定律建立方程，对于平动物体按牛顿 定律建立方程。
例１、一个质量为M、半径为R的定滑轮
（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一 端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的 定轴O 物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静 止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。
J 1 ml 2 3
薄圆环 或薄圆筒
m R
J mR2
三、由刚转体动定定轴律转动的M角动dL量定理和转动定理
dt
得
Mdt dL
积分得
t
L
Mdt dL L L0
t0
当转动惯量一定时
t
L0 Mdt
J －J0
当转动惯量变化时
t0
t
Mdt
J
－J
0
0
t0
刚体的角动量定理：当转轴给定时，作用在刚体
位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。
解：棒下摆为加速过程，外
x
力矩为重力对O 的力矩。 棒
O
X
上取质元dm,当棒处在下摆
角时，重力矩为：
dm
M＝ gxdm g xdm 据质心定义 xdm mxc
大学物理第5章角动量守恒定律
1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
tg F2 cos F1 10sin
F1
β
F2 lm
O
θC
mg
例3:一半径为R，质量为m的匀质圆盘，平放在粗糙的水
平桌面上。设盘与桌面间的摩擦系数为 。令圆盘以
0绕中心轴旋转后，问经过多少时间才停止转动？
解:
m
R2
dm 2rdr
dM z r gdm
Mz 0R 2gr2dr
2 3
mgR
dL
dt
i
ri Fi
i
(ri fij )
i j
M外 M内
Fi
m1
mi fij
mj
ri
f ji
O rj
Fj
M外 ri Fi
M内 (ri fij ) 0
i
i
i j
M外
dL dt
角动量守恒
2
2m r
1
J m2 g m1 m2 r 2 J
2
结论:
1.由于考虑了滑轮的质量,使得 T1 T2
2. 若m1 m2则T1T2
[例5-2] “打击中心”问题 细杆：m, l ，轴O，在竖直位置静止.若在某 时刻有力作用在A处，求轴对杆的作用力。
解： 可通过转动定理求细杆的转动，再求 质心加速度。利用质心运动定理求支反力。
第5章 刚体力学基础
刚体是一个理想模型，指物体受到力的作用时 完全不会发生形变。因此运动过程中刚体内部 任意两点之间的距离始终保持不变。 第一节 刚体运动的描述 一、 刚体运动基本形式和自由度 自由度：完全描述运动所需的独立坐标数
（决定物体空间位置）
1 平动（平移）：刚体内任意两质点连线的 方向保持不变 自由度 i 3 ( xc yc zc )
T2 T2
r
T2 m2 g m2a
T1r T2 r J
a r
a
T1
T1
m2 g
m1 g
a
解得:
m1 m2 r g a m1 m2 r 2 J
2
m1 m2 rg m1 m2 r 2 J
T2
T1
2m r
2
J m1 g m1 m2 r 2 J
2m r
1
J m2 g m1 m2 r 2 J
2
结论:
1.由于考虑了滑轮的质量,使得 T1 T2
2. 若m1 m2则T1T2
[例5-2] “打击中心”问题 细杆：m, l ，轴O，在竖直位置静止.若在某 时刻有力作用在A处，求轴对杆的作用力。
解： 可通过转动定理求细杆的转动，再求 质心加速度。利用质心运动定理求支反力。
第5章 刚体力学基础
刚体是一个理想模型，指物体受到力的作用时 完全不会发生形变。因此运动过程中刚体内部 任意两点之间的距离始终保持不变。 第一节 刚体运动的描述 一、 刚体运动基本形式和自由度 自由度：完全描述运动所需的独立坐标数
（决定物体空间位置）
1 平动（平移）：刚体内任意两质点连线的 方向保持不变 自由度 i 3 ( xc yc zc )
T2 T2
r
T2 m2 g m2a
T1r T2 r J
a r
a
T1
T1
m2 g
m1 g
a
解得:
m1 m2 r g a m1 m2 r 2 J
2
m1 m2 rg m1 m2 r 2 J
T2
T1
2m r
2
J m1 g m1 m2 r 2 J
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线量与角量的关系
这是定轴转动中线量与角量的基本关系
刚体转动定律引言
质点
或 刚体平动
的运动定律
F = ma
合外力 惯性质量 合加速度
若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？
主要概念 使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量
合外力矩
M1
外力在转动平面上对转 轴的力矩使刚体发生转动
F2
mg
T2 T2
Fra Baidu bibliotek
联立：aA= aB=a=g-2a-gsinɑ；
m1 g
T1 =mg-2ma；T2=mg-ma
为什么此时 T1 ≠ T2 ？
M = F1 d 1
r Ft 2 r2 F2 d 2 = Ft 叉乘右螺旋 1 r1
刚体的角动量
定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加 任一质元（视为质点）的质量
角动量大小（速度~半径）
全部质元总角动量大小
∑
∑
所有质点都以其垂轴 距离为半径作圆周运动
∑
对质量连续分布的刚体
首先，刚体作为质点系，必然遵守质点系角动量定理
利用初始条件:t=0, 0=0, 0=0
积分:
解: 细杆受力P 和N
合力矩：
3g d 2l sin d 0 0
3g (1 cos ) l
1 M p M N mg l sin 2
在角时角速度
例2 如图，斜面倾角为α ，质量均为m的两物体A、B，经细绳联接，绕 过一定滑轮。定滑轮（视为圆盘）半径为R、质量为m。
可看成是许多半径不同的共轴 匀质实心球对心轴的 球体算例 薄圆盘的转动惯量 的迭加 距 为 半径为 、微厚为 的薄圆盘的转动惯量为
其中
匀质矩形薄板
转轴通过中 心垂直板面
其它典型
匀质厚圆筒
转轴沿几何轴
m J= (a 2 + b 2 ) 12 匀质细圆环
转轴通过中 心垂直环面
m J = 2 (R12 + R22 ) 匀质圆柱体
求：物体运动中定滑轮两侧绳中张力及B下落加速度a（不计摩擦）
解：分析受力：图示
质点A
J ,r
质点B
T1 mg sin maA mg T2 maB
FN
A
T1
B
FR
滑轮（刚体）
T2r T1 r Jb
( T2 T2,T1 T1 )
联系量
T1
a A aB rb
则何时 ，
恒定 则何时
恒定
◆刚体定轴转动定律的应用
1 由转动定律 M mgl sin Jb 2 细杆长为l, 质量为m , 1 2 而 J ml 求从竖直位置由静止转到 3 角时的角加速度和角速度. d 3g 于是 b sin
利用
l
有 N P O
dt 2l d d d d b dt d dt d 3g d sin d 2l
力学(Mechanics)
第五章 刚体的定轴转动
§5.1 刚体的平动和定轴转动 §5.2 刚体定轴转动定律 §5.3 转动定律的应用 §5.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律 §5.5 刚体定轴转动的功和能
实践与应用
一 刚体的平动和定轴转动
什么是刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 . （任意两质 点间距离保持不变的特殊质点组） 1.平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意 两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线 .
外
外
因为
d J J dt
L J
那么
外
（相当于 F ma）
（常用在某转轴上的分量式）
d Mz J J dt
刚体的定轴转动定律 定轴转动刚体的角加速度α与刚体所受的合外力 的力矩 M 成正比，与刚体的转动惯量 J 成反比。 角加速度方向与力矩方向一致
将刚体转动定律 M
匀角速
转轴 用矢量表 示 或 时，它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则
4. 角加速度
匀角速 常量 匀角加速 变角加速
转动方程微积分示例
恒量
且t=0 时
得
得
任意时刻的 匀变角速定轴转动的角位移方程
或
匀变角速定轴转动的运动方程
定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ， 瞬 时角加速度 ， 刚体中一质点P至转轴的距离为r 瞬时线速度 的大小 质点P 瞬时切向加速度 瞬时法向加速度
转轴通过中心 垂直于几何轴
J = m R2 匀质细圆环
转轴沿着 环的直径
J=
m 2 m 2 L R + 4 12 匀质薄球壳
转轴通过球心
J=
mR 2
2
2 m R2 J= 3
转动定律例题一
合外力矩 应由各分力矩进行合成 。
在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力 矩与此向相同则为正，反之为负。 合外力矩 与 与合角加速度 时刻对应，何时 何时 方向一致。
刚体平动
质点运动
一 刚体的平动和定轴转动
2. 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
定轴转动参量
1. 角位置
刚体定轴转动 的运动方程
刚体
刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
3. 角速度
静止 常量 变角速
转动平面（包含p并与转轴垂直）
Ft 2
j2
r2
P2
O
r1
F t1
P1
F1
j1
d2 d1
力矩 M1 = r1 × F1 大小 M1 = r1 F1 sin j1 方向
M2
合外力矩 大小
大小
M = M1 + M 2
= F1 d 1 = Ft 1 r1 M M 2 = r 2 × F2 M 2 = r 2F 2 sin j 2 F 2 r2 = F2 d 2 = Ft
∑
转轴
∑
0.75
（2）质量连续分布的刚体 J 考虑: dm dx或 dS或 dV
匀直细杆对中垂轴的 匀直细杆对端垂轴的
平行移轴定理
对质心轴的转动惯量 对新轴的转动惯量 新轴对心轴的平移量 质心 例如： 代入可得 端
时
新轴
质心轴
匀质薄圆盘对心垂轴的 圆盘算例
取半径为 微宽为 窄环带的质量为质元 的
转动惯量
J 是刚体转动惯性的量度
=Jb
与质点运动定律 F
= m a 对比
J
∑
与刚体的质量、形状、大小 及质量对转轴的分布情况有关
对分离和连续刚体，转动惯量都符合标量叠加原则
对质量连续分布的刚体用积分求
J ， 如对体分布情形：
为体积元 处的密度
J J
的单位为
（1）可视为分立质点结构的刚体
转轴
若连接两小球（视为质点）的 轻细硬杆的质量可以忽略，则