贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案之令狐文艳创作

习题讲解

令狐文艳

一、1,3,5,6,10,11,12,15 1.1记样本为x. 1.6

1.11 由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布

(0,)U θ

因为抽取3个样本，即123(,,)X x x x =，所以样本联合分布为

又因为

4192/,4()0,4θθπθθ⎧≥=⎨

<⎩ 所以，利用样本信息得 于是

7

88

192()(,)m X h X d d θθθθ

+∞

+∞==⎰⎰

θ的后验分布为

1.12样本联合分布为： 因此θ的后验分布的核为1

1/n αθ++，仍表现为Pareto 分布密

度函数的核

即

111

1()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨

≤⎩ 即得证。 1.15

二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,12

2.2 解： 由题意，变量t 服从指数分布：

()t

p t e λλλ-=

样本联合分布

()i

t

n p T e λλλ-∑=

且1~(,),0

()Ga e ααβλ

βλαβλλα--=>Γ ，()0.2E λ=()1Var λ=

由伽玛分布性质知： 又已知 n=20, 3.8t

=

1

20 3.876

n

i

i t

==⨯=∑，所以

120.04,76.2

n

i i n t αβ=+=+=∑

由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布

即后验分布为(,)(20.04,76.2)i Ga n t Ga αβ++=∑

1θλ-=服从倒伽玛分布(,)(20.04,76.2)i IGa n t IGa αβ++=∑

2.3可以算出θ的后验分布为(11,4)Ga ，θ的后验期望估计的

后验方差为11

16.

2.536n ≥.

2.7θ的先验分布为：

100

0/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨

≤⎩ 令{}

101max ,,

,n x x θθ=

可得后验分布为：

111

1()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨

≤⎩ 则θ的后验期望估计为：

1

()()1n E x n αθθα+=

+-，

后验方差为：

2

12

()()(1)(2)n Var x n n αθθαα+=+-+-. 2.8

由1

~(,),~(,)

22n x Ga IGa θαβθ可以得出

（1）θ的后验分布为：

即为倒伽玛分布(,)

22n x

IGa αβ++的核。 所以θ的后验分布为(,)

22n x

IGa αβ++

（2）后验均值为22()2212x

x E x n

n ββθαα++==+-+- 后验方差为22()2()(1)(2)22x

Var x n n

βθαα+=+-+-

（3）样本分布函数为： 所以θ的后验分布为：

即为2

1(,)

22n

i i x n IGa αβ=++∑的核。 令)0d x d πθθ=（

即：

221

122221211222222112()2[][(1)*]0()22()2

n

n

i i i i n

n

x x n n n i n n i i i x n x e e n ββαααθ

θββαθθαθ==++---------==∑∑+---+=ΓΓ∑∏可得

112

2

22

22

12

n

n

i

i i

i MD x

x n

n β

β

θαα=∧

=++=

=

++++∑∑

而由公式得

1

12

2

22

22

12

n

n

i

i i

i E x

x n n β

β

θαα=∧

=++=

=

+-+-∑∑

因此，倒伽玛分布的这两个估计是不一样的，原因是它不对称。

2.10解：已知~(,1),~(3,1)x N N θθ 设θ的后验分布为211(,)

N μσ

可得：

由已知得：2433

3x -

++==，

22

013n σσ== 所以θ的95％的可信区间为：[30.5 1.96,30.5 1.96]-⨯+⨯ 即为[2.02,3.98]. 2.11已知

()()

22~0,,~,x N IGa σσαλ

可得2σ的后验分布为211,2

2n i i n IGa x αλ=⎛

⎫++ ⎪

⎝⎭∑

后验均值为：21

12ˆ1

2n i

i E x n λθα=+=

+-∑

后验方差为：

()2

2122

121222n i i x Var x n n λσαα=⎛

⎫+ ⎪

⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭∑ 变换：

令：()220.1211220.9

n

i i P x n λχασ=⎡⎤⎛⎫+≥+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑

可得2

σ的

0.9可信上限为

()

2

1

20.122n

i i x n λχα=++∑.

2.12θ的先验分布为：

100

0/,()0,α

ααθθθθπθθθ+⎧>=⎨

≤⎩ 令{}

101max ,,

,n x x θθ=