四川省成都七中2020届高三下学期第6周考试文科数学答案

成都七中高三下第6周考试文科数学参考答案
一． 选择题
BACCDAABDBDC
二．填空题13.3
π 14. 1514 15. 1520, {}150010,1,2,3,4,5n n +∈（未给出n 的取值范围也给分） 16.20π
17. 解：（1）依题意，11213n n n S a +⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，1211213n n n S a +++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两式相减可得，()21111303n n n a a +++⎛
⎫--= ⎪⎝⎭
，故213n n a a ++=， 而
1222S 3a =，故213a a =，故数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列．………………6分 （2）由（1）可13,n n a -=
所以()()2212991(1)log (1)log 3(1)(1)4n n n n n n b a n -=-⋅=-⋅=
⋅-⋅-， 故2122221211(1)(22)(1)(21)(43)44n n n n b b n n n --⎡⎤+=⋅-⋅-+-⋅-=-⎣⎦， 记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则22111(15943)424n T n n n =+++⋯+-=-．…………… 12分
18.解：（1）由已知可得，()140.02500.04750.05000.01250.1150a =÷-+++=，
所以这些党员干部一周参加主题教育活动的时间的平均值为
()60.0250100.0475140.1150180.0500220.0125413.64⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.………………3分
（2）因为0.1150492n ⨯⨯=，所以922000.11504
n ==⨯.……………………………………5分 故参与主题教育活动的时间在(]16,20的人数为0.0500420040⨯⨯=，
参与主题教育活动的时间在(]20,24的人数为0.0125420010⨯⨯=.…………………………7分
则利用分层抽样抽取的人数：在(]16,20内为4人，设为,,,a b c d ；在(]20,24内为1人，设为A .从这5人中选取3人的事件空间为：
{}(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b c a b d a b A a c d a c A a d A b c d b c A b d A c d A ，
共10种情况， ……………………………………………………………………………………………………………………9分 其中全是二等奖的有4种情况.………………………………………………………………………………11分 故42105
P ==.…………………………………………………………………………………………………12分 19.解：（1）证明：因为ABCD 是轴截面，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥，…………………1分 又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），且CD 为直径，所以PC PD ⊥，……………………2分 又AD PD D =，PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，PC ⊂平面PBC ，故平面PAD ⊥平面PBC .……………………………………………………………………………………4分
（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点.所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .
（i ）证明：连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，5分 因为,E F 分别为三角形的重心，所以23
PE PF PM PN ==，所以//EF MN ，……………………………6分 所以//EF AQ ，又AQ ⊂平面PAQ ，EF ⊄平面PAQ ，所以//EF 平面PAQ .……………………7分
（ii ）因为PO ⊥平面ABO ，所以PO BO ⊥，又AO BO ⊥，AO PO O =，所以BO ⊥平面PAO ， ………………………………………………………………………………………………………………8分 因为////EF AQ BO ，所以EF ⊥平面PAO ，即EF ⊥平面FAO ，即EF 是三棱锥E AOF -的高.
又233
EF BO ==
，11123323AOF APO S S ∆∆==⨯⨯=，………………………………10分
所以114||333327A EOF E AOF AOF V V S EF --∆==
⋅=⨯⨯=.……………………………………12分 20.解：（1）由题意，将点()1,2Q 代入22y px =，
即222p =，解得2p =，
所以，抛物线E 的方程为24y x =. …………………3分
（2）解析1：（巧设直线）
证明：设l ：1ty x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2
4y x =，可得2104y ty --=，则有1212
44y y t y y +=⎧⎨=-⎩，…………………5分 可设AP ：()2112x y y x x y -=--，即21344
y y x y =-+，同理BP ：12344y y x y =-+，解得()3,3P t -，即动点P 在定直线m ：3x =-上………………….8分
211221342122
PAB
QAB AB d t S d S d t AB d ∆∆+==
=322t t =+≥
，当且仅当3t =±时取等号.其中1d ，2d 分别为点P 和点Q 到直线AB 的距离……………………….12分
（2）解析2：（利用向量以及同构式）
证明：设l ：()10x my m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立24y x =，可得2440y my --=，则有
1212
44y y m y y +=⎧⎨=-⎩.21001,4y PA y x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，222,4y y OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又O 为PAB ∆的垂心，从而0PA OB ⋅=，代入化简得：20202304x y y y ++=，同理：20101304
x y y y ++=，从而可知，1y ，2y 是方程200304x x y x ++=的两根，所以012012044124y y y m x y y x ⎧+=-=⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩
00000333y mx y m x x =-=⎧⎧⇒⇒⎨⎨=-=-⎩⎩，所以动点P 在定直线m ：3x =-上.
211221342122
PAB
QAB AB d m S d S d m AB d ∆∆+==
=322m m =+≥
，当且仅当3m =±时取等号.其中1d ，2d 分别为点P 和点Q 到直线AB
距离. 21. 解：（1）观察可知()f x 为偶函数，故只需求0,
2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时()f x 的最小值, ()'2sin f x x x π=-,当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，设()()2sin ,'2cos h x x x h x x ππ=-=-，显然()'h x 单增， 而()'00,'0,2h h π⎛⎫<> ⎪⎝⎭
由零点存在定理，存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0'0h x = …….3分 当()()()00,,'0,x x h x h x ∈<单减，当()()0,'0,2x x h x h x π⎛
⎫
∈> ⎪⎝⎭
，单增， 而()00,02h h π⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()0,,02x h x π⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，即()()0,,'0,2x f x f x π⎛⎫∈< ⎪⎝⎭
单减；…6分 （2）易知120,
,,22x x ππ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 构造函数()()(),0,2F x f x f x x ππ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭
,()()()'''22sin 0F x f x f x x πππ=+-=-> 即()F x 单增，所以()02F x F π⎛⎫<= ⎪⎝⎭ ，即当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()f x f x π<- ，而10,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 的
所以()()11f x f x π<-，又()()12f x f x =，即()()21f x f x π<-，此时21,,2x x ππ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭， 由第一问可知，()f x 在+2π⎛⎫∞
⎪⎝⎭，单增，所以21x x π<-，12,x x π+< 即证1222x x π+<. 22. 解：（1）把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入tan y x α=得πtan tan (π)2θαα=<<，
所以l 的极坐标方程是π(,
π)2θαρα=∈<<R ， 1C 的普通方程是2220x y ax +-=，其极坐标方程是2cos a ρθ=．………….5分 （2）1C ：cos ρθ=，2C ：2sin ρθ=，θα=分别代入1C ，2C 得||cos OM α=-，||2sin ON α=．
所以22π2||||||2cos
2cos sin 1cos 2sin 2sin(2)14OM OM ON αααααα+=-=+-=-+． 因为ππ2α<<，所以7ππ3π2444
α-<-<-，则当7π8α=时，π3π242α-=-
，此时πsin(2)14
α-+
1，所以22||||||OM OM ON +
1．….10分 23. 解：（Ⅰ）由题意(3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ----<--<-⎧⎧⎪⎪=+---≤≤=+-≤≤⎨⎨⎪⎪+-->>⎩⎩
，
当3x <-时，41x -+≥，可得5x ≤-，即5x ≤-；
当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x ≥-，即11x -≤≤；
当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤．
综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--．……….5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数()f x 的最大值4M =，且14ab a b +++=， 即23()()2
a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立， 可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此+a b 的最小值为2．……….10分。