九年级数学上册用解直角三角形解视角的应用

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九年级数学上册《利用解直角三角形解决有关问题》教案、教学设计

3.合作交流：组织学生进行小组讨论，分享解题思路和方法，培养学生团队协作能力和表达能力。
4.拓展延伸：针对不同层次的学生，设计不同难度的练习题，使学生在巩固基础知识的同时，提高解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和热情，使学生充分认识到数学在现实生活中的重要性。
2.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，增强学生面对困难时的自信心。
2.讨论要求：每个小组需要明确问题，分析问题，提出解决方案，并计算出结果。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生运用三角函数解决实际问题。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
2.练习类型：包括基础题、提高题和应用题，满足不同层次学生的需求。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的解直角三角形的原理和方法，以及提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.基础练习题：请学生完成课本上相关的习题，以巩固正弦、余弦、正切函数的定义及其在解直角三角形中的应用。
-选择题：针对解直角三角形的基本概念和性质，设计选择题，帮助学生巩固基础知识。
3.教学方法：让学生独立完成练习题，教师对学生的解答进行点评和指导，帮助学生发现问题并改正。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学的解直角三角形的原理、方法以及在实际生活中的应用进行总结。
2.教学方法：采用师生互动、学生自主总结等多种形式，帮助学生梳理所学知识。
3.教学要求：让学生明确解直角三角形的关键是掌握三角函数的定义和应用，以及将实际问题转化为数学模型的能力。
2.学会运用三角函数解决实际问题，特别是在直角三角形中的运用。

用解直角三角形解方位角的应用教案(完美版)

在线分享文档用解直角三角形解方位角的应用一、教学目标(一)知识与技能巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于方位角的问题．(二)过程与方法逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．(三)情感态度与价值观培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．二、重、难点重点：能熟练运用有关三角函数知识．难点：解决实际问题．三、教学过程(一)明确目标讲评上课节课后作业(二)重点、难点的学习与目标完成过程教师出示例题．例1 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑在线分享文档板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。

24.4.3 解直角三角形的应用—仰角、俯角(课件)九年级数学上册(华东师大版)

即该建筑物 CD 的高度约为 42 m.
第24章解直角三角形
知识回顾
仰角、俯角问题： 1.在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
2.梯形通常分解成矩形和直角三角形来处理.
3.实际问题转化为几何问题.把四边形问题转化为特殊四边形与三角形来解决.
DC
tan54o 40 1.3840 55.2m，
∴AB = AC－BC ≈ 55.2－40 = 15.2 (m).
第24章解直角三角形
第24章解直角三角形
仰角、俯角问题
| 24.4 解直角三角形第3课时 |
华师版(2012)九年级上册数学
知识回顾
在解直角三角形的过程中，重要关系式： (1)三边之间的关系 a2 + b2 = c（2 勾股定理） (2)两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° (3)边角之间的关系
第24章解直角三角形
第24章解直角三角形
解：如题图，延长 AE 交 CD 于点 G.设 CG＝x m．
在 Rt△ECG 中，∠CEG＝45°，则 EG＝CG＝x m．
在 Rt△ACG 中，
∵∠CAG＝30°，tan∠CAG＝CAGG，
∴AG＝ tan
C∠GCAG＝
3x m．
∵AG－EG＝AE，∴ 3x－x＝30，
解得 x＝15( 3＋1)．故 CD＝15( 3＋1)＋1.5≈42(m)．
2
部分的面积为 2 cm2（根号保留）．
图3
图4
第24章解直角三角形
5.建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC 40 m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 54°，观察底部 B 的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到 0.1 m）. 解：在等腰 Rt△BCD 中，∠ACD = 90°， BC = DC = 40 m， ∴AC tan ADC DC. 在 Rt△ACD 中 tan ADC AC ，

初中九年级数学解直角三角形及其应用

0.1m)?
B
A
D
C
3海里内有暗礁，一艘客轮以每小
时9海里的速度由西向东航行，行
至A处测得灯塔P在它的北偏东60°,
继续行驶20分钟后，到达B处，又
测得灯塔P在它的北偏东45°,问客
轮不改变方向，继续前进有无触礁
解：过P的点作危P险D垂？直于AB，交AB的延
P
长∵线∠于1＝D60∠2＝45°∴
在R°t△BDP∠PBD∠=P4AD=30°,∠PBD=45°
例l3.一铁路路基的l 横断面是等腰梯形,路基顶部的宽为9.8米,路基高为 5.8米,斜坡与地面所成的角A为60 度.求路基低部的宽(精确到0.1米)
❖ 练习：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高？（结果精确到
3 山坡与地面成300的倾斜角，某人上坡走 60米，则他
（目标3）上升米，坡度是
D
C
4 如图已知堤坝的横断面为梯形，AD坡面
的水平宽度为
A
B
3√3米，DC=4米，B=600，则
（1）斜坡AD 的铅直高度是
（2）斜坡AD 的长是（3）坡角A的
（目标3） 6 如图从山顶A望地面的C、D 两点，俯角分别时 A
α
练习：如图，某飞机于空中A 处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看低平面控制点B的俯角α=16031／，
练习某人在A处测得大厦的仰角∠BAC
为300 ,沿AC方向行20米至D处,测得仰角 ∠BDC 为450,求此大厦的高度BC.
B
A 300
450
D

锐角三角函数的简单应用(1)视角在解直角三角形中的应用

北
C北
30
60
A
B 60km
问题2：如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海里处有暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行, 行至A点处测得P在它的北偏东60度的方向, 继续行偏东45度方向. 问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?
.
A
B
C
2.如图（2），B为一建筑物的最高点，它与地面的接触点为C，从地面A点用测角仪测得B点的仰角为
，仪器高AD＝b，若AC＝ a
，则建筑物CB的高用代数式表示为
.
3.某学校的教学楼和行政大楼相对而立，如图（3）所示：两楼之间的距离AC=10m，某学生在教学大楼底A处测得行政大楼顶B处的仰角为 45
，随后他又到行政大楼C处测得教学楼顶D处的仰角为
，那么教学楼比行政大楼高
m.
60
•如图（4），河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的 •仰角为 30
，向塔前进15m到达D，在D处测得A的仰角为 45
，求铁塔AB的高.
例1．如图，甲、乙两高楼的水平距离BD为90米，从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角
30
45
，在B地测得C地的仰角为 60
，已知C地比A地高200米，则电缆BC至少为多少米？
（精确到米） 0.1
问题1：A、B两镇相距60km，小山C在A镇的北偏东60°方向，在B镇的北偏西30°方向．经探测，发现小山C周围20km的圆形区域内储有大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房修路．现计划修筑连接A、B两镇的一条笔直的公路，试分析这条公路是否会经过该区域？
应用举例（1） ——视角在解直角三角形中的应用
仰角、俯角的概念
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

九年级数学上第23章23.2及其应用3利用解方位角的应用问题习题新版沪科版9

∴AD＝AB·sin 30°＝20×12＝10(海里)，
BD＝AB·cos 30°＝20× 23＝10 3≈10×1.73＝17.3(海里)． ∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC， ∴∠BDC＝∠BFC＝∠DCF＝90°， ∴四边形 BDCF 为矩形，
∴DC＝BF≈9.7 海里，FC＝BD≈17.3 海里， ∴AC＝AD＋DC≈10＋9.7＝19.7(海里)， CE＝EF＋CF≈2.6＋17.3＝19.9(海里)， ∴快艇的速度约为192.7＝9.85(海里/时)．答：快艇的速度约为 9.85 海里/时，C，E 之间的距离约为 19.9 海里．
解：如图，过点B作BD⊥AC于点D. 由题意得，∠NAB＝30°， ∠GBE＝75°. ∵AN∥BD， ∴∠ABD＝∠NAB＝30°，而∠DBE＝180°－∠GBE＝180°－75°＝105°， ∴∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝30°＋105°＝135°.
(2)求快艇的速度及 C，E 之间的距离．(参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27， 3≈1.73)
在 Rt△PNQ ，∠NPQ＝90°－∠DPQ＝90°－60°＝30°，
∴PQ＝cos∠PNNPQ＝30 32＝20 6≈49(m)． 2
答：小红与爸爸的距离 PQ 约为 49 m.
7 【2020·荆门】如图，海岛B在海岛A的北偏东 30°方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东 75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行.2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处． (1)求∠ABE的度数；
5 【2019·泰安】如图，一艘船由 A 港沿北偏东 65°方向航行 30 2km 至 B 港，然后沿北偏西 40°方向航行至 C 港，C 港在 A 港北偏东 20°方向，则 A，C 两港之间的距离为( B )km. A．30＋30 3 B．30＋10 3

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计3

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计3一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。

本节课主要让学生掌握直角三角形的性质，学会运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。

教材通过引入直角三角形的边长关系和三角函数的概念，使学生能够理解直角三角形在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、勾股定理等知识，对直角三角形有一定的了解。

但是，学生对直角三角形的应用可能还不够深入，需要通过实例分析和练习来提高。

此外，学生可能对锐角三角函数的概念和应用还不够熟悉，需要通过引导和讲解来帮助他们理解和掌握。

三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和锐角三角函数的概念。

2.学会运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数的概念及应用。

2.教学难点：勾股定理的证明和锐角三角函数的运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入直角三角形的性质和应用，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生思考和探索直角三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力。

3.小组合作学习：让学生在小组内讨论和解决问题，提高学生的团队合作能力。

4.巩固练习：通过适量练习，使学生掌握勾股定理和锐角三角函数的应用。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示直角三角形的性质和应用。

2.教学素材：准备相关的实际问题，用于引导学生解决实际问题。

3.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个直角三角形，引导学生回顾直角三角形的性质。

然后，提出问题：“你能用勾股定理解决直角三角形的问题吗？”让学生思考并回答。

2.呈现（15分钟）展示教材中的实例，引导学生分析直角三角形的性质和应用。

华东师大版九年级数学上册课件：24.解直角三角形的应用(方向角、俯角、仰角)

∴ = 2MN = 2
N = 3MN = 3
∆中，∵ ∠BNM = 90°, ∠MBN = 45°
∴ BN = MN = ,
∵AN+BN=AB
BM= 2MN = 2
∴ 3 + = 300(√3 + 1)
∴ = 2 = 600
∴ = 300
∴ = 2 = 300 2
在地平面上取一点C，用测量仪测得点A的仰角为45°，
再向后退20米取一点D，使点D在BC的延长线上，此时测
得点A的仰角为30°，已知测量仪的高为1.5米，求建筑
物AB的高度.

解：∆中， =
=
tan45°

∆中， =
= 3
tan30°
∴ = −
在教室的窗台前看操场上的旗杆，心想：“站
在二楼可以利用解直角三角形测得旗杆的高度
吗？”他望着旗杆顶端和旗杆底部，可以测得
视线与水平线之间的夹角各一个，但是，这两
个角怎样命名区分呢？
【自主学习】阅读教材第113—114页，并完
成下列各题
如图，∠CAE，∠DAE在测量
中各叫什么角呢？
∠CAE叫做仰角
∠DAE叫俯角
为α，AC＝7米，则树高BC为 7tan 米．
2.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大
树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的
底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5
m，则大树的高度为 5 3 + 5 _m(结果保留
根号)．
及时反馈一
1.如图，为了测量顶部不能到达的建筑物AB的高度，先
∴ 与之间的距离为100海里
∴ = 50
（2）已知距观测点D处50海里范围内有暗礁．

九年级数学-解直角三角形及其应用

第26讲解直角三角形及其应用知识导航1．在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．直角三角形边角之间的关系：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有：(1)a 2＋b 2＝c 2；(2)∠A ＋∠B ＝90°；(3)sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝bc ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a． 3．解直角三角形实际应用时常用的概念：(1)仰角、俯角；(2)方向角；(3)坡角、坡度．【板块一】解直角三角形及实际应用方法技巧1．灵活运用边角关系求边与角；2．若所求解的直角三角形“不可直接解”，应注意设元，借助方程来解决； 3．如果图形中没有直角时，要添加垂线将其转化为直角三角形求解． ▶题型一可直接解直角三角形【例1】在△ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形： (1)c ＝2，∠A ＝30°； (2)a ＝b ＝9； (3)∠A ＝2∠B ，c －b ＝4．【解析】(1)∵∠A ＝30°，∠B ＝60°．∴a ＝c sin ∠A ＝2×12＝1．b ＝c cos ∠A ＝2(2)由勾股定理得c＝tan ∠A ＝ab．∴∠A ＝30°．∴∠B ＝90°－∠A ＝60°．(3)∵∠A ＝2∠B ，∠A ＋∠B ＝90，∴∠A ＝60°，∠B ＝30°．∴c ＝20，c －b ＝4．∴b ＝4，c ＝8．∴a＝【点评】在已知条件中，如有针边，用正弦或余孩，无针边时用正切，求边时，要灵活运用三角函教和勾股定理．▶题型二 “不可直接解直角三角形”——设元、借助方程求解【例 2】如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝90°，∠B ＝120°，ADAB ＝6，点E 是边AB 上一动点，且∠DEC ＝120°，求AE 的长．【解析】过点C 作CH ⊥AB 交AB 的延长线于点H ，则CH ＝AD∵∠ABC ＝120°，∴∠CBH ＝60°，∴BH ＝tan CH CBH ∠＝1，BC ＝cos CH CBH ∠＝2，又AB ＝6,∴CD ＝AH ＝7．易证△BCE ∽△ED C ．∴BE EC ＝CEDC，∴CE 2＝BE ·DC ，设BE ＝x ．∴CE 2＝7x ．在Rt △CEH 中，CE 2＝EH 2＋CH 2＝(x ＋1)2＋2＝7x ，∴解得x ＝1或4．当x ＝1时，AE ＝5；当x ＝4时，AE ＝2．∴AE 的长为5或2． ▶题型三 “化斜为直“解斜三角形【例3】在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，求BC 的长．EDCBAHABCDE【解析】当△ABC是钝角三角形时，如图1，作AH⊥BC于点H．在Rt△ABH中．AH＝AB·sin∠ABC＝4．∴BH＝Rt△AHC中．HC＝3．∴BC＝3．当△ABC是纯角三角形时，如图2，同上可求得BC＝3．综上所述，BC＝3或3．【点评】1．解斜三角形时，要结合已知条件恰当地引垂线，构造可解的直角三角形；2．已如三角形的两边及某中一边的对角(为锐角)，注意分类讨论．▶题型四方位角、俯角、仰角、坡角等的应用【例4】如图，一般渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，岛礁P正东方向上的避风港继续航行1．5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁Ｐ正东方向上的避风港Ｍ在北偏东60°方向，为了在合风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？(结果保留根号)【解析】过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q．过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N，在直角△AQP 中．∠P AQ＝45°，则AQ＝PQ＝60×1．5＋BQ＝90＋BQ，所以BQ＝PQ－90．在直角△BPQ中，∠BPQ＝30°，则BQ＝PQ·tan30PQ，所以PQ－90PQ，所以PQ＝45(3，所以MN＝PQ＝45(3，在直角△BMN中．∠MBN＝30°，所以BM＝2MN＝90(3，所以t＝(90375＝小时)．【占评】1．将实际问题转化为数学模型，再将数学模型转化为解直角三角形问题；2．当图中无直角三角形时，通过作垂线，可把问题转化为解直角三角形．【例5】某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处调得真立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿同一副面的斜坡AB行走13米至放顶B处，然后两沿水平方向行走6米至大树脚底店D处，涂料面AB的城度(或坡比)＝1：2：4，那么大树CD的高度约为多少？(结果保留小数点后一位，参考数据：sin36°≈0．59，cos36°≈0．81，tan36°≈0．73)图2图1H HCABAB C避风港北PA BMNMBAPQ北避风港EDCBA ABCDEF【解析】过点B作BF⊥AE于点F，则FE＝BD＝6米，∴DE＝BF，∵鞋面AB的放度i＝1：2：4，∴AE ＝2．4BF．设BF＝x米，则AF＝2．4x米，在RT△ABF中，由勾股定理得x2＋(2．4x)2＝132，解得x＝5，∴DE＝BF＝5米，AF＝12米．∴AE＝AF＋FE＝18米，在Rt△ACE中，CE＝AE·tan36°＝18×0．73＝13．14米．CD＝CE－DE＝13．14－5≈8．1米．针对练习11．如图，一般海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD＝4，∠DAC＝30°，解Rt△AB C．解：∵AD平分∠CAB，∠DAC＝30°，∴∠BAD＝30°，∠CAB＝60°，∵∠C＝90°，∴∠B＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD＝4，∴在Rt△ACD中，CD＝12AD＝2，∴AC＝AD cos30°＝AB＝2AC ＝BC＝BD＋CD＝6．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，tan∠ACB＝2，点D在△ABC内部，且AD＝CD，∠ADC＝90°，连接BD，若△BCD的面积为10，求AD的长．解：过点D作DH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DG⊥AM于点G，设CM＝a，∵AB＝AC，∴BC＝2CM＝2a，∵tan∠ACB＝AMCM＝2，∴AM＝2a，AC＝a，S△BDC＝12BC·DH＝BAPDCBADCBA12·2a ·DH ＝10，∴DH ＝10a ，易证四边形DHMG 为矩形，△ADC ≌△CDH ，∴DG ＝DH ＝MG ＝10a，∴AG ＝CH ＝a ＋10a ，∴AG ＝CH ＝a ＋10a ，∴AM ＝AG ＋MG ，即2a ＝a ＋10a ＋10a，∴a 2＝20，在Rt △ADC中，AD 2＋CD 2＝AC 2，又AD ＝CD ，∴2AD 2＝5a 2＝100，AD ＝4．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC 为78m ，从甲的顶部A 处测得乙的顶部D 处的俯角为48°，测得底部C 处的俯角为58°，求甲、乙两座建筑物的高度AB 和D C ．(结果取整数)(参考数据：tan 48°≈1．11，tan 58≈1．60)解：过点D 作DE ⊥AB ，垂足为点E ，则∠AED ＝∠BED ＝90°，由题意可知BC ＝78m ，∠ADE ＝48°，∠ACB ＝58°，∠ABC ＝90°，∠DCB ＝90°，可得四边形BCDE 为矩形，∴ED ＝BC ＝78m ，DC ＝E B ．在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝ABBC ，∴AB ＝BC ·tan 58≈78×1．60≈125(m )．在Rt △AED 中，tan ∠ADE ＝AEED，∴AE ＝ED ·tan 48°≈78×1．11≈87(m )．∴EB ＝AB －AE ＝125－87＝38(m )，∴DC ＝EB ＝38m答：甲建筑物的高度约为125m ，乙建筑物的高度约为38m ．5．为了测量竖直旗杆的高度，某综合实践小组在地面D 处竖直放置标杆CD ，并在地面上水平放置一个平面镜E ，使得点B ，E ，D 在同一水平线上，如图所示。

4.4解直角三角形的应用课件九年级数学上册

感悟新知
水平方向飞行 200m 到达点 Q，测得奇楼底端 B 的俯角为 45° ，求奇楼 AB 的高度．(结果精确到 1m，参考数据： sin 1 5 ° ≈ 0 . 26，cos 15 ° ≈ 0 . 97， tan15° ≈ 0.27) 解：如图，延长BA交PQ的延长线于点C，则∠ACQ＝90°. 由题意得，BC＝225 m，PQ＝200 m，
课堂新授
2. 解决实Βιβλιοθήκη 问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示：
图形
关系式
图形
关系式
AC＝BC·tanα， AG＝AC＋BE
BC＝DC－BD＝ AD·(tanα －tanβ )
课堂新授
续表
图形
关系式
AB＝DE＝ AE·tanβ， CD＝CE＋DE ＝AE·(tanα＋
tanβ)
图形
关系式
感悟新知
(1) 求登山缆车上升的高度 DE； (2)若步行速度为 30m/min，登山缆车的速度为60m/min，
求从山底 A 处到达山顶 D 处大约需要多少分钟 .(结果精确到 0.1min，参考数据： sin53° ≈ 0.80， cos53° ≈ 0.60，tan53° ≈ 1.33)
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例2
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解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用 “化斜为直法”解含公共直角边的直角三角形.
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计算结果必须根据题目要求进行保留.
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方法点拨解直角三角形的实际应用问题的求解方法： 1. 根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角
形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系； 2. 若条件中有直角三角形，则直接选择合适的三角函数关系求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添加辅助线构造直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解.

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》(第1课时)教学设计

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质、锐角三角函数的概念和勾股定理的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是让学生学会解直角三角形，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。

教材中通过丰富的实例，引导学生探究直角三角形的边角关系，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和锐角三角函数的概念有一定的了解。

但在解决实际问题时，还可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学在生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为解直角三角形的问题，并运用相应的解决方法。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生自主探究解直角三角形的方法。

2.实例分析法：教师通过展示实例，让学生观察、操作，培养学生的动手操作能力。

3.小组合作法：学生分组讨论，共同解决实际问题，培养学生的合作意识。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备相关的教学材料，如PPT、实例、习题等。

2.学生准备：学生需要预习相关内容，了解直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如测量旗杆的高度、计算建筑物的斜边长度等，引导学生思考如何解决这些问题。

初中九年级数学学案用解直角三角形解方位角、坡角的应用

28.2.5 用解直角三角形解方位角,坡角地应用一,新课导入1.课题导入情景:如图,一艘海轮位于灯塔P地北偏东65°方向,距离灯塔80 n mile地A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P地南偏东34°方向上地B处,这时,海轮所在地B处距离灯塔P有多远？问题:怎样由方向角确定三角形地内角？2.学习目地（1）能根据方向角画出相应地图形,会用解直角三角形地知识解决方位问题.（2）知道坡度与坡角地意义,能利用解直角三角形地知识解决与坡度有关地实际问题.3.学习重,难点重点:会用解直角三角形地知识解决方向角,坡度地有关问题.难点:将实际问题转化为数学问题（即数学建模）.二,分层学习1.自学指导（1）自学内容:P76例5.（2）自学时间:10分钟.（3）自学方法:独立探索解题思路,然后同桌之间讨论,写出规范地解题过程.（4）自学参考提纲:①如图,一艘海轮位于灯塔P地北偏东65°方向,距离灯塔80海里地A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P地南偏东34°方向上地B处,这时,海轮所在地B处距离灯塔P有多远？(结果取整数,参考数据:cos25°≈0.91,sin25°≈0.42,tan25°≈0.47,sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67）a.根据已知在图中标出方向角:如图所示.b.根据方向角得到三角形地内角:在△PAB中,∵海轮沿正南方向航行,∴∠A= 65° ,∠B= 34° ,PA= 80 .c.作高构造直角三角形:如图所示.d.写出解答过程:在Rt△APC中,PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505（n mile）.在Rt△BPC中,∠B=34°,PB=72505sin sin34.PCB=︒≈130（n mile）.②如图,海中有一个小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°地方向上,又继续航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°地方向上,如果渔船不改变航向继续向东航行,有没有触礁地危险？解:过A作AE⊥BD于E.由题意知:∠ABE=30°,∠ADE=60°.∴∠BAD=60°-30°=30°=∠ABD.∴AD=BD=12.∴AE=AD·sin60°=12×32=63(海里)＞8海里.∴无触礁地危险.2.自学:结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生:①明了学情:观察学生自学提纲地答题情况.②差异指导:根据学情对学习有困难地学生进行个别或分类指导.（2）生助生:小组内互相交流,研讨.4.强化:利用解直角三角形地知识解方向角问题地一般思路.1.自学指导（1）自学内容:P77.（2）自学时间:5分钟.（3）自学方法:先独立归纳利用解直角三角形地知识解决实际问题地一般思路,然后对照课本P77地内容归纳,进行反思总结.（4）自学参考提纲:①利用解直角三角形地知识解决实际问题地一般思路:a.将实际问题抽象为数学问题;b.根据问题中地条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;c.得到数学问题地答案;d.得到实际问题地答案.②练习:如图,拦水坝地横断面为梯形ABCD,斜面坡度i=1∶1.5是指坡面地铅直高度AF与水平宽度BF地比,斜面坡度i=1∶3是指DE与CE地比,根据图中数据,求:a.坡角α与β地度数;b.斜坡AB地长(结果保留小数点后一位).2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生:①明了学情:明了学生解答问题地情况.②差异指导:根据学情进行相应指导.（2）生助生:小组内互相交流,研讨.4.强化（1）坡度,坡角地意义及其关系,梯形问题地解题方法.（2）在自学参考提纲第②题中,若补充条件“坝顶宽AD=4 m”,妳能求出坝底BC地长吗？（3）利用解直角三角形地知识解决实际问题地一般思路:三,评价1.学生自我评价:在这节课地学习中妳有哪些收获？掌握了哪些解题技巧与方法？2.教师对学生地评价:（1）表现性评价:点评学生学习地主动性,小组交流协作情况,解题方法地掌握情况等.（2）纸笔评价:课堂评价检测.3.教师地自我评价（教学反思）.本课时应先认知“方向角”“坡度”及其所代表地实际意义,添作适当地辅助线,构建直角三角形.然后结合解直角三角形地有关知识加以解答,层层展开,步步深入.一,基础巩固（70分）1.(10分)已知外婆家在小明家地正东方,学校在外婆家地北偏西40°,外婆家到学校与小明家到学校地距离相等,则学校在小明家地（D）A.南偏东50°B.南偏东40°C.北偏东50°D.北偏东40°2.(10分)如图,某村准备在坡度为i=1∶1.5地斜坡上栽树,要求相邻两棵树之间地水平距离为 5 m,则这两棵树在坡面上地距离AB为5133m．（结果保留根号）3.（10分）在菱形ABCD中,AB=13,锐角B地正弦值sinB=5 13,则这个菱形地面积为65 .4.(20分)为方便行人横过马路,打算修建一座高5 m地过街天桥.已知天桥地斜面坡度为1∶1.5,计算斜坡AB地长度(结果取整数).解:∵i=115.ACBC=,AC=5,∴BC=1.5×5=7.5.∴AB=228125.AC BC+=≈9(m).5.(20分)一轮船原在A处,它地北偏东45°方向上有一灯塔P,轮船沿着北偏西30°方向航行4 h到达B处,这时灯塔P正好在轮船地正东方向上.已知轮船地航速为25 n mile/h,求轮船在B处时与灯塔地距离（结果可保留根号）.解:过点A作AC⊥BP于点C.由题意知:∠BAC=30°,∠CAP=45°, AB=25×4=100.在Rt△ABC中,BC=12AB=50,AC=32AB=503.在Rt△ACP中,CP=AC=503.∴BP=BC+CP=50(3+1)(n mile).二,综合应用（20分）6.(20分)某型号飞机地机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD与AB 地长度（结果保留小数点后两位）.解:如图所示,在Rt△BDE中,BE=5.00,∠DBE=30°,∴DE=BE·tan30°=533,BD=103cos303BE=︒≈5.77(m).在Rt△ACF中,CF=BE=5.00,∠FCA=45°,∴AF=CF=5.00,∴AC=2CF=52≈7.07(m).∴AB=BF-AF=DE+CD-AF=533+3.40-5.00≈1.29(m).三,拓展延伸（10分）7.(10分)海中有一小岛P,在以P为圆心,半径为162 n mile地圆形海域内有暗礁,一艘船自西向东航行,它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上,且A,P 之间地距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度地方向航行,才能安全通过这一海域?解:如图,∠PAB=30°,AP=32.∴PB=12AP=16(n mile).∴PB＜162n mile.∴轮船有触礁危险.假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过,此时航线AC与⊙P相切,即PC⊥AC. 又∵AP=32,PC=162,∴∠PAC=45°,∴α=15°.∴轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行,才能安全通过这一海域.。

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》(第2课时)教学设计

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，主要介绍了解直角三角形的知识和方法。

本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行的，是初中的重点和难点内容。

本节课的主要内容包括解直角三角形的定义、解直角三角形的步骤和方法、解直角三角形的应用等。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对锐角三角函数有一定的了解。

但是，解直角三角形这一概念对于学生来说比较抽象，不易理解。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过实际操作来理解解直角三角形的概念，并通过大量的练习来巩固解直角三角形的方法和应用。

三. 教学目标1.理解解直角三角形的定义和意义。

2.掌握解直角三角形的步骤和方法。

3.能够应用解直角三角形解决实际问题。

四. 教学重难点1.解直角三角形的概念和步骤。

2.解直角三角形的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来理解解直角三角形的概念和方法。

2.使用多媒体辅助教学，通过动画和图片来形象地展示解直角三角形的步骤和应用。

3.学生进行小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流和合作。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.教学PPT。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如测量旗杆的高度、计算建筑物的斜面积等，引导学生思考如何利用几何知识解决这些问题。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现解直角三角形的定义、步骤和方法，并配以动画和图片，帮助学生形象地理解解直角三角形的概念。

3.操练（10分钟）学生进行小组讨论，让学生通过实际操作来巩固解直角三角形的方法。

可以让学生分组测量教室内的物品长度、高度等，并计算其斜边长度。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些解直角三角形的练习题，检验学生对解直角三角形方法的掌握程度。

5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将解直角三角形的方法应用到实际问题中，如测量山峰的高度、计算桥梁的跨度等。

华东师大版数学九年级上册2解直角三角形在生活中的应用课件(共27张)

B
东
数学建模
拓展三：为了不让学生上课受噪声影响，你有什么好的建议？
解：
北 M
A●
120
E
240 30°
B
东
数学建模
拓展三：为了不让学生上课受噪声影响，你有什么好的建议？
解：
北
A●
150
E
240
B
东
数学建模
拓展四：为了不让学生上课受噪声影响，你有什么好的建议？
北 M
A●
120
E
240 30°
B
东
北 M
A●
行驶讨论
30°
B
东
数学建模当前，全国新农村正如火如荼地进行，某村计划在建设区B的北偏东30°方向修一条公路。小明所在的教室A在该建设区B的正北方向240m处。如果拖拉机行驶时，150m的范围内为受其噪音影响区域，问拖拉机经过该路时，教室A是否受到噪音的影响？为什么？
解：
北 M
解直角三角形在生活中的应用
知识经验
1、方位角
2、仰角俯角
北
北偏东40 °
3、坡角坡比
h
40°
铅垂
））仰俯角角
水平线
线
东
a L
抢答：根据图中所给的条件，分别求出图中的x .
生活情景
铅垂线
我们构造出了一个直角三角形
水平线
方法建构
线长可以量
A
求高度
仰角可以测
Ba
C
分析裁定
A
A
A
60米
甲 30° B
解：在Rt△ABC中， ∠B = 30°AB=60米
sin B h1 AB

冀教版数学九年级上册26.4《解直角三角形的应用》教学设计

冀教版数学九年级上册26.4《解直角三角形的应用》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册26.4《解直角三角形的应用》是本册教材中的重要内容，主要让学生了解解直角三角形在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

本节课的内容包括了解直角三角形的性质，学会使用解直角三角形的方法，以及将解直角三角形应用于实际问题中。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，对直角三角形有一定的了解。

但在实际应用中，学生可能对如何将数学知识与实际问题相结合还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要注重培养学生的实际问题解决能力，引导学生将数学知识运用到实际生活中。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握解直角三角形的性质和方法，能运用解直角三角形解决实际问题。

2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的性质和方法。

2.难点：如何将解直角三角形应用于实际问题中。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生了解直角三角形在实际中的应用。

2.小组合作法：让学生在小组内讨论交流，共同解决实际问题。

3.引导发现法：教师引导学生发现解直角三角形的性质和方法，培养学生独立思考的能力。

六. 教学准备1.教具：直角三角形模型、多媒体设备。

2.学具：学生用书、练习册。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如测量旗杆高度、房间的面积等，引导学生思考如何运用数学知识解决这些问题。

从而引出本节课的主题——解直角三角形的应用。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，让学生了解直角三角形的性质，讲解解直角三角形的方法，如勾股定理、锐角三角函数等。

同时，展示一些实际问题，让学生尝试运用所学的知识解决。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试解决教师给出的实际问题。