答案-拓扑学基础a

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拓扑学2010 A答案

研究生试卷 2009─2010学年第 2 学期拓扑学基础课程试卷(A 卷)

答案与评分标准

一、（10分）设B A 、都是拓扑空间X 的子集，并且A 是开集，证明：B A B A ⋂⊂⋂. 证：B A x ⋂∈，U 是x 的任一开邻域，则A U ⋂也是x 的开邻域，

从而B A U ⋂⋂)(φ≠（因为B x ∈），………………………………………5分

)(B A U ⋂⋂φ≠，于是B A x ⋂∈……………………………………………10分

二、（10分）设Y X f →：是映射，证明以下条件等价：

（1）f 是连续映射；

（2）Y 的任一开集在f 下的原像是X 的开集；

（3）Y 的任一闭集在f 下的原像是X 的闭集。

证：（1）⇒（2）设V 是Y 的开集，)(1V f

U -=.任意V U x ，∈是)(x f 的邻域，由于x f 在连续，U x 是的内点，由x 的任意性，O U U =是开集。………………………………………3分

（2）⇒（3）设F 是Y 的闭集，则c F 是开集，因此)(1C F f -是X 的开集，于是c c F f F f ))(()(11--=是是

X 的闭集。………………………………………6分

（3）⇒（1）设V 是)(x f 的邻域，)(1V f U -=,因为c c o o V f V f )))((()(11--=是开集（闭集c o V )(的原像))((1c o V f -是闭集），且U V f x o ⊂∈-)(1，所以U 是x 的邻域，有定义，连续。在x f ……………10分

2010点集拓扑(A卷)答案

2010年秋季点集拓扑答案（A 卷）

一、单项选择题：（每题3分，共15分）DCBAD

1．下列关于实数集上的有限补空间X 的说法正确的是 ( D )

A. X 是第一可数空间

B. X 是第二可数空间

C. X 是可度量化空间

D. X 是道路连通空间

2．如果Y 是X 的一个连通子空间，则下述说法必定正确的是（ C ）

A. X 是一个连通空间

B. Y 是X 的一个连通分支

C. Y 是X 中连通子集

D. Y 是X 中连通子集

3. 下列关于可数集的说法不正确的是 ( B )

A. 可数个可数集的并依然可数

B. 可数个可数集的笛卡尔积可数

C. 实数集不是可数集

D. 自然数集在一切映射下的像可数

4．设X 为第二可数空间，则X 必然（ A ）

A. 既是可分空间也是第一可数空间

B. 既是度量空间也是可分空间

C. 是局部道路连通空间

D. 不是可度量化空间

5. 下列关于映射f 的说法正确的是（ D ）

A. 如果f 是开映射，则f 也是闭映射

B. 如果f 是商映射，则f 也是开映射

C. 如果f 既是开映射，也是闭映射，则f 是连续映射

D. 如果1f

-是开映射，则f 是连续映射

二、判断题：（每题3分，共15分，T 表示正确，F 表示错误）TFFTF

1. （ T ）在集合X 与其幂集()X ℘之间一定不存在一一映射。

（ F ）如果集合A 和B 是拓扑空间X 中连通子集，则A B ⋃在X 中连通。 3.

（ F ）如果A B ⋃和A B ⋂均为X 中道路连通子集，则A 在X 中道路连通。 4.

（ T ）可分性质是开子空间可遗传的，而Lindel öf 性质是闭子空间可遗传的。 5. （ F ）实数下限拓扑空间是连通的，第一可数的，但不是第二可数的。

上学期拓扑学考试试卷及答案

大学拓扑学考试试卷参考答案（A ）

一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分) 1、1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.

A. {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T

B. {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T

C. {,,{},{,}}X a a b φ=T

D. {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T

2、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的

个数为（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

3、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（）

A. φ

B. Z

C. R -Z

D. R

4、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（）

A. 若A φ=,则d A φ=

B. 若0{}A x =,则d A X =

C. 若A={12,x x },则d A X A =-

D. 若12{,}A x x =,则d A A = 5、平庸空间的任一非空真子集为( )

A. 开集

B. 闭集

C. 既开又闭

D. 非开非闭

二、简答题（每题3分，共15分） 1、2 A 空间 2、1T 空间： 3、不连通空间

4、序列紧致空间

…

5、正规空间

三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）

1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（）

《拓扑学》作业参考答案

14. (1) （a） P( X ), T *,又( X *) ' 有限， X * T * （ b ） A, B T * , 若或者 A P(x), 或者 B P(K) ，则 A A P(K),且B P(K),则A', B '是中有限子集， ( A B) ' A' B '为中有限子集， A B T *
B T * ，
（ c ）设 T 1 T ，若 T 1 ，则 T1 P ( x) ，从而
T 1 T * 若
T 1,则U0 T 1, s.t. U0,从而X * U0 为有限集，从而 ( T 1) ' U ' U '0 X * U0 为有限集， UT 1
T 1 T * 。
因此 X 是T2 空间。
10. （1） B R,且B1 (a1, b1) - E1, B2 (a2,b2 ) E2, x B1 B2 ，
则 x (a1,b1) (a2,b2) (E1 E2) (max( a1, a2), min( b1,b2 ) (E1 E2) ，而 E1 E2 E ，故存在 R 的
（2） x R Q, (x 1, x 1) B s.t. x (x 1, x 1) Q R Q ，故 R Q T
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以上仅为参考答案，简答、论述题均只列及主要的解题知识点，请您结合自我理解和课本内容进行知识掌握和巩固。如对答案等有疑义，请及时登录学院网站“辅导论坛”栏目，与老师交流探讨！

马克阿姆斯特朗基础拓扑学答案

马克阿姆斯特朗()是美国著名的物理学家、发明家。他于1946年在哥伦比亚大学获得物理学博士学位,1953年开始在耶鲁大学教授物理学,1969年开始在美国斯坦福大学任教。1971年至1977年担任美国国家科学院院士。1985年获得美国艺术与科学院外籍院士。他还是美国物理学会、国际数学会议和()等学术组织的成员。

一、拓扑学研究的主要内容是什么？

拓扑学是研究一类不定的几何图形和空间形式之间的相互关系的一门学科。它的基本思想是：对给定的几何图形或空间形式，可求出任意几何图形或空间形式上所对应着的有限个数。拓扑学包括两个部分：一为线性拓扑学；二为几何拓扑学。线性拓扑学指对于给定几何图形或空间形式在有限个数范围内，可求出任意几何图形或空间形式上所对应着的有限个数；几何拓扑学则是将不定几何图形、空间形式上所对应着的有限个数推广到有限个数范围内，并求得该有限个数对应着某个区间或领域内某一具体对象或事物中之最小个数或最大个数点所对应着的有限个数。拓扑学通过对给定几何图形或空间形式上所对应着有限个数或最大个位数个点所对应着相应事物中之最小个数或最大个位数点所对应着有限个数或最大个位数点所对应着之最大个数点对应着相应事物中之最小个数点所在区域或领域所对应着之最小点所对应着的总个数（包括其个数大小和方向）来解决有限个数或最大个位数、局部个数和领域个数之间的关系。拓扑学中一些特殊几何图形和空间形式所对应着一系列数学问题都属于拓扑学理论中所涉及到之问题。

二、对一条长波在时空中运动是什么性质？

《拓朴学》题库及答案

《拓扑学》题库及答案

一、单项选择

1．关于笛卡儿积，下面等式成立的是

（A ）)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯=-⨯- （B ）)()()()(D C B A D B C A I I I ⨯=⨯⨯ （C ）)()()()(D B C A D C B A ⨯⨯=⨯Y Y Y （D ）D B C A ⨯⊆⨯当且仅当D C B A ⊆⊆,

2．设Y X f →:是映射，)(,,X B A P ∈，)(,Y D C P ∈，则下面结论不成立的是：（A ）)()()(111D f C f D C f ---=Y Y （B ）)()()(111

D f C f D C f

---=I I

（C ）)()()(B f A f B A f Y Y = （D ）)()()(B f A f B A f I I =

3．在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中，子集+⨯Z }2{是：

（A ）开集，非闭集（B ）闭集，非开集（C ）即开，且闭集（D ）即非开集，也非闭集

4．设R R →2

:d 为映射，（R 表示实数集合），R ∈∀y x ,，下面关于d 的定义中是R 的度量的是：

（A ）2

(,)()d x y x y '=- （B ）2

2),(y x y x d -=

（C ）||||),(y x y x d += （D ）⎩⎨

⎧=≠=y

x y

x y x d 01),(

5．设)T ,(X 是平庸拓扑空间，b a X b a ≠∈,,，则交错序列Λb a b a ,,,在拓扑空间)T ,(X 中的收敛点集合是：（A ）∅ （B ）}{a （C ）},{b a （D ）X

试题集：拓扑学初步

1.在拓扑空间中，下列哪项不是开集的定义？

o A. 开集是拓扑空间中的一个集合，它属于该空间的拓扑。

o B. 开集是所有点的邻域。

o C. 开集是所有点的闭包。

o D. 开集是包含在它自身的邻域内的集合。

参考答案: C. 开集是所有点的闭包。

解析: 开集的定义是它属于拓扑空间的拓扑，即它是一个邻域，包含在它自身的邻域内，但开集不是所有点的闭包，闭包是开集的补集的补集。

2.下列哪项不是拓扑空间的定义？

o A. 一个集合和它的子集族，其中包含空集和全集。

o B. 任意多个开集的并集仍然是开集。

o C. 有限多个开集的交集仍然是开集。

o D. 任意多个闭集的并集仍然是闭集。

参考答案: D. 任意多个闭集的并集仍然是闭集。

解析: 拓扑空间的定义包括集合和它的子集族，其中包含空集和全集，任意多个开集的并集和有限多个开集的交集仍然是开集，但任意多个闭集的并集不一定是闭集。

3.在拓扑学中，下列哪项不是连续函数的定义？

o A. 对于函数f的定义域中的任意开集，其像集也是开集。

o B. 对于函数f的值域中的任意开集，其原像集也是开集。

o C. 函数f在其定义域的每一点都是连续的。

o D. 函数f在其值域的每一点都是连续的。

参考答案: A. 对于函数f的定义域中的任意开集，其像集也是开集。

解析: 连续函数的定义是对于函数f的值域中的任意开集，其原像集也是开集，函数在其定义域的每一点都是连续的，但函数f的定义域中的开集的像集不一定是开集。

4.下列哪项不是紧致空间的定义？

o A. 紧致空间中的任意开覆盖都有有限子覆盖。

答案-拓扑学基础

东北大学秦皇岛分校

课程名称：拓扑学基础（答案）试卷： A 考试形式：闭

卷

授课专业：数学与应用数学考试日期： 2013年 7月试卷：共 3 页

一、填空题：（每空2分，共20分）

1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链平凡拓扑，{,,{3},{1,3}}X ∅，{,,{1}}X ∅， {,,{2}}X ∅，

{,,{3}}X ∅。（注：答案不唯一，正确即可）

2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。 3．字母Y 的割点个数为无穷。字母T 中指数为3的点个数为 1 。 4．叙述同胚映射的定义拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一

对

应

且

它

的

逆

也

是

连

续

的。二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ）

A 连通空间一定是道路连通空间

B 道路连通空间一定是连通空间

C 道路连通空间一定局部道路连通

D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ）

A 紧空间的闭子集紧致

B 紧致空间未必局部紧致

C 有限空间一定不紧致

D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ）

A 离散空间都是1T 空间

B 2T 空间中单点集是闭集

C ¡赋予余有限拓扑不是2T 空间

D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ）

A 紧致性

B 连通性

C 道路连通性

D 商映射

三、计算题：（共16分）

1．在¡上赋予余有限拓扑，记¤为有理数集合，[0,1]I =。试求'¤和I 。（4分）答：'=

答案-拓扑学基础

东北大学秦皇岛分校

课程名称：拓扑学基础（答案）试卷： A 考试形式：闭

卷

授课专业：数学与应用数学考试日期： 2013年 7月试卷：共 3 页

一、填空题：（每空2分，共20分）

1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链平凡拓扑，{,,{3},{1,3}}X ∅，{,,{1}}X ∅， {,,{2}}X ∅，

{,,{3}}X ∅。（注：答案不唯一，正确即可）

对

应

且

它

的

逆

也

是

连

续

的。二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ）

A 连通空间一定是道路连通空间

B 道路连通空间一定是连通空间

C 道路连通空间一定局部道路连通

D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ）

A 紧空间的闭子集紧致

B 紧致空间未必局部紧致

C 有限空间一定不紧致

D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ）

A 离散空间都是1T 空间

B 2T 空间中单点集是闭集

C ¡赋予余有限拓扑不是2T 空间

D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ）

A 紧致性

B 连通性

C 道路连通性

D 商映射

三、计算题：（共16分）

1．在¡上赋予余有限拓扑，记¤为有理数集合，[0,1]I =。试求'¤和I 。（4分）答：'=

拓扑学基础答案

拓扑学基础（数学教育本科）试卷参考答案

一、单项选择题

1、C

2、A

3、B

4、A

5、A

6、C

7、D 8、A 9、B 10、D

二、填空题

11、满射 12、同胚 13、A 的补集A '是一个开集 14 、Y B 15、可分 16、一 17、x 和y 连通

18、X ，)(x f 19、Y 中每一个开集U 的原象)(1U f -是X 中的一个开集

三、名词解释题

1、如果存在一个从集合X 到正整数集Z +的单射，则称集合X 是一个可数集。

2、设X 是一个集合，T 是X 的一个子集族，如果T 满足如下条件：（1）∈φ,X T ，（2）若A ，∈B T ，则∈B A T ，（3）若T ⊂1T ，则1

A ∈∈ T T ，则称T 是X 的一个拓

扑。偶对（X ，T ）是一个拓扑空间。

3、设X 和Y 是两个拓扑空间，如果f:X →Y 是一个一一映射，并且f 和f -1:Y →X 都是连续的，则称f 是一个同胚映射。

4、设X 是一个拓扑空间，如果对于任何x 、y ，存在X 中的一条从x 到y 的道路（或曲线），则称X 是一个道路连通空间。

5、一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个A 1空间。

6、一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个A 2空间。

7、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X 是一个Lindel öff 空间。

8、设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域，它们互不相交，则称拓朴空间X 是一个正则空间。

拓扑学基础试题及解答

“拓扑学基础”试题及答案

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

1、设{1,2,3}X =，则下列是X 的拓扑的是【 A 】

A 、{,,{1}}X φ

B 、{,,{1,2},{2,3}}X φ

C 、{,,{2},{3}}X φ

D 、{,,{1},{2},{3}}X φ

2、下列有关连续映射:f X Y →正确的是【 B 】

A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集

B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()f B -是X 中的一个闭集

C 、Y 中的任何一个子集A ，有11()()f A f A --⊂

D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射

3、设X 和Y 是两个拓扑空间，A 是X 的一个子集，则下列错误的是【 C 】

A 、若:f X Y →是连续的，则|:A f A X →也是连续的

B 、若:f X Y →是一个同胚，则|:()A f A f A →也是一个同胚。

C 、:()f X f X →是一个连续映射，则:f X Y →不一定是一个连续映射

D 、若X 可嵌入Y ，则X 的任何一个子空间也可嵌入Y

4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，则()A ∂=【 D 】

A 、A A -'⋂

B 、00A A ''⋃

C 、0()A ∂

D 、()X A ∂-

5、下列有关连通性的命题正确的是【 C 】

A 、若A 和

B 是拓扑空间X 中的两个隔离子集，且X A B =⋃，则X 是不连通的。

B 、有理数集Q 作为实数空间子空间是一个连通空间

C 、若12,Y Y 均为X 的连通子集，且12Y Y φ⋂≠，则12Y Y ⋃也是X 的一个连通子集

基础拓扑学讲义答案第二章

基础拓扑学讲义答案第二章第二章基本拓扑学

1.什么是拓扑学？

拓扑学是一门研究空间结构的数学学科，它研究的是空间中的点、线、面和体的关系，以及它们之间的连接关系。它是一门抽象的数学学科，它不关心物体的形状和大小，而是关注物体之间的关系。

2.拓扑学的基本概念有哪些？

（1）点：拓扑学中的点是一个抽象的概念，它可以表示一个物体的位置，也可以表示一个物体的属性。

（2）线：拓扑学中的线是一个抽象的概念，它表示两个点之间的连接关系。

（3）面：拓扑学中的面是一个抽象的概念，它表示一组点之间的连接关系。

（4）体：拓扑学中的体是一个抽象的概念，它表示一组面之

间的连接关系。

3.拓扑学的基本概念有哪些？

（1）连通性：拓扑学中的连通性是指一组点之间的连接关系，它表示一组点之间是否存在路径，以及路径的长度。

（2）闭合性：拓扑学中的闭合性是指一组点之间的连接关系，它表示一组点之间是否存在一个完整的回路，以及回路的长度。

（3）同构性：拓扑学中的同构性是指两个空间结构之间的关系，它表示两个空间结构之间是否存在一种可以将一个空间结构

变换成另一个空间结构的变换。

（4）等价性：拓扑学中的等价性是指两个空间结构之间的关系，它表示两个空间结构之间是否存在一种可以将一个空间结构

变换成另一个空间结构的变换，并且这种变换不会改变空间结构

的性质。

上学期拓扑学考试试卷及答案

大学拓扑学考试试卷参考答案（A ）

一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分) 1、1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.

A. {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T

B. {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T

C. {,,{},{,}}X a a b φ=T

D. {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T

2、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

3、在实数空间中，整数集Z 的内部Z o 是（）

A. φ

B. Z

C. R -Z

D. R

4、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（）

A. 若A φ=,则d A φ=

B. 若0{}A x =,则d A X =

C. 若A={12,x x },则d A X A =-

D. 若12{,}A x x =,则d A A =

5、平庸空间的任一非空真子集为( )

A. 开集

B. 闭集

C. 既开又闭

D. 非开非闭

二、简答题（每题3分，共15分）

1、2 A 空间

2、1T 空间：

3、不连通空间

4、序列紧致空间

5、正规空间

三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）

1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（）

2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（）

2009点集拓扑(A卷)答案

2009年秋季点集拓扑答案（A 卷）

一、单项选择题：（每题3分，共15分） BBCDB

1．下列关于实数下限拓扑空间l 的说法不正确的是 ( B ) A. l 是第一可数空间 B. l 是第二可数空间 C. l 是可分空间 D. l

是Lindel öf 空间 2．如果R 是X 上的一个等价关系，则下述说法未必正确的是（ B ）

A. 若(,)x y R ∈，则(,)x x R ∈

B. 若(,),(,)x x y y R ∈，则(,)x y R ∈

C. 若(,)x y R ∈，则(,)y y R ∈

D. 若(,),(,)x y y z R ∈，则(,)z x R ∈

3. 下列拓扑空间中可度量化的是 ( C )

A. 有理数集

上的有限补空间 B. 实数集上的有限补空间 C. 有理数集上的可数补空间 D. 实数集上的可数补空间

4．设,A B 是拓扑空间X 中任意子集，则下列关系式中必定成立的是（ D ）

A. ()()()d A B d A d B ⋂⊃⋂

B. ()A B A B ⋂⊃⋂

C. ()()()A B A B ∂⋃⊃∂⋃∂

D. ()o o o

A B A B ⋃⊃⋃

5. 如果想要证明某个性质是可商性质，那么映射:f X Y →可以是（ B ）

A. 连续的一一映射

B. 连续满射

C. 连续满的开映射

D. 连续满的闭映射二、填空题（填≠无效）：（每题3分，共15分）

1．设X 为拓扑空间，A X ⊂，则(())d d A ⊂()A d A ⋃。

2．设Y 是拓扑空间X 的一个子空间，A Y ⊂，则()Y A ∂⊂()X A Y ∂⋂。

拓朴学基础试题

《拓朴学》考试A 卷

(满分:100分考试时间:120分钟)

学号姓名专业工作单位

一、单项选择题（本题共5个小题,每小题2分，共10分）

1、设{,,}X a b c =,那么( )是X 的一个拓扑.

A.{,,{},{}}X a b φ

B.{,,{},{}}X a c φ

C.{,}X φ

D.{,,{,},{,}}X a b a c φ 2、下列实数空间

中的区间同胚的一组是 ( )

A.[,]a b ,(,]a b

B.(,),(0,1)-∞+∞

C.(,)a b ,[,]a b

D.(,),(,]a b a b 3、下列说法正确的是 ( ) A.Lindeloff 空间一定是2A 空间 B.度量空间一定是2A 空间 C.可分空间一定是2A 空间 D.2A 空间一定是可分空间 4、在拓扑空间(,)X τ中,A X ⊂,若( ),则称x 是集合A 的一个边界点. A.对于x 的任何一个邻域U ,既有U A φ≠,又有U A φ'≠;

B.x 有一个邻域U ,使得U A φ≠,而U A φ'=;

C.x 有一个邻域U ,既有U

A φ≠,又有U

A φ'≠;

D.对于x 的任何一个邻域U ,使得U A φ≠,而U

A φ'=. 5、( )不一定是隔离的.

A.离散空间中任何两个无交的子集

B.两个不同的连通分支

C.两个无交的闭子集

D.两个无交的开子集

二、填空题（本题共10个小题,每小题2分，共20分）

1、设X 为由n 个互不相同的元素构成的集合,X 的幂集()X P 中有( )个互不相同的元素.

2、设X 和Y 是两个集合,:f X Y →,则对于任意B Y ⊂,B ( )1(())f f B -.

拓扑学A答案