2014春兰州理工大学《现代塑性成形理论》研究生期末考试复习题

一、已知变形体某点的应力状态为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=40000104004070ij σ（MPa ）1）、求出主应力1σ、2σ、3σ和主方向，球应力张量，偏应力张量，并画出应力莫尔圆。

3）、求出主切应力，最大切应力max τ和等效应力σ之值各为多少。

解：1）主应力特征方程为：04000104004070=---σσσ（1分） 按第3行展开得：()01040407040=---σσσ()()()[]0401070402=--⋅--σσσ ()()0160070080402=-+--σσσ ()()090080402=---σσσ()()()0109040=+--σσσ解方程得：901=σ，402=σ，103-=σ403=++=zy x m σσσσ球应力张量为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⋅400004000040ij m δσMPa偏应力张量为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⋅-=0000304004030'ij m ij ij δσσσMPa应力莫尔圆为：2）主切应力为：2522112±=-±=σστ 2523223±=-±=σστ5023113±=-±=σστ50max =τ ()()()6.8635021213232221≈=-+-+-=σσσσσσσMPa二、确定某变形体内的应力场或应变场是否存在？三、一薄壁管，内径φ80mm ，壁厚4mm ，承受内压p ，材料的屈服点为200=s σMPa ，现忽略管壁上的径向应力（即设0=ρσ）。

试用两个屈服准则求出下列情况下管子屈服时的p ，（1）管子两端自由（2）管子两端封闭（3）管子两端加100KN 的压力。

（8分） 解：（1）根据塑性力学，两端自由的薄壁管的应力分量为：p pt pr 10440===θσ 0=z σ按题意，0=r σ，显然：p 101==θσσ，02==z σσ，03==r σσ1）由屈雷斯加屈服准则220025231max ===-=sp σσστ，解得20=p MPa 2）由米塞斯屈服准则()()()22132322212s σσσσσσσ=-+-+-带入有，222002200⨯=p ，解得20=p MPa （2）根据塑性力学，两端封闭的薄壁管的应力分量为：p p t pr 10440===θσ p p t pr z 542402=⨯==σ按题意，0=r σ，显然：p 101==θσσ，p z 52==σσ，03==r σσ1）由屈雷斯加屈服准则220025231max ===-=sp σσστ，解得20=p MPa 2）由米塞斯屈服准则()()()22132322212s σσσσσσσ=-+-+-带入有，222002150⨯=p ，解得1.23340≈=p MPa（3）根据塑性力学，管子两端加100KN 的压力的应力分量为：p p t pr 10440===θσ MPa mmN rt N z 5.994402100000210001002-≈⨯⨯⨯-=⨯-=ππσ 按题意，0=r σ，显然：p 101==θσσ，02==r σσ，5.993-==z σσ1）由屈雷斯加屈服准则2231max sσσστ=-=，2005.9910=+p ，解得10≈p MPa2）由米塞斯屈服准则()()()22132322212s σσσσσσσ=-+-+-带入有，2220025.198001990200⨯=++p p ，05.6019919902002=-+p p ， 解得13≈p MPa四、一Q235钢（屈服强度235MPa ）圆柱毛坯，直径100mm ，高50mm ，设摩擦表面切应力K 2.0=τ，请用主应力法求该轴对称镦粗的变形力。

解：如图切取基元体并做受力分析， 列r 方向的平衡微分方程为：()()∑=+⋅+--+=022sin2θσσθτθσθσθhd dr r d dr rd d hdr hrd F r r r r化简为：02=---r r rhd hdr rdr hdr σστσθ假定为均匀镦粗变形，有θεεd d r =；θσσ=r 得：dr hd r τσ2-= 所以按绝对值的简化屈服方程，因θσσ=r ，Y r z =-σσ；r z d d σσ=联解得：dr hd z τσ2-= 假设接触面满足常摩擦条件，对上式进行积分得：C r hz +-=τσ2 当如e r r =时，ze σσ=，得： e ze r hC τσ2+= 解得： ()ze e z r r hστσ+-⋅=2当自由镦粗，边界无约束时，0=re σ，则Y ze =σ。

满足常摩擦条件K m ⋅=τ，得：67.2505061002.0123561=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=h d m Y z σMPa 五、试用滑移线法求光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高坯料时的极限载荷F 。

设冲头宽度为2b ，长为l ，且b l 2>>。

解：因b l 2>>，所以长度方向的应变为0，属于平面变形问题。

画出的滑移线场如下图所示。

F 点位于自由表面：K mF -=σ，γπω+=4FE 点位于光滑表面：4πω-=E沿α线：()F E m F m E K ωωσσ-=-2()()γπγππωωσσ214422++-=⎪⎭⎫⎝⎛---+-=-+=K K K K F E mF mE ()()γπγπσσ22213++-=-++-=-==K K K K p m 14.图所示的楔体，两面受压力p ，已知432πγ=，试用滑移线法求极限载荷。

解：本题属于平面变形问题。

画出的滑移线场如下图所示。

F 点位于自由表面：K mF -=σ，4πω=FE 点位于光滑表面：0443=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππωE沿α线：()F E m F m E K ωωσσ-=-2()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-=-+=214022ππωωσσK K K K F E mF mE ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++-=-==22213πγπσσK K K K p m六、在平底模中进行平面变形挤压，若模具光滑无摩擦，按图19-42所示的分块模式确定平均单位挤压力的上限解。

并与滑移线解作比较，说明何种模式的上限解最优。

△△a) b)c)解：a)刚性块的速端图如下图所示：d求得速度间断面12、13、14、23、34的几何尺寸为：12=14=23=34=h 2，13=2h设B 块的速度ob 为1，则D 块的速度od 为2，求得速度间断面12、13、14、23、34上的速度间断值为：22====cd bc ab oa ，1=ac 根据功率平衡原理有****][2DS dS V K h p D⎰= ()ac bc ab cd oa K ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=1334231412 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯=122224h h K Kh 6=K p 3*=b)刚性块的速端图如下图所示：d求得速度间断面12、13、14、23、34的几何尺寸为：12=14=h2，23=34=Ah A h sin 4sin sin 2=⋅π，13=()A A A h A A h sin sin cos 43sin sin 2+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅π 设B 块的速度ob 为1，则D 块的速度od 为2，求得速度间断面12、13、14、23、34上的速度间断值为：AA Acd oa sin cos sin 2+==，A A bc ab sin cos 1+==，A A A ac sin cos cos 2+=根据功率平衡原理有****][2DS dS V K h p D⎰= ()ac bc ab cd oa K ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=1334231412()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+++⨯⨯++⨯⨯=A A A A A A h A A A h A A A h K sin cos cos 2sin sin cos sin cos 1sin 2sin cos sin 222⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯++=A A A A A A A AKh sin cos 2sin cos 1sin 2sin cos sin 4()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=A A A A A A Kh tan 2tan tan tan 12tan 1tan 422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=A A A A A A K p tan 1tan tan tan 1tan 1tan 222*令tan A =x ，0*=∂∂x p ，得()()01122222=+--x x x x解得：21+=x即21tan +=A 时，05.67=A 时，*p 有极小值K p 656.2*=c) 刚性块的速端图如下图所示：d求得速度间断面12、13、23的几何尺寸为：12=13=h 2，23=h 2设B 块的速度ob 为1，则D 块的速度od 为2，求得速度间断面12、13、23上的速度间断值为：2==ad oa ，1=ab 根据功率平衡原理有****][2DS dS V K h p D⎰= ()ab ad oa K ⋅+⋅+⋅=231312()12222⨯+⨯⨯=h h KKh 6=K p 3*=第二种模式，当05.67=A 时结果最优。