中心极限定理及其应用论文

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中心极限定理及其在统计学中的应用

中心极限定理及其在统计学中的应用中心极限定理是概率论中一个十分重要的定理，简称CLT。它经常被用在统计学中，帮助我们了解所测量的数据中包含的误差大小，并且为我们的研究提供了很多的参考意见。

中心极限定理的证明很复杂，但是它本质上的含义很简单。这个定理告诉我们，在许多同等规模的样本数据集中，每个数据点的变化趋势和总体数据的平均值之间的差异都是随机的，而这个随机性可以被用来去除数据中的误差。

假设我们进行了一个抽样调查，样本容量为n，每个样本数据都是来自同一总体分布，但是每个样本数据都有点小的差异。如果我们把每个样本的平均值绘制在一个可视化图表中，我们会发现这些平均值随机地分布在总体平均值的周围。

当样本容量n足够大时，这些平均值会呈现出一种类似正态分布的形状。这个正态分布的均值是总体平均值，而标准差可以被估算出来。

所以，如果我们要进行充分利用这个观察到的正态分布，我们可以用标准差来对测量误差进行纠正。如果我们对一个样本进行多次测量，并得到一个平均值，标准差就是将这些结果四舍五入再取平均值之后的值。

中心极限定理可以帮助我们在不知道总体分布的情况下，做到对误差进行校正，这是多数数据收集和分析过程中必须做到的。CLT可以被用来评估一组数据和总数据之间的关系，并且它们在统计学的应用中非常常见。

例如，当我们在统计化学实验中测量某个物质的属性时，如果我们重复测量多次，结果会有所不同。中心极限定理告诉我们，如果我们可以收集到足够多的数据，我们就可以估计这个物质属性的平均值，并且计算出误差（标准差）。

中心极限定理也可以应用于数据分析，允许我们从样本数据中推断整个总体的信息。例如，如果我们需要对一个产品进行质量控制，我们可以抽取样本并对其进行一系列的测试。

【毕业论文】中心极限定理的理论及其应用

摘要

本文从随机变量序列的各种收敛与它们间的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来进行讨论。同时通过很多相关的正反例子，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件;强调在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、近似计以及保险业等方面的应用，来进一步地阐明了中心极限定理分支学科中的重要作用和应用价值。

关键词：随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理

Abstrac t

This paper concerns on the convergence and relation of the series of random variable. By means of the studying on laws of large numbers and central---limit theorems under the condition either of independent and identically distribution or independent but different---distributions comprehensively，we illuminate that the mean value is stable which is the essential property for the event. And we enplaned the rules that the sum of in dependent random variables submitted the normal distribution according to central--limit theorems. At the same time，we analyzed and stated the Markov theorem under the different terms and conditions，so its theorems，i.e. Chebyshev theorem，Bemoulli theorem，Poisson theorem including Khintchine theorem based on the distribution. Moreover，we have got the strong law of large numbers in the sense of its probability with1 by generalization. Central---limit theorems were studied in the same way. In addition，we showed the relations between various law of large numbers，Various central---limit theorems and themselves mutually. The more interesting is that plenty of correlative examples including Positive and negative are illustrated to emphasize the importance of identifying the conditions of these theorems in all sorts of their applications. At last，we brought forth the value of laws of large numbers and central---limit Theorems in some subjects such as mathematical statistics，administrative Decision---making，approximate calculation，insurance and so on.

中心极限定理

第一篇：中心极限定理

中心极限定理

中心极限定理（Central Limit Theorems）

什么是中心极限定理

大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。

中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。

中心极限定理的表现形式

中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：

（一）辛钦中心极限定理

设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则

随机变量，在n无限增大时，服从参数为a

和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。

（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理

设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n

趋于服从参数为的正态分布。即：

该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。

中心极限定理及其应用

在统计学中，中心极限定理是一个十分重要的理论，它指出，对于任何分布，如果进行足够多次的独立随机实验，那么其各自的样本平均值的分布将变得越来越接近正态分布。这个定理在实际应用中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解许多不同领域的现象。

一、中心极限定理的原理

首先，我们需要理解中心极限定理的原理。其基本假设是，我们有一个特定的总体（即一个随机变量的总体），其均值为μ、方差为σ2。我们对这个总体进行随机抽样实验，每次实验都独立于前一次实验。如果我们将每次实验的结果加起来，那么总和将逐渐趋近于正态分布。

具体来说，如果我们进行n次实验，每次实验得到的随机变量的分布都相同，且有限，那么这些随机变量的总和的分布将逐渐趋近于正态分布，而随着n的增加，趋近的速度会越来越快。但是注意：这个定理只适用于样本中的随机变量的数量足够多，而且不能是无限多。

二、中心极限定理的应用

中心极限定理在实际应用中有着非常广泛的用途。它可以帮助我们更好地理解许多不同领域的现象。

1. 物理学

在物理学中，中心极限定理可以帮助我们更好地理解热力学的基本原理。热力学是描述物质在不同状态下的性质的一门学科，其中体积、温度、压力等参数都是连续变化的。中心极限定理告诉我们，当我们观察足够多个分子时，它们的运动状态将趋向于正态分布，从而使我们更好地理解宏观物理系统的运动规律。

2. 经济学

在经济学中，中心极限定理可以帮助我们更好地理解市场的波动。市场波动是一个复杂而强烈的现象，但中心极限定理告诉我们，当我们对市场涨跌幅进行足够多的抽样时，这些涨跌幅的总

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的涵和应用

在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。

一、独立同分布下的中心极限定理及其应用

在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：

定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记

n X

Y n

i i

n σμ

∑=1

则对任意实数y ，有

{}⎰

∞

--∞

→=Φ=≤y

t n n t y y Y P .d e π

21)(lim 2

（1）证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设

μ-n X 的特征函数为)(t ϕ，则n Y 的特征函数为

Y n t t n ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

=)()(σϕϕ

又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0ϕ'=0，2)0(σϕ-=''。于是，特征函数)(t ϕ有展开式

)(2

1)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σϕϕϕϕ

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的涵和应用

一、独立同分布下的中心极限定理及其应用

在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：

定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记

n X

Y n

i i

n σμ

∑=1

则对任意实数y ，有

{}⎰

∞

--∞

→=Φ=≤y

t n n t y y Y P .d e π

21)(lim 2

μ-n X 的特征函数为)(t ϕ，则n Y 的特征函数为

Y n t t n ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

=)()(σϕϕ

又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0ϕ'=0，2)0(σϕ-=''。于是，特征函数)(t ϕ有展开式

)(2

1)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σϕϕϕϕ

中心极限定理作用

中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了一种现象：当大量独立同分布的随机变量进行加和时，其和的分布趋近于正态分布。这个定理在统计学和概率论中应用广泛，对于理解随机现象的规律具有重要意义。

中心极限定理的作用不仅仅局限于数学领域，它还在其他学科中发挥着重要的作用。在经济学中，中心极限定理可以用来解释市场行为的规律。例如，在股票市场中，交易者的行为往往是随机的，但是当大量的交易者参与市场时，市场的波动却表现出一种规律性，这就是中心极限定理所描述的现象。在此基础上，经济学家可以通过对市场波动的分析来预测未来的市场走势，为投资者提供决策依据。

在生物学中，中心极限定理可以用来解释一些生物现象的分布规律。例如，在人口统计学中，人口的身高、体重等指标往往呈现出一种正态分布的特征。这是因为这些指标受到了多个遗传因素和环境因素的影响，而这些因素的作用可以看作是独立同分布的随机变量。因此，根据中心极限定理，这些指标的分布趋近于正态分布。

中心极限定理还可以应用于工程学中。例如，在电子工程中，信号的传输往往受到多种因素的影响，例如电磁干扰、噪声等。这些因素可以看作是独立同分布的随机变量，而信号的传输质量可以用误码率来衡量。根据中心极限定理，当传输的数据包数目很大时，误

码率的分布趋近于正态分布。因此，工程师可以通过对误码率的统计分析来评估信号传输的质量，并做出相应的优化措施。

中心极限定理的应用还不局限于自然科学领域，它在社会科学和人文科学中也有重要的应用。例如，在教育评价中，中心极限定理可以用来解释学生考试成绩的分布规律。根据中心极限定理，当大量学生参加考试时，他们的成绩的分布趋近于正态分布。这对于评估学生的学业水平、制定教学计划等都具有重要意义。

中心极限定理应用[五篇范例]

第一篇：中心极限定理应用

中心极限定理及其应用

【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。它们表明了当n充分大时，方差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。

【关键词】：中心极限定理正态分布随机变量

一、概述

概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律：当n→∞时的极限符合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。

二、定理及应用

1、定理一（林德贝格—勒维定理）

若ξ

k1，=a,ξ2，…是一列独立同分布的随机变量，且EξDξ

k=kσ⎰x2(σ2>0),k=1,2,…则有limp(k=

1n→∞∑ξn-na≤x)=σn

n12π-∞e-t22dt。

当n充分大时，∑ξk=1k-na

σn~N（0,1），k=1∑ξnk~N（na,nσ）

22、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理）

在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中出现的概率为错误！未

找到引用源。, 错误！未

μ找到引用源。为n次试验中事件A出现的次数,则limp(n→∞n-npnpq≤x)=⎰2π1x-∞e-t22dt

中心极限定理的作用

中心极限定理在概率论中扮演着重要的角色，它是数理统计学和误差分析的理论基础。这个定理指出，大量独立的随机变量序列的部分和分布趋于正态分布。这一规律在自然界和生产实践中广泛存在，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，当每个因素的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。

中心极限定理的应用非常广泛，不仅限于数学和统计学领域，也涉及到许多其他学科，如物理学、工程学、经济学等。它为许多复杂系统的分析和预测提供了重要的理论基础，帮助我们更好地理解和预测这些系统的行为。

在统计学中，中心极限定理被广泛应用于样本均值和比例的统计推断。当我们从总体中抽取大量样本时，样本均值的分布趋于正态分布，这使得我们能够利用正态分布的性质来估计总体参数的置信区间和进行假设检验。

此外，中心极限定理也被用于金融领域，如风险评估和资产定价。通过中心极限定理，我们可以理解资产价格波动的分布特性，从而为资产定价和风险管理提供理论支持。

总的来说，中心极限定理在许多领域都有广泛的应用，它帮助我们理解和预测复杂系统的行为，为统计推断和金融分析提供了重要的理论基础。

中心极限定理及其应用

中心极限定理是概率论中一个重要的定理，它指出在一定条件下，一组独立同分布的随机变量的和在极限意义下服从正态分布。具体而言，当样本量很大时，样本均值的分布近似于正态分布。这个定理可以应用于许多领域，如统计学、经济学、金融学等。在实际应用中，中心极限定理被用来做假设检验、置信区间估计、回归分析等。

例如，在统计学中，如果我们想要检验某个样本的均值是否等于一个特定的值，可以使用中心极限定理来进行假设检验。在具体的实验中，我们可以抽取大量的样本并计算每个样本的均值，然后使用中心极限定理，将均值的分布近似于正态分布，并计算出其标准误和显著性水平，以此来判断样本均值是否等于特定值。

另外，中心极限定理也被广泛应用于金融学领域，特别是在风险管理和资产组合管理方面。通过对资产收益率进行观察和分析，可以通过中心极限定理来测试资产收益率是否服从正态分布，以及计算风险价值等指标。

中心极限定理及其在若干实际问题中的应用

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浅谈中心极限定理及其应用

中心极限定理（CentralLimitTheorem，简称CLT）是统计学中

最基本的定理，可以提供数学理论支持和方便的引用，以解决许多实际问题。这个定理的完整表述是：当抽取的样本量足够大的时候，样本平均数的分布曲线接近于正态分布，即属于类正态分布，其平均值接近于总体平均数，其标准差接近于总体标准差的平方根。

中心极限定理的应用方面，可以涉及到许多方面：

一、测定总体参数。中心极限定理可以用来估计总体参数，包括总体均值、总体方差和总体分布等。

二、假设检验。中心极限定理可以用于检验统计模型的参数，即样本和总体的分布形式是否一致，研究者可以利用其来进行假设检验，从而评估统计模型的正确性。

三、置信区间估计。中心极限定理也可以利用来估计总体参数所处的置信区间，在样本量足够大的情况下，置信区间会变得紧密，从而使得置信度得到提高。

四、回归分析。在回归分析中，中心极限定理可用于评估模型的参数置信区间，也可用于评估线性回归模型的拟合程度，从而推出结论。

具体来讲，中心极限定理的应用非常灵活，并且无处不在，几乎所有的统计分析和统计模型都可以借助它求解。在实际数据处理中，中心极限定理是统计学中最基本定理，将它运用在模型构建中，将有助于增强模型的可靠性和准确性。

总之，中心极限定理可以用来估计总体参数，也可以用于假设检验，能够确定模型的参数，估计总体参数所处的置信区间范围，及对回归分析进行验证。它是统计学基础理论，在数据处理中起着重要作用，为研究者提供了便利。

中心极限定理实际上是一个概率模型，它可以分析我们观察到的大量数据，帮助我们做出更准确的决策。而且，它也是数据挖掘和机器学习的基础理论，对于统计数据处理和模型建立有着重要意义。

中心极限定律的应用

中心极限定律是概率论中的重要定理，它描述了独立随机变量和的分布趋近于正态分布的现象。在实际应用中，中心极限定律有着广泛的应用，能够帮助我们解决各种实际问题。

中心极限定律在统计学中有着重要的作用。在统计学中，我们经常需要对一组样本进行分析，以了解总体的一些特征。根据中心极限定律，当样本容量足够大时，样本均值的分布会逐渐趋近于正态分布。这个特性使得我们可以利用样本均值的正态分布性质进行统计推断，例如计算置信区间、进行假设检验等。

在质量控制领域，中心极限定律也有着重要的应用。当我们需要对生产过程中的质量进行抽样检验时，中心极限定律可以帮助我们确定合适的样本容量。根据中心极限定律，当样本容量足够大时，样本均值的分布会逐渐趋近于正态分布。这意味着我们可以通过计算样本均值的方差来估计总体均值的方差，并据此确定合适的样本容量。

在金融领域中，中心极限定律也有着广泛的应用。金融市场的价格变动往往是随机的，而且受到多种因素的影响。根据中心极限定律，当我们对金融市场进行大量独立观察时，这些观察值的平均值会趋近于正态分布。这使得我们可以利用正态分布的性质来进行风险管理、投资决策等。

中心极限定律还在信号处理、图像处理、机器学习等领域有着重要的应用。在这些领域中，我们经常需要对信号或数据进行处理和分析。根据中心极限定律，当我们对大量独立的信号进行处理时，处理结果的分布会趋近于正态分布。这使得我们可以利用正态分布的统计性质来进行信号分析、数据挖掘等。

中心极限定律作为概率论中的重要定理，在实际应用中发挥着重要的作用。它帮助我们解决了许多实际问题，如统计推断、质量控制、金融风险管理、信号处理等。中心极限定律的应用使得我们能够更加准确地理解和分析随机现象，为决策提供科学的依据。

中心极限定理在金融中的应用

中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它是统计学中最为基础和最为重要的一条

定理。中心极限定理是指当样本容量足够大时，样本均值的分布趋向于正态分布，且随着

样本容量的增大，这种趋势越来越明显。在金融中，中心极限定理可以应用于风险评估、

投资组合分析、资产定价等方面。

风险评估

风险评估是金融中最为重要的问题之一，而中心极限定理可以帮助我们更加准确地评

估风险。通过中心极限定理，我们可以知道，一个样本的均值在大样本情况下必然服从正

态分布。因此，如果我们收集大量的风险数据并计算出其均值，可用样本均值的分布情况

来评估整个风险的分布情况，帮助我们更好地进行风险管理和决策。

投资组合分析

在投资组合分析中，中心极限定理可以用来评估投资组合收益的分布情况。对于一个

投资组合而言，它的收益往往受到多种因素的影响，这些因素可能是市场因素、行业因素、企业自身因素等。而这些因素的影响会形成投资组合收益的随机波动性。如果我们收集到

足够的历史数据，并计算出投资组合的收益均值和标准差，通过中心极限定理，我们可以

将投资组合的收益分布近似为正态分布，从而更好地进行投资决策。

资产定价

资产定价是金融中一个重要的问题，而中心极限定理可以帮助我们定价资产。在金融

市场上，股票价格、债券价格等资产价格往往受到多种因素的影响。如果我们将这些因素

看做随机变量，并收集到大量的历史数据，可以通过中心极限定理将资产价格近似为正态

分布，这有助于我们更准确地进行资产定价。

总之，中心极限定理在金融中有着广泛的应用。它可以帮助我们更好地理解金融市场

叙述一下中心极限定理及其应用

中心极限定理是概率论中的一条重要定理，它说明了在一定条件下，若随机变量服从一定的分布，那么其和的分布将会越来越接近正态分布。中心极限定理的应用范围非常广，例如在统计学、经济学、物理学等领域，都可以使用该定理进行分析和预测。

中心极限定理的概念是基于大数定律而来的。大数定律告诉我们，当重复进行某项试验时，若试验次数足够多，那么试验结果的平均值会趋近于真实值。而中心极限定理则是在大数定律的基础上，进一步说明了总体随机变量在一定条件下的分布情况。

具体来说，中心极限定理指出：若随机变量X1、X2、X3、...、Xn独立同分布，并且其期望值和方差均存在，则它们的和Sn的分布会趋近于正态分布，即Sn~N(μ，σ^2/n)，其中μ为X1、X2、X3、...、Xn的期望值之和，σ为X1、X2、X3、...、Xn的方差之和。而当n

越来越大时，Sn的分布就会越来越接近于正态分布。

中心极限定理的应用非常广泛。例如，在统计学中，我们可以利用中心极限定理来进行假设检验，判断样本均值是否来自于某个总体分布。在经济学中，我们可以利用中心极限定理来分析市场波动的分布情况。而在物理学中，我们可以利用中心极限定理来研究热力学性质和量子力学等领域。

总之，中心极限定理是一条十分重要的概率论定理，它为我们进行统计分析提供了有力的工具和方法。通过深入研究和应用，我们可以更好地理解和应用这一定理，为实际应用提供更加准确、可靠的结

果。

数学与应用数学毕业论文-中心极限定理探讨及应用(精品doc)

摘要 ....................................................................................................................................... II 1绪论 . (3)

1．1课题的研究意义 (3)

1．2国内外研究现状 (3)

1．3研究目标 (4)

2关于独立分布的中心极限定理的探讨 (5)

2．1中心极限定理的提法 (5)

2．2独立同分布情形的两个定理． (5)

2．2．1 林德伯格-----勒维中心极限定理 (6)

2．2．2隶莫弗——拉普拉斯定理 (7)

2．3独立不同分布情形下的中心极限定理 (8)

2．3．1林德贝格中心极限定理 (8)

2．3．2李雅普诺夫中心极限定理 (12)

2．4本章小结 (14)

3中心极限定理在商业管理中的应用 (15)

3．1水房拥挤问题 (15)

3．2设座问题 (17)

3．3盈利问题 (18)

3．4抽样检验问题 (19)

3．5供应问题 (20)

结语 (20)

参考文献 (22)

附录 (22)

中心极限定理探讨及应用

摘要：本文从随机变量序列的各种收敛与它们间的关系谈起，通过对概率论的经典定理—中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性．经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示的理论依据．同样中心极限定理的内容也从独立同分布与独立不同分布两个角度来进行讨论;最后给出了一些中心极限定理在数理统计、管理决策、近似计算、以及保险业等方面的应用，来进一步地阐明了中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值．