九年级数学上册用解直角三角形解视角的应用

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中考数学解直角三角形及直角三角形中实际应用问题

一、解直角三角形：

1、解直角三角形的概念：

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的常用关系：

(1)三边之间的关系：a^2＋b^2＝c^2；

(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；

(3)边角之间的关系：sinA = cosB = a/c，cosA＝sinB= b/c，tanA＝a/b 。

3、解直角三角形的方法口诀：

已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；

已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；

已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.

例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5。

二、解直角三角形的应用：

1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角：

(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）

(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）

(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所

夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）

图（1）

2、解直角三角形实际应用的一般步骤：

(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

典中点】2017届九年级数学上册 23.2 解直角三角形及方位角的应用(第1课时)课件 (新版)沪科

解：如图所示，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，a＝5，c＝ 5 2 ,
bc2a2(52)2525 .
sinAa 5 2, c 52 2
∴∠A＝45°， ∴∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°.
知1－讲
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
本题运用数形结合思想和定义法解题，已知一直角边和
斜边解直角三角形的一般步骤是：
知4－讲
【例6】如图，一船以20
n mile h
的速度向东航行，在A处测
得灯塔C在北偏东60°的方向上，继续航行1 h到达B
处，再测得灯塔C在北偏东30°的方向上.已知灯塔C
四周10n mile内有暗礁，问这船继续向东航行是否安
全？
知4－讲
分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线
的距离是否大于10n mile.
(参考数据：sin 53°≈0.80，
cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，
2 ≈1.41)
（来自《典中点》）
解直的
直角边
角三角
三角
角关形系
形
知一边一锐角
解解直角三角形
直
角三角
知两边解直角三角形
形添设辅助线解
直角三角形
知斜边一锐角解直角三角形
知一直角边一锐角解直角三角形

解直角三角形应用教案

【篇一：《解直角三角形的应用(3)》教学设计】

九年级数学上册第二章解直角三角形

2.5解直角三角形的应用

第三课时

教学目标

1.知道坡角、破比（坡度）的意义.

2.能将有关实际问题转化为解直角三角形的问题.

3.培养严谨致学的学习态度.

教学重点与难点

将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间关系进行解题.

教学过程

一、知识回顾

解决直角三角形的应用思路。

1.把实际问题转化为解直角三角形的问题，关键是找出实际问题中的，直角三角形之间的关系，是解决与直角三角形有关的实际问题的重要工具。

2.解答过程的思路：

实际问题转化解直角三角形的问题

二、探究新知

（一）学习坡角和坡比（坡度）的定义.

从爬山引入：有的山坡很陡，有的山坡比较缓，那么我们如何从数量上来描述山

坡的陡的程度呢？

问题答案求出有关的边或角

比较上面两个斜坡，给出坡度的定义.

定义：坡面的铅垂高度（h）与水平宽度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i,即i=h. llh

坡度通常写成1∶m的形式.

问：根据定义，你能用坡度来刻画斜坡的倾斜、即陡的程度吗？答：坡度越大，坡面越陡.

小练习：

2.斜坡的坡角是450 ，则坡比是 _______。

3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。

4.在一次军事训练中，有一辆坦克准备通过如图的一座小山，ac为1000米，bc为400米，如果这辆坦克能够爬300 的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？

能爬过。那么反过来，你能利用我们今天学习的知识来阻止坦克爬过这个斜坡吗？

（二）有关坡角与坡比（坡度）的实际应用

九年级数学上册23-2解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形教案新版沪科版

23.2解直角三角形及其应用

第1课时解直角三角形

教学目标

【知识与技能】

在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上,会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.

【过程与方法】

通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.

【情感态度价值观】

在探究学习的过程中,培养学生合作交流的意识,使学生认识到数与形相结合的意义与作用,体会到学好数学知识的作用,并提高学生将数学知识应用于实际的意识,从而体验“从实践中来,到实践中去”的辩证唯物主义思想,激发学生学习数学的兴趣.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦,产生后继学习激情,增强学好数学的信心.

教学重难点

【教学重点】

直角三角形的解法。

【教学难点】

灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

在直角三角形中，除了直角外，一共有五个元素，即三角形的三条边和两个锐角．

尝试探究已知哪些元素能够求出其他元素．

二、合作探究

探究点一：解直角三角形

【类型一】已知斜边和一直角边解直角三角形

李1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝23，a ＝3，解这个直角三角形．

解析：已知一条斜边和一条直角边，可以先利用勾股定理求出另一条直角边的长，再利用正弦或余弦求角的度数．

解：在Rt △ABC 中，b ＝c 2－a 2＝12－9＝ 3.

∵sin A ＝a c ＝323＝32

，∴∠A ＝60°. ∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°.

九年级数学上册 23.2.2 视角在解直角三角形中的应用课后作业2 (新版)沪科版-(新版)沪科版初

视角在解直角三角形中的应用

一、教材题目：P126练习T2，P128练习T1

1．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山另一侧的E处同时施工.如果从AC上取一点B，使∠ABD=140°，BD=520 m,∠D=50°，那

么开挖点E离点D多远，才能使点A，C,E正好在一条直线上？（精确到1

2．如图，某直升机于空中A处测得正前方地面控制点C的俯角为30°；若航向不变，直升机继续向前飞行1000 m至B处，测得地面控制点C的俯角为45°，求直升机再向前飞行多远，与地面控制点C的距离最近（结果保留根号）.

二.补充: 部分题目来源于《点拨》

3．如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此

时热气球C处的高度CD为100 m，点A，D，B在同一直线上，则A，B两

点间的距离是()

A．200 m B．2003m

C．2203m D．100(3＋1)m

4．〈某某随州，实际应用题，易错题〉如图，在一次暑期旅游中，小亮在仙岛湖的游船上(A处)，测得湖西岸的山峰太婆尖(C处)和湖东岸的山峰老君岭(D处)的仰角都是45°.游船向东航行100 m后(B处)，测得太婆尖、老君岭的仰角分别为30°，60°.试问：太婆尖、老君岭的高度分别为多少米？

(3≈，结果精确到1 m)

5．〈某某潍坊，易错题〉今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1 040 m，斜坡BC的长为400 m，在C点测得B点的俯角为30°，已知A点海拔121 m，C点海拔721 m.

解直角三角形的应用(课件)九年级数学上册

分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中， α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
仰角
B
αD Aβ
俯角 C
水平线
典型例题
解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120．
你认为货轮继续向东航行途中会
B
C
有触礁的危险吗？
探究新知
你是怎样想的？与同伴进行交流.
Rt△ABD中, tan 55 = BD
AD
55° A
25°
Rt△ACD中, tan 25 = CD
AD
x
∴BC=BD－CD=x·tan55°－x·tan25°
B 20海里 C D
∴x=
tan 55
20 －tan 25
BC
∴CD＝BC·sin ∠CBD＝20sin
60°＝20×
3 2
10 3 (m)．
∴CP＝CD＋DP＝10 3 ＋1.5≈19(m)．
答：白塔的高度约为19 m.
典型例题
例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到）.

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计4

一. 教材分析

《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。本节

主要让学生掌握直角三角形的性质，学会用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。教材通过引入直角三角形的边长关系和三角函数的概念，使学生能够更好地理解直角三角形的应用价值。

二. 学情分析

九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，对三角形有了一定的了解。但

学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学的知识。因此，在教学过程中，需要注重培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。

三. 教学目标

1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和锐角三角函数的概念。

2.学会用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点

1.直角三角形的性质

2.勾股定理的应用

3.锐角三角函数的定义和应用

五. 教学方法

1.采用问题驱动法，引导学生主动探究直角三角形的性质。

2.利用几何画板软件，直观展示直角三角形的边长关系。

3.采用案例分析法，让学生学会用勾股定理和锐角三角函数解决实际问

题。

4.小组讨论，培养学生的合作能力和交流能力。

六. 教学准备

1.教学课件

2.几何画板软件

3.相关案例资料

4.小组讨论问题

七. 教学过程

1.导入（5分钟）

利用几何画板软件展示直角三角形的边长关系，引导学生思考直角三角形的特殊性。

2.呈现（10分钟）

介绍直角三角形的性质，讲解勾股定理和锐角三角函数的概念。

3.操练（10分钟）

让学生利用勾股定理和锐角三角函数计算直角三角形的边长，解决实际问题。

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计4

一. 教材分析

《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质和勾股定理的基础上进行讲解的。本节主要让学生了解解直角三角形的各种方法，以及如何应用解直角三角形解决实际问题。教材通过丰富的例题和练习题，引导学生掌握解直角三角形的方法，并能够灵活运用。

二. 学情分析

九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和勾股定理有一定的了解。但是，解直角三角形的方法和应用可能还有一些学生不太清楚。因此，在教学过程中，教师需要关注学生的掌握情况，对于不太理解的学生要及时进行讲解和辅导。

三. 教学目标

1.让学生掌握解直角三角形的方法，并能够灵活运用。

2.培养学生解决实际问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力。

四. 教学重难点

1.解直角三角形的方法。

2.如何应用解直角三角形解决实际问题。

五. 教学方法

采用讲解法、演示法、练习法、讨论法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习，提高解决问题的能力。

六. 教学准备

1.PPT课件。

2.相关练习题。

3.直角三角板。

七. 教学过程

1.导入（5分钟）

教师通过提问方式引导学生回顾直角三角形的性质和勾股定理，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）

教师通过PPT课件展示解直角三角形的方法，并用直角三角板进行演示。让学生直观地了解解直角三角形的过程。

3.操练（15分钟）

教师给出一些例题，让学生独立完成，然后讲解答案，并引导学生总结解题方法。

九年级数学解直角三角形的应用

学习目标
掌握解直角三角形的基本方法，包括利用勾股定理、三角函数等求解。
培养数学逻辑思维和推理能力，增强数学素养。
理解解直角三角形在解决实际问题中的应用，提高解决实际问题的能力。
02 基础知识回顾
直角三角形的性质
直角三角形中，直角所对的边是斜边，其余两边为两腰。
直角三角形中，两锐角互余，即两个锐角的和为90度。
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
三角函数的概念
正弦（sin）
正切（tan）
直角三角形中锐角的对边与斜边的比值。
直角三角形中锐角的对边与邻边的比值。
余弦（cos）
直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值。
特殊角的三角函数值
30度
01
sin=1/2，cos=√3/2，tan=√3/3
45度
通过测量建筑物底部和顶部与水平面形成的角度，以及底部距离，利用解直角三角形的知识计算建筑物的高度。
计算两建筑物之间的距离
利用相似三角形的性质，通过测量两建筑物之间的角度和其中一建筑物的高度，计算两建筑物之间的距离。
确定建筑物的倾斜角度
通过测量建筑物与水平面形成的角度，利用解直角三角形的知识计算建筑物的倾斜角度。
02
sin=cos=√2/2，tan=1
60度
03

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计1

一. 教材分析

《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。本节

主要让学生掌握直角三角形的性质，学会用勾股定理计算直角三角形的边长，以及学会用三角函数解决实际问题。教材通过引入直角三角形的边长和角度的关系，引导学生探究并发现勾股定理，进一步运用勾股定理解决实际问题。

二. 学情分析

学生在学习本节内容前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的认

识有一定的基础。同时，学生已经掌握了锐角三角函数的定义和性质，为本节学习解直角三角形提供了前提。但在解决实际问题时，部分学生可能对将实际问题转化为数学模型有一定的困难。

三. 教学目标

1.了解直角三角形的性质，掌握勾股定理及运用。

2.学会用三角函数解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点

1.教学重点：掌握勾股定理，会用勾股定理计算直角三角形的边长。

2.教学难点：将实际问题转化为数学模型，运用三角函数解决实际问题。

五. 教学方法

1.采用问题驱动法，引导学生探究直角三角形的性质。

2.运用实例分析法，让学生学会将实际问题转化为数学模型。

3.采用合作学习法，培养学生团队合作、交流分享的能力。

六. 教学准备

1.准备相关直角三角形的图片和实例。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪等。

3.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。

七. 教学过程

1.导入（5分钟）

–利用多媒体展示一些与直角三角形相关的图片，如建筑物的侧面、三角板等。

–提问：你们对这些图片有什么观察和发现？

九年级数学解直角三角形及其应用

7、一个小球由地面沿坡度 i=1：2的坡面上前进了10米，此时小球距离地面的高度为（ B ）。 A、 5米 B、 2 5 米 10 C、 4 5 米 D、米
3
8、如图，某生产车间的人字形屋架为等腰三角形，夸度 AB=12米，∠A=30°，则 2√3 米中柱CD= ， C 上弦AC= 4√3米。
考点2 坡度（坡比）、坡角
（1）坡度也叫坡比，即i=h：m， h是坡面的铅直高度， m是对应的水平宽度。
α m h
（2）坡角是坡面与水平面的夹角
（3）坡度与坡角的关系：i=tanα
6、在离地面高度为6米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线长为（B ） A、6 3 m B、4 3 m C、 2 3 m D、3m
A D B
9、130班课外活动小组为了测量学校旗杆的高度（如图）他们在离旗杆30米的D处，用测角仪测得仰角为30°已知测角仪器的高度为1.4米，则旗 18.7 杆BE的高约为米。（精 B 确到0.1米）
A
C
10、如图，B、C是河对岸的两点，A是岸边边上的一点，测得 ∠ABC=∠ACB=45°， BC=60米，则点A到BC的距离为 30米。 A
1、在Rt△ABC中，∠C=90° AC=1， AB=2，则BC= ， ∠A= ，∠B= 。
2、如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为30°则 B 高BC= 米。 3、某防洪堤坝的横断面是梯形，背水坡的坡长为40米，坡角为45°，则坝高为米。

九年级数学：解直角三角形典型题型解析

解直角三角形典型题型解析

一、仰角：指的是向上看时，视线与水平线的夹角。视线在水平线以上时,在视线所在的垂直平面内,视线与水平线所成的角叫做仰角。

俯角指的是向下看时，视线与水平线的夹角。1：在竖直面内的水平线与向下递降线段之间的角度(朝下看时，视线与水平面夹角为俯角) 2：从测量员的仪器到照准点所观测到的地平线以下的垂直角3：俯角范围0到180°4：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角也叫俯角。

视角，视线与显示器等的垂直方向所成的角度，观察物体时，从物体两端（上、下或左、右）引出的光线在人眼光心处所成的夹角。物体的尺寸越小，离观察者越远，则视角越小。正常眼能区分物体上的两个点的最小视角约为1分。

坡度与坡角教案

二、坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5。把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．

坡度i与坡角α之间具有什么关系？坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，因为tan ＝，AB不变，tan 随BC增大而减小；当水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα也随之增大，因为tan = 不变时，tan 随AB的增大而增大

教师点拨：一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34 方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？

水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)

九年级数学上册第24章解直角三角形24

5．某测量队在山脚 A 处测得山上树顶 B 的仰角为 45°(如图)，测量队在山坡上前进 600 米到 D 处，再测得树顶的仰角为 60°，已知∠CAD＝30°，若树高为 15 米，则山高约为(精确到 1 米，
3≈1.732)( C ) A．585 米 C．805 米
B．1 014 米 D．820 米
且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2 号楼的高度．(结果精确到0.1)(参考数据sin40°≈0.64， cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39， tan67°≈2.36)
解：过点 E，F 分别作 EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为 M，N. 由题意得 EC＝20 米，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，AB＝60 米． ∵点 B 为 CD 的中点，∴CB＝DB，易知四边形 BCEM，四边形 BDFN 是矩形， ∴CB＝DB＝EM＝FN ，MB＝EC, FD＝NB. ∴AM＝AB－MB＝60－20＝40(米)，
3．【中考·长春】如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修
一条隧道(点 A，B 在同一水平面上)．为了测量 A，B 两地之
间的距离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达
C 处，在 C 处观察 B 地的俯角为 α，则 A，B 两地之间的距
离为( D )

与视角有关的解直角三角形应用问题

解：如图，α=30°，β=60°，AD=120．
∵
BD
tanα= A D
，tanβ= C D
AD
．
B
∴
BD=AD·tanα=120×tan 30°A
α β
D
=120× 3 = 4 0 3 ，
3
CD=AD·tanβ=120×tan 60°
=120× 3 = 1 2 0 3 ．
பைடு நூலகம்
∴ BC=BD+CD= 4 0 3 + 1 2 0 3
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角．
练习
F
B
2.如图，BCA=DEB=90，
FB//AC // DE，从A看B的仰角是 ∠BAC ；
DE
从B看A的俯角是 ∠FBA ；
从B看D的俯角是 ∠FBD ；A
C
从D看B的仰角是 ∠BDE ；水平线
解：设过点A的水平线交PP′于点D，则 DC=AB=7，设AD=x. 则PD=AD·tan37°≈34x. P′D=AD·tan53°≈43x. ∵P′、P关于直线BC对称， ∴PC=P′C.即PD+DC=P′D-DC.
3x74x7 ， x2 4 ， P C 2 5 m . 43
课堂小结

初中九年级数学学案用解直角三角形解方位角、坡角的应用

28.2.5 用解直角三角形解方位角,坡角地应用

一,新课导入

1.课题导入

情景:如图,一艘海轮位于灯塔P地北偏东65°方向,距离灯塔

80 n mile地A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P

地南偏东34°方向上地B处,这时,海轮所在地B处距离灯塔P有

多远？

问题:怎样由方向角确定三角形地内角？

2.学习目地

（1）能根据方向角画出相应地图形,会用解直角三角形地知识解决方位问题.

（2）知道坡度与坡角地意义,能利用解直角三角形地知识解决与坡度有关地实际问题.

3.学习重,难点

重点:会用解直角三角形地知识解决方向角,坡度地有关问题.

难点:将实际问题转化为数学问题（即数学建模）.

二,分层学习

1.自学指导

（1）自学内容:P76例5.

（2）自学时间:10分钟.

（3）自学方法:独立探索解题思路,然后同桌之间讨论,写出规范地解题过程.

（4）自学参考提纲:

①如图,一艘海轮位于灯塔P地北偏东65°方向,距离灯塔80海里地A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P地南偏东34°方向上地B处,这时,海轮所在地B处距离灯塔P有多远？(结果取整数,参考数据:cos25°≈

0.91,sin25°≈0.42,tan25°≈0.47,sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67）

a.根据已知在图中标出方向角:如图所示.

b.根据方向角得到三角形地内角:在△PAB中,∵海轮沿正南方向航行,∴∠A= 65° ,∠B= 34° ,PA= 80 .

c.作高构造直角三角形:如图所示.

d.写出解答过程: