中美比较研究的若干启示(蔡金法)

课堂教学的一大特点：
为了保证课堂教学结构的严谨性，教师要对整个 教学过程进行周密的思考、精心的设计，从而为 学生铺路，希望学生系统地了解概念的来龙去脉， 或解题过程的详细步骤
结构化的教学尽管不乏师生之间的对话，但不是 真正的师生互动。从长远来看势必会阻碍学生思 维的灵活性的发展
Engagement (参与)
自信的教育
困难本身很少击倒人， 让人挫败的往往是缺乏自信
信心的教育
• 90%以上入狱的犯人都曾听父母对
自己说过：“他们会把你关到监狱
中。”
（Bill Glass）
• 大部分人可以分辨谁对自己有信心 • 大部分人会竭力活出你对他的信心
游戏
A. 杭州 抄写 杭州
B. 蓝天 联想 白云
C. 杭州（抄写）杭州（联想）美丽
中央电视台国际频道2005年12月16日的“让世界 了解你” 。中国东南大学校长与美国宾夕法尼 亚大学校长之间的对话：社会、企业对“三高” 人才的需求：高合作精神、高专业水平、高敬业 精神。
我们的发现：
当美国教师在备课时，就已经把小组学习的过程 和内容安排在教案中，小组合作学习是美国学生 日常的数学学习模式，尽管中国的数学课堂也可 以见到小组学习的形式，但远没有达到“日常” 的程度
Behavioral activation system (BAS) ( 行为激活系统)
Incentive – BAS Dopamine (多巴胺) – brain chemical or
neurotransmitter (大脑化学物质或神 经递质)
Spanagel & Weiss (1999) Wise (1996)
方法 1
每个男孩得到1/3的比萨饼，女孩得2/7 ，如果你把1/3和2/7进行比较，你会 发现1/3比2/7要大一点，比较时将他 们化为同分母（1/3=7/21，2/7=6/21， 7/21-6/21=1/21）或者化为近似小数（ 1/3=0.33，2/7=0.29，0.33-0.29=0.04 ）
维果斯基的最近发展区概念
受帮助后的发展水平
最近发展区
独立操作的发展水平
案例 2
有7个女孩、3个男孩和3块同样大小的比萨 饼。7个女孩平分两块比萨饼，3个男孩平 分另外一块比萨饼。
(1)每个男孩和每个女孩是否得到同样多的比 萨饼？ 解释你的解答过程。
(2)如果每个女孩和每个男孩所得的比萨饼的 多少不同，谁得的多？解释你的解答过程 。
on Algebra Learning
(LieCal Project)
Achievement Growth on Open-Ended Tasks
合作
现代社会离不开合作
Bill Gates在被问及什么是“天才（genius）” 时，回答道：“我认为天才不仅仅关乎纯粹的智 力，而且还需要具备在开辟或探索一个全新的领 域时的合作共进的能力”（Carrieri, 2005）
比较两个带分数大小的教学片断（续）
学生7：整数部分。 教师：对的。我们首先比较整数，那么接下来呢？ 学生7：比较分数。 教师：什么？ 学生7：分子。 教师：分子。谢谢。大家还记得前面学过的比较 两个分数时，首先看什么吗？（教师面向全体学 生）学生8你说说看。
比较两个带分数大小的教学片断（续）
学生8：分子。 教师：那．．．．．． 学生8：分母。 教师：分母。我们应该首先看分母是否相同，是 吗？ 全体学生：是！ 教师：对，我们先比较整数部分，因为它们一样 大，再看分母。五分之一和五分之三哪个更大？ 还记得把一块蛋糕分成5部分，3份和1份，哪一 个更大？ 学生9：3份。
教学的两个层面
可预测性 生成性
比较两个带分数大小的教学片断（续）
5分钟时间教学片断，教师的提问与学生的回答 使得整个课堂教学按很细碎的步子走下去，同时 引导学生按一具体的顺序（整数、分数、分母） 检查分数的不同部分，不鼓励学生跳过任一部分
教师很少关注学生的合理的回答，只是关心比较 两个带分数的一般程序的获得
一个发生在幼儿园的故事
家长 应该怎么办？
一个发生在幼儿园的故事（续）
“过去亲亲那位 大姐姐！”
妈妈对孩子说：
我们的研究发现（续）：
数学教师：
美国教师：往往从较正面的角度去评判学生的答 卷，他们的一个普遍的评分标准是，因为学生的 答题过程具有了这点或那点，所以该答卷就可以 得到某个分数
中国教师：往往从负面的角度评判学生的答卷， 他们的一个普遍的评分标准是，因为学生缺少这 点或那点，所以该答卷就要扣掉多少分。
一个中学生理发的故事
“孩子15岁的时候连自己的 发型都不能作主，将来在他 25岁、35岁或45岁的时怎么 能为一个企业的发展决策
呢？”
笔者的发问
一个令人担忧 的问题
一个中学生理发的故事（续）
“他这样没出息的，哪能 就企业的发展决策，能考 上大学就谢天谢地啦!”
家长的原话 一个让人内心刺痛 的回答
数学教育质量提升:
中美比较研究的若干启示
蔡金法
(Jinfa Cai)
jcai@ University of Delaware
2012年10月
促进学生学习数学 教育质量 提升
中美比较研究的若干启 示
“双基”的投入
中美学生在四类任务上的表现
(Cai, 2000, 2001)
13个计算题 18个简单问题解决的任务 6个过程限制的问题解决任务 6个过程开放的问题解决任务
GG G G G
BB
G
G
B
方法 4
3个女孩分一个比萨饼，剩余4人分 另一个比萨饼，则这4个女孩得 到的份额比男孩要少一些，所以 男孩分得多一些
13
45
2
67
Girls'
13 2
Boy s'
方法 5
7个女孩得2个比萨饼，3个男孩 得一个，女孩的比萨饼总数是男 孩的2倍，但总人数是男孩的2倍 多，所以男孩分得多一些。
方法 6
将每个比萨饼分成4份，每个女孩拿一 份，剩下一份，每个男孩拿一份，剩 下一份，剩下的一份要被7个女孩来 分，但另一份只有3个男孩来分，所以 男孩分得多一些
43
7
12 56
Girls'
3 12
Boys &#以平均3.5个 女生共享一个比萨饼，而3个男 生共分一个，所以每个男生分得 多一些。
对“双基”的合理投入应能导致学生在下述 四类问题中的表现如图2所示
100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%
计算题
简单问题解决 过程受限的复杂问题 过程开放的复杂问题
图2 理想的数学教育下学生在四类问题上的表现
Longitudinal Investigation of the Effect of Curriculum
2 + 3 + 4 + … + n) 2
前n排的和= (1 +
一个意外的发现：
13 + 23 + 33 + 43 + … + (n-1)3 + n3 = (1 + 2 + 3 + 4 + … + n) 2 = [n(n+1)] 2
Note: 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = n(n+1)/2
方法 8
把每个比萨饼分成21块，每个女孩 得6块，每个男孩得7块。
Chinese & U.S. Students’ Distribution
方法 1 方法 2 方法 3 方法 4 方法 5 方法 6 方法 7 方法 8
U.S.
China
2
90
14
2
7
2
29
2
10
3
7
0
10
2
2
0
23
5
案例 3:
一滴水
如果水龙头不关 紧，
一年会浪费多少 ？
案例 5: 帽子平均数问题
Angela为数学俱乐部卖帽子.下图显示了Angela 前三周卖出的帽子数：
第一周
第二周
第三周
第四周
?
游戏
A>B
A=B
A<B
B>C
B=C
B<C
均分 C
B
A
0
1
2
3
4
案例 1
老师的题目：2，3， 5， 8， 13,…
13後的數字是什麼？
案例 1
• TEA: 前面四题作对的人很多,最后一题做 对的人很少阿. 没有几个. 好, 徐昌.
• ST1: 最后一题是2, 3, 5, 8, 12, 17. • STS: 错 • TEA: 错，好, 我们来看看哦, 好, 孟浩然.
案例 4: 一个问题提出的活 动
1
35
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29 …… 按此模式继续下去.
我想根据这一模式，为学生编一些问题。 帮助我想出尽可能多的问题写在下面的 空白处。
提出的问题
第10排有多少个数？ 第n排有多少个数？ 第n排的第一个数是什么？ 第n排的最后一个数是什么? 每一排的中间数是一个完全平方数 吗？ 前n排的所有数的和是多少？
案例 1
• ST2：2, 3, 最后一题的答案是2, 3, 5, 8, 9, 11.
• STs：错. • TEA: 错, 嗯. 王建成. • ST3: 最后一题的答案是2, 3, 5, 8, 13, 21 • TEA: 还有呢? 还差一个数字. • STx: 陈老师, 我们13都没有的. • TEA: 哦, 你们13都没有的. 是吗？好的.
方法 2
如果有6个女孩，每个女孩和每个 男孩得到的份额就一样，但是有 7个女孩，所以每个女孩得到的 相对男孩就少一些。
方法 3
3个女孩分一个比萨饼，另三个女孩 分另一个比萨饼，则这6个女孩中每 个人得到的份额和三个男孩中每个 人得到的份额就一样，但如果这样 分的话，剩下的哪个女孩就没分到 ，所以每个男孩分得的要多一些
是否需要重新考虑对“双基”的 投入？
中国学生在计算题上的绝对优势并没有在一些过程开放的 复杂问题解决上表现出来
100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10%
0%
88% 48%
计算题
77% 57%
75% 54%
57% 61%
中国 美国
简单问题解决 过程限制的复杂问题 过程开放的复杂问题
前n排的所有数的和是多少？
1 35 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 ……
前n排的所有数的和是多少？
1 35 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
……
=1 =8 =27 =64 =125
……
前n排的所有数的和是多少？
1
=1
35
=8
7 9 11
=27
13 15 17 19
=64
21 23 25 27 29
=125
……
前n排的和
……
= 13 + 23 + 33 + 43 + … + (n-1)3 + n3
前n排的所有数的和是多少？
1 35 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
……
[1 + 3 + 5 + … + (2m-1) = m2 ]
图1 中美学生在四类问题上的平均分数（用百分数表示）
基本知识+基本技能+问题解决能力 VS．
地下基础+地面楼层
地面楼层
地下基础
问题解决能力
基本技能 基础知识
在基础和楼层之间需要找到一种平衡
?%
基础的
投入？
地面楼层的投入？
基础知识 基本技能
？
问题解决能力？
总的资金投入是 定额的、有限的
教与学的时间和精力 是有限的
我们的建议（续）：
学生的角色： 责任分担者 监督员 问题提出者 解答提供者 评估者 领导者 合作者
教师的角色： 促进者 观察者 任务设计者 管理者
在学习过程中，学会与他人相处和合作 ，共同进步
学业 合作能力
成就
自信心
为什么要培养孩子的自信心？ 成功与否及生活质量的好坏，仅有学业成绩是远 远不够的，更需要包括自信心在内的良好的心理 素质，也就是应具备较高的“情商” 问题解决的成功与否并非取决于被试所拥有的数 学知识及相关数学内容的理解，而是取决于他们 对自己思维过程的监控即元认知能力（Cai, 1994）
比较两个带分数大小的教学片断
在比较“二又五分之三和二又五分之一”的大小时， 其中一位学生说出了二又五分之三比二又五分之 一大，然而任课教师和班上学生之间仍有下面的 对话：
教师：许多同学都同意这个结论，为什么它是对 的？在比较这两个分数大小时，首先比较什么？
学生7：分子
教师：比较两个带分数时，我们首先应该看什么？
中国学生在计算题上的绝对优势并没有在一些过程开放的 复杂问题解决上表现出来
100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10%
0%
88% 48%
计算题
77% 57%
75% 54%
57% 61%
中国 美国
简单问题解决 过程限制的复杂问题 过程开放的复杂问题
图1 中美学生在四类问题上的平均分数（用百分数表示）