【数学】上海市黄浦区2014届高三模拟考试(理)

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(上海版)2014届高三数学(第04期)名校试题分省分项汇编专题10.圆锥曲线理(含解析)

（上海版）2014届高三数学（第04期）名校试题分省分项汇编专题10.圆锥曲线理（含解析）一．基础题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米．则水面升高1米后，水面宽是____________米（精确到01.0米）．2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】经过点 (1, 0)A 且法向量为(2, 1)n =-的直线l 的方程是．3. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】方程22124x y m +=+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 取值范围是．4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】已知抛物线220y x =焦点F恰好是双曲线22221x y a b-=的右焦点，且双曲线过点15(,3)4，则该双曲线的渐近线方程为________.5. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的渐近线方程是…………………………………………………（）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．02=±y xD ．02=±y x6. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】抛物线28y x=-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .【答案】3π 【解析】7. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0a b >>，参数ϕ的范围是02ϕπ≤<）的两个焦点为1F 、2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且124FF =，则a 等于．8. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）．（A ）210x y +-= （B ）10x =（C ）2210x y x x +---= （D ）2310x xy -+=考点：方程与曲线，曲线的切线．9. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】设圆O 1和圆O 2是两个相离的定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--（）A ．① ③B ．② ③C ．① ②D ．① ② ③三．拔高题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ过点)1,3(．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设斜率为1的直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，以线段AB 为底边作等腰三角形PAB ，其中顶点P 的坐标为)2,3(-，求△PAB 的面积．【答案】（1）141222=+y x ；（2）92．所以24343-=-mm ，解得2=m ． …………………………………………（5分）此时方程①变为0642=+x x ，解得)1,3(--A ，)2,0(B ，所以23||=AB ．又)2,3(-P 到直线l ：02=+-y x 的距离2232|223|=+--=d ， ………（7分）所以△PAB 的面积29||21=⋅=d AB S ． ………………………………………（8分）考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交的综合问题．2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>> 经过点3(1,)2M ，且其右焦点与抛物线22:4C y x = 的焦点F 重合，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q两点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)N n，使得QP NP PQ NQ ⋅=⋅？若存在，求出n 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）过点0(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线与椭圆交于,A B 两点，点B 关于x 轴的对称点为E ，试证明：直线AE 过定点．试题解析：（1）由题意，得：(1,0)F所以222291411a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩ ，解，得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，所以椭圆的方程为：22143x y += ；（1）证明：设直线AB 的方程为：(4),(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=，得： 2222(34)3264120k x k x k +-+-=，由2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，得：11(,)22k ∈- ，设334444(,),(,),(,)A x y B x y E x y - ，则22343422326412,3434k k x x x x k k-+==++ ，则直线AE 的方程为343334()y y y y x x x x +-=-- ，令0y = 得：343443344333343434(4)(4)(8)x x x y x y x k x x k x x y x y y y y k x x -+⋅-+⋅-=-⋅+==+++- 2222343423426412322424()34341328834k k x x x x k k k x x k-⋅-⋅⋅-+++===+--+ ，所以直线AE 过定点(1,0) .考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系.3. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】如图，已知平面内一动点A到两个定点1F 、2F 的距离之和为4，线段12F F 的长为2c (0)c >. （1）求动点A 的轨迹Γ；（2）当c =过点1F 作直线l 与轨迹Γ交于A 、C 两点，且点A 在线段12F F 的上方，线段AC 的垂直平分线为m ①求12AF F ∆的面积的最大值；②轨迹Γ上是否存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称，请说明理由.【答案】（1）参考解析；（2【解析】试题解析：（1）当42c >即02c <<时，轨迹是以1F 、2F 为焦点的椭圆 3分当2c =时，轨迹是线段12F F 4分当2c >时，轨迹不存在 5分2②结论：当12AC F F 时，显然存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称 11分下证当AC 与12F F 不垂直时，不存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称 12分直线m的斜率为114k k-≠-，则假设不成立，故此时椭圆上不存在两点（除了点A 、点C 外）关于直线m 对称 16分考点：1.点的轨迹问题.2.椭圆的性质.3.直线与椭圆的位置关系.3.对称性的应用. 4. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴；（2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小张马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小张求出了直线l 与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．【答案】（1）2(,)2pk C pk ，2(,)D pk pk b +，（2）316h p，（3）能. 【解析】试题分析：（1）因为D 点为直线与抛物线的交点A ，B 中点，所以求D 点坐标就根据直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求解，即由222202y kx bx pkx pb x py =+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-，点2(,)D pk pk b +.因为C 点为切点，利用切线方程与抛物线方程联立方程组后的判别（本小题也可以求AB h=，切点到直线l的距离2d==，相应给分）5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知点),(y x M 是平面直角坐标系上的一个动点，点M 到直线4=x 的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍．记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程； (2)斜率为21的直线l 与曲线C 交于B A 、两个不同点，若直线l 不过点)23,1(P ，设直线PB PA 、的斜率分别为PB PA k k 、，求PB PA k k +的数值；(3)试问：是否存在一个定圆N ，与以动点M 为圆心，以MD 为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．设存在这个定圆N 与动圆M 内切，则圆心距MN 为两圆半径之差，从而MN 与两圆中的某个圆的半径之和或差为定值（定圆N 的半径），由于点D 是椭圆的右焦点，这时联想椭圆的定义，若N 是椭圆的左焦点，则就有24MN MD a +==是常数，故定圆是以(1,0)N -为圆心，4为半径的圆.6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．所以弦MN 的中点为22243(,)3434k k P k k-++.所以DP MN的取值范围是1(0,)4.考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力.7. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】为了寻找马航MH370残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在港口北偏东β角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A ，OA ===βαcos ,31tan 132.现指挥部需要紧急征调位于港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装上补给物资供给科考船．该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积S 最小时，这种补给方案最优.（1）求S 关于m 的函数关系式()S m ；（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？第21题图考点：解析法解应用题.8. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】设椭圆1Γ的中心和抛物线2Γ的顶点均为原点O ，1Γ、2Γ的焦点均在x 轴上，过2Γ的焦点F 作直线l ，与2Γ交于A 、B 两点，在1Γ、2Γ上各取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求1Γ，2Γ的标准方程；（2）若l 与1Γ交于C 、D 两点，0F 为1Γ的左焦点，求00F AB F CDS S △△的最小值；（3）点P Q 、是1Γ上的两点，且OP OQ ⊥，求证：2211OPOQ+为定值；反之，当2211OPOQ+为此定值时，OP OQ ⊥是否成立？请说明理由.试题解析：（1）()-2,0⎭在椭圆上，(()34-4，，在抛物线上， 2211,43x y ∴Γ+=： 2Γ：24.y x = …………………（4分）联立方程22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得222221212,4343P P k x y k k ==++； ……………（12分）9. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得对任意的k R ∈，MA MB ⋅为定值，若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）14822=+y x ；（2）存在点11(,0)4M 使得MA MB ⋅为定值.。

【名师解析】上海市八校2014届高三联合调研考试数学(理)试题Word版含解析

一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.在复平面上，复数()232i -对应的点到原点的距离为．2.已知函数()x x x f ωω44cos sin -=()0>ω的最小正周期是π，则=ω ．3.向量在向量方向上的投影为．【答案】2- 【解析】试题分析：向量投影的定义是，向量a 在向量b 方向上的投影是cos ,a a b <>，它还等于a bb⋅，故所求投影为(3,4)(1,1)(1,1)⋅-==-.考点：向量的数量积与投影.4.已知正数,a b 满足2a b +=，则行列式111111ab++的最小值为．5.阅读下边的程序框图，如果输出的函数值y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡141,内，则输入的实数x 的取值范围是．考点：程序框图与函数的定义域.6.设αβ、是一元二次方程022=+-m x x 的两个虚根.若||4αβ=，则实数=m ．7.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=011x x x A ，{}a b x x B <-=．若“a ＝1”是“AB φ≠”的充分条件，则实数b 的取值范围是．8.已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为(0,1)A -，其右焦点到直线0x y -+=的距离为3，则椭圆的方程为．9.在△ABC 中，A B C 、、所对边分别为a 、b 、c ．若tan 210tan A cB b++＝，则A = ．10.已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S ．若121n n S S +=+，则n a = ．11.某地球仪上北纬30︒纬线长度为12πcm ，该地球仪的表面上北纬30︒东经30︒对应点A 与北纬30︒东经90︒对应点B 之间的球面距离为 cm （精确到0.01）．22258=，,A B 两点间的球面距离即AOB ∠所对的大圆弧长为5arccos 8OA ⋅约等于37.23考点：球面距离．12.已知直线()2+=x k y 与抛物线x y C 8:2=相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若||2||FA FB =，则实数=k ．考点：直线和圆锥曲线相交问题.13.将()22xx af x =-的图像向右平移2个单位后得曲线1C ，将函数()y g x =的图像向下平移2个单位后得曲线2C ，1C 与2C 关于x 轴对称．若()()()f x F x g x a=+的最小值为m 且2m >a 的取值范围为．14.已知“,,,,,a b c d e f ”为“1,2,3,4,5,6”的一个全排列．设x 是实数，若“()()0x a x b --<”可推出“()()0x c x d --<或()()0x e x f --<”，则满足条件的排列“,,,,,a b c d e f ”共有__________个．下面我们用列举法列举出各种可能：这样所有的排列数为48281232224⨯+⨯+= 考点：排列、不等式的解等综合问题．二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.函数()()21212-<+=x x x f 的反函数是（） (A) 3)y x ≤<． (B) 3)y x >． (C) 3)y x =≤<． (D)3)y x =>．16.直线l 的法向量是(),n a b =. 若0ab <，则直线l 的倾斜角为 ( )(A)arctan b a ⎛⎫-⎪⎝⎭ (B)arctan a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭(C)arctan a b π+ (D)arctan b a π+17.已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点.若||||AB AC =，则AB AC 的最小值是（）(A)0．（B ）14-．（C ）12-．（D ）34-．18.等差数列{}n a 的公差0d ≠，a n ÎR ，前n 项和为n S ，则对正整数m ，下列四个结论中：（1）232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，也可能成等比数列；（2）232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，但不可能成等比数列；（3）23,,m m m S S S 可能成等比数列，但不可能成等差数列；（4）23,,m m m S S S 不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是（）(A)（1）（3）. （B ）（1）（4）. （C ）（2）（3）. （D ）（2）（4）.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB=BC =BB =，求：（1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小；（2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．（2）因为11B C //平面1ABC考点：(1)异面直线所成的角；(2)直线到平面的距离．20.(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)已知()()x b xx f 24lg2++=，其中b 是常数．（1）若()x f y =是奇函数，求b 的值；（2）求证：()x f y =的图像上不存在两点A 、B ，使得直线AB 平行于x 轴．考点：(1)函数的奇偶性；(2)函数的单调性与方程的解．21.（本题满分14分；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设α=∠11H AA ．（1）试用α表示11H AA ∆的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．22.（本题满分16分；第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：2AB OM =．试题解析：（1）设2,F M 的坐标分别为0)y因为点M 在双曲线C 上，所以220211y b b+-=，即20y b =±，所以22MF b =在21Rt MF F ∆中，01230MF F ∠=，22MF b =，所以212MF b = ……2分由双曲线的定义可知：2122MF MF b -==故双曲线C 的方程为：2212y x -= ……4分考点： (1)双曲线的方程；(2)占到直线的距离，向量的数量积；(3)圆的切线与两直线垂直的充要条件．23.（本题满分18分；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，222a b b ==+，n S 是{}n b 前n 项和．（1）若lim 3n n S b →∞=-，求实数b 的值；（2）是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中？若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；（3）是否存在正实数b ，使得数列{}n b 中至少有三项在数列{}n a 中，但{}n b 中的项不都在数列{}n a 中？若存在，求出一个可能的b 的值，若不存在，请说明理由．（2）当b 取偶数(2,*)b k k N =∈时，{}n b 中所有项都是{}n a 中的项． …………8分证: 由题意：b 1,b 2均在数列a n {}中，。

上海市黄浦区高三数学下学期4月二模考试理(含解析)

上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数xxy -+=11log 2的定义域是．【答案】(1,1)- 【解析】由1+0111x x x>-<<-得，所以函数x xy -+=11log 2的定义域是(1,1)-。

2．函数x x y 22sin cos -=的最小正周期=T ．【答案】p【解析】x x y 22sin cos -=cos 2x =，所以22T ππ==。

3．已知全集R U =，集合{}|0,R A x x a x =+≥∈，{}||1|3,R B x x x =-≤∈．若U ()[2,4]C A B =-，则实数a 的取值范围是．【答案】4a <-【解析】易知集合{}|0,R A x x a x =+≥∈ {}|x x a =≥-，{}||1|3,R B x x x =-≤∈{}|24x x =-≤≤．所以{}|u C A x x a =<-，因为U ()[2,4]C A B =-，所以4a ->，所以实数a 的取值范围是4a <-。

4．已知等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则nnn S na ∞→lim的数值是．【答案】2【解析】因为等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，所以34n a n =-，23522n S n n =-，所以n n n S na∞→lim 34lim 23522n n n →∞-==-。

【解析版】2014年上海高考模拟组合试卷(一)(数学理)

【组卷说明】本卷以各地模拟考试和各校的联合考试为主题、根据高考考试要求为指导进行组卷，是高考复习必备的重组试卷.根据2013年全国新课标试题进行组合，试题总体难度适中，新题题目较多，个别试题需要耐心思考。

本套试题有如下的鲜明特点：1.注重基础知识的考查：填空题的1-10题，选择题重在基础知识的把握；填空中的11-14题，强调基础运算能力，也是高考中必要的得分点。

2.注重新颖试题的筛选和组合：如填空题的12,14，选择题的17,18试题设计新颖，但是难度不大；再如填空题13题，体现在知识的交汇点出题的原则，有一定的难度，可以锻炼学生的解题能力.3.大题难度和新课标高考基本一致，其中22和22体现拔高功能，锻炼学习解题能力：第19题——三角函数与向量的综合问题，考查公式应用能力以及运算能力；第20题——立体几何与空间向量，考查学生的空间想象能力和推理能力，以及空间向量工具的应用；第21题——函数问题，题目的背景新颖，给人耳目一新的感觉，难度虽不大，但要求学生要有较高的抽象水平和对数学符号的理解水平；第22题——以抛物线为背景直线与曲线相交问题，考查逻辑思维能力和计算求解能力；第22题——数列问题，以数列为背景考查学生逻辑推理能力和计算求解能力，题目新颖别致，难度较大。

【名校、考点一览表】一、填空题（每题4分，满分56分）1．【长宁区2013届高三上学期期末考试】计算：22342lim (21)n n n n →∞+-+= .2.【2013学年嘉定区高三年级第一次质量调研】若11z i i i=+（为虚数单位），则z =___________．3．【卢湾高级中学2013年高三三模考试】函数()1f x =+的反函数1()f x -= ．4．【上海市奉贤区2013届高考二模】在81()x x-的二项展开式中,常数项是。

5.【2013年上海部分重点中学高考模拟考试】设m 是正实数，若椭圆2221691x y m ++=的焦距为8， m = .6．【2013学年嘉定区高三年级第一次质量调研】执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为_____________．7. 【闸北区2013年高考模拟试题】在极坐标系中，两曲线θρcos 4=与2)4cos(=+πθρ交于B A ,两点，则=AB8．【建平中学2013年高考预测数学试卷】已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为 cm ．9．【江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟】在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数,其和大于积的概率是_________.10．【江苏扬州中学2013—2014学年高三开学检测】已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=___ ___．11．【江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试】已知实数,x y 满足不等式组0,0,26,312x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是．12. 【上海市普陀区2013届高考二模】已知函数⎩⎨⎧<≥=0,10,2)(x x x f x ，若)2()1(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是 .13. 【上海市虹口区2013届高考二模】设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在(1, 2013)内所有“希望数”的个数为．14. 【上海市徐汇、松江、金山2013届高考二模】如图，对正方形纸片ABCD 进行如下操作：第一步，过点D 任作一条直线与BC 边相交于点1E ，记11CDE α∠=；第二步，作1ADE ∠的平分线交AB 边于点2E ，记22ADE α∠=；第三步，作2CDE ∠的平分线交BC 边于点3E ，记33CDE α∠=；按此作法从第二步起重复以上步骤…，得到12,,,,n ααα ，则用n α和1n α+表示的递推关系式是1n α+= .α1α2第三步第二步第一步E 3DCBAE 2E 2ABCDE 1E 1DCBAα1α3第14题图二、选择题(每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).15. 【上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研】若集合2{|4,}A x y x y R ==∈,1{|0}2xB x x-=≥+,则A B = . [0,1]A . . (2,1]B -. . (2,)C -+∞. . (2,)D -+∞.16. 【上海市浦东区2013年高考二模数学试题】 “1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”的. A 充分不必要条件 . B 必要不充分条件 . C 充分必要条件. D 既不充分也不必要条件17. 【上海市闸北区2013年高考二模数学试题】某商场在节日期间举行促销活动，规定：（1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠；（3）若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠．某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为. A 1600元 . B 1800元 . C 2000元 . D 2200元18．【上海市黄浦区2013年高考二模数学试题】如果函数||2y x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是. A {2}(4,)+∞. B (2,)+∞ 4}. D (4,)+∞【答案】. A三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．【松江区2013学年度数学(一模）】（本题满分12分）已知(2cos ,1)a x = ，(cos 2)b x x = ，其中x R ∈.设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最小正周期、最大值和最小值．20．【建平中学2013年高考预测数学试卷】（本题满分14分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =．（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求二面角B FC A --的余弦值．ECBADF21. 【吴淞中学2013届高三第二学期第二次月考】（本题满分14分）记函数()f x 在区间D 上的最大值与最小值分别为{}max ()|f x x D ∈与{}min ()|f x x D ∈，设函数[]2,1,(),(,3]x b x b f x b x b ⎧-+∈⎪=⎨∈⎪⎩（13b <<），()(),[1,3]g x f x ax x =+∈，令{}{}()max ()|[1,3]min ()|[1,3]h a g x x g x x =∈-∈。

(上海版)2014届高三数学(第04期)名校试题分省分项汇编专题12.立体几何理(含解析)

（上海版）2014届高三数学（第04期）名校试题分省分项汇编专题12.立体几何理（含解析）一．基础题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤≤=,21,)1(1,10,)(2x x x x x f 将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= （结果用数值作答）．3. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】已知长方体1111ABCD A B C D -，下列向量的数量积一定不为0的是（）A ．11AD BC ⋅ B ．1BD AC ⋅ C ．1AB AD ⋅ D ．1BD BC ⋅4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为________.5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是．6. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知空间直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“α||l ”的( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件7. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)8. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =…………………………（）.)(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:19. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】用一平面去截球所得截面的面积为3πcm 2，已知球心到该截面的距离为1 cm ，则该球的体积是 cm 3.10. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】下列命题中，错误．．的是（）．（A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行（B ）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α（D ）垂直于同一个平面的两条直线平行11. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．第7题图12. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是-------------( ) ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m lA ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③三．拔高题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 21==．（1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．试题解析：（1）由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． …………（1分）设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ，故),0,0(a =，)0,,(a a =，)0,,(a a -=， ………………（3分）因为0=⋅，0=⋅，故⊥，⊥，即PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥， ………………………（5分）所以，⊥PQ 平面DCQ ． ………………………（6分）2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1AB =，BC =12AA =，E 是侧棱1BB 的中点．（1）求证：1A E ⊥平面AED ；（2）求二面角1A A D E --的大小．200w v w ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩3.【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成的角的大小等于θ．θ=︒时，求异面直线MC与PO所成的角；（1）当60-的体积最大时，求θ的值．（2）当三棱锥M ACO⊥交AO于点D，连DC．试题解析：解：（1）连MO，过M作MD AO又PO ==MD ∴=43OC OM ==，．4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，1AB AC AA ==．若D 为11B C 的中点，求直线AD 与平面11A BC 所成的角.【答案】60°【解析】试题分析：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，1AB AC AA ==．若D 为11B C 的中点，需求直线AD 与平面11A BC 所成的角.可以建立直角坐标系，通过平面11A BC 的法向量与直线AD 所在的向量的夹角的余弦值即为直线与平面所成角的正弦值.即可得结论.另外也可以通过构建直线所成的角，通过解三角形求得结论.在直角△AOG 中，AG ＝23AD AB 1， AO AB ，所以sin ∠AGO ＝AOAG． 10分故∠AGO ＝60°，即AD 与平面A 1BC 1所成的角为60°． 12分考点：1.线面所成的角.2.空间想象力.5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,4ACB AC BC AA ∠====，D 是棱1AA 的中点．如图所示．(1)求证：1DC ⊥平面BCD ； (2)求二面角A BD C --的大小．又DCDB D =，所以，1DC BDC ⊥平面．6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB F 是BC 的中点.(1) 求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD所成锐二面角的余弦值.7.【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】如图，在体A-中，BD长为E为棱BC的中点，求BCD（1）异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；A-的表面积．（2）正三棱锥BCD8. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】如图，△ABC 中，090=∠ACB ，030=∠ABC ，3=BC ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．【答案】（1）43π；（2. 【解析】试题分析：（1）要求球的表面积，首先要求出球的半径，如图即半圆O 的半径，这可在OBM ∆中列方程解得，圆O 半径为,r 则有sin OM BOB =，即sin30︒=r =（3）要阴影部分旋转后的体积，我们要看阴影部分是什么几何体，看看能不能把变成我们熟知的锥台、球，或者上它们构成的，本题中，是在三角形内部挖去一个小三角形，因此最后所得可以看作是一个圆锥里面挖去了一个球，从而其体积就等于一个圆锥的体积减去球的体积，即231433V AC BC OM ππ=⋅⋅-⋅.。

上海第期高三名校数学理试题分省分项汇编专题数列数学归纳法与极限解析含解析

一．基础题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，若6a 是7a 和8a 的等比中项，则n a =________.2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．3. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在n n n C B A ∆中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞→n n C lim （）．.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π5. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】221lim 2n n n n→∞+=-___________.6. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .【答案】1 【解析】试题分析：圆心为(0,1)，21nd n =+，22limlim1111n n n n→∞→∞==++．考点：点到直线距离公式，极限．7.【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】计算：2(1)(13)lim(2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设正项数列}{n a 的前n 项和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________. 【答案】14【解析】试题分析：等差数列}{n a 的公差为d ，则21()22n d dS n a n =+-，21()22n d dS n a n =+-，数列}{n S 是等差数列，则n S 是关于n 的一次函数（或者是常函数），则102da -=，2n d S n =，从而数列}{n S 的公差是2d ，那么有2d d =，0d =（舍去）或12d =，114a =．考点：等差数列的通项公式．10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】计算：2211lim[()]12n n n n n →+∞--++=_________．11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1__ _.12. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：210lim323xnn→∞++=.【答案】23【解析】试题分析：这属于“∞∞”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以n（n的最高次幂），化为一般可求极限型，即210lim323xnn→∞++1022lim2333nnn→∞+==+．考点：“∞∞”型极限13.【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】如果()1111112312nf nn n=++++++++L L(*n N∈)那么()()1f k f k+-共有项.14.【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】计算：=+∞→133limnnn．15.【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______.【答案】85 【解析】试题分析：数列{}n c 到底是什么暂时不知，因此我们试着把其前10项的和10S 表示出来，1210b b S a a =++L10b a +11121[(1)][(1)][(1)]n a b a b a b =+-++-+++-L 1121010()10a b b b =++++-L =111091010102a b ⨯++-1110()451085a b =++-=. 考点：等差数列的通项公式与前n 和公式.二．能力题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}na 满足()()*+∈=-+N n n a a n nn ,11，则数列{}na 的前2016项的和2016S 的值是___________．可行，由此我们可得2016S =12344342414()()k k k k a a a a a a a a ---+++++++++L L 20132014(a a ++2015a + 2016)a +(222)(226)(22(42))(222014)k =+⨯++⨯+++⨯-+++⨯L L 25044(13=⨯+⨯++5+L 1007)+=1017072．考点：分组求和．2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n 级分形图．则n 级分形图的周长为__________．3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数2sin)(2πn n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则=++++2014321a a a a Λ ．【答案】4032- 【解析】试题分析：考虑到sin2n π是呈周期性的数列，依次取值1,0,1,0,-L ，故在122014a a a +++L 时要分组求和，又由n a 的定义，知1352013a a a a ++++L (1)(2)(3)(4)(2013)(2014)f f f f f f =++++++L2222221357200920112013=-+-++-+L 1(53)(53)(97)(97)=+-++-++L (20132011)+-⋅(20132011)+12(357920112013)=+++++++L 110062016=+⨯，242014a a a +++L(2)(3)(4)f f f =+++(5)(2014)(2015)f f f +++L 22223520132015=-+++-L 22(352013)2015=+++-L 2100620062015=⨯-，从而122014a a a +++L 1210062016=+⨯⨯图（1）图（2）图（3）……22015-4032=-．考点：周期数列，分组求和．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1a 与5a 的等比中项为2，则42a a +的最小值等于．5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a .6. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （）(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 2013217. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a Λ .8. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2cos 1πn n a n +=（*N n ∈），则=2014S . 【答案】1006 【解析】试题分析：组成本题数列的通项公式中，有式子cos2n π，它是呈周期性的，周期为4，因此在求和2014S 时，想象应该分组，依次4个为一组，12341(12)1(14)a a a a +++=+-+++6=，56781(16)1(18)6a a a a +++=+-+++=，43424141[1(42)]1(14)k k k k a a a a k k ---+++=+--+++6=，最后还剩下20131a =，2014120142013a =-=-，所以20146503120131006S =⨯+-=．考点：分组求和．9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S= .（用数字作答）10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】等差数列{}n a 中，1102,15a S ==，记2482n n B a a a a =++++L ，则当n =____时，n B 取得最大值.11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知函数()(2318,3133,3x tx x f x t x x ⎧-+≤⎪=⎨-->⎪⎩，记()()*n a f n n N =∈，若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是______________.12. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知无穷数列{}n a 具有如下性质:①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12nn a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，1n a >（2k ≥，*k N ∈），则首项1a 可取数值的个数为（用k 表示）三．拔高题组1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值；（3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】(1) 210n a n =-；（2）20-；（3）229,15,*,940,6,*,n n n n n N T n n n n N ⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩．【解析】2.【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知数列{}a中，n13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.（2）假设在数列{}n a 中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为1k a -，k a ，1k a +（2k ≥，*k N ∈），由题意得，112+-+=k k k a a a ，将1)1(2--+=k k k a ，211)1(2----+=k k k a ，kk k a )1(211-+=++代入上式得……7分])1(2[])1(2[])1(2[21211k k k k k k -++-+=-++---………………8分化简得，21)1(42---⋅=-k k ，即11)1(42---⋅=k k ，得4)2(1=--k ，解得3=k所以，存在满足条件的连续三项为2a ，3a ，4a 成等比数列。

2014黄浦数学二模(理)

上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试卷(2014年4月10日)一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数xxy -+=11log 2的定义域是． 2．函数x x y 22sin cos -=的最小正周期=T ．3．已知全集R U =，集合{}|0,R A x x a x =+≥∈，{}||1|3,R B x x x =-≤∈．若U ()[2,4]C A B =-，则实数a 的取值范围是．4．已知等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则nnn S na ∞→lim的数值是．5．函数)1,0(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间是． 6．函数)0()(2≤-=x x x f 的反函数是)(1x f-，则反函数的解析式是=-)(1x f ．7．方程1)34(log 2+=-x x的解=x ．8．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边的长度分别为c b a 、、，且ab c b a 3222=-+，则=∠C .9．已知i (i 11-=x 是虚数单位，以下同)是关于x 的实系数一元二次方程02=++b ax x 的一个根，则实数=a ，=b ．10．若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是． 11．已知向量)1,0()4,3(-=-=b a，，则向量a 在向量b 的方向上的投影是．12．直线l 的参数方程是12,(R,2x t t y t =-+⎧∈⎨=-⎩t 是参数)，则直线l 的一个方向向量是．(答案不唯一)13．某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，5个是黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球．用随机变量ξ表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量ξ的数学期望值=ξE ．1C第19题图ＡＣ1B1A ＤＢ14．已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2log 20,21)(16x x x x f x．若关于x 的方程2[()]()0f x a f x b +⋅+=(R)a b ∈、有且只有7个不同实数根，则实数a 的取值范围是．二．选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知R a b ∈、，且0ab ≠，则下列结论恒成立的是 [答] ( )．A ． ab b a 2≥+B ．2≥+a b b a C ．2||≥+abb a D ．222a b ab +> 16．已知空间直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“α||l ”的[答] ( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件17．已知22R,0a b a b ∈+≠、，则直线0=+by ax l ：与圆：022=+++by ax y x 的位置关系是[答] ( )．A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定18．给出下列命题：(1) 已知事件B A 、是互斥事件，若35.0)(,25.0)(==B P A P ，则60.0)(=B A P ；(2) 已知事件B A 、是互相独立事件，若60.0)(,15.0)(==B P A P ，则51.0)(=B A P (A 表示事件A 的对立事件)； (3) 183)1(xx +的二项展开式中，共有4个有理项．则其中真命题的序号是 [答]( )．A ．(1)、(2)．B ．(1)、(3)．C ．(2)、(3)．D ．(1)、(2)、(3)．三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,4ACB AC BC AA ∠====， D 是棱1AA 的中点．如图所示．（1）求证：1DC ⊥平面BCD ；（3）求二面角A BD C --的大小．20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．第21题图ABC O 已知复数12cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈．（1）求||21z z -的最小值；（2）设21z z z ⋅=，记z z x f (Im Im )(=表示复数z 的虚部). 将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移2π个单位长度，得到函数)(x g 的图像. 试求函数)(x g 的解析式．21．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内．分界线OB 固定，且OB =(13)+百米，边界线AC 始终过点B ，边界线OC OA 、满足00075,30,45AOC AOB BOC ∠=∠=∠=．设OA x =(36x ≤≤)百米，OC y =百米.（1）试将y 表示成x 的函数，并求出函数y 的解析式；（2）当x 取何值时？整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，并求出其面积的最小值．22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知数列{}n a 满足nn n nn n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)．（1）求753a a a 、、的值；（2）求12-n a (用含n 的式子表示)；（3）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S (用含n 的式子表示)．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知点),(y x M 是平面直角坐标系上的一个动点，点M 到直线4=x 的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍．记动点M 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）斜率为21的直线l 与曲线C 交于B A 、两个不同点，若直线l 不过点)23,1(P ，设直线PB PA 、的斜率分别为PB PA k k 、，求PB PA k k +的数值；（3）试问：是否存在一个定圆N ，与以动点M 为圆心，以MD 为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．参考答案和评分标准(2014年4月10日)一、填空题1．(1,1)-； 2．p ； 3．4a <-； 4．2； 5．[1,)+ ； 6．1()(0)f x x x -=-- ；第19题图ＡO(Ｃ) 1B1AＤＢx y z1C7．2log 3x =； 8．6p； 9．2,2a b =-=； 10．100p ； 11．4； 12．111(2,1)(0,R)t t t ?刮；13．32； 14．524a -<<-．二、选择题： 15．C 16．B 17．B 18．D 三、解答题19．本题满分12分．证明：（1）按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点(0,0,0)C 、(2,0,0)A 、(0,2,0)B 、(2,0,2)D 、1(2,0,4)A 、1(0,0,4)C ．于是，1(2,0,2),(2,0,2),(2,2,2)DC DC DB =-=--=--．可算得110,0DC DC DC DB ⋅=⋅=．因此，11,DC DC DC DB ⊥⊥．又DCDB D =，所以，1DC BDC ⊥平面．（2）设(,,)n x y z =是平面ABD 的法向量．∴0,0.n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩又(2,2,0),(0,0,2)AB AD =-=，∴220,20.x y z -+=⎧⎨=⎩ 取1y =，可得1,1,0.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩即平面ABD 的一个法向量是(1,1,0)n =．由(1)知，1DC 是平面DBC 的一个法向量，记n 与1DC 的夹角为θ，则111c o s 2||||nD Cn D C θ⋅==-， 23πθ=．结合三棱柱可知，二面角A BD C --是锐角， ∴所求二面角A BD C --的大小是3π． 20．本题满分14分解：（1）∵12cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈， ∴2212||(cos 1)(1sin )z z x x -=-++322sin()4x π=+-.∴当sin()14x -=-π，即2(Z)4x k k π=π-∈时，12min ||322(21)z z -=-=-. （2）∵12z z z =⋅，∴12sin cos (1sin cos )i z z z x x x x =⋅=++-. ∴1()1sin cos 1sin 2(R)2f x x x x x =-=-∈. 将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后，得到的图像所对应的函数是111sin 2y x =-. 把函数11sin 2y x =-的图像向右平移2π个单位长度，得到的图像对应的函数是211sin()22y x π=--．∴11()1sin()1cos (R)222g x x x x π=--=+∈. 21．本题满分12分．解：（1）结合图形可知，BOC AOB AOC S S S ∆∆∆+=．于是，000111(13)sin 30(13)sin 45sin 75222x y xy +++=，解得2(36)2x y x x =≤≤-．（2）由（1）知，2(36)2xy x x =≤≤-，因此，20113sin 75242AOCx S xy x ∆+==-134[(2)4]42x x +=-++- 223≥+(当且仅当422x x -=-，即4x =时，等号成立)．答：当400x =米时，整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，最小面积是4(223)10+⨯平方米. 22．本题满分18分．解：（1）n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)，1211324325465376(1)0,33,14,313,112,339.a a a a a a a a a a a a ∴=+-==+==+==+==-==+=（2）由题知，有*21213(1)(N )nnn n a a n +--=+-∈．112123222325121121211225311313(1)3(1)(333)[(1)(1)(1)]3(1)3(1)n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----------⎫∴-=+-⎪-=+-⎪⎪⇒-=++++-+-++-⎬⎪-=+-⎪⎪-=+-⎭．∴*213(1)1(N )2n nn a n ---=-∈．（3）∵*213(1)1(N )2n n n a n ---=-∈，∴*23(1)1(N )2n n n a n +-=-∈．∴21232n n n a a -+=-．又1231n n n S a a a a a -=+++++，1当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++++122(32)(32)(32)n=-+-++-233322n n =⋅--．02当n 为奇数时，123421()()()n n n n S a a a a a a a --=+++++++111221223(1)(32)(32)(32)12n n n ++---=-+-++-+-11223(1)322n n n ++-=---．综上，有2*1122333,22(N )3(1)3.22n n n n n n S n n n ++⎧⋅--⎪⎪=∈⎨⎪----⎪⎩为偶数为奇数 23．本题满分18分．解：（1）由题知，有22|4|2(1)x x y -=-+. 化简，得曲线C 的方程：22143x y +=．（2）∵直线l 的斜率为12，且不过3(1,)2P 点，∴可设直线l ：1(1)2y x m m =+≠且．联立方程组221,431.2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++-=．又交点为1122(,)(,)A x y B x y 、，∴12212,3,02 2.x x m x x m m +=-⎧⎪=-⎨⎪∆>⇒-<<⎩．∴1212332211PA PBy y k k x x --+=+--12121212(2)()23()1x x m x x m x x x x +-+-+=-++ 0.= （3）答：一定存在满足题意的定圆N .理由：∵动圆M 与定圆N 相内切，∴两圆的圆心之间距离||MN 与其中一个圆的半径之和或差必为定值.又(1,0)D 恰好是曲线(椭圆)C 的右焦点，且M 是曲线C 上的动点，记曲线C 的左焦点为(1,0)F -，联想椭圆轨迹定义，有||||4MF MD +=，∴若定圆的圆心N 与点F 重合，定圆的半径为4时，则定圆N 满足题意. ∴定圆N 的方程为：22(1)16x y ++=.。

上海市黄浦区届高三模拟考试数学试题及答案(文)

上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（文）试卷（2014年4月10日）一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.函数xxy -+=11log 2的定义域是．2.函数x x y 22sin cos -=的最小正周期=T ．3.已知全集R U =，集合{}|0,R A x x a x =+≥∈，{}||1|3,R B x x x =-≤∈．若U ()[2,4]C A B =-，则实数a 的取值范围是．4.已知等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则nnn S na ∞→lim的数值是．【答案】2【解析】试题分析：由题意13(1)34n a n n =-+-=-，(1)(1)32n n n S n -=-⋅+⨯=2352n n -，2(34)352n n na n n n n S -=- 226835n n n n -=-，nn n S na ∞→lim 题228668lim lim25353n n n n n n n n→∞→∞--===--．考点：数列的极限．5.函数)1,0(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间是．6.函数)0()(2≤-=x x x f 的反函数是)(1x f -，则反函数的解析式=-)(1x f ．7.方程1)34(log 2+=-x x 的解=x . 【答案】2log 3x = 【解析】试题分析：由已知得1432xx +-=，即2(2)2230x x -⋅-=，(21)(23)0x x +-=，所以23x =，2log 3x =．考点：解对数方程．8.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边的长度分别为c b a 、、，且ab c b a 3222=-+，则=∠C .9.已知i (i 11-=x 是虚数单位，以下同)是关于x 的实系数一元二次方程02=++b ax x 的一个根，则实数=a ，=b ．10.若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是．11.已知直线05301221=+-=-+y x l y x l ：，：，则直线21l l 与的夹角的大小是．(结果用反三角函数值表示)【答案】arccosarctan 7)10或12.已知实数y x 、满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥-.053,04,03y x y x y x 则目标函数1--=y x z 的最大值是．13.某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的7个乒乓球(袋中仅有白色和黄色两种颜色的球)，若从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是72，则从袋中一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是．【答案】1021【解析】试题分析：由题意，袋中白色球有2个，黄色球有5个，随机摸两个的方法数有2721C =，而摸到的一个是白色球，一个是黄色球的方法数为2510⨯=，所求概率为1021．考点：古典概型．14.已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2log 20,21)(16x x x x f x．若关于x 的方程2[()]()0f x a f x b +⋅+=(R)a b ∈、有且只有7个不同实数根，则b a +的值是．二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.已知R a b ∈、，且0ab ≠，则下列结论恒成立的是 ( )． A ． ab b a 2≥+ B ．2≥+a b b aC ．2||≥+a bb a D ．222a b ab +> 【答案】C 【解析】试题分析：当,a b 都是负数时，A 不成立，当,a b 一正一负时，B 不成立，当a b =时，D 不成立，因此只有C 是正确的. 考点：基本不等式.16.已知空间直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“α||l ”的 ( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件17.已知22R,0a b a b ∈+≠、，则直线0=+by ax l ：与圆：022=+++by ax y x 的位置关系是 ( )．A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定18.四棱锥S ABCD -的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如下(AB 平行于主视图投影平面)则四棱锥S ABCD -的体积= ( )A ．24B ．18CD ．8 【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知四棱锥的底面矩形的两边长分别为4和2，高为3，因此124383V =⨯⨯⨯=．考点：三视图与体积．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知矩形11ABB A 是圆柱体的轴截面，1O O 、分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2:1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示． (1)求圆柱体的侧面积S 侧的值；(2)若1C 是半圆弧11A B 的中点，点C 在半径OA 上，且12OC OA =，异面直线1CC 与1BB 所成的角为θ，求sin θ的值．∴ 2R =． ∴1=232S R AA ⋅=ππ侧． (2) 设D 是线段11AO 的中点，联结111DC DC OC 、、，则11111,||C O A B CD BB ⊥．因此，1C CD ∠就是异面直线1CC 与1BB 所成的角，即1C CD ∠=θ．又2R =，011190CDC C O D ∠=∠=，∴11DC CC =∴sin θ==．考点：（1）圆柱的体积与侧面积；（2）异面直线所成的角．20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知复数12cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈．(1)求||21z z -的最小值；(2)设21z z z ⋅=，记z z x f (Im Im )(=表示复数z 的虚部). 将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移2π个单位长度，得到函数)(x g 的图像. 试求函数)(x g 的解析式．平移的知识可很快得出()g x 的表达式.试题解析：(1)∵12cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈，∴12||z z -==∴当sin()14x -=-π，即2(Z)4x k k π=π-∈时，12min ||1)z z -==.(2)∵12z z z =⋅，∴12sin cos (1sin cos )i z z z x x x x =⋅=++-. ∴1()1sin cos 1sin 2(R)2f x x x x x =-=-∈.21.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内．分界线OB 固定，且OB =(1百米，边界线AC 始终过点B ，边界线OC OA 、满00075,30,45AOC AOB BOC ∠=∠=∠=．设OA x =(36x ≤≤)百米，OC y =百米.(1)试将y 表示成x 的函数，并求出函数y 的解析式；(2)当x 取何值时？整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，并求出其面积的最小值．【答案】（1）(36)2y x x =≤≤-；（2）：当400x =米时，整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，最小面积是4(210+⨯平方米.【解析】试题分析：（1）要求函数关系式，实际上是建立起,x y 之间的等量关系，分析图形及已知条件，我们可借第21题图ABCO考点：求函数解析式，三角形的面积公式，分式函数的最值与基本不等式.22.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知数列{}n a 满足n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)． (1)求753a a a 、、的值；(2)求12-n a (用含n 的式子表示)；(3) 记n n n a a b 212+=-，数列{}n b *(N )n ∈的前n 项和为n S ，求n S (用含n 的式子表示)．【答案】（1）3573,13,39a a a ===；（2）*213(1)1(N )2n nn a n ---=-∈；（3）1133222n n +⋅--．∴*213(1)1(N )2n nn a n ---=-∈． (3) 由(2)可知，2213(1)(1)12n nnn n a a -+-=+-=-，*N n ∈． ∴*21232(N )n n n n b a a n -=+=-∈． ∴123n n S b b b b =++++23(32)(32)(32)(32)n =-+-+-++- 1*3(13)13232(N )1322n n n n n +-=-=⋅--∈-．考点：（1）数列的项；（2）数列的通项公式；（3）分组求和．23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知点D 在双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：上，且双曲线的一条渐近线的方程是03=+y x ．(1)求双曲线C 的方程；(2)若过点)1,0(且斜率为k 的直线l 与双曲线C 有两个不同交点，求实数k 的取值范围；(3)设(2)中直线l 与双曲线C 交于B A 、两个不同点，若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值12120x x y y +=，12y y 可用1212,x x x x +表示出来，而1212,x x x x +在(2)中可用k 表示出来，代入刚才的等式，得到k 的方程，可解得k ．试题解析：(1)由题知，有22121,a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，因此，(OA OB O ⊥为坐标原点）．于是，0,OA OB ⋅=即12120x x y y +=，21212(1)()10k x x k x x ++++=， 22222(1)21033k k k k -+++=--，解得1k =±．又1k =±满足230k -≠，且0∆>，所以，所求实数1k =±．考点：（1）双曲线的标准方程；(2)直线与双曲线有两个交点问题；(3)两直线垂直与圆锥网线综合题．。

上海市2014届高三高考数学系列模拟卷(2)答案--含答案

2013学年上海高考数学模拟试卷答题卡B一、填空题 1. {}0,2 2. i 3. 04.89 5. 30- 6. 33(,)33-7. 2± 8. 30 9. 120010. 322-+ 11. 1：24 12. ()()+∞⋃-,50,513. [2,)+∞ 14. )111(222210nx x x a +++ 62π二、选择题15. A B C D 16. A B C D 17. A B C D 18. A B C D21.(本题满分12分）（I ）．因为34cos ,sin 55θθ==,所以24sin 22sin cos 25θθθ==（6分）（II ）因为AOB ∆为等边三角形,所以60AOC ∠=,所以cos cos(60)∠=∠+BOC AOC 34310-=同理, 433sin 10BOC +∠=,故点A 的坐标为343433(,)1010-+（6分）19.(本题满分14分）（I ）由题设AB AC SB SC====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以22OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △ 为等腰三角形，SO BC ⊥，且22SO SA =，从而222OA SO SA +=．所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥．又AO BO O =．所以SO ⊥平面ABC ．（7分）（II ）取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SOSO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM⊥，又32AM SA =，故26sin 33AO AMO AM ∠===．所以二面角A SC B --的余弦值为33（7分）20.(本题满分14分）（I ）157a b =．证明如下：设11a b a ==，则0a ≠，且22a d aq +=……⑴，46a d aq +=……⑵，由⑴，⑵得：()2423a a q q =-，从而42320q q -+=，∴22q =或21q =．（∵0q >，∴1q =，此时0d =，不可，舍之）∴2 2.q =代入⑴得2a d =．61517148,8a a d a b aq a =+===，因此，157a b =．（7分）（II ）假设存在正整数,m n ，使得n m a b =，即()11m a n d aq-+-=，由(1)可知：22,2q a d ==，∴()1212m d n d dq -+-=，∴112m n q -+=，∴()()1221114422m m m n q--++==⨯=，即存在正整数,m n ，使得n m a b =，,m n 之间所满足的关系式为()2112m n ++=，,m n N +∈．事实上，当()2112m n ++=，,m n N +∈时，有()()121n a a n d d n d =+-=+-()1212m n d d +=+=⋅()11212222m m m m d qa aqb ---=⋅=⋅==．故知结论成立．（7分）22.(本题满分16分）（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．23.(本题满分18分）（I ）函数2(0)by x x x=+>的最小值是2b 2，则226b =，∴2log 9b =（4分）。

(上海版第03期)2014届高三数学试题分省分项汇编专题06 平面向量理(含解析)苏教版

（上海版第03期）2014届高三数学试题分省分项汇编专题06 平面向量理（含解析）一．基础题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知向量()θθsin ,cos =a ，()2,1-=，若a ∥b ，则代数式θθθθcos sin cos sin 2+-的值是．2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为)2,1(A ，)3,7(-B ，点C 在直线4=y 上运动，O 为坐标原点，G 为△ABC 的重心，则OC OG ⋅的最小值为__________．3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知)2,0(=a ，)1,1(=b ，则下列结论中正确的是（）.A b b a ⊥-)( .B )()(b a b a +⊥- .C // .D =【答案】A【解析】试题分析：已知两向量的坐标，直接计算，验证各选择支结论是否正确，两向量,c d 垂直等价于0c d ⋅=，计算知A 正确．考点：向量垂直的条件，向量数量积的坐标运算．4. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量，若21e e +=与21e e m -=平行，则实数=m .二．能力题组1. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则xy x y+的值为 .考点：平面向量的基本定理，三角形重心的性质．2. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若i A (n i ,,3,2,1 =)是AOB ∆所在的平面内的点，且OB OA OB OA i ⋅=⋅.给出下列说法：①||||||||21OA OA n ==== ； ②||i OA 的最小值一定是||OB ；③点A 、i A 在一条直线上； ④向量及i OA 在向量的方向上的投影必相等.其中正确的个数是…………………………………………………………………………（）)(A 1个. )(B 2个. )(C 3个. )(D 4个.3. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】如图所示，点,,A B C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点，若OC mOA nOB uuu r uu r uu u r =+，则（）(A)01m n <+<； (B)1m n +>；(C)1m n +<-； (D)10m n -<+<；第18题4. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知△ABC 为等边三角形，=2AB ，设点P ，Q 满足=AP AB λ，=(1)AQ AC λ-，R λ∈，若3=2BQ CP ⋅-，则=λ （）A ．12B ．12±CD ．32-±。

2014届上海市高三年级检测试卷(二模模拟)-数学(理)

2014届上海市高三年级检测试卷（二模模拟）数学（理）一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.若2sin 2cos 2θθ+=-，则cos θ= 2.若bi ia-=-11，其中b a ,都是实数，i 是虚数单位，则bi a += 3.现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为4.抛物线22y x =的焦点为F ，点00(,)M x y 在此抛物线上，且52MF =，则0x =______ 5.某市连续5天测得空气中PM2.5（）的数据（单位：3/g m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为6.平行四边形ABCD 中，AB =（1，0），AC =（2，2），则AD BD ⋅等于7.已知关于x 的二项式nxa x )(3+展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为 8.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒，则b = 9.用半径为210cm ，面积为π2100cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计），则该容器盛满水时的体积是10.已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）右顶点与右焦点的距离为31-，短轴长为22，椭圆方程为11.设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++若“对于任意[)+∞∈,0x ，()1f x a <+”是假命题，则a 的取值范围为12.已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，等比数列{}n a 中，11a =，343tan 39a =，数列{}n a 的前2014项的和为0，则的值为13.][x 表示不超过x 的最大整数，若函数a xx x f -=][)(，当0>x 时，)(x f 有且仅有3个零点，则a 的取值范围为 .14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅=．若PQ PM PN =+，则PQ 的最小值为二．选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是yx DBA OC正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分． 15.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是 A ．A B. B C ．C D ．D16.“lim ,lim n n n n a A b B →∞→∞==”是“lim n n nab →∞存在”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件.C.充分条件.D.既不充分也不必要条件.17.已知函数()sin 2xf x x =∈R ，，将函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐不变），得到函数()g x 的图象，则关于()()f x g x ⋅有下列命题，其中真命题的个数是 ①函数()()y f x g x =⋅是奇函数； ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数；③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点(π，0)中心对称；④函数()()y f x g x =⋅的最大值为33A.1B.2C.3D.418.如图，E 、F 分别为棱长为1的正方体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为面对角线AC 和棱1DD 上的动点（包括端点），则下列关于四面体E FGH -的体积正确的是 A 此四面体体积既存在最大值，也存在最小值； B 此四面体的体积为定值；C 此四面体体积只存在最小值；D 此四面体体积只存在最大值。

上海市黄浦区届高三模拟考试数学试题及答案(理)

上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试卷（2014年4月10日）一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.函数xxy -+=11log 2的定义域是．2.函数x x y 22sin cos -=的最小正周期=T ．3.已知全集R U =，集合{}|0,R A x x a x =+≥∈，{}||1|3,R B x x x =-≤∈．若U ()[2,4]C A B =-，则实数a 的取值范围是．4.已知等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则nnn S na ∞→lim 的数值是．【答案】25.函数)1,0(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间是．6.函数)0()(2≤-=x x x f 的反函数是)(1x f -，则反函数的解析式=-)(1x f ．7.方程1)34(log 2+=-x x 的解=x .考点：解对数方程．8.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边的长度分别为c b a 、、，且ab c b a 3222=-+，则=∠C .9.已知i (i 11-=x 是虚数单位，以下同)是关于x 的实系数一元二次方程02=++b ax x 的一个根，则实数=a ，=b ．10.若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是．11.已知向量)1,0()4,3(-=-=b a，，则向量a 在向量b 的方向上的投影是．【答案】4【解析】试题分析：向量a 在向量b 的方向上的投影是40a b b⋅==．考点：向量的投影． 12.直线l 的参数方程是12,(R,2x t t y t =-+⎧∈⎨=-⎩t 是参数)，则直线l 的一个方向向量是．(答案不唯一)13.某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，5个是黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球．用随机变量ξ表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量ξ的数学期望值=ξE ．14.已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2log 20,21)(16x x x x f x．若关于x 的方程2[()]()0f x a f x b +⋅+=(R)a b ∈、有且只有7个不同实数根，则实数a 的取值范围是．【答案】524a -<<- 【解析】二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.已知R a b ∈、，且0ab ≠，则下列结论恒成立的是 ( )． A ． ab b a 2≥+ B ．2≥+a b b a C ．2||≥+abb a D ．222a b ab +>16.已知空间直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“α||l ”的 ( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】B 【解析】17.已知22R,0a b a b ∈+≠、，则直线0=+by ax l ：与圆：022=+++by ax y x 的位置关系是（）．A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定18.给出下列命题：(1)已知事件B A 、是互斥事件，若35.0)(,25.0)(==B P A P ，则60.0)(=B A P ； (2)已知事件B A 、是互相独立事件，若60.0)(,15.0)(==B P A P ，则51.0)(=B A P (A 表示事件A 的对立事件)； (3)183)1(xx +的二项展开式中，共有4个有理项．则其中真命题的序号是（）A ．(1)、(2)．B ．(1)、(3)．C ．(2)、(3)．D ．(1)、(2)、(3)．数倍，由此0,6,12,18k =共4个数，即展开式中只有4个有理项，正确.选D. 考点：互斥事件的概率，互相独立事件的概率，二项展开式的通项公式.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． (理)已知直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,4ACB AC BC AA ∠====，D 是棱1AA 的中点．如图所示．(1)求证：1DC ⊥平面BCD ；(2)求二面角A BD C --的大小．C 1角与二面角互补或相等来求，下面就是想办法求法向量了，如平面ABD ，可设(,,)n x y z =是它的法向量，利用00n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到220,20.x y z -+=⎧⎨=⎩，只要令1x =，就可得到一个法向量(1,1,0).试题解析：(1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点(0,0,0)C 、(2,0,0)A 、(0,2,0)B 、(2,0,2)D 、1(2,0,4)A 、1(0,0,4)C ．于是，1(2,0,2),(2,0,2),(2,2,2)DC DC DB =-=--=--．可算得110,0DC DC DC DB ⋅=⋅=．因此，11,DC DC DC DB ⊥⊥．又DCDB D =，所以，1DC BDC ⊥平面．记n 与1DC 的夹角为θ，则111cos 2||||n DC n DC θ⋅==-， 23πθ=．结合三棱柱可知，二面角A BD C --是锐角， ∴所求二面角A BD C --的大小是3π．考点：（1）线面垂直；（2）求二面角.20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知复数12cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈．(1)求||21z z -的最小值；(2)设21z z z ⋅=，记z z x f (Im Im )(=表示复数z 的虚部). 将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移2π个单位长度，得到函数)(x g 的图像. 试求函数)(x g 的解析式．12min ||1)z z -==.21.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内．分界线OB 固定，且OB =(1百米，边界线AC 始终过点B 边界线OC OA 、满足00075,30,45AOC AOB BOC ∠=∠=∠=．设OA x =(36x ≤≤)百米，OC y =百米.(1)试将y 表示成x 的函数，并求出函数y 的解析式；(2)当x 取何值时？整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，并求出其面积的最小值．解得(36)2y x x =≤≤-． (2)由(1)知，(36)2y x x =≤≤-，第21题图ABCO因此，2011sin 75242AOCx S xy x ∆==-42)4]2x x =-++-2≥+当且仅当422x x -=-，即4x =时，等号成立)．答：当400x =米时，整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，最小面积是4(210+⨯平方米. 12分考点：求函数解析式，三角形的面积公式，分式函数的最值与基本不等式.22.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知数列{}n a 满足nn n nn n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)．(1)求753a a a 、、的值； (2)求12-n a (用含n 的式子表示)；(3) (理)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S (用含n 的式子表示)．定n S 的最后一项n a 是项还是偶数项，这样分组才能明确.试题解析：(1) n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)，1211324325465376(1)0,33,14,313,112,339.a a a a a a a a a a a a ∴=+-==+==+==+==-==+=(2)由题知，有*21213(1)(N )nnn n a a n +--=+-∈．112123222325121121211225311313(1)3(1)(333)[(1)(1)(1)]3(1)3(1)n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----------⎫∴-=+-⎪-=+-⎪⎪⇒-=++++-+-++-⎬⎪-=+-⎪⎪-=+-⎭∴*213(1)1(N )2n nn a n ---=-∈． (理)(3) ∵*213(1)1(N )2n nn a n ---=-∈， ∴*23(1)1(N )2n nn a n +-=-∈． ∴21232nn n a a -+=-．又1231n n n S a a a a a -=+++++，01当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++++122(32)(32)(32)n =-+-++-233322n n =⋅--．02当n 为奇数时，123421()()()n n n n S a a a a a a a --=+++++++111221223(1)(32)(32)(32)12n n n ++---=-+-++-+-11223(1)322n n n ++-=---．综上，有2*1122333,22(N )3(1)3.22n n n n n n S n n n ++⎧⋅--⎪⎪=∈⎨⎪----⎪⎩为偶数为奇数考点：（1）数列的项；（2）数列的通项公式；（3）数列的前n 项和与分组求和.23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．(理)已知点),(y x M 是平面直角坐标系上的一个动点，点M 到直线4=x 的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍．记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程； (2)斜率为21的直线l 与曲线C 交于B A 、两个不同点，若直线l 不过点)23,1(P ，设直线PB PA 、的斜率分别为PB PA k k 、，求PB PA k k +的数值；(3)试问：是否存在一个定圆N ，与以动点M 为圆心，以MD 为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．试题解析：(1)由题知，有|4|x-=.化简，得曲线C的方程：221 43x y+=．(2)∵直线l的斜率为12，且不过3(1,)2P点，∴可设直线l：1(1)2y x m m=+≠且．。

数学_2014年上海市黄浦区高考数学一模试卷(理科)_(含答案)

2014年上海市黄浦区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 函数f(x)=log 2(x−1)x+2的定义域是________．2. 己知全集U =R ，集合A ={x||x +1|>2, x ∈R}，B ={x|x−2x≤0，x ∈R}，则(∁U A)∩B =________．3. 已知幂函数f(x)存在反函数，且反函数f −1(x)过点(2, 4)，则f(x)的解析式是________f(x)=√x ．4. 方程7⋅3x 9x −2=2的解是________．5. 己知数列{a n }是公差为2的等差数列，若a 6是a 7和a 8的等比中项，则a n =________．6. 已知向量a →=(cosθ,sinθ)，b →=(1,−2)，若a → // b →，则代数式2sinθ−cosθsinθ+cosθ的值是________． 7. 三阶行列式|−sinx0−16cosx2sinx −540|(x ∈R)中元素4的代数余子式的值记为f(x)，则函数f(x)的最小值为________．8. 各项都为正数的无穷等比数列{a n }，满足a 2=m ，a 4=t ，且{x =my =t 是增广矩阵[3−122012]的线性方程组{a 11x +a 12y =c 1a 21x +a 22y =c 2的解，则无穷等比数列{a n }各项和的数值是________． 9. (√x 3√x)15的二项展开式中的常数项是________． 10. 把4个颜色各不相同的乒乓球随机的放入编号为1、2、3、4的四个盒子里．则恰好有一个盒子空的概率是________（结果用最简分数表示）．11. 将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图是一个圆和扇形，己知该扇形的半径为24cm ，圆心角为4π3，则圆锥的体积是________cm 3．12. 从某项有400人参加的群众性运动的达标测试中，随机地抽取50人的成绩统计成如下表，则400人的成绩的标准差的点估计值是________．13. 设向量α→=(a, b)，β→=(m, n)，其中a ，b ，m ，n ∈R ，由不等式|α→⋅β→|≤|α→|⋅|β→|恒成立，可以证明（柯西）不等式(am +bn)2≤(a 2+b 2)(m 2+n 2)（当且仅当α→ // β→，即an =bm 时等号成立），己知x ，y ∈R +，若√x +3√y <k ⋅√x +y 恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是________．14. 己知数列{a n }满足a n+1+(−1)n a n =n ，(n ∈N ∗)，则数列{a n }的前2016项的和S 2016的值是________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 己知实数a，b满足ab>0，则“1a <1b成立”是“a>b成立”的（）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件16. 己知空间两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m // n，m⊥α⇒n⊥α；②α // β，m⊊α，n⊊β⇒m // n；③m // n，m // α⇒n // α；④α // β，m // n，m⊥α⇒n⊥β；其中正确命题的序号是（）A ①④B ②③C ①②④D ①③④17. 某程序框图如图所示，现在输入下列四个函数，则可以输出函数是（）A f(x)=12x−1+12B f(x)=lg1−x1+x−2x C f(x)=x2x−1−12x D f(x)=−2x−3x18. 己知z1，z2，z3∈C，下列结论正确的是（）A z12+z22+z32=0，则z1=z2=z3=0B z12+z22+z32>0，则z12+z22>−z32 C z12+z22>−z32，则z12+z22+z32>0 D z1¯=−z1（z¯为复数z的共轭复数），则z1纯虚数．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. 已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示.(1)连结BC 1，求异面直线AA 1与BC 1所成角的大小； (2)连结A 1C ，A 1B ，求三棱锥C 1−BCA 1的体积．20. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx +c （ω>0，x ∈R ，c 是实数常数）的图象上的一个最高点(π6, 1)，与该最高点最近的一个最低点是(2π3, −3)．（1）求函数f(x)的解析式及其单调增区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且AB →⋅BC →=−12ac ，角A 的取值范围是区间M ，当x ∈M 时，试求函数f(x)的取值范围．21. 我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f(x)与第x 天近似地满足f(x)=8+8x （千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g(x)近似地满足g(x)=143−|x −22|（元）．（1）求该村的第x 天的旅游收入p(x)（单位千元，1≤x ≤30，x ∈N ∗）的函数关系；（2）若以最低日收入的20%作为每一天的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？ 22. 已知函数f(x)=ax 2+bx+c x+d（其中a ，b ，c ，d 是实数常数，x ≠−d ）.(1)若a =0，函数f(x)的图象关于点(−1, 3)成中心对称，求b ，d 的值；(2)若函数f(x)满足条件(1)，且对任意x 0∈[3, 10]，总有f(x 0)∈[3, 10]，求c 的取值范围； (3)若b =0，函数f(x)是奇函数，f(1)=0，f(−2)=−32，且对任意x ∈[1, +∞)时，不等式f(mx)+mf(x)<0恒成立，求负实数m 的取值范围． 23. 已知数列{a n }，满足a 2=6，a n+1−a n +1a n+1+a n −1=1n(n ∈N ∗)，（1）已知b 1=1，b n+1=an+1n(n+1)(n ∈N ∗)，求数列{b n }所满足的通项公式；（2）求数列{a n } 的通项公式；（3）己知lim n →∞n 2n =0，设c n =a n n⋅2n ，(n ∈N ∗)，常数(c ≠0, c ∈R)，若数列{c n }是等差数列，记S n =c 1c +c 2c 2+c 3c 3+...+c n c n ，求lim n →∞S n ．2014年上海市黄浦区高考数学一模试卷（理科）答案1. {x|x>1}2. {x|0<x≤1}3. f(x)=√x4. x=2log325. 6n−4036. 57. −68. 329. 500510. 916π11. 2048√5312. √58713. k>√1014. 101707215. C16. A17. B18. C19. 解：(1)如图，连接AO，并延长与BC交于点D，则AD是BC边上的中线．∵ 点O是正△ABC的中心，且A1O⊥平面ABC，∴ BC⊥AD，BC⊥A1O，∵ AD∩A1O=O．∴ BC⊥平面ADA1．∴ BC⊥AA1．又AA1 // CC1，∴ 异面直线AA1与BC1所成的角为∠BC1C或其补角．∴ CC1⊥BC，BC=CC1=B1C1=BB1=2，即四边形BCC1B1为正方形．∴ 异面直线AA1与BC1所成角的大小为π．4(2)∵ 三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都为2， ∴ AD =√3，AO =23AD =2√33， A 1O =√AA 12−AO 2=2√63． ∴ V ABC−A 1B 1C 1=S △ABC ⋅A 1O =2√2， ∴ V A 1−B 1C 1CB =V ABC−A 1B 1C 1−V A 1−ABC =4√23， ∴ V C 1−BCA 1=V A 1−BCC 1=12V A 1−BCC 1B 1=2√23． 20. ∵ f(x)=√3sinωx +cosωx +c ＝2(√32sinωx +12cosωx)+c＝2sin(ωx +π6)+c ，∴ f(x)max ＝2+c ＝1，f(x)min ＝−2+c ＝−3，∴ c ＝−1；又T2=2π3−π6=π2， ∴ T =2πω=π，∴ ω＝2，∴ f(x)＝2sin(2x +π6)−1．由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2(k ∈Z)，得：kπ−π3≤x ≤kπ+π6(k ∈Z)，∴ 函数f(x)的单调增区间为[kπ−π3, kπ+π6](k ∈Z)；依题意，AB →⋅BC →=|AB →|⋅|BC →|cos <AB →，BC →>=ca ⋅cos(π−B)=−12ac ， ∴ cosB =12，又0<B <π， ∴ B =π3．∴ A ∈(0, 2π3)，即M ＝(0, 2π3)；∴ 当x ∈(0, 2π3)时，2x +π6∈(π6, 3π2)，∴ sin(2x +π6)∈(−1, 1]，∴ f(x)＝2sin(2x +π6)−1∈(−3, 1]．即函数f(x)的取值范围为(−3, 1]． 21. 解：（1）依题意有p(x)=f(x)⋅g(x)=(8+8x)(143−|x −22|)(1≤x ≤30, x ∈N ∗)={8x +968x+976，(1≤x ≤22,x ∈N ∗)−8x +1320x +1312(22<x ≤30,x ∈N ∗)；（2）①当1≤x ≤22，x ∈N ∗时， p(x)=8x +968x+976≥2√8x ×968x+976=1152（当且仅当x =11时，等号成立）∴ p(x)min =p(11)=1152（千元）， ②当22<x ≤30，x ∈N ∗时， p(x)=−8x +1320x+1312，考察函数y =−8x +1320x，可知函数y =−8x +1320x在(22, 30]上单调递减，∴ p(x)min =p(30)=1116（千元），又1152>1116，∴ 日最低收入为1116千元．该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（万元）．∵ 803.52（万元）>800（万元）， ∴ 该村在两年内能收回全部投资成本．22. 解：(1)∵ a =0， ∴ f(x)=bx+c x+d=b +c−bd x+d．类比函数y =kx (x ≠0)的图象，可知函f(x)的图象的对称中心是(−d, b). 又∵ 函f(x)的图象的对称中心(−1, 3)， ∴ {b =3,d =1.(2)由(1)知，f(x)=3+c−3x+1．依据题意，对任x 0∈[3, 10]，恒f(x 0)∈[3, 10]． ①c =3，f(x)=3，符合题意；②c <3时，对任x ∈[3, 10]，恒f(x)=3+c−3x+1<3，不符合题意；③c >3，函f(x)=3+c−3x+1在[3, 10]上是单调递减函数，且满足f(x)>3．因此，只需f(3)≤10即可解得，3<c ≤31．综上，所实数c 的范围3≤c ≤31．(3)依据题设，{f(x)+f(−x)=0,f(1)=0,f(−2)=−32,解得{a =1,c =−1,d =0,于是f(x)=x −1x ．由{f(mx)+mf(x)<0,m <0,x ≥1, 得2mx −1mx −m x <0，∴ (2x 2−1)m 2>1， ∵ m <0， ∴ m <√2x 2−1.因此，m <√2x 2−1min． ∵ 函数y =√2x 2−1≥1)在[1, +∞)是增函数，∴ y min =y(1)=−1．∴ 所求负实数m 的取值范围m <−1． 23. 解：（1）∵a n+1−a n +1a n+1+a n −1=1n，∴ (n −1)a n+1−(n +1)a n =−(n +1)．∴ 当n ≥2(n ∈N ∗)时，有a n+1(n+1)n −a n n(n−1)=1n −1n−1．又∵ b n+1=an+1n(n+1)，a 2=6，∴ b n+1−b n =1n−1n−1，b 2=3．∴ 数列{b n }的递推公式是b 1=1，b 2=3，b n+1−b n =1n−1n−1(n ≥2, n ∈N ∗)，（2）由（1）可知，b n+1−b n =1n −1n−1(n ≥2, n ∈N ∗)，∴ b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+(b n−2−b n−3)+...+(b 2−b 1)+b 1=2+1n−1， ∴ a n =n(n −1)b n =n(2n −1)(n ≥2, n ∈N ∗)，又a 2=6，可求得a 1=1．当n =1时，符合公式．∴ 数列{a n }的通项公式a n =n(2n −1)．（3）由（2）知，c n =n(2n−1)n+c．又{c n }是等差数列，因此，当且仅当c n =n(2n−1)n+c =2n −2c −1+c(2c+1)n+c是关于n 的一次函数或常值函数，即c =−12．于是，c n =2n ，∴ S n =c 1c +c 2c 2+c 3c 3+...+c n c n =2•(−12)+4•(−12)2+...+2n•(−12)n ， ∴ −12S n =2•(−12)2+4•(−12)3+...+2n•(−12)n+1，∴ 两式相减可得32S n =2•(−12)+2•(−12)2+2•(−12)3+...+2•(−12)n −2n•(−12)n+1， ∴ S n =−49+49•(−12)n −4n3•(−12)n+1， ∴limn →∞S n =−49．。