高考二轮必修导学案 专题12 数列 教师版

专题12 数列（1）

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【高考趋势】

数列在高考填空题中以中档题为主，主要考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的应用以及等差数列和等比数列的基本性质；解答题往往放在最后两题的位置，通常从数列的基本性质入手，进一步研究数列的通项与求和，有时会和不等式结合起来考查。

【考点展示】

1.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … …

按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）最后一个数为

【答案】

()12

n n +

2.设数列{}n a 满足)(1,1*11N n n a a a n n ∈+=-=+，则数列⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n a 1前10项的和为 【答案】

2011

【变题】设数列{}n a 满足)(1,1*11N n n a a a n n ∈+=-=+，则数列⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n a 1前n 项和为 【答案】

21

n

n + 3.已知{}n a 是等比数列，若4

1

,252=

=a a ，则1223341n n a a a a a a a a +++++=L 【答案】321134n

⎡⎤

⎛⎫

-⎢⎥ ⎪

⎝⎭

⎢⎥⎣⎦

4.如图，互不相同的点

12,,,n A A A L L 和12,,,n B B B L L ，分别在角O 的两条边上，所有

n n B A 相互平行，且所有梯形11++n n n n A B B A 的面积均相等，设n n a OA =，若2,121==a a ，则数列{}n a 的通项公式是

5.一个无穷等差数列{}n a 的首项为)0(11>a a ，公差为d ，前n 项和为{}n S ，若数列{}n

S 也是等差数列，

则1a 与d 满足的关系式为 【答案】12d a =

6.设等差数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，已知25,01510==S S ，则n nS 的最小值为 【答案】-49

【变题】已知数列{}n a 满足1133,2n n a a a n +=-=，则n

a n

的最小值是 【答案】

212

【样题剖析】

例1 已知等差数列{}n a 的各项均为正数，31=a ，前n 项和为{}n S ，{}n b 为等比数列，1221,64b b S ==，

96033=S b 。求 （1）{}n a 与{}n b 的通项公式 （2）∑

=n

i i

S 1

1 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q

由题意得()()2

66493960

d q d q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得28d q =⎧⎨=⎩ 或65

403d q ⎧

=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

（舍去） 所以121,8n n n a n b -=+=

（2）因为()()35212n S n n n =++⋅⋅⋅++=+

所以

()()()()

1235111111

13242412n n n S S S n n n n +++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⨯⨯+++ 【变题】等差数列{}n a 的各项均为正整数，13,a =前n 项和为n S ，在等比数列{}n b 中，11b =，且2264b S =，

{}n b 是公比为64的等比数列

（1）求,n n a b （2）证明：

1211134

n S S S ++⋅⋅⋅+<

例 2 已知数列{}n a 的各项均为正数，记n a a a n A +++= 21)(，132)(++++=n a a a n B ，

243)(++++=n a a a n C ， 2,1=n

（1）若5,121==a a ，且对任意的*

N n ∈，三个数)(),(),(n C n B n A 组成等差数列，求数列{}n a 的通项

公式

（2）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充要条件是对*

N n ∈，三个数)(),(),(n C n B n A 组成公比

为q 的等比数列

【解析】（1）对任意*n N ∈，由题意()()()()B n A n C n B n -=- 即1122n n a a a a ++-=-，即21214n n a a a a ++-=-=

所以{}n a 是首项为1，公差为4的等差数列，所以43n a n =- （2）（Ⅰ）必要性

若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则对任意*n N ∈，有1n n a a q += 由0n a >知，()()(),,A n B n C n 均大于0， 所以

()()()()231

34212231

,n n n n B n C n a a a a a a q q A n a a a B n a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=

===++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+

即

()()

()()

B n

C n q A n B n ==，所以)(),(),(n C n B n A 组成公比为q 的等比数列

（Ⅱ）充分性

若对任意*n N ∈，三个数)(),(),(n C n B n A 组成公比为q 的等比数列 则()()()(),B n qA n C n qB n ==，于是()()()()C n B n q B n A n -=-⎡⎤⎣⎦