简谐振动旋转矢量法
简谐振动的旋转矢量法
简谐振动的旋转矢量法
简谐振动的旋转矢量法（also known as the rotational vector method）是一种描述简谐振动运动的方法。这种方法将简谐振动的位移表示为一个旋转矢量，该旋转矢量的大小和方向都随时间变化。
在这种方法中，假设物体在振动过程中绕一个固定轴旋转。这个固定轴被称为挠度轴，它垂直于振动平面。振动的位移被表示为从挠度轴指向物体的矢量。
根据简谐振动的性质，位移矢量旋转的角度随时间变化，而角度的变化速率与振动频率相关。通过将位置矢量的旋转速率与振动频率相关联，可以得到简谐振动的动态方程。
旋转矢量法可以应用于各种简谐振动问题，包括简谐振子、摆线振动等。通过使用该方法，可以更轻松地分析和计算简谐振动的运动特性，例如位移、速度和加速度等。此外，该方法还可以用于解决相关问题，如相位差和共振等。
总的来说，简谐振动的旋转矢量法是一种较为直观和简便的分析简谐振动运动的方法，它通过描述位移矢量的旋转来描述振动过程，并可以得到简谐振动的动态方程。
旋转矢量法在简谐振动教学中的应用
旋转矢量法在简谐振动教学中的应用
一、简谐振动的概念
简谐振动是物理学中一个重要的概念，它指的是一个物体在一个恒定的频率和强度中振动的运动状态。它是一个具有时间恒定性的物理运动，是一种定常运动，它的形式被称为简谐振动。它是物理学中的重要概念，它的表现主要是一种周期性的运动形式，它的能量以及动量都会在振动中不断地循环。它是一种简单的物理运动，在实际生活中可以体现在多种形式中。
二、旋转矢量法在简谐振动教学中的应用
旋转矢量法是一种特殊的矢量运算方法，它可以用来表示简谐振动的特性。旋转矢量法可以将振动的特性简化为一个旋转的矢量，它可以将振动的特性抽象为一个简单的矢量运动。因此，旋转矢量法在简谐振动教学中有着重要的作用。
旋转矢量法可以用来描述简谐振动的特性，它可以将振动的特性分解为不同的矢量，比如振动频率、振动振幅、振动相位等，这些矢量可以用来描述一个简谐振动的特性。而且，旋转矢量法还可以用来表示振动运动的运动轨迹。旋转矢量法可以将振动运动的运动轨迹表示为一个旋转的矢量，这个旋转的矢量可以用来描述振动运动的运动轨迹。
旋转矢量法在简谐振动教学中的应用，可以使学生更加清晰地了解简谐振动的特性，并且，可以更加直观地掌握振动运动的运动轨迹，从而更好地掌握简谐振动的基本原理。此外，旋转矢量法还可以用来描述复杂的振动运动，例如三维振动、多振子振动等，这些都可以用旋转矢量法来分析和描述。
总之，旋转矢量法在简谐振动教学中有着重要的作用，它可以使学生更加清晰地了解简谐振动的特性，并且，可以更加直观地掌握振动运动的运动轨迹，从而更好地掌握简谐振动的基本原理。
§3.2 简谐振动的旋转矢量图示
v
− 0.08 − 0.04
解
x/m
0.04
0.08
o
A = 0.08m
2π π −1 ω= = s T 2
A = 0.08m
t = 0, x = 0.04m
= A cos( ω t + ϕ ) π ϕ =± 0.04m = (0.08m) cos ϕ π −1 π 3
代入 x
2π π −1 ω= = s T 2
1 cos( t + ) = − 2 3 2
π π
π
解法二
π 2 π −1 ωt = ω = s t = s = 0.667s 3 3 2
t
ω
时刻
ωtπ 3 π 3
o
0.04
起始时刻
x/m
0.08
− 0.08 − 0.04
t = 1.0s
代入上式得
2
x = −0.069m
F = −kx = −mω x
π −1 2 = − (0.01kg )( s ) ( −0.069 m )= 1.70 ×10−3 N 2
（2）由起始位置运动到 的最短时间. 的最短时间.
x = −0.04m 处所需要
x/m
0 .04
v
− 0 .08 − 0 .04
简谐振动的旋转矢量图示法 §3.2 简谐振动的旋转矢量图示法
简谐振动旋转矢量图示法-文档资料
3、两个谐振动的相位差
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
相位之差为
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
采用旋转矢量表示为：
A2
2
1
A1
x
3
天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难
O
例1、两个同频率的谐振动，它们都沿x轴振动，且 振幅相等，当t =0时质点1在x=A/2处向左运动,另 一质点2在x=-A/2处向右运动，试用旋转矢量法 求两质点的相位差。
在t =T/4=0.5s时，可得
x 0.12cos( 0.5 ) 0.104 m 3
v 0.12 sin( 0.5 ) 0.18 m/s 3 2 2 a 0.12 cos( 0.5 ) 1.03 m/s
天下事有难易乎,为之,则难者亦易 矣;不为,则易者亦难
x A cos(t 0 )
由条件 T=2s可得
2 2 1 ,为之,则难者亦易 s 天下事有难易乎 矣;不为,则易者亦难 T 2
5
由初始条件 t = 0, x=0.06m可得
0.12cos 0 0.06 即 cos 0 0.5
0
3
或
3
由于t=0时质点向x轴正向运动可知
旋转矢量法
1 2
mvm2 ax
1 2
m 2 A2
2.0103 J
（3） E Ek,max 2.0103 J
（4） Ek Ep 时， Ep 1.0103 J
由
Ep
1 2
k x2
1 2
m 2 x2
x2
2Ep
m 2
0.5104 m2
x 0.707cm
摆动（单摆、复摆介绍）
研究摆动的理想模型 —— 单摆和复摆 一、单摆：无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动
J
v 2
R
Ep
1 2
kx 2
Ep滑 轮
1 kx2 2
c
振动系统机械能守恒：
E
Ek
Ep
1 2
m v2
1 2
J
v R
2
1 2
kx2
c
恒量
两边对时间求导：
Jva m va R2 kxv 0
a
d2 x dt 2
kx mJ
R2
2 x
得：
k m J R2 ;
T 2 2 m J R2
1 2
k A2
sin2 ( t
0 )
E E E 1 kA2 恒量
p
k2
孤立谐振动系统机械能守恒
x, v
E-t 曲线
xt 0
大学物理第三讲：8.1.3旋转矢量法
x , , a
x o
a
T
t
小结：用旋转矢量可以表示两个简谐振动的相位关系
A2 A1
x
同相
反相
A2 A1 A2
x
A1
x
三、应用举例
已知两个同方向，同频率的简谐振动如下：
x1 5 cos10t 2
x2 5 cos10t
x A cost 当 0时
x t曲线
x
x
x, ,a
x t
o
T
2、用旋转矢量A来表示简谐振动的速度
位移： x A cost
速度： v
简谐振动的速度比位移相位超前
/2
dx A sin t A cos t 0 dt 2
a
a
o
a
T
t
4、谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
位移： x A cost
速度： v dx A sin t A cos t 0 dt 2
d 2x 加速度： a 2 A 2 cost 2 A cost 0 dt
作 业：
1、仔细阅读教材； 2、请你做题8-18；
旋转矢量法
2.旋转矢量图法及其应用
同学们好！旋转矢量法可以形象地表示简谐振动位移和时间关系，便于确定初相位，研究振动的合成。下面我们一起学习旋转矢量法。
简谐振动的平衡位置为坐标原点O 点，水平向右为轴正方向，自原点O 点做一个矢量，矢量长度等于振幅A ，叫振幅矢量。初始时刻，矢量A 与x 轴夹角等于振动的初相位ψ。矢量A 从这位置以ω的角速度沿逆时针方向匀速转动，在任一时刻t ， 矢量A 与轴所成角度为ωt+ψ。矢量A 在轴上的投影点与简谐振子的小球同步运动，位移相等，它在x 轴上的投影与时间用关系可用简谐振动方程表示。
矢量A 旋转一周，同时矢量的矢端在轴上的投影点完成一次简谐振动，投影点的运动可以形象地表示简谐振动，这种方法叫做旋转矢量法。使用旋转矢量法还可以形象地了解简谐振动的振幅、角频率、初相位的物理意义。
显然，矢量A 做圆周运动的周期对应简谐振动的周期T ；矢量A 的圆周运动角速度对应简谐振动的角频率ω；初始时刻，旋转矢量的角度对应简谐振动的初相位ψ。
另外，使用旋转矢量法可以方便的确定物体的振动状态或初相位。
1. 由相位确定振动状态
(1)简谐振动的相位是π/3，求振动状态
I .旋转矢量图中，矢量A 的相位等于π/3，矢量A 的投影是物体的位移，等于A /2, 下一时刻矢量A 逆时针转动，所以简谐振动的小球向x 轴负方向运动。
(2)如果简谐振动的相位等于3π/2，求振动状态。
在旋转矢量图中，矢量A 的相位等于3π/2，矢量的投影点在x 轴的投影恰好在原点O , 所以物体的位移等于0， 矢量A 做逆时针转动，所以简谐振动的小球向x 轴正方向运动。
简谐振动旋转矢量法
解: (1)
x0 0.04m, v0 0, 6.0s1
振幅： A
x0 2
v02
02
x0 0.04m
arctan v0 0 x0
(为什么 不取π ?)
得： x 0.04cos 6.0t m (2) 由(1)中结果
0.02 0.04cos 6.0t cos 6.0t 1 2
简谐振动旋转矢量法
优选简谐振动旋转矢量法
第五章 机械振动
Fra Baidu bibliotek
为何讨论的重点是简谐运动 复杂振动可分解为若干简谐运动
振动的运动学规律
简谐振动的动力学特征
振动能量的周期性特征
振动和波动的关系: 波动——振动的传播 振动——波动的源头
机械振动, 电磁振荡 机械波, 电磁波 德布罗意波——几率波
振动学是波动学的基础
2
dt x 0 a dt A cos( t ) 0t旋=40转m时矢,处x量0再=与释0.x放轴,的试夹求2角: ((1)简t+谐运)即动为表简达谐式运; 动(2的)物相体位从.初始位置起第一次经过A/2处时的速度.
a cos( t π ) x(为=－什6么cm, 且不沿取xπ轴?)负方向运动, 求从该位置回到平衡位置所需要的最短时间.
A(3)和如果完在全某由时初刻始质条点件位决于定.
m
v a
旋转矢量法
一 、 两个同方向同频率简谐运动的合成
2、应用旋转矢量法:
x 1 A 1cot s1 ) ( x 2 A 2 co t s2 ) ( A2
A
xx1x2
xA co ts ()
0 x2 2 1
x1A1 x x
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2 co 2 s1 )(
tanA A 1 1c sio n 1 1s A A 2 2s cio n2 2s
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
x＝ A co cso tsA sin si nt
＝ A co st
1、应用解析法
x x1 x2
A A 1 2A 2 22A 1A 2co2 s(1)
11-1简谐振动旋转矢量表示法
简谐运动， （1）对同一简谐运动，相位差可以给出 ） 同一简谐运动 两运动状态间变化所需的时间． 两运动状态间变化所需的时间．
x1 = A cos(ωt1 + ϕ )
x2 = A cos(ωt 2 + ϕ )
∆ϕ = (ωt2 +ϕ) −(ωt1 +ϕ)
∆t = t2 −t1 = ∆ϕ
ω
第十一章 振 动
2π ω= = π s −1 T
t = 0， x 0 = 0.06 m
代入 x = A cos( ω t + ϕ )
第十一章 振 动
π ϕ =± 3
12
大学物 理学
1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法 又 v = −ω A sin(ω t + ϕ )
根据题意 v 0 > 0
则 v 0 = −ω A sin(ϕ ) π 则 ϕ=−
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) x2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
∆ϕ = (ωt + ϕ 2 ) − (ωt + ϕ1 )
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1
第十一章 振 动
10
大学物 理学
1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1
∆ϕ = 0 同步
∆ϕ = ±π 反相 ∆ϕ为其它
大学物理第三讲：8.1.3旋转矢量法
A
sint
A
cost
0
2百度文库
加速度：
a
d2x dt 2
A 2
cost
2 Acost
0
aa
a
o
Tt
4、谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
位移： x Acost
速度：
v
dx dt
A sint
A
cost
0
2
加速度：
a
d2x dt 2
A 2
cost
2 Acost
0
16
谢谢大家！ 欢迎大家多提宝贵意见！
2015.10.10
17
18
x/cm
t/s
o
9
三、应用举例
已知两个同方向，同频率的简谐振动如下：
x1 5cos10t / 2 x2 5cos10t
A 50cm
5 / 4或 3 / 4
用计算法求它们合振动的振幅和初相位。
已知：A1 A2 5cm；
x/cm
1 / 2;2
t/s
o 求：1合振动的振幅：A A12 A22 ;
x
x
x,,a
o
xt T
2、用旋转矢量A来表示简谐振动的速度
位移： x Acost 简谐振动的速度比位移相位超前 / 2
速度：
旋转矢量法
• 能量法求谐振动的振幅
机械能守恒：
1 1 2 1 2 mv kx kA2 2 2 2
• 能量法求谐振动的周期 两边对时间求导：
d2 x a 2 2 x T 2 dt
自学 教材
P381 [例6]、[例7]
/ P.12 [例5]
例：能量法求谐振动的周期
2π
（2） Ek ,max （3）
1 1 2 mvmax m 2 A2 2.0 103 J 2 2
3
E Ek ,max 2.0 10 J
Ep 时， Ep 1.0 10 J
3
（4） Ek
1 2 1 由 Ep kx m 2 x 2 2 2 2 Ep 4 2 2 0.5 10 m x 2 m
表13.1.2/P.8表12.1.1）
r 旋转矢量 A
简谐振动
符号或表达式
模 角速度
r t=0时，A 与ox夹角
振幅 角频率 初相
振动周期 相位
A
0O
r A
ω
M
x
(ωt +0 )
旋转周期 r t时刻，A 与ox夹角
r A 在 ox 上的投影 r A 端点速度在ox 上的投影 r A 端点加速度在ox 上的投影
已知： k , R , J , m
简谐振动-旋转矢量法
x Acos(t )
矢量以Ao的为端原点点在,旋x 轴转
上的投影点的运动为 简谐运动.
t t 时
o
A
t
x
x Acos(t )
对应关系
A
t
←→ 振幅 ←→ 圆频率 ←→ 初相位 ←→ 相位
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
T 2（π 旋转矢量旋转一周所需的时间）
A
M Px
注意：旋转矢量在第 1 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P
A
x
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P
A
x
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
tan A1 sin 1 A2 sin 2
两个同方向同频 率简谐运动合成
A1 cos1 A2 cos2 后仍为简谐运动
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
4.3 简谐振动的旋转矢量法
讨论
相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运 动状态间变化所需的时间．
x1 Acos( t1 )
(t2 ) (t1 )
t t 2 t1
x2 Acos( t2 )
9
大学物理
第一版
4.3 简谐振动的旋转矢量法
（1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所受的力；
v
0.08 0.04
x/m
o
0.04
0.08
13
大学物理
第一版
4.3 简谐振动的旋转矢量法
已知 m 0.01 kg, A 0.08 m, T 4 s
t 0, x 0.04 m, v0 0 求（1） t 1.0 s, x, F 解 A 0.08 m 2 π π s 1 T 2 t 0，x 0.04 m π 代入 x A cos( t ) 3 π v0 0 A 3 π x/m 3
x
A A2
a
b
tb
t
o
A
v
A
x o A ta A
2
π 3
π3 1 t T T 2π 6
10
大学物理
第一版
4.3 简谐振动的旋转矢量法
简谐振动的旋转矢量图示法
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说明：
1、旋转矢量的方向:
逆时针方向
2、旋转矢量 A 和谐振动 xAcos(t0)
的对应关系
A 的长度
振幅A
A旋转的角速度
角频率ω
A 与参考方向x 的夹角
振动相位ωt+φ0
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3、两个谐振动的相位差
x1A1cos(t1) x2A2cos(t2)
正方向运动,求运动方程。
解：(1) k 0.726.0s-1
m 0.02
由旋转矢量可知初相位 谐振动方程为
0 0
0.05
O
x
x0.05cos(6.0t) m
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(2) v dx 0.056.0sin(6.0t) dt
=0.3sin(6.0t) m/s
第一次经过A/2时，相位
相位之差为 (t 2 ) (t 1 ) 2 1
采用旋转矢量表示为：
A2
2
1
O
A1
x
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内容总结
简谐振动的旋转矢量图示法。例2、一物体沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期 T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向x轴正向运动。求: (1)简谐振动表达式。(3)物 体从x =-0.06m向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。在t =T/4=0.5s时， 可得。(3) 当x = -0.06m时，该时刻设为t1,得。因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位 置的时间：。x = 0.06m
大学物理学 6.3简谐振动的旋转矢量法
4 3
2
o
x
t 0
7 6
4 7 x 2 cos t (cm) 3 6
第六章 机械振动
2
大学 物理
6-3 简谐振动的旋转矢量法
例1 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为12 cm，周期为2s。 当t = 0时, 位移为6 cm，且向x 轴正方向运动。求:(1)振动方 程；(2)t = 0.5 s时，质点的位置、速度和加速度；(3)如果在 某时刻质点位于x = -6 cm，且向 x 轴负方向运动，从该位置 回到平衡位置所需要的时间。 解：设简谐振动表达式为
大学 物理
旋转矢量
A o xP
6-3 简谐振动的旋转矢量法 1矢量的长为A。
2矢量绕逆时针方向以角速 度匀速
旋转。
3矢量与x轴的夹角 t 。
X
矢量末端的投影P为 x A cos A cos t
1由初始位置x0确定转动矢量两个可能的位置。
第六章 机械振动
4π 3
2π 3 t1 1s
4
大学 物理
6-3 简谐振动的旋转矢量法
π 3π π t2 3 2 11 t2 s 6
y
2π 3