高考数学题型全归纳第十二章计数原理第3节组合

第三节 组合 ✎考纲解读
理解组合的意义，掌握组合数公式，并能用它们解决一些简单的应用问题.
✎知识点精讲
1. 单纯组合题
2. 分选问题和选排问题
①分选问题：几个集合按要求各选出若干元素并成一组的方法数； ②选排问题：分选后的元素按要求再进行排列的排列数. 3. 分组问题和分配问题 ①分组问题：把一个集合中的元素按要求分成若干组的方法数；
当选，故需另外 4 名女生中的至少一名.若另外的 4人全部
4 是男生，则有 C 7 种方法，故男队长当选，且至少有一名 4 4 女生（且为非女队长）的方法有 1 (C11 C7 )种，故共有 4 4 4 C12 1 (C11 C7 ) 790 （种）.
题型169 分选问题和选排问题 【例12.23】 6女 4 男选出 4人. （1）女选 2 ，男选 2 有多少种选法？再安排四个不同工作，有 多少方法？ （2）至少一女有多少种选法？ （3）至多 3男有多少种选法？ （4）男女都有，有多少种选法？
（3）至少有一名队长当选； （4）至多有两名女生当选； （5）既要有队长，又要有女生当选. 【分析】注意理解组合与排列问题的不同——取出的元素有无顺序.
4 C 【解析】（1） 1名女生，4 名男生，故共有 C1 5 8 350 （种）. 3 165 （2）只需从剩余的11人中选择 3 人即可，故有 C11 （种）.
2 3 4 5 女生.故选法为 C5 C8 +C1 C C 5 8 8 966（种）. 4 （5）解法一：（直接法）分两类：①女队长当选，故有 C12 种；
②男队长当选，故至少需要另外4 名女生中的一名，故有
3 2 2 3 1 4 C1 4 C7 C4 C7 C4 C7 C4 种. 4 3 2 2 3 1 4 C1 C C C C C C 综上可知，选法有 C12 4 7 4 7 4 7 4 790 种. 4 解法二：（间接法）分两类：①女队长当选，故有 C12 种；②男队长
2 6 1 36 [C1 C (2 C （种）方法. 3 3 2 )] 540
（3）解法一：（直接法）至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两
4 2 3 C +C 名队长，故共有 C1 （种）. 2 11 2 C11 825 5 5 C13 C11 825 （种）. 解法二： （间接法）采用排除法：
（4）至多有两名女生含有 3 类情形：有两名女生、只有一名女生、没有
B ，有多少种选法？ （5）选男甲不选女 A ， 2 2 C4 90 种选法，再安排 4 个不同的工作 【解析】 （1）女选 2 ，男选 2 有 C6
2 2 4 C4 A4 2160（种）方法. 有 C6 4 4 3 2 2 3 1 4 C10 C4 209. C1 （2）加法： 6 C4 C6 C4 C6 C4 C6 209 ；减法： 4 4 （3）减法： C10 C4 209. 3 2 2 3 1 C1 （4）加法： 6 C4 C6 C4 C6 C4 194.
（5）部分均匀问题， 解法一 ：从中取 4 本作为一堆的方法有 C 6 种， 剩余 2 本分成两堆的方法只有
4 1 种，从而应有 C6 1 15（种）. 4
解法二：分三步，第一步，从 6 本书中取 4 本，有 C 6 种方法，第二步，从剩余
2 本书中取 1 本，有 C 2 种方法；第三步，从剩余 1本书中取 1本，有 C1 1 种方法，
2 分三步完成，先从 6 本书中选择 2 本分给甲，其方法有 C 6 （种）；
再从余下的 4 本书中选 2 本分给乙，其方法有 C 4 （种）；最后的两 本分给丙，方法有 C 2 （种）. 2
2
解法二：（定序问题全排消序法）把分配给甲、乙、丙的 3 堆书看成无序排 列分到每个人的两本书是无序的）即定序问题，故考虑使用定序 A6 6 问题全排消序法求解，共有 A 2 A 2 A 2 种分法. 2 2 2 解法三：（先（平均）分组后分配）把 6 本书平均分成 3份，每份 2 本的方 2 2 2 C6 C4C2 3 3 法有 种，再分配给 个人的方法有 A 3种，故有 3 A3 2 2 2 C6 C 4 C 2 3 2 2 2 A C 3 6 C 4 C 2 种. 3 A3 （2）把 6 本不同的书分成 3堆，每堆 2 本，与把 6 本不同的书分给甲、乙、 丙 3 人，每人 2 本的区别在于，后者相当于把 6本不同的书，平均分成 3 堆 后，再把每次分得的 3 堆书分给甲、乙、丙 3人. 因此，设把 6 本不同的书， 平均分成 3 堆的方法有 x 种，那么把 6 本不同的书分给甲、乙、丙 3人每人 2 2 2 C6 C4C2 3 3 2 2 2 15 2 本的分法就应有 xA3种，即 xA3 C6 C4C2 ，从而 x （种）. 3 A3
（3）因为不是均匀分组问题，可以分为 3 个步骤完成，先在 6 本书中任取一本， 作为一堆，有C1 6 种取法；再从余下的 5 本书中任取 2 本，作为一堆，有 C 5 种取 法；然后从余下的 3本书中取 本作为一堆，有 C3种取法，故共有分法
2 3 C1 C 6 5 C3 60（种）. 1 2 3 （4）组排可以利用先选后排的步骤完成，第一步，方法有 C6C5 C3 60 （种）， 2 3 3 第二步，其分配方法有 A 3 种，故所求的不同分法共有 C1 6 C5 C3 A3 360（种）. 3 3 2
C3 （5）从10 3 7 人中选 3 人， 7 35.
题型170 平均分组问题和分配问题 【例12.26】按以下要求分配 6 本不同的书，各有几种方法？ （1）平均分配给甲、乙、丙 3人，每人 2 本； （2）平均分成 3 份，每份 2 本；
（3）分成 3 份，一份1 本，一份2本，一份 3本；
1
4
由分步计数原理，共有 C6 C2C1 种方法，但是其中每堆都是 1 本的两堆是不计 4 1 1 C C 2 C1 算顺序的，故得 6本书分成 3 堆，一堆 4， 另两堆各 1 本的分法有 6 2 15 （种） . A2
4
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
1
（6）组排部分均匀问题，可以采用先分组后分配的步骤方法，共有 4 1 1 C6 C 2 C1 3 A 3 90 （种），也可以转化视角，即先从 6 本书中选 4本看作一个 2 A2 4 3 元素，再与其余 2 本作全排列，故共有 C6 A3 90（种）. （7）组排 解法一：（分类讨论）因为分给甲、乙、丙 3 人，每人至少1本有 3 种情况： 4 2 2 ①甲、乙、丙每人 2 本，有 C6 C4C2 种分法； 1 2 3 3 （ 种 ） ②甲、乙、丙 3人，一人1本，一人 2本，一人3本，有 C6C5 C3A3 360 分法； 4 3 ③甲、乙、丙 3人，一人 4 本，其余两人一人 1本，有 C6 A3（种）分法，所以不 4 2 2 2 3 3 4 3 C4C2 C1 同的分法有 C6 6 C5 C3A3 C6 A3 540（种）. 解法二：（间接法）
（4）甲、乙、丙 3 人中，一人得 1本，一人得 2本，一人得 3 本； （5）分成 3 份，一份4本，另两份各 1本；
（6）甲、乙、丙 3人中，一人得 4本，另外两个人每人得 1 本；
（7）分给甲、乙、丙 3人，每人至少 1 本. 【解析】（1）解法一：（分步计数原理）因为要分给甲、乙、丙 3人，可
②分配问题：把一个集合中的元素按要求分到几个去处的方法数.
✎题型归纳及思路提示
题型168 单纯组合应用问题 【例12.21】课外活动小组共 13人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、
女生各指定一名队长，现从中选 5 人主持某项活动，依下列
条件各有多少种选法？ （1）只有一名女生当选；
（2）两队长当选；
6 本书全部分给 3 人中的 1 个人，有 C1 3 种方法；
2 6 本书全部分给 3 人中的 2人，且每人至少 1 本，则有 C3 (26 C1 2 ) 种方法；
6 本书全部分给甲、乙、丙 3人，不管是否每人至少 1本，则共有 36 种方法；
由上可知， 6 本书全部分给甲、乙、丙 3人，每人至少 1本，应有