高考数学总复习 第一章 集合、常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件课时作业

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

基础巩固题组 (建议用时：25分钟)

一、选择题

1.(2015·山东卷)设m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2

＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A.若方程x 2

＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B.若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C.若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D.若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0

解析 根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2

＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2

＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”. 答案 D

2.“x ＝1”是“x 2

－2x ＋1＝0”的( ) A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析 因为x 2

－2x ＋1＝0有两个相等的实数根为x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2

－2x ＋1＝0”的充要条件. 答案 A

3.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，则“m ∥β”是“α∥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析 m ⊂α，m ∥β⇒/ α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件. 答案 B

4.(2017·安徽江南十校联考)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1

x

＋a 为奇函数”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析 显然a ＝0时，f (x )＝sin x －1

x

为奇函数；当f (x )为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0.又

f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－

1－x ＋a ＋sin x －1

x

＋a ＝0. 因此2a ＝0，故a ＝0.

所以“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件. 答案 C

5.下列结论错误的是( )

A.命题“若x 2

－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2

－3x －4≠0” B.“x ＝4”是“x 2

－3x －4＝0”的充分条件

C.命题“若m >0，则方程x 2

＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题

D.命题“若m 2

＋n 2

＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2

＋n 2

≠0，则m ≠0或n ≠0” 解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2

＋x －m ＝0有实根，则m >0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，

即m ≥－1

4，不能推出m >0.所以不是真命题.

答案 C

6.设x ∈R ，则“1

D.既不充分也不必要条件

解析 由|x －2|<1，得1

7.已知命题p ：x 2

＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( ) A.[1，＋∞) B.(－∞，1] C.[－1，＋∞)

D.(－∞，－3]

解析 由x 2

＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件.故a ≥1. 答案 A

8.(2017·台州模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a >b ”是“ln a >ln b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析 由ln a >ln b ⇒a >b >0⇒a >b ，故必要性成立.

当a ＝1，b ＝0时，满足a >b ，但ln b 无意义，所以ln a >ln b 不成立，故充分性不成立. 答案 B 二、填空题

9.(2017·杭州调研)已知λ是实数，a 是向量，若λa ＝0，则λ＝________或a ＝________(使命题为真命题).

解析 ∵λa ＝0，∴λ＝0或a ＝0. 答案 0 0

10.(2017·丽水月考)命题“若x 2

－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________.

解析 “若x 2

－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆命题为“若x ＝1，则x 2

－3x ＋2＝0”；否命题为“若

x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1”；逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”.

答案 若x ＝1，则x 2

－3x ＋2＝0 若x 2

－3x ＋2≠0，则x ≠1 若x ≠1，则x 2

－3x ＋2≠0 11.“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件. 解析 cos 2α＝0等价于cos 2

α－sin 2

α＝0， 即cos α＝±si n α.

由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立.

∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件. 答案 充分不必要

12.已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2

－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________.

解析 令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0

N ，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0

①“若a >b ，则a 2

>b 2

”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若

x 2<4，则－2

其中真命题的序号是________.

解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2

≤b 2

”错误.②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确.③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2

≥4”正确. 答案 ②③

能力提升题组 (建议用时：15分钟)

14.(2016·四川卷)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析 若x >1且y >1，则x ＋y >2.所以p ⇒q ；反之x ＋y >2 x >1且y ＝1，例如x ＝3，y ＝0，