第1章 矢量分析
第1章(矢量分析)
矢量分析与张量初步第一章矢量分析U STU STU ST标量（数量）：有大小，没方向的物理量。
矢量：既具有大小又具有方向的物理量，矢量又称为向量。
矢量与标量的根本区别是：有没有方向性。
如：温度、质量、角度、长度等。
如：力、速度、电场强度、力矩等。
矢量的模：矢量的大小。
矢量的模记为：或。
A K A ||A KU STU STU ST自由矢量：矢量平移后，其作用效果不变。
即自由矢量就是具有平移不变性的矢量。
FK 只考虑刚体的质心运动，作用力可以平移。
能不能平移？下面只讨论自由矢量。
如果要考虑刚体的转动，则作用力不能平移。
U STU STU ST始端在坐标原点的矢量常称为矢径，显然矢径的末端与直角坐标系中的三个坐标分量之间具有一一对应的关系，则矢径可用其末端的空间坐标来表示：①在直角坐标中的表示对矢量，始端平移到坐标原点，表示为：A Kr xi yj zk=++KK K K、、：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向。
i K j K k K x y z A A i A j A k=++K K K KU STU STU ST其中：为矢量的模，为指向矢量方向上的单位矢量。
R A A e A 三个：、和。
R βαcos cos cos A e i j kαβγ=++K K K KAKRxy zO因为222cos cos cos 1αβγ++=的直角坐标表示为A e K有几个独立坐标量？A Kr e =KU STU STU STOxe ρρK zA kK A K cos sin e i j ρϕϕ=+K K K三个：、和。
ρϕz 的直角坐标表示为e ρK在矢量的球坐标及柱坐标表示中，只要分别把单位矢量和的直角坐标表示代入，即得到矢量的直角坐标表示。
e ρKr e K 有几个独立坐标量？A K第一章矢量分析U STU ST U ST U STU STcos xA Aα=cos yA Aβ=cos zA A γ=(cos cos cos )A A i j k αβγ=++K K K K④方向余弦表示：设矢量与直角坐标三个坐标轴正向的夹角分别为、和，则：αγβA K用方向余弦（）表示矢量：A Kcos ,cos ,cos αβγcos x A A α=这实际上就是直角坐标表示，因为：cos y A A β=cos z A A γ=U STU STU ST不能按大小排列）。
《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析
ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。
S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey
Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos
第一章：矢量分析法
f ( x, y , z ) f ( , , z) f ( r , , )
点，平行与Z 轴的方向。
r
O
ˆ
Y
X
矢量场的圆柱坐标系分量
ˆ 圆柱坐标轴单位矢量
ˆ
ˆ z
ˆ : 以Z为轴，半径为 的园柱面在 ( , , z ) 点的外法
线方向。
Z
ˆ : 垂直于Z轴及( , , z )
点组成的平面，沿 增大一侧的方向。
ˆ z
ˆ
P( , , z )
ˆ z : 在 ( , , z )
矢量分析法直角坐标系场点的坐标位置xyz圆柱坐标系圆球坐标系12直角坐标系坐标与圆柱坐标系坐标的关系cossinsincossinarctanarctanxxyyzz垂直于z轴及点组成的平面沿增大一侧的方向
第一章：矢量分析法
1.2 三种坐标系
直角坐标系 场点的坐标位置(x,y,z) 圆柱坐标系 ( , , z ) 圆球坐标系 (r , , )
r xx yy zz
f (r )
距离矢量
R r r n ( x x n)dx ( y y n)dy ( z z n)dz
R r r' ( x x' ) 2 ( y y' ) 2 ( z z' ) 2
直角坐标系坐标与圆柱坐标系坐标的关系
x cos y sin z z
x 2 y 2 y arctan x zz
第一章 矢量分析
立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克 立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克 斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的 场之间的关系。因此， 中的场， 场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据斯托克 上的场，反之亦然。 斯定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。
Ψ = ∫ A ⋅ dS
S
通量可为正、或为负、或为零 当矢量穿出某个闭合面时， 通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时， 认为该闭合面中存在产生该矢量场的源 认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合 面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞 ）。闭合 面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合
惟 一 性 定 理 亥姆霍兹定理 正交曲面 坐标系
10
第一章 矢量分析
标 积 与 矢 积 方向导数与梯度 通 量 与 散 度 环 量 与 旋 度 环 量 与 旋 度 无散场与无旋场 格 林 定 理
2. 旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋 旋度：旋度是一个矢量。 具有最大环量强度的方向， 度, 则其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向， 其大小等于对该矢量方向的最大环量强度， 其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即
惟 一 性 定 理 亥姆霍兹定理 正交曲面 坐标系
1
0 A⋅ B = A B
A⊥B
A // B
第一章 矢量分析
标 积 与 矢 积 方向导数与梯度
2.矢量的失积 2.矢量的失积
矢量的失积：代数定义： 矢量的失积：代数定义：
ex A × B = Ax Bx ey Ay By ez Az Bz
第1章-矢量分析
⎝
2⎠
⎝
2⎠
Ay
⎜⎛ x,y+Δy,z ⎟⎞ ⎝ 2⎠
=
Ay
(x,y,z)
+
∂Ay ∂y
(x,y,z)
Δy 2
+
1 2!
∂2 Ay ∂y2
( Δy )2 2
+ ...
得
ΔΨr
=
( Ay
+
∂Ay ∂y
Δy 2
+ .........) ΔxΔz
divA 直角坐标表示式的推导
11
§1.2通量、散度、散度定理
8
§1.2通量、散度、散度定理
作业：1.1-1,1.1-3,1.1-5
S为封闭面时： 若Ψ > 0， 有净通量流出，说明S内有源； 若Ψ < 0， 有净通量流入，说明S内有洞(负源); 若Ψ = 0， 则净通量为零，说明S内无源。
举例：
由《大学物理》知，电通量 Ψe = ∫sD ⋅ ds = Q（高斯定理） 水流的单位时间流量（米3/秒）＝ v ⋅ d s
A 矢量的模：
γ
β o
Ay
α Ax
y
A = A = Ax2 + Ay 2 + Az 2
x
A 的单位矢量：
Aˆ = A = xˆ Ax + yˆ A y + zˆ Az AA AA
= xˆ cosα + yˆ cos β + zˆ cosγ
2
§1.1矢量代数
二、标量积和矢量积
a) 标量积（点乘）
加减乘除
∂y 4π r 5
∂Dz = q r 2 − 3z 2
∂z 4π r 5
电磁场与电磁波第一章矢量分析
(Cf ) C f
有关散度的公式：
(kF ) k F (k为常量)
( f F ) f F F f
(F G) F G
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
26
4. 散度定理（高斯公式）
矢量场对于空间任意 闭合曲面的通量，等于矢 量场的散度在该闭合曲面 所包围体积中的体积分。
4. 各坐标系单位矢量之间的关系
直角坐标与 圆柱坐标系
eeez
ex
cos sin
0
ey
sin cos
0
ez 0 0
1
直角坐标与 球坐标系
er
ex
sin cos
e cosθ cos
e sin
ey
ez
sin sin cos
cos sin sin
cos
0
15
zy e
eeyz
eer
度规系数 hr 1, h r, h r sin
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
14
面元矢量
dSr
er dl dl
er r 2sin dd
dS
e dlrdl
ez
rsin
drd
dS
e dlr dl
e rdrd
球坐标系中的线元、面元和体积元
体积元
dV r2sindrdd
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
如果表示“场”的物理量是标量，则称为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。 如果表示“场”的物理量是矢量，则称为矢量场。
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
从数学上看，“场”是定义在空间区域上的函数：
电磁场与电磁波-第1章
z o x
v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A × B = ( Ax ax + Ay a y + Az az ) × ( Bx ax + By a y + Bz az )
y
ˆ ˆ ˆ = ( Ay Bz − Az By )ax + ( Az Bx − Ax Bz )a y + ( Ax By − Ay Bx )az
第1章 矢量分析
主要内容 矢量代数、常用坐标系、 梯度、散度、旋度、亥姆量
标量：只有大小而没有方向的物理量。如温度、高度、时间等。 标量：只有大小而没有方向的物理量。如温度、高度、时间等。 矢量：不但有大小而且有方向的物理量。如力、速度、电场强度等。 矢量：不但有大小而且有方向的物理量。如力、速度、电场强度等。 矢量的数学符号用黑斜体字母表示，如A、B、E，或斜体字母上 矢量的数学符号用黑斜体字母表示， 黑斜体字母表示
两矢量的叉积又可表示为： 两矢量的叉积又可表示为：
ˆ ax v v A × B = Ax Bx
ˆ ay Ay By
ˆ az Az Bz
2、矢量运算法则
（3）乘法: 乘法: 乘法 ③ 三重积 三个矢量相乘有以下几种形式： 三个矢量相乘有以下几种形式：
v v v ( A ⋅ B)C
矢量，标量与矢量相乘。 矢量，标量与矢量相乘。
v v v v v v v v b.满足结合律 满足结合律： b.满足结合律： ( A + B ) + (C + D) = ( A + C ) + ( B + D)
矢量加法是几个矢量合成问题，反之， 矢量加法是几个矢量合成问题，反之，一个矢量也可分解为几个矢量
2、矢量运算法则
第1章矢量分析
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
aˆy aˆz 0 aˆz aˆz 1
A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
其中：dl ,dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：dlx dxaˆx
dly dyaˆy
面元： dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
k 0 方向不变，大小为|k|倍
kA k | A | aˆ
k
0
k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
B
A B | A| | B | cos
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
定义： A BC | A|| B || C | sin cos
含义： 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
h BC
A C
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A (BC) C (A B) B (C A)
第一章矢量分析
r u ( x, y , z , t ) 、 F ( x , y , z , t )
r u ( x, y, z )、 F ( x, y, z )
第一章 矢量分析
1.1.1 标量场的等值面
标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。 即若标量函数为 u u( x, y, z) ，则等值面方程为：
第一章 矢量分析
第一章
主 要
矢量分析
内 容
梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度
2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理
6. 矢量场的惟一性定理
7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系
第一章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
空间中存在任意曲面S，则定义：
v v S A(r ) dS
为矢量 A(r ) 沿有向曲面 S 的通量。
矢量场的通量
第一章 矢量分析
若S 为闭合曲面
s
v v v Ñ A ( r ) dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。 说明：1) 面元矢量 dS 定义：面积很小的有向曲面。
s
第一章 矢量分析
通过闭合面S的通量的物理意义：
0
0
若 0 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发 出矢量线的正源； 若 0 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源； 若 0 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无 源，或正源负源代数和为0。 局限：只能判断闭合曲面中源的正负特性，不能显示源的特 性。如果令包围某点的闭合面无限收缩，那么该点就可以通量 可以表示源的特性。
第1章 矢量分析
体积元
dV dxdydz
z
z
z0
（ 平面） ez
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z dSz ezdxdy
dz
dSy eydxdz
o
dy
dx dSx exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
第一章 矢量分析
A Axex Ayey Azez
sin cos
0
0 ex
0
e y
1 ez
ex cos
ey
sin
ez 0
sin cos
0
0 e
0
e
1 ez
第一章 矢量分析
2、直角坐标系与球坐标系的关系
er ex sin cos ey sin sin ez cos e cos cos ex cos sin ey sin ez e ex sin ey cos
坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量
x, y, z,( x, y, z )
ex , ey , ez
r ex x ey y ez z
dl
exdx
ey
dy
ezdz
dSx exdlydlz exdydz
dSy eydlxdlz eydxdz
dSz ezdlxdly ezdxdy
A B AxBx Ay By Az Bz
ex ey ez
A B Ax Ay Az Bx By Bz
ex
Ay By
Az Bz
ey
Ax Bx
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析§1 场的概念 一. 矢量与标量1.概念标量 实数域内只有大小的量。
如：电压、温度、时间、电荷等。
矢量 实数域内既有大小又有方向的量，且加法运算遵循平行四边形法则。
如：力F 、电场强度E 、磁场强度H、速度等。
常矢：矢量的模和方向都不变。
如：x e 、y e 、z e。
变矢：模和方向或两者之一变化的矢量(在实际问题中遇到的更多)。
如：r e 、θe 、ϕe 、ρe。
物理量 标量或矢量被赋予物理单位，成为有物理意义的量。
2.矢量的表示印刷 黑体 A ；A(白体)表示A的模。
手写 模和方向均表示出。
表示A 的方向(模为1)。
A 表示矢量A 的模。
▪ 零矢（空矢）：模为零的矢量。
0▪单位矢量：模为1的矢量。
如直角坐标系坐标轴方向x e 、y e 、z e （参考书）。
也有用x a、y a 、z a或i 、j 、k 或 x ˆ、y ˆ、z ˆ 等表示。
若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，一个矢量就确定了。
如直角坐标系中，矢量A的三个分量模值分别是A x , A y , A z ，则直角坐标系： A的模为 A的单位矢量为判断以下手写表示是否正确：（矢量≠标量） （标量≠矢量） ☹ 常见手写表示错误： Aa A 0=A A a=0zz y y x x A e A e A e A ++=222z y x A A A A ++=γβcos cos cos ˆ0z y x zz y y x x A e e a e A A e A A e A A e A A a A++=++===5=E 5x e E=5x e E =765zy x e e e E ++= 765z y x e e e E++=二. 矢量的代数运算1.矢量的加减法2.矢量的乘法a.标量积(点乘) 结果为标量！b.矢量积(叉乘) 结果为矢量！直角坐标系：∙ 点乘 垂直 平行点乘符合交换律： ∙ 叉乘平行 垂直注意：z x y e e e-=⨯ 叉乘不符合交换律： 三.矢量场与标量场1.场在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。
第一章 矢量分析
1
第1章 矢量分析
2
本章内容
1.1 三种常用的坐标系
1.2
1.3 1.4 1.5
矢量函数的微积分
标量函数的梯度 矢量函数的散度 矢量函数的旋度
第1章 矢量分析
3
1.1 三种常用的坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角
第1章 矢量分析 2. 矢量场的通量 问题：如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。 通量的概念
20
F ( x, y , z )
n
S
0
d F dS F n 0dS
S
dS
面积元矢量
其中： dS n 0dS ——面积元矢量； 0 ——面积元的法向单位矢量；
sin
ey
sin cos
ez
0
sin cos 0
ex sin cos
sin
0
e
ez 0 0 1 ez cos sin 0
e
ey
e
ex
圆柱坐标与 球坐标系
e
er
e
e
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
d S y e y d l x d l z e y d xd z
d d xd yd z
z
dz
dS z ez dxdy
dS y ey dxdz
d S z e z d l x d l y e z d xd y
体积元
第一章 矢量分析
(
)
( )
( )
(
)
(
)
16
导矢的物理意义 M0
z
s
M
dr dr ds 导矢： 导矢： = ⋅ l dt ds dt o y dr : 点M 处的单位切向矢量τ x ds ds 处质点的速度大小， : 点M 处质点的速度大小，用v 表示 dt dr 质点M 质点M 的速度矢量 = vτ = v dt dv d 2 r w= = 2 质点M 质点M 的加速度矢量 dt dt
d dA dB d A± B = ± C = 0, C为常矢 dt dt dt dt d dA d du dA kA = k , k为常数 uA = A+u dt dt dt dt dt d dB dA d 2 dA A⋅ B = A⋅ + ⋅B 特例： A = 2 A ⋅ dt dt dt dt dt d dB dA A× B = A× + ×B dt dt dt dA dA du = ⋅ 若有复合函数 A＝A ( u ) dt du dt
7
第一章
第二节 矢性函数的导数与微分
1. 矢性函数的导数 定义 设矢性函数 A ( t )在点 t的某一邻 的某一邻 域内有定义， 域内有定义，并设 t +△t 也在这邻域内。 △ 也在这邻域内。 若
M
A (t ) A′ ( t )
∆A
N l
其极限存在， 在 ∆t → 0 时，其极限存在，则称此极限 ∆A=A ( t +∆t ) -A ( t ) 为矢性函数 A ( t ) 在点 处的导数（简称 导数（ 在点t 处的导数 导矢）， ），记作 导矢），记作 dA/dt 或 A′ ( t ) 。
13
一章节矢量分析
cos
2
2
12 22 22 3
第一章 矢量分析
而
u x
2x z
,
u y
2t z
,
u z
(x2 z2
y2)
数量场在l方向的方向导数为
u u cos u cos u cos
l x
y
z
1 2x 2 2y 2 x2 y2 3 z 3 z 3 z2
在点M处沿l方向的方向导数
1 1 2 1 2 2 2
(M ) (M0)
的极限存在，则称此极限为函数φ(M)在点M0处沿l方向的方向导 数，记为
lim (M ) (M0)
l M0
M M0
第一章 矢量分析
若函数φ=φ(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可微，cosα、cosβ、 cosγ为l方向的方向余弦，则函数φ在点M0处沿l方向的方向导数 必定存在，且为
l
第一章 矢量分析
矢量l°是l方向的单位矢量，矢量G是在给定点处的一常矢 量。 由上式显然可见，当l与G的方向一致时，即cos(G, l°)=1 时， 标量场在点M处的方向导数最大，也就是说沿矢量G方向的方向 导数最大，此最大值为
G
l max
第一章 矢量分析
在标量场φ(M)中的一点M处，其方向为函数φ(M)在M点处变 化率最大的方向，其模又恰好等于最大变化率的矢量G，称为标 量场φ(M)在M点处的梯度，用gradφ(M)表示。在直角坐标系中， 梯度的表达式为
所以r在M点处的梯度为
gradr r
1 2
ex
1 2
ez
r在M点沿l方向的方向导数为 r r l l M
第一章 矢量分析
而
第1章矢量分析
第1章 矢量分析§1.1 标量场与矢量场一、场的概念如果某物理量在空间每一时刻和每一位置都有一个确定的值，则称在此空间中确定了该物理量的场。
二、标量场与矢量场标量场：若所研究的物理量是一个标量，则称该物理量的场为标量场，例如：温度场、密度场、电位场。
),(t r u u =矢量场：若所研究的物理量是一个矢量，则称该物理量的场为矢量场，例如：力场、速度场、电场。
),(t r A A =三、静态场和时变场静态场：若物理量不随时间变化，则称该物理量所确定的场为静态场。
)(r u u =)(r A A =时变场：若物理量随时间变化，则称该物理量所确定的场称为动态场或时变场。
),(t r u u=),(t r A A =标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，矢量场在空间的变化规律由矢量场的散度和旋度来描述。
§1.2 矢量场的通量 散度一、矢量线 矢量场的通量 1、矢量线(1)矢量场的表示在矢量场中，各点的场量是随空间位置变化的矢量。
矢量场可以用一个矢量函数)(r A来表示。
在直角坐标系中表示为：),,()(z y x A r A=(2)矢量线在矢量场中，为了形象直观地描述矢量在空间的分布状况，引入了矢量线的概念。
矢量线：是一条空间曲线，在它上面每一点的场矢量都与其相切，并且用箭头来表示矢量线的正方向。
例如，静电场中的电力线、磁场中的磁力线等。
(3)矢量线方程0)(=⨯r A r d在直角坐标系下为：)()()(r A dzr A dy r A dx z y x == 2、矢量场的通量 通过面积元的通量：S d r A d⋅=Φ)(通过有限面积的通量：⎰⋅=ΦSS d r A)(通过闭合曲面的通量：⎰⋅=ΦS S d r A)(二、矢量场的散度 1、散度的定义在矢量场)(r A中的任意一点M 处作一个包围该点的任意闭合曲面S ，所限定的体积为τ∆。
矢量场)(r A 在点M 处的散度记作A div，其定义为：ττ∆⋅=⎰→∆SS d r A A div)(lim 0 2、散度在坐标系下的表示A A div ⋅∇=定义哈密顿算符：ze y e x e z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇(1)在直角坐标系中的表示zu y u x u A ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇(2)在圆柱坐标系中的表示()zA A A A z ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇φρρρρφρ11 (3)在球坐标系中的表示()()φθθθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A r A r A r r r A r sin 1sin sin 11223、散度的性质(1)散度是通量源的密度；0>⋅∇A表示该点有发出通量线的正通量源； 0<⋅∇A表示该点有接收通量线的负通量源；0=⋅∇A表示该点无通量源。
第一章 矢量分析
工程数学---------矢量分析与场论
矢径函数 r xi y j zk d r d xi d y j d zk 2 2 2 d r (d x) (d y) (d z)
dA dt
或
A(t )
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k
工程数学---------矢量分析与场论
2.导矢的几何意义 A A t A 与A 同 t 0 t 向， A 与 A 反向， t 0 t A 始终指向 t 增大的方向, t (t ) lim A 为切向量， A 始终指向 t 增大的方向. t 0 t
t t0 t t0 t t0 t t0
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极限运算法则
工程数学---------矢量分析与场论
4.连续: 设矢性函数
t t0
在点
的某去心邻域内有定义 ,
且 lim A(t ) A(t0 ), 则称
若 连续.
在 连续.
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
工程数学---------矢量分析与场论
4.导数公式
1) (C ) 0 2) ( A B) A B 3) (uA) u A u A 4) ( A B) A B A B 5) ( A B) A B A B dA du d 6) A(u (t )) du dt dt
工程数学---------矢量分析与场论
2.不定积分公式
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§1 .2 标量场的梯度
1 场的概念
在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的， 在该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区 域上定义了一个场。如电荷在其周围空间激发的电场，电 流在周围空间激发的磁场等。如果这个量是标量我们称该 场为标量场；如果这个量是矢量，则称该场为矢量场。如 果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。从数学上 看，场是定义在空间区域上的函数。
矢量的乘积包括标量积和矢量积。 B
1） 标量积
任意两个矢量A与B的标量积
θ
(Scalar Product) 是一个标
量，它等于两个矢量的大小
Bcos θ
A
与它们夹角的余弦之乘积，
记为
A·B=ABcosθ
§1 .1 矢量及其代数运算
2 矢量的乘积
2） 矢量积 任意两个矢量A与B的矢量积是一 个矢量，矢量积的大小等于两个 矢量的大小与它们夹角的正弦之 乘积，其方向垂直于矢量A与B组 成的平面，记为 C=A×B=enAB sinθ en=eA×eB （右手螺旋）
�� �� ���
���
���
A + B = ex (Ax + Bx ) + ey (Ay + By ) + ez (Az +Bz )
�� �� ��
�ey (Ay − By ) + ez (Az − Bz )
§1 .1 矢量及其代数运算
2 矢量的乘积
3 方向导数
设一个标量函数场u(x, y, z)在P点可微,则u在P点沿
任意� 方向的方向导数为 ∂u / ∂l 。它的值与所选取的方
向 l 有关, 若
� l
=
x�
cosα
+
y�
cos
β
+
z�
cos
γ
则
∂u = ∂u cosα + ∂u cos β + ∂u cosγ
∂l ∂x
∂y
∂z
(cosα,cosβ ,cosγ ) 为l 的方向余弦。
ax O
X
Y ay y
x
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。 任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分 量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别 是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ex、ey、ez可以将矢 量A表示成：
A=exAx+eyAy+ezAz
§1 .2 标量场的梯度
4 梯度
在场的某一点上，场沿不同方向上变化率的大小 （方向导数）是不同的，必然存在一个变化最大的 方向。定义：场变化最大的方向为标量场梯度的方 向，其数值为标量场的梯度值。
| gradu
=
� n
∂u ∂l
max
=
� ex
∂u ∂x
� + ey
∂u ∂y
� + ez
∂u ∂z
u(x, y,z) = C
导体等电位面
§1 .2 标量场的梯度
3 方向导数
在实际应用中不仅需要 宏观上了解场在空间的 数值，还需要知道场在 不同方向上场变化的情 况。应用方向性导数可 以描述标量场在空间某 个方向上变化的情况。
M（r＋ΔL） M（r）
�
方向导数表示场沿 ∆l 方向 的空间变化率。
§1 .2 标量场的梯度
§1 .2 标量场的梯度
5 梯度的性质
1）标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的 方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值 表示变化最大方向上场的空间变化率。 2）标量场在某个方向上的方向导数，是梯度 在该方向上的投影。 3）标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联 系，这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数 来研究，或者说标量场可以通过矢量场的来研究。
可以表示成
�� A = Ae
其中，
A是矢量
� A的大小;
e� 代表矢量
� A的方向。
�� e = A / A 大小等于1。
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢 （Zero Vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量 （Unit Vector）。 在直角坐标系中，用单位矢量ex、ey、ez表征矢量分 别沿x、y、z轴分量的方向。
§1 .1 矢量及其代数运算
矢量积又称为叉积(Cross Product)，如果两个不为零 的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平 行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。 矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即
A×B= -B×A
A×(B+C)=A×B+A×C
§1 .1 矢量及其代数运算
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
空 间 的 一 点 P(X,Y,Z) 能 够 由 它在三个相互垂直的轴线上 的投影唯一地确定。从原点 指向点P的矢量r称为位置矢 量 (Position Vector) ， 它 在直角坐标系中表示为
r=exX+eyY+ezZ
z
Z
P(X, Y, Z) r az
直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ex×ey=ez, ey×ez=ex, ez×ex=ey ex×ex=ey×ey=ez×ez= 0
在直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为 ex ey ez
A×B = Ax Ay Az Bx By Bz
=ex(AyBz-AzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez(AxBy-AyBx)
§1 .2 标量场的梯度
1 场的概念
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 静态标量场和矢量场可分别表示为：
u(x, y, z) F(x,y,z)
时变标量场和矢量场可分别表示为：
u(x,y,z，t) F(x, y,z,t)
§1 .2 标量场的梯度
2 标量场的等值面
为了直观表示场在空 间的变化，经常使用 场的等值面来直观。 所谓等值面是标量场 为同一数值各点在空 间形成的曲面。
矢量A的大小为A：A=(A2x+A2y+A2z)1/2
§1 .1 矢量及其代数运算
2 矢量代数运算
矢量相加的平行四边形法则，矢量的加法的坐标分 量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍
是矢量
�� ��� ��� ���
A
��
=
�e��x A x
+ �e��y A y
+�e��z A z
B = exBx + eyBy + ezBz
第一章 矢量分析
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量
（Scalar）和矢量(Vector)。一个仅用大小就能够完整描述的物
理量称为标量，例如电压、温度、时间、质量、电荷等。实际
上，所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢
量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。例如，矢量A