各向异性影响非等温凝固过程的相场法模拟
相场法数值 模拟
四、相场方程 (phase-field equations)
Ginzburg-Landau 方程 f 0 k (r , t ) F Lk k k Lk t k (r , t ) k
Cahn-Hilliard 方程
2、凝固-单相场变量
ϵ 2 * 2 F f 0 ( xB , , T ) (xB ) ( ) dr V 2 2
等温凝固，假设摩尔体积不变，即组成梯度项不考虑 ϵ则=0
均质自由能密度
f 0 ( xB , , T * ) f p ( xB , , T * ) g ( )
图1（a）性能不连续
（b）性能连续
N. Moelans, B. Blanpain , P. Wollants, "An introduction to phase-field modeling of microstructure evolution", CALPHAD -Computer Coupling of Phase Diagrams and Thermochemistry, 32, 268-294, 2008
相场量(phase-fields)
两相
多相
p相，相应的变量 k 在系统中任一点 r
1表示在固相中 0表示在液相中 0 1在固液界面
k 1
p
k
1，k 0, k
三、热力学势函数 (thermodynamic energy functional)
经典热力学
F ( xB ,k ) f 0 ( xB ,k ) 1 xB (r , t ) M M xB (r , t ) Vm t xB (r , t ) xB
Monte Carlo方法模拟晶粒在气-液-固三相体系下的各向异性生长
中图分 类号 ： Ｇ １ １ ４ Ｔ １．
文献 标志码 ： Ａ
ＺＨＡ０ ｈ ｉ ．ＨＯＵ ａ ，ＣＨＥＮＧ Ｊ ｎ Ｙｕ ｕ ～ Ｈｕ ｕ
ｆｒ ｐ ｏ ｅ ｓ ｏ ａｎ ｇｒ ｔ ｎ ｖａ ｏｒｌｑｕ ｄ ｓ ｌｄ ｓ ｔ ｍ ｓ ｅ ｅ ｏ ｄ， ｔ ｅ ｒ ｒｔ ｒｏｎ Ｗａ ｄ ｔ ｒ ｉ ｄ ａ ｅ ｎ ｈｅ ｅ ｒ ｃ ｓ ｆｇｒ ｉ ｏｗ ｈ ｉ ｐ ｉ ｉ — ｏ ｉ ｙｓｅ ｗａ ｄ ｖ ｌ ｐｅ ｈｅ ｎｅ ｇｙ ｃ ｉｅ ｉ Ｓ ｅ ｅ ｍ ｎｅ ｂ ｓ ｄ ｏ ｔ
Ｍ ｏ ｅ Ｃａ ｌ ｉ ｕ ａ ｉ ｎ ｆ ｒ ｔ ｎｔ ｒｏ Ｓ ｍ ｌ ｔｏ ｏ ｈｅＡｎｉｏ ｒ ｐｉ ａ ｎ Ｇ ｒ ｗｔ ｏ ｅ ｓｉ ｐｏ 。 ｑ ｄ－ ｏ ｉ ｉ ａ ｅ ｓ ｔｏ ｃ Ｇｒ ｉ ｏ ｈ Ｐｒ ｃ ｓ ｎ Ｖａ ｒＬｉ ｕｉ ・ ｌｄ Ｔｒｐｈ ｓ － Ｓ
ｍｉ ｉ ｍ ｎ ｒ ｙ ｐ ｉ ｃｐ ｅ ａ ｄ ｔ ｅｌ ｕ ｄ ｓｎ ｅ ｅ — ｉＮ４ｃ ｒ ｍｉ ｇ ａｎ ｇ ｏ ｈ ｐ ｏ ｅ ｓ ｗａ ｉ ｌ ｔ ｄ ｂ ｔ ｈ ｎ ｓ ｔｏ ｉ ｎ ｍｕ ｅ ｅ ｇ ｒ ｉ ｌ ｎ ｈ ｉ ｉ ｉ ｔ ｒ ｄ Ｇ Ｓ ３ ｅ ａ ｃ ｒ ｉ ｒ ｗｔ ｒ ｃ ｓ ｓ ｓｍｕ ａ ｅ ｙ ｗｉ ｔ ｅ ａ ｉｏ ｒ ｐ ｃ ｎ ｑ ｈ ｉ ｔ ｒａ ｉｌｅ ｅ ｇ ｆｌ ｕ ｄ ｓ ｌ ｎ ａ ｏ － ｏ ｉ ．Ｔｈ ｅ ｕ ｔ ｈ ｗ ｈ ｔｄ ｅｔ ｈ ｒｔ ｒｏ ｆ ｉ ｉ ｍ ｎ ｒ ｙ ｐ ｉ ｃｐ ｅｗａ ｎ ｅ ｆ ｃａ ｎ ｒ ｙ ｏ ｑ ｉ— ｏ ｉ ａ ｄ ｖ ｐ ｒｓ ｌ ｉ ｄ ｄ ｅｒ ｓ ｌｓｓ ｏ ｔ ａ ｕ ｏ ｔ ｅ ｃ ｉ ｉｎ ｏ ｎ ｍｕ ｅ ｅ ｇ ｒｎ ｉ ｌ ｓ ｅ ｍ ａ ｄ ｄ ｗｈ ｎ ｐ ａ ｅ ｔ ａ ｓｏ ｍａ ｉ ｎ ｔ ｋ ｌｃ ｕ ｉ ｇ ｔ ｅ ｒ ｎ ｏ ｗａ ｋ ｐ ｏ ｅ ｓ ｈ ｉ ｕ ｄ ｐ ａ ｅｄ ｓ ｒｂ ｔ ｎ ｉ ｍ ｏ ｅ ｒ ａ ｏ ａ ｄ ｅ ｅ ｈ ｓ ｒ ｎ ｆ ｒ ｔ ａ ｅ ｐ ａ ｅ ｄ ｒｎ ｈ ａ ｄ ｍ ｌ ｒ ｃ ｓ ，ｔ ｅ ｌ ｉ ｈ ｓ ｉｔ ｉ ｕ ｉ ｓ ｏ ｑ ｏ ｒ ｅ ｓ ｎ
相场法模拟界面能各向异性对枝晶生长行为的影响.pdf
!第!"卷!第!!期!#$$"年!!月相场法模拟界面能各向异性对枝晶生长行为的影响"李俊杰!王锦程""!杨根仓西北工业大学凝固技术国家重点实验室!西安O !%%O "!"%%()%&)!"收稿!"%%()%()"(收修改稿!"国家自然科学基金资助项目$批准号#(%&%!%!*!(%"O !%(O %!""通讯作者!+),-./#086J -23!2J I7#><7#82摘要!!采用修正的相场模型#模拟了纯物质在深过冷条件下界面能各向异性对晶体生长行为的影响#结果表明#各向异性模数很小时#枝晶形态为典型的海藻晶&当各向异性模数较大但仍小于临界值!!’!("时#枝晶形态为光滑枝晶&而当各向异性模数大于该临界值后#某些方向的生长将消失#呈现为棱面枝晶形态#当各向异性模数小于临界值!!’!("时#枝晶尖端生长速度随各向异性的增强而线性增大&当各向异性模数大于%#!后#枝晶尖端生长速度增大%速率减小并逐渐趋于定值#强各向异性与弱各向异性下的情况类似#枝晶尖端生长速度都表现出随界面厚度参数的减小而逐步收敛的趋势#关键词!!相场法!深过冷!各向异性!枝晶生长!!固)液界面能各向异性是影响晶体生长形态演化与微观组织选择的一个非常重要的参数#对自由枝晶来讲!形成稳定的枝晶尖端形态的必要条件就是具有一定的界面能各向异性!同时其生长方向和特征长度$如枝晶尖端半径!枝晶间距等%也与界面能各向异性密切相关#当各向异性相对较弱时!晶体的平衡形态是光滑的!即界面可以沿所有的方向生长!随着各向异性的增强!一些特定的高能量方向的生长将消失!晶体的平衡形态将出现棱角或小平面#近年来!相场法已成为模拟凝固过程中组织演化的一种重要手段&!*!%’#相场模型中!通过把界面能表示为界面法向与特定方向之间夹角的函数来考虑界面能各向异性的作用#在强界面能各向异性情况下!界面包含了某些行将消失的生长方向!它在热力学上以及数值计算过程中都是不稳定的!因此必须对界面能函数进行修正#目前!相场法模拟凝固微观组织演化的研究工作在单相合金&*!&’(多相合金&(!$’(多晶组织&O ’(流场作用&’!A ’等方面均已取得了重大进展!但上述研究都是针对弱各向异性的非小平面生长展开的!而对于强各向异性下的小平面生长的研究还不多见#直到最近!+33/>4@52等&!%’才提出了强各向异性下的修正方法!并通过对等温单一相场模型的修正!模拟了强各向异性下初生固相的形态#[-?,-等&"’提出的薄界面极限下的相场模型具有重要的理论和实用价值!该模型不仅大大提高了求解效率!而且可以对枝晶稳态生长行为进行定量模拟!本文将根据+33/>4@52等&!%’提出的调整界面能系数的方法!对该模型进行修正!研究纯物质在深过冷条件下!界面能各向异性对晶体生长形貌的影响以及枝晶生长稳态行为与各向异性之间的关系#$!相场模型纯物质非等温凝固相场模型的基本方程采用[-?,-等&"’提出的薄界面极限下的相场模型!定义相场变量&Y !代表固相!&Y\!代表液相!\!*&*!时代表界面#温度场及相场控制方程分别为":@Y -("@Z!""&":!$!%"!*!’$(%":&Y &&\)@$!\&"%\A ’.’’$!\&"%Z !!!(1&*$(%"(&’Z ";(&"*$(%"*$(%"$";&$%%Z "I(&"*$(%"*$(%"$"I&$%%!$"%其中*$(%Y *%+($(%!’$(%Y ’%+($(%"!@为无量纲温度!-为热扩散率!)为相场与温度场耦合系数!A ’.’为噪声项!*%和’%分别为与界面厚度和界面原子堆积特征时间有关的参数!各向异性因子+($(%Y !d .854&(!(为界面法向与;轴之间的夹角!可由式(Y -?8@-2$&I )&;%确定!.为各向异性模数"以上相场及温度场控制方程中的参量都已无量纲化"由E .H H 4)U 65,452方程可知$,$(%Z ,a $(%%)6$(%Y 4T \4P !式中4T !4P分别为液相和固相的自由能密度!,$(%Y ,%+($(%为界面能!6$(%为界面曲率半径"对过冷熔体的凝固过程!该方程右端恒为正!左端,$(%Z ,a $(%Y ,%$!c !(.854&(%!所以当.+!)!(时左端恒为正!界面的所有生长方向都是稳定的!界面光滑连续"当.,!)!(时!在某些生长方向上左端将为负!这些就是要消失的界面生长方向!界面不再连续而将出现棱角"此时要对上述相场模型进行修正!根据+33/>4@52等&!%’提出的修正方法得0&($(%Y &($(%!(H +(+-)&!&($(H %854$(%854$(H %!(*(%&’H!$*%其中(H 为生长停止的范围!在(+(H 的范围内生长都将停止!(H 可由下式给出!<<(854(&($($%%Y %!$&%将0&($(%代入$"%式得新的相场控制方程如下#当(H +(+-)&时’%&($(%"":&Y &\)@$!\&"%\A ’.&’’$!\&"%Z *%"(1&($(%"(&’&\";$*%"&($(%&b ($(%&I %Z "I $*%"&($(%&b ($(%&;%!$(%当(*(H 时’%&($(H %"854"$(%854"$(H %":&Y &\)@$!\&"%\A ’.&’’1$!\&"%Z *%&($(H %854$(H $%%"&;;"$$%(!计算结果和讨论(&$!模型的数值求解对相场方程$!%!$(%!$$%采用基于均匀网格的显式有限差分进行求解!初始网格节点数为"%%l "%%!随着计算的进行!枝晶不断长大!为保证温度场始终有足够的热扩散长度!网格节点数不断增加"在计算区域边界采用:>7,-22边界条件"基本参数选取为*%Y !!’%Y !!)Y %"$*(A !9%Y %"!*A !-Y &!(;Y (I Y%"&!(:Y %"%%&!计算了无量纲过冷度(@Y \%"$(时!各向异性模数.Y %"%!!%"%!(!%"%(!%"!(!%""下的枝晶生长演化行为"为了模拟出发达的二次枝晶!在相场方程中还可引入噪声"(&(!界面厚度参数的选取[-?,-等&"’进行了相场模型的薄界面极限渐进分析!通过补偿由大界面厚度所产生的非物理性影响!使其相场模型中界面厚度参数可以大于毛细长度!从而大大提高了计算速度#于艳梅等&!!’研究了热物性参数对界面厚度取值的影响!提出界面厚度参数应随各向异性的增大而减小!否则会带来较大的误差噪声!而使结果失真#本文在强各向异性的模拟中验证了这一论述!图!为各向异性模数.k %#"(时不同界面厚度参数下的模拟结果!模拟过程中未引入噪声项!但可以发现界面厚度参数*%k!图$!不同各向异性模数时不同界面厚度参数的模拟结果$-%*%k !"$H %*%k%#$*!*!!第!"卷!第!!期!#$$"年!!月时!主轴侧向长出了明显的二次分枝!这是由数值计算误差引起的扰动所造成#如不要求精确的计算!这是可以接受的!若要作准确的定量分析$如求枝晶尖端生长速度%!则必须减小界面厚度参数!但这样会使计算速度降低#图!$H %为减小界面厚度参数后$*%k %#$%的模拟结果!可见此时已无明显的二次分枝!数值误差得到了有效控制!而枝晶主轴上侧向的突起是由于生长方向不连续而引起的棱角!并非数值误差造成的!这与[-4-0.,-等&!"’的模拟结果是一致的#[-?,-等&"’研究表明在薄界面极限相场模型中!枝晶尖端生长速度随界面厚度参数*%与毛细长度9%比值的减小而趋于收敛!最终与界面厚度参数的选取无关#由于这是在弱各向异性下的结论!因此在研究生长速度前!首先需要确定用修正的模型进行强各向异性计算时!枝晶尖端生长速度是否同样收敛#图"是各向异性模数为%#!!%#!(!%#"时!无量纲生长速度随界面厚度参数减小的变化关系!可以看到*%)9%*(时!速度开始收敛#在研究枝晶尖端生长行为时即按这一原则选取界面厚度参数#图(!不同各向异性模数时无量纲尖端速度随!;$%;的变化(&)!不同各相异性下的晶体形态演化!!图*为不同各向异性模数$.k %#%!!%#%!(!%#%(!图)!不同各向异性时枝晶生长情况$-!%*$>!%无噪声"$-"%*$>"%加入噪声"$-%.k %#%!"$H %.k %#%!("$8%.k %#%("$<%.k %#!("$>%.k %#"(&!*!!第!"卷!第!!期!#$$"年!!月%#!(!%#"(%下的模拟结果#其中左半部$$-!%! $H!%!$8!%!$<!%!$>!%%未加噪声项!右半部$$-"%!$H"%!$8"%!$<"%!$>"%%加入噪声项#模拟结果表明!当各向异性较弱时!枝晶尖端将产生分叉!生长成典型的海藻状$4>-J>><%$图* $-"%!$H"%%!且各向异性越弱尖端越易产生分叉#对比有无噪声的形貌可发现!噪声引发侧向分枝!从图*$H!%!$H"%还可发现噪声会促进尖端的分叉#随着各向异性的增强!枝晶尖端将不再分叉!此时枝晶形貌是光滑连续的$图*$8"%%!加入噪声引发的二次分枝也同样如此#在没有人为加入噪声时$图*$8!%%!枝晶仅沿主轴方向生长!无二次分枝产生!这也说明模拟过程中计算误差的扰动非常小!对计算结果基本无影响#当各向异性模数.大于临界值!)!(后!界面的生长不再光滑连续!某些方向的生长消失!界面产生棱角!形成了典型的小平面枝晶形貌$图*$<"%!$>"%%!可以发现此时主枝和侧向分枝的尖端都出现了棱角#图&为;5^) -,-等&!*’通过实验得到的大过冷条件下硅的小平面枝晶形貌!本文模拟获得的结果与其相似!都具有典型的棱角特征#由于本模拟是在大过冷条件下进行的$无量纲过冷度(@k c%#$(%!因此小平面相的形貌为棱面枝晶!而不是常见的小过冷下的四方形#图*!#L K B?B等%!*&实验中观测到的过冷度$33=下硅的枝晶形貌(&*!各向异性对枝晶尖端稳态生长行为的影响尖端曲率半径是描述非小平面枝晶尖端大小的重要参量!但对小平面枝晶!其尖端附近生长不连续!界面不再是光滑连续的曲面!因此不能再用尖端半径来描述#本文采用[-4-0.,-等&!"’提出的特征长度C来表征小平面枝晶尖端大小!如图(所示#图+!=B’B M%?B等%!"&提出的表征小平面枝晶尖端大小的特征长度&研究界面能各向异性模数.对枝晶尖端稳态行为影响的结果见图$#图$$-%为界面稳定系数,"与各向异性模数.的关系#经典微观可解理论预测,"1.!"O(!但这是在过冷度和各向异性模数均趋于零时的结论!本文模拟的条件显然与之不同!两者不能进行比较#[-?,-等&!&’给出了大过冷度$(@k c%#&(%下微观可解理论的数值解$图$$-%中虚线所示%!本文通过相场法求解出了相同过冷度时,"随.的变化关系$图$$-%中圆圈所示%!可以发现模拟结果与微观可解理论数值解基本吻合#图$$H%中实线为枝晶尖端无量纲生长速度随各向异性模数的变化关系!发现在各向异性较小时!枝晶尖端生长速度随各向异性增大而线性增大#在临界值!)!(附近有一个小的转折!这与某些方向的生长开始消失有关#当各向异性模数大于%#!时增速减慢!而后逐渐趋于一个定值#图$$8%为生长消失范围随各向异性的变化关系!可以看出随着各向异性的增强!生长消失范围不断变大!但增大的速率在不断减小!当.,%#!后减小更加显著!不再随各向异性的增长而发生较大变化!这可能是各向异性模数大于%#!后生长速度变化减慢的原因#在相同的过冷度下!当尖端生长速度趋于稳定时!其尖端的大小也应趋于稳定!图$$H%中虚线所示特征长度C随.的变化关系恰好验证了这一点#(!*!!第!"卷!第!!期!#$$"年!!月图,!各向异性模数’对尖端稳态行为的影响$-%.对界面稳定系数,"的影响"$H%.对无量纲生长速度3@.I9%)-和尖端特征长度C的影响"$8%.对生长消失范围(H的影响)!结论!#计算结果表明!修正的相场模型可以很好地刻画不同界面能各向异性条件下的枝晶生长行为#在深过冷条件下!当各向异性模数很小时!枝晶形态为海藻晶"各向异性模数再增大但仍小于临界值时!生长形态为光滑的枝晶"当大于临界值后!某些方向的生长将消失!界面将出现棱角!生长形态为棱面枝晶#"#当各向异性模数较小时!枝晶尖端生长行为与微观可解理论相符!枝晶尖端生长速度随各向异性模数的增大而线性增大"而当各向异性模数大于临界值时!增速出现一个小的转折!当各向异性模数大于%#!时!增速减小!逐渐趋于定值!枝晶尖端大小也趋于稳定#*#在强各向异性条件下!枝晶尖端生长速度随界面厚度参数的减小而趋于收敛#参!考!文!献!!S6>>/>?;;!R7??-^GU!P86->1>?9‘#F5,I7@-@.5251<>2) <?.@>474.23-I6-4>1.>/<,5<>/#Q6^4.8-=!!A A*!$$$"%#"&* "
Fig. 1
中， 以解决该软件关于非均质各向异性等复杂地 质体的建模问题， 拓展和提升软件应对复杂地质 条件的适用性能， 提高其分析处理各向异性对流 体流动的模拟精度． TOUGH2［4］ 模拟器采用积分有限差分方法［6］ 进行地质体空间离散， 运用全隐式的迭代技术对数 它的 值模型进行求解． 对于任意地质单元体区域， 质量（ 水、 气或化学组分） 和能量方程可表述为 d κ M κ dV = F· nd Γ + q κ d V ． （ 1） dt Vn V Γ n n
1212
东北大学学报（ 自然科学版）
第 35 卷
作为一种有效的手段和方法， 在处理复杂地质条 件下流体流动时发挥着重要作用． 在非均质各向 异性介质的数值模拟中， 通常假设区域内的渗流 方向与位势梯度方向相同， 即渗透率主方向和坐 标轴一致， 当二者不一致时， 会产生误差． 在常规 的数值模拟中， 为了简化问题， 通常将地层介质概 化为非均质各向同性或者采取参数分区的方法进 行非均质各向异性空间介质体的处理． 这种对于 介质体空间各向异性的处理方式， 虽然可以整体 上把握渗流问题的宏观特征， 但开发出一种更加 客观精细刻画三维空间非均质各向异性的实际流 动的软件算法， 仍然是科学发展和工程实际对科 研工作者提出的高标准要求．
y， z ） 上， 渗透区域的每一点 （ x， 都有一个渗 y， z） ， y， 且具有对称形式， 即 k ij （ x， 透率张量 k（ x， z） = k ji （ x， y， z） ． vβ － y ， vβ － z ） 即 因此渗流速度的分量形式（ v β － x ， y 和 z 方向上的渗流速度： 为 β 相在 x， vβ － x = － （ kxx vβ － y = － （ kyx vβ － z = － （ kzx
材料科学-相场模拟简介
编辑ppt
t=1
t=10
t=50
14
相场模拟磁畴生成及畴界演化
相场方法模拟二级相变
编辑ppt
t=55
t=65
t=100
15
相场模拟磁畴生成及畴界演化
相场方法模拟二级相变
编辑ppt
t=300
t=800
t=10000
16
相场模拟磁畴生成及畴界演化
相场方法模拟凝固过程
相场方法模拟凝固现象可得到一般的微观组织形貌演化过程； 相场方法在凝固模拟中的应用包括纯物质的凝固，合金凝固，
编辑ppt
相场方法模拟调幅分解
Fe-Mo合金的调幅分解，进一步耦合弹性应力场
忽略弹性应力 的组织演化
考虑弹性应力 的组织演化
弹性应力对CMo=0.5合金调幅分解的影响（ T=500℃ ）
(a)t=5000；(b)t=10000；(c)t=20000；(d)t=50000
24
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相场模拟的进展
定向凝固过程等等； 除相场动力学方程，还需要考虑传热方程，传质方程和流体力
学方程，以及各项异性问题；
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相场法模拟等轴晶生长 （自适应有限元法）
相场法模拟树枝晶生长 17
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相场方法模拟凝固过程
要从固相和液相的过渡态找出一个序参量作为 过渡态的表征·······
纯物质固液相的区别
18
来推算相图； 在许多实际问题中得到应用。
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相场法模拟纤维状共晶合金凝固[2]
21
[2] M.Apel et al. Journal of Crystal Growth [J] 237-239 2002:154-158.
相场模拟对流影响凝固组织形成的研究进展_刘静
上 述 方 程(1)，(3)，(4)，(5)共 同 构 成 了 纯 物 质 在 强
迫对流下的相场模型。
（2） 耦合自然对流的相场模型。
该模型中相场 控 制 方 程 采 用Karma模 型 ， ［5，6］ 能 量
守恒方程、连续性方程和动量方程分别为：
坠θ +u軋·△ θ= 1 坠准 +△2θ
(6)
坠t
度函数”引入法和“变化界面应力”引入法以及所建立的耦合对流的相场模型，概述了相场法域目前面临的问题和未来发展趋势。
关 键 词 ：相场方法；微观组织；自然对流；强迫对流
中图分类号： TG111.4
文 献 标 识 码 ：A
文 章 编 号 ：1000-8356(2012)04-0459-04
Abstract： The phase-field models incorporated convection are introduced by two different methods.The applications and progress in phase-field simulation coupling convection in solidification microstructure are summarized briefly.The problems to be faced are pointed out and the future directions in this area are proposed. Key words： phase field method; solidification microstructure; natural convection; forced flow
目前， 耦合流场的数值模拟方法主要有CA方法 (Cellar automaton method) 和 相 场 法 (Phase field method)。 CA方法模拟时需要跟踪固液界面，而相场法 则避免了复杂的界面跟踪， 适用于模拟晶粒的生长、 枝晶的结构细节和三维生长， 作为一种数值计算技 术，应用于凝固过程的模拟，直观再现了复杂的微观 组织演化过程， 自问世以来就受到各国研究者的关 注。 本文阐述相场法在凝固过程对流效应研究中的应 用和最新研究动态。
相场法数值 模拟
均质与非均质体系 Homogeneous versus heterogeneous systems
图5 自由能与浓度的关系
Nele Moelans.Phase field method to simulate microstructural evolution (June 2004)
1、固态相变-对称性降低
图1（a）性能不连续
（b）性能连续
N. Moelans, B. Blanpain , P. Wollants, "An introduction to phase-field modeling of microstructure evolution", CALPHAD -Computer Coupling of Phase Diagrams and Thermochemistry, 32, 268-294, 2008
数值模拟
结束语
相场模拟通过微积分放映扩散、有序化 以及热力学驱动力的综合作用。相场方程的 解可以描述系统中固液界面的状态、曲率以 及界面的移动。把相场方程与外场（如温度 场等）耦合，则可以模拟多晶的真实形貌。
相场法数值模拟从单相场发展到多相场， 从没有流场到包含流场，其数学模型越来越 接近真实模拟过程。
α相扩散到 β相的溶质 扩散方程
尖锐界面
c D2c t
c D2c t
(c,in t c,in)tDcDc r1 r1
(c,in ) t (c,in )t
相场法原理
相场法是以GinzburgLandau理论为基础, 用微 分方程来体现扩散、有序 化势和热力学驱动的综合 作用, 它是建立在GinzburgLandau 唯象理论之上的 一种近代方法。
相场法数值模拟 phase-field modeling
烧结过程相场法模拟
p
q
pq
f0 f (Cm ) f (C) f (C,i ) f (C,i ) f (C, )
f
(ik
,
k j
)
i1
i1
k i1 j1
p
q
f (i , ) f (i , )
i1
i1
模型构建
C Cm
唯象系数讨论
对f (Cm )进行分析, 以相为例
f
Cm
F 2
(C
C )2(C C )2(C (C Cm)2
C )2
G 4
(C
C )4(C C )4(C (C Cm)4
C )4
f Cm
对C求导
fCm C
(F
G
F G (Cm C )2(Cm C )2
F G (Cm C )2(Cm C )2
模拟结果与分析
四球模型
55% 15% 30%系统微观组织演化
55% 15% 30%系统微观组织演化
模型推广
F
[
f0
(i11,i22...... inn
1.06 107 exp( 24000) RT
Table 2. Parameters used in the simulation
Parameters Interface energy, Initial alloy composition Initial temperature Initial cooling rate Molar volume, Vm Grid size, x Thermal conductivity
p
各向异性双相介质弹性波场褶积算法数值模拟
同性 的 弹性 固体 ； 相 的充 满孔 隙 空 间 的物 质 是具 液
有粘 弹性 的 、 可 压 缩 的流 体 。特 别是 含油 储 层具 不
有较 大 的孔 隙 度 ， 现 出 明显 的 双相 介 质性 质 。双 表
０ 引 言
双相 弹性介 质理论 认 为实 际的地下 介质 是 由固
相 、 相组 成 的 。固相 的 多孔 隙骨 架是 均匀 的 、 向 液 各
相介质 理论 与单 相介 质 理 论不 同 ， 它充 分地 考 虑 了
介质 的结构 、 流体 与气 体 的特 殊性 质 、 局部 特性 与整 体效 应 的关 系 ， 因此 更 能 准确 地 描述 实 际 地层 结 构
粘滞力 控制 孔隙 流体 的相对运 动是 弹性波 在孔 隙介
质传播 过程 中发 生衰 减 的 重要 机 理 ， 于后 人 的 工 并
作 中得 到 了验 证 、 发展和 应用 。 由于 Ｂｏ 双相 介 质 波 动 方 程 在 复 杂 地 质 环 境 ｉｔ
１ 双 相介 质 波场 模 拟 基 本 方程
３４ １
西
北
地
震
学
报
第 ３ 卷 ３
和勘 探地 震学家 们 的 高度 重 视 ， 由此而 发 展 起来 的
正演 和 反 演 研 究 具 有 更 好 的 应 用 前 景 。１ ５ ９ １年 ， Ｇａｓ ｎ ｓｍａ ｎ提 出了关 于弹性 波 在 多孔 介 质 中的传 播 理论 ， 并建 立 了著名 的 Ｏ ｓｍａ ｎ方程 （ 映 了速 ａｓ ｎ 反 度与孔 隙度 之间 的定量关 系 ） 。之后 ， ｌｔ Ｂｏ 根据潮 湿
玻璃钢拉挤工艺过程非稳态温度场与固化度数值模拟与试验
玻 璃 钢 ／ 复 合 材 料
７ ３
玻 璃 钢 拉 挤 工 艺 过 程 非 稳 态 温 度 场 与 固化 度 数 值 模 拟 与 试 验
谢 怀 勤 ，陈 幸 开 梁 ，
（ ．哈尔滨工业大学材料科 学与工程学 院 ，哈尔滨 １
钒
１０ ０ ； ．哈尔滨玻 璃钢研 究院 ， ５０ １ ２ 哈尔滨 １０ ３ ） ５０ ６
定律 和 能量平 衡 原 理 ， 由于 棒 材 具 有 中心对 称 的特
性 ， 以不考 虑环 向的热传 导 ， 可 由此 得 到二维 非稳 态 热传 导平 衡 方程 。
玻 璃钢拉 挤 过 程是 动 态 连 续 的 ， 括 热 传 导 和 包
固化反 应两种 过程 。由于 固化动 力学 方程 中含 有 温
４２ １ Ｆ Ｇ温度 传感 特性 表征 与标 定 ． ． Ｂ
Ｆ Ｇ传 感 器 灵 敏 稳 定 ， 地 轻 柔 且 形 状 可 变 ， Ｂ 质
４
实
验
与复合 材 料 相 容 性 极 佳 。埋 人 复合 材 料 后 既 不
影 响结 构 性能 ， 不 影 响测 量 场 。 因此 在 玻璃 钢拉 也
度 变量 ， 固化度 时要求 温度 已知 ； 热传 导过 程 中 求 而 内热 源 （ 固化反 应放 热 ） 又是 固化 度 的 函数 ， 求温 度 时又 要求 固化 度 已知 。 因此 ， 璃 钢 在 拉挤 过 程 中 玻
ｐ ＋ ＝－（ ＋ ） ｃ －￣ｋ （ ＋ （ ｒ ） １ｒ， － ｑ
到 以下代 数方 程 。
【】 ） ［］ ｝ ｛） Ｋ｛ Ⅳ｛ ＝ Ｐ ＋
（ ５ ）
式 中 ， Ｋ］为总 的热 传 导矩 阵 ； Ⅳ］为 总 的热 ［ ［ 容矩 阵 ； Ｐ） ｛ 为节 点 的总 热 流 量 矩 阵 ；｛ ｝为 温 度
大气工程中的各向同性与非各向同性湍流模拟
大气工程中的各向同性与非各向同性湍流模拟大气工程中的湍流模拟是一个重要的研究领域。
湍流是大气中常见的现象之一，它对于气象、空气污染和气候变化等方面都有着重要的影响。
而要研究湍流现象，就必须使用湍流模拟来进行分析。
湍流的模拟可以分为两种情况：各向同性湍流和非各向同性湍流。
各向同性湍流是指在三个空间方向上的湍流特性是相同的。
这种湍流模拟较为简单，因为不需要考虑方向的变化。
在大气工程中，各向同性湍流模拟通常用于研究大规模气流的运动和传输过程。
例如，通过模拟各向同性湍流，可以了解空气中颗粒物的扩散和输送规律，从而对空气污染的传播和控制有所帮助。
非各向同性湍流则是指在三个空间方向上的湍流特性不同。
这种湍流模拟相对复杂，需要考虑各个方向上的变化。
在大气工程中，非各向同性湍流模拟常常用于研究细小尺度的湍流结构和特性。
例如，在飞行器设计中，需要对飞机表面的气动特性进行模拟分析，而这种特性受到非各向同性湍流的影响。
另外，非各向同性湍流模拟还可用于研究气候变化方面的问题，如海洋混合层的形成和演变等。
湍流模拟的方法有很多种，其中最常用的是基于数值模拟的方法。
数值模拟方法通过在计算机上建立代表湍流特性的方程组，并使用数值算法进行求解，从而得到湍流的解析结果。
数值模拟方法的优点是可以对湍流进行全面的分析，但缺点是计算量大，对计算机性能要求较高。
除了数值模拟方法外，湍流模拟还可以通过实验方法进行。
实验方法通过设计合适的试验设备和测量方法，来获取湍流现象的数据。
其中最常用的实验方法是风洞实验和水槽实验。
风洞实验是通过模拟大气流动环境来研究湍流现象，而水槽实验则是通过模拟水流来研究湍流现象。
这些实验方法的优点是可以获得真实的湍流数据，但缺点是受到实验条件和测量误差的限制。
综上所述，大气工程中的湍流模拟是一个复杂而关键的研究领域。
通过各向同性湍流和非各向同性湍流模拟，可以对大气中的湍流现象进行分析和研究。
数值模拟和实验方法是湍流模拟中常用的方法。
各向异性影响非等温凝固过程的相场法模拟
文章编号:1673 5196(2007)06 0001 05各向异性影响非等温凝固过程的相场法模拟王智平1,2,杨世银1,朱昌盛1,肖荣振1(1.兰州理工大学材料科学与工程学院,甘肃兰州 730050;2.甘肃有色金属及复合材料工程技术研究中心,甘肃兰州 730050)摘要:采用相场法,模拟Ni Cu二元合金非等温凝固时各向异性系数对晶体生长行为的影响.结果表明,各向异性系数越大,二次枝晶越发达,枝晶生长速度越快.潜热的释放,致使固相区温度比液相的高,而且在二次枝晶生长速度最快的固/液界面处的温度最高.固/液界面温度的升高,使过冷度降低,晶体的生长受到抑制,生长速度出现波动.关键词:相场法;非等温凝固;各向异性系数中图分类号:T G244;T G248 文献标识码:APhase field simulation of influence of anisotropyon process of non isothermal solidificationWANG Zhi ping1,2,YAN G Shi yin1,ZHU Chang sheng1,XIAO Rong zhen1(1.College of M aterials Science and Engin eering,Lanz hou U niv.of Tech.,Lan zhou 730050,China;2.Research Centre of Gansu Nonfer r ou s M etal and Composite M aterials,Lanzhou 730050,China)Abstract:The influence o f aniso tr opic coefficient in the pr ocess o f dendritic g row th in a nickel/copper system under non isothermal condition w as studied by phase field m ethod.The results indicated that the velocity of dendritic gro w th w ould change faster due to bigger anisotropic coefficient,and the am ount of the secondary dendrite w ould also become greater.T he release of latent heat w ould r esult in higher tem perature in solid phase than in liquid one,and the hig hest temperature took place in the so lid/liquid inter face area w ith fast dendritic gr ow th.Because of the high tem perature in the so lid/liquid interface area,the super coo ling deg ree r educed,restraining the gr ow th o f dendr itic and making the velocity of dendritic grow th fluctuated.Key words:phase field method;non isotherm al solidificatio n;anisotropic coefficient相场法自20世纪80年代提出以来,已成功应用于凝固过程的模拟,直观地再现了复杂的微观组织演化过程,取得了显著的成果[1~11].最初用相场法模拟二元合金凝固组织演化时,为了简化模型,忽略了结晶潜热的释放对组织的影响,将二元合金的凝固近似地视为在等温条件下进行.Wheeler、Boetting er与McFadden[6]提出了近似等温(iso thermal)条件下合金凝固的相场模型,并进行了界面厚度趋于零的渐进分析.M cCarthy[7]、Lee与Si zuki[8]、Kim与Sizuk[9]等模拟了在等温条件下Cu Ni,Fe C,A l Si合金的凝固微观组织,展示了重收稿日期:2007 07 12基金项目:甘肃省科技攻关项目(GS992 A52 052)作者简介:王智平(1956 ),男,山东荷泽人,教授,博导.熔、溶质偏析等合金凝固的重要特征.然而,即使对于纯金属,凝固过程中释放的潜热也必然改变熔体中的温度场,影响最后的凝固组织,因此,合金的非等温相场法模拟对于准确预测合金的凝固组织是必要的.Wheeler等人首先提出了非等温凝固枝晶生长的相场模型(WBM模型)[10],并运用该模型模拟了二元合金非等温凝固过程中的溶质偏析和枝晶生长的再辉现象[10,11].各向异性系数( )表示固液界面表面张力,界面厚度及界面动力学的各向异性程度,对凝固界面形态及尖端生长速度都有着很重要的影响.固/液界面能是影响晶体生长形态演化与微观组织选择的一个非常重要的参数,对自由晶来讲形成稳定的枝晶尖端形态的必要条件就是具有一定的界面能各向异第33卷第6期2007年12月兰 州 理 工 大 学 学 报Jo ur nal of L anzho u U niv ersity of T echno lo gyVo l.33No.6D ec.2007性,同时其生长方向和特征长度(枝晶尖端半径,枝晶间距等)也与界面能各向异性密切相关.本文在Wheeler[9]等人提出的相场模型的基础上,研究了二元合金非等温的条件下,界面能各向异性系数对晶体生长形貌的影响以及枝晶生长的稳定性行为与各向异性系数之间的关系.1 模型控制方程在WBM 模型[9]中,相场方程是通过熵函数来建立,体系的熵函数可表示为S =vs(e, ,c)- 22| |2+!22| c |2d v(1)式中:s 为熵密度函数,c 为溶质B 的浓度,e 为内能密度, 和!分别为相场参数和溶质梯度系数, 为0~1连续变化的函数, =0表示固相, =1表示液相,v 为计算区域.假定相场随时间的变化与熵函数成正比关系t =M!S !(2)式中:M 为相场迁移率,其值与界面动力学相关;S 为封闭系统的熵,则有 t=M [ 2(∀) -(1-c)H A ( ,T )-cH B ( ,T )](3)c t =- D c c(1-c)v m R(!2 2)+D c c(1-c)v m R(H A -H B) +D c c(1-c)v mR#( ,T) T -D c c c (4)T t =D T 2T -(L A -L B )(1-p ( ))C p ct-[(1-c)L A+cL B]p !( )C p t(5)其中:H A( ,T)=G A !( )-p !( )LAT -TAmTT m(6)#( ,T)=-p ( )T 2(L A -L B )+1T(C A -C B )(7)D c =D s +p ( )(D l -D s )(8)p ( )= 3(10-15 +6 2)(9)G A ( )=W A ( 2-2 3+ 4)(10)式中:D l 为液相中溶质扩散系数,D s 为固相中溶质扩散系数,D T 为热扩散系数.H B ( ,T),G B ( )分别与H A( ,T ),G A( )的表示相同.2 计算参数的确定2.1 相场参数的取值在上述控制方程的推导中,为了简化计算,取C A=C B=C p ,W A=W B=W .相场参数 、W 与界面能、界面厚度有关,M 与界面动力学有关,它们可表示为=62!h T m , W =3∃2T m hM =T 2m%62Lh(11)式中:∃为界面能,h 为界面厚度,%为界面动力学系数,T m 为合金熔点,L 为结晶潜热,C p 为等压比热.相场模型中通过把界面能表示为界面法向与特定方向之间夹角的函数来考虑各向异性的作用,本文中各向异性参数用 (∀)表示,且(∀)= [1+ cos (k ∀)](12)式中:k 的各向异性的模数,通常取k =4, 为各向异性系数,∀为界面与优先生长方向的夹角,即 在x ,y 轴方向的斜率tan ∀=p x /p y .为了模拟实际凝固过程中界面处的波动,在计算中加入了随机的扰动f t = t+16g( )&∋(13)式中:&为取值在-1~+1的随机数,∋是与时间有关的相扰动强度因子.16g ( )用来强制扰动在固/液界面中出现.2.2 材料参数选用的Ni Cu 合金的物理参数如下:表1 Ni C u 合金的物性参数Tab.1 Physical param eters of Ni Cu alloy物性参数 Ni Cu T m /K 17281358L /(Jcm -3)23501728∃/(J cm -2) 3.7∀10-52.9∀10-5%/(cm K -1 s -1)0.330.39D s /(cm 2 s -1)10-910-9D l /(cm 2 s -1)10-510-5v m /(cm 3 mol -1)7.07.8C p /(JK -1cm -3)5.425.422.3 初始条件和边界条件在模拟的开始,设定整个区域充满均匀的过冷熔液,凝固过程在绝热条件下进行,枝晶轴为x 轴和y 轴,选择二维数值计算网格数为750个∀750个,网格尺寸为5h,其中h 为液固界面厚度,取h =1.68∀10-7cm ;初生晶核设定为一个网格数为16个的等腰三角形,边界温度为1574K.2 兰州理工大学学报 第33卷对于时间步长的选择,因为时间步长受浓度场计算的限制,即(t <(x 2/4D l ,故在计算中选择时间步长(t =(x 2/5D l .合金熔体的初始浓度为C l =0.40831,固相初始浓度C s =0.39940,初始温度设定为1574K;在算法上,相场和溶质场采用中心差分法,温度场采用ADI 算法.3 结果与分析3.1 枝晶形貌枝晶生长的模拟结果如图1所示.从图中可以看出,当 =0.060时,二次枝晶的数量较多,枝晶间距也小,同时出现了三次枝晶.随着各向异性系数的减小,二次枝晶的数量开始减小,枝晶间距也在扩大,枝晶形貌变得粗大光滑.4种各向异性系数情况下都可以获得形貌逼真的树枝晶,而且枝晶都有发达的二次晶臂.同时可以看到:二次枝晶的生长会使枝晶主干变细,二次枝晶越发达,枝晶主干就越细,二次枝晶生长尖端前方已凝固的二次晶臂会阻碍二次枝晶的尖端的生长,但二次枝晶生长尖端靠近已凝固的二次枝晶臂时,它生长所释放的潜热会使得已凝固的二次枝晶臂发生部分重熔,产生凹陷.在二次枝晶根部也出现了明显的颈缩现象,这些特征与实际的枝晶的生长完全一致.(a) =0.045,t =1.80ms(b) =0.050,t =1.35ms(c) =0.055,t =1.00ms (d) =0.060,t =0.75ms图1 不同各向异性系数的枝晶形貌Fig.1 Morphology of dendrites with different anisotropiccoef ficients图2为不同各向异性系数条件下的枝晶生长速度曲线,由图表明:在其它参数一定的情况下,随着各向异性系数的变化,枝晶组织的尖端生长速度发生变化.随着各向异性系数的增加,枝晶组织尖端生长速度也在增加.同时,枝晶生长速度出现了波动,各向异性系数越大,枝晶生长速度的波动越大.这是因为各向异性系数越大,枝晶生长速度越快,单位时间内释放的潜热越多,凝固释放的热量造成了固/液界面温度升高,使过冷度减小,反过来抑制了枝晶的生长;枝晶生长速度减小,单位时间释放的潜热减少,固/液界面温度开始降低;固/液界面温度降低,提高了过冷度,又促进了枝晶的生长,使枝晶生长速度加快.如此反复,直接导致了生长速度的波动.图2 不同各向异性系数条件下的枝晶生长速度Fig.2 Dendritic growth velocity due to dif ferent anisotropic coefficients3.2 温度场分布图3为不同各向异性系数条件下得到的温度场分布图.图中的热扩散层都比较薄,这是因为本文中为了便于研究各向异性系数的变化对温度场的影响,热扩散系数取值相对较小(取0.015cm 2 s -1,Ni Cu 合金真实的热扩散系数D T 约为0.155cm 2s -1),从图中可以看出,温度场的分布与相场的分布是一致的.随着各向异性系数的减小,热扩散层变厚.这是因为各向异性系数越小,枝晶生长速度越慢,凝固时间越长,同时,由于随着各向异性系数的减小,枝晶间距扩大,使得凝固释放的潜热的扩散空间也越大,凝固区域内凝固潜热的扩散就越充分.由于枝晶生长过程中伴随有凝固潜热的释放,从而使固相温度比液相的高.在固/液界面处二次枝晶生长速度较快,凝固潜热的释放多,因此温度梯度最大.而在枝晶根部,由于界面移动速率小,因此温度梯度最小.另外,由于二次枝晶间枝晶生长接触的区域各枝晶都释放潜热,且热扩散的空间较小,各枝晶生长时所释放的潜热较难以扩散出去.所以该处温度一般较高.3 第6期 王智平等:各向异性影响非等温凝固过程的相场法模拟(a) =0.045,t =1.80ms(b) =0.050,t =1.35ms(c) =0.055,t =1.00ms (d) =0.060,t =0.75ms图3 不同各向异性系数的温度场形貌Fig.3 Morphology of temperature field due to diff erentanisotropic coef ficients图4为不同各向异性系数条件下相同生长网格数的温度变化曲线,为了便于比较,图中只给出了 =0.045和 =0.060时的凝固区域最高温度变化曲线,可以看出,开始凝固时凝固区的温度很快就从1574K 上升到1574.30K 以上,然后是有波动的增加.并且,温度的波动与速度的波动是相互影响的.在 =0.045时,速度波动很小,温度变化范围也不大,凝固固体的温度也比 =0.060时的凝固区域内的温度低.这是由于 =0.045时,二次枝晶较少且粗壮,枝晶间距较大,枝晶生长速度慢,单位时间释放的潜热较少,所以凝固区域内的温度较低,温度波动也小.而 =0.060时的枝晶数量较多,枝晶间图4 不同各向异性系数条件下计算区域内的温度变化曲线Fig.4 Maximum temperature variation in computingrange for dif ferent anisotropic coef ficients距较小,枝晶生长速度快,单位时间释放的潜热较多,释放的潜热难以驱散,所以凝固区域的温度较高,温度波动较大.另外,虽然潜热的释放使凝固区域温度升高,但升高值不超过0.45K.这是因为金属凝固所释放的潜热相对较小,在等温模拟时为可以忽略的一个影响参数.3.3 溶质场分布不同各向异性系数条件下得到的溶质场分布如图5所示.从图可以看出:溶质的分布情况与枝晶生长相符合.枝晶中心Cu 的浓度最低,这是由于凝固过程枝晶尖端曲率效应引起过冷,使固相线向下移动,而固相中溶质的扩散速度又落后于枝晶生长速度.枝晶凝固界面区域出现Cu 的富集,这是由于凝固过程的溶质再分配,固相中Cu 的浓度低于初始浓度,液相中溶质的扩散速度也小于枝晶生长速度,凝固析出的溶质不能充分扩散到液相中,从而富集在枝晶前沿.在枝晶尖端由于界面移动速率大,溶质来不及扩散,因此浓度梯度最大.随着各向异性系数的减小,溶质扩散层变厚,这是因为,各向异性系数越小,生长速度越慢,凝固时间越长,富集在枝晶前沿的溶质扩散就越充分,所以扩散层就越厚.同时,溶质扩散层越厚,相应的主枝晶臂和二次枝晶也越粗大,这说明析出的溶质扩散越充分越利于枝晶的生长.另外,溶质浓度最高处位于二次枝晶臂包围的(a) =0.045,t =1.80ms (b) =0.050,t =1.35ms(c) =0.055,t =1.00ms (d) =0.060,t =0.75ms图5 不同各向异性系数的溶质场形貌Fig.5 Morphology of solute field with different anisotropic coefficients4 兰州理工大学学报 第33卷糊状区域,这是由于二次枝晶的迅速长大,使得界面前沿的富集溶质来不及扩散至液相而被包围住.4 结论1)各向异性系数较小时,二次枝晶较少而粗壮,枝晶间距较大,生长速度较慢,单位时间内释放的潜热较少,凝固区域内的温度较低.而各向异性系数较大时,枝晶数量较多,枝晶间距较小,生长速度较快,单位时间内释放的潜热较少,凝固区域的温度较高.2)潜热的释放,使过冷度降低,抑制了枝晶的生长,致使枝晶生长的速度和凝固区域的温度出现波动,各向异性系数越大,波动越大.3)二次枝晶间枝晶生长接触的区域处各枝晶都释放潜热,且热扩散的空间较小,各枝晶生长时所释放的潜热较难以扩散出去,所以该处温度一般较高.4)各向异性系数越小,枝晶生长速度越慢,凝固时间越长,溶质和凝固所释放的潜热就越充分,溶质扩散层和热扩散层越厚.参考文献:[1] COLLINS J B,L EVIN H.Diffu se interface model of diffu sionlimited crystal grow th[J].Physical Review B,1985,31(9): 6119 6122.[2] BRAUN R J,M CFADDEN G B,CORIELL S R.M orphologicalin stablity in phase field m odels of solidiflcation[J].Physical Review E,1994,49(5):4336 4352.[3] 王智平,肖荣振,徐建林,等.二元合金非等温凝固枝晶生长的数值模拟[J].兰州理工大学学报,2006,32(1):15 18.[4] TONH ARDT R,AM BERG G.Phase field simulation of dend ritic grow th in a shear flow[J].Journal of Crystal Grow th,1998,194(7):406 425.[5] T ONG X,BECKERM ANN C.Velocity an d shape s election ofden dritic crystals in a forced flow[J].Phys ical Review E, 2000,61(1):49 52.[6] WH EELE R A A,BOET TINGER W J,M CFADDE N G B.Phase field model for isothermal phase transition in binary al loys[J].Physical Review E,1992,45(10):7424 7439.[7] M CCARTH Y J F.Phase diagram effects in phase field m odelsof den dritic g row th in binary alloys[J].Acta M ater,1997,45(10):4077 4091.[8] LEE S J,SU ZUKI T.Numerical simulation of is othermal dendritic grow th by phase field model[J].ISIJ International, 1999,39(3):246 252.[9] KIM S G,KIM W T,SU ZUKI T.Interfacial compos ition s ofsolid an d liquid in a phas e field model w ith finite interface thick nes s for isothermal solidification in binary alloys[J].Physical Review E,1998,58(3):3316 3323.[10] W ARREN J A,BOETT INGER W J.Prediction of dendriticgrow th and microsegr egation patterns in a binary alloy usin gthe ph as e field method[J].Acta M etal M ater,1995,43(2):689 703.[11] BOET TINGER W J,W ARREN J A.Th e phase field method:sim ulation of alloy dendritic solidification during recalescence[J].M etal M ater T ran s A,1996,27A(3):657 663.5第6期 王智平等:各向异性影响非等温凝固过程的相场法模拟。
材料科学相场模拟简介
初始条件，在相变温度，噪音项扰动（涨落现象） 是相变发生的最初动力；
噪音扰动用高斯分布模拟； 应用相场模型model A，对磁畴畴界的演化过程进
行模拟； 该方法可以完全类比应用于模拟合金有序化现象
的畴界形成与演化。
相场方法模拟二级相变
t=1
明锐界面与弥散界面
Stefan problem equations
Phase field equations
两种方法的不同（以纯物质凝固模拟为例）
相场模型的摄动分析
摄动解法基本思想
奇异小参数摄动分析是解决边界 层问题的有效方法，摄动分析在 场域内把方程分作内场域和外场 域分别求解，解决相场方程各项 在不同区域数量级的区别。
相场模型的摄动分析
两种模型之间的联系
从摄动分析可以看出，在 弥散界面模型的界面宽度 趋向于零时，性质上等效 于明锐界面；
分析表明明锐界面的吉布 斯-汤姆逊效应等也存在 于弥散界面模型中。
明锐界面与弥散界面
相场方法模拟二级相变
二级相变（磁畴生成）模拟举例
实际的自由能对应序参量函数可以采用统计力学 方法得到 （朗道平均场模型）；
相场介观尺度连续场的模型手段微观组织的形成与演化相场发展历史相场在相变模拟的应用领域析出反应铁电相变马氏体相变应力相变结构缺陷相变序参量的定义历史与物理背景推广均相物质中的序参量相场中的应用二级相变举例序参量在一级相变凝固中的应用均相物质重点说明在两相界面位置处序参量的情况和对多相场的描述形式统一性cahnhilliardequation守恒方程弛豫方程尽可能的解释泛函方程和变分方法解释守恒方程的一般数学形式和在相场中的统一性可能的话讲解非平衡热力学和广义传输现象明锐界面模拟要点
二元合金定向凝固的三维相场模拟
二元合金定向凝固的三维相场模拟冯力;胡海皇;朱昶胜;王刚刚;路阳;肖荣振【摘要】利用三维相场模型对Al-Cu二元合金定向凝固过程进行数值模拟,研究定向凝固过程中固液界面前沿的变化规律和胞晶的粗化机制,分析不同过冷度对界面形态的影响.结果表明:在定向凝固过程中,胞晶的粗化是熔化和合并共同作用的结果;定向凝固过程中,随着过冷度的减小,定向凝固中的固液界面形态易向平界面发展.【期刊名称】《兰州理工大学学报》【年(卷),期】2016(042)001【总页数】6页(P11-16)【关键词】定向凝固;三维模拟;相场法;胞晶粗化【作者】冯力;胡海皇;朱昶胜;王刚刚;路阳;肖荣振【作者单位】兰州理工大学材料科学与工程学院,甘肃兰州730050;兰州理工大学省部共建有色金属先进加工与再利用国家重点实验室,甘肃兰州730050;兰州理工大学材料科学与工程学院,甘肃兰州730050;兰州理工大学省部共建有色金属先进加工与再利用国家重点实验室,甘肃兰州730050;兰州理工大学材料科学与工程学院,甘肃兰州730050;兰州理工大学材料科学与工程学院,甘肃兰州730050;兰州理工大学省部共建有色金属先进加工与再利用国家重点实验室,甘肃兰州730050;兰州理工大学材料科学与工程学院,甘肃兰州730050;兰州理工大学省部共建有色金属先进加工与再利用国家重点实验室,甘肃兰州730050【正文语种】中文【中图分类】TG21定向凝固技术可较好地控制凝固组织晶粒取向,消除横向晶界,提高材料的纵向力学性能,已成为富有生命力的工业生产手段,然而通过实验研究定向凝固条件下的界面形态演变和微观组织变化规律还存在技术困难,很难观察到某一时刻下的界面形貌[1-2].而相场法在处理微观组织演化方面具有其独特的优势,并且不需要追踪复杂界面,应用非常广泛[3-6],国内外对于定向凝固的相场法研究已成为热点.随着计算机技术和计算材料科学的迅速发展,定向凝固的二维相场模拟研究已较为普遍[7-12],但国内外对于三维定向凝固相场模拟还是很少.目前,国际上对于定向凝固的三维相场模拟已经开展,Mathis Plapp[13]采用了时间依赖的三维相场模拟,研究了六角胞晶族和共晶层状生长的形态稳定性；H.K.Lin和n[14]采用自适应相场模型模拟了硅薄膜定向凝固的三维相场,给出了形态演化的过程,并讨论了平界面形成机制和晶粒的竞争生长；高木友广[15]等人利用GPU超级计算机和高性能算法并行计算了大尺度的三维定向凝固模拟,探讨了枝晶的生长情况.本文基于KKS模型,采用固-液界面迁移方向的法向量做自变量推导相场控制函数,建立一个新的相场模型.以Al -Cu合金(其中w(Cu)=2%)为例,进行定向凝固的三维数值模拟.1.1 相场方程的建立在相场模型中,相场序参量用Φ来表示,序参量构成的泛函数I[Φ]表达形式为将式(1)分部积分后可以得到相场控制方程,在KKS相场模型中,三维相场控制方程可以表示为其中,下标x、y、z表示相场序参量对空间坐标x、y、z的一阶导数,M 为固相界面迁移速率,t表示时间变量,ε(θ)是与界面能相关的参数,fΦ 表示自由能密度对相场序参量的一阶导数.研究中采用枝晶固-液界面迁移方向的法向量作自变量来定义相场控制函数.枝晶固-液界面迁移方向的法向量为将n带入式(2)中,可以得到一个以枝晶固-液界面迁移方向的法向量为自变量的相场控制方程：其中,fΦ可表示为其中,R为气体常数,T为温度,Vm为摩尔体积,h(Φ)为势函数,W是双阱势高,g(Φ)是剩余自由能函数,c表示合金中的溶质浓度,下标L、S分别表示液相和固相,上标e 表示平衡状态.ε(θ)的表达式为其中,v为各向异性系数,夹角θ1、θ2和θ3定义为θ1=arccosθ2=arccosθ3=arccos其中,立方晶系中最优生长方向的晶向指数是〈100〉,这一组晶向指数恰好可以组成一个三维坐标系,θ1、θ2、θ3分别是枝晶生长界面迁移的法向方向和这个坐标系的3个夹角,且θ1、θ2、θ3满足式(10)条件:1.2 溶质场方程的建立凝固过程中溶质扩散再分配的控制方程可表示为其中,D(Φ)是溶质扩散率,fc、fcc分别为自由能对浓度的一阶和二阶导数.1.3 相场参数的确定相场参数ε0和W与界面能σ、界面厚度λ有关,为固相界面迁移速率M的表达式为其中,ζ 为界面迁移参数矩阵,表达式为2.1 数值计算选用Al-Cu为研究合金,计算中使用的物性参数如表1所示.计算时,采用显式有限差分法同时求解方程(4、11).计算的时间步长Δt受浓度场计算的限制,即其中,Δx、Δy、Δz(Δx=Δy=Δz)为空间步长,DL为液相的溶质扩散系数.对应直角坐标系的x轴、y轴和z轴,相场和溶质场的计算区域在网格数为200个×200个×200个的区域内,网格尺寸为1×10-8 m.初始设置网格数z≤5个的区域为固相区,在界面以上是过冷熔体,为了简化计算,令这个过冷熔体的温度为恒定常数,等同于将熔化好的金属液浇入到侧壁绝热、底部冷却的环境中,刚开始会形成一凝固层,在金属液和已凝固金属中建立起一个自上而下的温度梯度,使铸件自上而下进行凝固,实现定向凝固.2.2 固液界面的形态演化图1是Al-Cu二元合金在温度为900 K、各向异性系数为0.063下定向凝固过程中组织演化的三维模拟结果,其中Δt是时间步长,为1.5×10-9 s.图中黑色区域表示液相区,灰白区域是固相区,中间区域为固液界面,其相场序参量的值如标尺所示.根据界面失稳理论可知,定向凝固过程中,固液界面形态经历由平界面向胞晶界面转变的过程；固液界面前沿由于存在能量起伏、结构起伏和溶质起伏,出现了温度的波动以及溶质再分配,界面发生失稳,出现小的凸起,如图1a中1 000Δt时刻；随着时间的进行,成分过冷增大,扰动随时间而增强,界面不稳定,突出部分继续生长,导致界面凹凸不平,如图1b中3 000Δt时刻；凸入液相中的部分推进更快,促进了胞晶组织的形成,由于生长条件对于每一个胞晶来说有差异,那些生长快的胞晶,生长中排出的溶质一部分将排向生长慢的胞晶顶端,使之生长受阻,最后被“淹没”掉,从而使胞晶间的距离增大,胞晶长大,如图1c中5 000Δt时刻.图2是在温度为900 K、各向异性系数为0.063下垂直于生长方向的切片.在胞晶的形成和发展过程中,随“空间规则干扰”的影响[16],界面处部分会出现小的成分过冷,引起过冷度的减小,生长速率减慢,出现凹坑,如图2a；溶质在凹坑处富集,成分过冷增大,凹坑增多增大,进而连接成沟槽,部分突出的峰形成胞晶,如图2b、c；随着凝固的进行,成分过冷继续增大,再加上胞晶横截面处各向异性和生长过程中胞晶间的相互影响,形成不规则四角胞晶,如图2d中胞晶1、2、3所示；胞晶生长中,发生溶质再分配,如图2f所示,胞晶间含有高溶质的液相,成分过冷会进一步增大,胞晶变得更不规则,如图2e所示.图3是在温度为905 K、各向异性系数为0.073下定向凝固过程中胞晶熔化和合并现象[17]的结果,其中图3a、c是晶体形貌切片图；图3b、d是溶质分布切片图,溶质标尺不同颜色代表不同的溶质百分比.由图可知,胞晶在生长过程中会逐渐变粗,发生了胞晶的熔化和合并现象.径向熔化现象如图3a中的①切片,在4 000Δt时胞晶α存在,到20 000Δt时胞晶α熔化消失.如溶质分布图3b中的①切片所示,胞晶α、β附近的溶质浓度不同,且Cα大于Cβ,二者间存在浓度差,由于溶质浓度梯度的存在促使溶质从胞晶α向胞晶β处扩散,造成胞晶α熔化和胞晶β粗化.合并现象如图3a中的①切片,在4 000Δt时胞晶间γ处为液相,到20 000Δt时胞晶间γ处发生合并.如溶质分布图3b和图3d中的切片③、④中的γ处所示,在胞晶的横截面上存在各向异性,胞晶生长过程中最优方向生长较快,会向两侧排出溶质,胞晶间γ处的溶质浓度较高,但最优生长方向处的溶质浓度相对周围较低,生长速度较快,相邻胞晶最终合并.图3c中2条实线分别为①和②的切片位置,③和④分别为同一时刻不同位置的切片,包含了胞晶α在不同位置的切片图.可知胞晶α并不是完全熔化或合并,而是如图3a、c所示,局部发生熔化和合并,表明胞晶的粗化是熔化和合并共同作用的结果.凝固过程中胞晶经过持续的熔化和合并,最终得到稳定的胞晶组织.2.3 过冷度对界面形态的影响温度梯度对于胞晶的生长有重要的影响,不同的过冷度反应了不同的温度梯度,研究中温度梯度是通过过冷度来影响胞晶的生长.图4是不同过冷度下同一时刻的固液界面形貌.由图可知,过冷度越小,固液界面形态越趋向于平界面发展,生长速率越缓慢.图5是不同过冷度下固液界面失稳时的溶质分布图.如图所示,过冷度较小时,液相中的温度较大,扩散较快,固液界面前沿浓度梯度较小,成分过冷较小,固液界面较稳定,根据M-S理论,界面趋于平界面向前生长；而过冷度较大时,溶质容易在凹坑处富集,且扩散较慢,成分过冷较大,界面各处的生长速率不同,从而生成胞晶；过冷度越大,温度梯度越大,界面失稳更快,胞晶形成更早.其中溶质扩散层的厚度随着过冷度的增大而减小,相应的溶质梯度就增大,界面易失稳,容易生成胞晶组织.1) 基于新建立的三维相场模型,实现了Al-Cu二元合金定向凝固的三维相场模拟,再现了定向凝固过程中固液界面形态从平界面到胞晶生成的演化过程.2) 胞晶生长过程中会逐渐粗化,发生了胞晶的熔化和合并现象,但胞晶并不会完全发生熔化或者合并,仅是局部发生熔化和合并,胞晶的粗化是熔化和合并共同作用的结果.3) 在定向凝固过程中,过冷度越小,液相中温度越高,溶质扩散层的厚度增大,相应的溶质梯度减小,定向凝固的固液界面形态易向平界面发展.致谢：本文得到兰州理工大学红柳青年人才基金(Q201114)的资助,在此表示感谢.【相关文献】[1] 黄春丽,常辉,唐斌,等.Ti-43Al合金定向凝固的相场法模拟 [J].特种铸造及有色金属,2013,33(2)：119-123.[2] CHEN Ming,HU Xiaodong,JU Dongying,et al.The microstructure prediction of magnesium alloy crystal growth in directional solidification [J].Computational Materials Science,2013,79(11):684-690.[3] 王智平,张殿喜,石可伟,等.多元合金等温凝固相场法模拟[J].兰州理工大学学报,2008,34(6):1-4.[4] MOELANS N,BLANPAIN B,WOLLANTS P.An introduction to phase-field 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相场法模拟强各向异性作用下二元合金枝晶生长
YUAN Xun-feng, DING Yu-tian (State Key Laboratory of Gansu Advanced Non-ferrous Metal Materials, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China) Abstract：Based on the Wheeler model and the Eggleston regularization technique of strong anisotropy of interface energy, the phase-field model was built by coupling with the concentration field and temperature field. The dendrite growth process of Ni-Cu alloy with strong surface energy and kinetic anisotropy were simulated. The results show that the dendrite growth depends on the two kinds of anisotropies. Under the strong surface kinetic anisotropy condition, the melt solidifies grow along the 110 orientation and the crystals grow into a square-like. Under the strong surface energy anisotropy or having two kinds of anisotropies condition, the melt solidifies in a dendrite pattern grow along the 100 orientation and the variation of interface orientation discontinuity can lead to the corners form on the tip of dendrite. In the case of anisotropy strength with the same values, under the strong surface energy anisotropy condition, the thermal gradient along the 100 orientation is large, and makes the dendrite growth become fast, the tip velocity at steady state increases by about 32.26% compared with the case that having two kinds of anisotropies. Under the strong surface kinetic anisotropy condition, the thermal gradient along the 100 orientation is small and the concentration of solute is large, and makes the dendrite growth become slow, the tip velocity at steady state decreases by about 48.92% compared with the case that having two kinds of anisotropies. Key words：binary alloy; surface energy anisotropy; surface kinetic anisotropy; phase-field; dendrite growth
Al_Cu合金等温凝固的相场法模拟_刘小刚
2002年第6期铸造设备研究2002年 12月RESEARCH STUDIES ON FOUNDRY EQUIPMENTDec .2002 №6收稿日期:2002-09-04作者简介:刘小刚(1977-),男,湖北松滋市人,硕士研究生,主要从事凝固过程中微观组织模拟的研究。
·应用研究·Al -Cu 合金等温凝固的相场法模拟刘小刚,王承志,莫春立(沈阳工业学院,辽宁沈阳110016) 摘 要:采用相场与浓度场耦合的相场法对Al -Cu 二元合金等温凝固中的枝晶长大过程进行了二维数值模拟。
在模拟中,研究了搅动及不同的过冷度对枝晶生长形貌的影响,并对相场和浓度场作了对比和分析。
在数值计算过程中,利用薄的界面限制条件获得了相关的相场参数,计算采用均匀网格一般显式有限差分法。
计算结果显示出与实践经验相一致的各种凝固特征。
关键词:合金;等温凝固;相场法 中图分类号: TG244+.3 文献标识码:A 文章编号:1004-6178(2002)06-0015-04Numerical Simulation of Al -Cu Alloy Isothermal DendriticGrowth by Phase -field ModelLIU Xiao -gang ,WANG Cheng -zhi ,MO Chun -li (Shen y ang Institute of Technology ,Shenyang 110016,China ) A bstract :The phase -field model which coupled the concentration field and phase field is applied to simulate microstructural evolution durin g isothermal dendritic growth of Al -Cu binary in 2-D .In simulation ,studied the noise and different surperfluous temperature how to af -fect the growth of dendritic and compared phase -field figure with concentration field figure .The parameters of phase -field equation are de -termined by a thin interface limit condition .The phase -field model equations have been solved using the explicit finite difference method on an uniform mesh .The calculated results show various solidification features consistent with our experience . Key words :alloy ;isothermal solidification ;phase -field method 铸件微观组织的形成和演变是材料科学与工程领域中的重要研究课题。
三元合金非等温凝固过程的相场法模拟的开题报告
三元合金非等温凝固过程的相场法模拟的开题报告一、选题背景和意义三元合金是在工业生产和科学研究中广泛应用的材料之一，例如钢铁冶金中的镍基合金、高温合金等。
因此，对三元合金非等温凝固过程进行模拟和研究具有重要的理论和实际意义。
二、研究目标和内容本课题的研究目标是基于相场法，模拟三元合金非等温凝固过程中的相变行为。
具体来说，本课题的主要研究内容包括以下三个方面：1. 设计三元合金模型：为了模拟三元合金的非等温凝固过程，需要先建立三元合金的模型。
这里我们将采用多相场模型，以实现材料的相变行为所涉及的物理和化学过程。
2. 实现三元合金非等温凝固过程的数值模拟：针对三元合金的非等温凝固过程，需对其进行数值模拟。
通过相场法对三元合金的相变过程进行模拟，并结合微观动力学（MD）方法来研究材料的结构演化。
3. 分析与讨论计算结果：通过数值模拟得到的数据，对三元合金非等温凝固过程中的相变行为进行分析与讨论。
同时，结合相关文献与实验结果，进一步验证数值模拟的准确性。
三、研究方法与步骤1. 建立三元合金的多相场模型：本课题将采用Allen-Cahn方程或Cahn-Hilliard 方程等经典相场模型，并结合公式推导和程序模拟实现三元合金模型的搭建。
2. 实现三元合金非等温凝固过程的数值模拟：基于建立的三元合金模型，通过数值计算求解相场方程，实现三元合金非等温凝固过程的数值模拟。
同时，还需结合MD 方法来研究材料的结构演化。
3. 分析与讨论计算结果：通过分析数值模拟得到的数据，对三元合金非等温凝固过程中的相变行为进行分析与讨论。
并结合相关文献与实验结果，进一步验证数值模拟的准确性。
四、拟解决的关键问题1. 如何建立真实可靠的三元合金模型，以实现材料的相变行为所涉及的物理和化学过程。
2. 如何基于相场法与MD方法，实现三元合金非等温凝固过程的数值模拟，取得准确可靠的计算结果。
3. 如何对计算结果进行分析与讨论，并结合相关文献与实验结果，进一步验证数值模拟的准确性。
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文 章 编 号 ：１ ７ — １ ６ ２ ０ ） ６ ０ １０ ６ ３５ ９ （０ ７０ － ０ —５ ０
各 向异性影响非等温 凝固过程 的相场法模拟
王智平 ， 杨世银 朱 昌盛 ， ，肖荣振
（．兰州理工大学 材料科学与工程学 院，甘肃 兰州 １ ７０ ５ ； ．甘肃有 色金属及 复合材料工程技术研究 中心 ，甘肃 兰州 ３００ ２ ７０５） ３ ０ ０
ｒ ｕ ｅａ ｎ ｍｐ ｓｔ ａ ｅ ｉｌ ｏ ｓＭ ｔｌａ ｄ Ｃ ｏ ｏ ｉｅＭ ｔｒａｓ，Ｌ ｎ ｈ ７ ０ ５ ，Ｃｈｉａ ａ ｚ ｏｕ ３００ ｎ）
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摘要 ：采用相场 法， 模拟 Ｎｉ ｕ二元合金非 等温凝 固时各 向异性 系数 对晶体生长行 为的影响． － Ｃ 结果表 明， 向异性 各 系数越 大， 二次枝 晶越发达 ， 晶生长速度越快． 枝 潜热的释放 ， 致使 固相 区温度 比液相 的高， 而且在二次枝 晶生长速 度 最快的固／ 液界面处 的温度最高． 液界 面温度的升高 ， 固／ 使过 冷度 降低 ， 晶体 的生长 受到抑 制， 生长速度 出现波
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第３ ３卷 第 ６ 期
２０ ０ ７年 １ ２月
兰
州
理
工
大
学学ຫໍສະໝຸດ 报 Ｖｏ ． ３ Ｎｏ ６ １３ ．
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动．
关键词 ：相场法 ； 等温凝 固；各 向异 性系数 非
中图 分 类 号 ：Ｔ ２ ４ Ｔ ４ Ｇ ４ ； Ｇ２ ８ 文献标识码 ： Ａ
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