高三数学正态分布和线性回归(知识点和例题)

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高三回归方程知识点汇总

高三回归方程知识点汇总回归方程是数学中重要的数学模型，用于描述变量之间的关系和进行预测。

在高三阶段，学生需要掌握回归分析的基本知识和技巧。

本文将对高三数学中回归方程的知识点进行全面汇总，并提供一些实例和应用场景供参考。

一、线性回归方程1.1 线性关系与线性回归方程线性关系指的是两个变量之间存在直线关系，可用一条直线来近似表示。

线性回归方程是线性关系的数学表达式，常用形式为 y = kx + b，其中 k 表示直线的斜率，b 表示直线在 y 轴上的截距。

1.2 最小二乘法最小二乘法是确定线性回归方程中斜率 k 和截距 b 的常用方法。

它通过最小化观测值与回归直线的拟合误差平方和，找到最佳的拟合直线。

1.3 直线拟合与误差分析直线拟合是利用线性回归方程将观测数据点拟合到一条直线上。

误差分析可以评估回归方程的拟合优度，常用指标有决定系数R²、平均绝对误差 MAE 等。

二、非线性回归方程2.1 非线性关系与非线性回归方程非线性关系指的是两个变量之间的关系不能用一条直线来近似表示，而是需要使用曲线或其他非线性形式进行描述。

非线性回归方程可以是多项式方程、指数方程、对数方程等形式。

2.2 最小二乘法拟合非线性回归方程与线性回归相似，最小二乘法也可以用于拟合非线性回归方程。

但由于非线性方程的复杂性，通常需要借助计算工具进行求解，例如利用数学软件进行非线性拟合。

2.3 模型选择和拟合优度检验在选择非线性回归模型时，需要综合考虑模型的拟合优度和实际应用的需求。

常见的方法包括比较不同模型的决定系数 R²、检验残差分布等。

三、应用实例3.1 人口增长模型以某地区的人口数据为例，通过拟合合适的回归方程，可以预测未来的人口增长趋势，为城市规划和社会发展提供决策依据。

3.2 经济增长模型回归方程可以用于分析经济数据，例如拟合国民生产总值与时间的关系，预测未来的经济增长态势，为政府制定经济政策提供参考。

3.3 科学实验数据分析在科学研究中，常常需要利用回归方程对实验数据进行拟合和分析。

高三数学(理)正态分布、线性回归、复数知识精讲人教版

高三数学（理）正态分布、线性回归、复数知识精讲人教版一. 本周教学内容：正态分布、线性回归、复数二. 重点、难点：1. 正态分布，N （2,σμ） R x e x f x ∈=--222)(21)(σμσπ （μ、σ为参数，σ>0）（1）曲线在x 轴上方。

（2）关于μ=x 对称。

（3）μ=x 时y 最大。

（4）↓+∞↑-∞),(),(μμ2. 线性回归应验证样本相关系数3. 复数),(R b a C bi a z ∈∈+=Z n i i i i i i n n n n ∈-=-===+++342414411【典型例题】[例1] 标准正态分布N （0，1），2221)(x e x f -=π，R x ∈的性质解：R x e x f y x ∈==-2221)(π （1）偶函数（2）0=x π21max =y （3）↑-∞)0,(↓+∞),0(（4）)(1)()(000x x x P x -Φ-=<=Φ（5）)()()(a b b x a P Φ-Φ=<<),(2σμN 转化为 )1,0(2N（6）)()()(σμξ-Φ=<=x x P x F[例2] 一台自动包装机向袋中装糖果，标准是每袋64g ，但因随机性误差，每袋具体重量有波动，据以往资料认为袋装糖果的重量ξ服从正态分布)5.1,64(2N 。

试问随机抽一袋糖果，其重量超过65g 的概率是多少？解：)5.16465()65(->=>t P P ξ )67.0(>=t P )67.0(1)67.0(1Φ-=<-=t P2514.07486.01=-=[例3] 假设数学会考成绩ξ近似服从正态分布)10,70(2N ，现知第100名学生的成绩为60分。

试问第20名的学生成绩为多少分。

（7486.0)67.0(=Φ，8413.0)1(=Φ，8319.0)96.0(=Φ）解：1070-=ξt )107060(1)60(1)60(-<-=<-=≥t P P P ξξ )1()1(1)1(1Φ=-Φ-=-<-=t P=0.8413∴ 60分以上占总体的84.13% 总人数：1198413.0100≈人前20名：1681.011920= 设第20名成绩为x∴1681.0)(=≥x P ξ1681.0)(1=<-x P ξ8319.01681.01)1070(=-=-<x t P ∴96.01070=-x 6.970=-x ∴6.79=x[例4] 为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计调查，随机调查10个求回归直线方程。

正态分布知识点高考

正态分布知识点高考正态分布，又称为高斯分布，是一种常见的连续型概率分布。

它在高考中占据重要地位，因此我们有必要了解并掌握相关的知识点。

本文将从基本概念、特点、参数、性质和应用等方面，介绍正态分布相关知识。

一、基本概念正态分布是一种理想的连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，两头低，中间高，左右对称。

它由两个参数完全确定，即均值μ和标准差σ，分别决定了曲线的位置和形态。

二、特点1. 对称性：正态分布曲线是关于均值μ对称的，即在μ左右等距离的两个点处曲线的取值相等。

2. 唯一性：给定均值μ和标准差σ，正态分布曲线是唯一确定的，即每个参数对应一个特定的曲线。

3. 演趋性：正态分布曲线随着距离均值的增加或减少而变得越来越平缓，曲线两端向横轴无限延伸但不与其相交。

三、参数1. 均值μ：正态分布曲线的对称轴，决定了曲线的位置。

2. 标准差σ：正态分布曲线的形状参数，决定了曲线的宽度。

标准差越大，曲线越宽。

四、性质1. 正态分布曲线下的面积总和为1，即概率密度函数的积分等于1。

2. 68-95-99.7法则：在正态分布曲线上，约68%的数据位于均值的一个标准差范围内，约95%的数据位于均值的两个标准差范围内，约99.7%的数据位于均值的三个标准差范围内。

3. 随机变量的线性组合仍然服从正态分布。

4. 标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。

五、应用正态分布广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学和工程等。

在高考中，正态分布常被用来描述和分析一些量化问题，如考试成绩、身高体重等。

利用正态分布的特性，可以进行相关问题的计算和预测。

总结：正态分布是一种重要的概率分布，具有对称性、唯一性和演趋性等特点。

它由均值和标准差两个参数完全确定，广泛应用于各个领域。

在高考中，掌握正态分布的基本概念、特点、参数、性质和应用非常重要，能够帮助学生更好地理解和解答相关问题。

高考数学理一轮复习 X1-4正态分布、线性回归精品课件

备选例题1 设随机变量ξ服从正态分布：ξ～ N(1,4)，试求：
(1)P(0＜ξ≤2)； (2)求常数C，使P(ξ≤C)＝32·P(ξ＞C)．
参考数据：Φ(0)＝0.5，Φ(1)＝0.8413，Φ(2) ＝0.9772，Φ(0.5)＝0.6915，Φ(1.88)＝ 0.9697，Φ(3)＝0.9987.
2．小概率事件是指事件发生的概率很小的事，通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的．
3．统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原理和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断，是拒绝假设，还是接受假设．
4．利用线性回归方程，可由一个变量的值预测或控制另一个变量的值．借助计算器，特别是含统计的计算器，能简化手工的计算，迅速得出正确结果．
(函数Φ(x0)实际上是正态总体N(0,1)的累积分
布函数)，即Φ(x0)＝
．
(5)两个重要公式：ⅰ.Φ(－x)＝1Φ(x)
－
；
Φ(a)
ⅱ.P(a＜ξ＜b)＝Φ(b)－
．小于
(6)对于任一正态分布总体N(μ，σ2)来说，取
值 x的概率为F(x)＝Φ(
)．
(7)假设检验的基本思想
ⅰ.提出统计假设，如假设随机变量服从正态分布等；
5．“回归”和“相关”含义是不同的：如果两个变量中的一个变量是人为可以控制、非随机的，另一变量的变化是随机的且随着控制变量的变化而变化，则这两变量间的关系就称为回归关系；若两个变量都是随机的，则称它们之间的关系为相关关系，在本教材中，两者不加区别．
方法规律·归纳
题型一
正态分布的基本运算
思维提示
①P(x＜x0)＝Φ(x0)； ②Φ(x0)＝1－Φ(－x0)；

高三线性回归方程知识点

高三线性回归方程知识点线性回归是数学中的一种方法，用于建立一个自变量与因变量之间的关系。

在高三数学中，线性回归方程是一个重要的知识点。

本文将介绍高三线性回归方程的基本概念、推导过程以及应用范围。

一、基本概念1. 线性回归方程线性回归方程，也叫作线性回归模型，表示自变量x和因变量y之间的关系。

它可以用如下的一般形式表示：y = β0 + β1x + ε其中，y表示因变量，x表示自变量，β0和β1表示模型中的参数，ε表示误差项。

2. 参数估计线性回归方程中的参数β0和β1需要通过观测数据进行估计。

常用的方法是最小二乘法，即通过最小化实际观测值和预测值之间的差异，来得到最优的参数估计值。

二、推导过程1. 求解参数通过最小二乘法，可以得到线性回归方程中的参数估计值。

具体推导过程包括以下几个步骤：（1）确定目标函数：将观测值和预测值之间的差异平方和作为目标函数。

（2）对目标函数求偏导：对目标函数分别对β0和β1求偏导，并令偏导数为0。

（3）计算参数估计值：根据求得的偏导数为0的方程组，解出β0和β1的值。

2. 模型拟合度评估在得到参数估计值之后，需要评估线性回归模型的拟合度。

常用的指标包括相关系数R和残差平方和SSE等。

相关系数R可以表示自变量和因变量之间的线性相关程度，取值范围在-1到1之间，越接近1表示拟合度越好。

三、应用范围线性回归方程在实际问题中有广泛的应用，例如经济学、统计学、社会科学等领域。

它可以用来分析自变量和因变量之间的关系，并预测未来的结果。

1. 经济学应用在线性回归模型中，可以将自变量设置为经济指标，例如GDP、通货膨胀率等，将因变量设置为某一经济现象的数值。

通过构建线性回归方程，可以分析不同经济指标对经济现象的影响，为经济决策提供参考依据。

2. 统计学应用线性回归方程是统计学中的一项重要工具。

通过对观测数据的拟合，可以得到参数估计值，并进一步分析自变量和因变量之间的关系。

统计学家可以利用线性回归分析建立统计模型，为实验数据的解释提供更为准确的结论。

高考正态分布知识点

高考正态分布知识点在统计学中，正态分布是一种重要的概率分布，也被称为钟形曲线或高斯分布。

在高考数学中，正态分布是一个常见的考察点，学生需要了解和掌握与正态分布相关的概念、性质和应用。

下面将详细介绍高考正态分布的知识点。

一、正态分布的定义和性质1. 正态分布的定义：正态分布是指在数理统计中，如果随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ²的正态分布，则记为X~N(μ, σ²)，其中N表示正态分布。

2. 正态分布的性质：（1）正态分布是对称的，其均值、中位数和众数都相等，即μ=中位数=众数。

（2）正态分布的图像呈现出典型的钟形曲线。

（3）正态分布的曲线在均值两侧呈现出逐渐减小的趋势，但是永远不会到达横轴。

（4）正态分布的曲线关于均值μ对称。

（5）正态分布的标准差σ越大，曲线越矮胖；标准差σ越小，曲线越瘦高。

（6）约68%的数据落在均值±1个标准差范围内；约95%的数据落在均值±2个标准差范围内；约99.7%的数据落在均值±3个标准差范围内。

二、正态分布的概率计算1. 标准正态分布：标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。

记为Z~N(0, 1)。

对于标准正态分布，我们可以通过计算标准正态分布表来得到对应的概率值。

2. 普通正态分布：当随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)时，可以进行标准化处理，将X转化为一个服从标准正态分布的随机变量Z。

即Z=(X-μ)/σ，这样就得到了一个标准正态分布。

对于普通正态分布，可以通过标准正态分布表和标准化公式来计算相应的概率值。

3. 概率计算：对于正态分布，我们常常需要计算在某个区间范围内的概率值。

对于标准正态分布，可以利用标准正态分布表查找对应的概率值。

对于普通正态分布，可以将其转化为标准正态分布进行计算。

三、正态分布的参数估计1. 样本均值的抽样分布：在统计学中，我们经常需要对总体的均值进行估计。

对于正态分布，样本均值的抽样分布也是一个正态分布，并且其均值等于总体均值，方差等于总体方差除以样本容量的平方根。

高三数学正态分布知识点

高三数学正态分布知识点正文：正态分布是概率论和统计学中经常应用的一种重要分布。

其特点是在均值附近的概率较高，而在离均值较远处的概率较低。

在高中数学的学习中，正态分布也是一个重要的知识点。

本文将介绍高三数学正态分布的相关知识。

一、正态分布的定义正态分布，又称为高斯分布，是一种连续型概率分布。

对于一个服从正态分布的随机变量X，其概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 / sqrt(2 * π * σ^2)) * exp(-(x - μ)^2 / (2 * σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差。

二、正态分布的性质1. 对称性：正态分布是以均值为对称轴，两侧面积相等的曲线。

2. 峰度：正态分布的峰度是指曲线的陡峭程度，峰度值为3。

3. 切点：正态分布曲线与均值之间会有两个切点，也即均值加减标准差的位置。

三、标准正态分布标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。

它是对正态分布进行标准化后的结果。

对于一个服从正态分布的随机变量X，可以通过以下公式将其转化为标准正态分布的随机变量Z：Z = (X - μ) / σ四、正态分布的应用正态分布在实际生活和科学研究中具有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 质量控制：正态分布可以帮助企业在生产过程中进行质量控制，通过控制产品的均值和标准差，来确保产品的质量稳定。

2. 统计分析：正态分布在统计学中扮演了重要角色，可以用于分析和描述大量数据的分布情况，从而得出结论或进行预测。

3. 考试评分：在考试评分过程中，教师常常采用正态分布来确定分数段及相应的等级，从而更公平地进行评价。

4. 实验设计：科学实验中常常会涉及到测量误差和数据分布的问题，正态分布可以作为参考，帮助科研人员进行实验设计和数据分析。

五、常用的正态分布应用题1. 求解概率：给定正态分布的均值和标准差，可以求解指定区间的概率。

2. 求解分位数：给定正态分布的均值和标准差，可以求解给定概率下的分位数，即求解落在该概率下的随机变量取值。

高考正态分布知识点归纳

高考正态分布知识点归纳作为中国高等教育的重要选拔方式，高考在很大程度上决定了学生的命运。

而统计学中的正态分布是高考中常出现的一个重要概念。

了解和掌握正态分布的相关知识点对于高考数学考试至关重要。

本文将从不同角度对高考正态分布知识点进行归纳和总结，以帮助考生更好地应对相关考题。

一、正态曲线和标准正态分布正态曲线是一种在统计学中经常使用的函数图形。

它呈现出钟形曲线的形状，具有中心对称、均值和标准差两个重要参数的特征。

高考中常见的正态分布问题会涉及到正态曲线的图形特点、标准差的计算等内容。

标准正态分布是指均值为0、标准差为1的正态分布。

对于任意一个正态分布，我们都可以通过标准化处理，将其转化为标准正态分布。

标准正态分布具有良好的性质，比如其面积一定等于1，可以使用标准正态分布表进行查找。

二、正态分布的性质和应用正态分布具有许多重要的性质，这些性质在高考中常常会涉及到。

首先是标准差的性质。

标准差越大，曲线越扁平；标准差越小，曲线越陡峭。

这个性质可以帮助我们察觉数据的分散程度。

其次是与正态分布有关的概率问题。

根据正态分布的特点，我们可以计算某个数值在一定范围内的概率。

例如，高考中常见的题目会要求计算某个班级或某个学生在全省排名中的百分位数。

最后是正态分布在抽样理论中的应用。

正态分布是许多统计方法的基础，比如样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布等。

这些应用在高考数学考试中也经常会出现。

三、正态分布与假设检验高考中的数学考卷通常涉及到学生的实际生活问题。

与实际问题相关的统计假设检验也常常和正态分布有关。

假设检验是一种通过收集样本数据，根据样本数据对总体参数进行推断的方法。

在高考中，常见的假设检验问题可能涉及到学生的身高、成绩等方面。

其中，若总体服从正态分布，则可以使用正态分布的性质进行假设检验。

对于高考数学考试中的假设检验问题，我们需要熟悉正态分布的假设检验步骤和相关公式，以便正确地解答相关题目。

四、高考试题中的正态分布问题在高考数学试卷中，正态分布相关的题目通常出现在概率与统计部分。

高三数学正态分布和线性回归(知识点和例题)

正态分布和线性回归高考要求1.了解正态分布的意义及主要性质2.了解线性回归的方法和简单应用知识点归纳1．正态分布密度函数：22()2()xf xμσ--=，（σ＞0，-∞＜x＜∞）其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为),(2σμN2．正态分布),(2σμN）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布例1、下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ．（1）2221)(xexf-=π，（-∞＜x＜+∞)（2）2(1)8()xf x--=，（-∞＜x＜+∞)解：(1)0,1 (2)1,23．正态曲线的性质：正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量ξ～N(μ，σ2)，根据定义有：μ=Eξ，σ=Dξ。

正态曲线具有以下性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。

（2）曲线关于直线x =μ对称。

（3）曲线在x =μ时位于最高点。

（4）当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降。

并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近。

（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定。

σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。

高中数学正态分布知识点+练习(2020年10月整理).pdf

正态分布要求层次重难点正态分布A利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．（一）知识内容1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()21()2πx f x eμσσ−−=⋅，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ−∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ−+，(2,2)μσμσ−+，(3,3)μσμσ−+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()−∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ−+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．例题精讲高考要求正态分布x=μOyx（二）典例分析：【例1】已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ，，则(3)P X <=（）A ．15B ．14C ．13D ．12【例2】在某项测量中，测量结果X 服从正态分布()()210N σσ>，，若X 在()01，内取值的概率为0.4，则X 在()02，内取值的概率为．【例3】对于标准正态分布()01N ，的概率密度函数()2212πx f x e−=，下列说法不正确的是（）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 最大值为12πC ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数D ．()f x 关于1x =对称【例4】已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤（） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84【例5】某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)−，这个尺寸范围的零件约占总数的．【例6】已知2(1)X N σ−，~，若(31)0.4P X −=≤≤-，则(31)P X −=≤≤（） A ．0.4 B ．0.8 C ．0.6 D ．无法计算【例7】设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)(2)P c P c ξξ>+=<−，则_______c =．【例8】设~(01)N ξ，，且(||)(010)P b a a b ξ<=<<>，，则()P b ξ≥的值是_______（用a 表示）．【例9】设随机变量ξ服从正态分布(01)N ，，0a >，则下列结论正确的个数是____．⑴(||)(||)(||)P a P a P a ξξξ<=<+= ⑵(||)2()1P a P a ξξ<=<− ⑶(||)12()P a P a ξξ<=−< ⑷(||)1(||)P a P a ξξ<=−>【例10】如果随机变量2~()1N E D ξμσξξ==，，，求(11)P ξ−<<的值．【例11】正态变量2~(1)X N σ，，c 为常数，0c >，若(2)(23)0.4P c X c P c X c <<=<<=，求(0.5)P X ≤的值．【例12】下列函数是正态分布密度函数的是（）A ．2()21()2x r f x eσσ−=π B ．222()2x f x e −=ππ C ．2(1)41()22x f x e −=π D ．221()2x f x e =π【例13】若正态分布密度函数2(1)21()()2x f x ex −−=∈R π，下列判断正确的是（）A ．有最大值，也有最小值B ．有最大值，但没最小值C ．有最大值，但没最大值D ．无最大值和最小值【例14】设ξ的概率密度函数为2(1)21()2x f x e−−=π，则下列结论错误的是（）A ．(1)(1)P P ξξ<=>B ．(11)(11)P P ξξ−=−<<≤≤C ．()f x 的渐近线是0x =D ．1~(01)N ηξ=−，【例15】某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为2(80)2001()102x f x eπ−−=，则下列命题中不正确的是（）A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学标准差为10【例16】灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：h ），已知2~(100030)N ξ，，要使灯泡的平均寿命为1000h的概率为99.7%，则灯泡的最低使用寿命应控制在_____小时以上．【例17】一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？【例18】某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是______．【例19】已知连续型随机变量ξ的概率密度函数01()1202x f x x a x x ⎧⎪=−<⎨⎪⎩≤≤≥，⑴求常数a 的值；⑵求3(1)2P ξ<<．【例20】已知连续型随机变量ξ的概率密度函数201()1202x f x ax x x ⎧⎪=<⎨⎪⎩≤≤≥，求a 的值及3(1)2P ξ<<．【例21】设随机变量X 具有概率密度30()00x ke x f x x −⎧=⎨<⎩≥，求k 的值及(0.1)P X >．【例22】美军轰炸机向巴格达某铁路控制枢纽投弹，炸弹落弹点与铁路控制枢纽的距离X 的密度函数为100||||100()100000||100x x f x x −⎧⎪=⎨⎪>⎩≤，若炸弹落在目标40米以内时，将导致该铁路枢纽破坏，已知投弹3颗，求巴格达铁路控制枢纽被破坏的概率．【例23】设2~()X N μσ，，且总体密度曲线的函数表达式为：22141()e2πx x f x −+−=，x ∈R ．⑴求μσ，；⑵求(|1|2)P x −<及(12122)P x −<<+的值．【例24】某校高中二年级期末考试的物理成绩ξ服从正态分布2(7010)N ，．⑴若参加考试的学生有100人，学生甲得分为80分，求学生甲的物理成绩排名； ⑵若及格（60分及其以上）的学生有101人，求第20名的物理成绩．已知标准正态分布表(0.97)0.833φ=．【例25】在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70100)N ，．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名． ⑴试问此次参赛学生总数约为多少人？⑵若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？附：标准正态分布表(1.30)0.9032(1.31)0.9049(1.32)0.9066φφφ===，，．。

高考理科数学正态分布与线性回归复习资料

8
• 9. 若点(xi，yi)大体集中在一条直线附近，这条直线方程=bx+a叫做——————————— 回归直线方程，其中的系数a，b由下式确定.
b
x
n i 1 n
i
x ( yi y )
i

x
i 1
x

2

x y
i 1 n i
n
i
nx y nx
2
x
i 1
5
f x
• 相应的曲线称为标准正态曲线，标准正态分布记作 N(0，1) . • 4. 若标准正态分布N(0，1)总体取值小于x0的概率用Φ(x0)表示，即Φ(x0)=P(x＜x0)，则 • (1)P(x1＜x＜x2)= ; Φ(x2)-Φ(x1) • (2)当x0＜0时，Φ(x0)= . 1-Φ(-x0) • 5. 若ξ～N(μ，σ2)，则η= ～N(0，1)，且P(ξ＜x0)=F(x0)= .ξ-μσ Φ(x0-μσ)
第十一章
第
概率与统计
讲
（第一课时）
1
考点搜索
正态分布的含义，正态曲线及其性质 ●标准正态分布及其取值的概率，一般正态总体与标准正态总体的转化关系 ●相关关系的有关概念，回归直线方程，样本相关系数及相关性检验高
1. 正态总体在某区间内取值的概率的计算. 高考 2. 正态分布在实际问题中的应用，如产品质量或规格的控制，统计假设的检验等. 猜想 3. 相关性检验和回归直线的意义.
13
•
3.为考虑广告费用x千元与销售额y千元之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：
广告费用x(千元) 6.0 10.0 14. 0 19.0 44.0 40. 52.0 53. 销售额 y(千元) 现要使销售额达到 6万元，则需广告费 0 0 1.0 4.0

高中数学“正态分布”知识点讲解——以2024年全国1卷第9题为例

高中数学“正态分布”知识点讲解——以24年全国1卷第九题为例一言概之：正态分布X~N(μ，σ ),μ是期望，是图像的对称轴；σ 是方差，σ决定图像的胖瘦.详细解释：一、概念若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ 的正态分布，记为N(μ，σ ).其概率密度函数(f(x)=√ e( )(μ∈R,σ>0))为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度.当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布.二、性质1.对称性：关于x=μ对称，在x=μ处达到最大值√，越远离μ，密度函数越小.2.σ(σ>0)决定函数图像的胖、瘦.如下图所示.3.3σ原则（1）P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827 ；（2）P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545 ；（3）P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.4. 正态分布的均值与方差若X～N(μ,σ )，则E(X)=μ，D(X)=σ .以2024年全国1卷第9题为例2024年全国1卷T9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x ，样本方差20.01s ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布 21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布 2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布 2,N u ，()0.8413P Z ）A. (2)0.2P XB. (2)0.5P XC. (2)0.5P YD. (2)0.8P Y 解析： 2~ 1.8,0.1X N 的图像：1.80.1 1.9∴ 1.910.84130.1587P X ，显然 2 1.9P X P X ，所以A 错误.B 正确. 2~ 2.1,0.1Y N 的图像：与 2~ 1.8,0.1X N 的图像一致，仅对称轴改变.∵ 2.10.5P X （对称性，对称轴为 2.1x ，故左右各为0.5）2 2.1P Y P Y ，故C 正确；又∵ 2 2.10.10.8413P Y P Y （对称性： 0.8413P Y P Y ）即：D 错误.解题建议：①画出图像；②标明对称轴；③标明与 .。

高中数学正态分布知识点+练习

正态分布高考正态分布要求层次重难点正态分布A利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．例题一) 知识内容1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量 X ，则这条曲线称为 X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是 1，而随机变量 X 落在指定的两个数 a ，b之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的准差为的正态分布通常记作 N( , 2) ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为 0 ，标准差为 1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论： ①正态变量在区间 ( ,) ，( 2 , 2 ) ，( 3 , 3 )内，取值的概率分别是 68.3% ，95.4%， 99.7% ．②正态变量在 ( ， ) 内的取值的概率为 1，在区间 ( 3故正态变量的取值几乎都在距 x 三倍标准差之内，这就是正态分布的 3 原则．变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为 f(x)2π(x)2e 2，x 中，是参数，且0 ，式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标3 ) 之外的取值的概率是 0.3% ，R ，其二）典例分析：例1】已知随机变量 X 服从正态分布 N （3 ，a 2），则 P （X 3）（）值的概率为 0.4，则 X 在 0，2 内取值的概率为【例4】已知随机变量 X 服从正态分布 N （2， 2），P （X ≤ 4） 0.84，则P （X ≤0）（） A ． 0.16B ．0.32C ． 0.68D．0.84N （0 ，4），则不属于区间（ 4，4）这个尺寸范围的零件约占总数的【例 6】已知 X N （ 1，2)，若 P( 3≤X ≤-1) 0.4，则 P( 3≤X ≤1) (）A ． 0.4B ． 0.8C ． 0.6 D．无法计算【例 7】设随机变量服从正态分布N (2 ，9) ，若 P(c 2) P( c2），则c ________【例 8】设 ~ N(0 ，1)，且 P(| | b)a(0 a 1，b 0) ，则 P( ≥ b) 的值是_________________________________________（用a 表示）．例 9 】设随机变量服从正态分布 N （0 ，1）， a0 ，则下列结论正确的个数是 ___ ．⑴ P(| | a) P(| | a) P(| | a)⑵ P(| | a) 2P( a) 1⑶ P(| | a) 1 2P( a)A ．15B ．C ．D ．例2】在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 N 10 ，若 X 在 0 ，1 内取例 3】对于标准正态分布 N 0 ，1 的概率密度函数1 xe 2πx 22列说法不正确的是（）A ． f x 为偶函数 BC ． f x 在 x 0时是单调减函数，在 x ≤0时是单调增函数 D最大值为x 关于 x 1 对称1 2π例5】某种零件的尺寸服从正态分布⑷ P(| | a) 1 P(| | a)如果随机变量 ~ N( ， 2)，E D 1 ，求 P( 1 1)的值．A ．有最大值，也有最小值B ．有最大值，但没最小值C ．有最大值，但没最大值D ．无最大值和最小值A ．该市这次考试的数学平均成绩为 80 分B ．分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同C ．分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学标准差为 10【例16】灯泡厂生产的白炽灯寿命 (单位： h )，已知 ~ N (1000，302) ，要使灯泡的平均寿命为 1000h 的概率为 99.7%，则灯泡的最低使用寿命应控制在 _____ 小时以上．【例 17】一批电池(一节)用于手电筒的寿命服从均值为 35.6小时、标准差为 4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于 40 小时的概率是多少例 10 】例 11 】正态变量 X~ N(1， 2)P(c X 2c)P(2c X 3c) 0.4，求 P(X ≤ 0.5)的值．【例 12】 A ． f(x)列函数是正态分布密度函数的是( )(x r)2 2B ． f(x)2πex222πC ． f(x)1 (x2 2π e1)2例 13 】若正态分布密度函数 (x 1)2(x R) ，下列判断正确的是(【例 14】设的概率密度函数为 f(x) 1(x 1)2 12 e 22π，则下列结论错误的是()B ． P( 1≤ ≤ 1) P( 1 1)D ． 1~ N(0 ，1)【例 15】某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为 f(x) 1(x 80)21e 200 ，则下列命题中不正确的是( )10 22πf (x)x 2f(x)2A ． P( 1) P( 1)C ． f (x) 的渐近线是 x 0例 18】某班有 48 名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为 80，标准差为 10，理论上说在 80 分到 90分的人数是 ___0 x ≤1【例 19】已知连续型随机变量的概率密度函数 f (x)x a 1≤ x 2 ，x ≥ 2⑴求常数a 的值；⑵求 P(1 3) ． 2P(132)．ke x ≥ 0ke x ≥0，求 k 的值及 P(X 0.1)． 0 x 0【例 22】美军轰炸机向巴格达某铁路控制枢纽投弹，炸弹落弹点与铁路控制枢纽的100 |x |距离 X 的密度函数为f (x) 10000| x |≤ 100，若炸弹落在目标 40 米以内时，将导致该铁0 |x| 100路枢纽破坏，已知投弹 3颗，求巴格达铁路控制枢纽被破坏的概率．例 20 】已知连续型随机变量x ≤1的概率密度函数 f(x) ax 21≤ x 2 ，求 a 的值及 0x ≥2例 21 】设随机变量 X 具有概率密度 f (x)1x R ．⑴求，；⑵求 P(|x 1| 2) 及P(1 2 x 1 2 2) 的值．例 24】某校高中二年级期末考试的物理成绩服从正态分布 N （70 ，102）．⑴若参加考试的学生有 100人，学生甲得分为 80 分，求学生甲的物理成绩排名； ⑵若及格（ 60分及其以上）的学生有 101人，求第 20 名的物理成绩．已知标准正态分布表（0.97） 0.833 ．【例 25】在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 N （70 ，100）．已知成绩在 90分以上（含 90分）的学生有 12名．⑴试问此次参赛学生总数约为多少人⑵若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生，试问设奖的分数线约为多少分附：标准正态分布表（1.30） 0.9032 ，（1.31） 0.9049 ，（1.32） 0.9066 ．x 2 2x 1例 23】设 X ~ N （， 2），且总体密度曲线的函数表达式为：f(x)2πe。

高三数学抽样方法、正态分布与线性回归知识精讲

高三数学抽样方法、正态分布与线性回归【本讲主要内容】抽样方法、正态分布与线性回归三种常用抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样；用样本频率分布估计总体分布；正态分布的意义与主要性质；线性回归的方法与简单应用.【知识掌握】【知识点精析】（一）三种常用抽样方法：1. 简单随机抽样：设一个总体的个数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。

例如，假定一个小组有6个学生，要通过逐个抽取的方法从中取3个学生参加一项活动，第1次抽取时每个被抽到的概率是61，第2次抽取时，余下的每个被抽到的概率都是51，第3次抽取时，余下的每个被抽到的概率都是41. 问题：每次抽取时各个个体被抽到的概率是相等的，那么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率是否确实相等？例如，从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，在整个抽样过程中，总体中的任意一个个体a ，在第一次抽取时，它被抽到的概率是61；若它第1次未被抽到而第2次被抽到的概率是615165=⨯，由于个体a 第1次被抽到与第2次被抽到是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式，在整个抽样过程中，个体a 被抽到的概率P ＝61＋61＝31. 又由于个体a 的任意性，说明在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，都是61. 事实上：用简单随机抽样的方法从个体数为N 的总体中逐次抽取一个容量为n 的样本，那么每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，依次是)1(1,21,11,1----n N N N N ，且在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率都等于N n 。

由于简单随机抽样体现了抽样的客观性和公平性，且这种抽样方法比较简单，所以成为一种基本的抽样方法。

如何实施简单抽样呢？下面介绍两种常用方法：抽签法和随机数表法。

（1）抽签法先将总体中的所有个体编号（可以从1到N ），并把写在形状、大小相同的号签上，号签可以用小球、卡片、纸条等制作，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本，对个体编号时，也可以利用已有的编号，例如从全班学生中抽取样本时，可以利用学生的学号、座位号等。

高三正态分布的知识点

高三正态分布的知识点正态分布是概率论和统计学中非常重要的概念之一，它在高三数学课程中也是必学的知识点。

本文将介绍高三正态分布的基本概念、性质以及应用。

1. 正态分布的基本概念正态分布，又称为高斯分布，是一种连续型的概率分布。

它的特点是呈钟形曲线，两侧尾部逐渐衰减，并且平均值、中位数和众数都相等。

正态分布的图像称为正态曲线，其表现形式为一个关于均值的对称曲线，均值处为最高点。

2. 正态分布的性质（1）正态分布是对称分布，即中心对称的曲线。

（2）正态分布的均值、中位数和众数都相等，且位于曲线的中心位置。

（3）正态分布的标准差越小，曲线越尖；标准差越大，曲线越平缓。

（4）正态分布可以通过改变均值和标准差控制其位置和形状。

（5）正态分布以均值为中心，标准差为单位，将整个曲线划分为若干个标准差区间，分别为68-95-99.7规则，分别包含了相应比例的数据。

3. 正态分布的应用正态分布广泛应用于各个领域，特别在高三数学中的统计与概率部分。

（1）在考试成绩分析中，假设考试成绩服从正态分布，可以通过计算均值和标准差来评估考试难度和判定学生的等级。

（2）在质量控制中，可以通过正态分布来确定生产过程中的误差界限和质量合格标准。

（3）在人体测量学中，如身高、体重等指标的分布可以近似地服从正态分布，用于制定相关医疗标准。

（4）在金融领域中，股票价格的变动、利润的波动等数据也常常服从正态分布，用于风险评估和投资决策。

4. 正态分布的计算方法正态分布的计算主要涉及标准化和逆标准化。

（1）标准化：将原始数据转化为标准正态分布，即均值为0，标准差为1的分布。

标准化的方法是通过减去均值再除以标准差。

（2）逆标准化：将标准正态分布的数值转化为原始分布的数值。

逆标准化的方法是通过乘以标准差再加上均值。

总结：正态分布是高三数学中的重要知识点，掌握了正态分布的基本概念、性质和应用，可以更好地理解和解决与正态分布相关的问题。

通过计算方法的学习，我们能够对数据进行标准化和逆标准化，为进一步的数据分析提供基础。

高考数学第一轮.110012.4正态分布、线性回归

12.4 正态分布、线性回归一、知识梳理1．正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。

一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。

2．正态曲线及其性质正态分布函数：22()2()x f x μσ--=，x ∈（-∞，+∞）3．标准正态曲线标准正态曲线N （0，1）是一种特殊的正态分布曲线，00()1()x x Φ-=-Φ，以及标准正态总体在任一区间(a ，b)内取值概率)()(a b P Φ-Φ=。

4．一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体),(2σμN 其图像不一定关于y 轴对称，对于任一正态总体),(2σμN ，其取值小于x 的概率)()(σμ-Φ=x x F 。

只要会用它求正态总体),(2σμN 在某个特定区间的概率即可。

5．“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。

这种认识便是进行推断的出发点。

关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。

课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想。

进行假设检验一般分三步：第一步，提出统计假设。

课本例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布),(2σμN ；第二步，确定一次试验中的取值a 是否落入范围（μ-3σ，μ+3σ）；第三步，作出推断。

如果a ∈（μ-3σ，μ+3σ），接受统计假设；如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设。

6．相关关系研究两个变量间的相关关系是学习本节的目的。

高中数学复习学案(第72讲) 正态分布和线性回归人教版选修2

题目 (选修Ⅱ)第一章概率与统计正态分布和线性回归高考要求1.了解正态分布的意义及主要性质2.了解线性回归的方法和简单应用知识点归纳1．正态分布密度函数：22()21()2x f x eμσπσ--=，（σ＞0，-∞＜x ＜∞）其中π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为),(2σμN2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布3．正态曲线的性质：正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量ξ～N(μ，σ2)，根据定义有：μ=E ξ，σ=D ξ。

正态曲线具有以下性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交。

（2）曲线关于直线x =μ对称。

（3）曲线在x =μ时位于最高点。

（4）当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降。

并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近。

（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定。

σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。

五条性质中前三条较易掌握，后两条较难理解，因此应运用数形结合的原则，采用对比教学4．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x ex f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题5.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x <只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.56.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ．7．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化8.小概率事件的含义：发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断9．相关关系:当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系相关关系与函数关系的异同点如下：相同点：均是指两个变量的关系不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．10．回归分析一元线性回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性对于线性回归分析，我们要注意以下几个方面：（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。

高三数学知识点正态分布

高三数学知识点：正态分布
正态分布
[高三数学]
题型:解答题
已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（116,64），则成绩在140分以上的考生所占的百分比？
问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路
考查知识点：
正态分布的性质
正态分布曲线
难度:中
解析过程：
规律方法：
熟悉正态分布密度函数，主要还是把课本上讲的正态分布函数的性质掌握住，才能灵活运用。

正态分布应用题
[高三数学]
题型:解答题
已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（116,64），则成绩在140分以上的考生所占的百分比？
问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路
考查知识点：
正态分布的性质
难度:中
解析过程：
规律方法：
熟悉正态分布密度函数，主要还是把课本上讲的正态分布函数的性质掌握住，才能灵活运用。

知识点：正态分布
所属知识点：
[随机变量及其分布列]
包含次级知识点：
正态分布曲线、正态分布的定义、正态分布的性质、标准正态分布
知识点总结
常见考法
在段考中，多以选择题和填空题的形式考查正态分布的性质和标准正态分布，属于容易题。

在高考中，考的很少。

误区提醒
把正态分布曲线的性质要记准。

【典型例题】。

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