第08讲 一元一次方程的应用(1)w

第七讲 一元一次方程的应用（1） 知识方法扫描应用题是数学竞赛题中的热门题型,它涉及的数学知识较多,综合性强,解法灵活,是开发学生智力,增强应用数学意识,培养学生分析解决问题的能力、逻辑思维能力和创造能力的好素材。

解决数学应用题的关键是从实际的数学问题中抽象出数学模型，把反映实世界的实际问题转化为数学问题目来解决，不要局限于几种题型。

1、直接设未知数。

应用题往往题目较长，要读懂题意，找出已知和末知，紧抓题目中的等量关系，直接设末知数，通过等量关系列出方程或方程组，从而解决问题。

2、设间接未知数。

有些应用题，直接设末知数不易求解，则可以采取间接设末知数的方法。

即所设的不是所求的，但与所求的末知量有一定的联系，求出些量后，便能顺利地求出题目中的末知量，这样可以使解题更加方便。

3、设辅助未知数。

应用题目涉及的类型很多，有些比较复杂的问题，设直接或间接未知数都很难解决，而此时设辅助未知数，依题意就能列出方程或方程组，从而解决问题目。

辅助末知数起着桥梁的作用，设了这个辅助未知数，但并不一定求它，往往是直接相约或相消，有时要经过变形才能消法，即“设而不求”。

4、图形、表格分析法。

有些复杂的应用题，已知量、末知量较多，而且它们之间的关系又较为复杂，通过构造图形、表格能直观地反映已知、末知及它们之间的相互关系，从而很轻松地解决问题。

5、整体思想。

若把几个未知量看作一个整体，从整体的角度来考虑问题，可以减少未知量的个数，能达到化繁为简和目的。

经典例题解析例1. （1999年重庆市初二数学竞赛决赛）一个工程队承包甲、乙两项工程，甲工程工作量是乙工程工作量的两倍。

前半个月全体工人都在甲工地工作，后半个月工人分成相等的两组，一组仍在甲工地工作，另一组到乙工地工作。

一个月后，甲工程完成，而乙工程的剩余量刚好够一个工人一个月的工作量。

如果每个工人的工作效率都相同，问这个工程队有多少工人？解. 设这个工程队有x 个人，每个人每月的工作量为1，则甲工地工作量为1222x x +⨯，而乙工地工作量为1122x ⨯+。

依题意，得 2(1)244x x x +=+， 解得 x=8。

答：这个工程队有8个工人。

例2．（1990年上海初中数学竞赛试题）某人走进一家商店，进门付1角钱，然后在店里购物花掉当时他手中钱的一半，走出商店又付1角钱，之后，他走进第二家商店付1角钱，在店里花掉当时手中钱的一半，走出商店付1角钱，他又走进第三家商店付1角钱，在店里花掉当时他手中钱的一半，出店付1角钱，最后，他走进第四家商店付1角钱，在店里花掉当时他手中钱韵一半，出店付1角钱，这时他一分钱也没有了，该人原有钱的数目是 角．解.设该人原有钱x 角，他在进第二家商店前花掉了211-+x 231+=+x 角，剩下2323-=+-x x x 角；他在进第三家商店前花掉了493)121231(23+=+--+++x x x 角，剩下49-x 角；进第四家商店前剩下821-x 角，因在第四家商店后一分钱也不剩了，故,8211218211-=+--+x x 解得45=x （角）．评注：本题可以逆推出结果，因在第四家商店购物花掉当时的一半钱后，只 剩一角钱，故在进第四家商店前只剩1+2×1=3角钱，依此逆推得结果，例3. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO 杯选拔赛试题）一罐咖啡甲乙两人一起喝10天喝完，甲单独喝则需12天喝完；一斤茶叶两人一起喝12天喝完，乙单独喝则需20天喝完。

假设甲在有茶叶的情况下决不喝咖啡，而乙在有咖啡的情况下决不喝茶。

问两人一起喝完一斤茶叶和一罐咖啡需要多少天？ ，解. 设乙单独喝咖啡要x 天喝完，甲单独喝茶要y 天喝完,则有1111210x +=，1112012y +=。

解得x=60,y=30. 故30天后，甲喝完茶叶而乙只喝掉半罐咖啡，剩下半罐咖啡两人同喝要5天喝完，故共需35天。

例4. （第13届“五羊杯”初中数学竞赛试题初一试题）中学生运动会五羊赛区男女运动员比例为19：12。

组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为20：13；后来又决定增加男子象棋项目，于是这个比例再变为30：19。

已知男子象棋运动员比女子艺术体操运动员多30人，那么最后运动员总人数为（ ）（A ）7000 （B ）6860 （C ） 6615 （D ）6370解 男女运动员比例从 19：12=380：240变为20：13=380：247；再变为30：19=390：247，于是可设男运动员原有380x 人，女运动员原有240x 人；那么最后男女运动员人数变为390x 人和247x 人,依题意得（390x-380x ）- ( 247x-240x) = 30解得 x=10,所以最后运动员总人数为（390+247）×10=6370故选D 。

例5 （第7届“希望杯”数学邀请赛试题）在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新盐水，它的浓度为20%，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，盐水浓度变为3133%．那么原来盐水浓度为( )．(A)23% (B)25% (C)30% (D)32%[解]设原盐水重量为a ，浓度为x ，则原盐水含盐量为ax ，并设“一杯水”的重量为b ，原盐水加入“一杯水”后，浓度为,b a ax +依题意得：,10020=+b a ax 即 ①51=+b a ax 第二次是在新盐水中加盐，所加盐的重量为b ，这时，浓度为%,3133=+++b b a b ax ②312=++b a b ax 由①得，,5③b a ax += 由②得b a b a b a b a ax 4,35,3=∴-=+∴-= 代人③式，⋅=∴+=⋅41,544x b b x b例6 （“华罗庚杯”初一数学竞赛试题）10入围成一圈，每个人心里想—个数，并把这个数告诉左右相邻的两个人，然后每个人把左右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如图所示，问亮5的人心中想的数是多少？分析 本题中的等量关系为：亮5的人心中想的数十亮13的人心中想的数=14×2．解：设亮5的人心中想的数是x ，那么 （21亮7的人心中想的数+6）= 6 则亮7的人心中想的数=6×2-x ，即为12-x ．以此类推，亮9的人心中想的数是8×2-(12-x)，即为4+x ；亮11的人心中想的数是10×2-(4+x)，即为16 -x;亮13的人心中想的数是12×2-（16-x ），即为8+x ， 依等量关系列方程为：.142)8(=++x x解得x=l0.答：亮5的人心中想着的数是10.例7 (1997年第八届“希望杯”数学邀请赛试题)有一满池水,池底有泉总能均匀地向外涌流,已知用24部A 型抽水机6天可抽干池水,若用21部A 型抽水机8天可抽干池水,设每部抽水机单位时间的抽水量相同,要使这一池水永抽不干,至多只能用几部抽水机抽水?解. 设满池水为v 0升,每天泉水产生a 升,用n 部A 型抽水机,则8218624600⨯+=⨯+a v a v ,解得a=60v ,每天每部抽水机的抽水量为720v 升,因而12,67200≤∴≤⋅n v v n 即至多只能用12部抽水机抽水。

例8（2004年江苏省第十九届初中数学竞赛试题）若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同。

如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕。

现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t （整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的14. 问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？ （2）参加装卸的有多少名工人？解（1）设装卸工作需x 小时完成，则第一人干了x 小时，最后一个人干了4x 小时，两人共干活()4x x +小时，平均每人干活1()24x x +小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，…，平均每人干活的时间也是1()24x x +小时。

据题设，得1()1024x x +=，解得16x =（小时）. （2）共有y 人参加装卸工作，由于每隔t 小时增加一人，因此最后一人比第一人少干(1)y t -小时，按题意，得116(1)164y t --=⨯，即(1)12y t -=. 解此不定方程得212y t =⎧⎨=⎩，36y t =⎧⎨=⎩，44y t =⎧⎨=⎩，53y t =⎧⎨=⎩，72y t =⎧⎨=⎩，131y t =⎧⎨=⎩即参加的人数2y =或3或4或5或7或13.原版赛题传真The admission price per child st an amusement park is 59of the admission price peradult. If the admission price for 6 adults and 3 children is ¥ 276, then the admission price per adult is ( )(A) ¥24 (B) ¥32 (C) ¥36 (D) ¥ 40(admission price 入场费，门票; amusement park 游乐园 )同步训练一 选择题1．（2004太原市初中数学竞赛试题）有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等(如图)，则白皮的块数是( ).（A ）22 （B ）20 （C ）18 （D ）161．B设白皮有x 块，则黑皮有32-x 块，因黑皮为正五边形，故黑皮共有边数为5(32-x)条，又因每块白皮有三条边和黑皮连在一起，所以黑皮共有边数还可表为3x 条，由此得方程：5(32-x)=3x ，解之得白皮有x=20(块).2．（2003年第8届全国中小学生数学公开赛试题）李飒的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李飒索性又喝了第二天所剩的饮料的一半零半瓶. 这三天，正好把妈妈买的全部饮料喝光，则妈妈买的饮料一共有（ ）（A ）5瓶 （B ）6瓶 （C ）7瓶 （D ）8瓶2．C3．（2005年全国初中数学联赛山东赛区预赛曁2004年山东省初中数学竞赛试题） 某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润率为20%(利润率=进价进价售价-)若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元，则提价后的利润为( )(A) 25% (B) 20% (C) 16% (D) 12.5%3. C设提价后的利润为x%, 则m m x m ++=++%)251(%20%)1%)(251(%20，x=164．（2000年全国初中数学竞赛试题）甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）(A) 甲比乙大5岁 (B) 甲比乙大10岁 (C) 乙比甲大10岁 (D) 乙比甲大5岁4. B设甲与乙的年龄差为k 岁,甲年龄x 岁, 乙年龄y 岁,则x-y=k, y-10=k, 25-x=k,则k=55．（1993年四川省初中数学联合竞赛决赛）某商店若将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价应是（ ）元。