2010年中考数学专题复习必备教案33

第六单元第33课时 圆的有关性质

知识点回顾：

知识点一：圆的定义，掌握点与圆的位置关系 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .

2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 对称图形， 是它的对称中心.

例1：(2009太原市)如图，在Rt ABC △中，C ∠=90°，AB

若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ， 则AC 的长等于( ) A ． B ．5 C ．D ．6

分析：连接CD ，因为点D 在圆上，所以CD ＝CB ，又CD 是Rt ABC △的斜边中线，所以CD=BD ，所以CD ＝CB ＝BD ，所以ΔBCD 是等边三角形，所以∠B ＝60°，所以AC ＝AB ·sinB ＝ 解：选A 同步测试：

1.(2009太原市)如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿 OA AB BO --的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是( )

2．(2009荆门市)如图，在□ABCD 中，∠BAD 为钝角， 且AE ⊥BC ，AF ⊥CD ．

(1)求证：A 、E 、C 、F 四点共圆；

(2)设线段BD 与(1)中的圆交于M 、N ．求证：BM=ND ．

知识点二：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做

2. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .

3. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .

例2：(2008年镇江市)如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB AC =，45A ∠= ，BD

为⊙O

的直径，BD =CD ，则D ∠=

，BC = ．

分析：因为∠D 和∠A 都是弧BC 所对的圆周角，所以∠D ＝∠A ＝45°,因为BD 是直径，所以∠BCD ＝90°,所以BC ＝BD ·sinD ＝2 解：∠D ＝45°；BC=2 同步测试：

1.(2009天津市)如图，ABC △内接于O ⊙，若28OAB ∠=°，则C ∠的大小为( )D A ．28° B ．56°

C ．60°

D ．62°

2.(2008年泰州市)如图，⊿ABC 内接于⊙O ，AD 是⊿ABC 的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接B E ，⊿ABE 与⊿ADC 相似吗？请证明你的结论。

2.解：△ABE 与△ADC 相似. ∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE=90° ∵∠ADC=90°， ∴∠ABE=∠ADC 又∵∠AEB=∠ACD ，∴△ABE ∽△ADC

3．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ADC ＝90°，B 是弧AC 的 中点，AD ＝20，CD ＝15,求BD 的长.

知识点三：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .

例3：(2008呼伦贝尔)如图：=，D E ，分别是半径OA 和OB 的 中点，CD 与CE 的大小有什么关系？为什么？

分析：从条件看，整个图形为轴对称图形，则有CD=CE ；由=，可知它们所对的两个圆心角，两条弦，两个圆周角相等，故连结OC ，构造全等三角形来说明CD=CE. 解：结论：CD=CE.

理由是:连结OC,∵D 、E 分别是OA 、OB 的中点，∴OD=OE,又∵=，∴∠DOC ＝∠EOC ，又OC ＝OC ，∴△CDO ∽△CEO ，∴CD ＝CE 同步测试：

1．如图，⊙O 中两条不平行弦AB 和CD 的中点M ，N.且AB ＝CD ， 求证：∠AM N ＝∠CNM

2.(2008广州)如图，射线AM 交一圆于点B 、C ，射线AN 交该圆于 点D 、E ，且BC=DE ． (1)求证：AC=AE ；

(2)利用尺规作图，分别作线段CE 的垂直平分线与∠MCE 的平分线，

两线交于点F(保留作图痕迹，不写作法)，求证：EF 平分∠CEN ．

知识点四：垂径定理

垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦(不是直径)的 垂直于弦，并且平分 .

例4：(2009娄底)如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ， 则下列说法错误．．的是 ( ) A ．AD=BD B ．∠ACB=∠AOE

A

B

C

D E

M

N

C ．

D ．OD=DE

同步测试：

1．(2009南宁)如图，AB O 是⊙

的直径，弦30CD AB E CDB O ⊥∠=于点，°，⊙，

则弦CD 的长为( ) A ．

3

cm 2

B ．3cm C

． D ．9cm

2.(2008南通)已知：如图，M 是

AB 的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C ，设⊙O 的半径为4cm ，MN ＝

． (1)求圆心O 到弦MN 的距离； (2)求∠ACM 的度数．

2. 解：(1)连结OM ．∵点M 是

AB 的中点，∴OM ⊥AB ． 过点O 作OD ⊥MN 于点D ，

由垂径定理，得1

2

MD MN ==

在Rt △ODM 中，OM ＝4

，MD =，∴OD

＝

2．

故圆心O 到弦MN 的距离为2 cm ． (2)cos ∠OMD

＝

MD OM =， ∴∠OMD ＝30°，∴∠ACM ＝60°． 知识点五：确定圆的条件

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的 、这个三角形是圆的 .

例4：要将如图所示的破圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径?(写出找圆心和半径的步骤).

A

B

C M

N

O

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