11.2算术平方根的双重非负性

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平方根的非负性

巧用算术平方根的“非负性”
众所周知，算术平方根具有双重非负性：1．被开方数具有非负性，即≥0；
2．具有非负性，即≥0．这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问题时，如果能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，挖掘出题目中隐含的算术平方根的这两个非负性，并在解题过程中做到有机地配合，则可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．
【例1】实数满足，化简．
【分析】由算术平方根被开方数的非负性知，因此，只有
，所以．有了的取值范围，便可以化简了．
【解】由题可知，
∴，∴，
∴，
∴= ．
【例2 】如果成立，求的值．
【分析】由算术平方根被开方数的非负性知，因此，只有
，即；又，即，所以，于是得解．
【解】由题可知，
∴，即．
又∵，即，
∴，∴，
∴．
【例3】若与互为相反数，求的值．
【分析】由题可知＋=0．因为一个数的绝对值、算术平方根是
两种非负数，利用非负数的性质“若干个非负数的和为零，则其中每个非负数均为零”即可求解．
【解】由题可得＋=0．
∵，
∴由非负数的性质，得
解这个方程组，得
∴。

算术平方根的双重非负性

算术平方根的双重非负性
算术平方根√a(a≥0)具有双重非负性，一是被开方数具有非负性，即a≥0；二是算平方根本身具有非负性，即√a≥0。

算术平方根的双重非负性还有两个特征，一是兼容性，二是隐含性。

算术平方根的性质
双重非负性
如果x=√a
那么：1.a≥0（若小于0，则为虚数）
2.x≥0
与平方根的关系
正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根。

负数没有算术平方根。

算术平方根的产生
根号（即算术平方根）的产生源于正方形的对角线长度“根号二”，这个“根号二”的发现一度引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。

因为按当时的权威解释（也就是毕达哥拉斯学派的学说），万物皆数（也就是说世界上所有的事物都可以用有理数来表示）。

对于这个无理数“根号二”，最终人们选取了用根号来表示。

算术平方根的非负性运用

初中数学七年级下册
算术平方根的非负性运用
旧知链接 a 被1. 开a可方以数取a是任非何负数数吗,？即 a 0 .
2a. 是a非是负什数，么即数a？ 0 .
也就是说，非负数的“算术平方根”是非负数.
负数不存在算术平方根，即当 a 0 时，a 无意义.
如： 6 无意义； 8是64的算术平方根或 64 8 .
所以 3 m 0 m n 1 0
所以 m 3 n 4 所以 1 m 1 n 7
9 23
强调：几个非负数的和为0，则这几个数都为0.
巩固练习 1.若 5-x 有意义，则x的取值范围是_x____5___.
2.若 m 2 化简 m 22 =_m_____2.
追问：若m<-2呢？结果(-m-2).
3. 是算术平方根的运算符号.
运用新知
例1 2-x 有意义，则实数x应满足条件为________.
解：要使 2-x有意义，需有2 x 0，即x 2.
变式：若m>0,则 m2 __m__ . 变式：若m<0,则 m2 __-_m_ .
强调： a2 a
当a 0时，a2 a 当a 0时，a2 a 当a 0时，a2 0
3.已知 y x 3 3 x 2，则 y x =___8___.
4.已知 3 m (1 n)2 0 ，则 m+n=_4_____.
a
总结反思
运用算术平方根的双重非负性解决问题：
1.求算术平方根被开方数的取值范围.
2.化简简单的二次根式.
3.解决几个非负数和为2m 1 1 2m 1 ,求 y 2m .
4
解：由题意知： 2m10 12m0
所以
把m
所以

算术平方根、平方根知识点教学教材

算术平方根、平方根知识点学科教师辅导讲义知识点2：估算估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值范围是（）A.10<<mB.21<<mC.32<<mD.43<<m知识点3：平方根、开平方的概念及符号表示延伸拓展1.平方根的理解（1）被开方数a 一定是非负数（即正数或0）；（2）平方与开平方是互逆运算；2.平方根与算术平方根的区别与联系例2.求下列各数的平方根和算术平方根：（1）0.0009 （2）8125（3）25-）（知识点4：平方根的性质平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ±，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根.注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个.例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（） A.2 B.-1 C.1 D.0随堂巩固一、选择题.1. 4的算术平方根是（）A.2B.-2C.±2D.162.下列说法正确的是（）A.5是25的算术平方根B.16是4的算术平方根C.-6是()26-的算术平方根 D.0没有算术平方根3.下列整数中，与最接近的是（）A.4B.5C.6D.74.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（）A.2与3 之间B.3与4 之间C.4与5之间D.5与6之间 5.81的平方根是（）A.3±B.3C.9±D.9 6.下列语句正确的是（）A.-2是-4的平方根B.2是()22-的算术平方根C.()22-的平方根是2D.4的平方根是2或-27.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（）A.-8B.8±C.2±D.8±或2±二、填空题 1.化简：（1）412= ；（2） = . 2.大于2且小于5的整数是 . 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是。

平方根与算数平方根(复习讲义)01(教师版)

平方根与算数平方根（复习讲义）01【知识点讲解】知识点一：算术平方根1、定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，规定0的算术平方根是0。

2、表示方法：非负数a 的算术平方根记作“a ”，读作“根号a ”，其中a 叫做被开方数。

3、性质：正数a 的算术平方根为a ； 0的算术平方根是0，即00=；负数没有算术平方根。

举例：2552=，那么5叫做25的算术平方根（或者说25的算术平方根是5）。

算术平方根a 具有双重非负性：被开方数a 是非负数，即a ≥0；非负数a 的算术平方根a 是非负数，即a ≥0。

4、规律方法：求一个非负数的算术平方根与求一个非负数的平方恰好是互逆的过程。

算术平方根等于本身的数只有0和1。

被开方数越大，对应的算术平方根也越大，这个结论对所有正数都成立。

例1：求下列个数的算术平方根 ①：0.090.3②：2516 54 ③：()24-4④：0 0 ⑤：1010知识点二：估算算术平方根1、方法：求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，一般采用夹逼法。

“夹”就是从两边确定取值范围；“逼”就是一点一点加强限制，使取值范围越来越小，从而达到理想的精确度。

2、依据：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。

3、举例：估算10的大小，可以取与10最近的两个完全平方数9和16。

因为16109<<，所以16109<<，即4103<<4、估算一个正数（非完全平方数）的算术平方根是用有理数进行估计，利用与被开方数比较接近的完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小。

例2：估算7的近似值（精确到0.01）解：372974<<⇒<<76.66.22=、29.77.22=7.276.2<<⇒9696.664.22=、0225.765.22=65.2764.2<<⇒得：65.27≈知识点三：平方根的概念及性质 1、平方根：（1）定义：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 叫做a 的平方根或二次方根。

算术平方根的双重非负性

算术平方根的双重非负性算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即ax=2，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=.算术平方根定义中的两层含义：a中的a是一个非负数，即0a≥，a的算术平方根a也是一个非负数，≥．这就是算术平方根的双重非负性．例题：已知x，y为有理数，且x－1＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即≥，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y的值，进而求得答案．()20,20y≥-≥，且x－1＋3(y－2)2＝0∴x-1=0，y-2=0.∴x=1,y=2∴x－y＝1－2＝－1.方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即≥，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.巩固练习：1.若|x－2|+3-y=0,则xy=______.2.已知()0232212=++++-zyx，求x+y+z的值.3. △ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b 满足04412=+-+-b b a ，求c 的取值范围．参考答案：1. xy =62. 解：因为21-x ≥0，()22+y ≥0，23+z ≥0，且()0232212=++++-z y x ，所以21-x =0，()22+y =0，23+z =0，解得21=x ，2-=y ，23-=z ，所以x +y +z = 3-．3. 解：由04412=+-+-b b a ，可得0)2(12=-+-b a ，因为 1-a ≥0，2)2(-b ≥0，所以1-a =0，2)2(-b =0，所以a = 1，b = 2，由三角形三边关系定理有：b- a < c < b +a ，即1 < c < 3．。

数学人教版七年级下册算术平方根之双重非负性(二)

太湖港中学五环生态教学PPT
自学检测（3分钟）
平方绝对值算术平方根正负性
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交流小结（18分钟）
讨论一根据上表，关于平方、绝对值、算术平方根的非负性你得到什么结论？一个数的平方、绝对值、算术平方根都是非负数，也就是它们都具有非负性。这也是算术平方的第二重非负性。
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交流小结（18分钟）
讨论四
根据几个非负数的和为0，这几个非负数就都等于0
根据几个非负数的和为0，这几个非负数就都等于0
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注意：被开方数也要是非负数！
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交流小结（18分钟）
讨论二如果两个非负相加，它们的结果是什么数（正负性）？三个非负数相加呢？两个非负数的和一定是非负数，三个非负数的和也是非负数，不管多少个非负数的和都一定是非负数。讨论三
如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数必须满足什么条件？你可以用相反数的性质去进行解释吗？如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数都必须等于0. 因为两个数相加为0，那么这两个数就应该是相反数，所以要么是一正一负，要么两个数都是0，根据它们都是非负数，所以只能都等于0.
算术平方根之双重非负性（二）
太湖港中学七（3）班：张翠丽
太湖港中学五环生态教学PPT
学习目标（2分钟解读）

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指导自学（5分钟）
大于等于0的数叫非负数。一定是非负数的数就具有非负性回想以前学习的知识中还学过类似的非负性吗？两个相反数具备什么性质？还有平方和绝对值具有非负性，两个相反数的和为0.

算术平方根、平方根、立方根之间区别联系

3
y21或y32
3
3
2. 2（ 7x5） 380 解: 27(3x5)3 8
3 (x5)3 8
3 27
x5 2 33
x52 33
x 1
当方程中出现平方时，若有解，一般都有两个解
当方程中出现立方时，一般都有一个解
解方程：
（ 1）（ x-1） 3125（4）2（ 7x2） 31250
（2）23x12 8
做二次方根）。记为“ a ”读作“正、负
根号a”
立方根的定义.
一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根).
用式子表示，如果X3 =a，那么X叫做a的立方根.
数a的立方根用符号“3 a ”表示,读作“三次根号a
其中a是被开方数,3是根指数(注意:根指数3不能省略).
掌握
若x0.485,则 8x是 0.236
规律
已知 3 5.251.73,3852 .53.74,4
则 3 52的 50值是 17.38
注意算术平方根和立方根的移位规律
8是 64 的平方根
不
64的平方根是 ±8
要搞
64的值是 8
错了
64的平方根是 8
64的立方根是 4
1.说出下列各数的平方根和算术平方根：
(3)2
π-3
————————
已x 知 y4x2y 50 ， x，求 y的值
问题9：0的整数部分是什数么部？分小是什么？
解 9 2 8 ： , 1 2 1 1 0 ， 0 8 0 9 1 而 1 0 ， 0 0
9 9010
9的 0 整数部 9，分小是数部 90 分 9 是
(1)

算术平方根怎么算

一般地说，若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个数x叫做a的算术平方根。

计算a的算术平方根可记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。

1算术平方根的性质
（1）双重非负性
在x=√a中的a
①a≥0（若小于0，则为虚数）
②x≥0
（2）与平方根的关系
正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根。

2平方根的性质
（1）一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。

（2）负数在实数系内不能开平方。

只有在复数系内，负数才可以开平方。

（3）负数的平方根为一对共轭纯虚数。

3平方根和算术平方根的相同点
（1）前提条件相同：算术平方根和平方根存在的前提条件都是“只有非负数才有算术平方根和平方根”。

（2）存在包容关系：平方根包含了算术平方根，因为一个正数的算术平方根只是其两个平方根中的一个。

（3）0的算术平方根和平方根相同，都是0。

典例精析类题典例_巧用算术平方根的两个“非负性”

【例2－3】如果y＝ x2 4 4 x2 ＋2 013成立， x2
求x²＋y－3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知， x²－4≥0，4－x²≥0，因此，x²－4＝0，即x＝±2；又x＋2≠0，即x≠－2，所以x＝2，y＝2 013，于是得解．
解：由题可知x²－4≥0，且4－x²≥0， ∴x²－4＝0，即x＝±2．又∵x＋2≠0，即x≠－2， ∴x＝2．
【例2－1】若 x2 ＋y＝6，则x＝____0______， y＝_____6_____．
解析：由 x2有意义得x＝0，故y＝6．【例2－2】若|m－1|＋ n 5 ＝0，则m＝_____1_____， n＝____5______．解析：根据题意，得m－1＝0，n－5＝0，所以m＝1，n＝5．注：若几个非负数的和为0，则每个数都为0.
将x＝2代入y＝ x2 4 4 x2 ＋2 013， x2
可得y＝2 013． ∴x²＋y－3＝2²＋2 013－3＝2 014．
【小结】由于初中阶段学习的非负数有三类，即一个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平方根．关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．
2．巧用算术平方根的两个“非负性” 众所周知，算术平方根 a 具有双重非负性：（1）被开方数具有非负性，即a≥0. （2） a 本身具有非负性，即 a ≥0.这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的这两个非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．
此类问题可以分成以下几种形式：（1）算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |时出现这三个内容〔| | ＋ ( ) ²＋＝0〕．（2）题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用完全平方公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．

[数学]-专题6 利用算术平方根(a≥0)的双重非负性解题技巧(原版)

专题6 利用算术平方根√a (a ≥0）的双重非负性解题技巧（原卷版）第一部分典例剖析+变式训练类型一运用a ≥0求字母的取值范围典例1（2022春•九龙坡区校级月考）在函数y =√3x+14中自变量x 的取值范围是（） A ．x ＞−13B ．x ≥−13C ．x ≠−13D ．x ≥−34 变式训练1．（2022春•海珠区期末）式子√x −3有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ≥3D ．x ≤3 2．（2022秋•南江县月考）若√1−a 3+√a −1有意义，则a 的取值范围是．类型二 a 、2a 非负性求值典例2 （2021秋•永定区期末）已知|x ﹣1|+√x −2y +5=0．（1）求x 与y 的值；（2）求x +y 的算术平方根．变式训练1．（2020秋•青白江区校级月考）已知x 、y 满足√(x +1)2+|y ﹣3x ﹣1|＝0，求y 2﹣5x 的算术平方根．2．（2020秋•龙泉驿区校级月考）若√a +8与（b ﹣27）2互为相反数，求√a 3−√b 3．3．（2022•红塔区一模）已知a ，b 都是实数，若√a −3+|b +2|＝0，写出一个比（a ﹣b ）的值小的正整数：．类型三（a≥0求值）典例3已知a，b为实数，且√a−3−2√3−a=b+4．（1）求a，b的值；（2）求a﹣b的算术平方根．变式训练1．（2019春•蜀山区期末）若x−√y+√−y=1，则x﹣y的值为（）A．2B．1C．0D．﹣12．（2020秋•崇川区校级月考）已知a，b为实数，且√1+a−(b−1)√1−b=0，求a2020﹣b2021的值．3．（2022春•重庆月考）求值（1）已知a、b满足√2a+8+|b−√3|＝0，解关于x的方程（a+2）x2﹣b2＝a﹣1．（2）已知x、y都是实数，且y=√x−3+√3−x+4，求y x的平方根．类型四化简形如典例4（2022秋•九龙坡区期末）如图实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简√b2−√(a−c)2−|c 3=．﹣b|+√c3变式训练1．（2022春•金乡县期中）如图，实数a，b在数轴上的位置，化简√a2−√(a−b)2=．2．（2021秋•仓山区校级期末）若1≤x≤4，则：|1﹣x|−√(x−4)2化简的结果为．第二部分专题提优训练一．选择题（共3小题）1．（2022•湘西州）要使二次根式√3x −6有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ≤2D ．x ≥22．（2022•南京模拟）式子√x −3有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ≥3D ．x ≤33．（2020春•乳山市期末）若|2a +1−b|+√5+a +b =0，则a b ＝（）A ．18B ．−18C ．8D ．﹣8二．填空题（共4小题）4．（2021•东莞市校级二模）若√3+a +|b ﹣2|＝0，则（a +b ）2020的值为 1 ．5．（2021春•无为市月考）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|b |+√(a +b)2+√a 33的结果为 0 ．6．（2019春•越秀区校级期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：√a 2−√b 2−√(b −1)2= ．7．（2020春•赣州期中）已知|a |＝4，（√b ）2＝3，且|a +b |＝﹣a ﹣b ，则a ﹣b 的值为．三．解答题（共6小题）8．（2021秋•和平县期中）已知|x −2|+√y +4=0，求y x 的值．9．已知|a +1|+√3a −2b −1=0，求4a +5b 2的算术平方根．10．（2019秋•浦东新区校级月考）已知实数x 、y 满足x 2﹣12x +√y +4+36＝0，求√x −3y 的值．11．已知√x−4+|3﹣x|＝x，求x的值．12．若已知x，y，z为实数，并且√x+3+√(y−1)2+√z2−2z+1=0，试求（x+y+z）2021的值．13．已知实数a、b、c满足√b−4+|a+1|=√b−c+√c−b．（1）求证：b＝c；（2）求﹣a+b+c的平方根．。

利用算术平方根的非负性进行计算

利用算术平方根的非负性进行计算算术平方根的非负性是指一个非负实数的算术平方根也是非负的。

在数学中，利用算术平方根的非负性可以进行各种计算，包括求解方程、简化公式、推导关系等。

本文将对如何利用算术平方根的非负性进行计算进行详细的阐述。

首先，让我们来了解一下算术平方根的定义。

给定一个非负实数x，我们称一个非负实数y满足y²=x为x的算术平方根。

符号上，我们用√x表示x的算术平方根。

根据定义，我们有√x≥0，即算术平方根是非负数。

基于算术平方根的非负性，我们可以进行几种常见的计算。

首先，我们可以利用算术平方根的非负性求解方程。

考虑一个方程x²=a，其中a是已知的非负实数。

根据算术平方根的非负性，我们知道方程的解必然是非负实数。

因此，我们可以得出x=√a。

例如，对于方程x²=4，根据算术平方根的非负性，我们得出x=±√4=±2，即x可以是2或者-2、取非负解，我们得到x=2其次，我们可以利用算术平方根的非负性简化公式。

例如，我们考虑计算下列表达式：√(a²+b²)根据算术平方根的非负性，我们知道√(a²+b²)≥0。

因此，无需进行进一步计算，可以直接得出结果为非负实数0。

此外，我们也可以利用算术平方根的非负性推导关系。

例如，考虑两个非负实数a和b，满足a>b。

我们可以利用算术平方根的非负性证明以下关系：√a>√b首先，我们可以用反证法来证明上述关系。

假设√a≤√b，根据算术平方根的非负性，我们可以得到a≤b。

然而，这与假设a>b矛盾，因此原假设不成立。

所以我们可以得到√a>√b。

这个结论表明，对于两个非负实数，如果一个大于另一个，则它们的算术平方根之间的大小关系也是相同的。

综上所述，利用算术平方根的非负性进行计算可以大大简化问题。

我们可以利用算术平方根的非负性求解方程、简化公式以及推导关系。

算术平方根的定义平方根和算术平方根的区别算术平方根是它本身的数有哪些

一、平方根和算术平方根的区别于联系它们之间的区别：（1）定义不同：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根；非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根。

（2）个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；而一个正数的算术平方根只有一个。

（3）表示方法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为。

（4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根一正一负，两数互为相反数。

它们之间的联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种，是正的平方根。

（2）存在条件相同：只有非负数才有平方根和算术平方根。

（3）0的平方根，算术平方根均为0。

开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。

注：（1）平方和开平方的关系是互为逆运算；（2）乘方是求根的途径，开平方是一种运算，是求平方根的过程；（3）开方的方式是根号形式。

二、算术平方根概念：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根。

规定：0的算术平方根是0。

表示：a的算术平方根记为，读作“根号a”。

注：只有非负数有算术平方根，而且只有一个算术平方根。

三、算术平方根的定义平方根与算术平方根存在从属关系，是初中数学中的两个重要概念，算术平方根具有双重非负性，是指若一个正数x的平方等于a，即x^2=a，则这个正数x为a的算术平方根，a的算术平方根记作√￣a，读作“根号a”，a叫做被开方数。

四、算术平方根等于它本身的数算术平方根等于它本身的数是0和1。

五、算术平方根怎么算一般地说，若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个数x叫做a的算术平方根。

计算a的算术平方根可记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。

六、算术平方根的性质（1）双重非负性在x=√a中的a①a≥0（若小于0，则为虚数）②x≥0（2）与平方根的关系正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根。

(文章)算术平方根的双重非负性

算术平方根的双重非负性一般地,如果一个正数x 的平方根等于 a ，即x 2=a,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。

0的算术平方根是0。

其中算术平方根有一个非常重要的性质，就是它的双重非负性，即①被开方数0≥a ;②0≥a 。

这一性质在解题中有着极其广泛应用，以下举例说明。

一、利用非负性①被开方数0≥a例1 x 为何值时，下列各式有意义.⑴x -； ⑵x x +-1； ⑶14+x ； ⑷12+x ; ⑸112--x解：⑴当0≥-x ，即0≤x ,x -有意义；⑵当01≥-x 且0≥x ，即10≤≤x 时，x x +-1有意义;⑶当01>+x ，即1->x 时,14+x 有意义；⑷当012≥+x ，即x 取任意实数时，12+x 有意义；⑸当012>--x ,即(),012>+-x 012<+x 时,112--x 有意义，但无论x 取任何数，12+x 都不会是负数，故原式无意义。

评注：对于⑶、⑸这样的式子，除了应用被开方数0≥a 的性质外，还要注意分母不能为0。

例2 若x 、y 满足42112=+-+-y x x ，则xy 的值为。

解：由被开方数0≥a 得，021,012≥-≥-x x21,21≤≥x x 所以21=x 把21=x 代入等式得4=y故2421=⨯=xy ,应填2。

评注：这里应用了被开方数0≥a ，而x x 2112--与是相反数，互为相反数的只有0，所以012=-x 。

可以解出x 、y 值. 例3 比较x -5与()36-x 的大小.解：由被开方数0≥a 得5,05≤≥-x x因此,06<-x ，()063<-x所以x -5>()36-x评注:本题看起来无从下手,其实隐含着被开方数0≥a 这一条件，应用这一条件可以求出x 的取值范围，然后依据x 的取值范围计算比较大小。

二、利用非负性②0≥a例4 21++a 的最小值是 ,此时a 的取值是 . 解：因为01≥+a 所以221≥++a当a+1=0，即a=-1时取等号。

算术平方根、平方根、立方根之间区别联系

问题：90的整数部分是什么？小数部分是什么？
解：92 81,102 100，而81 90 100，
9 90 10
90的整数部分是 9，小数部分是 90 9
(1)
13的整数部分是
___3______小数部分是
13 3
——————
（2）
21
的整数部分是 4 ——————
那么0.0017201的平方根是 0.04147
已知 2.36 1.536, 23.6 4.858,
掌握
若 x 0.4858,则x是 0.236
规律
已知3 5.25 1.738, 3 52.5 3.744,
则3 5250的值是 17.38
注意算术平方根和立方根的移位规律
8是 64 的平方根
（2）求算术平方根时，被开方数的小数点向右（向左）移动2位，开方的算术平方根小数点向右（向左）移动1位
（1）在求立方前被开方数中小数点每向右（或左）移动三位，开方后立方根中小数点向右（或左）移动一位。
已知 1.7201 1.311, 17.201 4.147,
x52
33
x 1
当方程中出现平方时，若有解，一般都有两个解
当方程中出现立方时，一般都有一个解
解方程：
（1）（x-1）3 125 （4）2（7 x 2）3 125 0
（2）23x 12 8
3
（5） 4x2 25
（3）（x 2）2 3 (6)9x2 49 0
不
64的平方根是 ±8
要搞
64的值是 8
错了
64的平方根是 8
64的立方根是 4

算术平方根、平方根知识点

算术平方根、平方根知识点17191(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--学科教师辅导讲义知识点2：估算估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值范围是（）A.10<<mB.21<<mC.32<<mD.43<<m知识点3：平方根、开平方的概念及符号表示延伸拓展1.平方根的理解（1）被开方数a 一定是非负数（即正数或0）；（2）平方与开平方是互逆运算；2.例2.求下列各数的平方根和算术平方根：（1）（2）8125（3）25-）（知识点4：平方根的性质平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ±，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根.注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个. 例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（）随堂巩固一、选择题.1. 4的算术平方根是（） ±2.下列说法正确的是（）是25的算术平方根是4的算术平方根是()26-的算术平方根没有算术平方根3.下列整数中，与最接近的是（）4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（）与3 之间与4 之间与5之间与6之间 5.81的平方根是（） A.3± C.9± 6.下列语句正确的是（）是-4的平方根是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2 7.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（） B.8± C.2± D.8±或2±二、填空题 1.化简：（1）412= ；（2）2.大于2且小于5的整数是 .3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是。

巧用算术平方根的非负性解题

巧用算术平方根的非负性解题算术平方根a （a ≥0）有双重非负性，其一是被开方数是非负数；其二是算术平方根本身是非负数，即：①被开方数a 是非负数；②a 是非负数.正确理解并灵活运用算术平方根的这两个非负性，是解一些相关的问题的关键．一、巧用被开方数a 是非负数解题例1 已知x 满足︳2008－x ︳＋2009-x ＝x ，那么x －20082的值为（）A ．2007B ．2008C ．2009D ．2010析解：由算术平方根被开方数的非负性可知x －2009≥0，即x ≥2009，∴x ＞2008， ∴x -2008＝x －2008.∵︳2008－x ︳＋2009-x ＝x ，∴x －2008＋2009-x ＝x ， ∴2009-x ＝2008，∴x －2009＝20082，∴x －20082＝2009.故选C.点评：应充分认识到算术平方根有意义的条件，即被开方数的非负性.例2 已知a 、b 都为实数，且满足b －3-a ＝a -3＋2，求a b ＋ba 的值. 析解：∵a －3≥0，3－a ≥0，∴a ＝3，b ＝2，故a b ＋b a ＝23 ＋32＝136 . 点评：若a 与a -同时有意义，则0a =，且0a a =-=. 二、巧用a 是非负数解题例3 当x ＝_____时，3－x -2有最值＝____ _．析解：由x -2≥0，∴x -2有最小值为0，∴当x ＝2时，3－x -2有最大值为3. 点评：利用a ≥0，即x -2≥0是解决此题的关键.例4 若y 2＋4y ＋4与1-+y x 互为相反数，则xy ＝_____．析解：∵y 2＋4y ＋4与1-+y x 互为相反数，∴y 2＋4y ＋4＋1-+y x ＝0，即（y ＋2）2＋1-+y x ＝0.又∵（y ＋2）2≥0，z y x -+≥0，∴⎩⎨⎧=-+=+0102y x y ，解之得：⎩⎨⎧-==23y x ．∴xy ＝－6．点评：若几个非负数的和为零，则它们分别为零.非负数及它的性质，是重要的解题方法之一，务必要熟练掌握，才能灵活应用．自我评价：1．已知y ＝2-x ＋x -2－3，则y x ＝ .2．已知(x －1)2＋x y 5-＋1++-z y x ＝0，求x ＋y ＋z 的平方根.答案：1．18 ；2．±3.。