第三次模拟数学(理科)试卷

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2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(全解全析)

2024年高考第三次模拟考试数学（理科）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,6【答案】A【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由260x x -≥，即()60x x -≥，解得6x ≥或0x ≤，所以{}(][)260,06,B x x x ∞∞=-≥=-⋃+，又{}24A x x =-≤≤，所以[]2,0A B ⋂=-.故选：A 2．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】运用复数代数运算及两复数相等的性质求解即可.【详解】由题意知，22231(i)i=i2422z a a=+=-+，所以23142a⎧-=⎪⎪=，解得12a=.故选：C.3．如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若AB a=，AC b=，则AM等于（）A．()12a b-B．()12a b--C．()12a b+D．()12a b-+【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为AM是ABC的边BC上的中线，所以12CM CB=，所以12AM AC CM AC CB=+=+()()()111222AC A CB A AC aBA b=+-=+=+.故选：C4．已知函数()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x=是()f x图象的一条对称轴，则()f x的单调递减区间为（）A．()π5π2π,2πZ66k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦B．()5π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦C．()4ππ2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦D．()π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期确定ω的值，根据函数的对称轴求出ϕ，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】由于()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象是将()tan y x ωϕ=+的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，且()tan y x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭仅有单调递增区间，故()()tan f x x ωϕ=+和()tan y x ωϕ=+的最小正周期相同，均为2π，则π12π,2ωω=∴=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则1π1π,Z 232k k ϕ⋅+=∈，即1ππ,Z 26k k ϕ=-∈，结合π02ϕ<<，得π3ϕ=，故()1πtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π1πππ,Z 223k x k k -<+≤∈，则5π2π2π2π,Z 33k x k k -<≤-∈，即()f x 的单调递减区间为()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦，故选：B5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线的斜率等于0时，直线的方程为1y =，代入方程224x y +=中，得x =，显然CD =；当直线的不存在斜率时，直线的方程为1x =，代入方程224x y +=中，得y =CD =因此是必要而不充分条件，故选：A6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有1863=⨯种名次排列情况；②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有23A 6=种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有6636⨯=种名次排列情况；则一共有361854+=种不同的名次情况，故选：B ．7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD ，再求出特殊点的函数值，得到答案.【详解】()πln sin ln cos 2x x x x f x x x⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()()ln cos ln cos x x x x f x f x x x-⋅-⋅-==-=--，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B 、D ．又()ln 2cos 2202f ⋅=<，故A 错误.故选：C ．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A ．3π24R B ．3π24R C ．3π12R D ．3π12R 【答案】C 【分析】分别求得面α截圆锥时所得小圆锥的体积和平面α与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.【详解】平面α截圆柱所得截面圆半径2r =，∴平面α截圆锥时所得小圆锥的体积2311ππ3212V r R R =⋅=，又平面α与圆柱下底面之间的部分的体积为232πV R R R =根据祖暅原理可知：平面α与半球底面之间的几何体体积33321πππ21212V V V R R R =-=-=.故选：C.9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】B【分析】用定义证明函数()f x 的奇偶性及在()0,1上的单调性，利用函数()f x 的奇偶性及单调性，对数函数ln y x =的性质及对数运算可得结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，当01x <<时，任取12x x >，()()12121221ln ln ln ln ln ln 0f x f x x x x x x x -=-=-=-<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,1上为减函数，因为31ln2ln02>>>，所以()()()113ln ln2ln2ln2ln 22a f f f f f c-⎛⎫⎛⎫===-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c <，设3401,1x x <<<，则()4444ln ln ln f x x x x ===，()3333ln ln ln f x x x x ===-，若()()34f x f x =，则34ln ln x x -=，所以341x x =，因为2e ln 2ln212=->，所以22e 11ln e 22ln2ln 2b f f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，又()21ln21ln202ln22ln2--=>--，即11ln202ln2>>>-，所以()1ln22ln2f f ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即b a <，故选：B.10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a=，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B 【分析】由81a=，利用递推关系，分类讨论逆推出1a 的不同取值，进而可得答案.【详解】若81a =，又1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，根据上述运算法进行逆推，可得72a =，64a =，所以58a =或51a =；若58a =，则4316,32a a ==或35a =；当332a =时，2164,128a a ==或121a =；若35a =时，2110,20a a ==或13a =；当51a =，则4322,4,8a a a ===或21a =；当28a =时，116a =；当21a =时，12a =，故81a=时，1a 的所有可能的取值集合{}2,3,16,20,21,128M =即集合M 中含有6个元素．故选：B11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为C 的离心率是（）AB ．32CD ．3【答案】B【分析】根据斜率及双曲线的对称性得12BF F △为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出121410,33AF c AF c ==，由双曲线定义可得423c a =，从而得到离心率.【详解】由题意，直线1BF12π3BF F ∴∠=，又12BF BF =，所以12BF F △为等边三角形，故12122BF BF F F c ===，2112π2π,33BF F F F A ∠=∠=，在12AF F △中，21tan 0F F A ∠>，则21F F A ∠为锐角，则212111sin 14F F A F F A ∠=∠=，212πsin sin 3A F F A ⎛⎫=+∠= ⎪⎝⎭由正弦定理，12121221sin sin sin F F AF AF AF F AF F A==∠∠，=∴121410,33AF c AF c ==,由122AF AF a -=，得423c a =，32c e a ∴==.故答案选：B .12．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断()f x 很可能是周期函数，结合()()()(),f x g y g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令1y =-和1y =时可构建出两个式子，两式相加即可得出()()()11f x f x f x ++-=-，进一步得出()f x 是周期函数，从而可求()20231n f n =∑的值.【详解】解：对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，故A错误；对于B ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，因为()3cos 2π10g ==≠，所以()g x 的图象不关于点()3,0对称，所以函数()21g x +的图象不关于点()1,0对称，故B 错误；对于C ，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，()01g =，再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即：()()()12f x f x f x =-+-+，有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即：()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()11f =，所以()21f -=，所以()()221f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑ ，故D 正确.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.【答案】3【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =；则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，又9y x x=+在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.【答案】9542ω≤≤【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数π()2sin(13f x x ω=+-，由()0f x =，得π1sin()32x ω+=，则ππ2π36x k ω+=+或π5π2π,Z 36x k k ω+=+∈，由[0,2π]x ∈，得πππ[,2π333x ωω+∈+，由()f x 在[0,2π]上恰有5个零点，得29ππ37π2π636ω≤+<，解得935412ω≤<，由3ππ22πx ω+≤-≤，得5ππ66x ωω-≤≤，即函数()f x 在5ππ[,66ωω-上单调递增，因此5ππ[,]ππ[,]41566ωω-⊆-，即45π6πω≤--，且π6π15ω≥，解得502ω<≤，所以正实数ω的取值范围为9542ω≤≤.故答案为：9542ω≤≤15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）【答案】15【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数②(0,),()0x f x ∃∈+∞>③41(1)e f >④0x ∀>时，41()e xf x <【答案】②③【分析】根据构造函数的规律由令()()4e xg x f x =，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得②③④.【详解】令()()4e x g x f x =，则()()()()()4444e e e 4x x x g x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，取0x =时，即()00f =，但(01f =），故①错误；因为4e 0,(0,)x x >∈+∞恒成立，且()4()0f x f x '+>，所以()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以()()()()()44110e 101e g g f f f >⇒>⇒>，故②正确；由②可知，③正确；因为()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以当0x >时有()()()()0,001g x g g f >==，所以()()441e 1e x xf x f x >⇒>，故④错误；故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC 的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．【答案】(1)35；(2)4.【详解】（1）由()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =-- 垂直，得0m n ⋅=，...............1分即sin (5sin 6sin )(5sin 5sin )(sin sin )0B B C A C C A -++-=，整理得2226sin sin sin sin sin 5B C A B C +-=，...............2分在ABC 中，由正弦定理得22265b c a bc +-=，...............3分由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==，所以cos A 的大小为35................5分（2）由（1）知，在ABC 中，3cos 5A =，则4sin 5A ==，...............6分由22265b c a bc +-=，得22266482555a b c bc bc bc bc ==+-≥-=，即10bc ≤，...................................................................................................8分当且仅当b c =时取等号，...................................................................................................9分因此ABC 的面积12sin 425ABC S bc A bc ==≤ ，..........................................................11分所以ABC 的面积的最大值是4.....................................................12分18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”；(2)35【详解】（1）依题意，关注流行语居民人数为81410638+++=，不关注流行语居民人数为81422+=，...................................................................................................2分所以22⨯列联表如下：男女合计关注流行语30838不关注流行语101222合计4020602K 的观测值2260(3012108)7.03 6.63540203822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，................................................................4分所以有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”...................5分（2）依题意，男居民选出406660⨯=（人），.......................................6分记为a b c d ,,,，女居民选出2人，记为,E F ，从6人中任选3人的样本空间{,,,,,,,,,,abc abd abE abF acd acE acF adE adF aEF Ω=,,,,,,,,,}bcd bcE bcF bdE bdF bEF cdE cdF cEF dEF ，共20个，.................................9分选出的3人为2男1女的事件{,,,,,,,,,,,}A abE abF acE acF adE adF bcE bcF bdE bdF cdE cdF =，共12个，...........11分所以选出的3人为2男1女的概率123()205P A ==......................................12分19．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；4AP =-【详解】（1）证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，..1分因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥，所以42AE BFMN CD +===，//MN BF ,进而MN CD ∥，即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，......................................3分在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥，......................................4分又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ．.....................5分因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ，又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ．......................................6分（2）如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()())0,0,5,0,2,4,E D F ．设点()0,0,P t，则)()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =--=-=--．.................8分设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =．由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()111110,240,y z y t z --=-+-=⎪⎩令12z =，则114,y t x =-=14,2n t ⎫=-⎪⎭ ，......................................9分220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,20,y z y z --=-+=⎪⎩取22z =，则)22n = ，...............................10分由121212π1cos ,cos 32n n n n n n ⋅===，28290t t +-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05t ≤≤，所以4t =-，......................................11分当4t =-时，二面角P DF E --所成角为锐角，即存在点P 满足，此时4AP =．......................................12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．【答案】(1)22143x y +=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4【详解】（1）点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴，则有()1,0F 设椭圆C 的焦距为()20c c >，则1c =，.......................................................................1分点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，有()222219191441a b a a +=+=-，解得2a =，则222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=...................................................................................3分（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y y k x x m =+⎧⎪⎨⎪+⎩=，消去y ，整理得()2223484120kxkmx m +++-=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()22Δ48430k m =-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++， (5)分因为直线AF 和直线BF 关于PF 对称，所以()()()()12121212121212220111111AF BF kx x m k x x my y kx m kx m k k x x x x x x +-+-+++=+=+==------所以()()()21212224128222203434m kmkx x m k x x m k m k m k k --+-+-=⨯+-⨯-=++所以222282488860km k km k m mk m --+--=解得4m k =-................................................................................................................7分所以直线l 的方程为()44y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点()4,0................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.......8分（ⅱ）设直线l 的方程为4x ny =+，由224143x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()223424360n y ny +++=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()()()222Δ241443414440n n n =-+=->，解得24n >，........................................................................................................9分1212222436,3434n y y y y n n +=-=++，所以12y y -=所以121331822ABFS y y =⨯-=⨯⨯ .............................10分令()24,0n t t -=>则18184ABC S ==≤，当且仅当163t =时取等号，所以ABF △面积的最大值为4......................................................................12分21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；极大值21(1)f e =，极小值(0)0f =；(2)(]0,2e 【详解】（1）当2a =时，()22=exx f x ()()2222222e e 22(1)=e e x x xxx x x x f x ⋅-⋅⋅--'=......................................2分令()=0f x '，解得0x =或1x =，......................................3分所以()()x f x f x '、、的关系如下表：x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '-+-()f x 单调递减0单调递增21e 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；......................................4分极大值21(1)f e=，极小值(0)0f =；......................................5分（2）[]222()cos ln ()ln 4cos ln 2ln 4e eaa x xx x f x f x a x x a x x ⎛⎫-≥-⇔-≥- ⎪⎝⎭ln 2e 2(ln 2)cos(ln 2)0a x x a x x a x x -⇔----≥......................................6分令()e 2cos t g t t t =--，其中ln 2a x x t -=，设l (2)n a x x F x =-，0a >2()2a a x x xF x --='=令()0F x '>，解得：02ax <<，......................................8分所以函数()F x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，max ()ln 22a a F x F a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()F x →-∞，所以函数()F x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；......................................9分又()e 2sin t g t t '=-+，设()e 2sin t h t t =-+，,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()e cos t h t t '=+，当0t ≤时，e 1,sin 1t t ≤≤，且等号不同时成立，即()0g t '<恒成立；当0t >时，e 1,cos 1t t >≥-，即()0h t '>恒成立，所以()h t 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1g '=-，(1)e 2sin10g '=-+>，所以存在0(0,1)t ∈，使得0()0g t '=，当00t t <<时，()0g t '<，当0t t >时，()0g t '>，所以函数()g t 在0(,)t -∞上单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，且(0)0g =......................................11分当ln 02aa a -≤即02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，符合题意；当ln02a a a ->即2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，必有1()0g t <，不符合题意.综上所述：a 的取值范围为(]0,2e ......................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C 与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.【答案】(1)C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=.(2)存在，坐标为33,,4444⎛⎛--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）由题设曲线C 的参数方程，消参得()2214x y -+=，............................2分由cos ,sin x y ρθρθ==，且)πsin sin cos 4ρθρθρθ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭y =30x y -+=，......................................4分∴C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=...............................5分（2）当0y =时，()33,0x A =-⇒-，易知()12cos ,2sin B a a +，设(),M x y ，可得()()3,,2cos 1,2sin AM x y MB a x a y =+=-+-，......................................6分32cos 1cos 1,2sin sin x a x x a AM MB y a y y a +=-+=-⎧⎧=⇒⎨⎨=-=⎩⎩（a 是参数），消参得方程为()2211,x y ++=......................................8分且1,2,1,3E C C E C E r r r r r r ==-=+=，则圆心距离2,d ==得C E C E r r d r r -<<+，则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组()()22221114x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故坐标为33,,44⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭......................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或(2)证明见解析【详解】（1）()2122f x x x x =-+-+，当0x <时，532x -+≥，解得0x <，......................................1分当102x ≤<时，332x -+≥，解得103x ≤≤，......................................2分当112x ≤<时，12x +≥，解得x ∈∅，......................................3分当1x ≥时，532x -≥，解得1x ≥，......................................4分综上所述，()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤⎨⎩或}1≥x .......................................5分（3）由已知可得()5301330211<12531x x x x f x x x x x -+<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪+≤⎪⎪->⎩，所以当12x =时，()f x 的最小值为32...............................................................................................6分1a b ∴+=，211,24a b a b ab +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==取等,......................................8分令t ab =，则104t <≤，211()212225224a b ab a b ab ab t a b ab ab ab t +-⎛⎫⎛⎫++=++=+-=+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14t =取等，此时12a b ==.......................................10分。

2023届陕西省榆林市第三次模拟考试理科数学试题

绝密★启用前榆林市2022～2023年度第三次模拟考试数学试题(理科)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2．请将各题答案填写在答题卡上。

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z＝2i，则( )(A)z2＝2(B)z2＝－4(C)z4＝2(D)z4＝42．已知集合A＝{x|0＜x＜16}，B＝{y|－4＜4y＜16}，则A∪B＝( )(A)(－1，16)(B)(0，4)(C)(－1，4)(D)(－4，16)3．一个等差数列的前3项之和为12，第4项为0，则第6项为( )(A)－2(B)－4(C)1(D)24．已知两个非零向量a＝(1，x)，b＝(x2，4x)，则“|x|＝2”是“a∥b”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5．实轴在y轴上的双曲线的离心率为10，则该双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为( )(A)1010(B)110(C)31010(D)3106．某省将从5个A类科技项目、6个B类科技项目、4个C类科技项目中选4个项目重点发展，其中这3类项目都要有，且A类项目中有1个项目已经被选定．则满足条件的不同选法共有( )(A)96(B)144种(C)192种(D)206种7．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是25，M为A1C1的中点，N是侧面BC C1B1上一点，且MN∥平面ABC1，则线段MN的最大值为( )(A)22(B)23(C)10(D)38．执行如图所示的程序框图，若输入的a＝2，则输出的k＝( )(A)2(B)4(C)6(D)89．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，g(x)的导函数都存在，f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)＜1，且f(1)＝2，g(1)＝1，则f(x)g(x)＜x＋1的解集为( )(A)(1，2)(B)(2，＋∞)(C)(0，1)(D)(1，＋∞)10．现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i(i＝1，2，…，16)匹马的日行路程是第i＋1匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为(取1.0517＝2.292)( )(A)7750里(B)7752里(C)7754里(D)7756里11．已知a＝log3.43.5＋log3.53.4，b＝log3.53.6＋log3.63.5，c＝logπ3.7，则( )(A)a＞b＞c(B)b＞a＞c(C)a＞c＞b(D)b＞c＞a12．已知三棱锥A－BCD中，AB⊥BC，BC⊥CD，CD＝2AB＝2BC＝4，二面角A－BC－D 为60°，则三棱锥A－BCD外接球的表面积为( )(A)16π(B)24π(C)18π(D)20π第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知奇函数f(x)＝x3＋(a－5)x2＋ax(x∈R)，则f(1)＝▲ ．14．若不等式ax 2－6x ＋3＞0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ▲ ，a ＋9a －1的最小值为 ▲ ．(本题第一空3分，第二空2分)15．已知函数f (x )＝tan2x 与g (x )＝sin(x －π6)的图象在区间[－π，π]上的交点个数为m ，直线x ＋y ＝2与f (x )的图象在区间[0，π]上的交点的个数为n ，则m ＋n ＝ ▲ ． 16．已知直线y ＝x －m 与椭圆C ：x 2＋y 22＝1于A ，B 两点，则线段AB 的中点P 的轨迹长度为 ▲ ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(12分)如图，底面为矩形ABCD 的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ． (1)证明：平面PAD ⊥平面PCD ．(2)若PA ＝AD ＝3，AB ＝1，E 在棱AD 上，若AD ＝3AE ，求PE 与平面PBD 所成角的正弦值．18．(12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，AB →•AC →＝4，且ac sin B ＝8sin A ． (1)求A ；(2)求sin A sin B sin C 的取值范围．19．(12分)已知1个不透明的袋子中装有6个白球和4个黄球(这些球除颜色外无其他差异)．甲从袋中摸出1球，若摸出的是白球，则除将摸出的白球放回袋子中外，再将袋子中的1个黄球拿出，放入1个白球；若摸出的是黄球，则除将摸出的黄球放回袋子中外，再将袋子中的1个白球拿出，放入1个黄球．再充分搅拌均匀后，进行第二次摸球，依此类推，直到袋中全部是同一种颜色的球，已知甲进行了4次摸球，记袋子中白球的个数为X ．(1)求袋子中球的颜色只有一种的概率；(2)求X 的分布列和期望． 20．(12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是C 上的动点，点P (1，1)不在C 上，且|AF |＋|AP |的最小值为2．(1)求C 的方程；(2)若直线AP 与C 交于另一点B ，与直线l 交于点Q ，设QA →＝λP A →，QB →＝μPB →，且λ＋μ＝4，求直线l 的方程． 21．(2023年榆林市三模)(12分)已知函数f (x )＝x ln x ．(1)若直线y ＝2x ＋m 与曲线y ＝f (x )相切，求m 的值； (2)证明：－1e ≤f (x )＜e x2x (参考数据：e 4＞54)．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线M 的方程为y ＝－x 2＋4x ，曲线N 的方程为xy ＝9．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：θ＝θ0(ρ≥0，0＜θ0＜π2)与曲线M 交于点A (均异于极点)，与曲线N 交于点B ，且|OA |·|OB |＝12，求θ0． 23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|x －a －1|＋|x －2a |．(1)证明：存在a ∈(0，＋∞)，使得f (x )≥1恒成立； (2)当x ∈[2a ，4]时，f (x )≤x ＋a ，求a 的取值范围．绝密★启用前榆林市2022～2023年度第三次模拟考试数学试题解析(理科)1．【答案】D【解析】z ＝2i ，z 2＝－2，z 4＝4，故选(D)． 2．【答案】A【解析】因为A ＝{x |0＜x ＜16}，B ＝{y |－1＜y ＜4}，所以A ∪B ＝(－1，16)，故选(A)． 3．【答案】B【解析】S 3＝3a 2＝12，a 2＝4，而a 4＝0，故a 6＝－4，故选(B)．【解析】非零向量a ＝(1，x )，b ＝(x 2，4x )，a ∥b ⇔x 2＝4⇔|x |＝2，故选(C)． 5．【答案】A【解析】因为实轴在y 轴上，所以e 2＝1＋1k 2＝10，k ＝tan α＝13，sin α＝1010，故选(A)．6．【答案】C【解析】满足条件的不同选法共有C 14C 16C 14＋C 26C 14＋C 16C 24＝192，故选(C)．7．【答案】A【解析】取B 1C 1、BB 1的中点D 、E ，则平面MDE ∥平面ABC 1，所以N 在线段DE ，MN 的最大值为32＋52＝22，故选(A)．8．【答案】B【解析】执行程序框图，可得下表：a －13 －32 2 k24结束故选(B)． 9．【答案】D【解析】令φ(x )＝f(x )g (x )－x －1，则φ'(x )＝f'(x )g (x )＋f(x )g'(x )－1＜0，所以φ(x )在(0，＋∞)上递减，而φ(1)＝0，因为f(x )g (x )＜x ＋1，所以φ(x )＜φ(1)，解得：x ＞1，故选(D)．10．【答案】B【解析】因为第16匹马的日行路程为315里，所以第17匹马的日行路程为3151.05＝300里，则这17匹马的日行路程之和为300(1－1.0517)1－1.05≈7752里，故选(B)．11．【答案】A【解析】令φ(x )＝x ＋1x ，则φ(x )在(1，＋∞)上递增，因为log 3.43.5－log 3.53.6＝lg3.5lg3.4－lg3.6lg3.5＝lg 23.5－lg3.4lg3.6lg3.4lg3.5，lg3.4lg3.6＜(lg3.4＋lg3.62)2＝(lg3.4·3.62)2＜lg 23.5，所以log 3.43.5＞log 3.53.6＞1，a ＝φ(log 3.43.5)＞b ＝φ(log 3.53.6)＞φ(1)＝2，c ＝log π3.7＜2，所以a ＞b ＞c ，故选(A)．【解析】解法1：作正方形ABCE ，则∠DCE ＝60°，因为CD ＝2AB ＝2BC ＝4，所以DE ⊥EC ，故BD 为三棱锥A －BCD 外接球的直径，即BD 2＝4R 2＝20，所以球O 的表面积是4πR 2＝20π，故选(D)．13．【答案】6【解析】因为奇函数f (x )＝x 3＋(a －5)x 2＋ax (x ∈R )，所以a ＝5，即：f (1)＝6．14．【答案】(3，＋∞)，7【解析】因为不等式ax 2－6x ＋3＞0对x ∈R 恒成立，所以错误!，解得：a ＞3，a ＋错误!＝a －1＋9a －1＋1≥7，当且仅当a ＝4时取等号． 15．【答案】7【解析】由图像可得：m ＝4，n ＝3，则m ＋n ＝7．16．【答案】2153【解析】解法1：因为k OP k AB ＝－2，所以k OP ＝－2，而P 的轨迹经过坐标原点O ，故中点P 的轨迹所在的直线方程为y ＝－2x ，联立错误!可得：x ＝±错误!，故中点P 的轨迹长度为错误!|33－(－33)|＝2153．解法2：横坐标不变，纵坐标缩短为原来的22倍，则在新的坐标系中，可得下表：项目方程直线AB 的斜率中点P 的轨迹所在直线斜率中点P 的轨迹长度变换前 x 2＋y 22＝1 1 －2 l 变换后x 2＋y 2＝122－22则l ＝21＋(－2)21＋(－2)2＝2153．17．【解析】(1)因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又因为CD ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，又因为CD 平面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ；(2)以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (0，3，0)，P (0，0，3)，E (0，1，0)，BP →＝(－1，0，3)，DP →＝(0，－3，3)，PE →＝(0，1，－3)，设平面PBD 的法向量为n →＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n →•BP →＝0n →•DP →＝0可得：⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0 －3y ＋3z ＝0，令y ＝1，则n →＝(3，1，1)，cos<PE →，n →>＝PE →•n →|PE →||n →|＝－11055，故PE 与平面PBD 所成角的正弦值为11055．18．【解析】(1)因为ac sin B ＝8sin A ，所以由正弦定理可得：abc ＝8a ，即：bc ＝8，而AB →•AC→＝bc cos A ＝8cos A ＝4，故cos A ＝12，A ＝π3；(2)解法1：sin A sin B sin C ＝32sin B sin C ＝34[cos(B －C )－cos(B ＋C )]＝34[cos(2B －2π3)＋12]，因为B ∈(0，2π3)，所以2B －2π3∈(－2π3，2π3)，故sin A sin B sin C ∈(0，338]．19．【解析】分别记第i 次摸到白球和黄球为事件A i ，B i ，(1)记“4次摸球后，袋子中球的颜色只有一种”为事件M ，则P (M )＝P (A 1A 2A 3A 4)＝610×710×810×910＝0.3024； (2)X 的可能取值为2，4，6，8，10．P (X ＝2)＝P (B 1B 2B 3B 4)＝410×510×610×710＝0.084；P (X ＝4)＝P (A 1B 2B 3B 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＋P (B 1B 2A 3B 4)＋P (B 1B 2B 3A 4)＝610×310×410×510＋410×510×410×510＋410×510×410×510＋410×510×610×310＝0.152； P (X ＝8)＝P (B 1A 2A 3A 4)＋P (A 1B 2A 3A 4)＋P (A 1A 2B 3A 4)＋P (A 1A 2A 3B 4)＝410×510×610×710＋610×310×610×710＋610×710×210×710＋610×710×810×110＝0.252； P (X ＝10)＝0.3024；P (X ＝6)＝1－0.084－0.136－0.252－0.3024＝0.2096； X 的分布列为：X 2 4 6 6 8 10 P0.0840.1520.20960.1520.2520.3024EX 20．【解析】(1)当P 在C 的外部时，0＜p ＜12，|AF |＋|AP |≥|PF |，此时|PF |＜2，不成立；当P 在C 的内部时，设A 在C 的准线上的投影为M ，|AF |＋|AP |＝|AM |＋|AP |≥1＋p2，当且仅当A 、P 、M 共线时取等号，则1＋p2＝2，解得：p ＝2，故C 的方程为y 2＝4x ；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )，直线AP 的斜率不为0，设AP 的方程为：x ＝my ＋1－m ，联立方程错误!可得：y 2－4my ＋4m －4＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4m －4，因为错误!＝λP A →，QB →＝μPB →，所以λ＋μ＝y 1－y y 1－1＋y 2－y y 2－1＝2＋1－y y 1－1＋1－y y 2－1＝2＋(1－y )(y 1＋y 2－2)y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝2－4m (1－y )－2＋2y3＝4，即：2m (y －1)＝y ＋2，而x ＝my ＋1－m ，所以2x －y －4＝0．21．【解析】(1)因为f (x )＝x ln x ，所以f'(x )＝ln x ＋1，令f'(x )＝2可得：x ＝e ，f (e)＝e ，故m ＝y －2x ＝e ；(2)当0＜x ＜1e 时，f'(x )＜0，当x ＞1e 时，f'(x )＞0，f (x )在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，故f (x )≥f (1e )＝－1e ，即：ln x ≥－1e x ，所以ln 1x ≥－x e ，即：ln x x ≤1e ，令φ(x )＝e x2x 3，φ'(x )＝e x (x －3)2x 4，当x ＜3时，φ'(x )＜0，当x ＞3时，φ'(x )＞0，所以φ(x )≥φ(3)＝e 354＝e 454e ＞1e ，则ln x x ＜e x2x 3，即：f (x )＜e x 2x ，故－1e ≤f (x )＜e x2x．22．【解析】(1)曲线M 的方程为：x 2＋y 2－4x ＝0(y ≥0)，故M 的极坐标方程为：ρ2－4ρcos θ＝0(0≤θ≤π2)，即：ρ＝4cos θ(0≤θ≤π2)，而曲线N 的方程为xy ＝9，故曲线N 的极坐标方程为ρ2sin2θ＝18；(2)因为|OA |2·|OB |2＝16cos 2θ0·18sin2θ0＝144，即tan θ0＝1，故θ0＝π4． 23．【解析】(1)f (x )＝|x －a －1|＋|x －2a |≥|(x －a －1)－(x －2a )|＝|a －1|，当a ∈[2，＋∞)时，f (x )≥|a －1|≥1，故存在a ∈(0，＋∞)，使得f (x )≥1恒成立；(2)因为当x ∈[2a ，4]时，f (x )＝|x －a －1|＋x －2a ≤x ＋a ，即：|x －a －1|≤3a ，所以0＜a ＜2，此时1－2a ≤x ≤4a ＋1，故[2a ，4]∈[1－2a ，4a ＋1]，即：错误!，解得：错误!≤a ＜2，故a 的取值范围为[34，2)．。

江西省九江市2023届高三下学期三模数学(理)试卷及答案

九江市2023年第三次高考模拟统一考试数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{|}2M x x =>，{|N x y ==，则()M N = R ð（）A.1{|0}2x x ≤≤ B.1{|0}2x x << C.1{|}2x x ≤ D.{|0}x x ≤2.已知复数z 满足(2i)4i z z ⋅+=-，则z =（）A.1C.2D.3.抛物线212y x =的焦点坐标为（）A.1(,0)8 B.1(0,)8C.1(,0)2D.1(0,24.分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15︒.若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为（）A.814B.8168C.4D.35.为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织甲乙两个社会实践小组分别对某块稻田的稻穗进行调研，甲乙两个小组各自随机抽取了20株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如下统计表（频率分布直方图中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则下列结论正确的是()甲158163361711233445688818378199频率/组距每穗粒数1502001901801701600.040.030.020.01乙6.已知0.22a =，0.5log 0.2b =，0.2log 0.4c =，则（）A.b a c >>B.b c a>> C.a b c>> D.a c b>>7.已知0π<<<αβ，且1cos 3α=，22cos()3αβ-=，则cos β=（）A.89B.79 C.429D.0A.甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数大于乙组平均数B.甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数C.甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数D.甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数小于乙组平均数8.榫卯是一种中国传统建筑、家具的主要结构方式，它凝聚了中华文明的智慧.它利用材料本身特点自然连接，既符合力学原理，又重视实用和美观，达到了实用性和功能性的完美统一.右图是榫卯结构中的一种，当其合并在一起后，可形成一个正四棱柱.将合并后的榫卯对应拿开(如图1所示)，已知榫的俯视图如图2所示，则卯的主视图为（）9.已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕ=+><π的导函数()y f x '=的图像如图所示，记()()()g x f x f x '=⋅，则下列说法正确的是（A.()g x 的最小正周期为2πB.6ϕ5π=-C.(4g π= D.()g x 在(0,6π10.已知定义在R 上的函数()f x 在[0,1]上单调递增，(1)f x +是奇函数，(1)f x-的图像关于直线1x =对称，则()f x （）A．在[20202022]，上单调递减B．在[20212023]，上单调递增C．在[20222024]，上单调递减D．在[20232025]，上单调递增DA C 图2图1榫卯B 11.已知双曲线22221x y a b-=(,0a b >)的左右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线交双曲线右支于,A B 两点，若1AB F B ⊥，13sin 5F AB ∠=，则该双曲线的离心率为（C ）C.2D.212.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1A BD △内一点(包括边界)，且线段1PA 的长度等于点P 到平面ABCD 的距离，则线段1PA 长度的最小值是（D ）C.2D.3第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.26(x 展开式中，2x 的系数为.BCDP1C 1B 1A 1D A 14.Rt ABC △中，90A =︒，2AB =，D 为BC 上一点，2BD DC =，则AD AB ⋅=.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12nn n a a ++=，则9S =.16.已知函数2()e x f x ax =-(a ∈R )有两个极值点12,x x ，且122x x >，则a 的取值范围为,).BA CD三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）如图，圆内接四边形ABCD 中，已知2AB =，BC =2CDB ADB ∠=∠.(1)求ABC ∠；(2)求四边形ABCD 面积的最大值.D ABC。

四川省内江市2023届高三第三次模拟考试数学(理科)试题

r
3，且 a
rr a 2b
，则向量
r a
在向量
r b
上的投影为__________.
14．若 (x a)5 2 x3 的展开式的各项系数和为 32，则该展开式中 x4 的系数是______.
15．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为 2 ；若乙执黑子先下，则乙
3
胜的概率为 1 ．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙
23．已知函数 f x 2x 4 x2 a （ x R ）．
(1)若 a 1，求证： f x 4 ；
(2)若对于任意 x 1, 2 ，都有 f x 4 ，求实数 a 的取值范围．
试卷第 5 页，共 5 页
存在，请说明理由.
21．如图，曲线 C1 是以原点 O 为中心， F1 、 F2 为焦点的椭圆的一部分，曲线 C2 是以O
为顶点、F2 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线 C1 和 C2 的一个交点，且 AF2F1 为钝角，
AF1
7， 2
AF2
5． 2
(1)求曲线 C1 和 C2 所在椭
2．已知全集U R ，M x∣x2 4x 3 0 ，N x∣log2 x 1 ，则 ðU(M N ) （）
A． (,0]U(3, )
B． (,3)
C． (,1) U(3, )
D． (3 )
3．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为 [0，50)、[50，100)、[100，150)、[150，200)、[200，300) 和[300，500) 六档，分别对应“优”、“良”、“轻
日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一

高三数学三模(理科)试题及答案.docx

温馨提示：本试卷包括第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

祝同学们考试顺利！第I 卷选择题(共40分)注意事项：1. 答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科口涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3. 本卷共8小题，每小题5分，参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么P(AU8) = P(A) + P(B)•柱体的体积公式V = Sh. 其中S 表示柱体的底面积，刃表示柱体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中(1) 已知集合 A = {^(x+2)(x-3)^0, xeZ), B =—2尸=1}，则 A^B =(A) {—h 1} (D) {-3, -1, 1}x —120,⑵ 设变量兀y 满足约束条件［t+.y-3W0,则目标函数z = 2x+v 的最小值为兀一 2y-3W0,(A) 6 (B) 4 (C) 2 (D) 1(3)若(x+—r 展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中屮项的系数为2.r共40分。

•如果事件A ，〃相互独立，那么 P(AB) = P(A)P(B). •锥体的体积公式3其中S 表示锥体的底面积，表示锥体的高. 只有一项是符合题目要求的.(B) {1, 3}(C) {—1, L 3}(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 值为(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8开始S 二 I 1k^k + 21 ”是“对任意的正数x, X4-—>丄”的2x 3(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件设双曲线W ■-与=1的两条渐近线与直线x =—分别交于A, B 两点，F 为该双曲线的右焦点•若90°<ZAFB<12(r,则该双曲线离心率的取值范围是(A) (1, V2)定义在实数域上的偶函数/(X )对于％ w R,均满足条件/(x + 2) = /(x) + /(T),且当XG [2, 3]时，fix) = -2x 2+12,v-18,若函数 y = f(x)-lo^(|A ] +1)在(0, +oo)上至少有5个零点，则a 的取值范围是注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。

高三下学期第三次模拟考试数学(理科)试题Word版含答案

高中届毕业班第三次诊断性考试数学（理工类）注意事项：1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。

2．答第Ⅰ卷时，选出每个题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}3,4,5M =，{}2,3N =，则集合U (C )N M =A ．{}2B ．{}2,5C ．{}4,5D ．{}1,3 2．已知是虚数单位，复数21+(1)i i -的虚部为A.12 B. 12- C. 12i D. 12i - 3．已知两条直线,m n 和两个不同平面,αβ，满足αβ⊥，=l αβ,m α,n β⊥,则A ．m n ⊥B ．n l ⊥ C.mn D ．ml4．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果是A. 5B. 4C. 3D. 25．函数33()xx f x e-=的大致图象是6．等比数列的前项和为，若，，则等于A ．33B ． -31C ．5D ．-37．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是A ．B ．C ．D ．8．已知圆22:(3)(1)1C x y +-=和两点(,0),B(,0),(0)A t t t ->，若圆上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则当OP 取得最大值时，点P 的坐标是 A ．333(,2 B ．333)2C ．332(,22 D ．323()229．已知函数()3)(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<，1(,0)3A 为图象()f x 的对称中心，,B C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是A ．24(2,2),33k k k Z ππππ-+∈ B ．24(2,2),33k k k Z -+∈C ．24(4,4),33k k k Z ππππ-+∈D ．24(4,4),33k k k Z -+∈10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．883π+B ．1683π+ C ．8163π+ D ．16163π+ 11．已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，126F F =，P 是E右支上的一点，1PF 与轴交于点A ，2PAF △的内切圆在边2AF 上的切点为Q ．若3AQ =，则E 的离心率是 235 D.312．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()00f =. 若对任意x R ∈，都有()()1f x f x '>+，则使得()1x f x e +<成立的的取值范围为A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若不等式组满足21022040x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤，则2z x y =+的最大值为 .14．在42⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的系数为．(用数字作答) 15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为，0OA AB AC ++=且OA AB =，则向量CA在CB 方向上的投影为 .16．n S 为数列{}n a 的前项和，已知()()()*0,431,n n n n a S a a n N >=+-∈．则{}n a 的通项公式n a =______.三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑。

高考第三次模拟考试(数学理)

6.一
A。
动圆与两圆抛物线
'+B卢。
〓1和圆
'+/-C⒏。
+12〓 0都外切双曲线的工支
,则动圆圆心轨迹为
D,椭圆
7.设 J,m是两条不同直线 ,α ,卩是两个不同平面,则下列命题中正确的是、
A.若 J⊥ α,J∥ 卩,则 α⊥卩
m C.若 J∥ α,m∥ α,则 J∥
B。若J∥ α,Ⅱ ⊥J,则 m⊥ α
A· (i,:冫
] B· (1,÷
⒐[i∶ :). D· 卜,:] ∵
2.复数 z满足(4+3j)z± 3-⒉ (j为虚数单位),则复数 z在复平面内对应的点位于
A.第-象限 B,第二象限 C。第三象限 D。第四象限
∷ 3.若钝角三角形 ABC的面积是÷ ,^B〓 1,:c=万 ,则 ⅡC亠
点 B是曲线 C:与 Cz的交点,且 A、B均异于原点 o,丨 ABl〓 4万,求实数 α的伍
zg.(本题满分 10分 )
∶
已知函数灭历)〓 l另 +21刊巧ˉ41,菡数 gC多 )=/rr,)-m的定义域为 R.
(1)求实数 m的取值范围;
(2)求解不等式rfΞ )≤ 8。
搞三三模考试数学(理科)试卷第 4页 (共 4页 )
题记分。
`
) zz。 (本题满分 10分
,
点
,为
|直角坐标系
巧0y中
:曲
线
9的参犭廴
'吁
轴正半轴为极轴建立议坐标系;曲线 C2的
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极坐标方程为 ρ 〓砒inO。

四川省内江市2023届高三第三次模拟考试数学(理科)试题

一、单选题二、多选题1. 已知等比数列的公比为负数，且，已知，则 ( )A．B．C．D ．22. 满足的的一个取值区间是（）A．B．C．D．3. 已知点在曲线上，那么的取值范围是（）A．B．C．D．4. 已知向量，满足，，，则（）．A．B．C．D．5. 鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代各国工匠鲁班所作，是由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的一个内部卯榫的结构体.鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪.其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.下图1是经典的六根鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中的一个构件的三视图（图中单位：mm ），则此构件的表面积为（）A．B．C．D．6. 若数列满足，，则（）A．B．C．D．7.已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短轴长为2，为坐标原点，点在上且（为椭圆的半焦距），直线与交于另一个点，若，则的标准方程为（）A．B．C．D．9.已知函数，则有（）A．B．C ．是函数图象的对称中心D ．方程有三个实根10. 已知函数，，则下列说法正确的是（）A ．当时，函数有3个零点B．当时，若函数有三个零点，则C ．若函数恰有2个零点，则四川省内江市2023届高三第三次模拟考试数学（理科）试题四川省内江市2023届高三第三次模拟考试数学（理科）试题三、填空题四、解答题D ．若存在实数m 使得函数有3个零点，则11. 已知，则（）A．B．C．D．12. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（）A．为奇函数B．C ．当时，在上有4个极值点D ．若在上单调递增，则的最大值为513. 为了响应国家号召，预防新冠病毒的传播，7位高龄老人排队注射新冠疫苗，要求甲、乙、丙相邻，且乙在甲与丙的中间，则共有______种不同的排队方法．14. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，且，则△ABC 的面积为___．15. 已知向量，，且，则向量与的夹角为______.16. 已知函数，其中实数.（1）讨论的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.17. （本题满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第三小题6分）已知函数（1）判断并证明在上的单调性；（2）若存在，使，则称为函数的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求的值；（3）若在上恒成立 , 求的取值范围．18.在中，内角，，所对的边分别是，，．已知．(1)求角的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：，；条件②：，；条件③：，．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19. 天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明和杨洪波三名宇航员升空并顺利“入住”天和核心舱．这是中国人首次进入自己的空间站，这也标志着中国载人航天事业迈入了一个新的台阶．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．某学校共有1000名学生，为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立．(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；(2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．参考数值：，，．20. 已知数列的前项和为，且满足：.(1)求证：数列为常数列；(2)设，求.21. 已知函数.(1)讨论函数的极值点个数；(2)当，方程有两个不同的实根时，且恒成立，求正数的取值范围.。

高三第三次模拟考试数学试题(理科)及答案

望江二中2013～2014学年下学期高三第三次质量检测数学（理科）试题考试时间：120min 总分：150分命题人：章得平第Ⅰ卷（客观题）注意：本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（非客观题）两部分，第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的试题均在答题卷内作答，只交答题卷，在本试卷上答题无效。

参与公式：正态分布函数：()()22,x x μσμσϕ--，(),x ∈-∞+∞，()0.6826P X μσμσ-<≤+=， ()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答题卡的相应位置．）1．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是（） A ．总偏差平方和B ．残差平方和C ．回归平方和D ．相关指数2R答案：B ．本题概念出自选修2～31021P B -，旨在回归课本．2．右边方框中是一个求20个数的平均数的程序，则在横线上应填的语句为（）A ．20i >B ．20i <C ．20i >=D ．20i <= 答案：A ．一般都是考程序框图，程序语句也应引起注意．3．已知关于x 方程()2220x k i x ki ++++=（i 是虚数单位）至少有一个实根，那么实数k 的取值范围是（）A ．k -≤B ．k =C ．k =±D ．k ≥k ≤-答案：C ．旨在考查复数的相等．4．设实数,x y 满足223231x y x y x y -≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若222x y m +≤恒成立，则实数m 的最小值是（）A ．32B ．1318C ．54D ．1答案：B ．原题是：222x y m +≥，则实数m 的最大值是（A ）5．设,m n R ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()221+11x y --=相切，则m n +的取值范围是（）A．1⎡⎣B．(),113,⎡-∞++∞⎣ C．22⎡-+⎣D ．(),2222,⎡-∞-++∞⎣答案：D ．本题若从基本不等式角度考虑，则条件就要改成0mn >，但可令m m t +=，此时可从判别式角度来求解，条件,m n R ∈是可以的． 6．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q =（）A ．1B ．12±C ．12-D ．12+答案：C7．四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PAB ，BC ⊥平面PAB ，底面ABCD 为梯形， 4AD = ，8BC = ，6AB = ，APD CPB ∠=∠ ，满足上述条件的四棱锥顶点P 的轨迹是（）A ．圆B ．圆的一部分C ．抛物线D ．抛物线的一部分答案：B ．设APD CPB θ∠=∠=，则由题意可得481tan 2AD BC PA PA PB PA PB PB θ==⇒=⇒=，由平面解析几何中的坐标法可知P 点的轨迹是一个圆，但P 点又是四棱锥的顶点，所以选B ． 8．将函数()2cos 222f x x x =+的图像向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图像，则4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）AB ．1-CD ．2答案：A9．若关于x 的方程112545x x m -+-+-⨯=有实根，则实数m 的取值范围是（）A ．0m <B ．4m ≥-C ．40m -≤<D ．30m -≤<答案：D10．若点O 和点()2,0F -分别是双曲线()22210x y a a-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ⋅的取值范围为（） A．)3⎡-+∞⎣B．)3⎡++∞⎣C ．7,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭答案：B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡的相应位置．） 11．已知函数()sin tan f x x x=+，项数为27的等差数列{}n a 满足,22n aππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且公差0d ≠，若()()()12270f a f a f a +++=，则当k =时，()0k f a =．答案：1412．若由曲线22y x k =+与直线2y kx =及y 轴所围成的平面图形的面积9S =，则k =．答案：3±1314．设()()()()5914130113211x x a x a x -+=++++()13141a x a +++，则1313a a a +++=．（用数字作答）答案：996315．某地区高三学生的身高X 服从正态分布，其总体密度曲线图形如图所示，则()170180P X <≤=．答案：0.1359三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答需写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．请在答题卡的相应位置作答．）16．（本题满分12分）设锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且2s i n a b A =⋅．（1）求角B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围．〖解析〗：（1）∵2sin a b A =⋅，则由正弦定理可得：sin 2sin sin A B A =⋅()sin 2sin 10A B ⇒-=，锐角三角形中sin 0A ≠，所以2sin 10B -=1sin 2B ⇒=，∴6B π=或56B π=（舍）．（2）由（1）可得56A C π+=⇒56C A π=-， ∴5cos sin cos sin 66A C A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而02A C π<<、，∴32A ππ<<663A πππ⇒<-<362A π⎛⎫⇒<-< ⎪⎝⎭，∴cos sin A C +的取值范围是：32⎫⎪⎪⎝⎭．17．（本题满分12分）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查，瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果，例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25．（1）试确定a 、b 的值；（2）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解析：（1）由表视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有()10a +人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则()102405a P A +==，解得6a =，从而()403240382b a =-+=-=．（2）由题知40个人中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位的结果数为340C ，而从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为32416k kC C -，所以32416340()k kC C P k C ξ-==()0,1,2,3k =．ξ的可能取值为0、1、2、3．因为()032416340140247C C P C ξ===，()122416340721247C C P C ξ===， ()21241634055221235C C P C ξ===，()30241634025331235C C P C ξ===，所以ξ的分布列为18．（本题满分12分）已知函数()()2xf x x ax a e -=++(2a ≤，)x R ∈，问：是否存在实数a ，使()f x 的极大值为3？若存在，则求出a 的值；若不存在，则说明理由．解析：假设存在这样的实数a （2a ≤），则()()()22x f x x a x e -'=-+-，令()0f x '=，得0x =，或2x a =-，（2a ≤）（1）若2a =，则()20x f x x e -'=-<恒成立，显然不存在极大值；（2）若2a <，则函数()f x 有两个稳定点为0x =，2x a =-，且单调性表如下：极大值24f a a e -=-又令()()24a g a a e -=-（2a ≤），则()()23a g a a e -'=-，显然当2a <时，有()0g a '>恒成立，即函数()g a 在区间(),2-∞上单调递增，且()()213g a g <=<，从而函数()f x 不可能取到极大值3，即这样的a （2a ≤）是不存在的．19．（本题满分13分）如图所示的几何体由斜三棱柱111ABC A B C -和222111A B C A B C -组成，且满足112211ABB A A B B A ≅、112211BCC B B C C B ≅、112211CAAC C A AC ≅．（1）证明：211AA AC ⊥；（2）证明：2AA ⊥面ABC ；（3）若1AB AC AA ==，90CAB ∠=，面1AA B ⊥面ABC ，问：侧棱1AA 和底面ABC 所成的角是多少度时，12AC ∥11BCC B？解析：（1）方法一：（几何法）取2AA 的中点T ，连接1A T 、1C T ，∵11CAA C ≅2211C A A C ，∴112112A A A A C A C A =⎧⎨=⎩，∴2121AA AT AA C T ⊥⎧⎨⊥⎩，若1A 、1C 、T 共线，易知211AA AC ⊥；若1A 、1C 、T 不共线，则2AA ⊥面11A C T ，从而211AA AC ⊥，综上，211AA AC ⊥，得证．方法二：（向量法）（2）同（1）理可证明211AA B C T ⊥面，又∵面11A C T 与面11B C T 过公共点T ，所以面11A C T 与面11B C T 重合，即面111A B C ∥面ABC ， ∴2AA ⊥面ABC ，得证．（3）由面1AA B ⊥面ABC ，且结合（2）2AA ⊥面ABC ，知：2A ∈面1A AB ，所以面1AA B 与面211A A B 是同一个平面，而90CAB ∠=，即AC AB ⊥，所以以A 为原点，2,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，又侧棱1AA 与面ABC 所成的角即1A AB ∠，不妨设1A AB θ∠=02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，11AB AC AA ===，所以可计算得22sin AA θ=，所以各点坐标为：()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()1cos ,0,sin A θθ，()20,0,2sin A θ，()20,1,2sin C θ，()11cos ,0,sin B θθ+，所以()12cos ,1,sin AC θθ=-，()1,1,0BC =-，()1cos ,0,sin BB θθ=，又设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =，则100cos sin 00BC n x y x z BB n θθ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩，取1x =，则cos 1,1,sin n θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若12AC ∥面11BCC B ，则()12cos 0cos ,1,sin 1,1,0sin n AC θθθθ⎛⎫⋅=⇒--= ⎪⎝⎭cos 1cos 0θθ⇒-+-=， 12cos 1cos 2θθ⇒=⇒=，所以3πθ=．即当侧棱1AA 与面ABC 所成的角为3π时，有12AC ∥11BCC B ．20．（本题满分13分）已知A 、B 是抛物线C ：22x py =（0p >）上两个动点，且OA OB ⊥，AB 的中点R 到直线20y x -=（1）求p 的值；（2）设Q 为抛物线C 的准线上任意一点，过Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为M 、N ，求证：直线MN 过定点．解析：（1）设()11,A x y 、()22,B x y 、AB 中点()00,R x y ，则1212120120022OA OB x x y y x x x y y y⊥⇒+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，()()()2221212121122222212121212124422222x x py y x x px py x py x x p y y x x x x p y y ⎧=⇒=-⎫=⎪⎪⇒⎬⎨=+=+⇒+-=+⎪⎪⎭⎩， ∴22002x p py +=20012y x p p⇒=+，又AB 中点R 到直线20y x -=的距离为：d ==所以当0x p =时，min 2d p ==⇒=；（2）如图，24x y =，准线方程是1y =-，设(), 1Q x -，()33,M x y ，()44,N x yMQ l ：()22333332424x x x x y x x x =-+=-； NQ l ：()22444442424x x x x y x x x =-+=-，由1y =-可得：342x x x +=，344x x =-，又直线MN 的方程为MN l ：()343334y y y x x y x x -=-+-，而233343423444444x y y y x x x x x y ⎧=-+⎪⇒=⎨-=⎪⎩， ∴()343334y y y x x y x x -=-+-2343431444x x x x x x x ++=-+3414x xx +=+，即当0x =时，1y =，所以直线MN 恒过定点()0, 1，故得证．21．（本题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：12n n S kS +=+．又12a =，21a =．（1）求k 的值；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T ；（3）是否存在整数m 、n ，使112n n S m S m +-<-成立？若存在，则求出这样的正整数；若不存在，则说明理由．解析：（1）1211222n n S kS S kS k +=+⇒=+⇒=，（2）由（1）可得211112222n n n n n n S S a a a -++⎛⎫=+⇒=⇒= ⎪⎝⎭，所以212n n na n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，又11211111232222n n T n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()012211111111231222222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭错位相减可得：()21822n n T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（3）假设存在这样的m 、n ，使得112n n S m S m +-<-，即()132202n n S m S m +--<-，又由（1）11112222n n n n n S S S a S ++=+⇒+=+⇒14142n n S ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以111412n n S ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以由()132202n n S mS m +--<-6244022n nm m ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⇒--⋅--< ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即得624422n nm -<<-，当1n =时，2m =，上式显然成立，当2n =时，3m =，也满足，当2n >时，1244442n -<-<，且3644442n -<-<，此时可验证这样的正整数m 不存在，故存在这样的正整数1,2n m ==或2,3n m ==满足题意．。

高三数学第三次模拟考试试题理含解析

一中高三年级下学期第三次模拟考试本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

数学〔理科〕试题第一卷选择题一、选择题：本大题一一共 12 小题，每一小题 5 分，一共 60 分．在每一小题给出的 4 个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．()12i z +=，那么复数z 的虚部为〔〕A. 1B. 1-C. iD. i -【答案】B 【解析】设,,z a bi a b R =+∈（），由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（），2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,2a b b a =-⎧⇒⎨=-⎩1b ⇒=- ，应选B.{(){}2,log 2M x y N x y x ====-∣∣ ，那么MN =〔〕A. []0,1B. [)1,2C. []1,2D. [)0,2【答案】B 【解析】【分析】化简集合M 和集合N ，根据集合的交集计算即可.【详解】由10x -≥得1x ≥ ，所以[1,)M =+∞，由20x ->得2x <，所以(,2)N =-∞，故[1,2)MN =，所以选B.【点睛】此题主要考察了集合的概念，集合的交集运算，涉及函数定义域的相关知识，属于中档题.222:12x y C a a-=-的离心率为2，那么实数a 的值是( ) A. 1 B. 2-C. 1 或者2-D. 1-【答案】C 【解析】分析：可用排除法，验证1a =与2a =-是否符合题意即可得结果.详解：可用排除法，当1a =时，22212x y a a-=-化为221x y -=，离心率为1121+=，符合题意；当2a =-时，22212x y a a -=-化为22122y x -=，离心率为2222+=，符合题意, a 的值是1,2-，应选C.点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进展检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 假设结果为定值，那么可采用此法. 特殊法是“小题小做〞的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以进步做题速度和效率.4.执行如下图的程序框图，输出S 的值是〔〕A. 5B. 6C. 8D. 13【答案】A 【解析】【分析】根据框图，结合条件分支构造和循环构造，即可求出结果.【详解】第一次执行程序后，1,1,1,1i t S P ====，第二次执行程序后，2,1,2,1i t S P ====，第三次执行程序后3,2,3,2i t S P ====，第四次执行程序后4,3,5,3i t S P ====，因为44<不成立，跳出循环，输出5S =，应选A.【点睛】此题主要考察了框图，涉计循环构造和条件分支构造，属于中档题.{}n a 中，2201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且20182018b a =，那么()220172019log b b ⋅的值是〔〕 A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质可知2017201920182a a a +=，代入方程可求出2018a ，再根据等比数列的性质2201720192018=b b a ⋅ 即可代入()220172019log b b ⋅求解.【详解】因为等差数列{}n a 中2017201920182a a a +=，所以2220172018201920182018224=0a a a a a -+=-，因为各项不为零，所以2018=4a ，因为数列{}n b 是等比数列，所以2201720192018==16b b a ⋅所以()2201720192log =log 16=4b b ⋅，应选C.【点睛】此题主要考察了等差数列中，当m n p q +=+时，m n p q a a a a +=+，等比数列中，当m n p q +=+时，m n p q b b b b ⋅=⋅，属于中档题.sin a xdx π=⎰，那么61a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中的常数项是〔〕A. 160-B. 160C. 20-D. 20【答案】A 【解析】【解析】ππa sinxdx cos |2==-=⎰,所以6611a x 2x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式的通项为：6631661(2)()(1)2r r r r r r r r T C x C x x---+=-=- ，令3r = ，常数项是3336(1)2160C -=-，应选A.ABCD 中，4,3AB AD ==.假如向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于2的概率为〔〕 A.14B.13C.47D.49【答案】D 【解析】，由题意知此题是一个几何概型的概率，以AB 为底边，要使面积不小于2，由于122ABPSAB h h =⨯=，那么三角形的高要h ⩾1,同样,P 点到AD 的间隔要不小于43，满足条件的P 的区域如图，其表示的区域为图中阴影局部,它的面积是()41643133⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ∴使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于2的概率为：1643439=⨯. 应选D.8.某函数的图象如下图，那么以下解析式与此图象最为符合的是〔〕A. ()2ln xf x x=B. ()2ln x f x x=C. ()211f x x =- D.()11f x x x=-【答案】B 【解析】对于A ，()2ln xf x x=为奇函数，图象显然不关于原点对称，不符合题意；对于C ，()211f x x =-在()1∞+，上单调递减，不符合题意；对于D ，()11f x x x=-在()1∞+，上单调递减，不符合题意；应选：B点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进展定性的分析，从而得出图象的上升(或者下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．()f x 满足()()11f x f x +=-，假设当()1,1x ∈-时，()1lg1xf x x+=-，且()20181f a -=，那么实数a 的值可以是〔〕 A. 47.0810-⨯ B.911 C. 911-D. 119-【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-可知函数周期4T =，因此()2018()1f a f a -=-=，当()1,1x ∈-时，令()1lg=11x f x x+=-，可得911x =，故可得a 的可能取值.【详解】由()()11f x f x +=-可得()()2f x f x =-，因为()f x 为奇函数，所以()()2()f x f x f x -=+=-，故()()4f x f x =+，函数周期为4T =，所以()2018()1f a f a -=-=，当()1,1x ∈-时，令()1lg=11x f x x +=-，可得911x =，所以911a -=可以，即911a =-，应选C.【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性、周期性，属于中档题.函数中一些常见结论需要理解记忆：假设1()(),()()f x f x a f x f x -=+-=可知函数的周期2T a =，假设()()1f x a f a +=-，可知函数对称轴x a =.的个数是〔〕〔1〕“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期是π〞的充分不必要条件是“1a = 〞；〔2〕设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，那么使函数a y x = 的定义域是R 且为奇函数的所有a 的值是1,1,3-; 〔3〕函数()2ln f x x a x =+在定义域上为增函数，那么0a ≥.A. 1B. 2C. 3.D. 0【答案】B 【解析】【分析】根据给出的命题，逐个分析即可.【详解】〔1〕因为22cos sin cos 2y ax ax ax =-=，所以最小正周期=||T a ππ=，所以1a =±，所以1a =是充分不必要条件正确；〔2〕因为a y x = 的定义域是R ，所以1a ≠-，故所有a 的值是1,1,3-错误；〔3〕因为函数()2ln f x x a x =+在定义域上为增函数，所以()0f x '≥恒成立，即20ax+≥恒成立，由2,0a x x ≥->恒成立可知0a ≥，命题正确. 应选B.【点睛】此题主要考察了充分必要条件，函数的定义域、奇偶性，利用导数确定函数的增减性及恒成立问题，属于中档题.ABC ∆中，239,AB AC AC AB AC ==⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内一点，那么当222PA PB PC ++ 获得最小值时，PA BC ⋅= ( )A. 24-B.C.92D. 24【答案】D 【解析】2AC AB AC ⋅=以C 为坐标原点，直线CB,CA 分别为x,y 轴建立直角坐标系，那么(0,3),A B ，设(,),P x y 222PA PB PC ++22222222=(3)(3(3(1)54x y x y x y x y +-+-+++=-+-+当22,1x y ==时222PA PB PC ++获得最小值，PA BC ⋅=(22,2)(62,0)24-⋅-=，选D. 点睛：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或者求函数值域，是解决这类问题的一般方法.()ln f x x x x =+，假设k Z ∈，且()()1k x f x -<对任意的>1x ，那么k 的最大值为〔〕A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】因为()f x x xlnx =+，假设k Z ∈，且()()k x 1f x -<对任意的x 1>恒成立，即(1)ln k x x x x -<+ ，因为1x > 即ln 1x x xk x +<- ，对任意x 1>恒成立，令ln ()1x x x g x x +=-，那么'2ln 2()(1)x x g x x --=-令()ln 2(1)h x x x x =--> ，那么()1110x h x x x='-=-> 所以函数()h x 在(1,)+∞ 上单调递增. 因为(3)1ln30,(4)22ln 20h h =-<=->所以方程()0h x = 在(1,)+∞上存在唯一实根0x ，且满足0(3,4)x ∈当01x x << 时，()0h x < ，即'()0g x < ，当0x x > 时，()0h x > ，即'()0g x >所以函数ln ()1x x xg x x +=-在0(1.)x 上单调递减，在0(,)x +∞ 上单调递增所以00min 000(12)()()(3,4)1x x g x g x x x +-===∈-所以=所以min 0()k g x x <= ，因为0(3,4)x ∈ ，故整数k 的最大值为3 ，应选B.点睛：不等式恒成立问题常用变量别离的方法，即将变量与参数分开来看，转化为参数与函数与最值的不等式即可，此题中通过求导找到的极值点是不可求的，此时，利用导数等于零的方程代入最值中化简即可解决此题.第二卷非选择题二、填空题：本大题一一共 4小题，每一小题 5分，一共 20分，把答案填在题中横线上．X 服从正态分布()22,N σ且()40.88X P ≤=，那么()04P X <<=_____________【答案】【解析】【分析】由条件可知数据对应的正态曲线的对称轴，根据对称性即可得到结果.【详解】随机变量X 服从正态分布()22,N σ,那么曲线的对称轴为2X =，()20.5P X ≤=，由()40.88X P ≤=可得()40.880.0825.3P X ==<-<，那么()()204240.76P P X X <=<<<= 故答案为：0.76．【点睛】此题考察根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所求区间用区间表示；正态曲线的主要性质是：〔1〕正态曲线关于x μ=对称；〔2〕在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1.()1,2P 和圆222:20C x y kx y k ++++=，过点P 作圆C 的切线有两条，那么实数k 的取值范围是______【答案】( 【解析】【分析】由过点P 可作圆的两条切线知，点P 在圆的外部，根据点与圆的位置关系可得关于k 的不等式，结合22220x y kx y k ++++=为圆的一般方程，可知k 满足的不等式，联立即可求解.【详解】因为222:20C x y kx y k ++++=为圆，所以22440k k +->，解得33k -<<, 又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故21440k k ++++>，解得k ∈R ,综上可知33k -<<.故k 的取值范围是(33-.【点睛】此题主要考察了点与圆的位置关系的应用，圆的一般方程，圆的切线的条数，属于中档题.()()sin 2f x x ϕ=+，假设521212f f ππ⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么函数()f x 的单调递增区间为_______【答案】5ππ(π,π),1212k k k -+∈Z 【解析】因为π5π2111212f f ⎛⎫⎛⎫--==--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（），所以()12(),1262f k k Z πππϕπ=∴+=+∈所以=+2()()sin(2+2)sin(2)333k k Z f x x k x πππϕππ∈∴=+=+，由52(2,2)()(,)()3221212x k k k Z x k k k Z πππππππππ+∈-++∈⇒∈-++∈得单调增区间为5πππ,π,1212k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.【点睛】函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω=(3)由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间;由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间{}n a 的前n 项积为n T ，且()*111222,>2,3n n n n T T T T n N n a --+=∈=. 假设1n n n b a a =+ ，那么数列{}n b 的前n 项和n S 为________．【答案】11222n n -++ 【解析】1122n n n n T T T T --+=111113112(1)22222n n n n n n T T T T n --⇒-=⇒=+-=⇒=+ 11131(2),1,222n n n n T n n a n n a a T n n -++==≥==∴=++ 21111122121222n n n n b S n n n n n n ++∴=+=-+∴=-++++++ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间假设干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或者1(2)n n +.三、解答题：(本大题一一共6小题，一共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.)17.ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，假设cos sin a b C c B =+ 〔Ⅰ〕求B ；〔Ⅱ〕假设2b = ，求ABC ∆面积的最大值。

【九科精测】高三数学第三次模拟考试卷(全国甲卷理)(考试版)

高考数学第三次模拟考试卷高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。

1．已知集合{}04,A x x x N =<<∈，{}32,B x x x R =-<≤∈，则A B =（） A ．{}02x x <≤ B ．{}34x x -<< C ．{1,2} D ．{0,1}2．设复数z 满足2+=ii z，则z =A ．1B C ．3 D ．53．某单位职工参加某APP 推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况如图：根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是（） A ．该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致 B ．该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致C ．该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差D ．该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差4．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为A ．16B ．8C ．4D ．205．将函数()sin(2)f x x φ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为（） A ．4π B ．38π C ．4π-D ．34π 6．张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是（） A ．110B ．15C ．310D ．457．函数()1sin ()1xxex f x e -=+的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．8．电影《流浪地球》中描述了使用发动机推动地球运动的场景．某科学兴趣小组提出了一套新装置：使用一条强度很大的长金属绳索绕地球赤道一周，一端连接强力发动机P 绷紧绳索，为地球提供动力．若绳索比地球赤道长2 cm ，则发动机距地面的高度约为（取地球半径为6 400 km ；当θ很小时，2111cos 2θθ-≈，31tan 3θθθ-≈．）（）A ．9 cmB ．11 cmC ．9 mD ．11 m9．设甲､乙两个圆柱的底面积分别为1S ､2S ，体积分别为1V ､2V .若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是（） A ．2 B ．32C ．43D ．5410．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>> 的上顶点为B ，右焦点为F ，延长BF 交椭圆E 于点C ， (1)BF FC λλ=>，则椭圆E 的离心率e =（）AB ．11λλ-+CD ．2211λλ-+11．设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（） A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦12．设0.21.25ln1.25,0.2e ,0.25a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．b a c <<二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共50分。

高三数学第三次模拟考试试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三第三次模拟考试数学〔理科〕试卷一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，那么A B =〔〕A.(1,2)-B.(0,1)C.(,2)-∞D.(1,1)-【答案】A 【解析】【分析】分别求出集合A 和B ，再求并集即可.【详解】解不等式220x x --<得12x -<<，即()1,2A =-；由20log x<得01x <<，即()B 0,1=；所以()A B 1,2⋃=-.应选A【点睛】此题主要考察集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于根底题型.11iz i+=-，z 是z 的一共轭复数，那么z z⋅=〔〕A.-1B.iC.1D.4【答案】C 【解析】【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，求得z 的值，可得z ，从而求得z z ⋅的值．【详解】()()()211111i iz i i i i ++===--+，那么z i =-，故()1z zi i ⋅=⋅-=，应选C.【点睛】此题主要考察复数根本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于根底题．3.“搜索指数〞是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为根底所得到的统计指标.“搜索指数〞越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2021年9月到2021年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图. 根据该走势图，以下结论正确的选项是〔〕A.这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B.这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C.从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D.从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值【答案】D 【解析】选项A 错，并无周期变化，选项B 错，并不是不断减弱，中间有增强。

高三数学第三次模拟考试卷理扫描版

安徽省安庆市高三数学第三次模拟考试卷理（扫描版）2013年安庆市高三模拟考试（三模）数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题题号 1 2 3 4 5 67 8 9 10 选项 B A C C DD C C A C1．解析：∵i i i i8)2()1()11(366=-=-=+，故选B 。

2．解析：x x x x g 2cos )22sin(]3)12(2sin[)(=+=++=πππ，故选A 。

3．解析：3lg lg lg 963=++a a a ⇒10101063363963=⇒=⇒=a a a a a ，∴10026111==a a a ，故选C 。

4．解析：当 x 为直线， y 、 z 为平面时，x 可能在平面y ；故A 错；当 x 、 y 、 z 为平面时，x ， y 可能相交；当 x 、 y 为直线， z 为平面时， x ∥ y 当 x 、 y 、 z 为直线时，x ， y 可能相交也可能异面；故选C 。

5．解析：由100111≤<⇒≥-⇒≥x xx x ，100)1ln(<≤⇒≤-x x ，故选D 。

6．解析：4(4x tt y t=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），03=+-⇒y x ，ρθ=⇒2)2(22=-+y x ，∴圆心到直线的距离为2223<-=d故选D 。

7．解析：∵021=⋅PF PF ，∴21PF PF ⊥，不妨设点P 在右支上，∴22121222212||||2||||4||||b PF PF aPF PF c PF PF =⇒⎩⎨⎧=-=+，∴221||||2121b PF PF S F PF ==∆，故选C 。

8．解析：由12123)(23++-=x x x x f 2133)('2+-=⇒x x x f21036)(''=⇒=-=⇒x x x f ，∴1)21(=f ，∴)(x f 的对称中心为)1,21(，∴2)()1(=+-x f x f ，∴2013)20142013()20142()20141(=+++f f f ，故选C 9．解析：74cos72cos 7cos πππ⋅⋅=S 817sin878sin 7sin 274cos 72cos 7cos 7sin233-==⋅⋅=πππππππ，故选A 。

高考理科数学第三次模拟考试试卷

这种基金的股价约是__________元/股（精确到 0.01）.
15.设函数 f ( x), g ( x) 的定义域分别为 DJ,DE．且 DJ DE ，若对于任意 x DJ,都有 g ( x) f ( x), 则
称函数 g ( x) 为 f ( x ) 在 DE 上的一个延拓函数.设 f ( x) x ln x( x 0), g ( x) 为 f ( x ) 在 ( , 0) (0, )
爬行到离三个顶点距离都大于 1 的区域内的概率为
．
3x y ≤ 0
13.已知 A 3,
3
，O
为原点，点 P
x,
y
的坐标满足
x
3y 2≥ 0，
y
≥
0
则 O A O P 的最大值是
，此时点 P 的坐标是
.
OA
14.某种股票今天的股价是 2 元/股，以后每一天的指数都比上一天的股价增加 0.2%，则 100 天以后
ex ex
20．（本小题满分 13 分）如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 20 m，要求通行车辆限．高．5 m，隧道全长 2.5 km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为 3 米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．
h 5m
3m 20m 0 l （1）若最大拱高 h 为 6 m，则隧道设计的拱宽 l 是多少？（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高 h 和拱宽 l？（已知：椭圆 x 2 + y 2 =1 的面积公式为 S= a b ，柱体体积为底面积乘以高.）
（Ⅲ）求证： 1 1 1 1 （ n N * ）.
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长沙市一中高三第三次模拟考试试卷

高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

唐山市—高三年级第三次模拟考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|20},{|lg(1)}A x x x x y x =-<==-，则A B =A ．(0,)+∞B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(,0)-∞ 2、已知i 为虚数单位，(21)1z i i -=+，则复数z 的共轭复数为 A ．1355i -- B ．1355i + C ．1355i -+ D ．1355i - 3、总体由编号为01,02,03,,49,50的50各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为A ．05B ．09C ．11D ．204、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=，则C 的离心率为 A ．52 B ．52或5 C ．2 D ．5 5、执行右侧的程序框图，若输出4y =，则输入的x 为 A ．3-或2-或1 B ．2- C ．2-或1 D ．16、数列{}n a 首项11a =，对于任意,m n N +∈，有3n m n a a m +=+，则{}n a 前5项和5S =A ．121B ．25C ．31D ．35 7、某几何体的三视图如图所示，则其体积为A ．4B ．8C ．43 D ．838、函数()1(1)x xe f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为9、若9290129(1)x a a x a x a x -=++++，则1239a a a a ++++=A ．1B ．513C ．512D ．511 10、函数()cos()(0)6f x wx w π=+>在[0,]π内的值域为3[1,]2-，则w 的取值范围是 A ．35[,]23 B ．53[,]62C ．5[,)6+∞ D ．55[,]6311、抛物线2:4C y x =的焦点F ，N 为准线上一点，M 为轴上一点，MNF ∠为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则MNF ∆的面积为 A ．22 B ．2 C ．322D ．32 12、已知函数()32f x x ax bx =++有两个极值点12,x x ，且12x x <，若10223x x x +=，函数()()0()g x f x f x =- ，则()g xA ．恰有一个零点B ．恰有两个零点C ．恰有三个零点D ．至多两个零点第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13、已知向量(3,1),(2,1)a b =-=，则a 在b 方向上的投影为 14、直角ABC ∆顶的三个顶点都在球的球面O 上，且2AB AC ==，若三棱锥O ABC -的体积为2，则该球的表面积为15、已知变量,x y 满足约束条件102100x y x y x y a -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2z x y =+的最小值为5-，则实数a =16、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214()2n n n S a n N +-+=-∈，则n a =三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,,cos a b c a b b C -=．（1）求证：sin tan C B =；（2）若2,a C =为锐角，求c 的取值范围．18、（本小题满分12分）某学校简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间：（单位：分钟）进行调查，结果如下：若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动． ①求抽取的4为同学中有男同学又有女同学的概率；②记抽取的“读书迷”中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19、（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，024,60,,,BC AB ABC PA AD E F ==∠=⊥分别为,BC PE 的中点，AF ⊥平面PED ．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求直线BF 与平面AFD 所成角的正弦值．20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>经过点1)2E（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l 与圆222:O x y b +=相切于点M ，且与椭圆Γ相较于不同的两点,A B ，求AB 的最大值．21、（本小题满分12分）已知函数()2ln(1),(0)f x x ax a =++>．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在区间(1,0)-有唯一的零点0x ，证明2101e x e --<+<．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程点P 是曲线221:(2)4C x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C ．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）射线(0)3πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，定点(2,0)M ，求MAB ∆的面积．23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲已知函数()21f x x a x =++-．（1）若1a =，解不等式()5f x ≤；（2）当0a ≠时，()1()g a f a=，求满足()4g a ≤的a 的取值范围．唐山市2016—2017学年度高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ABBDC DCADD CB B 卷：ADBBC DDACD CB 二．填空题：（13）5 （14）44π （15）－3 （16）n2n －1三．解答题：（17）解：（Ⅰ）由a －b ＝b cos C 根据正弦定理得sin A －sin B ＝sin B cos C ，即sin(B ＋C )＝sin B ＋sin B cos C ，sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B ＋sin B cos C ， sin C cos B ＝sin B ，得sin C ＝tan B ． …6分（Ⅱ）由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝b 2＋4b －4＝(b ＋2)2－8， …8分由a －b ＝b cos C 知b ＝a 1＋cos C ＝21＋cos C ，由C 为锐角，得0＜cos C ＜1，所以1＜b ＜2． …10分从而有1＜c 2＜8．所以c 的取值范围是(1，22)．…12分（18）解：（Ⅰ）设该校4000名学生中“读书迷”有x 人，则8100＝x4000，解得x ＝320.所以该校4000名学生中“读书迷”有320人．…3分（Ⅱ）（ⅰ）抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率P ＝1－C 45C 48＝ 1314．…6分（ⅱ）X 可取0，1，2，3．P (X ＝0)＝ C 45 C 48＝ 114，P (X ＝1)＝C 13C 35 C 48＝ 37，P (X ＝2)＝ C 23C 25 C 48＝ 37，P (X ＝3)＝ C 33C 15 C 48＝ 114，…10分XE (X )＝0× 1 14＋1× 3 7＋2× 3 7＋3× 1 14＝ 32．…12分（19）解：（Ⅰ）连接AE ，因为AF ⊥平面PED ，ED ⊂平面PED ，所以AF ⊥ED ．在平行四边形ABCD 中，BC ＝2AB ＝4，∠ABC ＝60°，所以AE ＝2，ED ＝23，从而有AE 2＋ED 2＝AD 2，所以AE ⊥ED ． …3分又因为AF ∩AE ＝A ，所以ED ⊥平面PAE ，P A ⊂平面P AE ，从而有ED ⊥PA ．又因为P A ⊥AD ，AD ∩ED ＝D ，所以P A ⊥平面ABCD ． …6分（Ⅱ）以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，2，0)，D (23，0，0)，B (－3，1，0)．因为AF ⊥平面PED ，所以AF ⊥PE ，又因为F 为PE 中点，所以P A ＝AE ＝2．所以P (0，2，2)，F (0，1，1)，AF →＝(0，－1，1)，AD →＝(23，－2，0)， BF →＝(3，0，1)．…8分设平面AFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由AF →·n ＝0，AD →·n ＝0得，⎩⎨⎧－y ＋z ＝0，23x －2y ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，3，3)．…10分设直线BF 与平面AFD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈BF →，n 〉|＝|BF →·n ||BF →||n |＝232×7＝217，即直线BF 与平面AFD 所成角的正弦值为217．…12分（20）解：（Ⅰ）由已知可得3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2a ＝32，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆Γ的方程为x 24＋y 2＝1．…4分（Ⅱ）当直线l 垂直于x 轴时，由直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，可知直线l 的方程为x ＝±1，易求|AB |＝3． …5分当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，得|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1，…6分将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，AFP BE C D xy z设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2，…8分|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2(－8km 1＋4k 2)2－16m 2－161＋4k 2＝41＋k 21＋4k 2－m 21＋4k 2，又因为m 2＝k 2＋1，所以|AB |＝43|k |k 2＋11＋4k 2≤2(3k 2＋k 2＋1)1＋4k 2＝2，当且仅当3|k |＝k 2＋1，即k ＝±22时等号成立．综上所述，|AB |的最大值为2．…12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝ 1x ＋1＋2ax ＝2ax 2＋2ax ＋1x ＋1，x ＞－1．令g (x )＝2ax 2＋2ax ＋1，Δ＝4a 2－8a ＝4a (a －2)．若Δ＜0，即0＜a ＜2，则g (x )＞0，当x ∈(－1，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．若Δ＝0，即a ＝2，则g (x )≥0，仅当x ＝－ 12时，等号成立，当x ∈(－1，＋∞)时，f '(x )≥0，f (x )单调递增．若Δ＞0，即a ＞2，则g (x )有两个零点x 1＝－a －a (a －2)2a ，x 2＝－a ＋a (a －2)2a ．由g (－1)＝g (0)＝1＞0，g (－1 2)＜0得－1＜x 1＜－ 12＜x 2＜0．当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f '(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f '(x )＞0，f (x )单调递增．综上所述，当0＜a ≤2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当a ＞2时，f (x )在(－1，－a －a (a －2)2a )和(－a ＋a (a －2)2a，＋∞)上单调递增，在(－a －a (a －2)2a ，－a ＋a (a －2)2a)上单调递减．…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）及f (0)＝0可知：仅当极大值等于零，即f (x 1)＝0时，符合要求．此时，x 1就是函数f (x )在区间(－1，0)的唯一零点x 0．所以2ax 02＋2ax 0＋1＝0，从而有a ＝－12x 0(x 0＋1)．又因为f (x 0)＝ln(x 0＋1)＋ax 02＝0，所以ln(x 0＋1)－x 02(x 0＋1)＝0．令x 0＋1＝t ，则ln t －t －12t ＝0．设h (t )＝ln t ＋12t － 1 2，则h '(t )＝2t －12t2．再由（Ⅰ）知：0＜t ＜1 2，h '(t )＜0，h (t )单调递减．又因为h (e －2)＝e 2－52＞0，h (e －1)＝e －32＜0，所以e －2＜t ＜e －1，即e －2＜x 0＋1＜e －1．…12分（22）解：（Ⅰ）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ．设Q (ρ，θ)，则P (ρ，θ－ π 2)，则有ρ＝4cos (θ－ π2)＝4sin θ．所以，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ． …5分（Ⅱ）M 到射线θ＝ π 3的距离为d ＝2sin π3＝3，|AB |＝ρB －ρA ＝4(sin π 3－cos π3)＝2(3－1)，则S ＝ 12|AB |×d ＝3－3． …10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋2|＋|x －1|,所以f (x )表示数轴上的点x 到－2和1的距离之和，因为x ＝－3或2时f (x )＝5，依据绝对值的几何意义可得f (x )≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}． …5分（Ⅱ）g (a )＝| 1 a ＋2a |＋| 1a－1|，当a ＜0时，g (a )＝－ 2a－2a ＋1≥5，等号当且仅当a ＝－1时成立，所以g (a )≤4无解；当0＜a ≤1时，g (a )＝ 2a＋2a －1，由g (a )≤4得2a 2－5a ＋2≤0，解得 1 2≤a ≤2，又因为0＜a ≤1，所以 12≤a ≤1；当a ＞1时，g (a )＝2a ＋1≤4，解得1＜a ≤ 32，综上，a 的取值范围是[1 2， 32]． …10分。

三模理科数学试题及答案

三模理科数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3的零点为x1和x2，则x1+x2的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 已知向量a=(3,-1)，b=(2,1)，则向量a与b的数量积为：A. 5B. 4C. -1D. -5答案：C3. 若直线l的方程为y=2x+1，且直线l与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则三角形OAB的面积为：A. 1/2B. 1C. 2D. 4答案：B4. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则f(π/4)的值为：A. √2B. √3C. 2D. 1答案：A5. 若等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则a5的值为：A. 486B. 162C. 54D. 18答案：A6. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，且双曲线C的渐近线方程为y=±(1/2)x，则a与b的关系为：A. a=2bB. a=bC. b=2aD. b=4a答案：A7. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的导数f'(x)为：A. 3x^2-6xB. x^2-6x+2C. 3x^2-6x+2D. x^3-6x^2+6答案：A8. 若抛物线C的方程为y^2=4x，且抛物线C上的一点P到焦点F的距离为5，则点P的横坐标x为：A. 4B. 3C. 2D. 1答案：B9. 已知函数f(x)=ln(x)-x，求f(x)的极值点为：A. 1B. 0C. -1D. e答案：A10. 若正方体的体积为8，则其表面积为：A. 16B. 24C. 32D. 48答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值为________。

答案：212. 若直线l的倾斜角为60°，且过点(1,2)，则直线l的方程为________。

答案：y-2=√3(x-1)13. 已知等差数列{an}的前三项和为6，且a2=2，则a1+a3的值为________。

高三第三次模拟考试数学理科试卷及答案

江西鹰潭市高三第三次模拟考试数学（理）试题（满分：150分时间：120分钟）一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集R ，若集合，则C R (A ∩B)为（）A ．B ．C ．D ．2．已知，为虚数单位，若，则的值等于（）A ．－6B ．－2C ．2D ．6 3．已知向量的夹角为，且,，在ABC 中，，D 为BC 边的中点，则（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．命题“存在”的否定是（）A ．存在＞0B ．不存在＞0C ．对任意D ．对任意＞05．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于 A ． B ． C ． D ．6．已知直线和平面，那么的一个充分条件是（） A ．存在一条直线，且B ．存在一条直线，且C ．存在一个平面，且D ．存在一个平面，且7．设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的部分图像为( )8．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A. 2B. 1C.D.9．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“健身俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学必须参加且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（） A ．72 B ．108 C ．180 D ．21610. 如果有穷数列（为正整数）满足．即，我们称其为“对称数列”例如，数列，，，，与数列，，，，，都是“对称数列”．设是项数为的“对称数列”，并使得，，，，…，依次为该数列中连续的前项，则数列的前项和可以是⑴ ⑵⑵其中正确命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

11．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品．产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，已知A 种型号产品共抽取了16件，那么此样本的容量n ＝． 12．函数，在区间内围成图形的面积为13．已知抛物线焦点F 恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点,则该双曲线的渐近线方程为 . 14．计算，可以采用以下方法：构造恒等式，两边对x 求导，得，在上式中令，得．类比上述计算方法，计算．15．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）A. (坐标系与参数方程选做题) 直线（）被曲线所截的弦长为 . B.（不等式选做题) 设函数，则函数的最小值为。

高三数学第三次模拟考试试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校三中2021届高三年级第三次模拟考试数学〔理科〕试卷本卷须知：1.本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.2..3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.在在考试完毕之后以后，将本试题和答题卡一起交回.一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1.集合{1,2,3,4}A =，{}2,B x x n n A ==∈，那么A B =〔〕 A.{1,2}B.{1,4} C.{1,2,3,4} D.{2,3} 【答案】B【解析】【分析】先求出集合B ，由此能求出A B ．【详解】集合{1A =，2，3，4}，2{|B x x n ==，}{1n A ∈=，4，9，16}，{1A B ∴=，4}．应选：B ．【点睛】此题考察交集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2.91i 1i+=-〔〕 A.1-B.i -C.1D.i【答案】D【解析】【分析】按照复数的运算规那么进展运算即可. 【详解】921i 1(1)1i 12i i i i +++===--. 应选：D【点睛】此题考察复数的根本运算，属于根底题. 3.,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 410πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么tan θ=〔〕 A.2 B.43 C.3 D.125【答案】A【解析】【分析】由同角三角函数的根本关系计算可得cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据两角差的正切公式计算可得. 【详解】解：因为,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,424πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos 410πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，那么tan 34πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以tan tan 3144tan tan 244131tan tan 44ππθππθθππθ⎛⎫+- ⎪--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭. 应选：A【点睛】此题考察三角恒等变换，考察运算求解才能，属于根底题.4.在直角梯形ABCD 中，//BC AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4=AD ，假设P 为CD 的中点，那么PA PB ⋅的值是〔〕A.5-B.4-C.4D.5【答案】D【解析】【分析】由题意可知5cos 5PDA ∠=，由()()2PA PB PD BC PD CB ⋅=-⋅-+，再利用两个向量的数量积的定义，运算求解即可. 【详解】解：由题意可知，2DA CB =，PD PC =-，2214252PD PC ==+=. ∴tan 2PDA ∠=，5cos 5PDA ∠=. //BC AD，∴BCD PDA π∠=-∠，5525855⎛⎫=--⨯⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭.应选：D.【点睛】此题考察两个向量的加减法法那么，以及几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题.5.算数书竹简于上世纪八十年代在江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖〞的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一〞.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136VL h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为〔〕 A.227 B.15750 C.289 D.337115【答案】C【解析】【分析】将圆锥的体积用两种方式表达，即213Vr h π==23(2)112r h π，解出π即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，那么213V r h π=，又2233(2)112112V L h r h π≈=，故23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369π≈=. 应选：C.【点睛】此题利用古代数学问题考察圆锥体积计算的实际应用，考察学生的运算求解才能、创新才能.6.等差数列{}n a 的公差为3，前n 项和为n S ，且1a ，2a ，6a 成等比数列，那么6S =〔〕 A.51B.54C.68D.96 【答案】A【解析】【分析】根据1a ，2a ，6a 成等比数列，列出方程解出1a ，再利用等差数列求和公式，即求出6S ．【详解】因为1a ，2a ，6a 成等比数列，所以2216a a a =，即2111(3)(53)a a a +=+⨯，解得11a = 所以665613512S ⨯=⨯+⨯=．应选：A.【点睛】此题主要考察等比中项及等差数列前n 项和公式，属于根底题．7.以下说法正确的选项是〔〕A.“00x ∃≤，002sin x x ≤〞的否认形式是“0x ∀>，2sin x x >〞B.假设平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥那么//αβ C.随机变量ξ服从正态分布()21,N σ〔0σ>〕，假设(01)0.4P ξ<<=，那么(0)0.8P ξ>= D.设x 是实数，“0x <〞是“11x<〞的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】 A ；,αβ可能相交，可判断B 选项；利用正态分布的性质可判断选项C ；11x <⇒0x <或者1x >，利用集合间的包含关系可判断选项D.【详解】“00x ∃≤，002sin x x ≤〞的否认形式是“0x ∀≤，2sin x x >〞，故A 错误；αγ⊥，βγ⊥，那么,αβ可能相交，故B 错误；假设(01)0.4P ξ<<=，那么(12)0.4P ξ<<=，所以10.40.4(0)0.12P ξ--<==，故(0)0.9P ξ>=，所以C 错误；由11x<，得0x <或者1x >，故“0x <〞是“11x <〞的充分不必要条件，D 正确. 应选：D.【点睛】.8.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假玩耍某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨〞是“甲在原始森林〞的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．假设以上语句都正确，那么玩耍千丈瀑布景点的同学是〔〕A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析】【分析】根据演绎推理进展判断．【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此玩耍千丈瀑布景点的同学是丁．应选：D ．【点睛】此题考察演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题根底．9.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π的局部图像如下列图，给出以下四个结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 的最小值为4-；③(),0π是()f x 的一个对称中心；④函数()f x 在区间25,312⎛⎫-π-π ⎪⎝⎭上单调递增. 其中正确结论的个数是〔〕A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】通过图像可得函数的周期，过点,12A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2列方程可得解析式为()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像和性质逐一判断.【详解】由图象知函数()f x 的最小正周期为23122T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，那么4ω=，即()()sin 4f x A x =+ϕ，又由12f A π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由0ϕπ<<可知6π=ϕ，从而()sin 46f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又(0)2f =，可得sin26A π=，所以4A =，从而()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易判断①②正确，而()0f π≠，所以③错误，又由242,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈，得()f x 的增区间为,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，可知当1k =-时，25,312⎛⎫-π-⎪π⎝⎭是()f x 的一个增区间，④正确. 应选：B.【点睛】此题主要考察利用三角函数局部图象求解析式和三角函数的根本性质，考察运算求解才能，是根底题.10.函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.【详解】当1x >时，()1ln()f x x x =-，由1,y y x x=-=在()1,+∞递增，所以1t x x=-在()1,+∞递增又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x =-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos x f x e π=，假设()0,1x ∈，那么()0,x ππ∈ 所以cos tx π=在()0,1递减，而t y e =是增函数所以()cos x f x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误应选：A【点睛】此题考察详细函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.11.P 为双曲线C ：22221x y a b-=〔0a >，0b >〕左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M为虚轴的一个端点，假设2||MP PF +的最小值为12F F ，那么C 的离心率为〔〕B.2D.4+【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义可得21||||2MP PF MP PF a +=++，又11||MP PF MF +≥ 即可得到关于e 的方程，解得. 【详解】解：21||||2MP PF MP PF a +=++1222MF a ac +==， 22a c =，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+=，解得42e +=或者42e =，所以42e +=. 应选：C【点睛】此题考察双曲线的离心率，考察化归与转化的数学思想.12.函数()ln(f x x =+满足对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，那么实数a 的取值范围为〔〕 A.ln 2[8,)2-+∞ B.ln 25[8,2ln 2]24--- C.ln 2(,8]2-∞- D.5(,2ln 2]4-∞-- 【答案】C【解析】【分析】由函数()ln(f x x =+在定义域单调递增，原不等式成立可转化为()2211max 2maxln 2x x x a x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，通过研究函数的最值建立不等式求解即可得a 的取值范围.【详解】由函数()ln(f x x =在定义域单调递增，对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，即任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln 2x x x a x ++≤成立，即满足()2211max 2maxln 2x x x a x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，令2111()2g x x x a =++，对称轴方程为11x =-，在11[,2]2x ∈可得1max ()(2)=8g x g a =+ 令222ln ()x h x x =，求导可得22221ln ()x h x x -'=，2()0h x '=，可得2x e =，在()20,x e ∈，2()0h x '>，2()h x 单调递增，所以在21[,2]2x ∈，2max ln 2()(2)2h x h ==，即ln 282a +≤，解得ln 282a ≤-，应选C .【点睛】此题为函数与导数的综合应用题，考察函数的单调性、导数的应用等知识点，解题的关键是将含有量词的不等式转化为求函数最值问题，再借助导数和函数的性质求解最值建立不等式即可，属于中等题.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分.13.(2x -1)7=a o +a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7，那么a 2=____.【答案】84-【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式即可得结果.【详解】解：(2x -1)7的展开式通式为：()()71721r r r r T C x -+=-当=5r 时，()()2552672184T C x x =-=-，那么284a =-.故答案为：84-【点睛】此题考察求二项展开式指定项的系数，是根底题.14.f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，那么函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为________．【答案】7【解析】当02x ≤<时，3()00,1f x x x x =-=⇒=，所以函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点横坐标为0,1,2,3,4,5,6一共7个点睛：对于方程解的个数(或者函数零点个数)问题，可利用函数的值域或者最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．15.椭圆C ：22162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，那么2ABF 的内切圆半径是________. 【答案】23【解析】【分析】设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆方程分析可得a ，b ，c 的值，由勾股定理分析可得222116AF AF -=，122AF AF a +==1AF 和2AF 的值，计算可得2ABF 的面积与周长，由内切圆的性质计算可得内切圆半径.【详解】解：设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆的方程22162x y +=，其中a =b =2c =，1224F F c ==.因为AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，那么有222116AF AF -=，122AF AF a +==解得13AF =，23AF =2ABF 的周长22l AF BF AB =++==面积1211422SAB F F =⨯⨯==，由内切圆的性质可知，有123r ⨯=，解得23r =. 故2ABF 内切圆的半径为23. 故答案为：23. 【点睛】此题考察椭圆的几何性质，利用三角形面积公式进展转化是解题关键，属于中档题. 16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．acosB ＝bcosA ，6A π∠=，边BC 上的中线长为4．那么c ＝_____；AB BC⋅=_____．【答案】(1).7(2).967-【解析】【分析】由正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ，计算可得B ＝A 6π=，由正弦定理可得c =，再结合余弦定理，可求解c ,a ,从而可求解.AB BC ⋅【详解】由acosB ＝bcosA ，及正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ，所以sin 〔A ﹣B 〕＝0，故B ＝A 6π=，所以由正弦定理可得c =，由余弦定理得16＝c 2+〔2a 〕2﹣2c •2a •cos 6π，解得c 7=；可得a 7=，可得AB BC ⋅=-accosB 9677==-．967-．【点睛】此题考察了正弦、余弦定理的综合应用，考察了学生综合分析，转化化归，数学运算的才能，属于中档题.三、解答题:(本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17.等比数列{}n a 〔其中n *∈N 〕，前n 项和记为n S ，满足：3716S =，且212log 1log n n a a +=-+ ()1求数列{}n a 的通项公式；()2求数列{}log n n a a ⋅，n *∈N 的前n 项和nT.【答案】()1112n n a +=；()213322n n n T ++=-. 【解析】【分析】()1设等比数列{}n a 的公比为q ，然后根据对数的运算可得q 的值，再根据等比数列求和公式可得首项1a 的值，即可得到数列{}n a 的通项公式；()2设2log n n n b a a =⋅，然后根据()1题的结果可得{}n b 的通项公式，然后根据通项公式的特点可用错位相减法求出前n 项和n T . 【详解】解：()1由题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，212log 1log n n a a +=-+，∴12122log log log 1n n n na a a a ++-==-，∴112n n a q a +==．由3716S =，得31127116121a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣=-⎦，解得114a =． ∴数列{}n a 的通项公式为112n n a +=．()2由题意，设2log n n n b a a =⋅，那么112n n n b ++=-． ∴12231231222n n n n b b T b ++⎛⎫++=-+++⎪⎝+⎭＝，故231231222nn n T ++-=+++，312212222n n n T n n +++-=+++. 两式相减，可得31221111332222242n n n n T n n +++++-=+++-=-．∴13322n n n T ++=-．【点睛】此题考察等比数列的性质应用，错位相减法求和的方法，考察转化思想，数学运算才能，属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点〔1〕证明：BEDC ⊥；〔2〕假设F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值.【答案】〔1〕证明见详解；〔2 【解析】【分析】〔1〕以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥；〔2〕设(,,)F a b c ，由BFAC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪ ⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值.【详解】证明：〔1〕∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，B 〔1，0，0〕，P 〔0，0，2〕，C 〔2，2，0〕，E 〔1，1，1〕，D 〔0，2，0〕，(0,1,1)BE =，(2,0,0)DC =，0BE DC ∴⋅=，∴BEDC ⊥；〔2〕∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PFPC λλ=∈，那么(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-，(21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=，∵BFAC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=，解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭， 113(1,0,0),,,222AB AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =，那么0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1z =，得(0,3,1)n =-，平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m=，设二面角F AB P --的平面角为θ，那么||cos ||||103m n m n θ⋅===⋅ ∴二面角F AB P --. 【点睛】此题考察线线垂直的证明，考察二面角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题.19.十八大以来，HYHY 提出要在2021年实现全面脱贫，为了实现这一目的，国家对“新农合〞〔新型农村医疗〕推出了新政，各级财政进步了对“新农合〞的补助HY ．进步了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：表1：新农合门诊报销比例根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表假设一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲、三甲门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．假设李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次．〔Ⅰ〕李村在这个结算年度内去三甲门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？〔Ⅱ〕假设将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用〔报销后个人应承担局部〕X的分布列与期望．【答案】〔Ⅰ〕316495；〔Ⅱ〕X的发分布列为：期望61EX ．【解析】【分析】〔Ⅰ〕由表2可得去各个门诊的人次比例可得2000人中各个门诊的人数，即可知道去三甲的总人数，又有60岁所占的百分比可得60岁以上的人数，进而求出任选2人60岁以上的概率；〔Ⅱ〕由去各门诊结算的平均费用及表1所报的百分比可得随机变量的可能取值，再由概率可得X的分布列，进而求出概率．【详解】解：〔Ⅰ〕由表2可得李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次，分别去村卫生室、镇卫生院、二甲、三甲人数为200070%1400⨯=，200010%200⨯=，200015%300⨯=，20005%100⨯=，而三甲门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，所以去三甲门诊就诊的人次中，60岁以上的人数为：10080%80⨯=人，设从去三甲门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的事件记为A ，那么()2802100316495C P A C ==；〔Ⅱ〕由题意可得随机变量X的可能取值为：50500.620-⨯=，1001000.460-⨯=，2002000.3140-⨯=，5005000.2400-⨯=，(20)0.7p X ==，(60)0.1P X ==，(140)0.15P X ==，(400)0.05P X ==，所以X的发分布列为：所以可得期望200.7600.11400.154000.0561EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】此题主要考察互斥事件、随机事件的概率计算公式、分布列及其数学期望、组合计算公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题． 20.在直角坐标系xOy 中，点()1,0P、Q (x ，y )，假设以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切.〔1〕求点Q 的轨迹C 的方程；〔2〕假设C 上存在两动点A B ，〔A ，B 在x 轴异侧〕满足32⋅=OA OB ，且PAB △的周长为22AB +，求AB的值.【答案】〔1〕24y x =；〔2〕48AB = 【解析】【分析】〔1〕设(),Qx y 122+=⨯x ，化简后可得轨迹C 的方程.〔2〕设直线:AB x my n =+，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简32⋅=OA OB并求得8n =，结合焦半径公式及弦长公式可求m 的值及AB 的长.【详解】〔1〕设(),Qx y ，那么圆心的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，因为以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切，122+=⨯x ，化简得C 的方程为24y x =.(2)由题意0AB k ≠，设直线:AB x my n =+，联立24y x =得2440y my n --=，设()()1122,,A B x y x y ，〔其中120y y <〕所以124y y m +=，124y y n ⋅=-，且0n >，因为32⋅=OA OB ，所以22121212123216⋅=+=+=y y OA OB x x y y y y ，2432n n -=，所以()()840n n -+=，故8n =或者4n =-〔舍〕，直线:8AB x my =+，因为PAB ∆的周长为22AB +所以22PA PB AB AB ++=+即2PA PB AB +=+，因为()21212218418PA PB x x m y y m +=++=++=+.又12AB y y =-==所以24182m +=，解得m =±所以48AB ===.【点睛】此题考察曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或者y 的一元二次方程，再把等式化为关于两个的交点横坐标或者纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或者1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.此题属于中档题. 21.函数2()cos 2a f x x x =+〔a ∈R 〕，()f x '是()f x 的导数. 〔1〕当1a =时，令()()ln h x f x x x '=-+，()h x '为()h x 的导数.证明：()h x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一的极小值点；〔2〕函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围.【答案】〔1〕见解析；〔2〕1a ≤ 【解析】【分析】〔1〕设1()()cos g x h x x x '==-，'21()sin g x x x -=+，注意到'()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单增，再利用零点存在性定理即可解决；〔2〕函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么'0y ≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即342sin 203ax x x --≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数34()2sin 23m x ax x x =--，求导讨论()m x 的最值即可. 【详解】〔1〕由，'()sin f x x x =-，所以()ln sin h x x x =-，设'1()()cos g x h x x x ==-，'21()sin g x x x-=+，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()gx 单调递增，而(1)0g '<，'02g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，且'()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上图象连续不断.所以'()gx 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点α，当(0,)x α∈时，'()0gx <；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x >；∴()g x 在(0,)α单调递减，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故()g x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点，即()hx '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点；〔2〕设()sin k x x x =-，[)0,x ∈+∞，()1cos 0k x x '=-≥，∴()k x 在[)0,+∞单调递增，()(0)0k x k ≥=，即sin x x ≥，从而sin 22x x ≤，因为函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴34()2sin 203m x ax x x =--≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，令'2()22cos24()m x a x x p x =--=，∵sin 22x x ≤， ∴'()4sin 280p x x x =-≤，'()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，''max ()(0)22m x m a ==-，当1a ≤时，'()0m x ≤，那么()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()(0)0m x m ≤=，符合题意. 当1a >时，'()mx 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，'(0)220m a =->所以一定存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当00x x ≤<时，()0m x '>，()m x 在[)00,x 上单调递增，()0(0)0m x m >=与题意不符，舍去. 综上，a 的取值范围是1a ≤【点睛】此题考察利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，此题是一道较难的题.请考生在22，23，题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题记分．做答时，需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程 22.曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是:22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 是参数〕. ()1假设直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且AB =m 值.()2设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.【答案】()11m =或者3m =；()22⎡-+⎣.【解析】【分析】()1把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的间隔求出m 值； ()2把曲线C 的普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出x y +的取值范围.【详解】解：()1曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：2240x y x +-=，直线l 的直角坐标方程为：y x m =-.∴圆心到直线l的间隔〔弦心距〕2d ==,圆心()2,0到直线y x m =-2=, ∴1m =或者3m =.()2曲线C 的方程可化为()2224x y -+=，其参数方程为：22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩〔θ为参数〕(),M x y 为曲线C上任意一点，24x y πθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭x y ∴+的取值范围是2⎡-+⎣.【点睛】此题考察参数方程与极坐标的应用，属于中档题. 选修4—5；不等式选讲.23.函数()2121f x x x =-++，记不等式()4f x <的解集为M .〔1〕求M ；〔2〕设,a b M ∈，证明：10ab a b --+>. 【答案】〔1〕{}|11x x -<<；〔2〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集M . 〔2〕将不等式坐标因式分解，结合〔1〕的结论证得不等式成立.【详解】〔1〕解：()14,2112,2214,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，由()4f x <，解得11x -<<，故{}|11Mx x =-<<. 〔2〕证明：因为,a b M ∈，所以1a <，1b <，所以()()()1110ab a b a b -++=-->，所以10ab a b --+>.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式的解法，考察不等式的证明，属于根底题.。

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