《金版新学案》高三数学一轮复习 2.5 指数函数课件 (理)福建版
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第五节 指数函数
1．根式 (1)根式的概念
根式的概念
如果xn＝a那么x叫做a的 n次方根 当n为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负 数的n次方根是一个负数 当n为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互
符号表 示
备注 n＞1且n∈N
零的n次方根是零
负数没有偶次方 根
(2)两个重要公式
①n
a an＝|a|＝a－a
【解析】 (1)函数定义域为R，关于原点对称． 又因为f(－x)＝ a (a－x－ax)＝－f(x)，
f(x) f(y)
D．f(nx)＝fn(x)
【解析】 ∵f(x＋y)＝ax＋y＝ax·ay＝f(x)·f(y)，
f(x－y)＝ax－y＝ax÷ay＝
f(x) f(y)，
f(nx)＝anx＝(ax)n＝fn(x)，∴A、C、D均正确，故选B.
【答案】 B
4．已知函数f(x)＝a－
1 2x＋1
.若f(x)为奇函数，则a＝______.
【答案】 －23
化简下列各式(其中各字母均为正数)： (1)14－12·0.(1－42(aab3－ b1－)33)12 (2)56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12. 【思路点拨】 (1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先
化为分数指数幂以便用法则运算；
(2)题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，
数的大小关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变
小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论
在y轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大． (2)指数函数y＝ax与y＝ 1x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴
a
对称．
1．化简 4 16x8y4 (x＜0，y＜0)得( )
A．2x2y
B．2xy
【解析】 ∵定义域为R，且函数为奇函数，
∴f(0)＝0，即a－
1 2
＝0，∴a＝
1 2
【答案】 1
2
5．(2008 年重庆卷)若 x>0，则(2x14＋332)(2x14－332)－4x－12(x－x12)＝________.
【解析】 (2x14＋332)(2x14－332)－4x－12(x－x12) ＝4x12－33－4x21 ＋4
有最大
值，最大值为1，没有最小值．
本例也可以不考虑去掉绝对值符号，而
是直接用图象变换作出，作法如下：
y＝12x保留x≥0部分，将它―沿―→ y轴翻折得x＜0的部分 y＝12|x|向左平―移―→ 2个单位y＝12|x＋2|.
1．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值 范围是________．
(a≥0) (a＜0)
n为奇数 n为偶数
n
n
②( a)n＝a(注意a必须使 a 有意义)．
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：
(a＞1 0，m、n∈N ，且n＞1)；
②负分数指数幂：
n
am (a＞0，m、n∈N ，且n＞1)．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)；
C．4x2y
D．－2x2y
【解析】
4 ∵
16x8y4＝(16x8y4)14
＝[24(－x)8·(－y)4]14
＝24×14·(－x)8×14·(－y)4×14
＝2(－x)2(－y)＝－2x2y.
【答案】 D
2．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域是( ) A．定义域是R，值域是R B．定义域是R，值域是(0，＋∞) C．定义域是R，值域是(－1，＋∞) D．以上都不对
如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求．
13
42·42 3
3
33
【解析】(1)原式＝ 100 a2·b－2·a－2·b2
＝245a0·b0＝245.
(2)原式＝－52a－16b－3÷(4a23·b－3)12
＝－54a－16b－3÷(a13b－32)＝－54a－12·b－32
51
5 ab
＝－4·
【解析】 ∵y＝3－x＝ 13x，其定义域为R， 值域为(0，＋∞)， ∴f(x)＝3－x－1的定义域为R，值域为(－1，＋∞)．
【答案】 C
3．设指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则下列等式不正确的是
()
A．f(x＋y)＝f(x)·f(y)
B．f((xy)n)＝fn(x)·fn(y)
C．f(x－y)＝
【解析】 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判 断参数的取值范围． 曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示，由图象可得：如果 |y|=2x+1与直线y=b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[-1,1]．
【答案】 [-1,1]
a 已知f(x)＝ a2－1 (ax－a－x)(a＞0且a≠1)． (1)判断f(x)的奇偶性； (2)讨论f(x)的单调性； (3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立．求b的取值范围．
y＝12x向左平―移―2→个单位y＝12x＋2； 另一部分 y＝2x＋2(x＜－2)的图象，由下列变换可 得到： y＝2x向左平―移―2→个单位y＝2x＋2，
如图(实线)为函数y=
的图象．
(2)由图象观察知函数的单调增区间为(-∞，-2]，单
调减区间为(-2，+∞)．
(3)由图象观察知，x=-2时，函数y
y＝ax(a＞0，且a≠1)
0＜a＜1
a＞1
图象特征
在x轴上方，过定点(0,1)
当x逐渐增大时， 图象逐渐下降
当x逐渐增大 时，图象逐
渐上升
R 定义域
值域
(0，＋∞)
性
单调性
递减
递增
质
函数
当x＝0时，y＝1
当x＜0时，y＞1；
当x＜0时，0 ＜y＜1；
指数函数的图象特征：
(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底
②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，
an
这两个式子虽然非常接近，但它们
的意义不同，差别很大，要注意区别．
(2)在根式中
n am
，只要a＞0，m，n∈N
，n＞1，那么它就可
以化为分数指数幂
3．指数函数的图象和性质
函数
图象
＝－ ab3
4ab2
.
已知函数y＝ 1 |x＋2|， (1)作出图象； 2
(2)由图象指出其单调区间；
(3)由图象指出，当x取什么值时有最值．
【解析】 (1)由函数解析式可得
y＝12|x＋2|＝212x＋x2＋2
x≥－2 x＜－2
，
其图象分成两部分：
一部分是 y＝12x＋2(x≥－2)的图象，由下列变换可得到：
1．根式 (1)根式的概念
根式的概念
如果xn＝a那么x叫做a的 n次方根 当n为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负 数的n次方根是一个负数 当n为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互
符号表 示
备注 n＞1且n∈N
零的n次方根是零
负数没有偶次方 根
(2)两个重要公式
①n
a an＝|a|＝a－a
【解析】 (1)函数定义域为R，关于原点对称． 又因为f(－x)＝ a (a－x－ax)＝－f(x)，
f(x) f(y)
D．f(nx)＝fn(x)
【解析】 ∵f(x＋y)＝ax＋y＝ax·ay＝f(x)·f(y)，
f(x－y)＝ax－y＝ax÷ay＝
f(x) f(y)，
f(nx)＝anx＝(ax)n＝fn(x)，∴A、C、D均正确，故选B.
【答案】 B
4．已知函数f(x)＝a－
1 2x＋1
.若f(x)为奇函数，则a＝______.
【答案】 －23
化简下列各式(其中各字母均为正数)： (1)14－12·0.(1－42(aab3－ b1－)33)12 (2)56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12. 【思路点拨】 (1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先
化为分数指数幂以便用法则运算；
(2)题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，
数的大小关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变
小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论
在y轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大． (2)指数函数y＝ax与y＝ 1x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴
a
对称．
1．化简 4 16x8y4 (x＜0，y＜0)得( )
A．2x2y
B．2xy
【解析】 ∵定义域为R，且函数为奇函数，
∴f(0)＝0，即a－
1 2
＝0，∴a＝
1 2
【答案】 1
2
5．(2008 年重庆卷)若 x>0，则(2x14＋332)(2x14－332)－4x－12(x－x12)＝________.
【解析】 (2x14＋332)(2x14－332)－4x－12(x－x12) ＝4x12－33－4x21 ＋4
有最大
值，最大值为1，没有最小值．
本例也可以不考虑去掉绝对值符号，而
是直接用图象变换作出，作法如下：
y＝12x保留x≥0部分，将它―沿―→ y轴翻折得x＜0的部分 y＝12|x|向左平―移―→ 2个单位y＝12|x＋2|.
1．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值 范围是________．
(a≥0) (a＜0)
n为奇数 n为偶数
n
n
②( a)n＝a(注意a必须使 a 有意义)．
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：
(a＞1 0，m、n∈N ，且n＞1)；
②负分数指数幂：
n
am (a＞0，m、n∈N ，且n＞1)．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)；
C．4x2y
D．－2x2y
【解析】
4 ∵
16x8y4＝(16x8y4)14
＝[24(－x)8·(－y)4]14
＝24×14·(－x)8×14·(－y)4×14
＝2(－x)2(－y)＝－2x2y.
【答案】 D
2．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域是( ) A．定义域是R，值域是R B．定义域是R，值域是(0，＋∞) C．定义域是R，值域是(－1，＋∞) D．以上都不对
如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求．
13
42·42 3
3
33
【解析】(1)原式＝ 100 a2·b－2·a－2·b2
＝245a0·b0＝245.
(2)原式＝－52a－16b－3÷(4a23·b－3)12
＝－54a－16b－3÷(a13b－32)＝－54a－12·b－32
51
5 ab
＝－4·
【解析】 ∵y＝3－x＝ 13x，其定义域为R， 值域为(0，＋∞)， ∴f(x)＝3－x－1的定义域为R，值域为(－1，＋∞)．
【答案】 C
3．设指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则下列等式不正确的是
()
A．f(x＋y)＝f(x)·f(y)
B．f((xy)n)＝fn(x)·fn(y)
C．f(x－y)＝
【解析】 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判 断参数的取值范围． 曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示，由图象可得：如果 |y|=2x+1与直线y=b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[-1,1]．
【答案】 [-1,1]
a 已知f(x)＝ a2－1 (ax－a－x)(a＞0且a≠1)． (1)判断f(x)的奇偶性； (2)讨论f(x)的单调性； (3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立．求b的取值范围．
y＝12x向左平―移―2→个单位y＝12x＋2； 另一部分 y＝2x＋2(x＜－2)的图象，由下列变换可 得到： y＝2x向左平―移―2→个单位y＝2x＋2，
如图(实线)为函数y=
的图象．
(2)由图象观察知函数的单调增区间为(-∞，-2]，单
调减区间为(-2，+∞)．
(3)由图象观察知，x=-2时，函数y
y＝ax(a＞0，且a≠1)
0＜a＜1
a＞1
图象特征
在x轴上方，过定点(0,1)
当x逐渐增大时， 图象逐渐下降
当x逐渐增大 时，图象逐
渐上升
R 定义域
值域
(0，＋∞)
性
单调性
递减
递增
质
函数
当x＝0时，y＝1
当x＜0时，y＞1；
当x＜0时，0 ＜y＜1；
指数函数的图象特征：
(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底
②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，
an
这两个式子虽然非常接近，但它们
的意义不同，差别很大，要注意区别．
(2)在根式中
n am
，只要a＞0，m，n∈N
，n＞1，那么它就可
以化为分数指数幂
3．指数函数的图象和性质
函数
图象
＝－ ab3
4ab2
.
已知函数y＝ 1 |x＋2|， (1)作出图象； 2
(2)由图象指出其单调区间；
(3)由图象指出，当x取什么值时有最值．
【解析】 (1)由函数解析式可得
y＝12|x＋2|＝212x＋x2＋2
x≥－2 x＜－2
，
其图象分成两部分：
一部分是 y＝12x＋2(x≥－2)的图象，由下列变换可得到：