子句集Σ的极大Horn下界
horn子句集
horn子句集Horn子句集是一种重要的逻辑表达方式，它在人工智能、自然语言处理、知识表示等领域都有广泛的应用。
本文将介绍Horn子句集的概念、特点以及一些常见的例子。
一、Horn子句集的概念Horn子句集是一种逻辑表达式，它由若干个Horn子句组成。
Horn子句是指只有一个正文字和零个或多个负文字的逻辑表达式。
正文字是指被肯定的命题，负文字是指被否定的命题。
Horn子句集中的每个子句都是Horn子句。
例如，以下是一个Horn子句集：1. P(x) :- Q(x), R(x)2. Q(x) :- S(x)3. R(x) :- T(x)4. S(a)5. T(b)其中，每个子句都是Horn子句，因为它们都只有一个正文字和零个或多个负文字。
二、Horn子句集的特点Horn子句集有以下几个特点：1. 每个子句都是Horn子句，即只有一个正文字和零个或多个负文字。
2. Horn子句集中只有一个正文字的子句称为事实，其他子句称为规则。
3. Horn子句集中的规则都是前提和结论的形式，即如果前提成立，则结论也成立。
4. Horn子句集中的规则都是可合并的，即可以将多个规则合并成一个规则。
5. Horn子句集中的规则都是可逆的，即可以将前提和结论互换位置。
三、Horn子句集的例子以下是一些常见的Horn子句集例子：1. 父母(x, y) :- 父亲(x, y)父母(x, y) :- 母亲(x, y)这个Horn子句集表示如果x是y的父亲或母亲，则x是y的父母。
2. 父亲(x, y) :- 爷爷(x, y)父亲(x, y) :- 外公(x, y)这个Horn子句集表示如果x是y的爷爷或外公，则x是y的父亲。
3. 祖先(x, y) :- 父母(x, y)祖先(x, y) :- 祖先(x, z), 父母(z, y)这个Horn子句集表示如果x是y的父母，则x是y的祖先；如果z是y的祖先，且z是x的父母，则x也是y的祖先。
最新离散数学第十五章格与布尔代数简
集中每对元素都有最小上界和最大下界。 b)所示的哈斯图的偏序集不是格，例如元素b和c没有最
小上界。只要注意到d,e,f中每一个都是上界，但这3个元素 的任何一个关于这个偏序集中的序都不小于其它两个。
格的对偶性原理是成立的：
令<L,≤>是偏序集，且<L,≥>是其对偶的偏序 集。若<L,≤>是格，则<L,≥>也是格，反之亦然。 这是因为，对于L中任意a和b，<L,≤>中LUB{a,b} 等同于<L,≥>中GLB {a,b}，<L,≤>中GLB{a,b}等 同于<L,≥>中的LUB{a,b}。若L是有限集，这些性 质易从偏序集及其对偶的哈斯图得到验证。
（结合律）
④ a(ab)=a, a(ab)=a （吸收律）
定理15.1.3 设<L,≤>是格，对任意a,b,cL， 有
①若a≤b和c≤d，则ac≤bd，ac≤bd。 ②若a≤b，则ac≤bc，ac≤bc。 ③c≤a和c≤b c≤ab ④a≤c和b≤c ab≤c
定理15.1.4 设<L,≤>是格，对任意的a,b,cL， 有
注意：并非每个偏序集都是格。如， 设A＝{2,3,6,8}, “整除”关系R={‹2,2›, ‹2,6›, ‹2,8›, ‹3,3›, ‹3,6›, ‹6,6›, ‹8,8›}是A上的一 个偏序关系，则<A，R>是一个偏序集，但不 是格。因为23不存在，68也不存在。
例 确定下图中每个哈斯图表示的偏序集是 不是格。
（2）如果x∈X是Y的上界且对每一个Y的上 界x'均有x≤x'，则称x是Y的最小上界（或上确界 LUB，least upper bound）；如果x∈X是Y的下 界且对每一个Y的下界x'均有x'≤x，则称x是Y的最 大下界（或下确界GLB，greatest lower bound ）
《离散数学》7偏序关系
5
例2 (p109)证明(Z+，R)是偏序集
对于任意的x,y∊Z+，(x,y)∊R当且仅当x|y。
（1）对于任意的x∊Z+,显然有x|x,所以(x,x)∊R,即R 是自反的。
（2）对于任意的x,y∊Z+,若(x,y)∊R,且(y,x)∊R，则 x|y,即存在n∊Z+,y=nx 且 y|x,即存在 m∊Z+,x=my，所以x=mnx，而n,m∊Z+，所以只有 n=m=1，
d
j
k
h
4
c
e
h
i
e
f
g
2
3b
f
g
b
c
d
1
a
bc de
a
a
(a)
(b)
(c)
(d)
29
极大、极小与最大最小元的找法： 1、孤立点。
既是极大元也是极小元。 若图中有孤立点，则必无最大、最小元。 2、除孤立点外， 其他极小元是图中所有向下通路的终点； 其他极大元是图中所有向上通路的终点。 3、若极小元唯一则其为最小元； 若极大元唯一则其为最大元；
显然
2覆盖1 3覆盖1 4覆盖2，但4不覆盖1
4
2
3
1
哈斯图
12
二、哈斯图（Hasse Diagram)
设(A，≺ )是一个偏序集， A是一个有限集，|A|=n。 可以用一个图形来表示偏序集（A，≺）， 这个图形有 n个顶点，每一个顶点表示A中 一个元素， 两个顶点 x与y，若有y覆盖x，则点x在点y 的下方，且两点之间有一条直线相连结。
即x=y时才有(x,y)∊R,且(y,x)∊R ，即R有 反对称性。
horn子句集
horn子句集
Horn子句集（Horn Clause Set）一般用于逻辑推理和知识表示中。
它是一个由Horn子句构成的集合，其中Horn子句是指只有一个正文字和若干个负文字的逻辑表达式。
Horn子句集常用于人工智能中的专家系统。
专家系统是一种能够根据给定的规则和知识，模拟人类专家决策能力，并给出相应的结论的计算机程序。
其中，Horn子句集就是作为专家系统中的规则集合，用于表示知识和推理推断。
Horn子句集的推理方式是基于逻辑的归结推理。
归结推理是一种从已知的事实和规则中推导出新的结论的方法，它可以帮助计算机程序自动地推理和学习。
Horn子句集在实际应用中非常广泛，尤其是在自然语言处理和基于知识的系统中起着重要的作用。
例如，用Horn子句集来表示一些文本之间的关系，可以更加高效地完成文本的分类、聚类、摘要等任务。
总的来说，Horn子句集是一个非常有用的工具，可以帮助我们更好地理解和处理复杂的知识和推理问题。
在未来，随着人工智能技术的不断发展，Horn子句集将会更加广泛地应用于各个领域。
偏序集中的8个特殊元素
由此得到序列a0,a1,a2,……,且满足ai≠ai+1, ai≤ai+1 。
∵|A|=n， ∴以上序列最多只有n个元素。也即上述步骤 经过最多n步后一定停止。序列最后的一 个元素就是极大元。 同理可证极小元存在。
练习 2
集合A = {2, 3, 6, 12, 24, 36}上的整除关系， 令B1= {6, 12}、B2= {2, 3}、B3= {12, 36}、 B4= {2, 3, 6}、B5= {2, 3, 6, 12}、B6= {2, 3, 6, 12, 24, 36}， 求B1、B2、B3、B4、B5和B6的极大元和极小元。
定理
设<A,≤>是一个偏序集，且BA，如果B有最
大(小)元，那么它一定唯一。（最值元存在就唯一）
证(最小元唯一) 设a,b都是B的最小元，
∵a是B的最小元 ∴a≤b， ∵b是B的最小元 ∴b≤a，
由≤的反对称性知：a=b。 即最小元若存在，一定唯一。
练习1
集合A = {2, 3, 6, 12, 24, 36}上的整除关系， 令B1= {6, 12}、B2= {2, 3}、B3= {12, 36}、 B4= {2, 3, 6}、B5= {2, 3, 6, 12}、B6= {2, 3, 6, 12, 24, 36}， 求B1、B2、B3、B4、B5和B6的最大元和最小元。
练习 3
集合A = {2, 3, 6, 12, 24, 36}上的整除关系， 令B1= {6, 12}、B2= {2, 3}、B3= {12, 36}、 B4= {2, 3, 6}、B5= {2, 3, 6, 12}、B6= {2, 3, 6, 12, 24, 36}， 求B1、B2、B3、B4、B5和B6的上界和下界。
人工智能基础_青岛大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
人工智能基础_青岛大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.AlphoGo在落子选择时用的搜索技术是答案:蒙特卡洛树搜索2.下面关于搜索过程描述错误的是答案:对CLOSED表上的节点进行排序的准则，以便选出一个“最好”的节点作为扩展使用3.以下关于与或树说法错误的是答案:或树中各子节点间用弧链接4.以下关于博弈理论说法错误的是答案:博弈双方均力图选取对自己最为不利的方案5.以下关于说法错误的是答案:剪枝就是在搜索深度不变的情况下，利用已有的搜索信息增加生成的节点数6.关于鲁滨逊归结原理叙述错误的是答案:若子句集S不包含空子句，则称子句集S是可满足的7.下面关于概率分配函数说法错误的是答案:样本空间的概率分配函数值为08.以下关于模糊集合的运算说法错误的是答案:A交B的隶属度等于对应元素隶属度的大者9.以下不是常用的模糊推理模式的是答案:模糊因果推理10.以下哪一项不属于专家系统知识库的建立环节答案:知识排序11.下列属于人工智能的知识表示方法的有答案:状态空间表示法逻辑表示法本体表示法产生式表示法12.状态空间表示法用（）和（）来表示问题算符状态13.以下情况首选广度优先搜索的有答案:问题的解出现在相对较浅的水平分支因子不是太大没有一条路径是特别深的14.下面关于爬山法叙述正确的是答案:随机选择一个登山的起点每次拿相邻点与当前点进行比对，取两者中较优者，作为爬坡的下一步选择最大点作为本次爬山的顶点，即为该算法获得的最优解重复直至该点的邻近点中不再有比其大的点15.爬山法中可能遇到的问题有山篱问题高原问题山脊问题16.下面关于最佳优先搜索叙述正确的是答案:open表中节点按照节点接近目标状态的启发式估值实现需要open表和closed表不保留重复状态是一种智能搜索算法17.动态规划算法的特点包括答案:使用最优化原理无后效性有重叠子问题18.搜索算法的评价指标包括答案:完备性最优性单调性可接受性19.关于知识表示叙述正确的有答案:知识表示就是把知识形式化或者模型化好的知识表示形式应便于理解知识表示是一种计算机可以接受的数据结构知识表示具有一定的针对性和局限性20.常用的连接词有答案:蕴含析取否定合取21.推理过程中常用的等价性包括答案:德摩根律结合律分配律交换律22.一个良好的规则库应该具有以下哪些特性答案:知识一致表达灵活知识完整组织合理23.模糊集可用的描述方式有答案:图示表示法扎德表示法函数表示法向量表示法24.专家系统中的知识包括答案:知识库级知识数据级知识控制级知识25.专家系统包括答案:推理机综合数据库知识库26.以下哪些情况适合开发为专家系统答案:问题需要使用启发式知识、经验规则才能得到答案问题有一定的实用价值问题可以通过符号操作和符号结构进行求解问题相对较为复杂27.模仿还原就是一个从当前混乱状态寻找路径到达期望即目标状态的过程答案:正确28.如果所求序列可以使得总代价最低，则问题称为最优搜索问题。
偏序集中的特殊元素
偏序集中的特殊元素偏序是有顺序特点的关系。
偏序集中的特殊元素有极⼤元、极⼩元、最⼤元、最⼩元，以及上界、下界、上确界和下确界⼋种。
定义如下:设偏序集< A，≤ >，B⊆A，y∈B1. 若∀x(x∈B → y≤x)，则y为B的最⼩元2. 若∀x(x∈B → x≤y)，则y为B的最⼤元3. 若∀x（x∈B ∧ x≤y → y=x），则y为B的极⼩元4. 若∀x（x∈B ∧ y≤x → y=x），则y为B的极⼤元设偏序集< A，≤ >，B⊆A，y∈A1. 若∀x（x∈B → x≤y），则y为B的上界2. 若∀x（x∈B → y≤x），则y为B的下界3. 令C={y|y是B的上界}，则C中最⼩元就是B上确界4. 令C={y|y是B的上界}，则C中最⼩元就是B上确界［理解］最⼤元:∀x(x∈B → x≤y)由定义知道，x必须是B中的任何的⼀个元素，也同时y必须和x有关系，也就是说y必须和B内的任何⼀个元素有关系，如果都有x≤y，那么说明y是在排在最后的。
上⾯的题⽬第⼀个B中，关键是（2和3）还有（24和36）之间没有关系，⽽12，6⼜不是最⼤元最⼩元，所以没有最⼤元和最⼩元。
注意！哈斯图中没有相连的两个元素不⼀定就没有关系！根据哈斯图的定义，只有覆盖的才相连。
所以上⾯那⼀幅图中，2和6，12，24，36是有关系的，3也和他们（除了2）有关系，因为2≤6，6≤12，12≤24，12≤36，根据偏序的传递性，2和6，12，24，36都有关系，⽽且都在他们前⾯，同理3也是和他们有关，同理6除了和2，3，12有关，也和24，36有关。
也就是说除了2和3以及24和36两组没有任何关系，其他都有关。
必须和任何元素有关系，才能突出“最”。
同理，最⼩元也是。
极⼤元: ∀x（x∈B ∧ y≤x → y=x）由定义知道，x∈B ∧ y≤x这是极⼤元的两个条件，也就是说x必须属于B，⽽且y和x必须有关系（这⾥说明了并不需要和任何元素都有关系，和特定元素有关系即可，因为如果没有关系，那么就是前假后必真，也属于极⼤元），如果y≤x，那么就是极⼤元，为什么？因为如果y≤x，则y=x的话，说明如果y≠x的时候，y不可能⼩于x，只能⼤于x，故为极⼤元。
Horn逻辑
Horn子句 ∨∼ 1∨∼ 2∨…∨∼ n通常表示为 子句P∨∼ ∨∼Q ∨∼Q 子句 ∨∼Q ∨∼ P←Q1, Q2, …, Qn。 ← 很显然， 子句必取下列四种形式之一： 很显然，Horn子句必取下列四种形式之一： 子句必取下列四种形式之一 (1)P←Q1, Q2, …, Qn (n≠0) ← ≠ 称为过程,P称为过程名 称为过程名,{ … 称为过程体,Q 为过程调用。 称为过程 称为过程名 {Q1,…,Qn}称为过程体 i为过程调用。 (2)P← (上式中 =0)----事实 上式中n= ← 上式中 事实 (3)←Q1,Q2,…,Qn (n≠0)----目标 全部由过程调用组成 目标,全部由过程调用组成 ← ≠ 目标 全部由过程调用组成, 常用来表示询问 (4) □----停机语句 表示程序执行（成功）终止。 停机语句,表示程序执行 停机语句 表示程序执行（成功）终止。
5
9/22/2011
程序执行过程:首先，目标中过程调用AT(dog,train)与 过程名AT(dog,x)匹配（合一为{train/x}）,调用过程 AT(zhang,x){train/x}，从而产生新的目标 目标←AT（zhang，train） 它与事实AT（zhang，train）←匹配，产生目标□，它标 志原目标中过程调用AT（dog，train）成功，由于原 目标中只有一个过程调用，程序执行终止，产生输出： 是。 容易看出，Horn子句逻辑程序的执行过程无异于归结 过程，匹配操作实即归结操作。
《离散数学》练习题
《离散数学》练习题第二部分:.集合1.若集合A 上的关系R 是对称的，则1R -也是对称的。
( )2.数集合上的不等关系()≠可确定A 的一个划分。
( )3.设A ，B ，C 为任意集合，若A B A C ?=?，则 B C =。
( )4.函数的复合运算“。
”满足结合律。
( )5.A ，B ，C 为任意集合，若 A B A C ?=? 则B C =。
( )6.设R 是实数集，R 上的关系R (){},2,,x y x y x y R =-<∈，则R 是相容关系。
() 7.设,A ≤是偏序集，B A ?，则B 的极大元b B ∈且唯一。
( )8.设{}1,2A =，{}B a =，则()222A B A B ??=。
（注其中 2A 为()A ?） ( )9.设 {}0,1A =，{}1,2B =，则{}20,1,1,0,1,2,1,0,1,1,0,2A B ?=。
( )10.集合A 上的恒等关系是一个双射函数。
( )11.设A ，B 为任意集合，不能A B ? 且A B ∈。
( )12.设R 是集合A 上的关系，若12,R R 是对称的，则 12R R 也是对称的。
( )1. 设A ＝{}?，B ＝(())P P A ，下列各式中哪个是错的 ( )A. B ??B. {}B ??C. {{}}B ?∈D. {,{}}()P A2. 设Z 为整数集，下面哪个序偶不构成偏序集 ( )A. Z,B. Z,?≤? (≤：小于等于)C. Z,=?? (＝：等于关系)D. Z,|?? (|：整除关系)3. 设集合{}4,3,2,1=A ，A 上的二元关系{},4,3,4,2,3,2,1,1=R则R 具有 ( )A.自反性B.对称性C.传递性D. 以上答案都不对4. 设{}d c b a A ,,,=，下面哪一个是A 的划分（）A.{}{}{}d c b a ,,,,ΦB. {}{}d c b a ,,,C. {}{}{}{}d a c b a ,,,,D. {}{}{}c b a ,,5. 设A ＝?，B={?,{?}}，则B A -是 ( )A. {{?}}B. {?}C. {?,{?}}D. ?6. 下图描述的偏序集中，子集{b,e,f}的上界为 ( )A. b,cB. a,bC. bD. a,b,c7. 设集合{}{}ΦΦ=,A , 则A 的幂集为： ( )A. {}{}ΦΦ, B. {}{}{}{}{}{}ΦΦΦΦΦ,,,, C. {}{}{}{}ΦΦΦ,, D. {}{}{}{}{}{}{}ΦΦΦΦΦ,,,, 8. 若Q P Q P ?=?, 则P, Q 要满足的条件为（）A. Q P ?B. P Q ?C. Q 为空集D. P=Q``````````````````````````````9. 在０ ?之间应填入的符号为 ( )A. ＝B. ?C. ∈D. ?10. 设,A ?≤?是偏序集，B A ?，下面结论正确的是 ( )A. B 的极大元b B ∈且唯一B. B 的极大元b A ∈且不唯一C. B 的上界b B ∈且不唯一D. B 的上确界b A ∈且唯一11. 集合{}4,3,2,1=I , I 上的关系 R={4,43,44,1,3,3,3,2,23,1,1,1，则R 是（）A. 反对称的B. 传递的C.反自反的D. 自反的12. 设S A B ??，下列各式中哪个是正确的 ( )A. domS B ?B. domS A ?C. ranS A ?D. domS ranS S ?=13. 设A ＝｛1,2,3,4,5｝，下面哪个集合等于A ( )A. ｛1,2,3,4,5,6｝B. {x |x 是整数且225x ≤}C. {x |x 是正整数且5x ≤}D. {x |x 是正有理数且5x ≤}14. 设A ＝｛｛1,2,3｝,{4,5},{6,7,8}｝，下列各式中哪个是错的 ( )A. A ??B. {6,7,8}A ∈C. {{4,5}}A ?D. {1,2,3}A ?15. 设集合X ≠?，则空关系X ?不具备的性质是 ( )A. 自反性B. 反自反性C. 对称性D. 传递性``````````````````````````````````````````````16. 集合A 的一个划分，确定A 的元素间的关系为 ( )A. 全序关系B. 等价关系C. 偏序关系D. 拟序关系17. 设{}d c b a A ,,,=，下面哪一个是A 的划分 ( )(A) {}{}{}d c b a ,,,,Φ (B){}{}d c b a ,,, (C) {}{}{}{}d a c b a ,,,, (D) {}{}{}c b a ,,18. 设集合A ＝{0, b }, B ={1, b , 3}, 则A ?B 上的恒等关系是 ( )(A) {<0, 0>, <1, 1>, <3, 3>} (B){<0, 0>, <1, 1>, ,<3, 3>}(C) {<1, 1>, , <3, 3>} (D) {<0, 1>,<1, b > , , <3, 0>}19. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ?C )= ( )(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {,<2,c >}(C) {,} (D) {<1,c >,}20. 设A , B , C 都是集合，如果A ?C ＝B ?C ，则有 ( )(A) A ＝B (B) A ≠B(C) 当A －C ＝B －C 时,有A =B (D) 当C =E 时, 有A ≠B21. 设集合A ＝{?，a }，则幂集P (A )＝ ( )(A){,{},{,}}a a ?? (B){{},{},{,}}a a ??(C){,{},{},{,{}}},}a a A (D){,{},{},{,}}a a22. 集合A 上的等价关系R ，决定了A 的一个划分，该划分就是( )A. 并集A RB. 交集A RC. 差集A R -D. 商集/A R23. 设1R 和2R 是集合A 上的任意关系，则下列命题为真的是 ( )A. 若1R 和2R 是自反的，则12R R 也是自反的B. 若1R 和2R 是反自反的，则12R R 也是反自反的C. 若1R 和2R 是对称的，则12R R 也是对称的D. 若1R 和2R 是传递的，则12R R 真也是传递的24. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ?C )= ( )(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {,<2,c >}(C) {,} (D) {<1,c >,}25. 设A , B , C 都是集合，如果A ?C ＝B ?C ，则有 ( )(A) A ＝B (B) A ≠B(C) 当A －C ＝B －C 时,有A =B (D) 当C =E 时, 有A ≠B26. 设集合A ＝{?，a }，则幂集P (A )＝ ( )(A){,{},{,}}a a ?? (B){{},{},{,}}a a ??(C){,{},{},{,{}}},}a a A (D){,{},{},{,}}a a27. 集合A 上的关系R 是相容关系的必要条件是 ( )A. 自反的，反对称的B. 反自反的，对称的C. 传递的，自反的D. 自反的，对称的28. 集合{1,2,,10}A = 上的关系R={x,y |x+y=10 x,y }A ∈且则R 的性质为 ( )A. 自反的B. 对称的C. 传递的，对称的D. 反自反的，传递的29. 下面关于集合的表示中，正确的是 ( )A. 0φ=B. {}φφ∈C. φφ∈D. {,}a b φ∈30. 设{}c b a A ,,=，{}2,1=B ，则从A 到B 的所有函数集合中有个函数。
10-11答案及评分标准(1)
一、选择题（每小题2分，共20分）1．C 2．A 3．B 4．A 5．D 6．B 7．B 8．C 9．D 10．A二、填空题（每小题2分，共20分）1．(()())x M x F x ⌝∀→或(()())x M x F x ∃∧⌝ 2．363．{,,,,,,,,}R a a b b c c b c c b =<><><><><> 4．(1)2n n m -- 5．(){1,2,2,4,3,3,1,3,1,1,2,2,4,4}r R =<><><><><><><>6． {{,}}a b 7．2 8．3 9．9 10．38三、解：主析取范式为：01357()()()(()())(()())()()()()()()()()()()()(0,1,3,5,7)p q r p q rp q rp q r r p p q q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r m m m m m ∨→⇔⌝∨∨⇔⌝∧⌝∨⇔⌝∧⌝∧∨⌝∨∨⌝∧∨⌝∧⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧⌝∧⌝∨∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧⇔⌝∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⇔∨∨∨∨⇔∑………… （6分） 主合取范式为：()p q r ∨→246(2,4,6)M M M ⇔∧∧=∏………… （3分）由公式的主析取范式可知：该公式为可满足式。
………… （1分）四、设p ：a 是实数；q ：a 是有理数；r ：a 是无理数；s ：a 能表示成分数。
前提：(),,.p q r s q p s →∨⌝→⌝∧⌝结论：r ………… （4分）证明： ① p s ∧⌝ 前提引入② p ①化简③ s ⌝ ①化简④ ()p q r →∨ 前提引入⑤ q r ∨ ②④假言推理⑥ s q ⌝→⌝ 前提引入⑦ q ⌝ ③⑥假言推理⑧ r ⑤⑦析取三段论………… （6分）五、解：（1）R 的关系矩阵为： R 的关系图为：1110000011101110R M ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ………… （6分）（2）2{<1,1>,<3,1>,<1,3>,<3,3>,<3,2>,<4,3>,<4,1>,<4,2>,<1,2>}R =………… （2分）（3）R 具有传递性 ………… （2分）六、解： (){,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}}P A a b c a b a c b c a b c φ=（1）哈斯图:…………（4分）（2）从哈斯图中可以看出：B 的极大元为{,},{,}a b a c ；极小元为 {}a 。
偏序集合上下界的求法
偏序集合上下界的求法可以分为以下几个步骤：
首先，你需要定义偏序集合的概念。
偏序是一种特殊的线性序，它满足自反性（任意元素都是自己的上界）、反对称性（若（A<B）且（B<A），那么必有A=B）和传递性（若（A<B）且（B<C），那么A<C）。
定义了偏序后，你需要找到集合中的最小上界和最大下界。
接下来，我们将具体讨论如何求偏序集合的上界和下界。
求上界：
1. 找到集合中的所有最大元素，这些最大元素就是可能的上界。
2. 如果存在两个或更多最大元素，那么你需要进一步检查这些元素之间的相对大小。
可能存在多个上界，这取决于它们相对大小如何影响你的上下界定义。
3. 考虑任何可能的公理（如反对称性），以确定是否所有最大元素都是上界。
求下界：
1. 找到集合中的所有最小元素，这些最小元素就是可能的下界。
2. 如果存在两个或更多最小元素，那么你可能需要进一步检查这些元素之间的相对大小。
3. 考虑任何可能的公理（如自反性），以确定是否所有的元素都是下界。
偏序集通常需要用到最小值和最大值的概念，所以在具体的实现中可能需要借助集合操作语言或库的函数来找到这些值。
这些操作在大部分编程语言中都很容易实现。
值得注意的是，以上方法的具体实现会根据问题的具体情况和上下文而变化。
例如，你可能需要考虑元素的属性（如是否可比较），或者你可能有特定的上下界定义需要满足。
以上就是偏序集合上下界的求法，希望对你有所帮助。
如果有任何进一步的问题或需要更具体的解释，欢迎随时提问。
离散数学上界和下界
离散数学上界和下界离散数学是数学中的一个分支，它研究的是离散的数学结构和离散的数学对象。
在离散数学中，上界和下界是两个重要的概念。
它们在数学中的应用非常广泛，不仅在离散数学中有着重要的地位，而且在其他数学分支以及计算机科学等领域也有着重要的应用。
上界和下界是对于一个集合或者序列中的元素而言的。
在数学中，一个集合或者序列中的元素可以有上界和下界。
上界是指集合或者序列中的元素中的最大值，而下界则是指集合或者序列中的元素中的最小值。
上界和下界可以是有限的，也可以是无限的。
在离散数学中，上界和下界的概念可以应用于很多不同的数学结构和对象。
比如，在集合论中，一个集合可以有上界和下界。
如果一个集合中的元素都小于等于某个数x，那么x就是这个集合的上界；如果一个集合中的元素都大于等于某个数y，那么y就是这个集合的下界。
在这种情况下，x是这个集合的最小上界，y是这个集合的最大下界。
在图论中，上界和下界的概念也有着重要的应用。
比如，在最小生成树算法中，我们需要找到一个图的最小生成树，即包含所有顶点的连通子图，并且边的权重之和最小。
在这个算法中，我们需要找到一个上界和一个下界，来帮助我们确定最小生成树的边。
上界可以帮助我们剪枝，减少搜索的空间，而下界可以帮助我们确定搜索的方向，提高算法的效率。
除了集合论和图论，上界和下界的概念还可以应用于其他离散数学的分支，比如组合数学、离散数学的逻辑和证明等。
在组合数学中，上界和下界可以帮助我们确定组合问题的解的范围，从而简化问题的求解过程。
在离散数学的逻辑和证明中，上界和下界可以帮助我们确定命题的真值范围，从而帮助我们进行推理和证明。
总之，离散数学中的上界和下界是两个非常重要的概念。
它们不仅在离散数学中有着重要的地位，而且在其他数学分支以及计算机科学等领域也有着广泛的应用。
通过对上界和下界的研究和应用，我们可以更好地理解和解决离散数学中的问题，提高问题求解的效率和准确性。
计算引论9 推理与计算
原子
若P是一个n元谓词符号，t1,…, tn是项,那 么P(t1,…, tn)是原子 例如，father是表示父子关系的二元谓词， 则father(John, Peter)是原子，表示John 是Peter的父亲。这里 father(John, Peter) 做为基本二元关系。
公式
如下递归定义“公式” i〕原子是公式 ii〕若P,Q是公式，则P→Q, P∧Q, P∨Q, ¬P 是公式 iii〕若P是公式，x是P中的变量，则 (∃x)P，(∀x)P 是公式。
4.4 谓词 谓词Horn逻辑中的自动推理 逻辑中的自动推理
{ if (f≠g) then return “无法合一”; else { θ 1= Unify(t1，s1); θ = θ ◦ θ 1; θ 2= Unify(Substitution(t2, θ ), Substitution(s2, θ )); θ = θ ◦ θ 2; … θ n= Unify(Substitution(tn, θ )，Substitution(sn, θ )); θ = θ ◦ θ n; return θ; } } }
替换（续）
给定两个替换 θ={t1/x1,…, tn/xn} λ={u1/y1,…, um/ym} 将集合 { t1λ/x1,…, tn λ /xn ,u1/y1,…, um/ym } 删去以下元素： ui/yi，当yi∈{ x1,…, xn } ti λ /xi，当ti λ =xi 得到的新替换表示为θ ◦ λ，称为θ 和 λ的复合 。
4.2 Horn逻辑程序 逻辑程序
因为Horn子句结构特殊，Horn逻辑程序上 的消解过程简单。下面分别在命题Horn逻 辑和谓词Horn逻辑情形下给出消解过程。
4.3 命题 命题Horn逻辑中的自动推理 逻辑中的自动推理
离散数学复习资料试卷习题与答案
离散数学复习资料试卷习题与答案离散数学总复习资料一、鸽笼原理与容斥原理1．求证边长为1的正方形中放9个点，由这些点构成的三角形中，必有一个三角形面积小于18。
证：把该正方形均分成四个相同的小正方形，则由鸽笼原理知，必有一个小正方形内存在三个点，且这三个点构成的三角形面积小于18。
# 2．对一列21n +个不同整数，任意排列，证明一定存在长为1n +的上升子序列或下降子序列。
证：设此序列为：2121,,,,,k n a a a a +，从ka 开始上升子序列最长的长度为kx ，下降子序列最长的长度为k y ，每一个k a 2(1,2,,1)k n =+都对应了(,)k kx y 。
若不存在长为1n +的上升子序列或下降子序列，那么,k k xn y n ≤≤，形如(,)k k x y 的不同点对至多有2n 个，而k a 有21n +个，则由鸽笼原理知，必有,i j a a 2(11)i j n ≤<≤+同时对应(,)i i x y =(,)j j x y ，由于i j aa ≠，若i j a a <，则i x 至少比j x 大1，若i j a a >，则iy 至少比j y 大1，这均与(,)i i x y =(,)j j x y 矛盾。
故原命题成立。
#3．求}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数。
解： 设A 表示}100,,2,1{ 中被3整除的数的集合，B 表示}100,,2,1{ 中被4整除的数的集合，C 表示}100,,2,1{ 中被5整除的数的集合，则20,25,33===C B A 6,5,8=⋂=⋂=⋂A C C B B A ， 1=⋂⋂C B A ，进而有-⋂⋂-⋂+-+⋃C⋃=+A⋂⋂BBCABABCAACBC---++=+660158252033=故有40AB⋃C⋃UBCA⋃100=60=-=-⋃即},,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数为40。
基于偏序关系确定特殊元素的标记方法
学术研究China Science & Technology Overview0.引言依据偏序关系画哈斯图并求解特殊元素是离散数学课程考试中经常出现的一类问题，但是由于教材中的定义简洁凝练，相似度高，同学们很容易混淆[1]。
本文在不偏离教材定义的基础上采用可视化的方法求解偏序关系中八大特殊元素。
1.相关概念定义：设R 为非空集合A 上的关系。
如果R 是自反的、反对称的和传递的，则称R 为A 上的偏序关系，记作≤。
设≤为偏序关系，如果<x ,y >∈≤，则记作x ≤y ,读作x “小于或等于”y 。
定义：设<A,≤>为偏序集，B ⊆A，y ∈A。
（1）若∀x (x ∈B →x ≤y )成立，则称y 为B 的上界。
（2）若∀x (x ∈B →y ≤x )成立，则称y 为B 的下界。
（3）令C={y |y 为B 的上界}，则称C 的最小元为B 的最小上界或上确界。
（4）令D={y |y 为B 的下界}，则称D 的最大元为B 的最小上界或上确界。
定义：设<A,≤>为偏序集，B ⊆A，y ∈B。
（1）若∀x (x ∈B →x ≤y)成立，则称y 为B 的最大元。
（2）若∀x (x ∈B →y ≤x )成立，则称y 为B 的最小元。
（3）若∀x (x ∈B ∧y ≤x →x =y )成立，则称y 为B 的极大元。
（4）若∀x (x ∈B ∧x ≤y →x =y )成立，则称y 为B的极小元[2]。
2.基于偏序关系确定特殊元素的标记方法2.1确定哈斯图的标记方法步骤一：在偏序关系二元表中标记相应的偏序关系。
步骤二：在偏序关系二元表中找行组中具有唯一标记的元素，该元素即为同一层元素。
步骤三：删除上一步骤中元素的列，在剩余元素中的行组找唯一标记的元素，该元素即为下一层元素。
依据两收稿日期：2022-09-29作者简介：李晓阳（2001—），男，山西静乐人，本科，研究方向：离散数学。
Horn子句过程解释初探
Horn子句过程解释初探
李芸
【期刊名称】《天津教育学院学报：自然科学版》
【年(卷),期】1995(000)004
【摘要】本文主要介绍组成逻辑程序的Ｈｏｗｎ子句过程解释即可使用自顶向下方式，又可应用自底向上方式进行，并举例说明了自底向上方式比自顶向下方式的优越性。
最后说明了传统程序与逻辑程序的不同，即：传统程序解题逻辑和有关信息控制方法夹杂在一起，因此要受程序控制，而逻辑程序仅关注解题方法的逻辑，不受程序的控制。
【总页数】3页(P25-27)
【作者】李芸
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】TP311
【相关文献】
1.模糊Horn子句规则及其发现算法 [J], 刘东波;卢正鼎
2.模糊Horn子句规则挖掘算法研究 [J], 刘东波;卢正鼎
3.子句集Σ的极大Horn下界 [J], 刘世林;裴峥
4.re-Horn子句集的Horn化及可满足性判定方法 [J], 安世勇;徐扬
5.模糊Horn子句逻辑形式系统 [J], 刘东波;卢正鼎
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用列举表示法写出下列集合
用列举表示法写出下列集合第1章集合论 1( 用列举表示法写出下列集合。
(1)大于10小于20的整数全体;(2)20的所有因数的全体;(3)小于100的12正倍数。
2( 用描述表示法写出下列集合。
(1)从0到1000的整数;(2)奇数的全体;(3)7的倍数;(4)所有实数集上一元一次方程的解组成的集合; (5)能被100整除的整数集合;(6)直角坐标系中，单位元(不包括单位圆周)的点集。
3( 用列举元素法写出下列集合。
,(1){x|(xZ)并且(2,x,10)};(2){x|x是十进制的数字符号};(3){x|x是P 进制的数字符号}，P = 2, 8, 16;(4){x|(x = 2)或(x = 5)};,(5)F = {,x, y,|(x, yZ)并且(0?x?2)并且(-2?y?1)}; (6){x|x是People's Republic of China中的英文字母}。
4( 设全集为Z;下列哪些集合是相等的?,(1)A = {x|x是偶数或奇数};(2)B = {x|((yZ)并且(x = 2y))}; (y)，(3)C = {1, 2, 3}; (4)D = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, …};,(5)E = {2x|xI}; (6)F = {3, 3, 2, 1, 2};323 2(7)G = {x|x - 6x - 7x - 6 = 0};(8)H = {x|x- 6x+11x - 6 = 0}。
5( 找出下列集合之间的关系。
,(1)A = {x|(xZ)并且(1,x,5);(2)B = {2, 3};2(3)C = {x|x - 5x+6 = 0}; (4)D = {{2, 3}}; (5)E = {2}; (6)F = {x|(x = 2)或(x = 3)或(x = 4)或(x = 5)};2 ,(7)G = {2x|(1?x?3)}; (8)H = {x|(xI)并且(x+ x + 1 = 0)}。
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则
且
； ） 存 在 ２若
Ｏ， ／则
” ” Ｈｒ 子句集 ， ， 为 ｏ ｎ
称 为 的 Ｈ ｒ 下 近 ｏ ｎ
Ｏ； ） 于 １ 和 ２ 不能 判断 的情 ｔ３ 对 ） ）
况 ， 采 用其 他 方 法 判 断 。 再
似 ， ” 为 的 Ｈ ｒ 近 似 。称 一个 原 子 或 原 子 称 ｏｎ上
析取 式 。 由于 “ 、 Ｖ” “八” 足分 配律 ， 难证 明 ， 满 不 任 何一 个公式 ， 等价 的意 义下 ， 在 都可化 成析 取范 式或 者合 取范式 。除特 别声 明 ， 文 均 使 用 公式 的合 取 本
范式 。在合 取 范式 中 ， （ ＝１ … ， ） 称 为 公式 Ｇ ｉ ， ｎ也 的一 个子 句 ， 而公式 Ｇ也 称为 一个 子句集 合 ， Ｇ＝ 即
文研究 了基 于模 型 和 Ｈ ｒ 句 的快 速 推 理 方 法 中 ｏｎ子 的极大 Ｈｏ 下界 ， 得 结 论 可用 于 基 于 Ｈ ｍ 子句 ｎ ｒ 所 ｏ 快 速 自动推 理 中。
取式 。称 一个 公 式 Ｇ为 合取 范 式 ， 如果 Ｇ：Ｌ ＾…
八 ， 中 ， （ ＝１ … ， ） 原 子 或 是原 子 的非 的 其 ｉ ， ｎ是
从 一个 或 几 个 已知 的 知识 （ 提 ） 前 逻辑 地 推 论 出一个 新 的知识 （ 结论 ） 的思 维形 式称 为 推 理 ， 这是 事物 的客观 联系 在人脑 意识 中的反映 。从逻 辑 的角 度来看 ， 对知 识 的利 用 就是 推 理 ， 是 逻 辑演 绎 ； 就 因 此， 理 ， 推 特别 是 自动 推 理 ， 仅 是逻 辑 系统 的重要 不 组 成部 分 ， 是人 工 智 能 领 域 的核 心 课 题 之一 。 目 也 前， 自动推理 已被 广泛应 用 于 自然 语言理 解 、 机器 翻
Ａｂ ｔａ ｔ Ａｕ ｏ ｔ ｅ ｓｎ ｎ ｓ ａ ｍｐ ｒ ｎ ｏ ｉ ｏ ｒｉ ｃａ ｎ ｅｌ ｅ ｃ ｅ ｅ ｒｈ ｓ ｒ ｃ ： ｔ ｍａｉ ｒａ ｏ ｉ ｇ ｉ ｎ ｉ ｏ ｔ ｔ ｐ ｃ ｆａｔ ｉｌｉｔ ｌ ｇ ｎ ｅ ｒｓ ａｃ ．Ｆ ｓ ｒａ ｏ ｉ ｇ ｂ ｓ ｄ ｏ ｒ ｌｕ ｅ ｓ ａ ｃ ａ ｔ ｉ ｆ ｉ ａ ｔ ｅ ｓ ｎｎ ａ ｅ ｎ Ｈｏｎ ｃａ ｓ ｓｉ ｎ
第 ３ 第 ３期 １卷
Ｖｏ ． １， ． １ ３ Ｎｏ ３
西 华 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ）
Ｊｕ ｎ ｌｏ ｈ ａ Ｕ ｉｅｓ ｙ ・ Ｎ ｔｒｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｆＸｉｕ ｎｖ ｒｉ ｔ ａｕ ａ ｃｅ ｃ
２１ ０ ２年 ５月
Ｍａ ０１ ｖ２ ２
Ｌｏ ｒＢｏ ｎ ｆＭ ａ ｉ ａ ｒ ｆＨｏ ｎ Ｃｌｕ ｅ Ｓ ｔ∑ ｗｅ ｕ ｄ ｏ ｘｍ ｌＨｏ ｎ ｏ ｒ ａ ｓ ｅ
Ｌ Ｕ ｈ —ｉ Ｉ Ｓ ｉｌｎ，ＰＥＩＺ ｅ ｇ ｈｎ
（ ｃｏｌｆＭａｈｍ ｔｓａｄＣ ｍ ｕｅ Ｅ ｇｎｅｉ ， ｉｕ ｎｖｒｔ， ｈｎ ｄ １０ ９Ｃ ｉ ） Ｓｈｏ ｏ ｔｅ ａｉ ｎ ｏ ｐ ｔ ｎ ｉ ｒ ｇ Ｘｈ ａＵ ｉ ｓｙ Ｃ ｅｇ ｕ６ ０ ３ ｈｎ ｃ ｒ ｅ ｎ ｅｉ ａ
研究了子句集的极小模 型与子句集 的极 大 Ｈ ｒ ｏｎ下界 的关系 ， 出了一种获 取极大 Ｈ ｒ 给 ｏｎ下界 的方法 ， 所得结 论可
用于基于 Ｈｒ子句的快速推理。 ｏ ｎ
关键词 ： 自动推理 ； 子句集的模型 ； 极大 Ｈ ｒ ｏｎ下界
中 图分 类 号 ：Ｐ ８ Ｔ １１ 文 献 标 志 码 ： Ａ
ｒ ａ ｏ ｉｇ ｂ ｓ ｄ ｏ ｒ ｌｕ ｅ ． ｅ ｓ ｎ ｎ ａ ｅ ｎ Ｈｏ ｎ ｃ ａ ｓ ｓ Ｋｅ ｒ ｓ ａ ｔｍａｉ ｅ ｓ ｎ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ： ｕ ｏ ｔ ｒ ａ ｏ ｉｇ；ｍｏ ｅ ｆ ｒ ｌｕ ｅ ｓ ｔ ｏ ｒｂ ｕ ｄ ｏ ｘｍａ ｒ ｃ ｄ ｌｏ ｎ ｃａ ｓ ｅ ；ｌｗｅ ｏ ｎ ｆｍａ ｉ ｌ Ｈｏ Ｈｏ ｎ
文 章 编 号 ：６ ３１９ ２ １ ）３０ １－３ １７ —５ Ｘ（０ ２ ０ －０ １ ０
子 旬 集 的 极 大 Ｈ ｒ 界 ｏｎ下
刘世 林 ， 裴 峥
（ 西华大学数学与计算机学 院， 四川 成都 ６０ ３ ） １０ ９
摘
要： 自动推理是人工智能领域的重要研究课题。基于 Ｈ ｒ ｏｎ子句的快速推理 是一种重要 的 自动推理方 法。
的非 为一个 文 字 （ 子 为正 文 字 ， 子 的非 为 负 文 原 原 字） 。称一 个公 式 Ｇ为析 取范 式 ， 果 Ｇ＝ 如 Ｌ Ｖ… Ｖ
，
其 中 ， ｉ ， ， ） 原 子 或 是 原子 的非 的合 Ｌ （ ＝１ … ｎ 是
译、 机器学习、 式识别 、 模 图像 处理等领域¨ 。本 一
ｉ ｏ ａ ｔｍｅｈ ｄ ｆｒａ ｔ ｍａｉ ｅ ｓ ｎ ｎ ｍｐ ｒ ｎ ｔｏ ｏ ｕ ｏ ｔｃｒ ａ ｏ ｉ ｇ．Ｔｈｅｒ ｌｔｏ ｅ ｗｅ ｎ ｍｉ ｉ ａ ｄ ｌｏ ｒ ｌｕ ｅ ｎ ｘ ｍａ ｏ ｒｂ ｕｎ ｆＨｏ ｌ ｕ ｔ ｅａ ｉｎ ｂ ｔ ｅ ｎｍ ｌｍｏ ｅ ｆＨｏ ｃａ ｓ ｓａ ｄ ｍａ ｉ ｌｌｗｅ ｏ ｄ ｏ ｒ ｃ ａ — ｎ ｎ ｓ ｓｉ ｉｃ ｓ ｅ ｎ ｔ ｉ ｐｅ ，ｔ ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｆｒ ｏ ｔｉ ｎｇ ｍａ ｉ ａ ｏ ｒｂｏ ｎｄ ｏ ｒ ｌｕ ｅ ｓｐｒ ｐ ｓ ｄ，ｗｈｃ ａ ｅ ｕｓ ｄ ｉ ａ ｔ ｅ ｓｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｉ ｈ ｓｐａ ｒ ｈ ｔ ｏ ｏ ｂａｎｉ ｘｍ ｌｌｗｅ ｕ ｆＨｏ ｎ ｃａ ｓ ｓｉ ｏ ｏ ｅ ｉｈ ｃ ｎ ｂ ｅ ｎ ｆｓ