云南省昆明市数学高三上学期文数期末测试卷( 一诊康德卷)

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云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试文科数学试题(解析版).docx

昆明市 2019 届高三复习诊断测试文科数学一、选择题：本题共 1 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】【分析】由集合交集的运算求解即可.【详解】由集合，，则故选： B.【点睛】此题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】 D【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】在复平面内，复数==1﹣ i 对应的点（ 1，﹣ 1）位于第四象限．故选： D．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.某商家今年上半年各月的人均销售额( 单位：千元 ) 与利润率统计表如下：月份123456人均销售额658347利润率（ %）12.610.418.5 3.08.116.3根据表中数据，下列说法正确的是A.利润率与人均销售额成正比例函数关系B.利润率与人均销售额成反比例函数关系C.利润率与人均销售额成正相关关系D.利润率与人均销售额成负相关关系【答案】 C【解析】【分析】由表格中的数据和线性相关关系的定义即可得到.【详解】由表格中的数据显示，随着人均销售额的增加，利润率也随之增加，由变量之间的关系可得人均销售额和利润率成正相关关系.故选： C.【点睛】本题主要考查变量间的相关关系的定义，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题.4.已知，，，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】【分析】由指数函数的单调性得，与常数‘ 1’比较得即可得答案.【详解】因为在 R上递减，且，所以. 又因为在R上递增，且，所以.所以.故选： D.【点睛】本题考查了指数函数的单调性和与常数‘1’比较大小，属于基础题.5.在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，则（）A. B. C. D.【答案】 A【解析】【分析】由任意角的三角函数的定义得和，由正弦的两角和计算公式可得.【详解】根据题意：x 轴的非负半轴为始边作角α，其终边与单位圆交于点，由任意角的三角函数的定义得 sin α＝，，则．故选： B．【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义和正弦两角和的计算公式，属于基础题.6.如图，先画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第 2 个正方形，依此类推，得到第 4 个正方形. 在正方形内随机取一点，则此点取自正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】 C【解析】【分析】结合图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的．则四边形的面积构成公比为的等比数列，由几何概型概率的求法即可得到.【详解】观察图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的，四边形的面积构成公比为的等比数列，∴第n 个正方形的面积为，即第四个正方形的面积.∴根据几何概型的概率公式可得所投点落在第四个正方形的概率为P＝，故选： C．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出正方形面积之间的关系是解决本题的关键，属于基础题 .7.已知是双曲线渐近线上的点，则双曲线的离心率是（）A. 2B.C.D.【答案】 A【解析】【分析】由在双曲线的渐近线上，得=，由e=计算可得.【详解】因为双曲线的渐近线方程为y=，在渐近线上，所以=，则e==2.故选： A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，也考查了渐近线方程的应用，属于基础题.8.函数图象的一条对称轴方程为（）A. B.C. D.【答案】 D【解析】【分析】由，得x，取k值得答案．【详解】由，得x＝，k∈ Z．取k＝0，可得x＝．∴函数 y＝ sin（）的图象的一条对称轴方程为x＝．故选： D．【点睛】本题考查了y＝ Asin （ωx+φ）型函数的一条对称轴，属于基础题．9.已知，为椭圆的左，右焦点，为的短轴的一个端点，直线与的另一个交点为，若为等腰三角形，则（）A. B. C. D. 3【答案】 A【解析】【分析】设 |AF1 |＝ t（ t＞ 0），由已知条件得出|AB| ＝ |AF2|，结合椭圆的定义得出，可求出|AF1|和|AF2|，即可求出答案．腰三角形，则|AB| ＝ |AF2 |，即 a+t＝ 2a﹣ t，所以，所以，因此故选： A ．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，利用椭圆的定义是解决本题的关键，属于中档题．10.在数学历史中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中. 任意一个凸多面体的顶点数、棱数、面数之间，都满足关系式，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为（）A. 10B. 12C. 15D. 20【答案】 B【解析】【分析】由题意得面数=20 ， F=E，再由关系式，可得V.【详解】因为一个凸二十面体的每个面均为三角形，所以面数=20 ，顶点数、棱数的关系为F=E，由任意一个凸多面体的顶点数、棱数、面数之间，都满足关系式，所以V- f+20=2,得V=12.故选： B.【点睛】本题考查了利用欧拉公式求顶点数的应用，属于基础题.11.已知函数，若函数的图象在处切线的斜率为，则的极大值是（）A. B.C. D.【答案】 A【解析】【分析】由函数的图象在处切线的斜率为，得，从而得m=0，进而得 f （x）的单调性，即可得极大值=.【详解】因为函数，所以，由函数的图象在处切线的斜率为，所以=3e，所以 m=0. 即=0 的根 -2,0 ，因为，所以函数递增，在递减，在递增，所以函数的极大值=.故选： A.【点睛】本题考查了函数切线斜率的应用和求函数的极大值的问题，利用导数判断函数的单调性是关键，属于中档题 .12.在棱长均为的四面体中，点为的中点，点为的中点.若点，是平面内的两动点，且，，则的面积为（）A. B. 3C. D. 2【答案】 C【解析】【分析】建立直角坐标系，写出B,E,F 的坐标，设M(x,y,0) 的坐标，由，得出M的轨迹，同理得出N 的轨迹，由，即可得到的面积 .【详解】建立直角坐标系如图所示，，底面为等边三角形，且D=2,B(-，-1，0)，D(0,2,0),C(，-1，0), . 所以 O点为的中点，所以 E（，， 0），点为的中点， F（ -， -， 0），设 M （ x,y,0） ,，，化简得，且点 M 是平面 BCD 内的动点，所以点M在以（ 0,0 ）为圆心，以 1 为半径的圆上，又，且点N是平面BCD内的动点，同理N 也在这个圆上，且，所以MN为圆的直径，因为AO面BCD，所以AO MN ，且 AO=，.故选： C.【点睛】本题考查了空间向量解决点的轨迹问题，圆的几何性质和三角形的面积的运算，属于中档题.二、填空题：本題共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知向量，，若，则______ .【答案】 2【解析】【分析】由得=0 ，计算可得t 的值 .【详解】已知向量，，所以=.，得= =3+9-6t=0 ，所以 t=2.故答案为： 2.【点睛】本题考查了向量的减法和数量积的运算，属于基础题.14.设，，，若是的充分不必要条件，则的值可以是______.（只需填写一个满足条件的即可）【答案】（的任意数均可）【解析】【分析】由得q m<1即可 .： 0<x<1，由是的充分不必要条件，得0<【详解】由q0<x<1，又，，若是的充分不必要条件，则，得 0<x<1, 所以：所以 0<m<1, 满足题意的 m= （的任意数均可） .故答案为：（的任意数均可）【点睛】本题考查了不等式的计算和充分不必要条件的应用，属于基础题.15.在中，已知，，，则______.【答案】 3【解析】【分析】在中，，，由余弦定理得. AB【详解】在中，已知，，，由余弦定理得,得 AB=3或-1（舍） .故答案为： 3【点睛】本题考查了余弦定理解三角形的边长的应用，属于基础题.16.如图，在矩形中，已知，，点，分别在、上，且. 设，当四边形的面积取得最大值时，则______ .【答案】【解析】【分析】运用直角三角形的正切函数的定义和三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，注意等号成立的条件，可得所求值．【详解】在直角三角形ABE 中，可得BE＝ 4tan θ，（ 0<tan θ<1），在直角三角形ADF 中， DF ＝ 3tan（ 45°﹣θ），可得四边形AECF 的面积 S＝12﹣ ?4?4tan θ﹣ ?3?3tan（ 45°﹣θ）＝ 12﹣ 8tan θ﹣ ?＝ 20﹣ 8（1+tan θ） + ?（ 1﹣）＝81+tan θ﹣（）﹣≤﹣ 2＝﹣ 12，当且仅当8，即 tan θ＝﹣ 1，且满足0＜ tan θ＜ 1则四边形AECF 的面积取得最大值．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查四边形的面积的最值，注意运用间接法和三角形的面积、以及正切函数的定义和基本不等式的运用，属于中档题．三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列是等比数列，公比，若，.（ 1）求的通项公式；（ 2）设，求数列的前项和 .【答案】（ 1）；（2）.【解析】【分析】（ 1）利用已知条件建立方程组，求出数列的首项和公比，进一步求出数列的通项公式．（ 2）利用（1）的结论，进一步利用等差数列的前n 项和公式求出结果．【详解】（ 1）由已知得则或（舍去） .所以.（ 2）因为.所以数列是首项为2，公差为 -1 的等差数列 .设数列的前项和为，所以.【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题．18.“中国大能手”是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类节目，旨在通过该节目，在全社会传播和弘扬“劳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚. 某公司准备派出选手代表公司参加“中国大能手”职业技能挑战赛 . 经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好.已知这两位选手在 15 次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间（单位：秒）及挑战失败（用“×”表示）的情况如下表 1：序号123456789101112131415甲×9693×92×9086××8380787775乙×95×93×92×8883×8280807473据表 1 中甲、乙两选手完成该项关键技能挑战成功所用时间的数据，应用统计软件得下表2：数字特征均值（单位：秒）方差方差甲8550.2乙8454（ 1）在表 1 中，从选手甲完成挑战用时低于90 秒的成绩中，任取 2 个，求这 2 个成绩都低于80 秒的概率；（2）若该公司只有一个参赛名额，以该关键技能挑战成绩为标准，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由.【答案】（ 1）；（2）选手乙，见解析.【解析】【分析】（1）用列举法求出基本事件数，求出所求的概率值；（2）根据甲、乙选手的均值和方差，选出均值高且方差小的选手参赛更合适．【详解】（ 1）选手甲完成挑战用时低于90 秒的成绩共有 6 个，其中低于80 秒的有 3 个，分别记为，，，其余的 3 个分别记为，，，从中任取 2 个的所有取法有：，，，，，，，，，，，,，，共种，其中 2 个成绩都低于80 秒的有 3 种，所以，所取的 2 个成绩都低于80 秒的概率.（ 2）甲、乙两位选手完成关键技能挑战成功的次数都为10 次，失败次数都为 5 次，所以，只需要比较他们完成关键技能挑战成功的情况即可，其中，（秒），（秒），，，选手乙代表公司参加技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战练习中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，但，乙选手用时更短，从表格中数据整体看，他们的用时逐步减少，由，这说明乙选手进步幅度更大，成绩提升趋势更好.【点睛】本题考查了列举法求古典概型的概率问题，也考查了样本的数字特征应用问题，属于基础题．19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱上的一点 .（ 1）证明：平面；（ 2）若平面，求的值；（ 3）在（ 2）的条件下，三棱锥的体积是18，求点到平面的距离 .【答案】（ 1）见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（ 1）推导出 BC ⊥PD，BD ⊥BC ，由此能证明BC ⊥平面 PBD．（ 2）连结 AC ，交 BD 于 O，连结 OE，由 PA∥平面 BDE ，得 OE∥ PA，由此能求出．（3）B到平面PCD的距离d＝＝ 3，设PD＝a，则＝=，由三棱锥P﹣ BDE 的体积是18，求出 PD＝ a ＝ 6，设点 D 到平面 PAB 的距离为h，由 V P﹣ABD＝ V D﹣PAB，能求出 D 点到平面PAB 的距离．【详解】（ 1）∵在四棱锥P﹣ ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PD⊥平面 ABCD ，∴ BC⊥ PD，∵ AD ＝BD ＝ 6，AB ＝ 6，BC＝AD，∴ BD2+BC2＝CD2，∴ BD⊥ BC，∵PD∩BD ＝D ，∴ BC⊥平面 PBD ．（ 2）连结 AC 交 BD 于 O，连结 OE ，则 O 是 AC 的中点，∵ PA∥平面 BDE ，∴ OE∥ PA，∴ E 是 PC 的中点，∴＝．（ 3）B 到平面 PCD 的距离 d＝＝3，设PD＝a，则＝＝，∵三棱锥 P﹣BDE 的体积是18，∴V P﹣BDE＝ V B﹣PDE＝＝＝18，解得PD＝a＝6，设点 D 到平面 PAB 的距离为h，∵ PD⊥平面 ABCD ， AD ＝ BD ＝6， AB ＝ 6，∴ PA＝ PB＝＝6，∴＝ 18，＝＝ 18，∵ V P﹣ABD＝ V D﹣PAB，∴，∴ h＝＝＝2．∴ D点到平面PAB的距离为2．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．20.过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点，（ 1）若线段中点的横坐标为3，求的值；（ 2）求的取值范围.【答案】（ 1） 8 ；（ 2）.【解析】【分析】（ 1）设，，则，根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|. （ 2）由抛物线的定义可知||AF|?|BF|＝＝ m2 y1 y2，再根据韦达定理和判别式即可求出．【详解】（ 1）设，，则，由抛物线的定义知.（ 2）设，，直线的方程为.由得即，.由，得.由抛物线的定义知，.则.因为，所以.故的取值范围是.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系和抛物线定义的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.21.已知函数.（ 1）讨论的单调性；（ 2）若，，证明：.【答案】（ 1）函数是上的减函数；（2）见解析.【解析】【分析】（ 1）求出函数 f （ x）的定义域，并对函数f（ x）求导，确定 f ′（x）的正负，即可确定函数 f （ x）在定义域上的单调性；（ 2）设 a＞ b＞0，分为两个不等式和．证明不等式时，转化为，换元t= >1，转化为，通过函数f（ x）在区间（ 1， +∞）上的单调性来证明；证明不等式，转化为，换元 x= >1 ，构造函数，通过函数 g（ x）在区间（ 1，+∞）的单调性来证明．【详解】（ 1）函数 f（ x）的定义域为（0，+∞） ,，所以，函数 f（ x）在定义域（ 0， +∞）上单调递减；（ 2）假设 a＞b＞ 0．先证明不等式，即证，即证，令，则原不等式即为，其中 t＞ 1，由（ 1）知，函数 f（ x）在（ 0，+∞）上单调递减，当 t＞1 时， f （ t）＜ f（ 1）＝ 0，即，即，所以，当 a＞ b＞ 0 时，．下面证明．即证，即，令，即证，其中 x＞1，构造函数，其中 x＞ 1，，所以，函数g（ x）在区间（ 1， +∞）上单调递增，所以，g（ x）＞ g （ 1）＝ 0，所以，当x＞ 1 时，，所以，当a＞ b＞ 0 时，．综上所述，当a＞ 0，b＞ 0 时，．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值和最值，解决本题的关键在于构造合适的函数，利用单调性来处理问题，属于中档题．22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（ 1）求的极坐标方程；（ 2）若曲线的极坐标方程为，直线与在第一象限的交点为，与的交点为（异于原点），求.【答案】（ 1）；（ 2）.【解析】【分析】（ 1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）由极径的应用求出结果．【详解】（1）曲线 C1的参数方程为（t 为参数）．转换为直角坐标方程为：，转换为极坐标方程为：222﹣ 9＝0．ρ+8ρsin θ（ 2）因为，两点在直线上，可设，.把点的极坐标代入的方程得：，解得.由己知点在第一象限，所以.因为异于原点，所以把点的极坐标代入的方程得：，解得.所以，.【点睛】本题考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．。

云南昆明市高三上学期摸底调研统测数学文试题含解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数z 满足()25i z -=,则z =（）A ．2i +B ． 2i -C ． 2i --D ．2i -+【答案】A【解析】试题分析：因为()25i z -=, 所以()()()()5252522225i i z i i i i ++====+--+，故选A. 考点：复数的基本运算.2.设集合(){}{}|30,|1A x x x B x x =-≥=<,则AB =（） A ．(][),03,-∞+∞ B ．()[),13,-∞+∞C ．(),1-∞D ．(],0-∞【答案】D考点：1、集合的表示方法；2、集合的交集.3.已知向量()(),3,3,3a x b ==-,若a b ⊥,则a =（）A ． 1B D ．2【答案】D 【解析】试题分析：因为()(),3,3,3a x b ==-,且a b ⊥，所以，330,1a b x x ⋅=-==，a =2=，故选D.考点：1、向量垂直的性质；2、平面向量数量积公式.4.执行如图所示的程序框图,如果输入的1,1a b ==,那么输出的值等于（）A ．21B ．34C ．55D ．89 【答案】C考点：1、程序框图；2、循环结构.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5.已知函数()f x 是奇函数, 当0x >时,()()2log 1f x x =+, 则()3f -=（）A ． 2B ． 2-C ．1D ． 1-【答案】B【解析】试题分析：因为函数()f x 是奇函数且0x >时,()()2log 1f x x =+，所以()()()233log 312f f -=-=-+=-，故选B.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及对数的性质.6.如图，某几何体的三视图由半径相同的圆和扇形构成, 若府视图中扇形的面积为3π, 则该几何体的体积等于（）A ．8πB ．163π C ．4π D ．43π 【答案】A考点：1、几何体的三视图；2、球的体积公式.7.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,则2z x y =+的最大值为（）A ． 3B ． 6C ．7D ．8【答案】C【解析】试题分析：画出约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的可行域，如图，平移直线2x y z +=，直线经过点()1,3B 时，z 取得最大值1237+⨯=，故选C.考点：线性规划．8.为了得到函数sin cos y x x=+的图象, 可以将函数4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（） A ．向左平行移动4π个单位 B ．向右平行移动4π个单位 C ．向左平行移动2π个单位 D ．向右平行移动2π个单位【答案】C考点：1、两角差的正弦公式；2、诱导公式及三角函数图象的平移变换.9.如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为15, 若直角三角形的两条直角边的长分别为(),a b a b >,则b a=（）A ．13B ．12 CD ．2【答案】B【解析】试题分析：设小正方形的边长为x ，则大正方形边长为x 5，x a b +=，()222222555510b a x b a a b ab +==-=+-，化为()()2222522a b ab a b a b +-=--，因为a b >，所以2b a =，b a =12，故选B. 考点：1、正方形的面积及勾股定理；2、几何概型概率公式.10.点,A F 分别是椭圆22:11612x y C +=的左顶点和右焦点, 点P 在椭圆C 上, 且PF AF ⊥,则AFP ∆的面积为（）A ． 6B ．9C ．12D ．18【答案】B考点：1、椭圆的标准方程及几何性质；2、三角形面积公式.11. 如图, 在正方体1111ABCD A BC D -中,2AB =, 平面α经过11B D ，直线1AC α,则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A ．C ．D【答案】D【解析】试题分析：设1111B D AC F =，1AA 中点为E ，连接EF ，由中位线定理得1EF AC ，因为 EF ⊂平面11EB D ，1AC ⊄平面11EB D ，所以1AC 平面11EB D，1112EB D S ∆=⨯=故选D.A 11考点：1、正方体的性质及三角形中位线定理；2、三角形面积公式及线面平行的判定定理.【方法点晴】本题主要考查正方体的性质及三角形中位线定理、三角形面积公式及线面平行的判定定理.属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可根据几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题就是利用方法①先证明1AC 平面11EB D 而后求解的.12.若存在实数a ,当1x ≤时,12x ax b -≤+ 恒成立, 则实数b 的取值范围是（）A ． [)1,+∞B ．[)2,+∞C ．[)3,+∞D ．[)4,+∞【答案】A考点：1、分段函数的解析式及图象；2、不等式恒成立、数形结合思想及选择题的特殊值法.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、不等式恒成立、数形结合思想及选择题的特殊值法，属于难题.特殊值法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知数列{}n a 满足: )2111,1n a a +==,则5a = ．【答案】25【解析】试题分析：因为)2111,1n a a +==，1=，1==为首项，以1()111n n =+-⨯=，225,525n a n a ===，故答案为25. 考点：1、等差数列的定义；2、等差数列的通项公式.14.在ABC ∆中,60ABC ∠=, 且5,7AB AC ==,则BC = ．【答案】8考点：1、正弦定理及余弦定理；2、三角形内角和定理及两角和的余弦公式.15.已知1,1a b >>,且()22ab a b +=+,则ab 的最小值为．【答案】6+【解析】试题分析：因为()22ab a b +=+≥)222≥，因为1,1a b >>，所以26ab ≥+，即ab 的最小值为6+6+考点：1、基本不等式的应用；2、不等式的性质及最值的求法.【方法点睛】本题主要考查基本不等式的应用、不等式的性质及最值的求法，属于难题.求最值的常见方法有 ①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值，本题主要应用方法③求ab 的最小值的.16.函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩,若方程()13f x mx =-恰有四个不等的实数根, 则实数m 的取值范围是．【答案】13⎛ ⎝由BC 绕点C 转至切线BA 过程中，()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩与13y mx =-有四个交点，所以m 的取值范围是13⎛ ⎝，故答案为13⎛ ⎝.考点：1、分段函数的解析式及图象；2、导数的几何意、方程的根与函数图象交点的关系及数形结合思想.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、导数的几何意、方程的根与函数图象交点的关系及数形结合思想，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形相互转化来解决数学问题，这种思想方法在解题中运用的目的是化抽象为直观，通过直观的图像解决抽象问题，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特的功效，大大提高了解题能力与速度.本题通过()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩与13y mx =-图象交点来解决方程根的个数问题正是体现了这种思想.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且211n n S a n ++=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =,求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）()2413n n T =-.考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列前n 项和公式.18.（本小题满分12分））如图, 四棱锥P ABCD -中, 平面PAD ⊥平面ABCD , ,,1,4,3,AB CD AB BC CD BC AB PA PD E⊥=====为线段AB 上一点,1,2AE BE F = 为PD 的中点.（1）证明:PE 平面ACF ；（2）求三棱锥B PCF -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23.（2）连接BD ,取AD 的中点G ,连接PG ,由PA PD =得,PG AD ⊥平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面,,,ABCD AD PG AD PG =⊥∴⊥平面ABCD ,在Rt CBE∆中,CE ==在等腰PAD ∆中,2AD PG =∴===.11141423323P BCD BCD V S PG -∆∴==⨯⨯⨯⨯=,112323F BCD BCD V S PG -∆==,23B PCF P BCF P BCD F BCD V V V V ----∴==-=. 考点：1、线面平行的判定定理；2、“等积变换法”及“割补法”求几何体的体积. 19.（本小题满分12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该公司从注册的会员中, 随机抽取了100位进行统计, 得到统计数据如下:假设汽车美容一次, 公司成本为150元, 根据所给数据, 解答下列问题: （1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润；（3）设该公司从至少消费两次, 求这的顾客消费次数用分层抽样方法抽出8人, 再从这8人中抽出2人发放纪念品, 求抽出2人中恰有1人消费两次的概率. 【答案】（1）0.4P =；（2）45；（3）47.（2）该会员第1次消费时, 公司获得利润为20015050-=(元), 第2 次消费时, 公司获得利润为2000.9515040⨯-=(元), 所以, 公司这两次服务的平均利润为5040452+=(元). (3) 至少消费两次的会员中, 消费次数分别为1，2，3，4，5的比例为20:10:5:54:2:1:1=,所以抽出的8人中, 消费2次的有4人, 设为1234,,,A A A A ,消费3次的有2人, 设为12,B B ,消费4次和5次的各有1人, 分别设为,C D ,从中取2人, 取到1A 的有:121314111211,,,,,,A A A A A A A B A B AC A D 共7种;去掉1A 后, 取到2A 的有:2324212222,,,,,AA A A AB A B AC AD 共6种; 去掉123412,,,,,A A A A B B 后, 取到C 的有:CD 共1种, 总的取法有765432128n =++++++=种,其中恰有1人消费两次的取法共有：444416m =+++=种，所以, 抽出2人中恰有1人费两次的概率为164287m P n ===. 考点：1、古典概型概率公式；2、分层抽样的应用及平均值的求法.20.（本小题满分12分）已知点F 是拋物线()2:20C y px p =>的焦点, 若点()0,1M x 在C上, 且054x MF =. （1）求p 的值；（2）若直线l 经过点()3,1Q -且与C 交于,A B (异于M )两点, 证明: 直线AM 与直线BM 的斜率之积为常数. 【答案】（1）12p =；（2）证明见解析.试题解析：（1）由抛物线定义知02p MF x =+,则00524p x x +=,解得02x p =,又点()0,1M x 在C 上, 代入2:2C y px =,得021px =,解得011,2x p ==.（2）由（1）得()21,1,:M C y x =,当直线l 经过点()3,1Q -且垂直于x 轴时,此时((,3,A B ,则直线AM的斜率AM k =,直线BM的斜率BM k =所以12AM BM k k =-=-.当直线l 不垂直于x 轴时, 设()()1122,,,A x y B x y , 则直线AM 的斜率111211111111AM y y k x y y --===--+,同理直线BM 的斜率21212121111,1111BM AM BM k k k y y y y y y y =∴==++++++,设直线l 的斜率为()0k k ≠,且经过()3,1Q -,则直线l 的方程为()13y k x +=-.联立方程()213y k x y x⎧+=-⎪⎨=⎪⎩,消x 得,2310ky y k ---=,所以12121311,3k y y y y k k k++==-=--,故1212111111231AM BM k k y y y y k k===-+++--++,综上, 直线AM 与直线BM 的斜率之积为12-.考点：1、待定系数法求抛物线方程；2、直线与抛物线的位置关系、韦达定理及定值问题. 【方法点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、韦达定理及定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.本题就是根据方法②求得直线AM 与直线BM 的斜率之积为定制12-的. 21.（本小题满分12分）已知函数()xf x e ax =+,曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（1）求实数a 的值及函数()f x 的单调区间；（2）若()()0,1b f x b x c >≥-+,求2b c 的最大值.【答案】（1）1a =-，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞,单调递减区间为(),0-∞；（2）213e .试题解析：（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞,因为()'xf x e a =+,由已知得()'00,1f a =∴=-,当0x >时, ()'10xf x e =->,当0x <时, ()'0f x <,所以函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞,单调递减区间为(),0-∞.（2）不等式()()1f x b x c ≥-+转化为xe bx c -≥,令()x g x e bx =-,()'xg x e b =-,由()'0g x >得,()ln ,'0x b g x ><得ln x b <,所以函数()g x 在(),ln b -∞上为减函数, 在()ln ,b +∞上为增函数, 所以()()min ln ln ,ln g x g b b b b c b b b ==-∴≤-,233ln b c b b b ∴≤-,令()33ln h b b b b =-,则()()2'23ln h b b b =-,由()'0h b >得()230,'0b e h b <<<得23b e >,所以函数()h b 在230,e ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函考点：1、导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()'0f x >，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()'0f x <，解不等式得x 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 在ABC ∆中,90BAC ∠=, 以AB 为直径的O 交BC 于点,D E 是边AC 上一点,BE 与O交于点F ,连接DF .（1）证明:,,,C D F E 四点共圆；（2）若3,5EF AE ==,求BD BC 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）4009. 【解析】试题分析：（1）由直角三角形相识C DAB ∠=∠，圆周角定理得DAB DFB ∠=∠，从而C DFB ∠=∠进而可证结论；（2）先根据射影定理求得253EB =，从而得16,3BF =进而利用相交弦定理可得BD BC 的值. 试题解析：（1）证明: 连接,AD AB 是O 的直径,90,90ADB DAB DBA ∴∠=∴∠+∠=,90,90,BAC C DBA C DAB ∠=∴∠+∠=∴∠=∠,,,180BD BD DAB DFB C DFB DFE DFB =∴∠=∠∴∠=∠∠+∠=, 180,,,,DFE C C D F E ∴∠+∠=∴四点共圆.考点：1、四点共圆的判定；2、圆周角定理及相交弦定理. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是16cos 2sin 0ρθθρ-++=,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy 中, 直线l 经过点()3,3P ,倾斜角3πα=.（1）写出曲线C 直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）设l 与曲线C 相交于,A B 两点, 求AB 的值.【答案】（1）()()22319x y -++=，132(32x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)；（2）226210x y x y +-++=,化为标准方程是()()22319x y -++=,直线l 的参数方程为3cos 33sin3x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,即为参数). （2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程,得 ,整理得:270t ++=,(247200∆=-⨯=>,则12127t t t t +=-=,所以121248AB t t t =-==-=考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、直线参数方程的几何意义的应用. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x m x m=++-,其中0m >. （1）当1m =时, 解不等式()4f x ≤；（2）若a R ∈,且0a ≠,证明:()14f a f a ⎛⎫-+≥⎪⎝⎭.【答案】（1）[]2,2-；（2）证明见解析.()1121411112a m m a a a f a f a a a m a m a ⎫-+++≥+≥⎪⎪⎛⎫⇒-+≥⎬ ⎪⎝⎭⎪--+-≥+≥⎪⎭. 考点：1、绝对值不等式的解法；2、绝对值不等式的证明.。

云南省数学高三上学期文数期末测试卷( 一诊康德卷)

云南省数学高三上学期文数期末测试卷（一诊康德卷)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·浙江) 已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则 =（）A . {-1}B . {0，1}C . {-1，2，3}D . {-1，0，1，3}2. （2分）(2020·吉林模拟) 复数（为虚数单位），则等于（）A . 3B .C . 2D .3. （2分）设函数.若从区间内随机选取一个实数,则所选取的实数满足的概率为（）A . 0.5B . 0.4C . 0.3D . 0.24. （2分）设函数，则=（）A .B . 3C .D .5. （2分） (2019高一上·淄博期中) 设集合，集合，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160, 则中间一组（即第五组）的频数为（）A . 12B . 24C . 36D . 487. （2分）(2019·天津模拟) 阅读如图的框图，则输出的（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高一上·吉林期末) 已知非零向量，满足，且，则与的夹角是（）A .B .C .D .9. （2分）若ab≠0且a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A .B . a2＜b2C . a2＞b2D . 2a＜2b10. （2分）设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球的表面积之比为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二上·哈尔滨月考) 若直线和轴，轴分别交于点，以线段为边在第一象限内做等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则的值为（）A .B .C .D .12. （2分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A . y=±2xB . y=xC . y=xD . y=x二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·衡阳月考) ，设函数图像上点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是________．14. （1分） (2019高一上·昌吉月考) 函数最大值为________．15. （1分）已知等比数列{an}的各项都是正数，且a4a10=16，则a7=________．16. （1分） (2018高二下·无锡月考) 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，若函数有5个零点，则实数m的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高三上·长宁期中) 数列{an}的前n项和记为Sn且满足Sn=2an﹣1，n∈N*；（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n+1anan+1 ，求{Tn}的通项公式；（3）设有m项的数列{bn}是连续的正整数数列，并且满足：lg2+lg（1+ ）+lg（1+ ）+…+lg（1+ ）=lg（log2am）．问数列{bn}最多有几项？并求出这些项的和．18. （10分）(2020·滨州模拟) 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数174162502631附：0.050.0250.0103.841 5.024 6.635，其中（1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）2050岁以下9总计40（3）以这200名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入硏究，该研究团队在该地区随机调查了10名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？19. （10分） (2017高一上·武邑月考) 如图，是圆柱的母线，是的直径，是底面圆周上异于的任意一点，， .（1）求证：（2）当三棱锥的体积最大时，求与平面所成角的大小；（3）上是否存在一点，使二面角的平面角为45°？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由.20. （10分） (2016高三下·习水期中) 已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．21. （10分）(2020·淮南模拟) 已知函数，在区间有极值．（1）求的取值范围；（2）证明：．22. （10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系．（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；（2）求曲线C和直线l的交点的极坐标．23. （10分）已知a2+b2=1,x2+y2=1 ，求证： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

2019-2020学年云南省昆明市昆三十第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2019-2020学年云南省昆明市昆三十第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则A. B.C. D.参考答案：B略2. 已知函数（为自然对数的底数），若f(x)的零点为，极值点为，则（）A.－1B. 0C. 1D. 2参考答案：C【分析】令可求得其零点，即的值，再利用导数可求得其极值点，即的值，从而可得答案．【详解】解：，当时，，即，解得；当时，恒成立，的零点为．又当时，为增函数，故在，上无极值点；当时，，，当时，，当时，，时，取到极小值，即的极值点，．故选：C．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题．3. 某班有34位同学，座位号记为01,02,…34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是（）A．23 B．09 C．02 D．16参考答案：试题分析:从随机数表第一行的第列和第列数字开始，由左到右依次选取两个数字，不超过的依次为：，第四个志愿者的座号为，故选.考点：随机抽样.4. 已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值………（）．.恒为正数恒为负数.恒为0 .可正可负参考答案：AT T T同理，，，…，，又，以上各式相加，得. 选A.5. 从2006名学生中选取50名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从2006名学生中剔除6名，再从2000名学生中随机抽取50名. 则其中学生甲被剔除和被选取的概率分别是（）A． B． C． D．参考答案：C6. 在（x﹣2）10展开式中，二项式系数的最大值为 a，含x7项的系数为b，则=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，即可得出结论．【解答】解：由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，∴=﹣，故选D．7. 执行如图所示的程序框图，输出的n为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，f（x）=1，满足f（x）=f（﹣x），不满足f（x）=0有解，故n=2；当n=2时，f（x）=2x，不满足f（x）=f（﹣x），故n=3；当n=3时，f（x）=3x2，满足f（x）=f（﹣x），满足f（x）=0有解，故输出的n为3，故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8. 设，，，则（）A. B. C. D.参考答案：A由指数函数的性质可得，结合对数函数的性质有，综上可得，.本题选择A选项.9. 过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程是A． B．C． D．参考答案：D10. 已知函数f（x）=，若f（8﹣m2）＜f（2m），则实数m的取值范围是（）A．（﹣4，2）B．（﹣4，1）C．（﹣2，4）D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）参考答案：A【考点】分段函数的应用．【分析】先求出函数的单调性，根据函数单调性的性质得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f（x）在R上单调递减，由f（8﹣m2）＜f（2m），得：8﹣m2＞2m，解得：﹣4＜m＜2，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在平面直角坐标系x O y中，点A为椭圆E ：的左顶点，B、C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆E的离心率等于．参考答案：12. 三棱锥ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若，，则___________．参考答案：易知四边形EFGH是平行四边形，,，所以，,所以.13. 设x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为________．参考答案：514. 若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为．参考答案：15. 等比数列前n项的乘积为，且，则=__________．参考答案：512略16. 若函数（a＞0，a≠1）的值域是（﹣∞，﹣1]，则实数a的取值范围是．参考答案：[，1）【考点】函数的值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的性质求出f（x）在（﹣∞，2]的最大值，从而判断出a的范围即可．【解答】解：x≤2时：f（x）=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，对称轴x=1，f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，2]递减；∴f（x）的最大值是﹣1，而f（x）的值域是（﹣∞，﹣1]，故0＜a＜1，∴≤﹣1，解得：a≥，故答案为：[，1）．【点评】本题考查了分段函数问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道基础题．17. 若点（1，3）和（﹣4，﹣2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是．参考答案：﹣5＜m＜10考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：将点（1，3）和（﹣4，﹣2）的坐标代入直线方程，使它们异号，建立不等关系，求出参数m即可．解答：解：将点（1，3）和（﹣4，﹣2）的坐标代入直线方程，可得两个代数式，∵在直线2x+y+m=0的两侧∴（5+m）（﹣10+m）＜0解得：﹣5＜m＜10，故答案为﹣5＜m＜10．点评：本题主要考查了简单的线性规划，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

云南省数学高三上学期文数第一次教学质量诊断性考试试卷

云南省数学高三上学期文数第一次教学质量诊断性考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）(2017·自贡模拟) 设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x||x|＞2}，则A∩B=（）A . （2，3）B . （﹣2，3）C . （0，2）D . （﹣2，0）2. （1分） (2019高二上·新蔡月考) 下列关于命题的说法正确的是（）A . 命题“若，则”的否命题为：“若，则”；B . “ ”是“ ”的必要不充分条件C . 命题“ 、都是有理数”的否定是“ 、都不是有理数”D . 命题“若，则”的逆否命题为真命题.3. （1分）已知函数若在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A .B .C .D .4. （1分）函数y=tan（3x+1）的最小正周期是（）A .B .C .D . π5. （1分）(2019·浙江模拟) 定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数至少有6个零点，则的取值范围是（）A .B .C .D .6. （1分） (2018高二上·杭锦后旗月考) 设，，则是成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （1分） (2019高一上·明光月考) 已知，且，则（）A .B .C .D .8. （1分） (2019高三上·浙江月考) 已知某空间几何体的三视图如图所示，每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .9. （1分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A .B .C .D .10. （1分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若它的终边经过点P（2，3），则=（）A .B .C .D .11. （1分）设函数f(x)=Asin（）(A>0,>0,-<<)的图象关于直线x=对称,且周期为π,则f(x)（）A . 图象过点(0,)B . 最大值为-AC . 图象关于(π,0)对称D . 在[,]上是减函数12. （1分） (2019高二下·萨尔图期末) 函数在上的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·沈阳月考) 若 ,求 ________14. （1分）在△ABC中，B= ，BC=2，点D、E分别在边AB、AC上，AD=DC，DE⊥AC，且DE≥ ，则∠ACB 的最大值为________．15. （1分） (2020高二下·苏州期中) 设函数是以4为周期的奇函数，当时，，则 ________.16. （1分） (2019高二下·温州月考) 一球内切于底面半径为，高为3的圆锥，则内切球半径是________；内切球与该圆锥的体积之比为________；三、解答题 (共7题；共14分)17. （2分）(2017·漳州模拟) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b≠c，且bcosB=ccosC，延长线段BC到点D，使得BC=4CD=4，∠CAD=30°，（Ⅰ）求证：∠BAC是直角；（Ⅱ）求tan∠D的值．18. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 已知函数f（x）=x2（x-1）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．19. （2分）已知角α终边上一点P（1，﹣2），求的值．20. （2分）(2018·安徽模拟) 已知直角梯形ABCD中，，，，，，如图1所示，将沿BD折起到的位置，如图2所示．1 当平面平面PBC时，求三棱锥的体积；21. （2分） (2019高三上·西安月考) 己知函数 .( 是常数，且（）（Ⅰ）求函数的单调区间；22. （2分）(2019·随州模拟) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线（1）求和的极坐标方程；（2）设射线与和分别交于异于原点的两点，求的最大值．23. （2分）(2017·榆林模拟) 设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，a∈M，b∈M（1）试比较ab+1与a+b的大小（2）设max表示数集A的最大数，h=max{ ，， }，求证h≥2．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共14分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。

云南省数学高三上学期文数“一诊”模拟考试试卷

云南省数学高三上学期文数“一诊”模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高一上·高台期中) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （1分）已知复数，为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .3. （1分）已知一组正数的方差为，则数据的平均数为（）A . 2B . 3C . 4D . 64. （1分） (2017高二下·鸡西期末) “x＞1”是“ ”的（）A . 充要条件B . 充分而不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件5. （1分） (2016高二上·郸城开学考) 在区间[﹣， ]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（）A .B .C .D .6. （1分） F(c,0)是椭圆的一个焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为m，最小值为n，则椭圆上与点F距离为的点是（）A .B .C .D . 不存在7. （1分）如果执行图中的程序框图，那么最后输出的正整数i＝（）A . 43B . 44C . 45D . 468. （1分）(2017·莱芜模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A . 8+8πB . 8+6πC . 6+8πD . 6+6π9. （1分）等比数列的各项为正，公比q满足，则的值为（）A .B . 2C .D .10. （1分）(2018·银川模拟) 已知函数的图象与直线交于两点，若的最小值为，则函数的一条对称轴是（）A .B .C .D .11. （1分） (2020高二上·大庆开学考) 蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点、、、，满足，，，则该鞠的表面积为（）A .B .C .D .12. （1分）已知双曲线﹣=1（a＞b＞0），直线l：y=x+t交双曲线于A、B两点，△OAB的面积为S（O 为原点），则函数S=f（t）的奇偶性为（）A . 奇函数B . 偶函数C . 不是奇函数也不是偶函数D . 奇偶性与a，b有关二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·新宁模拟) 已知△ABC是边长为2的等边三角形，=________14. （1分）(2019·随州模拟) 函数满足，且在区间上则的值为________．15. （1分） (2018高三上·济南月考) 等差数列的前项和为，，，则________.16. （1分） (2020高三上·清新月考) 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则不等式的解集为________．三、解答题 (共7题；共14分)17. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 在中，内角所对的边分别是，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积，且，求 .18. （2分） (2019高二下·金山月考) 如图，几何体中，是边长为2的正方形，为直角梯形，，，， .（1）求异面直线和所成角的大小；（2）求几何体的体积；（3）若平面ABCD内有一经过点B的曲线，该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰等于与所成角.试判断曲线的形状并说明理由.19. （2分）(2019·九江模拟) 某企业为了增加某种产品的生产能力，决定改造原有生产线，需一次性投资300万元，第一年的年生产能力为300吨，随后以每年40吨的速度逐年递减，根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，该设备的使用年限为3年，该产品的销售利润为1万元吨．1 根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；20. （2分） (2017高二下·孝感期中) 已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：△PF2Q 的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．21. （2分） (2019高三上·徐州月考) 已知函数，g（x）＝b（x﹣1），其中a≠0，b≠0（1）若a＝b，讨论F（x）＝f（x）﹣g（x）的单调区间；（2）已知函数f（x）的曲线与函数g（x）的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x1 ， x2 ，证明：．22. （2分）(2019·河北模拟) 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）设曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，求三条曲线，，所围成图形的面积.23. （2分） (2016高三上·贵阳模拟) 设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|；（1）解不等式f（x）≥1；（2）若对∀x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，求实数m的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共14分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。

云南省昆明市数学高三上学期文数期末考试试卷

云南省昆明市数学高三上学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·台州月考) 设集合，集合，则集合（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 已知为虚数单位，实数，满足，则（）A . 4B .C .D .3. （2分） (2019高二上·安徽月考) 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既非充分又非必要条件4. （2分）等差数列的前n项之和为，若为一个确定的常数，则下列各数中也可以确定的是（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·山东) 已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y= +m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A . （0，1]∪[2 ，+∞）B . （0，1]∪[3，+∞）C . （0，）∪[2 ，+∞）D . （0，]∪[3，+∞）6. （2分）在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二下·泸县期末) 的焦点到渐近线的距离为（）A .B . 2C . 1D .8. （2分）设a=logπ3，b=log34，c=log417，则（）A . a＞b＞cB . c＞b＞aC . a＞c＞bD . c＞a＞b9. （2分）函数的部分图象如图，则可以取的一组值是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一下·平罗期末) 已知函数（、、为常数），当时取极大值，当时取极小值，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高一下·衡阳期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A . 16B . 20+6πC . 14+2πD . 20+2π12. （2分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·淮安模拟) 设x，y满足约束条件，则目标函数z=xy的取值范围为________．14. （1分）(2014·江西理) 已知单位向量与的夹角为α，且cosα= ，向量 =3 ﹣2 与 =3 ﹣的夹角为β，则cosβ=________．15. （1分） (2019高二下·上海月考) 已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为________．16. （1分）(2020·杨浦期末) 己知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2019高二下·蕉岭月考) 已知椭圆M：（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），离心率，左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．（1）求椭圆M的方程；（2）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值，并求此时l的方程．18. （15分）(2017·抚顺模拟) 已知数列{an}的前n项和，且a1 ， a4是等比数列{bn}的前两项，记bn与bn+1之间包含的数列{an}的项数为cn ，如b1与b2之间包含{an}中的项为a2 ， a3 ，则c1=2．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{ancn}的前n项和．19. （5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB⊥AC，且AB=1，BC=2，PA⊥底面ABCD，PA= ，又E为边BC上异于B，C的点，且PE⊥ED．（1）求证：平面PAE⊥平面PDE；（2）求点A到平面PDE的距离．20. （10分） (2015高二下·福州期中) 已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）已知点A（0，1）和直线l：y=x+m，线段AB是椭圆E的一条弦且直线l垂直平分弦AB，求实数m的值．21. （10分） (2016高三上·大连期中) 已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b的值；（2）在（1）的条件下，证明f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立；（3）若a=1，b＞2e，求方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，eb）内实根的个数（e为自然对数的底数）．22. （10分）已知定点（1）将极点移至处极轴方向不变，求P点的新坐标.（2）极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

云南省高三上学期数学期末考试试卷

云南省高三上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2020·厦门模拟) 已知，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高一下·河北期末) 已知双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=5|PF2|，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A . （1， ]B . （1， ]C . [ ，+∞）D . （3，+∞）3. （2分）(2014·北京理) 若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A . 2B . ﹣2C .D . ﹣4. （2分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1=A1C1 ，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1 ， AB的中点，给出如下三个结论：①C1M⊥平面ABB1A1；②A1B⊥AM；③平面AMC1∥平面CNB1；其中正确结论的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分） (2015高二上·怀仁期末) 先将函数的图像向右平移一个单位，再将所得的图像关于y轴对称之后成为函数，则的解析式为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·船营期中) 若命题p：＜0，命题q：x2＜2x，则p是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2020高一下·重庆期末) 设等差数列的前n项和为，若，则（）A . 12B . 24C . 36D . 408. （2分）(2017高三下·重庆模拟) 设，，若直线与圆相切，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高三上·雷州期末) 正四面体中，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角不可能是（）A .B .C .D .10. （2分）若对任意的x1 ，x2∈[ ，2]，都有+x1lnx1≥x23﹣x22﹣3成立，则实数a的取值范围是（）A . （0，+∞）B . [1，+∞）C . （﹣∞，0）D . （﹣∞，﹣1]二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分）(2020·扬州模拟) 已知，其中i是虚数单位，则复数z的模为________.12. （1分）直角坐标平面上一机器人在行进中始终保持到两点A（a，0）和B（0，1）的距离相等，且机器人也始终接触不到直线L：y=x+1，则a的值为________．13. （1分） (2016高一下·黄陵开学考) 对定义域分别为D1 ， D2的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）= ，f（x）=x﹣2（x≥1），g（x）=﹣2x+3（x≤2），则h（x）的单调减区间是________．14. （1分）(2019高二上·双鸭山期末) 已知三棱锥的顶点都在球的球面上,,且平面，则三棱锥的体积等于________。

云南省昆明市2024届高三上学期1月“三诊一模”摸底诊断测试(期末)数学含解析

昆明市2024届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,6}B =，则()U A B ⋂=ð（）A .{1,2,3}B.{2,3,5}C.{1,3,5}D.{3,4,5}2.复数i2i+在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知F 是抛物线2:4C x y =的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则||MF =（）A. B. C.3D.44.在ABC 中，点D 满足4AD DB =，则（）A.1344CD CA CB=+ B.3144CD CA CB=+C.1455CD CA CB=+D.4155CD CA CB=+5.某学校运动会男子100m 决赛中，八名选手的成绩（单位：s ）分别为：13.09，13.15，12.90,13.16，12.96，13.11，x ，13.24，则下列说法错误的是（）A.若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155，则13.15x =B.若该八名选手成绩的众数仅为13.15，则13.15x =C.若该八名选手成绩的极差为0.34，则12.9013.24x ≤≤D.若该八名选手成绩的平均数为13.095，则13.15x =6.已知函数()sin cos f x x x =+，若存在[0,2π]x ∈，使得方程()f x m =有三个不等的实根1x ，2x ，3x 且123x x x <<，则321x x x --=（）A.2πB.3π2 C.πD.π27.若将函数()y f x =的图象平移后能与函数()y g x =的图象重合，则称函数()f x 和()g x 互为“平行函数”.已知1()221x f x =-+，2(2)2x x m g x ⋅=+互为“平行函数”，则m =（）A.2B.1C.1- D.2-8.第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作Rt AOB △，1OA =，30AOB ∠=︒，再依次作相似三角形BOC △，COD △，DOE △，……，直至最后一个三角形的斜边OM 与OA 第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（）A.111⎤⎥-⎢⎥⎝⎭⎣⎦B.11413⎤⎛⎫-⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C.121⎤⎥-⎢⎥⎝⎭⎣⎦D.12413⎤⎛⎫-⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1BD 与平面11BCC B 所成的角为π6，底面ABCD 是正方形，则（）A.1AA = B.1BD 与平面1111D C B A 所成的角为π4C.11BD DA ⊥ D.1AB ⊥平面1BCD 10.已知圆22:1O x y +=，直线:40l x y --=，点P 在直线l 上运动，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，当APB ∠最大时，则（）A.直线AB 的斜率为1B.四边形PAOB 的面积为72C.14||2AB =D.sin APB ∠=811.古希腊数学家托勒密（Ptolemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表.托勒密用圆的半径的160作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角 α（0360α︒<<︒）所对的弦长记为crd α.例如60︒圆心角所对弦长等于60个度量单位，即crd6060︒=.则（）A.crd3030︒=B.若crd 120α=，则180α=︒C .crd α=D.crd crd crd()αβαβ+>+（0360αβ︒<+<︒）12.已知函数()121,0e 1,0xx x f x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，()(())()g x f f x f x a =--，则（）A .当0a =时，()g x 有2个零点B.当32a =时，()g x 有2个零点C.存在a ∈R ，使得()g x 有3个零点D.存在a ∈R ，使得()g x 有5个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角θ的顶点为坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，点(1,)A a （a ∈Z ）在角θ终边上，且3OA ≤，则tan θ的值可以是______.（写一个即可）14.春节前夕，某社区安排小王、小李等5名志愿者到三个敬老院做义工，每个敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一个敬老院，且这5名志愿者全部安排完，则所有不同的安排方式种数为______.（用数字作答）15.已知双曲线2222: 1 (0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心作与C 的渐近线相切的圆，该圆与C 的一个交点为P ，若12F PF △为等腰三角形，则C 的离心率为______.16.已知球O 的表面积为36π，正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，则该正四棱锥P ABCD -体积的最大值为______.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC △中，cos 10BAC ∠=-，5sin 5ACB ∠=，AB =.（1）求ABC △的面积；（2）如图，//CD AB ，CB BD ⊥，求AD .18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，124n n a S =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求数列1{}nd 的前2024项和.19.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E 是线段PC 的中点，F 是线段BC 上一点，112PA AC BC ===，PB =（1）证明：平面AEF ⊥平面PBC ；（2）是否存在点F ，使平面AEF 与平面ABC 的夹角为π3？若存在，求CF ；若不存在，说明理由.20.聊天机器人（chatterbot ）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.（1）求一个问题的应答被采纳的概率；（2）在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为X ，事件X k =（0,1,,8k = ）的概率为()P X k =，求当()P X k =最大时k 的值.21.已知F 是椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b +=>>的右焦点，点0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在不过原点O 的直线l 上，l 交C 于A ，B 两点.当AOF ∠与BOF ∠互补时，||3AB =，||||AF BF +=.（1）求C 的方程；（2）证明：tan AOB S AOB∠△为定值.22.已知函数()()2212ln 22f x x ax x x ax =--+，R a ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，若()()211ln 2f x a a ≥-恒成立，求a 的取值范围.昆明市2024届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,6}B =，则()U A B ⋂=ð（）A.{1,2,3}B.{2,3,5}C.{1,3,5}D.{3,4,5}【答案】C 【解析】【分析】先求集合B 的补集，再求交集即可.【详解】由题U B =ð{1,3,4,5}，则()U A B ⋂=ð{1,3,5}.故选：C 2.复数i2i+在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】由复数的四则运算以及复数的几何意义即可得解.【详解】由题意()()()i 2i i 12i 22i 2i 5i -+==++-，所以复数i 2i+在复平面内对应的点为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，它在第一象限.故选：A.3.已知F 是抛物线2:4C x y =的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则||MF =（）A. B. C.3 D.4【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解.【详解】由已知得()0,1F ，由于M 的纵坐标为3，结合抛物线定义可得2||3422M p MF y =+=+=，故选：D4.在ABC 中，点D 满足4AD DB =，则（）A.1344CD CA CB=+B.3144CD CA CB=+C.1455CD CA CB=+D.4155CD CA CB=+【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量的加减法则，根据向量定比分点代入化简即可得出结果.【详解】如下图所示：易知()()4441455555CD CA AD CA AB CA AC CB CA CA CB CA CB +=+=++=+-+==+；即可得1455CD CA CB =+.故选：C5.某学校运动会男子100m 决赛中，八名选手的成绩（单位：s ）分别为：13.09，13.15，12.90,13.16，12.96，13.11，x ，13.24，则下列说法错误的是（）A.若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155，则13.15x =B.若该八名选手成绩的众数仅为13.15，则13.15x =C.若该八名选手成绩的极差为0.34，则12.9013.24x ≤≤D.若该八名选手成绩的平均数为13.095，则13.15x =【答案】A 【解析】【分析】举反例判断A,利用众数和平均数定义判断B 、D,分情况讨论x 判断C.【详解】对A,因为875%6⨯=，当13x =,八名选手成绩从小到大排序12.90,12.96,13,13.09,13.11,13.15,13.16,13.24,，故该八名选手成绩的第75%百分位数为13.1513.1613.1552+=，但1313.15x =≠，故A 错误；对B,由众数是出现次数最多的数据，B 正确；对C,当12.9x <，极差为13.240.34x ->，不符合题意舍去；当12.9013.24x ≤≤，极差为13.2412.90.34-=，符合题意当13.24x >，极差为12.90.34x ->不符合题意舍去，综上，12.9013.24x ≤≤，C 正确；对D,平均数为12.9012.9613.0913.1113.1513.1613.2413.095,8x+++++++=解得13.15x =，故D 正确.故选：A6.已知函数()sin cos f x x x =+，若存在[0,2π]x ∈，使得方程()f x m =有三个不等的实根1x ，2x ，3x 且123x x x <<，则321x x x --=（）A.2πB.3π2 C.πD.π2【答案】B 【解析】【分析】利用辅助角公式变形为π()sin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，画出[0,2π]x ∈图像，找到两函数交点位置，求出结果即可.【详解】π()sin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为2π，作出[0,2π]x ∈的图像，可知当1m =时，有三个根，π214x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即ππ2π44x k +=+或32ππ,Z 4k k +∈，解得根分别为π0,,2π2，又因为123x x x <<，所以3213π2x x x --=，故选：B.7.若将函数()y f x =的图象平移后能与函数()y g x =的图象重合，则称函数()f x 和()g x 互为“平行函数”.已知1()221x f x =-+，2(2)2x x m g x ⋅=+互为“平行函数”，则m =（）A.2B.1C.1- D.2-【答案】B 【解析】【分析】根据“平行函数”的定义，结合函数图象的变换关系求解即可.【详解】因为1()221x f x =-+，()111112122()22212121x x x x x x x m m m m m g x m -----+-⋅⋅====-++++，而将函数()y f x =的图象平移后能与函数()y g x =的图象重合，所以1m =，经检验符合题意，故选：B .8.第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作Rt AOB △，1OA =，30AOB ∠=︒，再依次作相似三角形BOC △，COD △，DOE △，……，直至最后一个三角形的斜边OM 与OA 第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（）A.11123⎡⎤⎛⎢⎥- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦B.114123⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C.12123⎡⎤⎛⎢⎥- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦D.124123⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】设第()*,112n n n ≤≤∈N 三角形的斜边长为n a ，面积为n b ，根据题意分析可知数列{}n b是以首项16b =，公比为43的等比数列，结合等比数列求和公式运算求解.【详解】因为3601230︒=︒，设第()*,112n n n ≤≤∈N 三角形的斜边长为n a ，面积为n b ，由题意可知：11cos30a ==︒，1cos30n n n a a +==︒，21122n n n n b a =⨯=，则10b =≠，2211243n n n n n b b a ++⎫⎪⎪⎝⎭==，可知数列{}n b是以首项1b =43的等比数列，所以所作的所有三角形的面积和为12124134142313⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1BD 与平面11BCC B 所成的角为π6，底面ABCD 是正方形，则（）A.1AA = B.1BD 与平面1111D C B A 所成的角为π4C.11BD DA ⊥D.1AB ⊥平面1BCD 【答案】AB 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，运用向量法逐个分析即可.【详解】易知正四棱柱1111ABCD A B C D -是长方体1111ABCD A B C D -，故以D 为原点建立空间直角坐标系，连接1BD ，设1AA z =，AD x =，CD y =，1BD 与平面11BCC B 所成的角为θ，故1(0,0,)z D ，(00)A x ，，,(,,0)B x y ，1(,,)D B x y z =- ，易知面11BCC B 的法向量(010)n = ，，,易知π6θ=，故1sin 2θ=，可得12=，化简得2223y x z =+，结合底面ABCD 是正方形，可得x y =，故222z y =，z =，即1AA =，故A 正确，易知面1111D C B A 的法向量(001)m =，，，1(,,)D B x y z =- ，设1BD 与平面1111D C B A 所成的角为α，故sin α==sin 2α=，故π4α=，故B 正确，易知1(,0,)A x z ，1(,0,)DA x z = ，故222110DA D B x z y ⋅=-=-≠，即11,BD DA 不垂直，故C 错误，易知1(,)B y y ，(00)A y ，，，故1(0,)AB y = ，1(,,)D B y y =-，1)D ，(0,,0)C y ，1(0,,)D C y =- ，设面1BCD 的法向量(,,)a a b c =，故0ay by +=，0by =，解得0a =，b =，1c =，即a = ，则a 与1AB不平行，故1AB 与面1BCD 不垂直，故D 错误，故选：AB10.已知圆22:1O x y +=，直线:40l x y --=，点P 在直线l 上运动，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，当APB ∠最大时，则（）A.直线AB 的斜率为1B.四边形PAOB 的面积为2C.||AB =D.sin APB ∠=78【答案】AC 【解析】【分析】由题意分析得OP l ⊥，结合OP AB ⊥，即可判断A ，求出min OP d ===，结合三角函数即可判断D ，算出AP ==即可得四边形PAOB 的面积，由此即可判断B ，结合等面积法即可判断C.【详解】若要APB ∠最大，则只需锐角APO ∠最大，只需1sin OA APO OPOP∠==最大，即OP 最小，所以若OP 最小，则OP l ⊥，由垂径分线定理有OP AB ⊥，所以//AB l ，所以1AB l k k ==，故A 正确；由题意min OP d ===，此时12sin 4APO OP ∠==，cos 4APO ∠==，所以此时sin 2sin cos 2444APB APO APO ∠∠∠=⋅=⨯⨯=，故D 错误；而当OP =时，AP ==，所以四边形PAOB 的面积为1212⎛⨯⨯⨯= ⎝故B 错误；由等面积法有四边形PAOB 的面积为12AB OP ⋅=，又由题意OP =，所以||2AB =，故C正确.故选：AC.11.古希腊数学家托勒密（Ptolemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表.托勒密用圆的半径的160作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角 α（0360α︒<<︒）所对的弦长记为crd α.例如60︒圆心角所对弦长等于60个度量单位，即crd6060︒=.则（）A.crd3030︒=B.若crd 120α=，则180α=︒C.crd α=D.crd crd crd()αβαβ+>+（0360αβ︒<+<︒）【答案】BCD 【解析】【分析】根据所给定义即可结合选项逐一求解.【详解】对于A ，30︒圆心角所对弦长为()12sin152sin 6045222222R R R R ⎛=-=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭若crd3030︒=，则弦长为12R ,显然122R R ≠,故A 错误，对于B ，若crd 120α=，则弦长为2R ,而直径为2R ，故180α=︒，B 正确，对于C ，圆心角 α所对的弦长为2sin2R α，故crd 2sin 602αα=⨯=，C 正确，对于D,根据三角形两边之和大于第三边可知：,αβ所对的弦长之和大于αβ+所对的弦长，所以crd crd crd()αβαβ+>+，（0360αβ︒<+<︒），故D 正确，故选：BCD12.已知函数()121,0e 1,0x x x f x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，()(())()g x f f x f x a =--，则（）A.当0a =时，()g x 有2个零点B.当32a =时，()g x 有2个零点C.存在a ∈R ，使得()g x 有3个零点D.存在a ∈R ，使得()g x 有5个零点【答案】BCD 【解析】【分析】令()t f x =，可得()y f t t a =--，结合图象分析方程()f t t a =+的根的分布，再结合图象分析()t f x =的交点个数，即可得解.【详解】由()f x 的图象可知，()f x 的值域为R ，对于选项AC ：令()e 1,0xh x x x =--≥，则()e 10xh x ='-≥在[)0,∞+上恒成立，可知()h x 在[)0,∞+上单调递增，则()()00h x h ≥=，即e 1,0x x x -≥≥当且仅当0x =等号成立，令()t f x =，若0a =，可得()y f t t =-，令()0y f t t =-=，当0t ≥，则e 10t t --=，可知0=t ；当0t <，结合图象可知当且仅当12t ≤-，方程()1210f t t t t -=++-=有根，解得2t =-；即()2f x =-或()0f x =，结合图象可知：()2f x =-有1个根；()0f x =有2个根；综上所述：当0a =时，()g x 有3个零点，故A 错误，C 正确；对于选项B ：令()t f x =，若32a =，可得3()2y f t t =--，令3()02y f t t =--=，即3()2f t t =+，注意到()31e 112f =-<+，由图象可知方程3()2f t t =+有两个根为一根为12-，另一根不妨设为,1m m >，即()12f x =-或()f x m =，结合图象可知：()12f x =-有1个根；()1f x m =>有1个根；综上所述：当32a =时，()g x 有2个零点，故B 正确；对于选项D ：令()t f x =，若0.2a =，可得()0.2y f t t =--，令()0.20y f t t =--=，即()0.2f t t =+，令e 11x -=，解得ln 2x =，由图象可设方程()0.2f t t =+有三个根为123,,t t t ，且1230ln 21t t t <<<<<，即()1f x t =或()2f x t =或()3f x t =，结合图象可知：()1f x t =或()2f x t =有1个根；()3f x t =有3个根；综上所述：当0.2a =时，()g x 有5个零点，故D 正确；故选：BCD.【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角θ的顶点为坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，点(1,)A a （a ∈Z ）在角θ终边上，且3OA ≤，则tan θ的值可以是______.（写一个即可）【答案】1（0，1±，2±均可）【解析】【分析】由3OA ≤求得a 的取值范围，结合三角函数的定义进而可得解.【详解】3OA ≤，即219a +≤，解得a -≤≤，又a ∈Z ，故a 的值可为2-、1-、0、1、2，则tan 1aa θ==，即tan θ的值可以是0或1±或2±.故答案为：1（0，1±，2±均可）.14.春节前夕，某社区安排小王、小李等5名志愿者到三个敬老院做义工，每个敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一个敬老院，且这5名志愿者全部安排完，则所有不同的安排方式种数为______.（用数字作答）【答案】18【解析】【分析】先把小王、小李视为1组，再把剩下的3人分成2组，把这3组全排列即可.【详解】把小王、小李视为1组，剩下的3个人先分成2组，分组的方式是：1，2；则有1232C C 3⋅=，把这3组人再分配给3个敬老院，则333A 18⋅=.故答案为：1815.已知双曲线2222: 1 (0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心作与C 的渐近线相切的圆，该圆与C 的一个交点为P ，若12F PF △为等腰三角形，则C 的离心率为______.【答案】53##213【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出2PF 的长，再利用双曲线的定义结合等腰三角形列式计算即得.【详解】双曲线2222: 1 (0,0)x y C a b a b-=>>的半焦距为c ，渐近线方程为0bx ay ±=，点2(,0)F c 到渐近线距离为222||bc PF b a b==+，由双曲线定义得1||2PF a b =+，由12F PF △为等腰三角形，得121||||F F PF =，即22c a b =+，因此22224()c a b c a -==-，则53c a =，所以C 的离心率为53c e a ==.故答案为：5316.已知球O 的表面积为36π，正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，则该正四棱锥P ABCD -体积的最大值为______.【答案】643【解析】【分析】由球的表面积计算出球的半径，设出该正四棱锥底面边长及高，由球的半径可得底面边长与高的关系，求出该正四棱锥体积的表达式，结合导数计算即可得.【详解】由236π4πr S ==表，故该球半径3r =，设正四棱锥P ABCD -底面边长为AB a =，高为PM h =，则2AM ==，3OM h r h =-=-，则有()222332a h ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得22212a h h =-+，()22321122124333P ABCD V a h h h h h h -==-+=-+，令()()322403f h h h h =-+>，则()()22824f h h h h h '=-+=--，故当04h <<时，()0f h '>，当4h >时，()0f h '<，即()f h 有极大值()32264444433f =-⨯+⨯=，即该正四棱锥P ABCD -体积的最大值为643.故答案为：643.【点睛】关键点睛：本题关键在于得出体积的表达式后构造函数，借助导数研究函数单调性后可得最值.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC △中，10cos 10BAC ∠=-，sin 5ACB ∠=，AB =.（1）求ABC △的面积；（2）如图，//CD AB ，CB BD ⊥，求AD .【答案】（1）32（2）AD =【解析】【分析】（1）根据同角关系求解正余弦值，即可根据正弦定理求解3BC =，进而有和差角公式以及三角形面积公式求解即可，（2）根据边角关系以及余弦定理即可求解.因为cos 010BAC ∠=-<，π,π2BAC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,所以sin 10BAC ∠=，因为sin 5ACB ∠=，π0,2ACB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5ACB ∠=，在ABC △=3BC =.又因为310251052sin sin()1051052ABC BAC ACB ∠=∠+∠=⨯-⨯=，所以1233222ABC S =⨯=△.【小问2详解】由（1）可知，π4ABC ∠=，因为//CD AB ，所以π4BCD ∠=，又因为CB BD ⊥，即π2CBD ∠=，故π4CDB ∠=，所以3π4ABD ABC CBD ∠=∠+∠=，3BD BC ==，在ABD △中，由余弦定理可得2223π323cos4AD =+-，解得AD =.18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，124n n a S =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求数列1{}nd 的前2024项和.【答案】18.1(1)2n n a --=19.1012【解析】【分析】（1）先计算1a ，再利用()12n n n a S S n -=-≥得11nn a a -=-进而证明{}n a 等比数列，可得通项公式；（2）先求出n d ，再利用并项求和法求1{}nd 的前2024项和.当1n =时，11124a a =+，所以112a =，当2n ≥时，1111()2424n n n n n a a a S S --=-=+-+，所以11nn a a -=-，所以数列{}n a 是以12为首项，1-为公比的等比数列，即1(1)2n n a --=.【小问2详解】由题意，11(1)(1)(1)22111n n nn n n a a d n n n -+-----===+++，则11(1)nn n d +=-，记数列1{}nd 的前n 项和为n T ，所以20242024234520242025110122T =-+-++-+=⨯= .19.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E 是线段PC 的中点，F 是线段BC 上一点，112PA AC BC ===，PB =（1）证明：平面AEF ⊥平面PBC ；（2）是否存在点F ，使平面AEF 与平面ABC 的夹角为π3？若存在，求CF ；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，22CF =．【解析】【分析】（1）利用勾股定理及逆定理判定线线垂直，得出线面垂直再证面面垂直即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究面面夹角，计算即可.【小问1详解】因为PA AC =，E 是PC 的中点，所以AE PC ⊥，在直角PAB 中，1PA =，PB =AB =，在ABC △中，1AC =，2BC =，所以222AC BC AB +=，得ACBC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AC BC ⊥，PA AC A = ，所以BC ⊥平面PAC ，由AE ⊂平面PAC 得AE BC ⊥，又PC BC C ⋂=，所以⊥AE 平面PBC ，由AE ⊂平面AEF 得，平面AEF ⊥平面PBC ．【小问2详解】存在点F 满足条件，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -如图所示，设()02CF t t =≤≤，则()0,1,0A ，110,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0,0F t，110,,22AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()=,1,0AF t - ，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则110220y z tx y ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，令1x =得y z t ==，所以平面AEF 的一个法向量为()1,,n t t = ，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =，由已知得π132m n cos m n ⋅===⋅，解得2t =，即2CF =，所以存在点F 使平面AEF 与平面ABC 的夹角为π3，此时2CF =．20.聊天机器人（chatterbot ）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.（1）求一个问题的应答被采纳的概率；（2）在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为X ，事件X k =（0,1,,8k = ）的概率为()P X k =，求当()P X k =最大时k 的值.【答案】（1）0.75（2）6【解析】【分析】（1）根据全概率公式即可求解，（2）根据二项分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.【小问1详解】记“输入的问题没有语法错误”为事件A ，“一次应答被采纳”为事件B ，由题意()0.1P A =，()0.8P B A =，()0.3P B A =，则()1()0.9P A P A =-=，()()()()()()()0.90.80.10.30.75P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=+=⨯+⨯=.【小问2详解】依题意，3(8,)4X B ，8831()()()44k k k P X k -==C ，当()P X k =最大时，有()()()()1,1,P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩即8171888191883131C C ,44443131C C ,4444k k k k k k k k k k k k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩解得：232744k ≤≤，k ∈N ，故当()P X k =最大时，6k =.21.已知F 是椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b +=>>的右焦点，点0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在不过原点O 的直线l 上，l 交C 于A ，B 两点.当AOF ∠与BOF ∠互补时，||3AB =，||||AF BF +=.（1）求C 的方程；（2）证明：tan AOBS AOB ∠△为定值.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由AOF ∠与BOF ∠互补，故OA 与OB 关于y 轴对称，可得l 的方程，即可得A 点坐标，结合椭圆定义及A 点坐标计算即可得C 的方程；（2）设出点的坐标与直线方程，与曲线方程联立后可得与横坐标有关一元二次方程，借助韦达定理表示出A ，B 两点横坐标关系，由题意将tan AOBS AOB ∠△化简后结合韦达定理计算即可得.【小问1详解】因为AOF ∠与BOF ∠互补，由椭圆的对称性可得OA 与OB 关于y 轴对称，所以AB y ⊥轴，又因为直线l过0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故l的方程为3y =，设A在第一象限，因为3AB =，则,33A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设F '为C 的左焦点，则||||BF AF '=，故||||||||2AF BF AF AF a '+=+=，即a =因为A 在C 上，2223312b +=，解得1b =，所以C 的方程为2212x y +=；【小问2详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题意知直线l 斜率存在，设直线3:3l y kx =+，联立22312y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得223(21)40k x ++-=，()22Δ4848210k k =++>，则12x x +=12243(21)x x k -=+，所以21212261(3(21)k y y kx kx k -+==+，故12121||||sin 112||||cos sin tan 222cos AOB OA OB AOB S x x y y OA OB AOB OB AOB AOB AOB∠+==∠=⋅=∠∠∠ △222224613(21)13(21)3(21)3(21)222k k k k k --+-+++++===-，所以tan AOB S AOB ∠△为定值12-.【点睛】关键点睛：本题关键在于将tan AOB S AOB ∠△通过化简得到1212tan 2AOB S x x y y AOB +=∠△，再结合韦达定理进行计算.22.已知函数()()2212ln 22f x x ax x x ax =--+，R a ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，若()()211ln 2f x a a ≥-恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）2[e,e ]【解析】【分析】（1）求导后对a 分类讨论即可得；（2）由函性质可得0x →时，()0f x →，则21(1ln )02a a -≤，再结合函数单调性进行分类讨论计算即可得.【小问1详解】函数()f x 的定义域为,()0x ∈+∞，21()(22)ln (2)22()ln f x x a x x ax x a x a x x'=-+-⋅-+=-，①当0a ≤时，令()0f x '=，得1x =，则当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，②当0a >时，令()0f x '=，得1x =或x a =，ⅰ）当01a <<时，则当0x a <<或1x >时，()0f x '>，当1<<a x 时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)a 和(1,)+∞上单调递增，在(,1)a 上单调递减，ⅱ）当1a =时，当0x >时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，ⅲ）当1a >时，则当01x <<或x a >时，()0f x '>，当1x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增，在(1,)a 上单调递减，【小问2详解】当0x >时，令1e t x =，则1ln e ln e et t t t x x -==，0x →时，t →+∞，则0e t t→，故ln 0x x →，则2ln 0x x →，故当0x →时，221ln 2ln 2(2)0x x ax x x x a f x --+=→，所以当0x →时，21(1ln )02a a -≤，解得e a ≥，由（1）可知，当1a >时，()f x 在(0,)+∞上的极小值为21()(32ln )2f a a a =-，由题，则有2211(32ln )(1ln )22a a a a -≥-，解得21e a <≤，当21()(32ln )02f a a a =-=，解得32e a =，①当32e e a ≤<时，21()(32ln )02f a a a =->，21()0(1ln )2f x a a >≥-，符合题意，②当322e e a ≤≤时，21()(32ln )02f a a a =-≤，2min 1()()(1ln )2f x f a a a =≥-，符合题意.综上，当2[e,e ]a ∈时，21()(1ln )2f x a a ≥-恒成立.【点睛】恒成立问题解题思路：（1）参变量分离：（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参变分离即可解决问题.。