抛物线测试2016.4
抛物线4选择100题1
2.4 抛物线一、选择题（共100小题；共500.0分）1. O为坐标原点，F为抛物线C:y2=42x的焦点，P为C上一点，若PF=42，则△POF 的面积为 ( )A. 2B. 22C. 23D. 42. 已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且AK=2 AF，则△AFK的面积为 ( )A. 4B. 8C. 16D. 323. 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M2,y0．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则OM= ( )A. 22B. 23C. 4D. 254. 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点0,2的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )A. 172B. 3 C. 5 D. 925. 已知点P在抛物线y2=4x上，则点P到点Q2,−1的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为 ( )A. 14,−1 B.14,1 C. 1,2 D. 1,−26. 经过点P4,−2的抛物线的标准方程是 ( )A. y2=x或x2=yB. y2=−x或x2=8yC. x2=−8y或y2=xD. x2=−8y或y2=−x7. 若抛物线y2=2px p>0上一点P到准线l和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则此点P的横坐标为 ( )A. 10B. 9C. 8D. 以上均不正确8. 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M2,y0．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则OM= ( )A. 22B. 23C. 4D. 259. 已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AF+BF=3，则线段AB 的中点到y轴的距离为 ( )A. 3B. 1C. 54D. 710. 如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是A. BF−1AF−1B. BF2−1AF2−1C. BF+1D. BF2+1211. 设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为−3，那么PF= ( )A. 43B. 8C. 83D. 1612. 已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A x0,y0是抛物线C上的一点，AF=54x0，则x0= ( )A. 1B. 2C. 4D. 813. 已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AF+BF=3，则线段AB 的中点到y轴的距离为 ( )A. 3B. 1C. 54D. 714. 设M x0,y0为抛物线C:y2=8x上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则x0的取值范围是 ( )A. 2,+∞B. 4,+∞C. 0,2D. 0,415. 对于抛物线y2=2x上任意一点Q，点P a,0都满足PQ ≥ a，则a的取值范围是 ( )A. 0,1B. 0,1C. −∞,1D. −∞,016. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA+FB+FC=0，则FA+FB+FC等于 ( )17. 若抛物线y2=4x的焦点是F，准线是l，则经过点F、M4,4且与l相切的圆共有 ( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个18. 已知直线l1:4x−3y+6=0和直线l2:x=−1，则抛物线y2=4x上的动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ( )A. 2B. 3C. 115D. 371619. 已知点P x,y为抛物线y2=4x上一点，则x2+12y2+3的最小值为 ( )A. 2B. 3C. 4D. 020. 直线l过抛物线y2=x的焦点F，交抛物线于A,B两点，且点A在x轴上方，若直线l的倾斜角θ≥π4，则FA的取值范围是 ( )A. 14,32B. 14,34+22C. 14,32D. 14,1+2221. 设A x1,y1,B x2,y2是抛物线y2=2px p>0上的两点，并且满足OA⊥OB．则y1y2等于 ( )A. −4p2B. 4p2C. −2p2D. 2p222. 已知直线l1:4x−3y+6=0和直线l2:x=−1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ( )A. 2B. 3C. 11D. 3723. 抛物线y2=2px过点A2,4，F为其焦点，又定点B的坐标为8,−8，则AF:BF的值为 ( )A. 1:4B. 1:2C. 2:5D. 3:824. 若动点M到点F1,1和直线l:3x+y−4=0的距离相等，则点M的轨迹是 ( )A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 直线25. 以原点为顶点，坐标轴为对称轴的抛物线经过点A1,2，则该抛物线的焦点坐标为 ( )A. 1,0或0,1B. 2,0或0,2C. 1,0或0,18D. 2,0或0,1826. 已知点A2,0，抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则FM:MN= ( )A. 2:5B. 1:2C. 1:5D. 1:327. 已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形相邻的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是 ( )4228. 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A x1,y1,B x2,y2两点，如果x1+x2=6，那么AB等于 ( )A. 10B. 8C. 6D. 429. 设斜率为2的直线过抛物线y2=ax a≠0的焦点F，且和y轴交与点A，若△OFA（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为 ( )A. y2=±4xB. y2=±8xC. y2=4xD. y2=8x30. 设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF （O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为 ( )A. y2=±4xB. y2=±8xC. y2=4xD. y2=8x31. 已知点A为抛物线C:x2=4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则∠ABF ( )A. 一定是直角B. 一定是锐角C. 一定是钝角D. 上述三种情况都可能32. 设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A为抛物线上的一点，若OA⋅AF=−4，则点A的坐标为 ( )A. 2,±22B. 1,2C. 1,±2D. 2,2233. 已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且MN，则∠NMF= ( )NF=12A. 45∘B. 30∘C. 75∘D. 60∘34. 点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A0,−1的距离与到直线x=−1的距离和的最小值是 ( )A. 5B. 3C. 2D. 235. 连接抛物线x2=4y的焦点F与点M1,0所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则△OAM的面积为 ( )A. −1+2B. 3−2C. 1+2D. 3+236. 以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x+2=0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是 ( )A. 0,2B. 2,0C. 4,0D. 0,437. 已知两点M−3,0,N3,0，点P为坐标平面内的动点，满足MN⋅MP+MN⋅NP=0，则动点P x,y到点A−3,0的距离的最小值为 ( )A. 2B. 3C. 4D. 638. 已知直线l与抛物线y2=8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为8,8，则线段AB的中点到准线的距离是 ( )A. 254B. 252C. 258D. 2539. 抛物线y=4x2上一点到直线y=4x−5的距离最短，则该点的坐标是 ( )A. 1,2B. 0,0C. 1,1D. 1,440. 抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为 ( )A. 23B. 4C. 6D. 4341. 已知点P是抛物线y2=2x上的动点，过点P作y轴垂线PM，垂足为M，点A的坐标是72,4，则PA+PM的最小值是 ( )A. 11B. 4C. 9D. 542. 若点O和点F分别是抛物线y2=4x的顶点和焦点，点P为抛物线上的任意一点，则OP⋅FP的取值范围为 ( )A.−∞,−94B. −∞,0C. 0,+∞D.−9,+∞43. 若抛物线y=14x2上一点P到焦点F的距离为5，则P点的坐标是 ( )A. 4,±4B. ±4,4C. 79,±79 D.±79,7944. 如图，过抛物线y2=2px p>0的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若BC=2BF，且AF=3，则此抛物线的方程为A.y2=3x B. y2=3x C.y2=9x D. y2=9x45. 设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax a≠0的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为 ( )A. y2=±4xB. y2=±8xC. y2=4xD. y2=8x46. 若点A的坐标为3,2，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使PA+ PF取得最小值，则点P的坐标为 ( )A. 0,0B. 1,1C. 2,2D. 1,147. 正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是侧面BB1CC1内一点，点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 ( )A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线48. 已知抛物线y2=2px的焦点为F，点P1x1,y1,P2x2,y2，P3x3,y3在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有 ( )A. FP1+FP2=FP3B. FP12+FP22=FP32C. 2FP2=FP1+FP3D. FP22=FP1⋅FP349. 已知抛物线C1:y=2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y=−x对称，则抛物线C2的准线方程是 ( )A.x=−18B.x=12C.x=18D.x=−1250. 已知抛物线y=ax2的焦点为F，准线l与对称轴交于点R，过抛物线上一点P1,2作PQ⊥l，垂足为Q，则梯形PQRF的面积为 ( )A. 74B. 118C. 516D. 191651. 一个正三角形的顶点都在抛物线y2=4x上，其中一个顶点在坐标原点，则这个三角形的面积是 ( )A. 483B. 243C. 163D. 46352. 抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是 ( )A. 4B. 33C. 43D. 853. 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x26+y22=1的右焦点重合，则p的值为 ( )A. −2B. 2C. 4D. 854. 抛物线y=−x2上的点到直线4x+3y−8=0距离的最小值是 ( )A. 43B. 75C. 85D. 355. 已知定点A(3,4)，点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=−1的距离为d，则PA+d的最小值是 ( )A. 25B. 2C. 42D. 4556. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2−2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是 ( )A. y=3x2或y=−3x2B. y=3x2C. y2=−9x或y=3x2D. y=−3x2或y2=9x57. 已知抛物线y=12x2上有两点A、B，且AB垂直于y轴，若AB=22，则抛物线的焦点到直线AB的距离是 ( )A. 12B. 14C. 16D. 1858. 已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP=4FQ，则QF= ( )A. 72B. 3C. 5D. 259. 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于两点A x1,y1，B x2,y2，且x1+x2=5，则AB的值为 ( )A. 9B. 11C. 7D. 1360. 已知点A−2,3在抛物线C:y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为 ( )A. 12B. 23C. 34D. 4361. 已知点P在抛物线x2=4y上，且点P到x轴的距离与点P到焦点的距离之比为13，则点P到x轴的距离为 ( )A. 12B. 1 C. 14D. 262. 已知点A2,1，抛物线y2=4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得PA+PF最小，则P点的坐标为 ( )A. 2,1B. 1,1C. 12,1 D.14,163. 已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上任意一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，PF=4，则直线AF的倾斜角等于 ( )A. 7π12B. 2π3C. 3π4D. 5π64. 设a≠0，a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为 ( )A. a,0B. 0,aC.0,1 D. 随a的符号而定65. 已知抛物线C1：y=2x2与抛物线C2关于直线y=x对称，则C2的准线方程是 ( )A.x=−1 B.x=1 C.x=1 D.x=−166. 过抛物线x2=y焦点的直线l交抛物线于A、B两点，且AB=4，则线段AB中点到x 轴的距离是 ( )A. 1B. 3C. 7D. 267. 在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0a>b>0的曲线大致是 ( )A.B.C.D.68. 已知抛物线y2=8x，定点A(3，2)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则PF+PA 的最小值为 ( )A. 5B. 6C. 7D. 8=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴69. 已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线x2−y23的交点为K，点A在抛物线上且AK=2AF，则△AFK的面积为 ( )A. 4B. 8C. 16D. 3270. 到点F0,4的距离比它到直线y=−5的距离小于1的动点M的轨迹方程为 ( )A. y=16x2B. y=−16x2C. x2=16yD. x2=−16y71. 对于抛物线y2=2x上任意一点Q，点P a,0都满足PQ≥a，则a的取值范围是 ( )A. 0,1B. 0,1C. −∞,1D. −∞,072. 已知直线l1：4x−3y+6=0和直线l2：x=−1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ( )A. 355B. 2C. 11D. 373. 设过抛物线焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 以上都有可能74. 设M x0,y0为抛物线C:x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是 ( )A. 0,2B. 0,2C. 2,+∞D. 2,+∞75. 设椭圆x2a +y2b=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线y2=2bx的焦点为F，若F1F=75FF2，则a:b的值为 ( )A. 2B. 2C. 5D. 1076. 对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P a,0都满足PQ ≥ a，则a的取值范围是 ( )A. −∞,0B. −∞,2C. 0,2D. 0,277. 若点P为抛物线y+22=4x−1上任意一点，以P为圆心且与y轴相切的圆必过定点M，则点M的坐标是 ( )A. 4,−2B. 2,−2C. 1,−2D. 2,278. 将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y2−4y=4x，则向量a为 ( )A. −1,2B. 1,−2C. −4,2D. 4,−279. 点P1,0到曲线x=t2,y=2t.（其中参数t∈R）上的点的最短距离为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 280. 已知双曲线x2a −y2b=1a>0,b>0的两条渐近线与抛物线y2=2px p>0的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p= ( )A. 1B. 3C. 2D. 381. 设x1,x2∈R，常数a>0，定义运算⊕：x1⊕x2=x1+x22−x1−x22，若x≥0，则动点P x,x⊕a的轨迹为 ( )A. 圆B. 椭圆一部分C. 双曲线一部分D. 抛物线一部分82. 已知双曲线C1:x2a −y2b=1（a>0，b>0）的离心率为2．若抛物线C2:x2=2py（p>0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 ( )x2=3y x2=3y83. 双曲线x2a −y2b=1（a>0，b>0）的右焦点是抛物线y2=8x的焦点，两曲线的一个公共点为P，且PF=5，则该双曲线的离心率为 ( )A. 52B. 5 C. 2 D. 23384. 设抛物线C:y2=2px p>0的焦点为F，点M在C上，MF=5．若以MF为直径的圆过点0,2，则C的方程为 ( )A. y2=4x或y2=8xB. y2=2x或y2=8xC. y2=4x或y2=16xD. y2=2x或y2=16x85. 已知点P是抛物线y2=4x上的一点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线x−2y+10=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为 ( )A. 11B. 4C. 5D. 115586. 设抛物线W:y2=4x的焦点为F，过F的直线与W相交于A，B两点，记点F到直线l:x=−1的距离为d，则有 ( )A. AB≥2dB. AB=2dC. AB≤2dD. AB>2d87. 设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M3,0的直线与抛物线相交于A,B两点，与抛物线的准线相交于点C，BF=2，则△BCF与△ACF的面积之比S△BCFS△ACF= ( )A. 4B. 2C. 4D. 188. 抛物线C1:y=12p x2p>0的焦点与双曲线C2:x23−y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p= ( )A. 3B. 3C. 23D. 4389. 抛物线y2=4x的焦点为F，点A、B在抛物线上，且∠AFB=23π，弦AB中点M在准线l上的射影为Mʹ，则 MMʹAB的最大值为 ( )A. 433B. 33C. 233D. 390. 已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线x27−y29=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且AK=AF，则△AFK的面积为 ( )91. 方程x−22+y−22=3x−4y−65表示的曲线为 ( )A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线D. 圆92. 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，O为坐标原点．若AF=3，则△AOB的面积为 ( )A. 22B. 2 C. 322D. 2293. 已知点A32,−1在抛物线C:x2=2py（p>0）的准线l1上，过点A作一条斜率为2的直线l2，点P是抛物线上的动点，则点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是 ( )A. 52B. 5C. 2D. 2294. 抛物线y2=4x的焦点为F，点P x,y为该抛物线上的动点，又点A−1,0，则PFPA的最小值是 ( )A. 12B. 22C. 32D. 22395. 过抛物线y2=ax a>0的焦点F作一条直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则m+nmn等于 ( )A. 2aB. 4aC. 12a D. 4a96. 在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y−4=0相切，则圆C面积的最小值为 ( )A. 45π B.34πC. 6−25 πD. 54π97. 已知抛物线y2=2px p>0的焦点恰为双曲线C:x2a −y2b=1（a>0，b>0）的右焦点F2，双曲线C的左焦点为F1，若以F2为圆心的圆过点F1及双曲线C与该抛物线的交点，则双曲线C的离心率为 ( )A. 2B. 1+2C. 1+3D. 2+398. 已知抛物线y2=2px p>0与双曲线x2a −y2b=1a>0,b>0有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线的一条斜率大于0的渐近线，则l的斜率可以在下列给出的某个区间内，该区间可以是 ( )A.0,33B. 33,1C. 1,2D. 2,+∞99. 点P在直线l:y=x−1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点，且PA= AB，则称点P为" A点"，那么下列结论中正确的是 ( )A. 直线上的所有点都是" A点"B. 直线上仅有有限个点是" A点"C. 直线上的所有点都不是" A点"D. 直线上有无穷多个点(点不是所有的点)是" A点"100. 抛物线y2=4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB=23π，弦AB的中点M在准线l上的射影为Mʹ，则 MMʹAB的最大值为 ( )A. 433B. 33C. 233D. 3答案第一部分1. C2. B3. B4. A5. A6. C7. D8. B9. C 10. A 11. B 12. A 13. C 14. A 15. C 16. B 17. C 18. A 19. B 20. D 21. A 22. A 23. C 24. D 25. C 26. C 27. B 28. B 29. B 30. B 31. A 32. C 33. D 34. D 35. B 36. B 37. B 38. A 39. C 40. D 41. C 42. C 43. B 44. B 45. B 46. C 47. D 48. C 49. C 50. D 51. A 52. C 53. C 54. A 55. A 56. D 57. A 58. B 59. C 60. D 61. A 62. D 63. B 64. C 65. A 66. C 67. D 68. A 69. B 70. C 71. C 72. B 73. B 74. C 75. D 76. B 77. B 78. A 79. B 80. C 81. D 82. D 83. C 84. C 85. D 86. A 87. A 88. D 89. B 90. D 91. A 92. C 93. B 94. B 95. D 96. A 97. B 98. D 99. A 100. B。
高中数学抛物线练习(有答案)
1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：FK p =③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。
⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。
所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。
所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。
所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。
，py x py x 2222-== 4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。
③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中一般情况归纳：抛物线的定义：例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程． 分析：点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等，符合抛物线定义．例2：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长．分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．由⎩⎨⎧+==142x y x y 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
抛物线试题 (含答案)
题型一：抛物线的基本量1.抛物线214y x =的焦点坐标是( C ) A.1(0)16, B.1(0)16, C.(0,1) D.(1,0)2.抛物线28y x =的焦点到准线的距离是( C )A.1B.2C.4D.83.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、 B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝___2_____.4. 已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是5. 两个正数的等差中项是，一个等比中项是，且，则抛物线的焦点坐标（ C ）A ．B ．C ．D ． 6.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( C )A. 12B. 1C. 2D. 47. 抛物线2y ax =的焦点坐标为CA ．1(0,)aB ．(0,)4aC ．1(0,)4a D ．1(,0)4a 题型二：求抛物线的标准方程1.已知抛物线C:22(y px =p>0)过点A(1,-2). 则其方程为 24y x =,2. 已知抛物线上一点M （1，m ）到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ A ）A ．x=8B ．x=-8C ．x=4D ．x=-4 3.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点的面积为4,则抛物线方程为( B )A.24y x =±B.28y x =±C.24y x =D.28y x =4.已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是 (A ) x y k k ky x 12)0(3222=>=+的一个焦点与抛物线23,a b 92a b >2b y x a =-5(,0)16-2(,0)5-1(,0)5-1(,0)522y px =A. x 2＝2y －1B. x 2＝2y －116C. x 2＝y －12D. x 2＝2y －2题型三：抛物线的实际应用1. 已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是__43__米．题型四：利用抛物线的定义解题1. 在22y x = 上有一点P ，它到(1,3)A 的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( B )A ．（－2，1）B ．（1，2）C ．(2，1）D ．（－1，2）2. 已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为_1(,1)4-_题型五：抛物线的焦半径和焦点弦问题1.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45 的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的长为8,则p= 2 .2. 已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A 2B AF BF ,,||=,||=两点则 2 .3. 设点为的焦点，、、为该抛物线上三点，若，则 612 .4.已知抛物线22(0)y px p =>,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( B )A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2题型六：抛物线与直线的位置关系1. 正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个正三角形的边长为（ B ）A ．B ．C ．8D ．162.已知抛物线C:28y x =的焦点为F,准线与x 轴的交点为K,点A 在抛物线C 上且|AK|=则△AFK 的面积为(B )A.4B.8C.16D.323.直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为( A )A. 48B. 56C. 64D. 724.. 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA →|为____ 212p ____. F 24y x =A B C 0FA FB FC ++= ||||||FA FB FC ++= 24y x =。
初中数学 抛物线 练习题(含答案)
第十讲 抛物线一般地说来，我们称函数c bx ax y ++=2 (a 、b 、c 为常数，0≠a )为x 的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：1．a 、b 、c 的符号决定抛物线的大致位置；2．抛物线关于ab x 2-=对称，抛物线开口方向、开口大小仅与a 相关，抛物线在顶点(ab 2-，a b ac 442-)处取得最值； 3．抛物线的解析式有下列三种形式：①一般式：c bx ax y ++=2；②顶点式：k h x a y +-=2)(；③交点式：))((21x x x x a y --=，这里1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个实根．确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有：(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x 轴所截得的弦长获得对称信息．【例题求解】【例1】 二次函数c bx x y ++=2的图象如图所示，则函数值0<y 时，对应x 的取值范围是 ．思路点拨 由图象知抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出b ，c 值，先求出0=y 时，对应x 的值．【例2】 已知抛物线c bx x y ++=2(a <0)经过点(一1，0)，且满足024>++c b a ．以下结论：①0>+b a ；②0>+c a ；③0>++-c b a ；④2252a ac b >-．其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个思路点拨 由条件大致确定抛物线的位置，进而判定a 、b 、c 的符号；由特殊点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系．【例3】 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN ＝4分米，抛物线顶点处到边MN 的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD ，使矩形顶点B 、C 落在边MN 上，A 、D 落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?思路点拨 恰当建立直角坐标系，易得出M 、N 及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A(x ，y )，建立含x 的方程，矩形铁皮的周长能否等于8分米，取决于求出x 的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内．注： 把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解．【例4】 二次函数223212-++-=m x x y 的图象与x 轴交于A 、两点(点A 在点B 左边)，与y 轴交于C 点，且∠ACB ＝90°．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设计两种方案：作一条与y 轴不重合，与△A BC 两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC 相似，并且面积为△BOC 面积的41，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设计的方案不必证明)．思路点拨 (1)A 、B 、C 三点坐标可用m 的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m 的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案．注： 解函数与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键．【例5】 已知函数1)1(2)2(22+--+=x a x a y ，其中自变量x 为正整数，a 也是正整数，求x 何值时，函数值最小．思路点拨 将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为23)2(212++-=+-=a a a a x ，因1230≤+<a ，12122-≤+-<-a a a a ，故函数的最小值只可能在x 取2-a ，2-a ，212+-a a 时达到．所以，解决本例的关键在于分类讨论．学历训练 1．如图，若抛物线2ax y =与四条直线1=x 、2=x 、1=y 、2=y 所围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是 ．2．抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为 ．3．如图，抛物线的对称轴是直线1=x ，它与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、C 的坐标分别为(-l ，0)、(0，23)，则(1)抛物线对应的函数解析式为 ；(2)若点P 为此抛物线上位于x 轴上方的一个动点，则△ABP 面积的最大值为 ．4．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，且OA ＝OC ，则由抛物线的特征写出如下含有a 、b 、c 三个字母的式子①1442-=-ab ac ，②01=++b ac ，③0>abc ，④0>+-c b a ，>0，其中正确结论的序号是 (把你认为正确的都填上)．5．已知1-<a ，点(1-a ，1y )，(a ，2y )，(1+a ，3y )都在函数2x y =的图象上，则( )A ．321y y y <<B ．231y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<6．把抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为532+-=x x y ，则有( )A ．3=b ，7=cB ．9-=b ，15-=cC ．3=b ，c ＝3D ．9-=b ，21=c7．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则点(b a +，ac )所在的直角坐标系是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．周长是4m 的矩形，它的面积S(m 2)与一边长x (m)的函数图象大致是( )9．阅读下面的文字后，回答问题：“已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A(0，a )，B(1，-2) ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线2=x ．题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．(1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程；若不能，说明理由．(2)请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整．10．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1. 8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?11．如图，抛物线和直线k kx y 4-= (0<k )与x 轴、y 轴都相交于A 、B 两点，已知抛物线的对称轴1-=x 与x 轴相交于C 点，且∠ABC ＝90°，求抛物线的解析式．12．抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若△ABC 是直角三角形，则=ac ．13．如图，已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于 ．14．已知二次函数c bx ax y ++=2，一次函数4)1(2k x k y --=．若它们的图象对于任意的实数是都只有一个公共点，则二次函数的解析式为 ．15．如图，抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A ，B ，E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系式中不能总成立的是( )A ．b=0B ．S △ADC ＝c 2 C ．ac ＝一1D ．a+c ＝016．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数c bx x y ++=2的图象过点(1，0)…求证：这个二次函数的图象关于直线2=x 对称．根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是( )A ．过点(3，0)B ．顶点是(2，一2)C ．在x 轴上截得的线段长为2D ．与y 轴的交点是(0，3)17．已知A(x 1，2002)，B(x 2，2002)是二次函数52++=bx ax y (0≠a )的图象上两21x x x += 时，二次函数的值是( )A ．522+a bB ．542+-ab C ． 2002 D ．518．某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量(单位：吨)与费用(单位：万元)之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1所示)；该产品的年销售量(单位：吨)与销售单价(单位：万元／吨)之间函数的图象是线段(如图2所示)．若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大?(毛利润＝销售额一费用)．19．如图，已知二次函数222-=x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，直线：x ＝m(m>1)与x 轴交于点D ．(1)求A 、B 、C 三点的坐标；(2)在直线x ＝m (m>1)上有一点P (点P 在第一象限)，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求P 点坐标(用含m 的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，试问：抛物线222-=x y 上是否存在一点Q ，使得四边形ABPQ 为平行四边形?如果存在这样的点Q ，请求出m 的值；如果不存在，请简要说明理由．20．已知二次函数22--=x x y 及实数2->a ，求(1)函数在一2<x ≤a 的最小值；(2)函数在a ≤x ≤a+2的最小值．21．如图，在直角坐标：x O y 中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，3-)，且在x 轴上截得的线段AB 的长为6．(1)求二次函数的解析式；(2)在y 轴上求作一点P (不写作法)使PA+PC 最小，并求P 点坐标；(3)在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q 、A 、B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似?如果存在，求出Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由．22．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax 2+2x+3(a≠0)，当实数a 变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a 变化时，若把抛物线y=ax 2+2x+3的顶点的横坐标减少a 1，纵坐标增加，得到A 点的坐标；若把顶点的横坐标增加a 1，纵坐标增加a1，得到B 点的坐标，则A 、B 两点一定仍在抛物线y=ax 2+2x+3上．(1)请你协助探求出当实数a 变化时，抛物线y=ax 2+2x+3的顶点．．所在直线的解析式； (2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗?并说明理由；(3)在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊—一般”的思想，你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立请说明理由．参考答案。
抛物线检测题(自己)整理
1、AB 是过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，已知A ，B 两点的横坐标分别是x 1和x 2，且x 1＋x 2＝6则|AB|等于（ ）（A ）10 （B ）8 （C ）7 （D ）62、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)两点，如果AB 与x 轴成45°角，那么|AB|等于（ ）。
（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）43、抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 是抛物线上一点，已知|AF|＝4＋22，则AF 所在直线方程是 。
4、 抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是（A ）2.5（B ）5（C ）7.5（D ）105. 过点F(0, 3)且和直线y ＋3=0相切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）。
（A ）y 2=12x （B ）y 2=－12x （C ）x 2=12y （D ）x 2=－12y6. 已知点P(4, m)是抛物线y 2=2px (p>0)上一点，F 是抛物线焦点，且｜PF ｜＝5，则抛物线方程是（ ）。
（A ）y 2=x （B ）y 2=4x （C ）y 2=2x （D ）y 2=8x7. 动点P 到直线x ＋4=0的距离比到定点M(2, 0)的距离大2，则点P 的轨迹是（ ）。
（A ）直线 （B ）圆 （C ）抛物线 （D ）双曲线8. 抛物线y=－8x2的准线方程是（ ）。
（A ）y=321（B ）y=2 （C ）y=41 （D ）y=4 9. “直线l 平行于抛物线的对称轴”是“直线l 与抛物线仅有一个交点”的（ ）条件。
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）不充分不必要条件10. 抛物线x 2=4y 上一点P 到焦点F 的距离为3，则P 点的纵坐标为（ ）。
（A ）3 （B ）2 （C ）25（D ）－2 11 不论α取任何实数，方程2x 2cos α＋y 2=1所表示的曲线一定不是（ ）。
抛物线----单元测试
.
4.已知抛物线
‷ૂ 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点，
是直线 与 的一个交点，若
，则 =
.
5.已知 是抛物线 上的一个动点, 是圆( 䘸 ) + ( 䘸
‷) ‷ 上的一个动点, (‷ )是一个定点,则 + 的最小值
为
.
6.设抛物线 的焦点为 ,准线为 为抛物线上一点,
为垂足,如果直线 的斜率为− ,那么 等于
抛物线
单元测试
1.已知圆 䘸 ᕑ + 䘸 ૂ
的圆心为抛物线 的焦点,且
与直线 + +
相切,则该圆的方程为
.
2.已知 是抛物线 的焦点， ૂ 是抛物线上的两点， +
ૂ ‷ ，则线段 ૂ 的中点到 轴的距离为
.
3. 已知不过原点的直线 与
交于 ૂ 两点，若使得以 ૂ 为直
径的圆过原点，则直线 必过点
. [来
源:
7. 已知抛物线
与点 ( 䘸 ),过 的焦点且斜率为 的直
线与 交于 、ૂ 两点,若 · ૂ ,则 等于
.
8.已知点 ( 䘸 )在抛物线 C
ᔐ 的准线上，过点 的直线与
在第一象限相切于点 ૂ，记 的焦点为 ，则直线 ૂ 的斜率
为
.
9.已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点，
是直线 与 得一个焦点，若
10. 若 点 ( 䘸 ) 在 抛 物 线
为Leabharlann ．，则 =.
ᔐ 的准线上，则实数 ᔐ 的值
11.已知抛物线 ： 的焦点为 ૂ 为坐标原点, 点 在抛物线
上, 且
ૂ ,则 ૂ 䘸 =
.
12.抛物线 ᕑ (ᕑ )的准线方程为
抛物线练习题及答案
抛物线练习题及答案抛物线练习题及答案抛物线是数学中一个经典的曲线，它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
掌握抛物线的性质和解题方法对于理解和应用这一曲线具有重要意义。
本文将介绍一些常见的抛物线练习题，并给出详细的解答。
1. 已知抛物线的顶点为(2, 3)，焦点为(2, 1)，求抛物线的方程。
解答：由于抛物线的顶点和焦点均在x轴上，所以抛物线的方程可表示为(x-2)^2 = 4p(y-3)，其中p为抛物线的焦距。
由题目中给出的焦点坐标可知焦距p=2-1=1。
代入方程中，得到(x-2)^2 = 4(y-3)。
2. 已知抛物线的焦点为(0, 3)，直径的两个端点分别为(4, 0)和(-4, 0)，求抛物线的方程。
解答：由于抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线的方程可表示为x^2 = 4py，其中p为抛物线的焦距。
由题目中给出的直径的两个端点可知焦距p=4/2=2。
代入方程中，得到x^2 = 8y。
3. 已知抛物线的焦点为(-1, 2)，过点(3, 4)的直线与抛物线交于两点，求这两点的坐标。
解答：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。
由题目中给出的焦点坐标可知，焦距为p = 2-(-1) = 3。
由于过点(3, 4)的直线与抛物线交于两点，所以满足方程4 = a(3)^2 + b(3) + c。
另外，这两个点也是抛物线的顶点，所以满足方程c = 2 - a - b。
将以上两个方程代入抛物线的方程中，得到4 = 9a + 3b + (2 - a - b)，化简得到3a + 2b = -2。
根据这个方程可以解得a和b的值。
代入抛物线的方程中，得到抛物线的方程为y = -x^2/9 + 4x/3 + 10/9。
4. 已知抛物线的焦点为(-2, 1)，过点(0, 3)的直线与抛物线交于两点，求这两点的坐标。
解答：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。
由题目中给出的焦点坐标可知，焦距为p = 1-(-2) = 3。
抛物线测试卷
抛物线测试卷(本测试共17题,满分100分,时间80分钟) 日期 姓名 得分一、填空题:(共十小题,每题5分,共50分)1、设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F （1，0），直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点。
若AB 的中点为（2，2）， 则直线l 的方程为 。
2、若直线2+=kx y 与抛物线x y 42=只有一个公共点，则k = 。
3、若直线b x y +=与抛物线y x 22=交于异于原点的A 、B 两点，且0=⋅OB OA ，则实数b 的值为 。
4、过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在抛物线准线上的射影分别为11,B A ，则11FB A ∠= 。
5、已知直线)0()2(>+=k x k y 与抛物线C ：x y 82=相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点。
若FB FA 2=，则k= 。
6、。
的最小值是，则上一动点及抛物线已知点____||),(4)0,22(2PQ y y x P x y Q += 7、若一动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则此动圆必过定点________。
8、已知点P 为抛物线24y x =上一点，记点P 到y 轴距离为1d ，点P 到直线34120l x y -+=：的距离为2d ，则12d d +的最小值为_______。
9、过抛物线24y x =的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则11p q +=_____。
10、设斜率为2的直线l 过抛物线)0(2≠=a ax y 的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为二、选择题：（共四小题，每题5分，共20分）11、若动点M （x ，y ）满足1243)2()1(522+-=-+-y x y x ，则点M 的轨迹是（ ）A 、圆；B 、椭圆；C 、双曲线；D 、抛物线。
抛物线测试题及答案
抛物线测试题及答案1. 抛物线的定义抛物线是二次函数的图像，它由一条平滑的曲线组成，这条曲线是在平面上的所有离定点等距的点的轨迹。
抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 为常数。
2. 抛物线的性质- 对称性：抛物线关于 y 轴对称，即对于任意 x，有 y = ax^2 + bx + c，则对于相对应的 -x，仍满足 y = a(-x)^2 + b(-x) + c。
- 顶点：抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，形式为 (h, k)，其中 h 为对称轴上的横坐标，k 为顶点的纵坐标。
- 开口方向：抛物线的开口方向由二次项系数 a 的正负决定。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
- 零点：抛物线与 x 轴交点的纵坐标为 0，可通过解一元二次方程找到零点的横坐标。
3. 抛物线的常见问题3.1 抛物线的参数- 如何确定抛物线的参数 a、b 和 c？通常可以通过已知的点的坐标来确定。
- 如何求取抛物线的顶点坐标？可以通过横坐标的公式 h = -b / (2a) 来计算，然后代入方程求得 k。
- 什么情况下抛物线不存在实零点？当抛物线开口向上时，且顶点的纵坐标 k 大于或等于 0 时，抛物线不存在实零点。
3.2 抛物线的应用- 抛物线在物理学、经济学和工程学等领域中有广泛的应用。
例如，抛物线可以用来描述物体在自由落体中的运动轨迹、图像的放大和缩小等现象。
- 在建筑学中，抛物线也被用于设计拱形桥、碗状天花板等结构。
4. 抛物线测试题答案- 问题一：已知抛物线公式为 y = 2x^2 + 3x + 1，求抛物线的顶点坐标。
- 答案：根据公式 h = -b / (2a)，得到 h = -(3) / (2*2) = -3/4。
将h 代入原方程可求得 k = -1/8。
所以顶点坐标为 (-3/4, -1/8)。
- 问题二：求抛物线 y = x^2 + x - 2 的零点。
抛物线测试题(含答案)
抛物线测试题(含答案)第2页 共4页抛物线测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．抛物线22x y =的焦点坐标是 （ ）A ．)0,1(B ．)0,41(C ．)81,0(D ． )41,0( 2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ）A ．y x 82=B ．yx 42= C ．y x 42-= D ．y x 82-=3．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 （ ）A ．15B ．152C ．215D ．15 4．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ）A.y x 292-=或x y 342= B.x y 292-=或y x 342= C.y x 342= D.x y 292-=5．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最第3页 共4页 短距离为 （ ）A ．0B ． 1C ．2D ．26．抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若CF BF AF ,, 成等差数列，则 （ ）A ．321,,x x x 成等差数列B ．231,,x x x 成等差数列C ．321,,y y y 成等差数列D ．231,,y y y 成等差数列7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PB PA + 取得最小值时点P 的坐标是 （ ）A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（2，2）D ．)1,21( 8．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(),,(2211y x B y x A , 则关系式 2121x x y y 的值一定等于 （ ）A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p第4页共4页14、设F为抛物线24y x=的焦点，A B C，，为该抛物线上三点，若FA FB FC++=0，则FA FB FC++=15、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y轴上；（2）焦点在x轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中适合抛物线y2=10x的条件是(要求填写合适条件的序号） ______．三、解答题16．（12分）已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线pxy22=上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程.第5页共4页17．（12分）已知抛物线12-y上恒有关于直线=ax+yx对称的相异两点，求a的取值范围.=18．（12分）抛物线x2=4y的焦点为F，过点(0，－1)作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的第6页共4页第7页 共4页轨迹方程.19、（12分）已知抛物线C 的方程C ：)0(22>=p px y 过点A （1，-2）.（I ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程； （II ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直第8页 共4页线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.20．（13分）已知抛物线y 2=4ax (0＜a ＜1＝的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N，设P为线段MN的中点．（1）求｜MF｜+｜NF｜的值；（2）是否存在这样的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.第9页共4页第10页 共4页21．（14分）如图, 直线y=21x 与抛物线y=81x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点.（1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．)42,81( 12． 13． 15． （2），（5） 三、解答题（本大题共6题，共76分）15．（12分）[解析]：（1）由点A （2，8）在抛物线px y 22=上，有2282⋅=p ，解得p=16. 所以抛物线方程为x y 322=，焦点F 的坐标为（8，0）.（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的定比分点，且2=FM AF，设点M 的坐标为),(0y x ，则02128,8212200=++=++y x ，解得4,1100-==y x，所以点M 的坐标为（11，－4）．（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为：).0)(11(4≠-=+k x k y由⎩⎨⎧=-=+xy x k y 32),11(42消x 得0)411(32322=+--k y ky ， 所以kyy 3221=+，由（2）的结论得4221-=+y y ，解得.4-=k因此BC 所在直线的方程为：.0404=-+y x 16．（12分）[解析]：设在抛物线y=ax 2－1上关于直线x +y=0对称的相异两点为P(x ,y),Q(－y,－x )，则⎪⎩⎪⎨⎧-=--=1122ay x ax y ②①，由①－②得x +y=a (x +y)(x －y),∵P、Q 为相异两点，∴x +y≠0，又a ≠0，∴a 1y ,1-==-x a y x 即，代入②得a 2x 2－ax －a +1=0，其判别式△=a 2－4a 2(1－a )＞0，解得43>a ． 17．（12分）[解析]：设R(x ,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB 的中心为)21,2(+y x C ，L:y=k x －1,代入抛物线方程得x 2－4k x +4=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2－16＞0，即|k|＞1 ①，2442)(4221221222121-=-+=+=+∴k xx x x x x y y ，∵C 为AB 的中点.∴1222122222222-=+=+=+=k y y y k x x x⇒3442-==k y k x ，消去k 得x 2=4(y+3),由① 得，4>x ，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)( 4>x )． 18． 19．（14分）[解析]：（1）F （a ,0）,设),(),,(),,(002211y x P y x N y x M ，由 16)4(4222=+--=y a x axy 0)8()4(222=++-+⇒a a x a x ，)4(2,021a xx -=+∴>∆ ，8)()(21=+++=+a x a x NF MF （2）假设存在a 值，使的NF PF MF ,,成等差数列，即42=⇒+=PF NF MF PF a x -=4042)2(41616)24(16)(212221221202202022020y y y y y y y a a y y a y a x ++=+=-=⇒=+-⇒=+-212121212)(444244x x a x x a ax ax ax ax ++=++==⇒++-a a aa a 82)4(22=++-a a a a a 82)4(222416a a -1=⇒a10000202121<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>>+>∆a y x x x x 矛盾.∴假设不成立．即不存在a 值，使的NFPF MF ,,成等差数列．或解: 4=PF a x -=40⇔40=+a x 知点P 在抛物线上. 矛盾.20．（14分）【解】(1) 解方程组481212-==x y x y 得 2411-=-=yx或4822==y x即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==21,直线AB 的垂直平分线方程 y －1=21(x －2). 令y=－5, 得x =5, ∴Q(5,－5)．(2) 直线OQ 的方程为x +y=0, 设P(x , 81x 2－4).∵点P 到直线OQ 的距离 d=24812-+x x =3282812-+x x ,25=OQ ,∴S ΔOPQ =21dOQ =3281652-+x x.∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x <43－4或43－4<x ≤8. ∵函数y=x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30．。
抛物线基础检测卷
抛物线基础检测卷1．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2．下列抛物线中，其方程形式为22(0)y px p =>的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个 4．抛物线212y x =的焦点坐标是（ ） A ．()0,1 B ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭, C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭5．抛物线28x y =的准线被圆2260x y x +-=截得的线段长为（ ）A ．4B ．CD ．26．抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为（ ） A ．2 B ．1 C ．116 D ．127．已知P 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，若||2PF =，3PFO π∠=，则抛物线C 的方程为（ ） A ．26y x = B ．22y x =C ．2y x =D ．24y x = 8．已知点P 为抛物线C ：()220x py p =>上一点，且点P 到x 轴的距离比它到焦点的距离小3，则p =（ ）A ．3B ．6C ．8D ．129l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若l 与圆22:(2)12M x y -+=相切，则p =（ ）.A ．12B ．8C ．10D ．610．抛物线的顶点和椭圆221259x y +=的中心重合，抛物线的焦点和椭圆221259x y +=的右焦点重合，则抛物线的方程为（ ）A ．216y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．26y x =11．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是____________.12．已知点M （1，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上，则点M 到抛物线C 焦点的距离是______．13．已知点(2,0),(2,0)A B -，动点(,)M x y 满足直线AM 和BM 的斜率之积为12-，记M 的轨迹为曲线C .求C 的方程，并说明C 什么曲线；14．已知抛物线E 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2，求（1）求c 的值 .（2）抛物线E 的方程.15．（本小题 10 分）已知动圆M 过点(2,0)F ，且与直线2x =-相切． （Ⅰ）求圆心M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线l 经过点F ，且直线l 与轨迹E 交于点,A B ，求线段AB 的垂直平分线方程．。
抛物线的简单几何性质测试卷
典型例题一例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P 、Q ，通过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M ，如何证明直线MQ 平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出M 、Q 的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x 轴，为此，将方程)2(,22px k y px y -==联立，解出 ),)11(,2)11((2222k k p k k p P ++++))11(,2)11((2222k k p k k p Q +--+ 直线OP 的方程为,)11()11(2222x k k k y ++++=即.)11(22x k k y +--=令2p x -=，得M 点纵坐标Q M y kk p y =+-=)11(2得证．由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐．思路二：利用命题“如果过抛物线px y 22=的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为1y 、2y ，那么221p y y -=”来证．设),(11y x P 、),(22y x Q 、),(33y x M ，并从px y 22=及)2(px k y -=中消去x ，得到0222=--kp py ky ，则有结论221p y y -=，即122y p y -=． 又直线OP 的方程为x x yy 11=， 2p x -=，得1132x py y -=．因为),(11y x P 在抛物线上，所以pyx 2112=．从而212211113)(2y y p y p py x py y =-=⋅-==．这一证法运算较小．思路三：直线MQ 的方程为o y y =的充要条件是),2(),,2(0200y p y Q y pM -．将直线MO 的方程p y y 02-=和直线QF 的方程)2(2220px py py y o --=联立，它的解（x ,y ）就是点P 的坐标，消去o y 的充要条件是点P 在抛物线上，得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小．说明：本题中过抛物线焦点的直线与x 轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立．典型例题二例2 已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，点R 是含抛物线顶点O 的弧AB 上一点，求△RAB 的最大面积．分析：求RAB 的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以AB 为三角形的底，只要确定高的最大值即可．解：设AB 所在的直线方程为2p x y -=．将其代入抛物线方程px y 22=，消去x 得0222=--p py yp y y y y y y AB 44)(222122121=-+⋅=-=∴当过R 的直线l 平行于AB 且与抛物线相切时，△RAB 的面积有最大值． 设直线l 方程为b x y +=．代入抛物线方程得0222=+-pb py y 由,0842=-=∆pb p 得2p b =，这时),2(p p R ．它到AB 的距离为p h 22= ∴△RAB 的最大面积为2221p h AB =⋅．典型例题三例3 直线1l 过点)0,1(-M ，与抛物线x y 42=交于1P 、2P 两点，P 是线段1P 2P 的中点，直线2l 过P 和抛物线的焦点F ，设直线1l 的斜率为k ．（1）将直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数)(k f ； （2）求出)(k f 的定义域及单调区间．分析：2l 过点P 及F ，利用两点的斜率公式，可将2l 的斜率用k 表示出来，从而写出)(k f ，由函数)(k f 的特点求得其定义域及单调区间．解：（1）设1l 的方程为：)1(+=x k y ，将它代入方程x y 42=，得0)42(2222=+-+k x k x k设),(),(),(222111y x P y x P y x P 、、，则2222212,24kk x k k x x -=-=+ 将222k k x -=代入)1(+=x k y 得：k y 2=，即P 点坐标为)2,2(22kk k -． 由x y 42=，知焦点)0,1(F ，∴直线2l 的斜率22221122kk k k k k -=--= ∴函数211)(kk f -=． （2）∵2l 与抛物线有两上交点，∴0≠k 且04)42(422>--=∆k k 解得01<<-k 或10<<k ∴函数)(k f =的定义域为{}1001<<<<-k k k 或 当)0,1(-∈k 时，)(k f 为增函数．典型例题四例4 如图所示：直线l 过抛物线px y 22=的焦点，并且与这抛物线相交于A 、B 两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线．分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据l 上任一点到C 、D 距离相等来得矛盾结论．证法一：假设直线l 是抛物线的弦CD 的垂直平方线，因为直线l 与抛物线交于A 、B 两点，所以直线l 的斜率存在，且不为零；直线CD 的斜率存在，且不为0．设C 、D 的坐标分别为)2,2(121pt pt 与)2,2(222pt pt ．则211t t k CD +=∴l 的方程为)2()(21p x t t y -⋅+-= ∵直线l 平分弦CD∴CD 的中点))(),((212221t t p t t p ++在直线l 上，即]2)()[()(22212121p t t p t t t t p -++-=+，化简得：0)21)((222121=+++t t t t p 由0)(21≠+t t p 知0212221=++t t 得到矛盾，所以直线l 不可能是抛物线的弦CD 的垂直平分线． 证法二：假设直线l 是弦CD 的垂直平分线 ∵焦点F 在直线l 上，∴DF CF =由抛物线定义，),(),,(2211y x D y x C 到抛物线的准线2px -=的距离相等． ∵2121,y y x x -==，∴CD 的垂直平分线l ：0=y 与直线l 和抛物线有两上交点矛盾，下略．典型例题五例5 设过抛物线)0(22>=p px y 的顶点O 的两弦OA 、OB 互相垂直，求抛物线顶点O 在AB 上射影N 的轨迹方程．分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N 看成定点),(00y x ；待求得00y x 、的关系后再用动点坐标)(y x ，来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算．解法一：设),,(),,(),,(002211y x N y x B y x A则：2221212,2px y px y ==，22221214py y x x ⋅=∴ OB OA ⊥ ，1-=⋅∴O B O A k k 即02121=+y y x x042122221=+∴y y py y 021≠y y ，2214p y y -=∴ ①把N 点看作定点，则AB 所在的直线方程为：),(0000x x y xy y --=-显然00≠x200)(x y x y y x -+-=∴代入,22px y =化简整理得：0)(222020020=+-+y x p y py y x 00≠∴x ，0202021)(2x y x p y y +-=∴ ② 由①、②得：020202)(24x y x p p +-=-，化简得)0(02002020≠=-+x px y x用x 、y 分别表示00y x 、得：)0(0222≠=-+x px y x解法二：点N 在以OA 、OB 为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设)2,2(2pt pt A ，则以OA为直径的圆方程为：)()()(242222t t p pt y pt x +=-+-022222=--+pty pt y x ①设)2,2(121pt pt B ，OA ⊥OB ，则tt t t 1111-=⇒-=在求以OB 为直径的圆方程时以t1-代1t ，可得022)(222=+-+pty px y x t ② 由①＋②得：0)2)(1(222=-++px y x t )0(0222≠=-+∴x px y x典型例题六例6如图所示，直线1l 和2l 相交于点M ，1l ⊥2l ，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若△AMN 为锐角三角形，7=AM ，3=AN ，且6=BN ，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．分析：因为曲线段C 上的任一点是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C 所满足的抛物线方程．解：以1l 为x 轴，MN 的中点为坐标原点O ，建立直角坐标系． 由题意，曲线段C 是N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为曲线段的两端点．∴设曲线段C 满足的抛物线方程为：),0,)(0(22>≤≤>=y x x x p px y B A 其中A x 、B x 为A 、B 的横坐标令,p MN =则)0,2(),0,2(p N p M -，,17==AN AM ∴由两点间的距离公式，得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++92)2(172)2(22A A A Apx p x px p x解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22Ax p∵△AMN 为锐角三角形，∴A x p>2，则4=p ，1=A x 又B 在曲线段C 上，4262=-=-=∴pBN x B则曲线段C 的方程为).0,41(82>≤≤=y x x y典型例题七例7如图所示，设抛物线)10(22<<=p px y 与圆9)5(22=+-y x 在x 轴上方的交点为A 、B ，与圆27)6(22=+-y x 在x 由上方的交点为C 、D ，P 为AB 中点，Q 为CD 的中点．（1）求PQ ．（2）求△ABQ 面积的最大值．分析：由于P 、Q 均为弦AB 、CD 的中点，故可用韦达定理表示出P 、Q 两点坐标，由两点距离公式即可求出PQ ．解：（1）设),(),,(),,(),,(),,(),,(2211y x Q y x P y x D y x C y x B y x A D D C C B B A A由⎪⎩⎪⎨⎧==+-pxy y x 29)5(222得：016)5(22=+--x p x ， P x x x BA -=+=∴521 2198)5(222222)(222p p p p x x x x p x x p y y y BA B A B A B A -=+-=++=+=+=由⎪⎩⎪⎨⎧==+-pxy y x 227)6(222得09)6(22=+--x p x ， p x x x DC -=+=∴622 )(2222D C D C x x p y y y +=+=同1y 类似，229p p y -=则0,12121=-=-y y x x ，1=∴PQ （2）B A B A APQ ABQ x x P y y PQ S S S B P Q -=-⋅=+=∆∆∆2221)1(821022p p p P-=--=10<<p ，∴当21=p 时，ABQ S ∆取最大值21．典型例题八例8 已知直线l 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，且点)0,1(-A 和点)8,0(B 关于直线l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程．分析：设出直线l 和抛物线C 的方程，由点A 、B 关于直线l 对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程．或设α=∠Ox B '，利用对称的几何性质和三角函数知识求解．解法一：设抛物线C 的方程为px y 22=)0(>p ，直线l 的方程为kx y =)0(≠k ， 则有点)0,1(-A ，点)8,0(B 关于直线l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅+-⋅=,11,2121111k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=;12,1121221k k y k k x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-⋅=+,18,2282222k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=.1)1(8,11622222k k y k k x 如图，'A 、'B 在抛物线上∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+-+-⋅=+.1162)1()1(64,112)1(42222222222k k p k k k k p k k 两式相除，消去p ，整理，得012=--k k ，故251±=k ， 由0>p ，0>k ，得251+=k ．把251+=k 代入，得552=p ．∴直线l 的方程为x y 251+=，抛物线C 的方程为x y 5542=． 解法二：设点A 、B 关于l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ，又设α=∠Ox B '，依题意，有1'==OA OA ，8'==OB OB ．故αcos 82=x ，αsin 82=y ．由︒=∠90BOA ，知︒=∠90''OA B ．∴ααsin )90cos(1=︒-=x ，ααcos )90sin(1-=︒-=y ． 又01>x ，02>x ，故α为第一象限的角． ∴)cos ,(sin 'αα-A 、)sin 8,cos 8('ααB ．将'A 、'B 的坐标代入抛物线方程，得⎪⎩⎪⎨⎧==.cos 16sin 64,sin 2cos 22ααααp p ∴αα33cos sin 8=，即21tan =α从而55sin =α，552cos =α， ∴552=p ，得抛物线C 的方程为x y 5542=．又直线l 平分OB B '∠，得l 的倾斜角为︒+=-︒+452290ααα． ∴251sin 1cos )90cos(1)90sin()452tan(+=-=︒++︒+=︒+=αααααk ． ∴直线l 的方程为x y 251+=． 说明：(1)本题属于点关于直线的对称问题．解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果．解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到．(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程．在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握．典型例题九例9 如图，正方形ABCD 的边AB 在直线4+=x y l ：上，C 、D 两点在抛物线x y =2上，求正方形ABCD 的面积．分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力．解：∵直线4+=x y AB ：，CD AB //，∴设CD 的方程为b x y +=，且),(11y x C 、),(22y x D ．由方程组⎩⎨⎧+==bx y x y 2，消去x ，得02=+-b y y ，于是121=+y y ，b y y =21，∴21211y y k CD -+=(其中1=k ) ∴)41(24)(221221b y y y y CD -=-+⋅=．由已知，ABCD 为正方形，AD CD =， ∴CD 可视为平行直线AB 与CD 间的距离，则有24b CD -=，于是得24)41(2b b -=-．两边平方后，整理得，01282=++b b ，∴6-=b 或2-=b ． 当6-=b 时，正方形ABCD 的面积50)241(22=+==CD S ． 当2-=b 时，正方形ABCD 的面积18)81(22=+==CD S ．∴正方形ABCD 的面积为18或50．说明：运用方程（组）的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正方形这一条件．典型例题十例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为410⨯d km 时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为︒30，求这彗星与地球的最短距离．分析：利用抛物线有关性质求解．解：如图，设彗星轨道方程为px y 22=，0>p ，焦点为)0,2(pF ， 彗星位于点),(00y x P 处．直线PF 的方程为)2(33p x y -=．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==),2(33,22p x y px y 得2)347(p x ±=， 故2)347(0px ±=．p p p p x PF )324(|22)347(|332|2|3320±=-±=-=．故d p =±)324(，得d p 232±=．由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点．焦点到抛物线顶点的距离为d p 4322±=，所以彗星与地球的最短距离为410432⨯+d km 或410432⨯-d km ，（P 点在F 点的左边与右边时，所求距离取不同的值）． 说明：(1)此题结论有两个，不要漏解；(2)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：设),(00y x P 为抛物线px y 22=上一点，焦点为)0,2(p F ，准线方程为2px -=，依抛物线定义，有220px p PF ≥+=)0(0≥x ，当00=x 时，PF 最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点．典型例题十一例11 如图，抛物线顶点在原点，圆x y x 422=+的圆心是抛物线的焦点，直线l 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l 交抛物线与圆依次为A 、B 、C 、D 四点，求CD AB +的值．分析：本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力，本题的关键是把CD AB +转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题．解：由圆的方程x y x 422=+，即4)2(22=+-y x 可知，圆心为)0,2(F ，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为)0,2(F ，设抛物线方程为x y 82=，BC AD CD AB -=+∵BC 为已知圆的直径，∴4=BC ，则4-=+AD CD AB ．设),(11y x A 、),(22y x D ，∵FD AF AD +=，而A 、D 在抛物线上， 由已知可知，直线l 方程为)2(2-=x y ，于是，由方程组⎩⎨⎧-==).2(2,82x y y 消去y ，得0462=+-x x ，∴621=+x x ． ∴1046=+=AD ，因此，6410=-=+CD AB ．说明：本题如果分别求AB 与CD 则很麻烦，因此把CD AB +转化成4-=-AD BC AD 是关键所在，在求AD 时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而避免了一些繁杂的运算．。
抛物线基础测试题
抛物线基础测试题一、单选题1．抛物线22x y =的准线方程为（ ） A ．12yB ．12x =-C ．1x =-D ．18y =-2．若点(,)M x y |341|5x y +-=，则动点M 的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线3．在平面内，“点P 到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P 的轨迹为抛物线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若点(,)m n 在抛物线213y x =-上，则下列点中一定在该抛物线上的是（ ） A ．(,)m n --B ．(,)m n -C ．,m n -()D ．(,)n m --5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点(,0)p 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 在第一象限内的交点为A ，若1AF =，则抛物线C 的方程为（ ） A ．243y x =B ．22y x =C ．23y x =D ．24y x =6．已知抛物线26y x =上的一点到焦点的距离是到y 轴距离的2倍，则该点的横坐标为（ ）. A ．12B ．32C ．3D ．237．抛物线24y x =的准线方程为（ ） A ．4x =B ．1x =C ．1x =-D ．2x =8．在圆锥PO 中，已知高PO ＝2，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的中点，根据圆锥曲线的定义，图中的截面边界曲线为抛物线，在截面所在的平面中，以M 为原点．MO 为x 轴，过M 点与MO 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A ．455B ．855C 25D 59．抛物线2y ax =的焦点坐标为（ ） A ．1(,0)4aB ．(,0)4aC ．1(0,)4aD ．(0,)4a10．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点(2,)(0)M b b >到焦点的距离为3，则b 的值为（ ） A 2B ．2C ．22D ．411．已知抛物线()220y px p =>经过点()02M y ，，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则=OM ( ) A ．2B ．22C ．4D ．312．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，定点M (2,1)，点P 为抛物线上的一个动点，则|MP |＋|PF |的最小值为（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2二、填空题13．抛物线220y x =的焦点到其准线的距离为__________.14．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p =__________．15．若抛物线2:2(0)C x py p =>上的点P 到焦点的距离为8，到x 轴的距离为6，则抛物线C 的方程是_________.16．若P 是抛物线:C 22y x =上一点，F 为抛物线C 的焦点，点A 7(,2)2，则PA PF+取最小值时点P 的坐标为___________.三、解答题17．求适合下列条件的曲线标准方程.（1）虚轴长为16，离心率为2的双曲线的标准方程； （2）过点()1,3P-的抛物线的标准方程.18．已知坐标平面上点M(x ，y)与两个定点M 1(26,1)，M 2(2,1)的距离之比等于5． (1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为C ，过点M(－2,3)的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．19．极坐标系中椭圆C 的方程为以极点为原点，极轴为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度. （Ⅰ）求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为，求的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦交于点，且直线与的倾斜角互补， 求证:.20．如图，设AB ，CD 为⊙O 的两直径，过B 作PB 垂直于AB ，并与CD 延长线相交于点P ，过P 作直线与⊙O 分别交于E ，F 两点，连结AE ，AF 分别与CD 交于G 、H（Ⅰ）设EF 中点为，求证：O 、、B 、P 四点共圆（Ⅱ）求证:OG =OH.21．平面内与两定点)0,2(),0,2(21A A -连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上21,A A 两点，所成的曲线C 可以是圆，椭圆或双曲线． （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系;（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的)1,(--∞∈m ，对应的曲线为2C ，若曲线1C 的斜率为1的切线与曲线2C 相交于B A ,两点，且2=⋅OB OA （O 为坐标原点），求曲线2C 的方程．22．已知1(1,0)F -，2(1,0)F ，圆222:(1)1F x y -+=，一动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆2F 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C ，曲线E 是以1F ，2F 为焦点的椭圆。
抛物线基础测验
抛物线基础练习一. 选择题1．抛物线212y x =的准线方程是A.3x =B .3x =- C.3y = D.3y =-2． 若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = A.1 B.2 C.1- D.2- 3．抛物线22y x =-和22y x =-的焦点坐标分别是A.1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭和10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B .10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭4．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2-B ．2C ．4-D ．45．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 A ．2B ．3C ．4D．6．设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 A ．2211216x y +=B ．2211612x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y += 7．若点P 是抛物线22yx =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为AB ．3 CD ．928．已知直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到1l 和2l 的距离之和的最小值是 A ．115B ．3C ．2D ．37169．已知点P 在24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为A ．114⎛⎫-⎪⎝⎭， B ．114⎛⎫⎪⎝⎭，C ．(12)， D ．(12)-， 10．已知22ypx =的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则Ａ.123FP FP FP +=Ｂ.222123FP FP FP +=Ｃ.2132FP FP FP =+Ｄ.2213FP FP FP =⋅11．连结抛物线24xy =的焦点F 与点(1,0)M 所得线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为 A．1- B．32．1+ D．32+12．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F为C 的焦点，若2FA FB =，则k =A ．13B．3C ．23D．313．过点(1,0)-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线方程是A ．220x y ++=B ．330x y -+=C ．10x y ++=D ．10x y -+=14．设P 为曲线2:23C y x x =++上一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的范围是[0,]4π，则点P 横坐标的取值范围是A ．1[1,]2--B ．[1,0]-C ．[0,1]D ．1[,1]215． 抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值为 A ．43B ．75C ．85D ．316．设抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 、C为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA +FB +FC =A ．9B ．6C ．4D ．317．设O 是坐标原点,F 是22(0)ypx p =>的焦点,A 是抛物线上的点,FA 与x轴正向的夹角为60,则OA =A ．214pBCp D ．1336p 18．已知抛物线的准线方程为20x y +-=，焦点是(5,5)F ，则抛物线的顶点坐标是.(3,5)A B ．(5,3)C ．(2,2)D ．(3,3)二. 填空题19．若抛物线顶点是坐标原点,焦点坐标是()2,0F -,则抛物线方程是 20．若抛物线顶点是坐标原点,准线方程是()0y m m =≠,则抛物线方程是21．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹方程为22．已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.则动圆圆心C 的轨迹的方程是 23．与圆0422=-+x y x外切且与y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是24．抛物线2y ax =的准线方程是2y =,则a =25．在抛物线22y px =上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p = 26．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 27．已知F 是抛物线24C yx =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB的中点为(22)M ，，则ABF =△S ．28．已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于A B ，两点，若6AB =，则圆C 的方程为三. 解答题31．已知直线b x y +=与以椭圆22134x y +=的上焦点为焦点,顶点在坐标原点O的抛物线交于A 、B 两点,若△OAB 是以角O 为直角的三角形，求b 的值抛物线基础练习答案一．选择题1．抛物线212y x =的准线方程是A.3x =B .3x =- C.3y = D.3y =-2． 若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a =A.1B.2C.1-D.2- 3．抛物线22y x =-和22y x =-的焦点坐标分别是A.1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭ 和10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B .10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭ 和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭4．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2-B ．2C ．4-D ．45．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 A ．2B ．3C ．4D．6．设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 A ．2211216x y +=B ．2211612x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y += 7．若点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为AB ．3 CD ．928．已知直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到1l 和2l 的距离之和的最小值是 A ．115B ．3C ．2D ．37169．已知点P 在24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为A ．114⎛⎫-⎪⎝⎭， B ．114⎛⎫⎪⎝⎭，C ．(12)， D ．(12)-， 10．已知22ypx =的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则Ａ.123FP FP FP +=Ｂ.222123FP FP FP +=Ｃ.2132FP FP FP =+Ｄ.2213FP FP FP =⋅11．连结抛物线24x y =的焦点F 与点(1,0)M 所得线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为 A．1-B．32．1 D．32+12．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F为C 的焦点，若2FA FB =，则k =A ．13B．3C ．23D．313．过点(1,0)-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线方程是A ．220x y ++=B ．330x y -+=C ．10x y ++=D ．10x y -+=14．设P 为曲线2:23C y x x =++上一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的范围是[0,]4π，则点P 横坐标的取值范围是A ．1[1,]2--B ．[1,0]-C ．[0,1]D ．1[,1]215． 抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值为 A ．43B ．75C ．85D ．316．设抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 、C为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA +FB +FC =A ．9B ．6C ．4D ．317．设O 是坐标原点,F 是22(0)y px p =>的焦点,A 是抛物线上的点,FA 与x轴正向的夹角为60,则OA =A ．214p BCp D ．1336p18．已知抛物线的准线方程为20x y +-=，焦点是(5,5)F ，则抛物线的顶点坐标是.(3,5)A B ．(5,3)C ．(2,2)D ．(3,3)二．填空题19．若抛物线顶点是坐标原点,焦点坐标是()2,0F -,则抛物线方程是28y x =-20．若抛物线顶点是坐标原点,准线方程是()0y m m =≠,则抛物线方程是24x my =-21．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹方程为28y x =22．已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.则动圆圆心C 的轨迹的方程是22y px =23．与圆0422=-+x y x 外切且与y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是()082>=x x y 和()00<=x y24．抛物线2y ax =的准线方程是2y =,则a =18-25．在抛物线22y px =上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p = 226．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为2 27．已知F 是抛物线24C yx =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB的中点为(22)M ，，则ABF=△S 2．28．已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为22(1)10xy +-=三．解答题31．已知直线b x y +=与以椭圆22134x y +=的上焦点为焦点,顶点在坐标原点O的抛物线交于A 、B 两点,若△OAB 是以角O 为直角的三角形，求b 的值解:由已知得:抛物线焦点()0,1F ,所以,抛物线方程是24x y =由24y x bx y=+⎧⎨=⎩,得2440x x b --= 设()()1122,,,A x y B x y则()()()()()2121244140142,43b x x x x b ⎧∆=--⨯⨯->⎪+=⎨⎪⋅=-⎩ 由(1)得1b >- 由已知得0,OA OB ⋅=12120,x x y y ∴+=()()12120,x x x b x b ∴+++= ()2121220x x b x x b ∴+++=2840b b b ∴-++=4b ∴=或0b =(舍)。
抛物线基础检测卷
抛物线基础检测卷一、单选题1．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2．下列抛物线中，其方程形式为22(0)y px p =>的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．4个4．抛物线212y x =的焦点坐标是（ ） A ．()0,1B ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭,C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭5．抛物线28x y =的准线被圆2260x y x +-=截得的线段长为（ ） A ．4B ．5C 5D ．26．抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．116D ．127．已知P 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，若||2PF =，3PFO π∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．26y x =B ．22y x =C ．2y x =D ．24y x =8．已知点P 为抛物线C ：()220x py p =>上一点，且点P 到x 轴的距离比它到焦点的距离小3，则p =（ ） A ．3B ．6C ．8D ．129．已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ） A ．20x y --= B ．20x y +-= C ．20x y -+=D ．20x y ++=10l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若l 与圆22:(2)12M x y -+=相切，则p =（ ）.A ．12B ．8C ．10D ．611．抛物线的顶点和椭圆221259x y +=的中心重合，抛物线的焦点和椭圆221259x y +=的右焦点重合，则抛物线的方程为（ ） A ．216y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．26y x =12．已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，点M ，N 分别在抛物线C 上.若2MF FN =，则点M 到y 轴的距离为（ ） A ．12B ．35C ．23D ．1二、填空题13．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是____________.14．抛物线22(0)y px p =>的准线截圆22210x y y +--=所得弦长为2，则抛物线的焦点坐标为_________．15．已知抛物线方程为2y x =，点M 在此抛物线上运动，则点(4,0)A 与点M 之间的距离||MA 的最小值为______________.16．已知点M （1，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上，则点M 到抛物线C 焦点的距离是______．三、解答题17．（1）求过点(P ，(Q 的椭圆的标准方程．（2）求焦点在x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是5的抛物线的标准方程．18．已知抛物线24y x =．（1）求过点()0,1P 与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；（2）过焦点F M ，N ，求MN 的长．19．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线221243x y -=的一个焦点，O 是坐标原点． （1）求抛物线的方程；（2）经过焦点F 作直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，||5AB =，若OA OB mOD +=，且D 在抛物线上，求实数m 的值．20．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 是椭圆22143x y +=的一个焦点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设P ，M ，N 为抛物线C 上的不同三点，点()1,2P ，且PM PN ⊥.求证：直线MN 过定点.21．已知抛物线E 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2， 求（1）求c 的值 （2）抛物线E 的方程22．已知抛物线2:4C y x =的焦点是F ，准线是l . （Ⅰ）写出F 的坐标和l 的方程；（Ⅱ）已知点(9,6)P ，若过F 的直线交抛物线C 于不同的两点A ，B （均与P 不重合），直线PA ，PB 分别交l 于点M ，N .求证：MF NF ⊥.参考答案1．C 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可得出开口方向和p ，进而求出焦点坐标. 【详解】由22y x =化为标准方程得212x y =，开口向上， 则122p =，即14p =， 所以22y x =的焦点坐标是10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查焦点的求法，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】根据方程形式为22(0)y px p =>，可得其图象关于x 轴对称，且0x ≥，即可判断.【详解】解：根据方程形式为22(0)y px p =>，可得其图象关于x 轴对称，且0x ≥，故可得该抛物线对称轴为x 轴，开口朝右. 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线方程对应的图像，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】结合抛物线的定义判断出结果. 【详解】依题意抛物线28y x =，28,22pp ==，准线方程为2x =-， 结合抛物线的定义可知：抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点的横坐标为523-=，将3x =代入28y x =，得224y =，解得y =±， 所以抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有2个. 故选：C 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】先把抛物线方程212y x =化为标准方程22x y =，从而得22p =，122p =，进而可求出其焦点坐标 【详解】 解：由212y x =，得22x y =， 所以22p =，得1p =， 所以122p =， 所以焦点坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭,，故选：B 【点睛】此题考查由抛物线的标准方程求焦点坐标，属于基础题 5．B 【解析】 【分析】先由抛物线方程，得到其准线方程，再由几何法求圆的弦长，即可得出结果. 【详解】因为抛物线28x y =的准线方程为2y =-，圆2260x y x +-=整理得()2239x y -+=，则圆心坐标为()3,0，半径为3r =，则圆心到直线2y =-的距离为2d =，因此2y =-被圆2260x y x +-=截得的弦长为=故选：B. 【点睛】本题主要考查求抛物线的准线，考查求圆的弦长，属于基础题型. 6．B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可转化为0||1PF x =+，根据0x 的范围求解即可. 【详解】由题意，24y x =的焦点(1,0)F ，准线为1x =-， 设抛物线上的动点()00,P x y ，根据抛物线的定义可知，0||1PF x =+， 因为0[0,)x ∈+∞， 所以011PF x =+，故抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为1. 故选：B 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，抛物线的定义，属于容易题. 7．A 【解析】 【分析】||2PF =，3PFO π∠=，可求出P 点的坐标，代入抛物线方程，即可求解.【详解】过P 向x 轴作垂线，设垂足为Q ，∵3PFO π∠=，||2PF =，∴||PQ =||1QF =，(1,2pP -， 将P 点的坐标代入22y px =，得3p =，故C 的方程为26y x =. 故选:A 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】由抛物线的定义可知点P 到焦点的距离等于它到准线的距离，可得32p ，从而得出答案.【详解】由题得，抛物线的准线方程为2p y =-， 由抛物线的定义可知，点P 到焦点的距离等于它到准线的距离， 所以点P 到x 轴的距离比它到准线2py =-的距离小3， 于是得32p ，所以6p ．故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题. 9．B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求出直线的斜率得解. 【详解】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.【点睛】本题关键在于根据抛物线的定义，将线段的关系转化到角的关系，属于中档题. 10．A 【解析】 【分析】首先根据题意直线l 方程为32p y x ⎫=-⎪⎭，根据直线l 与圆22:(2)12M x y -+=相切，得到323223p d -==.【详解】抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 设直线l 方程为32p y x ⎫=-⎪⎭3302x y p --=，因为l 与圆22:(2)12M x y -+=相切，所以圆心()2,0到直线的距离为d ==，解得12p =。
抛物线练习试题含含
精选文档抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线 x＋ 2y＝ 3 距离相等的点的轨迹是 ()A ．直线B．抛物线C．圆D．双曲线2．抛物线 y2＝ x 上一点 P 到焦点的距离是 2，则 P 点坐标为 ()3，± 67，± 79，± 35，± 10A. 22B. 42C. 42D. 223．抛物线 y＝ ax2的准线方程是y＝ 2，则 a 的值为 ()11A. 8 B ．－8C． 8D．－ 84．设抛物线 y2＝ 8x 上一点 P 到 y 轴的距离是4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是 ()A ．4B ． 6C． 8D． 125．设过抛物线的焦点 F 的弦为 AB，则以 AB 为直径的圆与抛物线的准线的地点关系是()A ．订交B ．相切C．相离D．以上答案都有可能6．过点 F(0,3)且和直线 y＋ 3＝0 相切的动圆圆心的轨迹方程为 ()A ．y2＝ 12xB ．y2＝－ 12x C． x2＝ 12y D ．x2＝－ 12y7．抛物线 y2＝ 8x 上一点 P 到 x 轴距离为12，则点 P 到抛物线焦点 F 的距离为 ()A ．20B ．8C． 22D． 248．抛物线的极点在座标原点，焦点是椭圆4x2＋ y2＝ 1 的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为 ()11A． 2 3 B. 3 C.2 3 D.4 39．设抛物线的极点在原点，其焦点F 在 y 轴上，又抛物线上的点(k，－ 2)与 F 点的距离为4，则 k 的值是 ()A． 4 B ． 4 或－ 4C．－ 2 D ．2 或－ 212的焦点坐标是 ()10．抛物线 y＝m x (m<0)A.0，mB. 0，－mC. 0，1D. 0，－1 444m4m11．抛物线的极点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,2 5) 到焦点的距离是6，则抛物线的方程为 ()A． y2＝－ 2xB ．y2＝－ 4xC． y2＝ 2x D． y2＝－ 4x 或 y2＝－ 36x12．已知抛物线y2＝2px(p>0) 的准线与圆 (x－ 3)2＋ y2＝ 16 相切，则p 的值为 ()1A. 2 B ． 1C．2 D ．4二、填空题.13．过抛物线焦点 F 的直线与抛物线订交于A、 B 两点，若A、 B 在抛物线准线上的射影是A1、 B1，则∠ A1FB1=。
抛物线基础题(含答案)
抛物线（A)一.选择题：1． 准线为x ＝2的抛物线的标准方程是A ．24y x =- Ｂ．28y x =- C.24y x = D.28y x = (答：B) 2． 焦点是（-5，０)的抛物线的标准方程是A.25y x =B.210y x =-C.220y x =-D.220x y =- (答:C)3． 抛物线F 是焦点,则p 表示A. Ｆ到准线的距离B.F 到准线距离的14 B. C. F 到准线距离的18D. F 到ｙ轴距离的 (答:B) 4． 动点M （ｘ，ｙ)到点Ｆ(4，0)的距离比它到直线x+5＝0的距离小１，则点M 的轨迹方程是Ａ.40x += B.40x -= C.28y x = Ｄ.216y x = （答:D ） 5． 若抛物线2(1)y a x =+的准线方程是x=－3，那么抛物线的焦点坐标是Ａ.（3,0) B.(２,０) Ｃ.1，0) Ｄ.（-1,0） （答:C)6． 24x y =点于直线0x y -=对称的抛物线的焦点坐标为 A 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ B 10,16⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭Ｄ1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭ （答:A) 7． 动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差等于2,则点Ｐ的轨迹是A 直线B 椭圆 Ｃ双曲线 Ｄ抛物线 （答:D)8． 抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上一点(),3P m -到焦点的距离为5，则抛物线的准线方程是A 4y = Ｂ4y =- C 2y = D 2y =- （答：C ）9． 抛物线()20y ax a =<的焦点坐标和准线方程分别为 A 11,044x a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B 11,044x a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C 110,44y a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D 110,44y a a⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ (答:Ｃ) 10. 在28y x =上有一点Ｐ，它到焦点的距离是20，则P 点的坐标是A ()8,12 Ｂ()18,12- C ()18,12或()18,12- D ()12,18或()12,18-（答:Ｃ）11． 物线210y x =的焦点到准线的距离是 A.10 B.5 C.20 D.52 (答:B) 12． 抛物线28x y =-的焦点坐标是Ａ.()4,0- B ．()0,4- Ｃ.()2,0- Ｄ.()0,2- (答：Ｄ)二.填空题：1． 2(0)y ax a =≠的焦点坐标是 答：(,0)4a2． 24y x =的焦点坐标是准线方程是 (答：（0,116),116y =- 3． 顶点在原点,焦点为(0,－2）的抛物线的方程为 (答：28x y =-）4． 抛物线22(0)y px p =>上一点Ｍ到焦点的距离是()2p a a >，则点M 到准线的距离是点Ｍ的横坐标是 (答：,2p a a -） 5． 一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高１.1米,跨度是2．2米,则拱形的抛物线方程是（答：21.1x y =-)6． 抛物线22(0)y px p =>点()23-，到其焦点的距离是5,则p ＝_______(答：4） 7． 抛物线()()12,1812,18-24x y =上一点A 的纵坐标为4,则点Ａ与抛物线的焦点为___＿＿__（答：5)三．解答题:1． 根据下列条件写出抛物线的标准方程（1） 焦点是F(３,0) (答：212y x =）（2） 准线方程是14x =- (答:2y x =） （3） 焦点到准线距离是２ (答：2x y =±24y x =±)2． 求顶点在原点，对称轴为坐标轴,过点(2，-8)的抛物线方程,并指出焦点和准线。
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一．选择题（共10小题）
1．（2016•商丘二模）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则
的最大值为（）
A．B．1 C．D．2
2．（2016•渭南一模）若抛物线y2=2px（p＞0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为（）
A．2 B．18 C．2或18 D．4或16
3．如图，过抛物线y=x2的焦点且斜率为﹣的直线交抛物线与圆x2+（y﹣2）2=4分别于A、D和B、C四点，则|AB|•|CD|=（）
A．4 B．2 C．1 D．不能确定
4．（2015秋•吉林校级期末）过y2=2px焦点F的直线交抛物线于A，B，若|BF|=，|AF|=，
则抛物线方程（）
A．y2=x B．y2=2x C．y2=3x D．y2=4x
5．（2015秋•晋城期末）设抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于30°，那么||等于（）
A．2B．4 C．D．2
6．（2015秋•沈阳期末）已知F是抛物线y2=8x的焦点，A，B是该抛物线上两个不同的点，|AF|+|BF|=12，则线段AB中点M的横坐标为（）
A．16 B．8 C．6 D．4
7．（2015秋•朝阳区期末）已知动圆C位于抛物线x2=4y的内部（x2≤4y），且过该抛物线的顶点，则动圆C的周长的最大值是（）
A．πB．2πC．4πD．16π
8．（2015秋•牡丹江校级期末）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F 的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点的坐标为（3，y1）时，△AEF为正三角形，则p为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（2015秋•武汉校级期末）设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x﹣5）2+y2=9相切于点M，且M为线段AB中点，则这样的直线l有（）条．
A．2 B．3 C．4 D．无数条10．（2015秋•东城区期末）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两
点，点O是原点，如果|BF|=3，|BF|＞|AF|，，那么|AF|的值为（）
A．1 B．C．3 D．6
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016•商丘二模）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则
的最大值为（）
A．B．1 C． D．2
【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab
配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，
又∵ab≤（）2，
∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2
得到|AB|≥（a+b）．
所以≤=，即的最大值为．
故选：A
2．（2016•渭南一模）若抛物线y2=2px（p＞0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为（）
A．2 B．18 C．2或18 D．4或16
【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点到的对称轴的距离6，
∴设该点为P，则P的坐标为（x0，±6）
∵P到抛物线的焦点F（，0）的距离为10
∴由抛物线的定义，得x0+=10 (1)
∵点P是抛物线上的点，∴2px0=36 (2)
（1）（2）联解，得p=2，x0=2或p=18，x0=1
故选：C
3．如图，过抛物线y=x2的焦点且斜率为﹣的直线交抛物线与圆x2+（y﹣2）2=4分别于A、D和B、C四点，则|AB|•|CD|=（）
A．4 B．2 C．1 D．不能确定
【解答】解：设A（x1，y1）、D（x2，y2），
∵抛物线y=x2的标准方程为x2=8y，
故抛物线的焦点坐标为（0，2），
故直线l方程为y=x+2，
代入抛物线方程消去x，得y2﹣3y+2=0，
∴y1y2=4
则|AB|•|CD|=（y1+2﹣2）（y2+2﹣2）=y1y2=4，
故选：A．
4．（2015秋•吉林校级期末）过y2=2px焦点F的直线交抛物线于A，B，若|BF|=，|AF|=，
则抛物线方程（）
A．y2=x B．y2=2x C．y2=3x D．y2=4x
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则
∵|BF|=，|AF|=，
∴根据抛物线的定义可得x1=﹣，x2=﹣，
∵==
∴49（﹣）=25（﹣），
∴p=1．
∴抛物线方程为y2=2x
故选：B．
5．（2015秋•晋城期末）设抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于30°，那么||等于（）
A．2 B．4 C．D．2
【解答】解：抛物线x2=4y的焦点为F（0，1），
准线为l：y=﹣1，
设P（m，n），由题意可得A（m，﹣1），
由直线AF的倾斜角等于30°，
可得k AF==，
解得m=﹣2，
n=m2=3，
由抛物线的定义可得||=n+1=4．
故选：B．
6．（2015秋•沈阳期末）已知F是抛物线y2=8x的焦点，A，B是该抛物线上两个不同的点，|AF|+|BF|=12，则线段AB中点M的横坐标为（）
A．16 B．8 C．6 D．4
【解答】解：F是抛物线y2=8x的焦点F（2，0）准线方程x=﹣2，
设A（x1，y1）B（x2，y2）
∴|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=12，
解得x1+x2=8
∴线段AB的中点横坐标为：4．
故选：D
7．（2015秋•朝阳区期末）已知动圆C位于抛物线x2=4y的内部（x2≤4y），且过该抛物线的顶点，则动圆C的周长的最大值是（）
A．πB．2πC．4πD．16π
【解答】解：设圆的方程为x2+（y﹣b）2=b2，
与x2=4y联立可得y2+（4﹣2b）y=0，∴4﹣2b=0，
∴b=2，
∴动圆C的周长的最大值是2π×2=4π．
故选：C．
8．（2015秋•牡丹江校级期末）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F 的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点的坐标为（3，y1）时，△AEF为正三角形，则p为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：如图所示，过F作AE的垂线，垂足为H，则H为AE的中点，
因为A点坐标为（3，y1），
所以AE=3+，EH=p，
所以2p=3+，
所以p=2．
故选：A．
9．（2015秋•武汉校级期末）设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x﹣5）2+y2=9相切于点M，且M为线段AB中点，则这样的直线l有（）条．
A．2 B．3 C．4 D．无数条
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，
相减得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），
当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，
因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，
即M的轨迹是直线x=3．
圆心（5，0）到直线的距离为2＜3，直线与圆有两个交点，直线l有两条；
斜率不存在时，直线l有2条；
所以直线l恰有4条，
故选：C．
10．（2015秋•东城区期末）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两
点，点O是原点，如果|BF|=3，|BF|＞|AF|，，那么|AF|的值为（）
A．1 B．C．3 D．6
【解答】解：如图，作BN⊥准线l，AM⊥l，AC⊥BN，
∴|BF|=|BN|，|AF|=|AM|，
∵，
∴cos∠BCF==，
∵|BF|=3，
∴|AF|=1，
故选：A．。