2.3.1-2新课平面向量基本定理及向量的正交分解

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高中数学第二章平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2 平面向量的正交分解及坐

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示1．借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义．2．了解向量与坐标的关系，会求给定向量的坐标．1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相______的向量，叫做平面向量的正交分解．【做一做1】如图所示，在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，下列是正交分解的是( )A.AB →＝OB →－OA →B.BD →＝AD →－AB →C.AD →＝AB →＋BD →D.AB →＝AC →＋CB →2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向______的两个______向量i ，j 作为______．(2)坐标：对于平面内的一个向量a ，__________对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序实数对______叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做向量a 在____轴上的坐标，y 叫做向量a 在____轴上的坐标．(3)坐标表示：a ＝(x ，y )就叫做向量的坐标表示．(4)特殊向量的坐标：i ＝______，j ＝______，0＝______.【做一做2】已知基向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，m ＝4i －j ，则m 的坐标是( )A ．(4,1)B ．(－4,1)C ．(4，－1)D ．(－4，－1)3．向量与坐标的关系设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标______就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的______就是向量OA →的坐标(x ，y )．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是________的．向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同．【做一做3】平面直角坐标系中，任意向量m 的坐标有________个．答案：1．垂直【做一做1】 B 由于AD →⊥AB →，则BD →＝AD →－AB →是正交分解．2．(1)相同单位基底 (2)有且只有一 (x ，y )x y (4)(1,0) (0,1) (0,0)【做一做2】 C3．(x ，y ) 坐标一一对应【做一做3】 1 由于向量和有序实数对是一一对应的，则任意向量m 的坐标仅有1个．1．向量的表示法剖析：向量的表示方法有三种：①字母表示法：用一个小写的英文字母来表示，例如向量a ；也可以用上面加箭头的两个大写英文字母来表示，例如向量AB →，该向量的起点是A ，终点是B .②几何表示法：用有向线段来表示．③代数表示法：用坐标表示．2．点的坐标与向量坐标的联系与区别剖析：(1)表示形式不同，向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号．(2)意义不同，点A (x ，y )的坐标(x ，y )表示点A 在平面直角坐标系中的位置，a ＝(x ，y )的坐标(x ，y )既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x ，y )既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x ，y )或向量a ＝(x ，y )．(3)联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同．题型一求向量的坐标【例1】如图所示，已知点M (1,2)，N (5,4)，试求MN →的坐标．分析：用基底i 和j 表示MN →＝x i ＋y j ，则(x ，y )是MN →的坐标．反思：向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．特别地，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则MN →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．题型二由向量共线求参数值【例2】设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量k a ＋b 与2a ＋k b 共线，求实数k 的值．反思：解答由向量共线求参数值的题目，应由向量共线定理：λa ＋μb ＝0(a ，b 不共线)，则λ＝0，μ＝0列出方程组，再解方程组得参数值．题型三平面向量的正交分解及坐标表示【例3】已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |＝43，∠xOA ＝60°，求向量OA →的坐标．反思：求向量的坐标时，将向量的起点平移到坐标原点后，利用三角知识求出终点坐标即可．答案：【例1】解：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，则MN →＝4i＋2j ，所以MN →的坐标是(4,2)．【例2】解：∵向量k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴存在实数λ使k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )，即(k －2λ)a ＝(kλ－1)b .∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －2λ＝0，kλ－1＝0k2＝2. ∴k ＝± 2.【例3】解：设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin 60°＝6，即A (23，6)，∴OA →＝(23，6)．1．已知a ＝(3,2x －1)，b ＝(y ＋1，x )，且a ＝b ，则xy ＝________.2．如图所示，向量MN u u u u r 的坐标是________．3．在直角坐标系中，|a |＝4，|b |＝3，a ，b 如图所示，求它们的坐标．答案：1．2 ∵a ＝b ，∴21,31,x x y -=⎧⎨=+⎩解得x ＝1，y ＝2，则xy ＝1×2＝2.2．(2，－3)3．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝22a 2＝|a |sin 45°＝22b 向量相对于x 轴正方向转角为120°.∴b 1＝|b |cos 120°＝32-，b 2＝|b |sin 120°＝332. ∴a ＝(2222，b ＝33322⎛- ⎝.。

向量基本定理

A N M C L
B
向量的夹角两个非零向量则AOB
(0 180 )
B
a 和 b ，作 OA a, OB b，
叫做向量a 和
b 的夹角
b
O
b

a
a
A
注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的 B
a
O
a
O A B b 180 A
b

b B
O
a

0
90
A
a 与 b 同向
a 与 b 反向
a 与 b 垂直，
记作
ab
向量的正交分解
一个平面向量用一组基底e1 , e2 表示成ａ 1 e1 2 e2 的形式，我们称它为向量的分解。当e1 , e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底，将其它向量用这组基底表示出来.
学以致用
M D 解、如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M、N分别是DC、AB的中点. 2
C
e
参考答案：
1 DC e1 ; 2
A
N
解：取 AB e1, AD e2 为基底 ,则有
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 e1 e2 2 2
1 1 MN MD DA AN e1 e2 e1 4 2
1 e1 e2 4
练习
2、下列说法中，正确的有：（ 2、3 ）

2.3.2《平面向量的基本定理及坐标表示》

2．3．2《平面向量的基本定理及坐标表示》【学习目标】了解平面向量的正交分解，会用坐标表示向量，掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示，理解向量共线的坐标表示【重点难点】平面向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示【学习过程】一．预习导引1、平面向量的正交分解把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。

2、向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同于两个_______作为基为基底。

对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y 使得____________，这样，平面内的任一向量a 都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________此式叫做向量的坐标表示，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。

3、几个特殊向量的坐标表示i = ，j = ，o = 。

4、以原点O 为起点作向量 OA ，设=+ OA xi y j ，则向量 OA ，的坐标_____________，就是___________；反过来，终点A 的坐标___________也就是__________________。

5、两个向量和差的坐标运算已知：a == 1122(,),(,)x y b x y ，λ为一实数则a b + =______________________。

a b - =___________ __。

即两个向量和（差）的坐标分别等于__________________ ____。

6、数乘向量和坐标运算λa =____________________________ 即实数与向量的积的坐标等于：_______________________________________。

7、向量AB 的坐标表示若已知(,)A x y 11,(,)B x y 22，则AB =_____________=___________________即一个向量的坐标等于此向量的有向线段的________________________。

2.3平面向量基本定理

当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．
[思考尝试· 夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与 x 轴平行的向量的纵坐标为 0；与 y 轴平行的向量的横坐标为 0.( √ )
(2)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同． (× ) (3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )
练习：P53步步高，例 2，跟踪训练3 例题讲解：P53 跟踪训练1.
练习：P54 当堂检测3，5
2．3.4 平面向量共线的坐标表示
[知识提炼· 梳理]
1．平面向量共线的条件向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b＝λ_a．
2.平面向量共线的坐标表示：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a，b 共线⇔x1y2－x2y1＝0．
[常规解答] 设 AC，BD 交于点 O， 1→ 1 → → 1→ 1 → → 则有AO＝OC＝ AC＝ a，BO＝OD＝ BD＝ b. 2 2 2 2 1 1 → → → → → 所以AB＝AO＋OB＝AO－BO＝ a－ b， 2 2 1 1 → → → BC＝BO＋OC＝ a＋ b. 2 2
练习：步步高P51例3，跟踪训练3
2． 3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.1 平面向量基本定理
[知识提炼· 梳理] 1．平面向量基本定理
条件 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2 不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
→ ＝－OC → ，故 O 为 CM 的中点，所以OM 1 1 1 所以 S△AOC＝ S△CAM＝ S△ABC＝ ×4＝1. 2 4 4

高中数学第二章平面向量 2.3.1 平面向量基本定理、正交分解与坐标表示教案数学教案

2.3.1 平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示教材分析本节内容是数学必修4 第二章第三节的第一课，平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进一步研究向量问题的基础；是进行向量运算的基本工具，是解决向量或利用向量解决问题的基本手段. 掌握了平面向量基本定理及坐标表示，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点.另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解平面向量基本定理、向量的坐标表示．教学目标1.了解平面向量的基本定理及其意义，理解掌握平面向量的的正交分解及其坐标表示.2.经历平面向量基本定理的形成探究过程，掌握正交分解下向量的坐标表示，认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁.3.通过本节课的学习，了解先关数学知识的来龙去脉，认识其作用和价值，培养学生的探索研究能力.重点: 正交分解下向量的坐标表示.难点：平面向量的基本定理，正交分解下向量的坐标表示.知识点：平面向量的基本定理，正交分解下向量的坐标表示的理解.能力点：转化思想的理解与应用.教育点：通过介绍平面向量的基本定理，正交分解下向量的坐标表示.，给学生渗透转化思想的应用.几何问题代数化的理解与应用.自主探究点：平面向量基本定理的理解与广泛应用.考试点：向量的运算代数化，将数与形紧密地结合起来，这样几何问题就转化为学生熟知的数量运算.拓展点：转化思想的应用理解．教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、复习引入1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）0λ>时λa与a方向相同；0λ<时λa 与a方向相反；0λ=时λa =02．运算定律结合律：λ(μ a)=(λμ)a；分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ (a+b)=λa+λb3. 向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.问题1：向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示？问题2：什么叫向量的模？零向量、单位向量、平行向量分别是什么概念？4.G ，下滑力为F 1，木块 5..力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.【设计意图】复习回顾，设置物理情境，便于学习新知．【设计说明】学生探究回答．二、探究新知探究一：平面向量基本定理思考1：给定平面内任意两个向量e 1，e 2，如何求作向量3e 1＋2e 2和e 1－2e 2？【设计意图】使学生在已有知识的基础上，探索新知，引出本课题．【设计说明】教师引导大家回答演示．思考2能否在OA 、OB思考3OA,OB,OC不共线，能否在直线M P COB 上分别找一点M 、N ，使 OM ON OC ？【设计意图】从两个角度让学生感知体会任意向量可以在给定的方向上分解．【设计说明】教师引导同学回答并演示．思考4：若上述向量e 1，e 2，a 都为定向量，且e 1，e 2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？是否唯一？思考5：若向量a 与e 1或e 2共线，a 还能用λ1e 1＋λ2e 2表示吗？【设计意图】体会感知唯一性及普遍性．【设计说明】师生互动探究，由浅入深，逐步引出主题．思考6：根据上述分析，平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？若e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.【设计意图】培养学生归纳总结规律与特点，并能做到言简意赅．【设计说明】教师引导，大家各抒己见，找同学发言．思考7：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a 的表示式是否相同？【设计意图】进一步探究几个关键点：(1) 我们把不共线向量e 1 ,e 2叫做表示这一平面内所有向量的a=λ1e 1+0e 2 a1e 1 e 2 aa =0e 1+λ2e 2一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1,e2的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1 ,λ2是被a ,e1 ,e2唯一确定的数量．．【设计说明】注意引导鼓励大家去发现，大家可能探究不是很全面，可以小组讨论．探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示思考1：不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a和b，作 a， b，如图.为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？思考3：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？应用．在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，体会这样给问题研究带来的方便．【设计说明】引导大家自主探究．思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝x i＋y j.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x 叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量a的坐标表示.那么x、y的几何意义如何？OA=a，则OA= (x，y)【“有效能算”的思想．【设计说明】充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标.．三、理解新知平面向量基本定理几个关键点：(1) 我们把不共线向量e1 ,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1,e2的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1 ,λ2是被a ,e1 ,e2唯一确定的数量．平面向量坐标表示给解决问题带来的一些方便，几何问题代数化，注意体会其中的思想与方法．【设计意图】进一步理解平面向量基本定理及其坐标表示．【设计说明】组织学生进行思考、交流，得到结论．四、运用新知例1 ：如图，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.a，b，c，d 并求解：由图可知a=AA AA2i+3j12所以a=（2，3）.同理，b=-2i+3j=（-2，3）;c=-2i-3j=（-2，-3）;d=2i-3j=（2，-3）.【设计意图】设置提问：引导学生看图分析，让学生能够通过这些问题，弄清向量的坐标表示及应用．【设计说明】师生共同分析，抓住关键，提问学生看图回答．五、课堂小结1.平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点.2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直向量的夹角是90°.3.向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标.教师总结:平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点，告诉我们同一平面内任意向量都可以表示成两个不共线的向量的线性组合，注意理解体会．体会平面向量坐标表示给问题解决带来的方便，体会其中转化的思想。

高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4

1 (4,2)，所以 2
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6，即 A 2 3,6 ，所以

OA＝ 2 3,6 .

【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算

2.3.1-2平面向量的基本定理及坐标表示

q r a
uu uu r r 1、 1 、 2 是平面内的一组向量，则平面内任一向 e e
判断下列命题的是否真命题，并说明理由
uu uu r r e e 2、 1 、 2 是平面内的一组基底，若实数λ 、 2 使 1 λ uu r uu r r λ λ e1 +λ e2 = 0 ，则 1 =λ = 0 (真) 1 2 2 uu uu r r 3、如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向
r uu r uu r a =λ e1 +λ e2 1 2
uu r uu r 我们把不共线的向量 e 1 ，e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
对定理的理解:
1)基底: 不共线的向量e1 e2。同一平面可以有不同基底。 2)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和的形式 3)分解是唯一的（给定基底后）
向量，叫做把向量正交分解。
4.向量的坐标表示：分别与x 轴、y 轴方向相同的两
单位向量i
、j 作为基底，任一向量a ，用这组基底可表示为a =x i + y j，（x，y）叫做向量a的坐标
作业布置课本P101,A组 1(作业本) P102, B组 3 ,4选作
练习册，预习新课
r uu r uu r λ 数对实数 λ 、 2 ，使 a =λ e1 +λ e2 1 1 2
r uu r uu r λ λ 量都可以表示为 a =λ e1 +λ e2 ，其中 1 、2 Î R (假) 1 2
r 量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，可能有无
(假)
课堂练习（1）已知ABCD为矩形，且AD=2AB，又△ADE为等腰三角形，F为ED的中点， EA = e1 , EF = e 2 , 以 e1 , e 2 为基底表示向量 uu r ur uu r e2 − e1 ___; AB = __________ _________ e2 AF = __________ 2 uu r ur uu r ur e2 − e1 ___; BD = __________ _________ e2 − e1 AD = __________ uur uur uur uuruur uu uur uur uu uur r r r uu ur r uur uur uu 2 uu 2 r ur uruu uu 2 2 uu r r r ur A F = B = F − F AE DA =e2B De2 =−− Ae1D − = A B e2 − ee1 −+ e1 e− = e e2 − e1 A E E = = AF = 2 FD uu r ur B A = e2 − e1

2.3.1-2 平面向量基本定理正交分解及坐标表示

如图，向量 i 、 j 是两个互相垂直的单位向量，向量 a 与 i 的夹角是30°，且 | a | 4 ，以向量 i 、 j 为基底，向量 a 如何表示？ B P
a
a 2 3 i2j
j
O
i
A
高中数学备课组
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 a x i y j .
显然，当 0 时，与同向；当 180 a b 时，a 与 b 反向 .
如果 a 与 b 的夹角是 90 ，我们说 a 与 b 垂直，记作 a b .
高中数学备课组
e2 (如图) ，求作向量 2.5e1 3 e2 . 例1 已知向量 e1 、
作法： 1. 如图，任取一点O, 作
y
x
高中数学备课组
例4 用基底 i , j 分别表示向量
a, b, c , d ，并求
出它们的坐标.
高中数学备课组
a 2i 3 j ( 2, 3)
b 2i 3 j ( 2, 3)
c 2i 3 j ( 2, 3)
d 2i 3 j (2, 3)
1 AM a b , 2 1 EF a b. 6
M A E
D
高中数学备课组
例3 设 a 、b 是两个不共线的向量，已知 AB 2a k b , CB a 3b , CD 2a b , 若A、 B、D三点共线，求 k 的值. 解： A、B、D三点共线, 则 AB 与 BD 共线，则存在实数λ, 使得 AB BD . 由于 BD CD CB a 4b, 则有 2a k b (a 4b) a 4 b. 由平面向量基本定理得， 2 , k 4 . 解得， k 8.

高一数学-平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示精品

§2.3.1 平面向量基本定理§2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示学习目标：⒈理解向量数乘的意义，掌握向量的数乘与这个向量的模和方向之间的关系．⒉掌握实数与向量数量积的运算律，并会用它们进行计算．⒊理解两个向量共线的条件，会根据条件判定两个向量共线．教学重点：平面向量基本定理、平面向量的坐标表示．教学难点：平面向量基本定理．教学方法：讲授、讨论式．教具准备：用《几何画板》演示平面向量基本定理、向量的正交分解．教学过程：（Ⅰ）新课引入：师：上节课，我们一起学习了向量的数乘运算，掌握了平面向量数乘的定义及运算律以及两向量共线的条件．根据上述知识，给定平面内任意两个向量e 1，e 2，我们可以作出形如3e 1+2e 2、e 1-2e 2的向量．那么，平面内的任一向量是否都可以用形如1λe 1+2λe 2的向量表示呢？为了解决上面的问题，我们今天学习平面向量基本定理及其应用．（Ⅱ）讲授新课：⒈平面向量基本定理师：如图，设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量．在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ．过点C 作直线OB 的平行线，交直线OA 于点M ；过点C 作直线OA 的平行线，交直线OB 于点N ．由向量线性运算的性质可知，存在实数1λ、2λ，使得OM =1λe 1，ON =2λe 2．由于OC OM ON =+，所以a ＝1λe 1+2λe 2．也就是说，任一向量a 都可以表示成1λe 1+2λe 2的形式．另一方面，对于同一平面内两个不共线的向量e 1、e 2，如果有a ＝1λe 1+2λe 2且a ＝1m e 1+2m e 2，那么1λe 1+2λe 2＝1m e 1+2m e 2，∴ (1λ-1m )e 1+＝(2m -2λ)e 2．由向量e 1、e 2不共线，得 1λ-1m ＝2m -2λ＝0，1λ=1m 且2m =2λ．由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来；当e 1、e 2确定后，这种表示形式是唯一的．（用《几何画板》演示）我们得到了如下的平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.说明：⑴不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； ⑵同一平面可以有不同的基底，关键是不共线的向量才可以作为基底； ⑶由此定理可将任一向量a 对给定的基底e 1、e 2进行分解，并且这种分解的形式唯一确定．⒉向量的夹角师：不共线的向量有不同的方向，怎样来区别它们的位置呢？生：我们可以用向量间的夹角来表示它们之间的位置关系．师：这就需要我们来规定出两个向量夹角的意义：已知两个非零向量a 、b ，作OA =a ，OB =b ，则A O B θ∠=(0180)θ≤≤叫做向量a 与b 的夹角．说明：⑴在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.⑵当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝180时，a 与b 反向．⑶如果向量a 与b 的夹角是90，我们称a 与b 垂直，记a ⊥b ．例1见课本104P ．⒊平面向量的正交分解师：如图，在光滑斜面上的一个木块受到了那些力的作用？这些力之间有什么关系？生：该木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F 1的作用沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F 2．也就是说，重力G 的的效果等价于力F 1和F 2的合力的效果，即G =F 1+F 2．师：物理学中，G =F 1+F 2叫做把重力G 分解．由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a 均可以分解为不共线的两个向量1λe 1、2λe 2，使a ＝1λe 1+2λe 2．在不共线的两个向量中，垂直是一种重要情形．把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解．如上，重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．正交分解是向量分解中常见的一种情形．⒋平面向量的坐标表示师：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即点的坐标）表示．那么，直角坐标平面内的向量如何表示呢？如图，在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ．这样，平面内的任一向量a 都可以x 、y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫作向量a 的坐标，记作a ＝(,)x y ，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标，式子a ＝(,)x y 叫作向量的坐标表示.根据向量坐标表示的意义，两个单位向量i 、j 以及零向量的坐标表示是怎样的？生：i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=．师：如图，在直角坐标平面中，以原点O 为起点作OA =a ，则点A 的位置由向量a 唯一确定．设OA =x i ＋y j ，则向量OA 的坐标(,)x y 就是终点A的坐标；反过来，终点A 的坐标(,)x y 就是向量OA 的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对表示．有人说：直角坐标平面内向量a 的坐标就是它的终点坐标．这句话正确吗？生：这种说法不正确．只有当向量a 的始点是坐标原点时，向量的坐标才是它的终点坐标．师：这就是说，直角坐标平面内点的集合只是与这平面内从原点出发的向量的集合之间有一一对应关系．例2见课本106P ．说明：本题也可以利用各向量间关于坐标轴的对称关系求解.（Ⅲ）课后练习：课本112P 习题2.3 B 组 ⒋（Ⅳ）课时小结:⑴同一平面内任意向量都可以表示成为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么，平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量表示．⑵通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对表示；反过来任一有序实数对就表示一个向量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对，从而给出了向量的另一种表示形式——坐标表示式．向量的线性运算都可以用坐标来进行，使得向量完全代数化，将数与形紧密地结合起来．⑶向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关，即一个向量平移到另一位置后，只要大小与方向不改变，则向量的坐标不变．（Ⅴ）课后作业：⒈课本112P 习题2.3 B 组 ⒊⒉预习课本106P ～108P ，思考下列问题：⑴已知向量的坐标怎样进行向量的加法、减法与数乘运算？⑵怎样求一个用有向线段表示的向量的坐标？⑶向量的坐标与点的坐标之间有什么关系？⑷例5的两种解法，在解题思路上有什么不同？教学后记:。

2.3.1《平面向量的基本定理》 (1)

例2.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标. y
b 2i 3 j
b
(2, 3)
-4 -3 -2
c 2i 3 j c
(2, 3)
5
4
3 2
1
j
-1 O -1
i1
-2
B AB 2i 3 j
a
(2,3)
A
2 34
x
d
d 2i 3 j
(2, 3)
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
3.正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫 λ2 a2
a
做把向量正交分解.
F1
F2
λ1a1
G
重力G的分解就是正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得
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1 2
AC
1 2
(a
b)
1 2
a
1b 2
MB 1 DB 1 (a b) 1 a 1 b
22
22
MC 1 AC 1 a 1 b
(2) 4e1 e2;
(3)
2e1
1 2
e2.
e1
1
e2
O 2 e2
C
2e1
OB
2e1
1 2
e2 ;
A
B
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
F1
F2
G
G与F1,F2有什么关系? G=F1+F2

平面向量的正交分解

两个向量和（两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（坐标的和（差）
2.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算
λ a = (λ x ,λ y )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标．应坐标．例3 已知A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ) ．求 AB 解：AB = OB OA
的三个顶点A、、的坐标分别为例5 已知 ABCD的三个顶点、B、C的坐标分别为的三个顶点（－2，）、（）、（3，），求顶点D的坐标），求顶点的坐标．（－，1）、（－1，3）、（，4），求顶点的坐标．，）、（解法2：解法：由平行四边形法则可得
y B D A O x C
2.3.3 平面向量的坐标运算
的三个顶点A、、的坐标分别为例5 已知 ABCD的三个顶点、B、C的坐标分别为的三个顶点（－2，）、（）、（3，），求顶点D的坐标），求顶点的坐标．（－，1）、（－1，3）、（，4），求顶点的坐标．，）、（解法1：设顶点的坐标为的坐标为（，）解法：设顶点D的坐标为（x，y）
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.2 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向叫作把向量正交分解量，叫作把向量正交分解
2.3.2 平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示 1．在平面内有点A和点，向量怎样 AB 表示？．在平面内有点和点B，表示？和点 2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？ 3．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量、j 能否作．分别与轴方向相同的两单位向量i 任一向量a ，用这组基底可表示为有且只有一对实任一向量为基底？为基底？ y a =xi + yj．数x、y，使得、， a 的坐标，（x，y）叫做向量的坐标，记作，）叫做向量a的坐标 a=xi + yj 那么i （ 0 那么 =（1 ，） j x