上海市浦东高三数学试题及答案(文科)2012.01

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2012年上海市高考数学试卷(文科)教师版

2012年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．（4分）（2012•上海）计算：=1﹣2i（i为虚数单位）．【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案【解答】解：故答案为1﹣2i2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x﹣1＞0}，B={x||x|＜1}，则A∩B=（，1）．【分析】由题意，可先化简两个集合A，B，再求两个集合的交集得到答案【解答】解：由题意A={x|2x﹣1＞0}={x|x＞}，B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B=（，1）故答案为（，1）3．（4分）（2012•上海）函数的最小正周期是π．【分析】先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简，最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可．【解答】解：=sinxcosx+2=sin2x+2∴T==π∴函数的最小正周期是π故答案为：π4．（4分）（2012•上海）若，是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）【分析】根据直线的方向向量的坐标一般为（1，k）可得直线的斜率，根据tanα=k，最后利用反三角可求出倾斜角．【解答】解：∵，是直线l的一个方向向量∴直线l的斜率为即tanα=则l的倾斜角的大小为arctan故答案为：arctan5．（4分）（2012•上海）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6π．【分析】求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．【解答】解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为：1，所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．故答案为：6π．6．（4分）（2012•上海）方程4x﹣2x+1﹣3=0的解是x=log23．【分析】根据指数幂的运算性质可将方程4x﹣2x+1﹣3=0变形为（2x）2﹣2×2x﹣3=0然后将2x看做整体解关于2x的一元二次方程即可．【解答】解：∵4x﹣2x+1﹣3=0∴（2x）2﹣2×2x﹣3=0∴（2x﹣3）（2x+1）=0∵2x＞0∴2x﹣3=0∴x=log23故答案为x=log237．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．【分析】由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求【解答】解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列则（V1+V2+…+v n）==故答案为：8．（4分）（2012•上海）在的二项式展开式中，常数项等于﹣20．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．=x6﹣r（﹣）r=（﹣1）r x6﹣2r【解答】解：展开式的通项为T r+1令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣1）3=﹣20故答案为：﹣209．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）=3．【分析】由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2得到g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4，从而解出答案【解答】解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4又g（1）=1∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3故答案为：310．（4分）（2012•上海）满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是﹣2．【分析】作出约束条件对应的平面区域，由z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y 轴上的截距，解决越小，z越小，结合图形可求【解答】解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示由于z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，截距越小，z越小结合图形可知，当直线y=x+z过C时z最小，由可得C（2，0），此时Z=﹣2最小故答案为：﹣211．（4分）（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）【分析】先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．【解答】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择相同的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2种选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：12．（4分）（2012•上海）在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是[1，4] ．【分析】先以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系，表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得到自变量的取值范围，做出函数的范围，即要求得数量积的范围．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立坐标系如图，∵AB=2，AD=1，∴A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），设M（2，b），N（x，1），∵，∴b=∴，，=（2，），∴=，，∴1，即1≤≤4故答案为：[1，4]13．（4分）（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、，、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．【分析】先利用一次函数的解析式的求法，求得分段函数f（x）的函数解析式，进而求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的函数解析式，最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可【解答】解：依题意，当0≤x≤时，f（x）=2x，当＜x≤1时，f（x）=﹣2x+2，∴f（x）=，，∴y=xf（x）=，y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S=+=x3+（﹣+x2）=+=故答案为：14．（4分）（2012•上海）已知，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），若a2010=a2012，则a20+a11的值是．【分析】根据，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），可确定a1=1，，，a7=，，，利用a2010=a2012，可得a2010=（负值舍去），依次往前推得到a20=，由此可得结论．【解答】解：∵，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），∴a1=1，，，a7=，，∵a2010=a2012，∴∴a2010=（负值舍去），由a2010=得a2008=…依次往前推得到a20=∴a20+a11=故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．（5分）（2012•上海）若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=2，c=﹣1C．b=﹣2，c=﹣1D．b=﹣2，c=3【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0，即∴，解得b=﹣2，c=3故选：D．16．（5分）（2012•上海）对于实数m，n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1对应的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选：B．17．（5分）（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【分析】由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=＜∴＜＜∴△ABC是钝角三角形故选：C．18．（5分）（2012•上海）若S n=sin+sin+…+sin（n∈N*），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．100【分析】由于sin＞0，sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0，可得到S1＞0，…S13=0，而S14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．【解答】解：∵sin＞0，sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0，∴S1=sin＞0，S2=sin+sin＞0，…，S8=sin+sin+…sin+sin+sin=sin+…+sin+sin＞0，…，S12＞0，而S13=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin+…+sin=0，S14=S13+sin=0+0=0，又S15=S14+sin=0+sin=S1＞0，S16=S2＞0，…S27=S13=0，S28=S14=0，=0，S14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，∴S14n﹣1∴在S1，S2，…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．故在S1，S2，…，S100中，正数的个数是86．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．（12分）（2012•上海）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC 的中点，已知∠BAC=，AB=2，，PA=2，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）=，【分析】（1）首先根据三角形面积公式，算出直角三角形ABC的面积：S△ABC 然后根据PA⊥底面ABC，结合锥体体积公式，得到三棱锥P﹣ABC的体积；（2）取BP中点E，连接AE、DE，在△PBC中，根据中位线定理得到DE∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．然后在△ADE中，利用余弦定理得到cos∠ADE=，所以∠ADE=arccos是锐角，因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．【解答】解：（1）∵∠BAC=，AB=2，，∴S△ABC=×2×=又∵PA⊥底面ABC，PA=2∴三棱锥P﹣ABC的体积为：V=×S△ABC×PA=；（2）取BP中点E，连接AE、DE，∵△PBC中，D、E分别为PC、PB中点∴DE∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．∵在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2∴cos∠ADE==，可得∠ADE=arccos（锐角）因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．20．（14分）（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．【分析】（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．【解答】解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数有意义，则由＞＞解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴＜＜．由＜＜＜＜，得：＜＜．（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．21．（14分）（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【分析】（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P 的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．【解答】解：（1）t=0.5时，P的横坐标x P=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为，当且仅当t=1时等成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2﹣y2=1．（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k（＜）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．（1）求出双曲线的左焦点F的坐标，设M（x，y），利用|MF|2=（x+）2+y2，求【分析】出x的范围，推出M的坐标．（2）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出平行四边形的面积．（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=k2+1，通过求解=0．证明PO⊥OQ．【解答】解：（1）双曲线C1：的左焦点F（﹣，），设M（x，y），则|MF|2=（x+）2+y2，由M点是右支上的一点，可知x≥，所以|MF|==2，得x=，所以M（，）．（2）左焦点F（﹣，），渐近线方程为：y=±x．过F与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所以，解得．所以所求平行四边形的面积为S=．（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=k2+1…①，由，得（2﹣k2）x2﹣2bkx﹣b2﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，又y1y2=（kx1+b）（kx2+b）．所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2==．由①式可知，故PO⊥OQ．23．（18分）（2012•上海）对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k=max{a1，a2，…，a k}（k=1，2，…，m），即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b n}是{a n}的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．（1）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{a n}．（2）设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k+b m﹣k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m），求证：b k=a k（k=1，2，…，m）．（3）设m=100，常数a∈（，1），a n=a n2﹣n，{b n}是{a n}的控制数列，求（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）．【分析】（1）根据题意，可得数列{a n}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；（2）依题意可得b k+1≥b k，又a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，从而可得a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，整理即证得结论；（3）根据，可发现，a4k﹣3=a（4k﹣3）2+（4k﹣3），a4k﹣2=a（4k﹣2）2+（4k﹣2），a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k）2﹣4k，通过比较大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，a4k＞a4k﹣2，而a4k+1＞a4k，a4k﹣1﹣a4k﹣2=（a﹣1）（8k﹣3），从而可求得（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）=（a2﹣a3）+（a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1）=2525（1﹣a）．【解答】解：（1）数列{a n}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；…4分（2）∵b k=max{a1，a2，…，a k}，b k+1=max{a1，a2，…，a k+1}，∴b k+1≥b k…6分∵a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，∴a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，即a k+1≥a k，…8分∴b k=a k…10分（3）对k=1，2，…25，a4k﹣3=a（4k﹣3）2+（4k﹣3），a4k﹣2=a（4k﹣2）2+（4k﹣2），a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k）2﹣4k，…12分比较大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，∵＜a＜1，∴a4k﹣1﹣a4k﹣2=（a﹣1）（8k﹣3）＜0，即a4k﹣2＞a4k﹣1；a4k﹣a4k﹣2=2（2a﹣1）（4k﹣1）＞0，即a4k＞a4k﹣2，又a4k+1＞a4k，从而b4k﹣3=a4k﹣3，b4k﹣2=a4k﹣2，b4k﹣1=a4k﹣2，b4k=a4k，…15分∴（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）=（a2﹣a3）+（a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1）=（1﹣a）（8k﹣3）=2525（1﹣a）…18分。

2012年上海高考文科数学试卷真题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）【整理】佛山市三水区华侨中学骆方祥（lbylfx @ ）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：i i 13=（i 为虚数单位）.【答案】 1-2i【解析】ii 13=(3)(1)(1)(1)i i i i =1-2i【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。

2．若集合}012|{x x A，}1|{x x B ，则B A= .【答案】1|12x x 【解析】由集合A 可得：x>12，由集合B 可得：-1<x<1，所以，B A =1|12x x 【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。

3．函数xx x f cos 12sin )(的最小正周期是 .【答案】【解析】根据韪得：1()sin cos 2sin 222f x x x x 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则21arctan,21tan.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5.一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为.【答案】6【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1r ，所以该圆柱的表面积为：624222rrl S 圆柱表.【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题.6.方程14230xx 的解是.【答案】3log 2【解析】根据方程03241x x，化简得0322)2(2xx ，令20xt t，则原方程可化为0322tt，解得3t或舍1t，即3log ,322xx.所以原方程的解为3log 2.【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n nV V V .【答案】78【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21n nV V V .【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.8.在61xx的二项式展开式中，常数项等于.【答案】20【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C ()20T x x.【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.9.已知()y f x 是奇函数，若()()2g x f x 且(1)1g ，则(1)g .【答案】3【解析】因为函数)(x f y 为奇函数，所以有)()(x f x f ，即,1)1(,1)1(,2)1()1(f g f g 所以，又3212)1()1(,1)1()1(f g f f .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y为奇函数，所以有)()(x f x f 这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件22x y 的目标函数z y x 的最小值是.【答案】2【解析】根据题意得到0,0,22;xy xy或0,0,22;x yx y或0,0,22;x y xy或0,0,2 2.x y x y其可行域为平行四边形ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成z xy，z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2m i n z .105510642246y=x+z BDAC【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2minz ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】32【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32.【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD，则AM AN 的取值范围是【答案】4,1【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2AD AB ，所以(0,0),(2,0),(2,1)(0,1).A B C D 设)20(),1,(),,2(xx N b M ，根据题意，22xb ，所以2(,1),(2,).2xANx AM 所以123x ANAM20x ，所以41231x ，即41ANAM.105510642246C ADBM N【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数()y f x 的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()yxf x （01x）的图像与x 轴围成的图形的面积为.【答案】41【解析】根据题意，得到12,02()122,12x x f x xx，从而得到121,22210,2)(22x x xx x x xf y 所以围成的面积为41)22(2121221dxx xxdxS，所以围成的图形的面积为41.【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14.已知1()1f x x，各项均为正数的数列n a 满足11a ，2()n n a f a ，若2010201a a，则2011a a 的值是.【答案】265133【解析】据题xx f 11)(，并且)(2n na f a ，得到nna a 112，11a ，213a ，20122010a a ，得到2010201011a a ，解得2152010a （负值舍去）.依次往前推得到2651331120a a .【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件)(2n na f a 是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若12i 是关于x 的实系数方程20xbx c 的一个复数根，则（）A ．2,3bcB.2,1b cC.2,1b cD.2,3bc 【答案】D【解析】根据实系数方程的根的特点知12i 也是该方程的另一个根，所以b i i 22121，即2b ，c i i 3)21)(21(，故答案选择 D.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数m 、n ，“0mn ”是“方程221mxny的曲线是椭圆”的（）A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程122nymx的曲线表示椭圆，常数常数n m,的取值为0,0,,mn mn 所以，由0mn得不到程122nymx的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn ，因而必要.所以答案选择 B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m,的取值情况.属于中档题.17.在△ABC 中，若222sin sin sin A BC ，则△ABC 的形状是（）A ．钝角三角形B 、.直角三角形 C.锐角三角形D.不能确定【答案】A【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A Ra 代入得到222abc ，由余弦定理的推理得222cos 02abcCab，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择 A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.18.若2sinsin (i)777n n S （n N ），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（）A ．16 B.72C.86D.100【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点.已知∠BAC =2，AB=2，AC=23，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）[解]（1）3232221ABCS ，2分三棱锥P-ABC 的体积为3343131232PAS VABC. 6分（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线BC 与AD 所成的角.8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2，4322222222cos ADE，所以∠ADE =43arccos .因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos .12分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数)1lg()(x x f . （1）若1)()21(0x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(x f x g ，求函数)(x g y ])2,1[(x 的反函数.（8分）[解]（1）由1022x x ，得11x .PABCDPABCDE由1lg )1lg()22lg(0122x xx x 得101122x x . ……3分因为01x ，所以1010221x xx ，3132x.由313211x x 得3132x.……6分（2）当x [1,2]时，2-x [0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y .……10分由单调性可得]2lg ,0[y .因为yx103，所以所求反函数是xy 103，]2lg ,0[x . ……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0t时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）[解]（1）5.0t时，P 的横坐标x P =277t，代入抛物线方程24912xy 中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP|=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.……4分由tan ∠OAP =30712327，得∠OAP=arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度.……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t .由222)1212()7(tt vt ，整理得337)(1442122ttv.……10分因为2212tt，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144v ，即25v . 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22yxC .xOyPA（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF|=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122yx相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分）[解]（1）双曲线1:2212yC x ，左焦点)0,(26F .设),(y x M ，则22222262)3()(||xy x MF ，……2分由M 是右支上一点，知22x，所以223||22xMF ，得26x.所以)2,(26M . ……5分（2）左顶点)0,(22A ，渐近线方程：x y 2. 过A 与渐近线x y2平行的直线方程为：)(222xy，即12x y.解方程组122x yx y ，得2142yx .……8分所求平行四边形的面积为42||||y OA S .……10分（3）设直线PQ 的方程是b kx y.因直线与已知圆相切，故11||2kb ，即122kb (*).由1222yxb kx y ，得012)2(222bkbx xk .设P(x 1, y 1)、Q(x 2, y 2)，则22221212221kbkkb x x x x .))((2121b kx b kx y y ，所以2212122121)()1(bx x kb x x k y y x x OQOP 22222222221222)1)(1(kkbkb k kb k .由(*)知0OQ OP ，所以OP ⊥OQ.……16分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题．23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m a x {21k ka a ab （k=1,2,…,m ），即kb 为k a a a ,,,21中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k mk 1（C 为常数，k=1,2,…,m ）.求证：k ka b （k=1,2,…,m ）；（6分）（3）设m=100，常数)1,(21a.若n ana n n n2)1()1(2，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b .[解]（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.……4分（2）因为},,,max{21k k a a a b ，},,,,max{1211k k ka a a ab ，所以k k b b 1. ……6分因为C b a k mk 1，C b a kmk 1，所以011kmk mk kb b a a ，即k ka a 1.……8分因此，k k a b .……10分（3）对25,,2,1k ，)34()34(234k ka a k；)24()24(224kk a a k；)14()14(214kk a a k；)4()4(24k k a a k .比较大小，可得3424k k a a .……12分因为121a ，所以0)38)(1(2414k a a a kk，即1424k ka a ；0)14)(12(2244ka a a kk，即244k ka a .又k k a a 414，从而3434k k a b ，2424kk a b ，2414kka b ，k k a b 44. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b =)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k=2511424)(k k ka a =251)38()1(k ka =)1(2525a .……18分【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。

2012年高考文科数学上海卷有答案

数学试卷第1页（共16页）数学试卷第2页（共16页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)考生注意：1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.计算：3i1i－＋= （i 为虚数单位）. 2.若集合{|21A x x =-＞0},{|||B x x =＜1},则A B = .3.函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是 .4.若=(2,1)d 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为 .6.方程14230xx +--=的解是 .7.有一列正方体,棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列,体积分别记为12,,,,n V V V 则12lim()n x V V V →∞+++= .8.在61()x x-的二项展开式中,常数项等于 .9.已知()y f x =是奇函数.若()()2g x f x =+且(1)1g =,则(1)g -= . 10.满足约束条件||2||2x y ＋≤的目标函数z y x =-的最小值是 .11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）.12.在矩形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =,则AM AN 的取值范围是 . 13.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ,其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C .函数()(01)y xf x x =≤≤的图象与x 轴围成的图形的面积为 . 14.已知1()1f x x=+.各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,2()n n a f a +=.若20102012a a =,则2021a a +的值是 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,则（）A .2,3b c ==B .2,1b c ==-C .2,1b c =-=-D .2,3b c =-=16.对于常数m 、n ,“0mn ＞”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件17.在ABC △中,若222sin +sin sin A B C ＜,则ABC △的形状是（）A .钝角三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .不能确定18.若*π2ππ=sin sin sin()777n n S n +++∈N ,则在12100,,,S S S 中,正数的个数是（）A .16B .72C .86D .100--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第3页（共16页）数学试卷第4页（共16页）三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,D 是PC 的中点.已知π2BAC ∠=,2AB =,AC =2PA =.求：（Ⅰ）三棱锥P ABC -的体积；（Ⅱ）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知()lg(1)f x x =+.（Ⅰ）若(12)()1f x f x --0＜＜,求x 的取值范围；（Ⅱ）若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,有()()g x f x =,求函数()([1,2])y g x x =∈的反函数.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）,则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t .（Ⅰ）当0.5t =时,写出失事船所在位置P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向；（Ⅱ）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22:2=1C x y －.（Ⅰ）设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点.若||MF =求过M 点的坐标；（Ⅱ）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（Ⅲ）设斜率为(||k k 的直线l 交C 于P 、Q 两点.若l 与圆221x y +=相切,求证：OP OQ ⊥.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于项数为m 的有穷数列数集{}n a ,记12max{,,,}(1,2,,)k k b a a a k m ==,即k b 为12,,,k a a a 中的最大值,并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{}n a ；（Ⅱ）设{}n b 是{}n a 的控制数列,满足1k m k a b C -++=（C 为常数,(1,2,,)k m =）.求证：k k a b =(1,2,,)k m =；（Ⅲ）设m =100,常数1(,1)2a ∈.若(122(1)n n n a an n +=--）,{}n b 是{}n a 的控制数列,求1122100100()()()b a b a b a -+-++-.数学试卷第5页（共16页）数学试卷第6页（共16页）A B =1,12⎛ ⎝【提示】由题意，可先化简两个集合【考点】交集及其运算。

上海高考数学真题(文科)试卷(word解析版)

绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A = .3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 .4．若)1,2(=n 是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该诉表面积为 . 6．方程03241=--+x x的解是 .7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .8．在6)1(xx -的二项展开式中，常数项等于 . 9．已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .，则=-)1(g .10．满足约束条件2||2||≤+y x 的目标函数x y z -=的最小值是 .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.12．在知形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是 . 13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,1)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .14．已知x x f +=11)(.各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，)(2n n a f a =+.若 20122010a a =，则1120a a +的值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i21+是关于x 的实系数方程2=++c bx x 的一个复数根，则（）（A ）3,2==c b. （B ）1,2-==c b .（C ）1,2-=-=c b .（D ）3,2=-=c b .16．对于常数m 、n ，“0>mn ”是“方程122=+ny mx 的曲线是椭圆”的（）（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件.（D ）既不充分也不必要条件.17．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（）（A ）钝角三角形. （B ）直角三角形（C ）锐角三角形.（D ）不能确定.18．若)(sin sin sin 7727*∈+++=N n S n n πππ ，则在10021,,,S S S 中，正数的个数是（）（A ）16.（B ）72.（C ）86.（D ）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23， P A=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）PA BCD20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7. （1）当5.0=t时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y xC .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|<k k的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分）23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m ax {21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）.求证：k ka b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .2012年上海高考数学（文科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= 1-2i （i 为虚数单位）. 2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A =)1,(21 . 3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 π .4．若)1,2(=n是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为21arctan （结果用反三角函数值表示）.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该诉表面积为 6π . 6．方程03241=--+x x的解是3log 2.7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 78 .8．在6)1(xx -的二项展开式中，常数项等于 -20 . 9．已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .，则=-)1(g3 .10．满足约束条件2||2||≤+y x 的目标函数x y z -=的最小值是 -2 .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是32（结果用最简分数表示）.12．在知形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是 [1, 4] . 13．已知函数)(x f y =的图像是折5线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,1)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为41 .14．已知x x f +=11)(.各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，)(2n n a f a =+.若 20122010a a =，则1120a a +的值是263513+.二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i21+是关于x 的实系数方程2=++c bx x 的一个复数根，则（ D ）（A ）3,2==cb . （B ）1,2-==c b .（C ）1,2-=-=c b .（D ）3,2=-=c b .16．对于常数m 、n ，“0>mn ”是“方程122=+ny mx 的曲线是椭圆”的（ B ）（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件.（D ）既不充分也不必要条件.17．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ A ）（A ）钝角三角形.（B ）直角三角形.（C ）锐角三角形.（D ）不能确定. 18．若)(sin sin sin 7727*∈+++=N n S n n πππ ，则在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ C ）（A ）16. （B ）72.（C ）86.（D ）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23， P A=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分） [解]（1）3232221=⨯⨯=∆ABCS ， 2分三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC . 6分（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角. 8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2， 4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，所以∠ADE =43arccos.PA BCDPA BCDE因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos . 12分20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . (6)分（2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==.……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x103-=，所以所求反函数是x y 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7. （1）当5.0=t时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） [解]（1）5.0=t时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t .由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v.……10分因为2212≥+t t，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y xC .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|<k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分） [解]（1）双曲线1:2212=-y C x ，左焦点)0,(26-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ， ……2分由M 是右支上一点，知22≥x ，所以223||22=+=x MF ，得26=x .所以)2,(26±M . ……5分（2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . (8)分所求平行四边形的面积为42||||==y OA S. (10)分（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b(*). 由⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221k b k kbx x x x .))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x OQ OP ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(k k b k b k k b k --+-----+=+.由(*)知0=⋅OQ OP ，所以OP ⊥OQ . ……16分23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m ax {21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）.求证：k ka b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .[解]（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分（2）因为},,,m ax {21k ka a ab =，},,,,m ax {1211++=k k k a a a a b ，所以k k b b ≥+1. ……6分因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1. (8)分因此，k k a b =. ……10分（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ；)14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=.比较大小，可得3424-->k k a a . ……12分因为121<<a ，所以)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ；)14)(12(2244>--=--k a a a k k，即244->k k a a .又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+---=)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+---=∑=---2511424)(k k k a a=∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -. ……18分2012上海高考数学试题（文科）答案与解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 【答案】 1-2i【解析】i i +-13=(3)(1)(1)(1)i i i i --+-=1-2i 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。

2012上海高考数学试题(文科)答案与解析

2012上海高考数学试题（文科）答案与解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A = .3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 .4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 .6.方程14230xx +--=的解是 .7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= .8.在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 .9.已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= . 10.满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 .【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是13.已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为 .14.（2012上海高考）已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（）A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-= 17.在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（） A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 18.若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（）A ．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23，PA BCDPA=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分） [解]（1）3232221=⨯⨯=∆ABC S ， 2分三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC . 6分（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角. 8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2，4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，所以∠ADE =43arccos .因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos . 12分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）PA BCDE[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分（2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是x y 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题． 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y x C .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|<k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分） [解]（1）双曲线1:2212=-y C x ，左焦点)0,(26-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ， ……2分由M 是右支上一点，知22≥x ，所以223||22=+=x MF ，得26=x .所以)2,(26±M . ……5分（2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……8分所求平行四边形的面积为42||||==y OA S . ……10分（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b (*). 由⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221k b k kbx x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(k k b k b k k b k --+-----+=+.由(*)知0=⋅OQ OP ，所以OP ⊥OQ . ……16分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题．23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m a x {21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .[解]（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分（2）因为},,,m ax {21k k a a a b =，},,,,m ax {1211++=k k k a a a a b ，所以k k b b ≥+1. ……6分因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1. ……8分因此，k k a b =. ……10分（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ；)14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=.比较大小，可得3424-->k k a a . ……12分因为121<<a ，所以0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a . 又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+--- =∑=---2511424)(k k k a a=∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -. ……18分【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。

2012年上海高考文科数学试卷

2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 【答案】 1-2i 【解析】i i +-13=(3)(1)(1)(1)i i i i --+-=1-2i 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。

2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A = . 【答案】 1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】由集合A 可得：x>12，由集合B 可得：-1<x<1，所以，B A =1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。

3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 .【答案】π【解析】根据韪得：1()sin cos 2sin 222f x x x x =+=+ 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】设直线的倾斜角为α，则21arctan ,21tan ==αα. 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 . 【答案】π6【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的表面积为：πππππ624222=+=+=r rl S 圆柱表.【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题. 6.方程14230xx +--=的解是 .【答案】3log 2 【解析】根据方程03241=--+x x，化简得0322)2(2=-⋅-x x ，令()20x t t =>，则原方程可化为0322=--t t ，解得 3=t 或()舍1-=t ，即3log ,322==x x.所以原方程的解为3log 2 .【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= .【答案】78 【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V . 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.8.在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 .【答案】20-【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C ()20T x x=-=- . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.9.已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= . 【答案】3【解析】因为函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-，即,1)1(,1)1(,2)1()1(-==+=f g f g 所以，又3212)1()1(,1)1()1(=+=+-=-=-=-f g f f .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 . 【答案】2-【解析】根据题意得到0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩或0,0,22;x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩或0,0,2 2.x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥-⎩其可行域为平行四边形ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成z x y +=，z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z .【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）. 【答案】32 【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32 . 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是【答案】[]4,1【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，所以(0,0),(2,0),(2,1)(0,1).A B C D 设)20(),1,(),,2(≤≤x x N b M ，根据题意，22x b -=，所以2(,1),(2,).2xAN x AM →→-==所以123+=•→→x AN AM ()20≤≤x ，所以41231≤+≤x ，即→→≤•≤41AN AM .【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为 .【答案】41 【解析】根据题意，得到12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩，从而得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤≤==121,22210,2)(22x x x x x x xf y 所以围成的面积为41)22(2121221=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为41 .【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14.已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 .【答案】265133+ 【解析】据题x x f +=11)(，并且)(2n n a f a =+，得到n n a a +=+112，11=a ，213=a ，20122010a a =，得到2010201011a a =+，解得2152010-=a （负值舍去）.依次往前推得到 2651331120+=+a a . 【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件)(2n n a f a =+是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（）A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-= 【答案】 D【解析】根据实系数方程的根的特点知1也是该方程的另一个根，所以b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择D.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩所以，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn >，因而必要.所以答案选择B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m ,的取值情况.属于中档题.17.在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（） A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定【答案】 A【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A R a ===代入得到222a b c +<，由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 18.若2sin sin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（）A ．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23，P A=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分） [解]（1）3232221=⨯⨯=∆ABC S ， 2分三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC . 6分（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角. 8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2， 4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，所以∠ADE =43arccos . 因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos . 12分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，PA BCDPA BCDE要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分（2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是x y 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题． 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y x C .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|<k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分） [解]（1）双曲线1:2212=-y C x ，左焦点)0,(26-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ， ……2分由M 是右支上一点，知22≥x ，所以223||22=+=x MF ，得26=x .所以)2,(26±M . ……5分（2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……8分（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b (*). 由⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221k b k kbx x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(k k b k b k k b k --+-----+=+.由(*)知0=⋅，所以OP ⊥OQ . ……16分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题．23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m ax {21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .[解]（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分（2）因为},,,m ax {21k k a a a b =，},,,,m ax {1211++=k k k a a a a b ，所以k k b b ≥+1. ……6分因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1. ……8分因此，k k a b =. ……10分（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ；)14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=.比较大小，可得3424-->k k a a . ……12分因为121<<a ，所以0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a . 又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+--- =∑=---2511424)(k k k a a=∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -. ……18分【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．兰亭序永和九年，岁在癸丑，暮春之初，会于会稽山阴之兰亭，修禊事也。

2012年高考文科数学上海卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共22页）数学试卷第2页（共22页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)考生注意：1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.计算：3i1i－＋= （i 为虚数单位）. 2.若集合{|21A x x =-＞0},{|||B x x =＜1},则A B = .3.函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是 .4.若=(2,1)d 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为 .6.方程14230xx +--=的解是 .7.有一列正方体,棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列,体积分别记为12,,,,n V V V 则12lim()n x V V V →∞+++= .8.在61()x x-的二项展开式中,常数项等于 .9.已知()y f x =是奇函数.若()()2g x f x =+且(1)1g =,则(1)g -= . 10.满足约束条件||2||2x y ＋≤的目标函数z y x =-的最小值是 .11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）.12.在矩形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =,则AM AN 的取值范围是 . 13.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ,其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C .函数()(01)y xf x x =≤≤的图象与x 轴围成的图形的面积为 . 14.已知1()1f x x=+.各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,2()n n a f a +=.若20102012a a =,则2021a a +的值是 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,则（）A .2,3b c ==B .2,1b c ==-C .2,1b c =-=-D .2,3b c =-=16.对于常数m 、n ,“0mn ＞”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件17.在ABC △中,若222sin +sin sin A B C ＜,则ABC △的形状是（）A .钝角三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .不能确定18.若*π2ππ=sin sin sin()777n n S n +++∈N ,则在12100,,,S S S 中,正数的个数是（）A .16B .72C .86D .100--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第3页（共22页）数学试卷第4页（共22页）三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,D 是PC 的中点.已知π2BAC ∠=,2AB =,AC =2PA =.求：（Ⅰ）三棱锥P ABC -的体积；（Ⅱ）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知()lg(1)f x x =+.（Ⅰ）若(12)()1f x f x --0＜＜,求x 的取值范围；（Ⅱ）若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,有()()g x f x =,求函数()([1,2])y g x x =∈的反函数.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）,则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t .（Ⅰ）当0.5t =时,写出失事船所在位置P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向；（Ⅱ）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22:2=1C x y －.（Ⅰ）设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点.若||MF =求过M 点的坐标；（Ⅱ）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（Ⅲ）设斜率为(||k k 的直线l 交C 于P 、Q 两点.若l 与圆221x y +=相切,求证：OP OQ ⊥.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于项数为m 的有穷数列数集{}n a ,记12max{,,,}(1,2,,)k k b a a a k m ==,即k b 为12,,,k a a a 中的最大值,并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{}n a ；（Ⅱ）设{}n b 是{}n a 的控制数列,满足1k m k a b C -++=（C 为常数,(1,2,,)k m =）.求证：k k a b =(1,2,,)k m =；（Ⅲ）设m =100,常数1(,1)2a ∈.若(122(1)n n n a an n +=--）,{}n b 是{}n a 的控制数列,求1122100100()()()b a b a b a -+-++-.- 3 - / 11A B =1,12⎛ ⎝【提示】由题意，可先化简两个集合【考点】交集及其运算。

2012年上海高考数学(文科)试卷(Word版有答案)

2012年上海高考数学（文科）试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A = .3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 .4．若)1,2(=n 是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该诉表面积为 . 6．方程03241=--+x x的解是 .7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为 V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .8．在6)1(xx -的二项展开式中，常数项等于 .9．已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .，则=-)1(g . 10．满足约束条件2||2||≤+y x 的目标函数x y z -=的最小值是 . 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.12．在知形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上||||CD BC =，则AN AM ⋅的取值范围是 . 13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,1)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 . 14．已知xx f +=11)(.各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，)(2n n a f a =+.若20122010a a =，则1120a a +的值是 . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（）16．对于常数m 、n ，“0>mn ”是“方程122=+ny mx 的曲线是椭圆”的（）（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件.（D ）既不充分也不必要条件.17．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（）（A ）钝角三角形. （B ）直角三角形. （C ）锐角三角形. （D ）不能确定.18．若)(sin sin sin 7727*∈+++=N n S n n πππ ，则在10021,,,S S S 中，正数的个数是（）（A ）16. （B ）72. （C ）86. （D ）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23，P A=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8 PAB CD22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y x C .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|<k k 的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分）23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m ax {21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .2012年上海高考数学（文科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：ii+-13= 1-2i （i 为虚数单位）.2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A =)1,(21 . 3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 π .4．若)1,2(=n 是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为21arctan （结果用反三角函数值表示）.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该诉表面积为 6π . 6．方程03241=--+x x的解是3log 2.7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为 V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 78 .8．在6)1(xx -的二项展开式中，常数项等于 -20 .9．已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .，则=-)1(g 3 . 10．满足约束条件2||2||≤+y x 的目标函数x y z -=的最小值是 -2 .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是32（结果用最简分数表示）.12．在知形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上||||CD BC =，则AN AM ⋅的取值范围是 [1, 4] . 13．已知函数)(x f y =的图像是折5线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,1)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为41 . 14．已知xx f +=11)(.各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，)(2n n a f a =+.若20122010a a =，则1120a a +的值是263513+.二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ D ）16．对于常数m 、n ，“0>mn ”是“方程122=+ny mx 的曲线是椭圆”的（ B ）（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件.（D ）既不充分也不必要条件.17．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ A ）（A ）钝角三角形. （B ）直角三角形. （C ）锐角三角形. （D ）不能确定.18．若)(sin sin sin 7727*∈+++=N n S n n πππ ，则在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ C ）（A ）16. （B ）72. （C ）86. （D ）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23，P A=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分） [解]（1）3232221=⨯⨯=∆ABC S ， 2分三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC . 6分（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角. 8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2，4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，所以∠ADE =43arccos .因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos . 12分20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .PAB CDPA BCDE因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分（2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程4912y =中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y x C .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|<k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分） [解]（1）双曲线1:2212=-y C x ，左焦点)0,(26-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ， ……2分所以)2,(26±M . ……5分（2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……8分所求平行四边形的面积为42||||==y OA S . ……10分（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b (*). 由⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221k b k kbx x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(k k b k b k k b k --+-----+=+.由(*)知0=⋅，所以OP ⊥OQ . ……16分23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m ax {21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .[解]（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分（2）因为},,,m ax {21k k a a a b =，},,,,m ax {1211++=k k k a a a a b ，因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1. ……8分因此，k k a b =. ……10分（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ； )14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=.比较大小，可得3424-->k k a a . ……12分因为121<<a ，所以0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a . 又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+--- =∑=---2511424)(k k k a a=∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -. ……18分。

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(文史类)

O
x
A
数学（文）2012
第3页（共4页）
22. （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 6 分. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C : 2 x 2 y2 1 . (1) 设 F 是 C 的左焦点，M 是 C 右支上一点. 若 MF 2 2 ，求点 M 的坐标； (2) 过 C 的左顶点作 C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；PF 制作 (3) 设斜率为 k（ k 2 ）的直线 l 交 C 于 P、Q 两点. 若 l 与圆 x 2 y2 1 相切，求证：
12 2 x ；②定位后救援船即刻沿直线匀速 49
y
P
前往救援； ③救援船出发 t 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t . PF 制作 (1) 当 t 0.5 时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向； (2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
三. （第 19 题至第 23 题）PF 制作 19. （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分. (1)
1 SΔABC 2 2 3 2 3 ， 2
· · · · · · · ·2 分
P E
三棱锥 P ABC 的体积为
1 1 4 · · · · · · ·6 分 V SΔABC PA 2 3 2 3. · 3 3 3
由 0 lg(2 2 x) lg( x 1) lg
2 2x 2 2x 1 得1 10 . x 1 x 1

上海高考数学文科试卷带详解

2012上海高考数学试题（文科）填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：3i1i-+= （i 为虚数单位）．【测量目标】复数的运算．【考查方式】给出算式，直接求出结果．【参考答案】12i - 【试题解析】3i (3i)(1i)1i (1i)(1i)---=++-=12i -． 2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则A B = ．【测量目标】集合的含义与基本运算．【考查方式】已知两个集合，根据集合的交集运算求出结果．【参考答案】 1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【试题解析】由集合A 可得：12x >，（步骤1）由集合B 可得：11x -<<，（步骤2）所以，AB =1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．（步骤3） 3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是．【测量目标】行列式的基本运算、三角函数的性质．【考查方式】根据行列式的运算，求函数的最小正周期．【参考答案】π【试题解析】依题意得：1()sin cos 2sin 222f x x x x =+=+，2ππ2T ==． 4．若()2,1d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）．【测量目标】平面向量的夹角问题．【考查方式】给出直线的方向向量根据直线的倾斜角与斜率的关系，求出倾斜角．【参考答案】1arctan2【试题解析】设直线的倾斜角为α，则21arctan ,21tan ==αα． 5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为．【测量目标】圆柱的表面积公式．【考查方式】给出圆柱的高和底面周长，根据圆柱的表面积公式求出表面积．【参考答案】6π【试题解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的表面积为：22π2π4π2π6πS rl r =+=+=圆柱表．6．方程14230xx +--=的解是．【测量目标】指数方程的求解．【考查方式】给出指数方程，利用换元法，求出方程的解．【参考答案】3log 2 【试题解析】根据方程03241=--+x x，化简得2(2)2230x x --=，令()20xt t =>，则原方程可化为0322=--t t ，解得 3=t 或1t =-（舍去），即3log ,322==x x ．（步骤2）所以原方程的解为3log 2．（步骤3）7．有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= ．【测量目标】等比数列的通项公式和前n 项的和、函数的极限．【考查方式】给出棱长为等比数列的正方体，根据等比数列通项公式求解无穷递缩等比数列的极限．【参考答案】78【试题解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V ．8．在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于．【测量目标】二项式定理．【考查方式】根据二项式定理，求其常数项．【参考答案】20-【试题解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C 20T x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． 9．已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= ．【测量目标】奇函数的性质．【考查方式】结合奇函数的特点，求出复数函数在某点的值．【参考答案】3【试题解析】因为函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-，即(1)(1)2g f =+，（步骤1）(1)1,(1)1g f ==-又所以，，（步骤2）3212)1()1(,1)1()1(=+=+-=-=-=-f g f f ．（步骤3）10．满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是．【测量目标】二元线性规划求最值．【考查方式】考查了线性规划问题，根据约束条件和函数得到不等式组表示画出可行域并探求最优解．【参考答案】2-【试题解析】根据题意得到0022x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤或0022x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤或0022x y x y ⎧⎪⎨⎪-+⎩≤≥≤或0022x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥，（步骤1）其可行域为平行四边形ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成z x y +=，（步骤2）z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z ．（步骤3）11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）．【测量目标】排列组合及其应用．【考查方式】考查了排列组合概率问题，根据古典概型求解．【参考答案】32【试题解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32． 12．在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN 的取值范围是．【测量目标】平面向量的概念、向量的运算．【考查方式】根据题目所给条件建立平面直角坐标系，再运用平面向量的数量积运算求取值范围．【参考答案】[]4,1【试题解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，所以(0,0),(2,0),(2,1)(0,1)A B C D ．（步骤1）设(2,),(,1),(02)M b N x x ≤≤，根据题意，22xb -=，所以2(,1),2,2x AN x AM -⎛⎫== ⎪⎝⎭．（步骤2）所以312AM AN x=+()02x≤≤，（步骤3）所以31142x +≤≤，即14AMAN≤≤．（步骤4）13．已知函数()y f x=的图像是折线段ABC，其中(0,0)A、1,12B⎛⎫⎪⎝⎭、(1,0)C，函数()y xf x=（01x≤≤）的图像与x轴围成的图形的面积为．【测量目标】函数的图象与性质、函数的解析式求解方法、定积分求解．【考查方式】根据所给函数的点和图象得到分段函数进而运用定积分求解图形面积．【参考答案】41【试题解析】根据题意，得到12,02()122,12x xf xx x⎧⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩≤≤≤，（步骤1）从而得到2212,02()122,12x xy xf xx x x⎧⎪⎪==⎨⎪-+<⎪⎩≤≤≤（步骤2）所以围成的面积为41)22(2121221=+-+=⎰⎰dxxxxdxS，所以围成的图形的面积为41．（步骤3）14．已知1()1f xx=+，各项均为正数的数列{}n a满足11a=，2()n na f a+=，若20102012a a=，则2011a a+的值是．【测量目标】数列的概念及其推导．【考查方式】给出函数、数列以及两者间的关系条件，根据条件及数列的性质求解．【参考答案】265133+ 【试题解析】据题xx f +=11)(，并且)(2n n a f a =+，得到n n a a +=+112，（步骤1）11=a ，213=a ，20122010a a =，得到2010201011a a =+，解得2152010-=a （负值舍去）．依次往前推得到2651331120+=+a a ．（步骤2）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（）A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-= 【测量目标】实系数方程的性质，复数的代数形式的四则运算．【考查方式】给出实系数方程及一个复数根，根据实系数方程根的特点得出另一个根，再利用复数代数形式的四则运算求解．【参考答案】D【试题解析】根据实系数方程的根的特点知1也是该方程的另一个根，所以112b +==-，即2-=b ，（步骤1）(13c -+==，故答案选择D ．（步骤2）16．对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【测量目标】椭圆的标准方程以及简单的逻辑关系．【考查方式】根据椭圆方程的组成特征和题目所给条件，再判断两者间充分条件、必要条件和充要条件的关系．【参考答案】B【试题解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数n m ,的取值为00m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩，所以，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn >，因而必要．所以答案选择B ． 17．在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC △的形状是（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定【测量目标】正余弦定理的应用．【考查方式】给出三角形角之间的条件关系，运用正弦定理及其推理、余弦定理推算出三角形的形状．【参考答案】A【试题解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C RcB R b A R a ===代入得到222a b c +<，（步骤1）由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形．故选择A ．（步骤2） 18．若π2ππsin sin (i)777n n S =+++（*n ∈N ），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（）A ．16B ．72C ．86D ．100 【测量目标】正弦函数的图象和性质，综合分析问题和解决问题能力．【考查方式】利用正弦函数的周期性找出其中等于零或小于零的项．【参考答案】C【试题解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知π2BAC ∠=，2AB =，AC = 2PA =．求：（1）三棱锥P ABC -的体积；（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．【测量目标】直线与直线、直线与平面的位置关系，空间想象能力和推理论证能力．【考查方式】根据所给条件利用三棱锥体积公式、直线与直线、直线与平面的位置关系和余弦定理求解．【试题解析】解：（1）122ABCS=⨯⨯=△（步骤1）三棱锥P ABC-的体积为11233ABCV S PA=⨯=⨯=△（步骤2）（2）取PB的中点E，连接DE AE、，则ED BC，所以ADE∠（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角．（步骤3）在三角形ADE中，2DE=，AE=2AD=，222223cos2224ADE+-∠==⨯⨯，所以3arccos4ADE∠=．因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是3arccos4．（步骤4）20．已知函数)1lg()(+=xxf．（1）若0(22)()1f x f x<--<，求x的取值范围；（2）若)(xg是以2为周期的偶函数，且当01x≤≤时，有)()(xfxg=，求函数)(xgy=])2,1[(∈x的反函数．【测量目标】函数的概念、性质，及数形结合思想．【考查方式】考查了指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质．【试题解析】解：（1）由⎩⎨⎧>+>-122xx，得11<<-x．（步骤1）由220lg(22)lg(1)lg11xx xx-<--+=<+得221101xx-<<+．因为01>+x，所以1010221+<-<+xxx，2133x-<<．（步骤2）由112133xx-<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩得2133x-<<．（步骤3）（2）当[]1,2x∈时，[]20,1x-∈，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==．由单调性可得]2lg ,0[∈y ．（步骤4）因为yx 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x ．（步骤5）21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7．（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【测量目标】函数的概念、性质，数形结合、分类讨论的思想方法．【考查方式】根据所给条件选择恰当的函数模型进行求解．【试题解析】解：（1）5.0=t 时，P 的横坐标772P x t ==，代入抛物线方程21249y x = 得P 的纵坐标3P y =．（步骤1）由2AP =，得救援船速度的大小为949海里/时．（步骤2）由772tan 31230OAP ∠==+，得7arctan 30OAP ∠=，故救援船速度的方向为北偏东7arctan 30弧度．（步骤3）（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为()27,12t t ．（步骤4）由222)1212()7(++=t t vt ，整理得2221144()337v t t =++．（步骤5）因为2212t t +≥，当且仅当t =1时等号成立，所以22144233725v ⨯+=≥，即25v ≥．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．（步骤6）22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y x C ．（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点．若MF =M 点的坐标；（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为)2|(|<k k 的直线2l 交C 于P Q 、两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP OQ ⊥；【测量目标】双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．【考查方式】给出双曲线的标准方程，可知其焦点和顶点坐标、渐近线方程再根据直线与双曲线的关系求解．【试题解析】解：（1）双曲线22:112x C y -=，左焦点(0)2F -．设),(y x M，则2222||(22MF x y =++=+，（步骤1）由M是右支上一点，知2x，所以||2MF =+=2x =．所以M ±．（步骤2）（2）左顶点(0)A ，渐近线方程：x y 2±=．（步骤3）过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：y x =，即12+=x y ．解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y，得412x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．（步骤4）所求平行四边形的面积为||||4S OA y ==．（步骤5）（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=1=，即221()b k =+*．（步骤6）由⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k ．（步骤7）设()()1122,,P x y Q x y 、，则12221222212kb x x k b x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩，))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212121212(1)()OP OQ x x y y k x x kb x x b =+=++++()()2222222221121222k b k b b k k k k+---+-+=---．（步骤8）由()*知0OP OQ =，所以OP OQ ⊥．（步骤9）23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m ax {21k k a a a b =1,2,,k m =⋯（），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5．（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，1,2,,k m =⋯）．求证：k k a b =（1,2,,k m =⋯）；（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- ．【测量目标】数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质，分析探究、推理论证能力．【考查方式】通过定义控制数列，考查了数列的基本性质和通项公式．【试题解析】解：（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5．（步骤1）（2）因为},,,m ax {21k k a a a b =，},,,,m ax {1211++=k k k a a a a b ，所以1k k b b +≥．（步骤2）因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，所以110k k m k m k a a b b +-+--=-≥，即1k k a a +≥．因此，k k a b =．（步骤3）（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ；)14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=．（步骤4）比较大小，可得3424-->k k a a ．（步骤5）因为112a <<，所以0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a ．又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，4141k k b a --=，k k a b 44=．（步骤6）因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+- 3377101041419999()()()()()k k b a b a b a b a b a --=-+-+-++-++- 236791042419899()()()()()k k a a a a a a a a a a --=-+-+-++-++- 2542411()k k k aa --==-∑251(1)(83)k a k ==--∑2525(1)a =-．（步骤7）。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文科数学及答案-推荐下载

(1)三棱锥 P ABC 的体积;
(2)异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)
P
A B
D C
20.(本小题 14 分)已知 f x lg x 1 (1)若 0 f 1 2x f x 1,求 x 的取值范围;
(2)若 g x是以 2 为周期的偶函数,且当 0 x 1时,有 g x f x,求函数 y g xx 1, 2的
往救援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t .
和方向;
(1)当 t 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的难纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
22.(本小题 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C : 2x2 y2 1
(1)设 F 是 C 的左焦点, M 是 C 右支上一点.若 | MF | 2 2 ,求点 M 的坐标; (2)过 C 的左顶点作 C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;
(3)设斜率为 k | k | 2 的直线 l 交 C 于 P,Q 两点,若 l 与圆 x2 y2 1相切,求证: OP OQ
O
A
y
P
x
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2012年高考数学试卷及解析上海卷(文科)

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=二、选择题（本大题共有4题，满分20分）17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定 18、若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（）A 、16B 、72C 、86D 、100 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知()lg(1)f x x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）【试卷总评】本试卷遵循考纲的要求，保持了近几年的命题风格，注重基础检测，深化能力立意，突出思维考查。

试卷覆盖了高中数学的主干内容，在题型、题量、难度等方面保持了相对稳定，重视对数学思想方法的考查，着重考查了思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识，体现了“多考点想，少考点算”的命题理念。

试题能较好地检测考生的数学素养和进入高等学校继续学习的潜能，有利于高校选拔新生，有利于中学实施素质教育，有利于向新课程高考过渡。

2012年全国高考文科数学试题及答案-上海卷

2012年全国普通高等学校招生统一考试(上海)数学试卷(文史类)一、填空题(本大题共有14题,满分56分) 1、计算:31ii-=+ (i 为虚数单位) 2、若集合{}210A x x =->,{}1B x x =<,则A B ⋂＝3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示)5、一个高为2的圆柱,底面周长为2π,该圆柱的表面积为6、方程14230xx +--=的解是7、有一列正方体,棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列,体积分别记为12,,...,,...n V V V ,则12lim(...)n n V V V →∞+++=8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中,常数项等于9、已知()y f x =是奇函数,若()()2g x f x =+且(1)1g =,则(1)g -= 10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人只选择一个项目,则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 (结果用最简分数表示)12、在矩形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1,若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足BM CN BCCD=,则AM AN ⋅的取值范围是13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ,其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ,函数()y xf x =(01x ≤≤)的图像与x 轴围成的图形的面积为14、已知1()1f x x=+,各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,2()n n a f a +=,若20102012a a =,则2011a a +的值是二、选择题(本大题共有4题,满分20分)15、若1i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,则( )A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-= 16、对于常数m 、n ,“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件17、在△ABC 中,若222sin sin sin A B C +<,则△ABC 的形状是( )A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、锐角三角形D 、不能确定 18、若2sinsin...sin 777n n S πππ=+++(n N *∈),则在12100,,...,S S S 中,正数的个数是( ) A 、16 B 、72 C 、86 D 、100三、解答题(本大题共有5题,满分74分)19、(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,D 是PC 的中点,已知∠BAC ＝2π,2AB =,AC =2PA =,求: (1)三棱锥P ABC -的体积(2)异面直线BC 与AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)20、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分已知()lg(1)f x x =+(1)若0(12)()1f x f x <--<,求x 的取值范围(2)若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,()()g x f x =,求函数()y g x =([]1,2x ∈)的反函数21、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图,现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t(1)当0.5t =时,写出失事船所在位置P 的纵坐标,若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22、(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22:21C x y -=(1)设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点,若MF =求点M 的坐标;(2)过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;(3)设斜率为k (k <)的直线l 交C 于P 、Q 两点,若l 与圆221x y +=相切,求证:OP ⊥OQ23、(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分对于项数为m 的有穷数列{}n a ,记{}12max ,,...,k k b a a a =(1,2,...,k m =),即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值,并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列,如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5 (1)若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{}n a (2)设{}n b 是{}n a 的控制数列,满足1k m k a b C -++=(C 为常数,1,2,...,k m =),求证:k k b a =(1,2,...,k m =)(3)设100m =,常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,若(1)22(1)n n n a an n +=--,{}n b 是{}n a 的控制数列,求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海文)数学试题及答案

x2
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救
y P
援船出发 t 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t .
（1）当 t = 0.5时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时 O
x
两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6 分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8 分） A
n ( n+1)
（3）设
m=100，常数
a
(
1 2
, 1) .若 an
=
an2
−
(−1)
2
n ，{bn}是{an}的控制数列，
求 (b1 − a1) + (b2 − a2 ) + + (b100 − a100) .
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2012 年上海高考数学（文科）试卷解答
（D）100.
（）
P
PA=2.求：
（1）三棱锥 P-ABC 的体积；（6 分）
A
（2）异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小（结果用反三
角函数值表示）.（6 分）
B
D C
20．已知函数 f (x) = lg( x +1) . （1）若 0 f (1− 2x) − f (x) 1，求 x 的取值范围；（6 分）（2）若 g(x) 是以 2 为周期的偶函数，且当 0 x 1时，有 g(x) = f (x) ，求函数
13．已知函数
y
=
f (x) 的图像是折
5
线段
ABC，若中
A(0,0)，B(
1 2
,1)，C(1,0).[来源:学&科&

上海高考文科卷真题和详细解答过程(独家,)

2012年上海高考文科数学试题一,填空题(4’×14=56’)1. 计算31ii -=+ . 解: 3121i i i-=-+;考察复数的四则运算.2. 若集合{|210}A x x =-＞,{||1}B x x =＜,则A B = .解: 1(,1)2A B =;考察绝对值不等式,集合的交集.3. 函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是 .解: 1()sin cos 2sin 222f x x x x =+=+,所以T π=;考察二阶行列式展开,三角函数的周期,倍半角公式.4. 若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角大小为 (结果用反三角函数值表示).解: 1tan 2v k u α===,所以1arctan 2α=; 考察直线的方向向量和斜率,倾斜角. 5. 一个高为2的圆柱,底面周长为2π,该圆柱的表面积为 .解: 221r r ππ=⇒=,所以表面积为22246S r lh ππππ=⨯+=+=;考察旋转体(圆柱)的底面积和表面积概念. 6. 方程14230x x +--=的解是 .解: 2(23)(21)023log 3x x xx -+=⇒=⇒=;考察简单指数方程和指对互化.7. 有一列正方体,棱长组成以1为首项,12为公比的等比数列,体积分别记为12,,...,,...n V V V ,则12lim(...)n n V V V →∞+++= .解: 数列{}n V 构成以11V =,18q =的等比数列,所以1128lim(...)17n n V V V V q →∞+++==-;考察正方体体积,无穷递缩等比数列的极限.8. 在61()x x-的二项展开式中,常数项等于 . 解: 6621661()(1)rrr r rr r T C xC x x--+=-=-,令6203r r -=⇒=,所以常数项为3346(1)20T C =-=-. 考察二项式的展开式,指定项问题.9. 已知()y f x =是奇函数,若()()2g x f x =+,且(1)1g =,则(1)g -= . 解: (1)1(1)21(1)1g f f =⇒+=⇒=-,所以(1)(1)2(1)2123g f f -=-+=-+=+=. 考察函数的奇偶性求值.10. 满足约束条件||2||2x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 . 解: 分象限画出可行域(为一个菱形),截距分析或代入四个顶点可知min 022z =-=-.考察线性规划,只是在约束条件上略有创新.11. 三位同学参加跳高,跳远和铅球项目的比赛,若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 (结果用最贱分数表示.)解: 21133223333C C C P ==⨯⨯. 考察排列组合,计数原理,概率.12. 在矩形ABCD 中,边,AB AD 的长分别为2,1,若,M N 分别是边,BC CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =,则AM AN ⋅的取值范围是 .解: 以A 为原点AB 所在直线为x 轴,建立直角坐标系, 则(0,0),(2,0),(0,1),(2,1)A B D C ,设||BM x =,则[0,1]x ∈,所以由||||212x CN CN x =⇒=,所以(2,),(22,1)M x N x -, 所以(2,)(22,1)34[1,4]AM AN x x x ⋅=⋅-=-+∈,(∵[0,1]x ∈).考察数量积.13. 已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ,其中1(0,0),(,1),(1,0)2A B C .函数()y xf x =(01)x ≤≤的图像与x 轴所围成的图形的面积为 .解: 12,[0,)2()122,[,1]2x x f x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩,所以2212,[0,)2122,[,1]2x x y x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩,画图由对称性和割补法可知,面积为1111224S S ==⨯⨯=△.14. 已知1()1f x x=+,各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,2()n n a f a +=.若20102012a a =,则2011a a +的值是 . 解: 1357911111235811235813a a a a a a a =⇒==⇒=⇒=⇒=⇒=+, 201020122010201020101112a aaa a -+=⇒=⇒=+,又可得2008201011112a a -+=-=-=, 所以可猜想202220081...2aa a -+====,所以201181313226a a -++=+=.考察数列的递推式和数学归纳法思想.二,选择题(5’×4=20’).15. 若1-是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,则 ( ). .2,3A b c ==; .2,1B b c ==-; . 2.1C b c =-=-; .2,3D b c =-=.解: 两根共轭,所以(1(122b b-=-++=⇒=-,(1)(1)3c =-+=,选D.考察实系数一元二次方程,两根共轭+韦达定理.16. 对于常数,m n ,” 0mn ＞”是” 221mx ny +=的曲线是椭圆”的 ( ).A. 充分不必要条件;B.必要不充分条件;C. 充分必要条件;D. 既不充分也不必要条件. 解: 选B. 考察椭圆的方程概念.17. 在ABC △中,已知222sin sin sin A B C +＜,则ABC △的形状是 ( ). A.钝角三角形; B.直角三角形; C. 锐角三角形; D. 不能确定.解: 由正弦定理可得, 222a b +＜c ,所以是90C ︒＞,所以是钝角三角形. 选A. 考察正余弦定理,判断三角形形状.18. 若*2sinsin...sin ()777n n S n N πππ=+++∈,则在12100,,...,S S S 中,正数的个数是 ( )..16A ; .72B ; .86C ; .100D .解: 根据对称性和周期性, 13142728,9798...0S S S S S S =======,所以共有86个.三、解答题（74分）：19. 如图,在三棱锥ABC P -中, ⊥PA 底面ABC ,D 是PC 的中点,已知2π=∠BAC ,2=AB ,32=AC ,2=PA ,求:(1) 三棱锥ABC P -的体积;(2) 异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.解: (1) 122ABC S ∆=⨯⨯= 2分所以三棱锥P-ABC的体积为11233ABC V S PA ∆=⨯=⨯=. 6分(2) 取PB 的中点E ，连接,DE AE ,则,所以ADE ∠（或其补角）是异面直线BC 与AD 所成的角. 8分在ADE △中, 2,2DE AE AD ===,所以222223cos 2224ADE +-∠==⨯⨯,所以3arccos 4ADE ∠=. 因此, 异面直线BC 与AD 所成的角的大小是3arccos 4. 12分20. 已知)1lg()(+=x x f .(1) 若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(2) 若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =([1,2])x ∈的反函数. 解: (1) 由⎩⎨⎧>+>-01022x x ,解得11<<-x .由220(12)()lg(121)lg(1)lg 11x f x f x x x x -<--=-+-+=<+得221101xx -<<+. ……3分因为01>+x ,所以1221010x x x +<-<+,解得2133x -＜＜.又11<<-x ,所以可得2133x -＜＜. ……6分(2) 当[1,2]x ∈时, 2[0,1]x -∈,又因为)(x g 是以2为周期的偶函数, 所以()(2)(2)(2)lg(3)y g x g x g x f x x ==-=-=-=-. ……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是x y 103-=,]2lg ,0[∈x .…14分21. 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）,则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援; ③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为t 7.(1) 当5.0=t 时,写出失事船所在位置P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？解: (1) 当5.0=t 时，P 的横坐标772P x t ==, 代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标3P y = ……2分所以||2AP =,/时. ……4分 PA BCDPAB C DE由77tan (312)230OAP ∠=÷+=,得7arctan 30OAP ∠=, 故救援船速度的方向为北偏东7arctan 30弧度. ……6分(2) 设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t .由vt =，整理得2221144()337v t t=++.……10分因为2212t t+≥，当且仅当1t =时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22. 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C ：1222=-y x .(1) 设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点,若22||=MF ,求点M 的坐标;(2) 过C 的左顶点引C 的两条渐进线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3) 设斜率为k （2||<k ）的直线l 交C 于P 、Q 两点,若l 与圆122=+y x 相切,求证:OP OQ ⊥.解: (1) 双曲线22:112x C y -=，22213,122a b c ==⇒=,所以左焦点(0)F . 设(,)M x y，则2222||(22MF x y =++=+, ……2分由M是右支上一点，知2x ≥||2MF =+=2x =.所以2M . ……5分 (2)左顶点(,0)2A -，渐近线方程：y =. 过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为2y x =+，即1y =+.解方程组1y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得12x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩. ……8分所求平行四边形的面积为||||4S OA y ==. ……10分 (3) 设直线PQ 的方程是y kx b =+.因直线与已知圆相切,1=,即221b k =+. (*).,由2221y kx b x y =+⎧⎨-=⎩，得222(2)210k x kbx b ----=.设1122(,),(,)P x y Q x y ,则22221221122kbk b k x x x x ----+=⎧⎪⎨=⎪⎩. 又))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212121212(1)()OP OQ x x y y k x x kb x x b ⋅=+=++++222222222222(1)(1)211(1)02222k b k b b k k k k k k k +---+--++-=+===----,所以0OP OQ ⋅=，所以OP OQ ⊥. ……16分.23. 对于项数为m 的有穷数列}{n a ,记}m ax {21k k a a a b ，，， =（m k ,,2,1 =）,即k b 为k a a a ，，， 21中的最大值,并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.例如5,5,2,3,1的控制数列是5,5,3,3,1. (1) 若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为55432，，，，,写出所有的}{n a ; (2) 设}{n b 是}{n a 的控制数列,满足C b a k m k =++-1（C 为常数,m k ,,2,1 =）, 求证:k k a b =（m k ,,2,1 =）;(3) 设100=m ,常数)1,21(∈a 若n an a n n n 2)1(2)1(+--=,}{n b 是}{n a 的控制数列,求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .解: (1) 数列{}n a 为：2,3,4,5,1; 2,3,4,5,2; 2,3,4,5,3; 2,3,4,5,4; 2,3,4,5,5. ……4分(2) 因为12max{,,,}k k b a a a =，1121max{,,,,}k k k b a a a a ++=，所以k k b b ≥+1. ……6分所以可得10m k m k b b -+--≥.因为1k m k a b C -++=，所以1(1)11k m k k m k a b a b C +-+++-+=+=，相减可得110k k m k m k a a b b +-+--=-≥，即k k a a ≥+1,其中m k ,,2,1 = ……8分所以k k a b =. ……10分(3) 对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ； )14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=.比较大小，可得4243k k a a -->. ……12分因为)1,21(∈a ，所以0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ；0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a .又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=.……15分因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+- 3377101041419999()()()()()k k b a b a b a b a b a --=-+-+-++-++- 236791042419899()()()()()k k a a a a a a a a a a --=-+-+-++-++-=∑=---2511424)(k k k a a=∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -. ……18分。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文科数学及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(供文科考生使用)一、选择题(本大题共14小题,满分56分)每个空格填对得4分,否则一律得零分1.计算:31ii-=+_______(i 为虚数单位)2.若集合{}{}|210,|||1A x x B x x =->=<,则A B =I _______3.函数()sin 21cos x f x x=-的最小正周期是_______4.若()2,1=d 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为_______(结果用反三角函数值表示)5.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为_______6.方程14230x x +--=的解是_______7.有一列正方体,棱长组成以1为首项,12为公比的等比数列,体积分别记为12,,,,,n V V V ⋅⋅⋅⋅⋅⋅则()12lim n n V V V →∞++⋅⋅⋅+=_______8.在61()x x-的二项展开式中,常数项等于_______9.已知()y f x =是奇函数,若()()2g x f x =+且()11g =,则()1g -=_______10.满足约束条件||2||2x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是_______11.三位同学参加跳高,跳远,铅球项目的比赛,若每人都是选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_______(结果用最简分数表示)12.在矩形A B C D 中,边,AB AD 的长分别为2,1,若,M N 分别是边,BC CD 上的点,且满足||||||||B MC N B C CD =uuur uuu ruuu r uuu r,则AM AN ⋅uuu r uuur 的取值范围是_______ 13.已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ,其中()()10,0,(,1),1,02A B C .函数()()01y xf x x =≤≤的图像与x 轴围成的图形的面积为_______14.已知()11f x x=+,各项均为正数的数列{}n a 满足()121,n n a a f a +==,若20002012a a =,则2011a a +的值是_______ 二、填空题(本大题共4小题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分 15.若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,则( ) A.2,3b c == B.2,3b c =-= C.2,1b c =-=- D.2,1b c ==- 16.对于常数,m n ,“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 17.在ABC ∆中,若222sin sin sin A B C +<,则ABC ∆的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定18.若()π2ππsin sin sin 777n n S n N *=++⋅⋅⋅+∈,则在12100,,,S S S ⋅⋅⋅中,正数的个数是( )A.16B.72C.86D.100三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)19.(本小题12分)如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面,A B C D 是PC 的中点.已知π,2,3,22B AC A B A C P A ∠===,求:(1)三棱锥P ABC -的体积;(2)异面直线BC 与AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)20.(本小题14分)已知()()lg 1f x x =+(1)若()()0121f x f x <--<,求x 的取值范围;(2)若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,有()()g x f x =,求函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数.PD C B A21.(本小题14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当0.5t =时,写出失事船所在位置P 的难纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?22.(本小题16分)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22:21C x y -=(1)设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点.若||MF =求点M 的坐标;(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3)设斜率为(||k k <的直线l 交C 于,P Q 两点,若l 与圆221x y +=相切,求证:OP OQ ⊥23.(本小题18分)对于项数为m 的有穷数列{}n a ,记{}()12max ,,,1,2,,n k b a a a k m =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅,即k b 为12,,,k a a a ⋅⋅⋅中的最大值,并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{}n a ; (2)设{}n b 是{}n a 的控制数列,满足1k m ka b C -++=(C 为常数,1,2,,k m =⋅⋅⋅).求证:()1,2,,k k b a k m ==⋅⋅⋅(3)设100m =,常数1(,1)2a ∈.若()()1221n n n a an n +=--,{}n b 是{}n a 的控制数列,求()()()1122100100b a b a b a -+-+⋅⋅⋅+-.1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 【答案】 1-2i 【解析】i i +-13=(3)(1)(1)(1)i i i i --+-=1-2i 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。