通信系统的计算机模拟第七讲

序数中加上了eps?。
stem(0:2*L,bp,'.') xlabel('Sample index') ylabel('Impulse response')
% plot impulse response
0.3 0.25 0.2
Matlab产生的第一个输出信 号是冲激响应，h[30]＝0.3。 冲激响应关于m＝L=30处的 中心是偶对称的。
j 2 fT
)
k L
h [k ]exp( j 2 kfT )
1
L
h1[k]=h[k+L]
16
分析
H1 (e
j 2 fT
)
k L
h [k ]exp( j 2 kfT )
1
L
（5-68）
• h1[k]=h[k+L]这是由式（5-64）所定义的因果滤波器的冲激响应平移L个 采样点后得到的。
H ( z) |z exp( j 2 fT ) H (exp( j 2 fT ))
H ( z ) bk z k
k 0 N
（5-4）
（5-6）
15
进一步化简

设M=2L+1，利用这一替换并改变序数k=n-L， 可得： H (e ) h[k L]exp[ j 2 (k L) fT ] （5-65）
Impulse response
0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1
0
10
20
30 Sample index
40
50
22
60
Matlab 实现cont 1
figure; a = 1; freqz(bp,a) % plot amp and phase response
50
•Freqz产生FIR滤 波器的幅度响应和 相位响应，再用默 认的画图模式画出 •线性相位相应，因 为冲击响应关于中 心偶对称 •线性相位平移使滤 波器具有因果性 •幅度响应的符号变 换会在阻带范围内 导致锯齿状的相位 响应。
通信系统的计算机模拟
第七讲
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第六讲 回顾



IIR and FIR Filter
IRR滤波器的实现
产生转置直接Ⅱ型滤波器的规则


矩阵形式
Maltab生成 FIR滤波器的实现 IIR滤波器：综合方法与滤波器特性
5


FIR仿真模型的不足

计算效率不如IIR滤波器实现的高。

（5-60）定义的卷积运算，产生一个输出采样点就需要N次（复数）乘法 和加法运算，比如说N>1024 点的话，FIR算法运行起来比典型的IIR滤波 器算法 慢得多。

IIR的复杂度由滤波器的阶数决定的，而不同于FIR滤波器，由 冲激响应的长度决定。



冲激不变滤波器 阶跃不变滤波器 双线性z变换
数字滤波器的计算机辅助设计
3
5.5 FIR滤波器：综合技术与滤波器特性

如果一个滤波器的冲激响应是有限长的，or 冲激响应截 短为有限长的，则离散时域的滤波器输出信号为：
采用标准DSP表示法
y(nT ) T h(kT ) x{(n k )T } （5.59）
4
FIR滤波器的吸引力

1．通信中有的滤波器不能用拉普拉斯变换表示，即不能直接 用IIR，如平方根升余弦（SQRC）脉冲整形滤波器和Jakes多 普勒滤波器（Jakes Doppler filter）。FIR设计方法则可以轻易 地实现这些滤波器的仿真。
2．在许多仿真应用中，滤波器数据可能是以测量的频率响应 或脉冲响应的形式经验性地给出， FIR仿真容易。（虽然有些 方法可以拟合成AMMA自回归滑动平均，但频率响应数据不平 滑时误差大） 3．采用FIR滤波器，可以给定任意幅度响应和相位响应。 4．FIR滤波器没有反馈，因此总是稳定的。
• （5-68）定义滤波器不是一个因果滤波器。
• 但是，它便于采用基本的傅里叶变换法进行设计，并且只要简单地对冲激 响应进行合适的平移就可以变为因果的。
• 很显然，由h[n]和h1[n]所确定的滤波器的幅度响应是相同的，而传递函数 只是相差一个由式（5-67）所定义的线性相位平移。
• 因此，设计过程基于式（5-68）。
1, | f | f s / 2 A( f ) 其它 0,
（5－74）
20
解：

从（5－73） 积分
h1[m] T
fs / 2
fs / 2
(1)exp( j 2 mfT )df
（5－75）
பைடு நூலகம்
h1[m] T
1 1 [exp( j m f sT ) exp( j m f sT )]（5－76） mT j 2
由于fsT＝1，式（5-76）可以改写为 注意，这里
h1[m]
1 sin( m ) （5－77） m
h1[0] h[ L]
21
Matlab 实现
L = 30; % 2L+1 total points lam = 0.3; % normalized cutoff frequency m = -L:1:L; % vector of points bp = sin(pi*lam*(m+eps))./(pi*(m+eps)); % impulse response为了防止当时出现不确%定形式，在
k 0
N N k 0 k 0
N
y[n] h[k ]x[n k ] bk x[n k ]
（5.60） （5.61）
Y ( z ) bk z X ( z )
k 0
N
k
FIR 模拟滤波器卷积积分的离散形式 （5-60）所定义的时域卷积运算可以用MATLAB函数 filter进行仿真
j 2 fT L k L
或者
H (e
j 2 fT
) exp( j 2 LfT ) h[k L]exp( j 2 kfT )
k L
L
（5-66） （5-67） （5-68）
H (e j 2 fT ) exp( j 2 LfT )H1 (e j 2 fT )
H1 (e
0.9 23
1
Matlab 实现 cont2.
figure; subplot(2,1,1) % new figure [H w] = freqz(bp,a); plot(w/pi,abs(H)); grid; % unwindowed amp response xlabel('Frequency (normalized to the Nyquist frequency = fs/2)') ylabel('|H(f)| (unwindowed)')
时域卷积与基于DFT运算的卷 积的计算效率

时域卷积与基于DFT运算的卷积的计算效率之比值跟log2N/N成 比例。

如果冲激响应长度少于128个采样点的话，时域卷积与基于DFT/FFT的卷 积在计算量上没有太大的区别。


如果对冲激响应的长度进行截短，FIR滤波器方法计算效率可以 得到改进。截短等价于使用一个长度为N个采样的窗函数w[k]与 冲激响应h[k](k=1,2,….)相乘。 N值的选择？该窗函数内至少包含有总能量的98%。
y[n] h[n]x[n k ] bk x[n k ]
k 0 k 0
N
N
（5-60）
6
克服FIR仿真模型不足的措施
y[n] h[n]x[n k ] bk x[n k ]
k 0 k 0 N N
（5-60）
通过使用DFT/FFT算子来进行卷积运算，可以改进FIR模型的计算 效率。注意： 1．DFT/FFT运算具有固有的周期性，会产生圆周或周期卷积输 出，为了线性卷积输出，输入和冲激响应进行填零补齐（Zeropadded）。2的整数次幂基-2FFT 2．如果输入序列很长，通常把输入序列分成几个较小的互不重 叠的子块，并对每个输入子块分别进行卷积，以得到对应的输 出子块，然后将这些子块进行适当的交叠再相加。就得出总的 输出。（matlab function fftfilt) 3．基于DFT/FFT的卷积是一种分块处理运算。只有在输入采样 点的数量累积到足够进行DFT/FFT运算之后，才可以产生输出 7 子块的第一个采样点。不能用于仿真反馈循环中的滤波器。
17
设计过程

假设一个滤波器将具有给定幅度响应
H1 (e
在式（5-68）两边同时乘以
A( f ) exp( j 2 mfT )
L
j 2 fT
) A( f ) exp( j 2 mfT )
（5-69）
K L
h [k ]exp[ j2 (m k ) fT ]
1
j 2 fT H ( e ) 的一个周期内，（5-69）两边同 在一个仿真带宽上，即 1
代入（5-70）
h1[m] T
fs / 2
fs / 2
A( f )exp[ j 2 mfT ]df , L m L
（5－73）

这是我们的基本设计方程
19
例5-8 理想数字低通滤波器

我们设计了一个数字低通滤波器，来近似一个 带宽为 f N fs / 2 的理想数字滤波器，这里 fN为奈奎斯特频率，fs为采样频率，是介于0 和1之间的一个参数。因此，期望的幅度响应为

2 | h [ k ] | 0.98 | h [ k ] | 2 k 0 k 0