非线性方程的数值求解答案
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3）x 2 [解]1）设 ( x) 1 迭代方法局部收敛。 2）设 ( x) 3 1 x 2 ，则 ( x)
2 x(1 x 2 ) 3 ，从而 3 2
1 2 2 16 ，则 ( x) 3 ，从而 (1.5) 3 1 ，所以 2 27 x x 1.5
93 47 23
f(
93 559 23 93 f( ) e 1024 0 ，有根区间为 ； , 1024 512 256 1024
从而 x *
1 23 93 185 ( ) 0.090332 ，共二分 10 次。 2 256 1024 2048
2 e xk 2 e0 2 e 0.1 0.1 ， x2 0.0894829 ， ，则 x1 10 10 10
2 ，所以 1 ( x) 1 ，即 ( x) 1 ，从而迭代 M
1 ，从而 ( x)
[ 1 ( x)]
1 1 1 ，故迭代公式 xk 1 1 ( xk ) 收敛。 ( x) k
令 ( x) tan x ，则 ( x) sec2 x ，从而 (4.5) sec 2 4.5 22.5 ，将迭代公式改 变为 xk 1 arctan xk ，这时， ( x)
1 13 1 1 f ( ) e 16 0.5605 0 ，有根区间为 , ； 16 8 16 8 f( 3 17 1 3 ) e 32 0.03578 0 ，有根区间为 , ； 32 16 16 32 5 39 5 3 ) e 64 0 ，有根区间为 , ； 64 32 64 32
1
3
3
所以迭代方法发散。 4）设 ( x) x 3 1 ，则 ( x)
3 2 3 x ( x 1) 2 ，从而 2 1
(1.5)
3 19 9 1.5( ) 2 1 ，所以迭代方法发散。 2 8 38
1
4、比较求 e x 10 x 2 0 的根到三位小数所需的计算量： 1）在区间 0,1 内用二分法； 2）用迭代法 xk 1 (2 e xk ) / 10 ，取初值 x0 0 。 [解]1）使用二分法，令 f ( x) e x 10 x 2 ，则
f (1
9 9 9 31 9 ) (1 ) 2 1 1 0 ，所以有根区间为 1 ,1.625 ； 16 16 16 256 16
1 9 5 19 (1 1 ) 1 1.59375 ， 2 16 8 32 1 9 1 这时它与精确解的距离 (1.625 1 ) 0.05 。 2 16 32
f (0) 1 ， f (1) e 8 ，有根区间为 0,1 ；
f (0.5) e 0.5 3 0 ，有根区间为 0,0.5 ； f (0.25) e 0.25 0.5 0 ，有根区间为 0,0.25 ； f (0.125) e 0.125 0.75 0 ，有根区间为 0,0.125 ；
f ( x) 是一个单变量的初等函数，它可以是多项式函数、超越函数等形式或者它
们的组合形式。 所谓方程求根，就是寻找一个 x * ，使得 f ( x * ) 0 成立，这样的 x * 叫做方程 ， 也 叫 做 函 数 f ( x) 的 零 点 。 若 存 在 正 整 数 m ， 使 得 f ( x) 0 的 根 （ 解 ）
17 2( ) 3 1 10555 2 2 3 1 17 9 1.87945 ，迭代停止。 x1 1.888889 ， x 2 2 17 2 5616 3 2 3 9 3( ) 3 9
x k 1 x k
2） xk
f ( xk ) ( x k x k 1 ) f ( x k ) f ( x k 1 )
x1 1.9 ， x2
1.9 2 (1.9 2) 1 15.82 1582 1.881094 841 1.9 2 1.9 2 2 2 3 8.41
1582 1582 1.9 ( 1.9) 1 841 841 x3 1582 2 1582 ( ) 1.9 1.9 2 3 ，迭代停止。 841 841 9558143.42 8412 1026542442 1.879411 2 2 546204321 1582 1582 1.9 841 0.61 841
(1.5)
2 16 1.5(1 1.5 2 ) 3 3 1 ，所以迭代方法局部收敛。 3 169
2
3） 设 ( x)
1 1 ， 则 ( x) ( x 1) 2 ， 从而 (1.5) (0.5) 2 2 1 ， 2 2 x 1
1 1 ，从而 (4.5) 0.047 ，迭 2 1 x 1 4.5 2
代格式收敛。 取 x0 4.5 ，x1 arctan x0 4.49372 ，x * x2 arctan x1 4.493424 。 7 、 用 下 列 方 法 求 f ( x) x 3 3 x 1 0 在 x 0 2 附 近 的 根 。 根 的 准 确 值
3 xk 3xk 1 x k x k 1 ( x k x k 1 ) 1 ( x x ) k k 1 3 3 2 2 ( xk 3x k 1) ( x k xk x k x k 1 x k 1 3 x k 1 1) 1 3
， x0 2 ，
第六章 方程求根
阅读材料： 一般的 n 次多项式方程 an x n an1 x n1 a1 x a0 0 称为 n 次代数 方程。对于 3 次、4 次的方程，虽然也可以在数学手册上查到求解公式，但是太 复杂。 至于 5 次以上的方程就没有现成的求解公式了。代数方程可以说是最简单 的非线性方程，因为虽然不能很好地算出它的根，但是总可以知道，n 次方程一 般具有 n 个根。 一般由实际问题归结得到的方程还常常含有三角函数、指数函数、对数函数 等超越函数，如 sin x, e x , ln x ，这样的方程叫做超越方程。求解超越方程不仅没 有一般的公式，而且若只依据方程本身，那么连是否有根、有几个根，也都难以 判断。 超越方程与 n 2 次代数方程一起统称为非线性方程，记作 f ( x) 0 ，其中
2）使用迭代法 xk 1
x3
2 e 0.0894829 2 e 0.0906391 0.0906391 ， x4 0.0905126 ， 10 10
即 x * x4 0.0905126 ，共迭代 4 次。 5、给定函数 f ( x) ，设对一切 x， f ( x) 存在且 0 m f ( x) M ，证明对于范围 迭代过程 xk 1 xk f ( xk ) 均收敛于 f ( x) 的根 x * 。 0 2 / M 内的任意定数 ， [证明]由 xk 1 xk f ( xk ) 可知，令 ( x) x f ( x) ，则 ( x) 1 f ( x) ，又因 为 0 m f ( x) M ， 0 格式收敛。 6、已知 x ( x) 在区间 a, Βιβλιοθήκη Baidu 内只有一根，而当 a x b 时， ( x) k 1，试问 如何将 x ( x) 化为适于迭代的格式？ 将 x tan x 化为适于迭代的格式，并求 x 4.5 （弧度）附近的根。 [ 解 ] 将 x ( x) 两 边 取 反 函 数 ， 得 到 x 1 ( x) ， 而 [ 1 ( x)]
x * 1.87938524，要求计算结果准确到四位有效数字。
1） 用牛顿法； 2） 用弦截法， 取 x0 2, x1 1.9 ； 3） 用抛物线法， 取 x0 1, x1 3, x2 2 [解]1） xk 1 xk
3 f ( xk ) x 3 3x 1 2 x k 1 xk k 2 k 2 ， x0 2 ， f ( xk ) 3x k 3 3xk 3
11 5 3
1
f(
11 73 11 3 ； f( ) e 128 0 ，有根区间为 , 128 64 128 32 f( 23 141 23 3 ； ) e 256 0 ，有根区间为 , 256 128 256 32 47 277 23 47 ； ) e 512 0 ，有根区间为 , 512 256 256 512
又因为 f (1) 1 ，所以有根区间为 1,2 ；
f (1.5) 1.5 2 1.5 1 0.25 ，所以有根区间为 1.5,2 ；
f (1.75) 1.75 2 1.75 1
5 0 ，所以有根区间为 1.5,1.75 ； 16 1 f (1.625) 1.625 2 1.625 1 0 ，所以有根区间为 1.5,1.625 ； 64
取 x* 2、 用比例求根法求 f ( x) 1 x sin x 0 在区间 0,1 的一个根， 直到近似根 x k 满足 精度 f ( xk ) 0.005 终止计算。？ 3、 为求方程 x 3 x 2 1 0 在 x0 1.5 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形 式，并建立相应的迭代公式：
2 2 1）x 1 1 / x 2 ， 迭代公式 xk 1 1 1 / xk ； 2）x 3 1 x 2 ， 迭代公式 xk 1 3 1 xk ；
1 3 1 。 ， 迭代公式 xk 1 1 / xk 1 ； 4）x 2 x 3 1 ， 迭代公式 xk 1 xk x 1 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似 值。
f ( x) ( x x * ) m g ( x) ，且 0 g ( x * ) ，则称 x * 为 f ( x) 0 的 m 重根。当 m 1
时， x * 又称为单根，这时 x * 满足 f ( x * ) 0 ， f ( x * ) 0 。 对于一般的非线性方程 f ( x) 0 ，用直接方法得到它的精确解是很困难的， 例如 e x x 0 。 非线性方程的求解就是研究方程 f ( x) 0 在给定初值的条件下， 如何利用计算机运算得到方程真解 x * 的近似值 x， 使得对任意给定的精度 0 ， 满足 x * x ，此时称 x 关于 是精确的。 对于具体的问题，首先要对函数 f ( x) 加以初步的研究，判断出方程的根的 个数和大概位置，才能较好地选择有根区间。如果选取得好，还可以把方程的根 逐个分离，找出相应的有根区间。 二分法的特点是当 f ( x) 0 有单根时具有收敛快的特点。然而对方程有重根 或复根的情况，二分法公式有时失效。 1、用二分法求方程 x 2 x 1 0 的正根，要求误差 0.05 。 [解]令 f ( x) x 2 x 1 ，则 f (0) 1 ， f (2) 1 ，所以有根区间为 0,2 ；
2 x(1 x 2 ) 3 ，从而 3 2
1 2 2 16 ，则 ( x) 3 ，从而 (1.5) 3 1 ，所以 2 27 x x 1.5
93 47 23
f(
93 559 23 93 f( ) e 1024 0 ，有根区间为 ； , 1024 512 256 1024
从而 x *
1 23 93 185 ( ) 0.090332 ，共二分 10 次。 2 256 1024 2048
2 e xk 2 e0 2 e 0.1 0.1 ， x2 0.0894829 ， ，则 x1 10 10 10
2 ，所以 1 ( x) 1 ，即 ( x) 1 ，从而迭代 M
1 ，从而 ( x)
[ 1 ( x)]
1 1 1 ，故迭代公式 xk 1 1 ( xk ) 收敛。 ( x) k
令 ( x) tan x ，则 ( x) sec2 x ，从而 (4.5) sec 2 4.5 22.5 ，将迭代公式改 变为 xk 1 arctan xk ，这时， ( x)
1 13 1 1 f ( ) e 16 0.5605 0 ，有根区间为 , ； 16 8 16 8 f( 3 17 1 3 ) e 32 0.03578 0 ，有根区间为 , ； 32 16 16 32 5 39 5 3 ) e 64 0 ，有根区间为 , ； 64 32 64 32
1
3
3
所以迭代方法发散。 4）设 ( x) x 3 1 ，则 ( x)
3 2 3 x ( x 1) 2 ，从而 2 1
(1.5)
3 19 9 1.5( ) 2 1 ，所以迭代方法发散。 2 8 38
1
4、比较求 e x 10 x 2 0 的根到三位小数所需的计算量： 1）在区间 0,1 内用二分法； 2）用迭代法 xk 1 (2 e xk ) / 10 ，取初值 x0 0 。 [解]1）使用二分法，令 f ( x) e x 10 x 2 ，则
f (1
9 9 9 31 9 ) (1 ) 2 1 1 0 ，所以有根区间为 1 ,1.625 ； 16 16 16 256 16
1 9 5 19 (1 1 ) 1 1.59375 ， 2 16 8 32 1 9 1 这时它与精确解的距离 (1.625 1 ) 0.05 。 2 16 32
f (0) 1 ， f (1) e 8 ，有根区间为 0,1 ；
f (0.5) e 0.5 3 0 ，有根区间为 0,0.5 ； f (0.25) e 0.25 0.5 0 ，有根区间为 0,0.25 ； f (0.125) e 0.125 0.75 0 ，有根区间为 0,0.125 ；
f ( x) 是一个单变量的初等函数，它可以是多项式函数、超越函数等形式或者它
们的组合形式。 所谓方程求根，就是寻找一个 x * ，使得 f ( x * ) 0 成立，这样的 x * 叫做方程 ， 也 叫 做 函 数 f ( x) 的 零 点 。 若 存 在 正 整 数 m ， 使 得 f ( x) 0 的 根 （ 解 ）
17 2( ) 3 1 10555 2 2 3 1 17 9 1.87945 ，迭代停止。 x1 1.888889 ， x 2 2 17 2 5616 3 2 3 9 3( ) 3 9
x k 1 x k
2） xk
f ( xk ) ( x k x k 1 ) f ( x k ) f ( x k 1 )
x1 1.9 ， x2
1.9 2 (1.9 2) 1 15.82 1582 1.881094 841 1.9 2 1.9 2 2 2 3 8.41
1582 1582 1.9 ( 1.9) 1 841 841 x3 1582 2 1582 ( ) 1.9 1.9 2 3 ，迭代停止。 841 841 9558143.42 8412 1026542442 1.879411 2 2 546204321 1582 1582 1.9 841 0.61 841
(1.5)
2 16 1.5(1 1.5 2 ) 3 3 1 ，所以迭代方法局部收敛。 3 169
2
3） 设 ( x)
1 1 ， 则 ( x) ( x 1) 2 ， 从而 (1.5) (0.5) 2 2 1 ， 2 2 x 1
1 1 ，从而 (4.5) 0.047 ，迭 2 1 x 1 4.5 2
代格式收敛。 取 x0 4.5 ，x1 arctan x0 4.49372 ，x * x2 arctan x1 4.493424 。 7 、 用 下 列 方 法 求 f ( x) x 3 3 x 1 0 在 x 0 2 附 近 的 根 。 根 的 准 确 值
3 xk 3xk 1 x k x k 1 ( x k x k 1 ) 1 ( x x ) k k 1 3 3 2 2 ( xk 3x k 1) ( x k xk x k x k 1 x k 1 3 x k 1 1) 1 3
， x0 2 ，
第六章 方程求根
阅读材料： 一般的 n 次多项式方程 an x n an1 x n1 a1 x a0 0 称为 n 次代数 方程。对于 3 次、4 次的方程，虽然也可以在数学手册上查到求解公式，但是太 复杂。 至于 5 次以上的方程就没有现成的求解公式了。代数方程可以说是最简单 的非线性方程，因为虽然不能很好地算出它的根，但是总可以知道，n 次方程一 般具有 n 个根。 一般由实际问题归结得到的方程还常常含有三角函数、指数函数、对数函数 等超越函数，如 sin x, e x , ln x ，这样的方程叫做超越方程。求解超越方程不仅没 有一般的公式，而且若只依据方程本身，那么连是否有根、有几个根，也都难以 判断。 超越方程与 n 2 次代数方程一起统称为非线性方程，记作 f ( x) 0 ，其中
2）使用迭代法 xk 1
x3
2 e 0.0894829 2 e 0.0906391 0.0906391 ， x4 0.0905126 ， 10 10
即 x * x4 0.0905126 ，共迭代 4 次。 5、给定函数 f ( x) ，设对一切 x， f ( x) 存在且 0 m f ( x) M ，证明对于范围 迭代过程 xk 1 xk f ( xk ) 均收敛于 f ( x) 的根 x * 。 0 2 / M 内的任意定数 ， [证明]由 xk 1 xk f ( xk ) 可知，令 ( x) x f ( x) ，则 ( x) 1 f ( x) ，又因 为 0 m f ( x) M ， 0 格式收敛。 6、已知 x ( x) 在区间 a, Βιβλιοθήκη Baidu 内只有一根，而当 a x b 时， ( x) k 1，试问 如何将 x ( x) 化为适于迭代的格式？ 将 x tan x 化为适于迭代的格式，并求 x 4.5 （弧度）附近的根。 [ 解 ] 将 x ( x) 两 边 取 反 函 数 ， 得 到 x 1 ( x) ， 而 [ 1 ( x)]
x * 1.87938524，要求计算结果准确到四位有效数字。
1） 用牛顿法； 2） 用弦截法， 取 x0 2, x1 1.9 ； 3） 用抛物线法， 取 x0 1, x1 3, x2 2 [解]1） xk 1 xk
3 f ( xk ) x 3 3x 1 2 x k 1 xk k 2 k 2 ， x0 2 ， f ( xk ) 3x k 3 3xk 3
11 5 3
1
f(
11 73 11 3 ； f( ) e 128 0 ，有根区间为 , 128 64 128 32 f( 23 141 23 3 ； ) e 256 0 ，有根区间为 , 256 128 256 32 47 277 23 47 ； ) e 512 0 ，有根区间为 , 512 256 256 512
又因为 f (1) 1 ，所以有根区间为 1,2 ；
f (1.5) 1.5 2 1.5 1 0.25 ，所以有根区间为 1.5,2 ；
f (1.75) 1.75 2 1.75 1
5 0 ，所以有根区间为 1.5,1.75 ； 16 1 f (1.625) 1.625 2 1.625 1 0 ，所以有根区间为 1.5,1.625 ； 64
取 x* 2、 用比例求根法求 f ( x) 1 x sin x 0 在区间 0,1 的一个根， 直到近似根 x k 满足 精度 f ( xk ) 0.005 终止计算。？ 3、 为求方程 x 3 x 2 1 0 在 x0 1.5 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形 式，并建立相应的迭代公式：
2 2 1）x 1 1 / x 2 ， 迭代公式 xk 1 1 1 / xk ； 2）x 3 1 x 2 ， 迭代公式 xk 1 3 1 xk ；
1 3 1 。 ， 迭代公式 xk 1 1 / xk 1 ； 4）x 2 x 3 1 ， 迭代公式 xk 1 xk x 1 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似 值。
f ( x) ( x x * ) m g ( x) ，且 0 g ( x * ) ，则称 x * 为 f ( x) 0 的 m 重根。当 m 1
时， x * 又称为单根，这时 x * 满足 f ( x * ) 0 ， f ( x * ) 0 。 对于一般的非线性方程 f ( x) 0 ，用直接方法得到它的精确解是很困难的， 例如 e x x 0 。 非线性方程的求解就是研究方程 f ( x) 0 在给定初值的条件下， 如何利用计算机运算得到方程真解 x * 的近似值 x， 使得对任意给定的精度 0 ， 满足 x * x ，此时称 x 关于 是精确的。 对于具体的问题，首先要对函数 f ( x) 加以初步的研究，判断出方程的根的 个数和大概位置，才能较好地选择有根区间。如果选取得好，还可以把方程的根 逐个分离，找出相应的有根区间。 二分法的特点是当 f ( x) 0 有单根时具有收敛快的特点。然而对方程有重根 或复根的情况，二分法公式有时失效。 1、用二分法求方程 x 2 x 1 0 的正根，要求误差 0.05 。 [解]令 f ( x) x 2 x 1 ，则 f (0) 1 ， f (2) 1 ，所以有根区间为 0,2 ；