2015-2016学年山西忻州岢岚二中九年级数学学案：21.2.2《公式法》1(新人教版上册)

人教版九年级上册数学学案 21.2.2 公式法

3.公式法解一元二次方程(仔细阅读课本P36页例2解答过程，讨论如何用公式法解一元二次方程？)
解一元二次方程的步骤：
（1）；（2）；
（3）；（4）。
三、展示反馈：
解下列方程：
（1）x2+x-6=0; (2)x2- x- =0; (3)3x2-6x-2=0;
(4)4x2-6x=0 ; (5) x(2x-4)=5-8x.; (6)（x-2）（x+5）＝8；
解：移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，
方程左边写成平方式，
∵a≠0,∴4a20,有以下三种情况：
（1）当b2-4ac>0时，；。
（2）当b2-4ac=0时，。
（3）b2-4ac<0时，方程根的情况为。
2.由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）式子叫做方程ax2＋bx＋c= 0（a≠0）根的，通常用字母“△”表示。
当△0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根；
当△0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根；
当△0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)实数根。
教学反思
学习目标：1、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0；2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；
难点：推导求根公式的过程。
1、自主学习：
用配方法解方程4x2-6x -3=0
2、探究新知：1.用配方Βιβλιοθήκη 解方程ax2＋bx＋c= 0（a≠0）
九年级数学科探究新知学案主备:时间：9月5日姓名：

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计1

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计1一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.2.2节“公式法”是学习二次函数求解的重要内容。

本节内容通过公式法，引导学生掌握二次函数的求解过程，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材以实例引入，让学生通过观察、分析、归纳，探索并掌握二次函数的求解公式，并能在实际问题中灵活运用。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本概念和图像，但对二次函数的求解方法可能还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，深入理解公式法的原理和应用。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数的求解公式，能够运用公式法解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳，培养学生探索二次函数求解方法的能力。

3.情感态度与价值观：培养学生运用数学知识解决实际问题的兴趣，提高学生的自信心。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的求解公式及应用。

2.难点：灵活运用公式法解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入，激发学生的学习兴趣。

2.引导发现法：引导学生观察、分析、归纳，探索二次函数的求解方法。

3.合作交流法：鼓励学生与他人合作，共同解决问题。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数的求解过程。

2.实例：准备一些实际问题，用于引导学生运用公式法求解。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个实际问题：某商品打8折后的价格是120元，求原价。

引导学生思考如何解决这个问题，从而引出二次函数的求解方法。

2.呈现（10分钟）展示二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0），引导学生观察实例中的二次函数，发现其特点。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组尝试用公式法求解一个实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生回答问题：如何判断一个二次方程有实数根、有两个相等的实数根还是有三个实数根？并解释原因。

人教版-数学-九年级上册-21.2.2 公式法(1) 教案

21.2.2 公式法第一课时一、教学目标（一）学习目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况.（二）学习重点掌握一元二次方程的根的判别式．（三）学习难点理解求根公式的推导过程及判别公式的应用．二、教学设计（一）课前设计预习任务求根公式解方程的一般步骤：1.把方程化成一般形式，并写出a ，b ，c 的值．2.3.代入求根公式: 2b x a -±=， (a≠0， b2-4ac≥0)4.写出方程的解：12x x ==预习自测1.一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4a c≥0时，它的根是_____，当b2-4ac<0时，方程_________．【知识点】求根公式【解题过程】当b2-4ac≥0时，x=2b a -±，当b2-4ac<0时，无实数根【思路点拨】一元二次方程的求根公式．【答案】x=2b a -±，无实数根2.方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有________，若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________．【知识点】一元二次方程的根的情况．【解题过程】b2-4ac=0，b2-4ac>0，b2-4ac<0【思路点拨】一元二次方程的求根公式适用条件．【答案】b2-4ac=0，b2-4ac>0，b2-4ac<03. 不解方程，判定2x2-3=4x 的根的情况是______（填“两个不等实根”或“两个相等实根或没有实根”）【知识点】一元二次方程的求根公式．【解题过程】原方程可化为2224302,4,340x x a b c b ac --===-=-∆=->∴有两个不等实根【思路点拨】一元二次方程的求根公式【答案】有两个不等实根4. 下列一元二次方程没有实数根的是（）A ．x2+2x+1=0B ．x2+x+2=0C ．x2﹣1=0D ．x2﹣2x ﹣1=0【知识点】根的判别式．【解题过程】解：A.Δ=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B.Δ=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C.Δ=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D.Δ=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；【思路点拨】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【答案】B ．（二）课堂设计1.知识回顾用配方法解一元二次方程的步骤是：（1）化二次项系数为1——两边同除以二次项的系数；（2）移项——将含有x 的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；（4）将原方程变成()2x m n +=的形式；（5）判断右边代数式的符号，若0n ≥，可以直接开方求解；若0n <原方程无解．教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤，为本节课的学习做好铺垫．2.问题探究探究一探索一元二次方程的求根公式●活动① 复习旧知用配方法解下列方程：()2222(1)4(2)034(4)6710x x x x x ===--+=解：1212(1)2,2(2)0(3)x x x x ==-==方程无实数根（解）（4）移项得到6x2-7x=-1，二次项系数化为1，得到271,66x x -=-配方得到 x2-76x+（712）2=-16+（712）2写成（x+m ）2=n 形式得到（x-712）2=25144，直接开平方，得到x-712=±512，1211,6x x ==教师问：为什么有的方程有两个不等的实数根？有的方程有两个相等的实数根，有的方程没有实数根呢？学生答：当被开方数大于0 的时候有两个不等的实数根；当被开方数等于0 的时候有两个相等的实数根；当被开方数小于0 的时候没有实数根．【设计意图】让学生在用配方法的基础上解一元二次方程，探索出方程的根的情况． ●活动② 以旧引新问题1：你能用一般方法把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）转化为（x+m)2=n 的形式吗？说明：教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识，最后化成（x+2ba )2=2244a acb -∵a≠0，方程两边都除以a ，得x2+0=+a c x a b移项，得x2+a c x ab -= 配方，得x2+22)2(-)2(a b a c a b x ab +=+ 即（x+=2)2a b 2244a ac b - 问题2：当b2_4ac≥0，且a≠0时，2244a acb -大于等于零吗？教师让学生思考，分析，发表意见，得出结论：当b2-4ac≥0时，因为a≠0，说以4a2＞0，从而得出04422≥-a ac b问题3：在问题2的条件下直接开平方，你得到了什么？让学生讨论可得x+2b a=说明：若有必要可让学生讨论=为什么成立.【设计意图】让学生在配方法的基础上解一元二次方程，进而探索出配方法．并学生探索出公式法的使用条件．探究二证明一元二次方程的求根公式. ★ ▲●活动① 大胆猜想，探究新知由问题1，问题2，问题3，你能得出什么结论？让学生讨论，交流，从中得出结论，当b2-4ac≥0时，一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根为x+a ac b a b 2422-±=，即x=a ac b b 242-±-由以上研究结果得到了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的求根公式：x=04(2422≥--±-ac b a ac b b ），这个公式就称为“求根公式”．利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．（1）求根公式-b 2a x =（b2-4ac≥0）是专指一元二次方程的求根公式，b2-4ac≥0是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式的重要条件．（2）用公式法（求根公式）解一元二次方程，实际上就是给出A.B.c 的数值（或表示式），然后对代数式a ac24b b -2-±进行求值，由于这样的计算比较复杂，所以提醒学生计算时注意A.B.c 的符号．【设计意图】引导学生建立用公式法解一元二次方程的数学模型，培养学生的建模思想． ●活动② 集思广益，探究一元二次方程解的情况老师问：当b2-4ac≥0，方程才有实数根，那么什么时候有两个相等实数根？什么时候有两个不等实数根？什么时候没有实数根呢？240b ac -=，有两个相等实数根；240b ac ->，有两个不等实数根；240b ac -<，没有实数根．一般的，式子24b ac -叫做一元二次方程20ax bx c ++=根的判别式，通常用希腊字母∆表示它，即24b ac ∆=- 【设计意图】将公式法的公式进行拓展，培养学生的发散思维和知识迁移能力．探究三利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况. ★ ▲●活动 ① 用根的判别式判断方程解的个数例1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A ．4x2﹣5x+2=0B ．x2﹣6x+9=0C ．5x2﹣4x ﹣1=0D ．3x2﹣4x+1=0【解题过程】解：A∵Δ=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确；B∵Δ=36﹣4×1×9=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；C∵Δ=16﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴方程有两个不等的实数根，故本选项错误；D∵Δ=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有两个不等的实数根，故本选项错误；【思路点拨】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．【答案】A练习1.下列方程有实数根的是（）A．x2﹣x﹣1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣6x+10=0 D．x2x+1=0【知识点】根的判别式【解题过程】解：A.Δ=b2﹣4ac=(-1)2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，则方程有实数根．故正确；B.Δ=1﹣4×1×1=﹣3＜0，则方程无实数根，故错误；C.Δ=36﹣4×1×10=﹣4＜0，则方程无实数根，故错误；D.Δ=2﹣4×1×1=﹣2＜0，则方程无实数根，故错误．故选A．【思路点拔】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ=b2﹣4ac的值的符号就可以了．一元二次方程有实数根即判别式大于或等于0．总一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．【答案】A例2. 一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【解题过程】解：∵a=1，b=﹣4，c=4，∴Δ=16﹣16=0，∴方程有两个相等的实数根．故选C．【思路点拨】要判断方程x2﹣4x+4=0的根的情况就要求出方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【答案】C练习2. 已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【知识点】根的判别式【解题过程】解：∵Δ=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．【思路点拨】先求出Δ的值，再判断出其符号即可【答案】B【设计意图】根的判别式的应用：判断方程的解的个数．●活动②用根的判别式根据方程解的个数判断系数例3. 已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0，不论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围．【知识点】根的判别式【解题过程】解：由题意有Δ=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得14 m≤，∴实数m的取值范围是14 m≤.【思路点拨】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式Δ=b2﹣4ac≥0，建立关于m 的不等式，求出m的取值范围.【答案】14 m≤练习3.（1）若关于x的方程x2+x﹣a+94=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a≥2 B．a≤2C．a＞2 D．a＜2 【知识点】根的判别式【解题过程】解：根据题意得Δ=12﹣4（﹣a+94）＞0，解得a＞2．【思路点拨】根据判别式的意义得到Δ=12﹣4（﹣a+94）＞0，然后解一元一次不等式即可．【答案】C练习3.（2）若关于x的方程210x--=有实数根，则k的取值范围为（）A．k≥0 B．k＞0 C．k≥49-D．k＞49-【知识点】根的判别式【解题过程】解：∵关于x的方程210x--=有实数根，∴Δ=b2﹣4ac=（﹣解得：k≥49 -，∴k≥0，故本题选A．【思路点拨】若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ=b2﹣4a c≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要根据二次根式的意义可知k≥0，然后确定最后k的取值范围．【答案】A例4. 一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞2 B．k＜2且k≠1 C．k＜2 D．k＞2且k≠1【知识点】根的判别式【解题过程】解：∵a=1﹣k，b=﹣2，c=﹣1，一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b2﹣4ac=22﹣4×（1﹣k）×（﹣1）＞0，解得k＜2，∵（1﹣k）是二次项系数，不能为0，∴k≠1且k＜2．故选B．【思路点拔】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数时下必须满足Δ=b2﹣4ac＞0．【答案】B练习4. 已知关于x的方程kx2﹣3x+2=0有两个实数根，则k的取值范围为（）A．98k≤B．k＜98C．k＜98且k≠0D．98k≤且k≠0【知识点】根的判别式【解题过程】解：由题意得：9﹣4k×2≥0；k≠0，∴k≤98，且k≠0，故选D．【思路点拔】让△=b2﹣4ac≥0，且二次项的系数不为0保证此方程为一元二次方程．【答案】D【设计意图】根的判别式的应用：根据判断方程的解的个数判断系数大小．●活动③根的判别式的综合应用例5．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．【知识点】根的判别式，解一元二次方程【解答】解：（1）∵Δ=2﹣4（k2﹣1）=4k2﹣8k+4﹣4k2+4=﹣8k+8，又∵原方程有两个不相等的实数根，∴﹣8k+8＞0，解得k ＜1，即实数k 的取值范围是k ＜1；（2）假设0是方程的一个根，则代入原方程得02+2（k ﹣1）•0+k2﹣1=0，解得k=﹣1或k=1（舍去），即当k=﹣1时，0就为原方程的一个根，此时原方程变为x2﹣4x=0，解得x1=0，x2=4，所以它的另一个根是4．【思路点拨】（1）方程有两个不相等的实数根，必须满足Δ=b2﹣4ac ＞0，由此可以得到关于k 的不等式，然后解不等式即可求出实数k 的取值范围；（2）利用假设的方法，求出它的另一个根．【答案】（1）k ＜1；（2）0是该方程的根，它的另一个根为4.练习5. 阅读材料并回答问题．求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根（用配方法）．解：ax2+bx+c=0，∵a≠0，∴x2+b a x+ca =0，第一步移项得：x2+b a x=﹣ca ，第二步两边同时加上（2b a ）2，得x2+b a x+（2b a ）2=﹣c a +（2ba ）2，第三步整理得：（x+2b a ）2=2244b ac a -，直接开方得x+2ba，第四步 ∴x=2b a -，∴x1=2b a -+，x2=2b a -，第五步上述解题过程是否有错误？若有，说明在第几步，指明产生错误的原因，写出正确的过程；若没有，请说明上述解题过程所用的方法．【知识点】解一元二次方程﹣公式法．【解题过程】解：有错误，在第四步．错误的原因是在开方时对b2﹣4ac 的值是否是非负数没有进行讨论．正确步骤为：（x+2ba ）2=2244b ac a -，①当b2﹣4ac≥0时， x+2bax+2ba=±2a ，x=，∴x1=，x2=．②当b2﹣4ac ＜0时，原方程无解．【思路点拔】①检查原题中的解题过程是否有误：在第四步时，在开方时对b2﹣4ac 的值是否是非负数没有进行讨论；②更正：分类讨论b2﹣4ac≥0和b2﹣4ac ＜0时，原方程根的情况．【答案】①当b2﹣4ac≥0时，∴x1=2b a -+，x2=2b a --．②当b2﹣4ac ＜0时，原方程无解．例6. 设m 为整数，且4＜m ＜40，方程x2﹣2（2m ﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个不相等的整数根，求m 的值及方程的根．【知识点】解一元二次方程﹣公式法．【解题过程】解：解方程x2﹣2（2m ﹣3）x+4m2﹣14m+8=0，得()23x m ==-± ∵原方程有两个不相等的整数根，∴2m+1为完全平方数，又∵m为整数，且4＜m＜40，2m+1为奇数完全平方数，∴2m+1=25或49，解得m=12或24．∴当m=12时，243215x=-±=±，x1=26，x2=16；当m=24时，1248345752x x x=-=±=，，=38．【思路点拔】根据求根公式可知：x=2ba-±=（2m﹣3，根据4＜m＜40可知m的值为12或24，再把m值代入求解即可．【答案】m的值为12或24；当m=12时，x1=26，x2=24，当m=24时，x1=52，x2=38.练习6. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当x12﹣x22=0时，求m的值．【知识点】根的判别式、解一元二次方程﹣公式法．【解题过程】解：（1）由题意有Δ=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得14 m≤，∴实数m的取值范围是14 m≤；（2）由两根关系，得x1+x2=﹣（2m﹣1），x1•x2=m2，由x12﹣x22=0得（x1+x2）（x1﹣x2）=0，若x1+x2=0，即﹣（2m﹣1）=0，解得12 m=，∵12＞14，∴12m=不合题意，舍去，若x1﹣x2=0，即x1=x2∴Δ=0，解得m=14，由（1）知14m≤，故当x12﹣x22=0时，14m =．【思路点拨】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围；（2）由x12﹣x22=0得x1+x2=0或x1﹣x2=0；当x1+x2=0时，运用两根关系可以得到﹣2m ﹣1=0或方程有两个相等的实根，Δ=0，据此即可求得m 的值．【答案】（1）14m ≤．（2）14m = 【设计意图】根的判别式的综合应用．3. 课堂总结知识梳理1.本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程．2. 求根公式是一元二次方程的专用公式，只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式．重难点归纳（1）用求根公式解方程的一般步骤：1.把方程化成一般形式，并写出a ，b ，c 的值．2.求出b2-4ac 的值．3.代入求根公式:2b x a -±= (a≠0， b2-4ac≥0)4.写出方程的解： x1=？， x2=？（2）公式法解一元二次方程的前提：b2-4ac≥0（3）240b ac ∆=-=，有两个相等实数根；240b ac ∆=->，有两个不等实数根；240b ac ∆=-<，没有实数根.。

部编版人教初中数学九年级上册《21.2.2 公式法教学设计》最新精品优秀完美实用教案

让学生尝试对
和数学结论的
b2 4ac 的值进行确定性.
4a2
活动 5.初步使用公式解方程 6x2-7x+1=0.
分析
对 b2 4ac 的
活动 6.总结使用公式法的一般步骤：○1 把方程整理成一般形学生尝试归纳，师生
4a2
式，确定 a,b,c 的值，注意符号
总结
值的情况具有
学生初步使用公式，不确定性进行
教
技能情况.
3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.
学
1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探
索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.；
过程
目
2.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方
方法
程，操作简单.
加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯
过部分电费为多少元？（•用 A 表示）
加深认识，深
（2）下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况
化提高，形成
月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元）
3
80
25
学生自己的知识体系.
4
45
10
根据上表数据，求电厂规定的 A 值为多少？
2a
三、课堂训练
为以后熟练使用公式打基础
1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况
（1）2x2-4x-1=0
（2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
-1-
2.课本例 2 四、小结归纳
本节课应掌握： 1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根 2.用求根公式求一元二次方程的根 3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程. 五、作业设计

九年级数学： 21.2.2解一元二次方程(公式法)教案

作
业
必做：课本12页练习。
自主学习中的能力提升部分。
选做：自主学习中的拓展问题.
教师布置作业，并提出要求.
学生课下独立完成，延续课堂.
三、【板书设计】
21.2.3解一元二次方程（公式法）教案
求根公式：
四、【教后反思】
教学
重点
推导求根公式的过程，理解根的判别式的作用．
教学
难点
熟练运用根的判别式解决根，字母系数的取值等相关问题.
二、【教学流程】
教学环节
教学问题设计
师生活动
二次备课
创
设
情
景
【问题1】
我们知道，任意一个一元二次方程都可以化为一般形式是：
ax2+bx+c=0(a≠0)
你能用配方法求得它的解吗？
通过问题，激发学生对旧知的回忆.即配方法的一般步骤.
小
结
1.通过本节课的学习你有什么收获？
2.你还有哪些疑惑？
学生独立思考，师生梳理本课的知识点及方法
1.求根公式的推导过程.
2．用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a、b、c的值、再算出判别式的值、最后代入求根公式求解．
3．用判别式判定一元二次方程根的情况.及求相关字母的取值范围.
注意：字母系数。
21.2.2解一元二次方程（公式法）教案
一、【教材分析】
教
学
目标知识目标 Nhomakorabea1.会用公式法解一元二次方程，理解用根的判别式判别根的情况及求相关的字母的取值范围.
能力
目标
1.经历推导求根公式的过程，加强推理技技能训练，进一步发展逻辑思维能力.体验类比、转化、降次的数学思想方法.
情感
目标

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教案2

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教案2一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.2.2节“公式法”，主要介绍了二次函数的顶点坐标公式和判别式的计算方法。

这一节内容是学生在学习了二次函数图像和性质的基础上，进一步深化对二次函数的理解。

本节内容的教学，旨在让学生掌握二次函数的顶点坐标公式，能够运用判别式判断二次函数图象与x轴的交点个数，提高学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念、图像和性质，对于二次函数有一定的了解。

但是，对于二次函数的顶点坐标公式和判别式的计算方法，部分学生可能还不太熟悉。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生回顾二次函数的相关知识，帮助学生理解和掌握顶点坐标公式和判别式的计算方法。

三. 教学目标1.让学生掌握二次函数的顶点坐标公式。

2.让学生学会运用判别式判断二次函数图象与x轴的交点个数。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的顶点坐标公式的记忆和应用。

2.判别式的计算方法和判断二次函数图象与x轴交点个数的方法。

五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、讨论法、练习法等教学方法，以教师为主导，学生为主体，通过引导学生自主探究、合作交流，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次函数的基本概念、图像和性质，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）讲解二次函数的顶点坐标公式，并通过示例让学生理解公式的含义和应用。

接着，介绍判别式的计算方法，让学生学会判断二次函数图象与x轴的交点个数。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给出的几个二次函数的图象，运用顶点坐标公式和判别式计算方法，判断函数图象与x轴的交点个数，并解释原因。

4.巩固（10分钟）让学生回答一些有关二次函数的判断题，检验学生对顶点坐标公式和判别式计算方法的掌握程度。

人教版九年级上册 21.2.2公式法学案设计

3.如果关于x的方程ax2+x–1= 0有实数根，则a的取值范围是。
【导学点拨】
一元二次方程的根的判别式的应用
1.不解方程判断方程根的情况；
2.根据方程根的情况求方程中未知系数字母的取值。
【达标训练】
1、利用判别式判定下列方程的根的情况：
（1）2x2-3x- =0 （2）16x2-24x+9=0
（3）x2- x+9=0 （4）3x2+10x=2x2+8x
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
5、若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
6、已知关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0，求m取什么值时，
⑴方程有两个不相等的实数根？
⑵方程有两个相等的实数根？
⑶方程没有实数根？
【课后反思】
课题
21.2.2公式法
二次备课
（学习笔记）
学科模
学导练
课型
新授课
主备人
审核人
【重点难点】
重点：用根的判别式解决实际问题；
难点：根的判别式的发现；
【学法指导】
认真阅读课本
【导入明标】
1.了解掌握根的判别式；
2.不解方程能判定一元二次方程根的情况；
3. 会用根的判别式解决实际问题。
【引学独学】
1．请同学们用公式法求解下列方程：
A. B.
C. D.
【对学群学】
探究一元二次方程的根的判别式的性质的逆用
思考并交流：
1.当方程有两个不相等的实数根时，能得到b2-4ac>0吗？

人教版九年级数学上册导学案：21.2.2_公式法【精品】

21.2.2 公式法学习目标1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。

重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；难点：推导求根公式的过程。

导学流程复习提问：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程32-6-8=0;3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下.a2＋b＋c＝0(a≠0).推导公式用配方法解一元二次方程a2＋b＋c＝0(a≠0).因为a≠0，方程两边都除以a，得_____________________＝0.移项，得2＋＝________，配方，得2＋＋______＝______－,即(____________) 2＝___________因为a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得_____________________________.所以＝_______________________即＝_________________________＝( b2－4 ac≥0)由以上研究的结果，得到了一元二次方程a2＋b＋c＝0的求根公式：精讲点拨利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.合作交流b 2－4 ac 为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？展示反馈学生在合作交流后展示小组学习成果。

① 当b 2－4ac ＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等） ② 当b 2－4ac ＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根1＝2＝＿＿＿＿＿＿＿＿③ 当b 2－4ac ＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.深入探究：自学P36页例2，完成下列特别各题：应用公式法解下列方程(1) 2 2＋－6＝0； (2) 2＋4＝2；(3) 52－4－12＝0； (4) 42＋4＋10＝1－8.巩固提高：完成P37页练习课堂小结1、一元二次方程的求根公式是什么？2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？达标测评（A）1、应用公式法解方程：(1) 2－6＋1＝0；(2)22－＝6；(3)42－3－1＝－2；(4)3(－3) ＝2(－1) (＋1).（5）（-2）（+5）＝8；（6）（＋1）2＝2（＋1）.。

人教版数学九年级上册教学设计21.2.2《公式法》

人教版数学九年级上册教学设计21.2.2《公式法》一. 教材分析人教版数学九年级上册第21.2.2节《公式法》是二次函数求解部分的重要内容。

本节主要介绍公式法求解二次方程的步骤和应用。

教材通过例题和练习题，使学生掌握公式法的基本原理，能够熟练运用公式法求解二次方程，并解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念和图像，对二次函数有一定的认识。

但学生在求解二次方程时，可能还不太熟悉公式法，需要通过本节课的学习，进一步巩固和提高。

三. 教学目标1.了解公式法求解二次方程的基本原理。

2.掌握公式法求解二次方程的步骤。

3.能够熟练运用公式法求解二次方程，并解决实际问题。

4.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：公式法求解二次方程的基本原理和步骤。

2.难点：如何灵活运用公式法求解实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：讲解公式法的基本原理和步骤。

2.案例分析法：分析例题，引导学生运用公式法解决问题。

3.练习法：通过练习题，巩固所学知识。

4.小组讨论法：分组讨论，共同解决问题。

六. 教学准备1.教材和人教版数学九年级上册相关资料。

2.投影仪和电脑。

3.练习题和答案。

4.教学课件。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示二次方程的图像，引导学生回顾二次函数的基本概念。

然后提出问题：“如何求解二次方程？”引发学生的思考。

2.呈现（10分钟）介绍公式法求解二次方程的基本原理和步骤。

通过讲解和示例，让学生明白公式法的运用过程。

3.操练（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（5分钟）分组讨论：如何运用公式法解决实际问题？让学生通过讨论，提高解决问题的能力。

5.拓展（5分钟）出示一些实际问题，让学生运用公式法解决。

教师点评学生的解题过程，指出不足之处。

6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调公式法在解决二次方程中的应用。

7.家庭作业（5分钟）布置一些有关公式法的练习题，让学生巩固所学知识。

九年级数学上册导学案：21.2.2公式法解一元二次方程(

21.2.2公式法解一元二次方程（第1课时）一、研学目标：班别：姓名：小组：1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．2．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入()002≠=++a c bx ax 的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．二、研学重点、难点重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式法的推导三、自主研学小测：1、用配方法解方程（1）22430x x +-=总结用配方法解一元二次方程的步骤：（1）移项；（2）化二次项系数为；（3）方程两边都加上；（4）原方程变形为的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接求出方程的解；如果右边是负数，则一元二次方程．3.试一试：用配方法解 ()002≠=++a c bx ax 解：移项： 2_____ax bx +=二次项系数化为1： 2________b x x a += 配方：2__________________b x x a++=+ 即： ()2______________x +=∵0a ≠，即24a _____0 当24b ac -＞0时，2244b ac a -_______0∴2b x a+=_________ ∴x =方程的两个根为：3、式子叫做方程()002≠=++a c bx ax 根的判别式，通常用希腊字母表示，即四、互动研学当042≥-=∆ac b 时，方程()002≠=++a c bx ax 的两个根可写为：小结：由上可知，一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的根由系数a 、b 、c 确定。

因此，解一元二次方程时，可先将方程化为一般形式20ax bx c ++=，当240b ac ∆=-≥时，将a 、b 、c 代入式子：242b b ac x a-±-= 这个式子叫一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法。

山西省忻州市九年级数学上册 21.2.2 公式法学案2(新版)新人教版

当⊿=b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根。
3）上述命题的逆命题成立吗？由此你能得到什么？
3、合作探究
见《导学》展题设计
三、展示与反馈：
检查自学情况,解答学生疑问。
四、学习小结：
1、一元二次方程的根的判别式。
2、判别定理。
五、达标检测
1、不解方程,判定方程根的情况
结合求根公式思考b2－4ac的作用。
2 、出示任务自主学习
阅读课本的有关内容,思考下列问题：
什么叫一元二次方程的根的判别式？如何表示？
对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
当⊿=b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx +c=0（a≠0）有两个不相等实数根
当⊿= b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根
1、一元二次方程的根的判别式。
2、判别定理。
课后反思
公式法
学习目标：1、知识和技能：了解一元二次方程根的判别式；
知道一元二次方程的根的判别式的应用。
2、过程和方法：
经历研究一元二次方程的根的情况过程,深刻体会分类讨论的数学思想。
3、情感、态度、价值观：
通过对一元二次方程的根的情况的讨论,培养学生思考问题的严密性。
学习重点：
一元二次方程的根的判别式的应用
学习难点：
利用根的判别式进行有关证明。
导学方法：
课时：
导学过程
一、课前预习：
阅读课本P31——34的有关内容,尝试解答《导学》中教材导读中的问题及自主测评。
二、课堂导学：
1、导入

山西省忻州市岢岚县第二中学九年级数学上册 21.2.2 公式法学案1(无答案)(新版)新人教版

公式法
学习目标：
1、知识和技能：
理解一元二次方程求根公式的推导过程；
会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；
2、过程和方法：
经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力；
3 、情感、态度、价值观：
通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。
板书设计：
21.2.2公式法
1、一元二次方程的求根公式．
2、公式法。
2、用公式法解一元二次方程的步骤。
课后反思：
3、合作探究
b2－4ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？
三、展示与反馈：
检查自学情况，解答学生疑问。
四、学习小结：
1、一元二次方程的求根公式．
2、公式法。
2、用公式法解一元二次方程的步骤。
五、达标检测
1、课本练习1、2
2、《导学》展题设计
课后作业：
习题21.2
《导学》
2、出示任务自主学习
阅读课本P34—35的有关内容，思考下列问题：
认真阅读用配方法解方程的全过程，理解每一步变形的依据。
2）思考教材中方程即（ x+ ）2= 能不能用直接开平方法求解？为什么？
3）一元二次方程的求根公式是什么？应用求根公式的条件是什么？
4）阅读课本例2，感悟用公式法解一元二次方程的一般步骤。
学习重点：
求根公式的推导和公式法的应。
学习难点：
一元二次方程求根公式的推导。
导学方法：
课时：
导学过程
一、课前预习：
阅读课本P 34——35的有关内容，尝试解答《导学》中教材导读中的问题及自主测评。

初中数学人教版九年级上册教案：21.2.2 公式法

初中数学人教版九年级上册实用资料
教学时间
课题 21.2.2 公式法
新课型
授
教学媒体
多媒体
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
知识 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的
教
技能情况.
3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.
学
1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探
12 144
2a
2= b2 4ac
4a2
对求根公式的推导
进行配方，推导公式
对比探究，结合字母表示数的特点，尝试推导求根公式，培养学生发现问题的能力
5.直接开平方得到 x- 7 =± 5 ，注意：（x+ b ）2= b2 4ac
12 12
2a
4a2
是否可以直接开平方？
活动 3.对（x+ b ）2= b2 4ac 观察，分析，在 a 0 时对
索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.；
过程
目
2.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方
方法
程，操作简单.
标
3.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.
情感 1.感受数学的严谨性和数学结论的确定性.
态度 2.提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心.
教学重点
求根公式的推导，公式的正确使用
教学难点
求根公式的推导
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入
导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否教师提出问题，学生为推导公式作

人教版数学九年级上册导学案：21.2.2公式法

21.2解一元二次方程----21.2.2公式法教学目标：1．（知识与技能）：理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念；会熟练应用公式法解一元二次方程；2.（过程与方法）：经历掌握公式法和推导过程,能使用公式法解一元二次方程；3．（情感、态度与价值观）：培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.教学重点：求根公式的推导和公式法的应用.教学难点：一元二次方程求根公式的推导．教学过程：一、展示目标：二、自学指导：1.回顾复习：用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0.2.自学指导问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a,b,c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项,得： ,二次项系数化为1,得 ,配方,得：即,∵a≠0,∴4a2>0,式子b2-4ac的值有以下三种情况：（1）b2-4ac＞0,则2244b aca-0, 直接开平方,得 , x= ,方程有两个的实根,即x1= ,x2= .（2）b2-4ac=0,则2244b aca-0,此时方程有两个的实根,即 .（3）b2-4ac＜0,则2244b aca-0,此时（x+2ba）2 0,而x取任何实数都不能使1 / 3（x+2b a）2 0,因此方程实数根. 由上可知,一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根由方程的系数、、而定,因此：（1）解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0,当b 2－4ac≥0时,将a,b,c 代入式子x ＝就得到方程的根,当b 2－4ac ＜0时,方程没有实数根．（2）x ＝叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．（4）一般地,式子叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ＝ .（5）由根的判别式可知,当Δ＝b 2－4ac 0,一元二次方程有__实数根；当Δ＝b 2－4ac 0,一元二次方程有__ 实数根；当Δ＝b 2－4ac 0,一元二次方程_ _实根．三、合作探究：1.不解方程,利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x 2－3x ＝0； (2)3x 2－23x ＋1＝0； (3)4x 2＋x ＋1＝0.2.用公式法解下列方程.(1)x 2－4x －7＝0； (2)2x 2－22x ＋1＝0； (3) 5x 2－3x ＝x+1； (4)x 2＋17＝8x.3.当m 为何值时，关于x 的方程(m ＋1)x 2－(2m －3)x ＋m ＋1＝0，有两个不相等的实数根？3 / 3四、跟踪练习：1．利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x 2－3x －32＝0； (2)16x 2－24x ＋9＝0； (3)x 2－42x ＋9＝0 ； (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x.2．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个实数根 D ．没有实数根3．课本P 12练习五、课堂小结：总结本堂课的收获与困惑．1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a ，b ，c 的值，再算．出b 2－4ac 的值、最后代．入求根公式求解． 3.用判别式判定一元二次方程根的情况．六、布置作业：1.课本P 17习题第4、5题；2.预习下一课时学案.。

21.2.2 公式法人教版九年级上册数学 21.2.2 公式法教案1

21．2.2公式法1．知道一元二次方程根的判别式的概念．2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)x2－x＋14＝0；(3)x2－x＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)x2－x＋14＝0，a＝1，b＝－1，c＝14.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根．(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )A．a>2 B．a<2C．a<2且a≠1 D．a<－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C.方法总结：若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况已知：关于x 的方程2x 2＋kx －1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．证明：Δ＝k 2－4×2×(－1)＝k 2＋8，无论k 取何值，k 2≥0，所以k 2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x 2＋kx －1＝0有两个不相等的实数根．方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论．【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm 2”，他的说法对吗？请说明理由．解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x ，则另一个正方形的边长是(10－x )，由题可得，x 2＋(10－x )2＝48.化简得x 2－10x ＋26＝0.因为b 2－4ac ＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．探究点二：公式法解一元二次方程【类型一】用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程： (1)2x 2＋x －6＝0；(2)x 2＋4x ＝2；(3)5x 2－4x ＋12＝0；(4)4x 2＋4x ＋10＝1－8x .解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a ，b ，c 的值，并计算b 2－4ac 的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解．解：(1)这里a ＝2，b ＝1，c ＝－6，b2－4ac ＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－1±492×2＝－1±74，即原方程的解是x 1＝－2，x 2＝32.(2)将方程化为一般形式，得x 2＋4x －2＝0.∵b 2－4ac ＝24，∴x ＝－4±242＝－2± 6.∴原方程的解是x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.(3)∵b 2－4ac ＝－224<0，∴原方程没有实数根．(4)整理，得4x 2＋12x ＋9＝0.∵b 2－4ac ＝0，∴x 1＝x 2＝－32.方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．【类型二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x 2－10x ＋21＝0的解，则第三边的长为( )A ．7B ．3C ．7或3D ．无法确定解析：解一元二次方程x 2－10x ＋21＝0，得x 1＝3，x 2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x ＜8.所以第三边的长x ＝7.故选A.方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍．三、板书设计教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程∴前提是Δ≥0.。

人教版九年级上册数学 21.2.2 公式法教案1

21．2.2公式法1．知道一元二次方程根的判别式的概念．2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)x2－x＋14＝0；(3)x2－x＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)x2－x＋14＝0，a＝1，b＝－1，c＝14.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根．(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )A．a>2 B．a<2C．a<2且a≠1 D．a<－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C.方法总结：若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况已知：关于x 的方程2x 2＋kx －1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．证明：Δ＝k 2－4×2×(－1)＝k 2＋8，无论k 取何值，k 2≥0，所以k 2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x 2＋kx －1＝0有两个不相等的实数根．方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论．【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm 2”，他的说法对吗？请说明理由．解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x ，则另一个正方形的边长是(10－x )，由题可得，x 2＋(10－x )2＝48.化简得x 2－10x ＋26＝0.因为b 2－4ac ＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．探究点二：公式法解一元二次方程【类型一】用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程： (1)2x 2＋x －6＝0；(2)x 2＋4x ＝2；(3)5x 2－4x ＋12＝0；(4)4x 2＋4x ＋10＝1－8x .解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a ，b ，c 的值，并计算b 2－4ac 的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解．解：(1)这里a ＝2，b ＝1，c ＝－6，b2－4ac ＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－1±492×2＝－1±74，即原方程的解是x 1＝－2，x 2＝32.(2)将方程化为一般形式，得x 2＋4x －2＝0.∵b 2－4ac ＝24，∴x ＝－4±242＝－2± 6.∴原方程的解是x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.(3)∵b 2－4ac ＝－224<0，∴原方程没有实数根．(4)整理，得4x 2＋12x ＋9＝0.∵b 2－4ac ＝0，∴x 1＝x 2＝－32.方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．【类型二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x 2－10x ＋21＝0的解，则第三边的长为( )A ．7B ．3C ．7或3D ．无法确定解析：解一元二次方程x 2－10x ＋21＝0，得x 1＝3，x 2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x ＜8.所以第三边的长x ＝7.故选A.方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍．三、板书设计教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程∴前提是Δ≥0.。

九年级上册数学21.2.2公式法教案

公式法【知识与技术】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能利用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历研究求根公式的过程，增强推理技术，进一步睁开逻辑思想能力.【感情态度】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成优秀的运算习惯，培育谨慎仔细的科学态度. 【教课要点】用公式法解一元二次方程.【教课难点】推导一元二次方程求根公式的过程 .一、情境导入，初步认识我们知道，对于随意给定的一个一元二次方程，只需方程有解，都能够利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都能够写成2【教课说明】让学生回想用配方法解一元二次方程的一般过程，进而试试着求ax2+bx+c=0〔a≠0〕的方程的解，导入新课，教课时，应赐予足够的思虑时间，让学生自主研究.二、思虑研究，获得新知经过问题情境思虑后，师生共同商讨方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.由ax2+bx+c=0(a≠0),移项，ax2+bx=-c.二次项系数化为1，得x2+b x=-c.配a a方，得x2+bx+(b2=-c+(b2，即(xb2b24ac. a2a)a2a)2a)4a2至此，教师应作适合停留，提出以下问题，指引学生剖析、研究：〔1〕两边能直接开平方吗？为何？〔2〕你以为下一步该怎么办？谈谈你的见解.【教课说明】设置停留并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为，引导学生正确认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系，加深认知.教课时，应让学生踊跃主动思虑，各抒己见，在互相沟通中促使理解.师生共同完美认知：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的鉴别式，往常用表示，即=b2-4ac.进而有：①当=b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当=b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数解；②当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根可写成bb24ac，这个式子叫做一元二次方程2x=ax+bx+c=0(a≠0)的求根公式.2a三、典例精析，掌握新知例1不解方程，鉴别以下各方程的根的状况.(1)x2+x+1=0;(2)x2-3x+2=0;(3)3x2-2x=2.剖析:找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用b2-4ac与0的大小关系可得结论.注意：在确立方程中a、b、c的值时，必定要先把方程化为一般式后才能确立，否那么会出现失误.解：〔1〕∵a=1,b=1,c=1,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0,∴原方程无实数解;(2)∵a=1,b=-3,c=2,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1＞0,∴原方程有两个不相等实数根；〔3〕原方程可化为3x2-2x-2=0,∴a=3,b=-2,c=-2,∴Δ=b2-4ac=(-2)2-43×(-2)=2+24=26＞0.∴原方程有两个不相等的实数根.例2用公式法解以下方程：(1)x2-4x-7=0;(2)2x2-22x+1=0;(3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x剖析：将方程化为一般形式后，找出a、b、c的值并计算b2-4ac后，可利用公式求出方程的解.【教课说明】以上两例均可让学生自主达成，同时选派同学上黑板演算.教师巡视，针对学生的疑惑实时予以指导，最后共同评析黑板上作业，一方面指引学生关注其解答能否正确，同时还应注意其解答格式能否标准，查漏补缺，深入理解.教师接着指引学生阅读第 12页相关前言中问题的解答，向学生发问：〔1〕什么状况下根的取值为正数？〔 2〕列方程解决实质问题在取值时应注意什么？四、运用新知，深入理解1.对于x 的方程x 2-2x+m=0有两个实数根，那么m 的取值范围是.2.假如对于x 的一元二次方程k 2x 2-〔2k+1〕x+1=0有两个不相等实数根，那么k 的取值范围是〔〕＞-14＞-1且k ≠04＜-14≥-1且k ≠043.方程 2x 2+4 3x+62=0的根是〔〕12= 3= 2，x1=6, x 2= 2 1=2 2, x 2= 21=x 2=-64.对于x 的一元二次方程〔m-1〕x 2+x+m 2+2m-3=0有一个根为0，试求m 的值.〔注：5~6题为教材第 12页练习〕 5.解以下方程：〔1〕x 2〔〕2〔〕2+x-6=0;2x-3x-14=0;33x-6x-2=0;〔4〕4x2〔〕2〔〕x(2x-4)=5-8x.-6x=0;5x+4x+8=4x+11; 6 6.求第节中问题1的答案.【教课说明】经过练习可进一步理解和掌握本节知识，在学中练、练中学的活动中获得牢固和提升. 【答案】≤14.把x=0代入方程，得m2+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,又∵m-1≠0，即m≠1,故m的值为-3.5~6略五、师生互动，讲堂小结经过这节课的学习，你有哪些收获和领会?谈谈看.【教课说明】在学生回想与反省本节课的学习过程中，进一步完美认知，师生共同概括总结.1.部署作业：从教材“习题〞中选用.2.达成创优作业中本课时练习的“课时作业〞局部.1.本课容量较大，难度较大，计算的要求较高，所以在教课方案各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一要点内容睁开，问题设计，讲堂学习有益于学生增强运算能力，掌握根本技术，也有益于教师发现教课中存在的问题.2.在教课方案中，指引学生自主研究一元二次方程的求根公式，在师生议论中发现求根公式，并学会利用公式解一元二次方程.3.整个讲堂都以学生着手训练为主，让学生踊跃介入研究活动，体验到成功的愉悦.4.公式法是在配方法的根基上推出的一种解一元二次方程的根本方法，它使解一元二次方程更为简易，在公式的运用中，波及到根的鉴别式，使公式法解一元二次方程获得持续和深入.。

九年级数学上册21.2.2公式法教案新人教版(1)

21.2.2解一元二次方程——公式法一、教学目标1.掌握公式法解一元二次方程的推导过程；2.掌握公式法解一元二次方程的公式并能够使用公式法解一元二次方程。

3。

求根判别公式的应用。

二、课时安排：1课时三、教学重点:使用公式法解一元二次方程.四、教学难点：公式法解一元二次方程的推导过程及其求根判别公式的应用。

五、教学过程（一）导入新课内容：（二）讲授新课（三）重难点精讲活动内容1：例题分析活动内容2:议一议活动内容3：课堂检测1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是（）A.有一个实数根 B。

有两个相等的实数根C。

有两个不相等的实数根 D。

没有实数根2.方程x2—3x+1=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B。

有两个相等的实数根C. 没有实数根 D。

只有一个实数根3.下列一元一次方程中，有实数根的是 ( ）A.x2—x+1=0 B。

x2-2x+3=0C。

x2+x-1=0 D.x2+4=04。

关于x的方程k2x2+（2k—1）x+1=0有实数根，则下列结论正确的是（ )A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B。

当k=0时,方程的根是x=-1C.当k=±1时，方程两根互为倒数D.当k≤1/4时,方程有实数根5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( )A.m＜1 B。

m＜1且m≠0C.m≤1D. m≤1且m≠0答案:1.D 2。

A 3。

C 4。

D 5.D(四）归纳小结通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想?学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．六、板书设计：七、作业布置P6习题1。

2 1、2、5题八、教学反思尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。