高数第三章自测题答案 (1)
高数阶段练习第三章参考答案
第三章 微分中值定理及导数的应用一、选择题1. 若30sin(6)()lim 0x x xf x x →+= ，则206()lim x f x x→+为（ ） A. 0 B. 6 C. 36 D. ∞2. 设在][1,0上，0)(>''x f ，则下列不等式成立的是（ ）A . )0()0()1()1(f f f f '>->' B. )0()1()0()1(f f f f ->'>'C . )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->'3. 设2()()lim 1()x a f x f a x a →-=--，则在x a =处（ ） A. ()f x 的导数存在 B. ()f x 取得极大值C . ()f x 取得极小值 D. ()f x 的导数不存在4． 设k 为任意实数，则方程33x x k -+在[1,1]-上( )A. 一定没有实根B. 最多只有一个实根C. 最多有两个互异实根D. 最多有三个互异实根5. 设(),()f x g x 在0x 的某个去心邻域内可导，()0g x '≠，且适合0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=,则0()lim ()x x f x g x λ→=是0'()lim '()x x f x g x λ→=的： A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件。
6. 设()f x 在区间(a,b)内二阶可导，0(,)x a b ∈，且00()0,()=0f x f x '''≠，则()f x （ ）A. 在0x x =处不取极值， 但00(,())x f x 是其图形的拐点B. 在0x x =处不取极值，但00(,())x f x 可能是其图形的拐点C. 在0x x =处可能取极值， 00(,())x f x 也可能是其图形的拐点D. 在0x x =处不取极值00(,())x f x 也不是其图形的拐点。
高数(AT)第三章自测卷解答
令f '(x) 0，解得x1 1
而当x2 0时，f (x)的导数不存在。
以x1 1, x2 0为分点,将定义域分为三个区间.
(-,0) (0,1) (1, )
（3）列表
f '(x) x 1 3x
x （ ，0） 0 （0，1） 1 （1， ）
3x
0
x 1
当 x
x 1, x 0
小值；当 x ___0_____ 时
___e____
，
时，
y ___1_____ 为极 大值.
9、设,
x3x, x 0 f (x)
求f(x)的极值.
x 1, x 0
解 x0是函数的分段点（连续但不可导）.
当x<0时, f (x)1; 当x>0时, f (x)3x 3x (ln x 1).
f
n 1
x
=Hale Waihona Puke 1n n! 1+ xn+1
.
故
ln 1 x x x2
2
x3 3
L
1n1
xn n
1n n+11+ xn+1
x n 1.
9、确定曲线 y ln x2 1 的凹、凸区间及拐点.
二、选择题
1、设函数 f (x) 有连续的二阶导数，且 f (0) 0，
f (0) 1, f (0) 2
则
lim
x0
f (x) x x2 =( C
).
A、不存在; B、0； C、-1；
D、-2。
lim lim lim x0
f
高二数学上册第三章单元检测试题(含答案)
高二数学上册第三章单元检测试题(含答案)概率，又称或然率、机会率、机率(几率)或可能性，是概率论的基本概念。
小编准备了高二数学上册第三章单元检测试题，具体请看以下内容。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件甲分得梅花与事件乙分得梅花是()A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上答案均不对[答案] C[解析] 根据互斥事件和对立事件的定义，由题设易知两事件互斥但不对立.2.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：①两球都不是白球;②两球中恰有一白球;③两球中至少有一个白球.其中与事件两球都为白球互斥而非对立的事件是()A.①②B.①③C.②③D.①②③[答案] A[解析] 从口袋内一次取出2个球，当事件A两球都为白球发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件;而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件.3.下面是古典概型的是()A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B.为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将正整数作为基本事件时C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D.抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止[答案] C[解析] 抛掷两枚骰子，所得点数之和为2,3,4，，12中的任意一个，但它们不是等可能出现的，故以所得点数之和作为基本事件，不是古典概型;求任意一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件，有无穷多个，故不是古典概型;从甲地到乙地共n条路线，选任一条路线都是等可能的，而最短路线只有一条，其概率为1n是古典概型;抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止，基本事件空间不确定.4.在5件产品中，有4件正品，从中任取2件，2件都是正品的概率是()A.45B.15C.35D.25[答案] C[解析] 将正品编号为1,2,3,4，次品编号为5，所有可能取法构成集合={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共10种，其中两件都是正品的取法有6种，概率P=610=35.5.袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一黑球的概率是()A.15B.45C.13D.12[答案] B[解析] 从袋中任取2个球，有15种等可能取法(不妨将黑球编号为黑1、黑2、黑3，将白球编号为白1、白2、白3).取出的两个球都是白球有3种等可能取法，取出的两个球，一白一黑有9种等可能取法，事件A=取出的两个球至多1黑，共有9+3=12种取法，P(A)=1215=45.[点评] 至多一黑的对立事件为两个都是黑球故可用对立事件求解.6.先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1、P2、P3，则()A.P1=P2C.P1[答案] B[解析] 点数之和为12的只有一次(6,6)，P1=136;点数之和为11的有两次(5,6)和(6,5)，P2=236=118，点数之和为10的有三次(4,6)，(5,5)和(6,4)，P3=336=112.7.A是圆上固定的一点，在圆上其它位置任取一点A，连接AA，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为() A.12 B.23C.32D.14[答案] B[解析] 这是一个几何概型的题目，要使弦长大于半径，只要A选在如图所示的上.∵A A1=AA2=R，OA=OA1=AA1=R，A1OA=60，AOA2=60，A1OA2=120，它所对的弧长为13圆周，故选B.8.如果下了课后，教室里最后还剩下3位女同学，2位男同学，一会儿又走了一位女同学.如果没有两位同学一块儿走，则下一位是男同学走的可能性为()A.13B.14C.12D.15[答案] C[解析] 已知走了一位女同学，还剩下两位女同学和两位男同学，所有走的可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)一共6种.那么下一位是男同学的可能只有(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，故P=36=12.或因为又走了一个女同学，还有两男、两女四位同学，男、女生人数相等，故有几种男生先走的情形，就有几种女生先走的情形，下一位走的是男同学的可能性为12.9.一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，下列事件的概率：(1)豆子落在红色区域概率为49;(2)豆子落在黄色区域概率为13;(3)豆子落在绿色区域概率为29;(4)豆子落在红色或绿色区域概率为13;(5)豆子落在黄色或绿色区域概率为49.其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个[答案] B[解析] 这是几何概型问题，一颗豆子落在每一点的可能性都是一样的，计算每个事件发生的概率，也就是先求出事件发生的区域，一共9个方块.(1)P=4个方块9个方块=49;(2)P=3个方块9个方块=13;(3)P=2个方块9个方块=29;(4)P=红色或绿色区域全部区域=(4+2)个方块9个方块=23;(5)P=黄色或绿色区域全部区域=3+29=59.只有(1)(2)(3)正确.10.甲、乙两人街头约会，约定谁先到后须等待10分钟，这时若另一个人还没有来就可离开.如果甲1点半到达.假设乙在1点到2点之间何时到达是等可能的，则甲、乙能会面的概率为()A.12B.13C.14D.16[答案] B[解析] 设事件A1：乙在1点到1点20分内到达事件A2：乙在1点20分到1点40分内到达事件A3：乙在1点40分到2点内到达.由题设知，以上三个事件的发生是等可能的.在A1或A3发生的情况下，甲、乙不能见面，在A2发生的情况下，甲、乙能够见面.甲、乙能见到的概率为13.11.一个人连续射击2次，则下列各事件中，与事件恰中一次互斥但不对立的事件是()A.至多射中一次B.至少射中一次C.第一次射中D.两次都不中[答案] D[解析] 记射中为1，不中为0，用(x，y)表示第一次射击结果为x，第二次射击结果为y，则所有可能结果有：(1,0)，(1,1)，(0,1)，(0,0)，恰中一次包括(1,0)和(0,1).当(1,0)发生时，A，B，C都发生了，故选D.12.从-1、0、1、2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数组成不同的二次函数，其中使二次函数有变号零点的概率为()A.79B.712C.59D.512[答案] A[解析] 首先取a，∵a0，a的取法有3种，再取b，b的取法有3种，最后取c，c的取法有2种，共组成不同的二次函数332=18个.f(x)若有变号零点，不论a0还是a0，均应有0，即b2-4ac0，b24ac.①首先b取0时，a、c须异号，a=-1，则c有2种，a取1或2，则c只能取-1，共有4种.②b=1时，若c=0，则a有2种，若c=-1，a只能取2.若c=2，则a=-1，共有4种.③若b=-1，则c只能取0，有2种.④若b=2，取a有2种，取c有2种，共有22=4种.综上所述，满足b24ac的取法有4+4+2+4=14种，所求概率P=1418=79.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13.甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到A、B两个不同的岗位，每个岗位至少1人，则甲、乙被分到同一岗位的概率为________.[答案] 13[解析] 所有可能分配方式如表A甲、乙甲、丙乙、丙甲乙丙B丙乙甲乙、丙甲、丙甲、乙共有基本事件6个，其中事件M=甲、乙两人被分到同一岗位含2个基本事件，P(M)=26=13.14.从编号为1至5的5个大小相同的球中任取2个，则所取球的最大号码不超过3的概率为________.[答案] 310[解析] 用(x，y)表示取出的两个球的号码为x与y，则所有基本事件构成集合.={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共有基本事件10个.设A=所取球的最大号码不超过3，则A={(1,2)，(1,3)，(2,3)}含基本事件3个，P(A)=310.15.沿田字型的路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C的概率是______.[答案] 23[解析] 解法1：按规定要求从A往N走只能向右或向下，所有可能走法有：ADSJN，ADCJN，ADCMN，ABCJN，ABCMN，ABFMN 共6种，其中经过C点的走法有4种，所求概率P=46=23. 解法2：由于从A点出发后只允许向右或向下走，记向右走为1，向下走为2，欲到达N点必须两次向右，两次向下即有两个2两个1.基本事件空间={(1122)，(1212)，(1221)，(2112)，(2121)，(2211)}共6种不同结果，而只有先右再下或先下再右两类情形经过C点，即前两个数字必经一个1一个2，事件A=经过C点含有的基本事件有(1212)，(1221)，(2112)，(2121)共4个，P(A)=46=23.16.如图为铺有1～36号地板砖的地面，现将一粒豆子随机地扔到地板上，豆子落在能被2或3整除的地板砖上的概率为________.12345678910111281920212223242526272829303[答案] 23[解析] 因为每块地板砖的面积相等，所以豆子落在每块地板砖上是等可能的，因为能被2整除的有18块，能被3整除的有12块，能被6整除的有6块，所以能被2或3整除的一共有18+12-6=24(块)，所以所求概率P=24S36S=2436=23.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本题满分12分)有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.试问：(1)他乘火车或乘飞机来的概率;(2)他不乘轮船来的概率;(3)如果他来的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具来的.[解析] (1)记他乘火车来为事件A1，他乘轮船来为事件A2，他乘汽车来为事件A3，他乘飞机来为事件A4，这四个事件中任两个不可能同时发生，故它们彼此互斥.故P(A1A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7.即他乘火车或乘飞机来的概率为0.7.(2)P(A2)=1-P(A2)=1-0.2=0.8.即他不乘轮船来的概率为0.8.(3)由于0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5，故他有可能是乘火车或轮船来的;也有可能是乘汽车或飞机来的.18.(本题满分12分)(08宁夏海南文)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体.(1)求该总体的平均数;(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.[解析] (1)总体平均数为16(5+6+7+8+9+10)=7.5.(2)设A表示事件样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5.从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本结果.事件A包括的基本结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共有7个基本结果.所以所求的概率为P(A)=715.19.(本题满分12分)已知集合A={-3，-1,0,2,4}，在平面直角坐标系中，点(x，y)的坐标xA，yA且xy，计算：(1)点(x，y)不在x轴上的概率;(2)点(x，y)在第二象限的概率.[解析] ∵xA，yA且xy，数对(x，y)的取法共有54=20种.(1)事件A=点(x，y)不在x轴上即点(x，y)的纵坐标y0.∵y=0的点的取法有4种，P(A)=20-420=45.(2)事件B=点(x，y)在第二象限即x0，y0，数对(x，y)取法有：22=4种，P(B)=420=15.20.(本题满分12分)一直角梯形ABCD，AD∥BC，AD=1，AB=1，BC=2，随机向梯形围成平面区域内投一点P，由P向梯形的底作垂线l，求l能与梯形的部分边围成矩形的概率.[解析] 如图，作DEBC垂足为E，当点P落在正方形ABED内时，过P作底的垂线，能与梯形的部分边围成一个矩形，概率P=正方形的面积梯形的面积=23.21.(本题满分12分)从甲地到乙地有一班车9∶30到10∶00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9∶45到10∶15出发的汽车到丙地去，用随机模拟方法求他能赶上车的概率.[解析] 能赶上车的条件是到达乙地时，汽车还没有出发. 我们可以用两组均匀随机数x与y来表示到达乙地的时间和汽车从乙地出发的时间，当xS1 用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足xS2 用变换rand( )*0.5+9.5产生9.5～10之间的均匀随机数x表示到达乙地时间，用变换rand( )*0.5+9.75产生9.75～10.15之间的均匀随机数y表示汽车从乙地出发的时间;S3 判断他是否能赶上车，即是否满足xS4 表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n=n+1，如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则程序结束. 程序结束后，事件A发生的频率mn作为事件A的概率的近似值.[点评] 解题的关键是找两个随机数表示甲地到乙地汽车到达的时间和乙地到丙地汽车的出发时间，自己把求其概率的解法写出.22.(本题满分14分)某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示：(1)依据频率分布直方图，估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;(2)已知在[90,100]段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95,96,97,98,99,100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率.[解析] (1)由图知，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为，(0.020+0.030+0.025+0.005)10=0.80，所以，抽样学生成绩的合格率是80%利用组中值估算抽样学生的平均分：x-=450.05+550.15+650.2+750.3+850.25+950.05=72.估计这次考试的平均分是72分.(2)从95,96,97,98,99,100中抽取2个数，全部可能的基本事件有：(95,96)，(95,97)，(95,98)，(95,99)，(95,100)，(96,97)，(96,98)，(96,99)，(96,100)，(97,98)，(97,99)，(97,100)，(98,99)，(98,100)，(99,100).共15个基本事件如果这2个数恰好是两个学生的成绩，则这2个学生在[90,100]段，而[90,100]的人数是3人，不妨设这3人的成绩是95,96,97.则事件A：2个数恰好是两个学生的成绩包括的基本事件有：(95,96)，(95,97)，(96,97).共有3个基本事件.所以所求的概率为P(A)=315=15.高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，编辑老师为大家整理的高二数学上册第三章单元检测试题，希望大家喜欢。
人教必修高一数学第三章三角恒等变换测试题及答案
高中数学必修4第三章《三角恒等变换》测试题A 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．计算1－°的结果等于 ( )2．cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)等于 ( ) C ．－12D ．－323．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则sin2α的值为 ( )B ．－78D ．－344．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于 ( )A ．－3B ．－13C ．35．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( )D ．1＋236．y ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x 的最小值是 ( ) B ．－2 C ．2D ．－27．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为 ( )B ．－13D ．－233等于 ( )C ．29．把12[sin2θ＋cos(π3－2θ)]－sin π12cos(π12＋2θ)化简，可得 ( )A ．sin2θB ．－sin2θC ．cos2θD ．－cos2θ10．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)·tan α的值为 ( )A ．±4B ．4C ．－4D ．1二、填空题（每小题6分，共计24分）. 11．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________. 12．化简3tan12°－3sin12°·4cos 212°－2的结果为________．13．若α、β为锐角，且cos α＝110，sin β＝25，则α＋β＝______.14．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________．三、解答题（共76分）.15.（本题满分12分）已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2α1－tan α的值．16.（本题满分12分）已知α、β均为锐角，且cos α＝25，sin β＝310，求α－β的值．17.（本题满分12分）求证：1sin 210°－3cos 210°＝32cos20°.18.（本题满分12分）已知－π2<α<π2，－π2<β<π2，且tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两个根，求α＋β的值．19.（本题满分14分）已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15，求：(1)sin x －cos x 的值；(2)求3sin 2x 2－2sin x 2cosx2＋cos 2x2tan x ＋1tan x的值．20.（本题满分14分）已知函数f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．高中数学必修4第三章《三角恒等变换》测试题A 卷参考答案一、选择题 1. 【答案】B.【解析】 1－°＝cos45°＝22，故选B.2. 【答案】B.【解析】 cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)＝cos(39°－9°)＝cos30°＝32.3. 【答案】B.【解析】 sin2α＝cos(2α－π2)＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝－78.4. 【答案】 D【解析】 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.5. 【答案】 A 【解析】原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12si n30°＝54. 6. 【答案】 B【解析】y ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)，∴y max ＝－2.7. 【答案】B.【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π6－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－13.8.【答案】C.【解析】 3－sin70°2－cos 210°＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝23－cos20°3－cos20°＝2.9.【答案】A.【解析】原式＝12[cos(π2－2θ)＋cos(π3－2θ)]－sin π12cos(π12＋2θ)＝cos(5π12－2θ)cos π12－sin π12sin(5π12－2θ)＝cos[(5π12－2θ)＋π12]＝cos(π2－2θ)＝sin2θ. 10.【答案】C.【解析】 3cos[(α＋β)＋α]＋5cos β＝0，即3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos β＝0.3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos[(α＋β)－α]＝0，3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)·cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0，8cos(α＋β)cos α＋2sin(α＋β)sin α＝0，8＋2tan(α＋β)tan α＝0，∴tan(α＋β)tan α＝－4. 二、填空题 11. 【答案】 2【解析】原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又tan(17°＋28°)＝tan17°＋tan28°1－tan17°·tan28°＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28°＝1－tan17°·tan28°，代入原式可得结果为2. 12.【答案】－43【解析】3tan12°－3sin12°·4cos 212°－2＝3tan12°－32sin12°·cos24°＝3tan12°－32cos12°2sin12°·cos12°·2cos24°＝23sin 12°－6cos12°sin48°＝43sin12°·cos60°－cos12°·sin60°sin48°＝－43sin48°sin48°＝－43.13.【答案】3π4【解析】∵α、β为锐角，∴sin α＝31010，cos β＝55，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1010×55－31010×255＝－22<0，又0<α＜π2，0＜β<π2，∴π2<α＋β<π. ∴α＋β＝3π4.14.【答案】π【解析】f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－2(1－cos2x ) ＝sin2x cos π4－sin π4cos2x ＋2cos2x －2＝22sin2x －22cos2x ＋2cos2x － 2 ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2∴最小正周期为π. 三、解答题15. 解： 因为cos α－sin α＝325，所以1－2sin αcos α＝1825，所以2sin αcos α＝725. 又α∈(π，3π2)，故sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－425，所以sin2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2αcos αcos α－sin α＝2sin αcos αcos α＋sin αcos α－sin α＝725×－425325＝－2875. 16. 解： 已知α、β均为锐角，且cos α＝25，则sin α＝1－252＝15.又∵sin β＝310，∴cos β＝1－3102＝110. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝15×110－25×310＝－550＝－22.又∵sin α<sin β，∴0<α<β<π2.∴－π2<α－β<0.∴α－β＝－π4.17. 证明：左边＝11－cos20°2－31＋cos20°2＝21－cos20°－61＋cos20°＝8cos20°－41－cos 220°＝8cos20°－12sin 220° ＝8cos20°－cos60°sin 220°＝8[cos40°－20°－cos40°＋20°]sin 220°＝16sin40°sin20°sin 220°＝32sin 220°cos20°sin 220°＝32cos20°＝右边， ∴原式成立．18. 解： 由题意知tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7 ∴tan α<0，tan β<0. 又－π2<α<π2，－π2<β<π2，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0.∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1，∴α＋β＝－3π4.19. 解：(1)由sin x ＋cos x ＝15，得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925， ∵－π2＜x ＜0.∴sin x ＜0，cos x ＞0.∴sin x －cos x ＜0.故sin x －cos x ＝－75.(2)3sin 2x 2－2sin x 2cos x2＋cos 2x2tan x ＋1tan x＝2sin 2x2－sin x ＋1sin x cos x ＋cos xsin x＝sin x cos x ⎝⎛⎭⎪⎫2sin 2x2－sin x ＋1 ＝sin x cos x [2(1－cos 2x2)－sin x ＋1)]＝sin x cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x2＋2－sin x＝sin x cos x (－cos x ＋2－sin x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－15 ＝－108125.20. 解：(1)因为f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，所以f (x )＝12sin2x sin φ＋1＋cos2x 2cos φ－12cos φ＝12sin2x sin φ＋12cos2x cos φ ＝12(sin2x sin φ＋cos2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． 又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，所以12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1. 又0＜φ＜π，∴φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，变为g (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3.∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14.。
(易错题)高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()()xx af x e a R e=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( )A ．(0,1)B ．(0,0)C ．(1,1)D ．(－2，－1)3．已知函数()2ln f x x x =+，则函数()f x 在1x =处的切线方程是（ ） A ．320x y --= B ．320x y +-= C ．320x y -+= D ．320x y ++=4．已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（ ）A ．4040B ．4C ．2D ．05．函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()g x xf x =，则()'1g =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．326．已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()()3ln f x x a x =+-，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率是1，则实数a =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-7．已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,eB ．()0,2eC ．(,)e +∞D ．(2,)e +∞8．若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2212y x x x -+=≤≤相切，则n （ ） A ．既有最大值又有最小值 B ．有最大值无最小值 C ．有最小值无最大值D ．既无最大值也无最小值9．设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(],1ln 2-∞--B ．(),1ln2-∞--C ．[)1ln 2,++∞D ．()1ln 2,++∞10．某种新产品的社会需求量y 是时间t 的函数，记作：y ＝f （t ）.若f （0）＝y 0，社会需求量y 的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，f （t ）的导函数f '（t ）满足：f '（t ）＝kf （t ）（500﹣f （t ））（k 为正的常数），则函数f （t ）的图象可能为（ ）③ ④① ②A ．①②B ．①③C ．②④D ．①②③11．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为（） A ．－233B ．10C ．20D ．23312．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．92B ．94C ．174D ．178二、填空题13．曲线2x y ae +=的切线方程为260x y -+=，则实数a 的值为_______. 14．已知函数()()1,1ln ,1x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，若方程()=f x ekx 恰有两个实数解，其中e 是自然对数的底数，则实数k 的取值范围为________． 15．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=中,平均变化率最大的是__________.16．已知函数()f x 的导函数为(x)f '，若32()(1)2f x x f x '=+-，则(1)f '的值为___.17．设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．18．过点()0,1且与曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线垂直的直线的方程为______． 19．已知函数()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________.20．已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点(,sin )A αα，且直线l 与曲线()sin f x x =交于点(,sin )B ββ ，若-αβπ=，则tan α的值为________.三、解答题21．设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+．（1）求导函数()'f x ；（2）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)2y e x =-+，求a ，b 的值． 22．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+a （a ∈R ）．（1）若f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线经过点（0，2），求a 的值；（2）若对任意x 1∈[0，2]，都存在x 2∈[2，3]使得f （x 1）+f （x 2）≤2，求实数a 的范围． 23．已知曲线32:32C y x x x =-+，直线:l y kx =，且直线l 与曲线C 相切于点()()000,0x y x ≠，求直线l 的方程及切点的坐标．24．函数在点处的切线方程为，若在区间上，恒成立，求的取值范围.25．已知函数()sin xxf x e =（1）求函数()f x 在点()()0,0M f 处的切线方程；（2）若()0f x k -≤在[]0,x π∈时恒成立，求k 的取值范围． 26．已知函数()2e 2xf x ax x x =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】由函数()f x 为奇函数，解得1a =-，得到1()xx f x e e=-，求得(0)f '，得到切线的斜率，进而可求解切线的方程. 【详解】由题意，因为函数()()xxa f x e a R e=+∈为奇函数，则()0000a f e e =+=，解得1a =-，即1()xx f x e e =-，则1()x x f x e e +'=，所以01(0)2f e e'=+=，即2k =， 且当0x =时，001(0)0f e e=-=，即切点的坐标为(0,0)， 所以切线的方程为2y x =，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率，再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】求出函数的导数，设切点为3(,)m m ，求得切线的斜率，以及切线的方程，运用代入法，将选项代入切线的方程，解方程即可得到结论． 【详解】3y x =的导数为23y x '=，设切点为3(,)m m ，可得切线的斜率为23m ，切线的方程为323y m m x m -=-（），若(0,0)P ，则3230)(m m m -=-，解得0m =，只有一解；若(01)P ，，则32130)(m m m -=-，可得312m =-，只有一解； 若(1,1)P ，则32131m m m -=-（），可得322310m m -+=， 即为2(1)20(1)m m -+=，解得1m =或12-，有两解； 若(2,1)P --，则32132)m m m --=-(-， 可得322610m m +-=，由322()261()612f m m m f m m m '=-=++，，当20m -<<时，()f m 递减；当0m >或2m <-时，()f m 递增． 可得(0)1f =-为极小值，(2)7f -=为极大值， 则322610m m +-=有3个不等实数解． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和设出切点是解题的关键，注意运用排除法，属于中档题．3．A解析：A 【分析】求出导数，求得切线的斜率，切点坐标，由斜截式方程，即可得到切线的方程. 【详解】()2ln f x x x =+， 1()2(0)f x x x x'∴=+>(1)3f '∴=，又(1)1f =，∴函数()f x 在1x =处的切线方程13(1)y x -=-，即320x y --=. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求切线的方程，正确求导是解题的关键，属于基础题．4．B解析：B 【分析】计算得到()()4f x f x +-=，()()''0f x f x --=，代入数据得到答案. 【详解】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++， ()()224'3cos 1xxe f x x x e=-+++，()()''0f x f x --=，(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---，故答案选B . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，计算出()()4f x f x +-=是解题的关键.5．D解析：D 【解析】分析：先求出()'g x 和(1)g '，再求(1)(1)f f '和即得()'1g . 详解：由题得()()(),(1)(1)(1),g x f x xf x g f f =+∴'=+'''因为函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=， 所以1(1),(1)1,2f f =='所以13(1)(1)(1)1.22g f f =+'='=+ 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-6．C解析：C 【分析】利用奇偶性可求得0x >时()f x 的解析式，根据切线斜率为()1f '可构造方程求得结果. 【详解】当0x >时，0x -<，()3ln f x x a x ∴-=-+，()f x 为奇函数，()()()3ln 0f x f x x a x x ∴=--=->， ()23af x x x'∴=-，()131f a '∴=-=，解得：2a =. 故选：C . 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，涉及到利用函数奇偶性求解函数解析式的问题7．D解析：D 【分析】原问题等价于函数()x h x xe =与函数1()()2g x m x =-有两个不同的交点，求出两函数相切时的切线斜率，再结合函数特征，求出m 的取值范围即可. 【详解】解：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，等价于()x h x xe =与1()()2g x m x =-有两个不同的交点，()g x 恒过点1(,0)2，设()g x 与()h x 相切时切点为(,)a a ae ，因为'()(1)x h x e x =+，所以切线斜率为(1)a e a +，则切线方程为(1)()a a y ae a e x a -=+-，当切线经过点1(,0)2时，解得1a =或12a =-（舍），此时切线斜率为2e ，由函数图像特征可知：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则实数m 的取值范围是(2,)e +∞. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的综合应用，由函数零点求参数的取值范围，难度中等.8．C解析：C 【分析】数形结合分析临界条件再判断即可. 【详解】对()2212y x x x -+=≤≤求导有'22y x =+()12x -≤≤,当2x =时'6y =,此时切线方程为()()22226264y x y x -+⨯=-⇒=-,此时642n =-=.此时刚好能够作出两条切线,为临界条件,画出图像有：又当1x =时 3y =为另一临界条件,故[)2,3n ∈.故n 有最小值无最大值. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要数形结合分析临界条件进行求解.属于中档题.9．B解析：B 【分析】判处出()2xt f x e =+单调递增，可得2222a b t a e t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，进而可得a ，b 为方程2x x t e -=的两个实根，进一步转化为函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，求出斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，切线在y 轴上的截距为1ln 22+，只需1ln 222t +->即可. 【详解】因为函数()2xtf x e =+为“倍缩函数”， 所以存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由于()2xt f x e =+单调递增，所以2222a b t ae t be ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a ，b 为方程2xx te -=的两个实根， 进一步转化为函数1xy e =与22x ty -=有两个交点， 不妨先求出与函数1xy e =相切且斜率为12的直线方程． 对于数1x y e =，求导得1x y e '=，令12xe =，解得1ln 2x =，112y =， 所以斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，该直线在y 轴上的截距为1ln 22+， 要使函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，则1ln 222t +->，所以1ln 2t <--，故选：B ． 【点睛】本题是函数的新定义题目，考查了函数的单调性求值域、导数的几何意义求切线方程，属于中档题.10．B解析：B 【分析】令()0f t '=，则()0f t =或500，即当()0f t =或500时，曲线的切线斜率接近0，从而得到答案. 【详解】因为()()()()500f t kf t f t '=﹣， 令()0f t '=，则()0f t =或500，即当()0f t =或500时，曲线的切线斜率接近0， 由选项可知，只有①③符合题意， 故选：B. 【点睛】本题考查函数的实际应用，考查导数的几何意义，根据导数的值求函数图像切线的斜率，属于中档题.11．A解析：A 【解析】 【分析】对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案． 【详解】对等式两边进行求导，得：2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5； 又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233． 故选A ． 【点睛】本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．12．D解析：D 【分析】求导数，将2x =代入导函数解得()2f ' 【详解】()()()()21232ln '432f x x xf x f x x f x''=-+⇒=-+将2x =代入导函数()()()117'2832'228f f f '=-+⇒= 故答案选D 【点睛】本题考查了导数的计算，把握函数里面()2f '是一个常数是解题的关键.二、填空题13．2【分析】根据题意设直线与曲线的切点坐标为利用导数求出切线的方程与比较分析可得且解可得即可得切点的坐标将切点坐标代入曲线方程分析可得答案【详解】根据题意设曲线与的切点的坐标为其导数则切线的斜率又由切解析：2 【分析】根据题意，设直线与曲线的切点坐标为2m m ae +（，），利用导数求出切线的方程，与260x y -+=比较分析可得22m ae +=且226m -+=，解可得2m =-，即可得切点的坐标，将切点坐标代入曲线方程，分析可得答案． 【详解】根据题意，设曲线2x y ae +=与260x y -+=的切点的坐标为2m m ae +（，），其导数2x y ae+'=，则切线的斜率2m k ae += ，又由切线方程为260x y -+=，即26y x =+，则22m k ae +==， 则切线的方程为22m m y aeae x m ++-=-（），又由22m ae +=，则切线方程为22y x m -=-（），即222y x m =-+，则有226m -+=，解可得2m =- ，则切点的坐标为22-（，） ，则有(2)22a e -+=⨯ ， 2a ∴=. 故答案为：2． 【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是求出切点的坐标．14．【分析】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点利用导数求切线方程的斜率运用数形结合思想结合图象进行求解即可【详解】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点设则设过原点的直线与相切的切点解析：1[e -，21]e【分析】方程()f x ekx =恰有两个实数解，即曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点，利用导数求切线方程的斜率，运用数形结合思想结合图象进行求解即可. 【详解】方程()f x ekx =恰有两个实数解， 即曲线()y f x =与直线y ekx = 有两个不同的交点，设()ln g x x =，则1()g x x'=， 设过原点的直线与()ln g x x =相切的切点坐标为：(,)x y ''，则切线方程为：1()y y x x x ''-=-'， 又此切线过点(0,0)，求得：1y '=，即ln 1x '=，即x e '=，即1()g x e''=， 由图可知：曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点时有：11eke-， 即实数k 的取值范围为：1[e -，21]e， 故答案为：1[e -，21]e【点睛】本题考查了分段函数的性质、考查了利用导数求切线方程的斜率，考查了数形结合的思想，考查了数学运算能力.15．③【分析】先根据平均变化率的定义求得再分别计算各选项对应的平均变化率即可求解【详解】根据平均变化率的计算公式可得所以在附近取则平均变化率的公式为则要比较平均变化率的大小只需比较的大小下面逐项判定：①解析：③ 【分析】先根据平均变化率的定义，求得00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，再分别计算各选项对应的平均变化率，即可求解． 【详解】根据平均变化率的计算公式，可得00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆， 所以在1x =附近取0.3x ∆=，则平均变化率的公式为(1.3)(1)0.3y f f x ∆-=∆， 则要比较平均变化率的大小，只需比较(1.3)(1)y f f ∆=-的大小，下面逐项判定：①中，函数y x =，则(1.3)(1)0.3y f f ∆=-=； ②中，函数2yx ，则(1.3)(1)0.69y f f ∆=-=；③中，函数3y x =，则(1.3)(1) 1.197y f f ∆=-=； ④中，函数1y x=中, 则(1.3)(1)0.23y f f ∆=-≈， 所以，平均变化率最大的是③． 【点睛】本题主要考查了平均变化率的应用，其中解答中熟记平均变化率的计算公式，正准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．【解析】【分析】求函数的导函数令即可求出的值【详解】因为令则所以【点睛】本题主要考查了函数的导数及导函数求值属于中档题 解析：3-【解析】 【分析】求函数的导函数，令1x =即可求出()1f '的值. 【详解】因为 2()32(1)f x x f x ''=+令1x =则(1)32(1)f f ''=+ 所以(1)3f '=- 【点睛】本题主要考查了函数的导数，及导函数求值，属于中档题.17．【解析】【分析】对函数求导求得得到a 的方程求解即可【详解】切线与直线平行斜率为又所以切线斜率所以的斜率为即解得故答案为【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数熟记基本初等函数的求导公式准确计算是关键是基 解析：1-【解析】【分析】 对函数1cosx y sinx +=求导，求得πf 2⎛⎫⎪⎝⎭',得到a 的方程求解即可. 【详解】切线与直线x ay 10-+=平行，斜率为1a， 又21cosxy sin x--='， 所以切线斜率πk f'12⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以x ay 10-+=的斜率为1-， 即11a=-，解得a 1=-． 故答案为1-． 【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数，熟记基本初等函数的求导公式，准确计算是关键，是基础题.18．【解析】【分析】求导函数确定切线的斜率可得所求直线的斜率再利用点斜式可得直线方程【详解】当时即曲线在点处的切线斜率为与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为2直线过点所求直线方程为即故答案为【点睛】本题 解析：210x y -+=【解析】 【分析】求导函数，确定切线的斜率，可得所求直线的斜率，再利用点斜式可得直线方程． 【详解】11x y x +=-， 22'(1)y x ∴=--，当3x =时，1'2y =-，即曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线斜率为12-， ∴与曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线垂直的直线的斜率为2， 直线过点()0,1，∴所求直线方程为12y x -=，即210x y -+=．故答案为210x y -+=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线方程，解题的关键是理解导数的几何意义．19．【分析】画出的图像再分析与的交点个数即可【详解】画出函数的图像如图所示：先求与相切时的情况由图可得此时设切点为则解得此时斜率又当时与平行也为临界条件故故答案为：【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数解析：11 , 3e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】画出()11,03ln,0x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩的图像,再分析()f x与y ax=的交点个数即可.【详解】画出函数()f x的图像,如图所示：先求y ax=与lny x=相切时的情况,由图可得此时lny x=,1'yx=设切点为()00,lnx x,则001lnaxx ax⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得0x e=,1ae=.此时xye=.斜率113e>.又当13a=时13y x=与11,03x x+≤平行也为临界条件.故11,3ae⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,3e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意画出图像,再分析临界条件分析.属于中档题.20．【分析】由导数的几何意义求出切线方程代入点坐标由代入后可求得【详解】由题意∴直线的方程为又直线过∴由得∴整理得∴故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义考查同角间的三角函数关系与诱导公式解题时只要由解析：2π 【分析】 由导数的几何意义求出切线方程，代入B 点坐标，由βαπ=-代入后可求得tan α． 【详解】由题意()cos f x x '=，∴直线l 的方程为sin cos ()y x ααα-=-，又直线l 过(,sin )B ββ，∴sin sin cos ()βααβα-=-，由得βαπ=-，∴sin()sin cos ()απααπ--=-，整理得2sin cos απα=，∴tan 2πα=．故答案为：2π． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查同角间的三角函数关系与诱导公式．解题时只要由导数几何意义写出切线方程，代入已知条件即可求解．三、解答题21．（1）()f x '=112ln ---++x x x xae be x beae x x x；（2）1a =，2b =． 【分析】（1）根据导数的运算法则求导； （2）求出(1)f '，由(1)e f ，(1)2f =可求得,a b ．【详解】（1）由1e ()e ln x xb f x a x x-=+，得()1()ln x xbe f x ae x x -'⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭' 112ln x x x xae be x be ae x x x---=++． （2）由题意得，切点既在曲线()y f x =上，又在切线(1)2y e x =-+上，将1x =代入切线方程，得2y =， 将1x =代入函数()y f x =，得(1)f b =， 所以2b =．将1x =代入导函数()'f x 中 得(1)f ae e =='， 所以1a =． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的运算法则，考查导数的几何意义．函数()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-，若求过点()00,x y 的切线方程，则切点坐标为11(,)x y ，写出切线方程111()()y y f x x x '---，代入00(,)x y 求出11,x y 即可得切线方程．22．（1）a ＝1；（2）a ≤3 【分析】（1）出导数，求出切线的斜率和切点，再由两点斜率公式，即可得到a ；（2）运用导数判断()f x 在[0,2]，在[2,3]的单调性，求出最值，由题意得，()()12max min 2f x f x +≤得到不等式，解出即可. 【详解】（1）2()36f x x x '=-，(1)3f '∴=-，又(1)2f a =-，∴切点坐标(1,2)a -， 又∵切线经过点(0,2)， ∴由两点的斜率公式，得431a -=-， 解得1a =；（2）2()363(2)f x x x x x '=-=-，当[0,2]x ∈时，()0,()f x f x '≤单调递减； 当[2,3]x ∈时，()0f x '≥，()f x 单调递增，1[0,2]x ∈，()1f x ∴的最大值为(0)f a =，又2[2,3]x ∈，()2f x ∴的最小值为(2)4f a =-，对任意1[0,2]x ∈，都存在2[2,3]x ∈使得()()122f x f x +≤，()()12max min 2f x f x +≤，即有42a a +-≤， 解得3a ≤． 【点睛】本题主要考查的是导数的运用：求切线方程和求单调区间，最值，考查恒成立和存在思想，注意转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题. 23．14y x =-,33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】切点（x 0，y 0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率，构造方程，求解即可. 【详解】∵直线过原点，∴()0000y k x x =≠． 由点()00,x y 在曲线C 上，得32000032y x x x =-+，∴2000032y x x x =-+． 又∵2362y x x =-+'，∴在点()00,x y 处曲线C 的切线的斜率()2000362k f x x x =-'=+，∴22000032362x x x x -+=-+，整理得200230x x -=，解得()00302x x =≠． 这时，038y =-，14k =-． 因此，直线l 的方程为14y x =-，切点的坐标是33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了导数的几何意义、求函数的导数；“已知”曲线的切点时，包含以下三方面信息：①切点在切线上，②切点在曲线上，③切点横坐标处的导数等于切线的斜率.24．【解析】 【分析】先求出切线方程为，设，则，再对分类讨论，利用导数分析解答得解. 【详解】 解：，在处切线的斜率为，所以切线方程为，即.设，则. 依题意，当时，恒成立.①当时，在区间上，，是增函数，所以；②当时，在区间上，，是减函数，所以.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查函数的单调性、最值的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.25．（1）y x =（2）4,π-⎫+∞⎪⎪⎣⎭【分析】（1）求得函数的导数cos sin ()xx xf x e'-=，得到'(0)1f =，(0)0f =，利用直线的点斜式方程，即可求解其切线的方程；（2）利用导数求得函数()sin xf x e x -=在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在4ππ⎛⎤⎥⎝⎦单调递减，求得函数4max ()2f x e π=，进而由max ()k f x >，即可求解k 的取值范围．【详解】（1）由题意，函数sin ()x x f x e =，则cos sin ()xx x f x e '-=，可得'(0)1f =，又(0)0f =，所以函数()f x 在点(0,(0))M f 处的切线方程为y x =．（2）因为[0,]x π∈，令cos sin ()0x x xf x e '-==，解得4x π=，当x [0,)4π∈时，'()0f x >，当4x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0f x <， 所以函数()sin xf x e x -=在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在4ππ⎛⎤⎥⎝⎦单调递减，所以4max ()42f x f e ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()0f x k -≤，在[0,]x π∈恒成立，即max ()k f x >恒成立，所以42k e π-≥，所以k 的取值范围是4,π-⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的恒成立问题，其中解答中熟记导数的几何意义，以及准确利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题． 26．（1）y x =-；（2）[)1,+∞ 【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（2）根据题意，原问题可以转化为1e xx a +>恒成立，设()1x x g x e+=，求出()g x 的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案． 【详解】（1）当1a =时，()22xf x xe x x =--，其导数()()122xf x ex x =+--'，()01f '=-．又因为()00f =，所以曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y x =-； （2）根据题意，当0x >时，“曲线y=f （x ）在直线y x =-的上方”等价于“2e 2x ax x x x -->-恒成立”， 又由x ＞0，则2e 2x ax x x x -->-10x ae x ⇒-->⇒1ex x a +>， 则原问题等价于1ex x a +>恒成立； 设()1x x g x e +=，则()xxg x e '=-， 又由0x >，则()0g x '<，则函数()g x 在区间()0,∞+上递减， 又由()0101g e ==，则有11x x e+<， 若1e xx a +>恒成立，必有1a ≥， 即a 的取值范围为[)1,+∞． 【点睛】本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即()max a h x >或()min a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x 或()min h x 即得解，属于中档题.。
高一数学必修一第三章测试题及答案：函数的应用
高一数学必修一第三章测试题及答案：函数的应用数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛，小编准备了高一数学必修一第三章测试题及答案，具体请看以下内容。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设U=r，A={x|x0}，b={x|x1}，则AUb=()A{x|01} b.{x|0c.{x|x0}D.{x|x1}【解析】 Ub={x|x1}，AUb={x|0【答案】 b2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0，且a1)的反函数，且f(2)=1，则f(x)=()A.log2xb.12xc.log12xD.2x-2【解析】 f(x)=logax，∵f(2)=1，loga2=1，a=2.f(x)=log2x，故选A.【答案】 A3.下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是()A.f(x)=lnxb.f(x)=1xc.f(x)=|x|D.f(x)=ex【解析】∵y=1x的定义域为(0，+).故选A.【答案】 A4.已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)=12x;当x4时，f(x)=f(x+1).则f(3)=()A.18b.8c.116D.16【解析】 f(3)=f(4)=(12)4=116.【答案】 c5.函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上()A.没有零点b.有一个零点c.有两个零点D.有无数个零点【解析】∵y=-x2+8x-16=-(x-4)2，函数在[3,5]上只有一个零点4.【答案】 b6.函数y=log12(x2+6x+13)的值域是()A.rb.[8，+)c.(-，-2]D.[-3，+)【解析】设u=x2+6x+13=(x+3)2+44y=log12u在[4，+)上是减函数，ylog124=-2，函数值域为(-，-2]，故选c.7.定义在r上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(-2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()A.y=x2+1b.y=|x|+1c.y=2x+1，x0x3+1，x0D.y=ex，x0e-x，x0【解析】∵f(x)为偶函数，由图象知f(x)在(-2,0)上为减函数，而y=x3+1在(-，0)上为增函数.故选c.【答案】 c8.设函数y=x3与y=12x-2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A.(0,1)b.(1,2)c(2,3)D.(3,4)【解析】由函数图象知，故选b.【答案】 b9.函数f(x)=x2+(3a+1)x+2a在(-，4)上为减函数，则实数a 的取值范围是()A.a-3b.a3c.a5D.a=-3【解析】函数f(x)的对称轴为x=-3a+12，要使函数在(-，4)上为减函数，只须使(-，4)(-，-3a+12)即-3a+124，a-3，故选A.10.某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y与投放市场的月数x之间的关系的是()A.y=100xb.y=50x2-50x+100c.y=502xD.y=100log2x+100【解析】对c，当x=1时，y=100;当x=2时，y=200;当x=3时，y=400;当x=4时，y=800，与第4个月销售790台比较接近.故选c. 【答案】 c11.设log32=a，则log38-2log36可表示为()A.a-2b.3a-(1+a)2c.5a-2D.1+3a-a2【解析】 log38-2log36=log323-2log3(23)=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.故选A.【答案】 A12.已知f(x)是偶函数，它在[0，+)上是减函数.若f(lgx)f(1)，则x的取值范围是()A.110，1b.0，110(1，+)c.110，10D.(0,1)(10，+)【解析】由已知偶函数f(x)在[0，+)上递减，则f(x)在(-，0)上递增，f(lgx)f(1)01，或lgx0-lgx1110，或0或110x的取值范围是110，10.故选c.【答案】 c二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知全集U={2,3，a2-a-1}，A={2,3}，若UA={1}，则实数a的值是________.【答案】 -1或214.已知集合A={x|log2x2}，b=(-，a)，若Ab，则实数a的取值范围是(c，+)，其中c=________.【解析】 A={x|0【答案】 415.函数f(x)=23x2-2x的单调递减区间是________.【解析】该函数是复合函数，可利用判断复合函数单调性的方法来求解，因为函数y=23u是关于u的减函数，所以内函数u=x2-2x的递增区间就是函数f(x)的递减区间.令u=x2-2x，其递增区间为[1，+)，根据函数y=23u是定义域上的减函数知，函数f(x)的减区间就是[1，+).【答案】 [1，+)16.有下列四个命题：①函数f(x)=|x||x-2|为偶函数;②函数y=x-1的值域为{y|y③已知集合A={-1,3}，b={x|ax-1=0，ar}，若Ab=A，则a的取值集合为{-1，13};④集合A={非负实数}，b={实数}，对应法则f：求平方根，则f是A到b的映射.你认为正确命题的序号为：________. 【解析】函数f(x)=|x||x-2|的定义域为(-，2)(2，+)，它关于坐标原点不对称，所以函数f(x)=|x||x-2|既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确;函数y=x-1的定义域为{x|x1}，当x1时，y0，即命题②正确;因为Ab=A，所以bA，若b=，满足bA，这时a=0;若b，由bA，得a=-1或a=13.因此，满足题设的实数a的取值集合为{-1,0，13}，即命题③不正确;依据映射的定义知，命题④正确.【答案】②④三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-3x-10的两个零点为x1，x2(x1【解析】 A={x|x-2，或x5}.要使Ab=，必有2m-1-2，3m+25，3m+22m-1，或3m+22m-1，解得m-12，m1，m-3，或m-3，即-121，或m-3.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2ax+2，x[-5,5].(1)当a=-1时，求f(x)的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.【解析】 (1)当a=-1时，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，x[-5,5].由于f(x)的对称轴为x=1，结合图象知，当x=1时，f(x)的最小值为1，当x=-5时，f(x)的最大值为37.(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为x=-a，∵f(x)在区间[-5,5]上是单调函数，-a-5或-a5.故a的取值范围是a-5或a5.19.(本小题满分12分)(1)计算：27912+(lg5)0+(2764)-13;(2)解方程：log3(6x-9)=3.【解析】 (1)原式=25912+(lg5)0+343-13=53+1+43=4.(2)由方程log3(6x-9)=3得6x-9=33=27，6x=36=62，x=2.经检验，x=2是原方程的解.20.(本小题满分12分)有一批影碟机(VcD)原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售，甲商场用下面的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少?【解析】设购买x台，甲、乙两商场的差价为y，则去甲商场购买共花费(800-20x)x，由题意800-20x440.118(xN).去乙商场花费80075%x(xN*).当118(xN*)时y=(800-20x)x-600x=200x-20x2，当x18(xN*)时，y=440x-600x=-160x，则当y0时，1当y=0时，x=10;当y0时，x10(xN).综上可知，若买少于10台，去乙商场花费较少;若买10台，甲、乙商场花费相同;若买超过10台，则去甲商场花费较少.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;【解析】 (1)由1+x0，1-x0，得-1函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)定义域关于原点对称，对于任意的x(-1,1)，有-x(-1,1)，f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x)f(x)为奇函数.22.(本小题满分14分)设a0，f(x)=exa+aex是r上的偶函数.(1)求a的值;(2)证明：f(x)在(0，+)上是增函数.【解析】 (1)解：∵f(x)=exa+aex是r上的偶函数，f(x)-f(-x)=0.exa+aex-e-xa-ae-x=0，即1a-aex+a-1ae-x=01a-a(ex-e-x)=0.由于ex-e-x不可能恒为0，当1a-a=0时，式子恒成立.又a0，a=1.(2)证明：∵由(1)知f(x)=ex+1ex，在(0，+)上任取x1f(x1)-f(x2)=ex1+1ex1-ex2-1ex2=(ex1-ex2)+(ex2-ex1)1ex1+x2.∵e1，0ex1+x21，(ex1-ex2)1-1ex1+x20，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x)在(0，+)上是增函数.高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，小编为大家整理的高一数学必修一第三章测试题及答案，希望大家喜欢。
2020_2021学年新教材高中数学第三章函数测评课后提升训练含解析第一册
第三章测评(时间：120分钟满分:150分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分)1.下列函数与函数y=x相同的是（）A.y=x2B。
y=√t33C.y=√x2D。
y=x2x√t33=t,t∈R.2。
函数f(x)=t|t|的图像是（）f(x）=t|t|={1,t>0,-1,t<0,所以其图像为C。
3。
函数f(x)={1-t2,t≤1,t2-t-3,t>1,则f(f（2）)的值为（)A.-1 B。
—3 C。
0 D。
—8（2)=22—2-3=—1，f(f(2））=f（-1）=1-(—1）2=0.4.已知二次函数f(x）=m2x2+2mx-3，则下列结论正确的是（) A。
函数f（x）有最大值-4B。
函数f（x)有最小值-4C.函数f（x)有最大值—3D 。
函数f (x )有最小值—3,m 2>0，所以f （x ）的图像开口向上,函数有最小值f (x ）min =4t2(-3)-4t 24t 2=—4,故选B .5。
若函数f （x )(x ∈R )是奇函数,则（ ) A.函数f （x 2)是奇函数 B.函数［f （x ）]2是奇函数 C.函数f (x )·x 2是奇函数 D.函数f (x ）+x 2是奇函数((—x ）2）=f （x 2）,则函数f （x 2）是偶函数,故A 错误；［f (-x ）]2=［-f (x ）]2，则函数［f （x )]2是偶函数,故B 错误；函数f (—x )·（-x ）2=—f （x )·x 2,则函数f (x ）·x 2是奇函数,故C 正确;f （—x )+(-x )2=-f (x ）+x 2,则函数f （x ）+x 2不是奇函数，故D 错误.故选C .6。
已知偶函数f （x )在区间［0,+∞）内单调递增，则满足f （2x-1)<f (13)的x 的取值范围是( ) A.(13,23) B.[13,23) C 。
(好题)高中数学必修三第三章《概率》测试(答案解析)(1)
一、选择题1．将曲线22x y x y +=+围成的区域记为Ⅰ,曲线1x y +=围成的区域记为Ⅱ,在区域Ⅰ中随机取一点,此点取自区域Ⅱ的概率为（ ） A ．12π+ B ．11π+ C ．22π+ D ．21π+ 2．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省､浙江省､安徽省三省部分城市，简称“三省一市".现有4名高三学生准备高考后到上海市､江苏省､浙江省､安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游则恰有一个地方未被选中的概率为（ ） A ．2764B ．916C ．81256D ．7163．已知sin y x =，在区间[],ππ-上任取一个实数x ，则y ≥12-的概率为（ ） A ．712B ．23C ．34D ．564．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A ，B 两个贫困县各有15名村代表，最终A 县有5人表现突出，B 县有3人表现突出，现分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是（ ） A ．13B ．47C ．23D ．565．如图，长方形的四个顶点为(0,0)O ，(4,0)A ，(4,2)B ，(0,2)C ，曲线y x =经过点B .现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域外的概率是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．346．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14 B ．13C ．17 D ．4137．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：x 4 6 8 10 12 y12356由表中数据求得y 关于x 的回归方程为ˆˆ0.65yx a =+落在回归直线下方的概率为（ ） A ．25B ．35C ．34D ．128．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y x =围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．169．已知三棱锥P ﹣ABC 的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，则从中任意取出的两条，这两条棱长度相等的概率为（ ） A ．815B ．715C ．45D ．3510．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ）A．116B．18C．38D．31611．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A．15B．625C．825D．2512．连续掷两次骰子，先后得到的点数,m n为点(,)P m n的坐标，那么点P在圆2217x y+=内部的概率是（）A．13B．25C．29D．49二、填空题13．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为__________.14．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________．15．如图，在长方形OABC内任取一点(,)P x y，则点P落在阴影部分BCD内的概率为________.16．十六个图钉组成如图所示的四行四列的方阵，从中任取三个图钉，则至少有两个位于同行或同列的概率为______.17．某种产品每箱装6个,其中有4个合格,2个不合格,现质检人员从中随机抽取2个进行检测,则检测出至少有一个不合格产品的概率是_______.18．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈.若||1a b -，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______.19．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.20．从一堆产品(正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列说法：①“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是互斥事件②“至少有1件正品”和“全是次品”是对立事件③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互斥事件但不是对立事件 ④“至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件也是对立事件其中正确的有______(填序号)．三、解答题21．党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100]的为优等品；指标在区间[60,80)的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：甲种生产方式：乙种生产方式：（1）在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出5件产品，①求这5件产品中，优等品和合格品各多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；（2）所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元.甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元.用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？22．互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为人们首选的支付方式. 某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究. 采用调查问卷的方式对100名18岁以上的成年人进行了研究，发现共有60人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这60人中，45岁以下的占23，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45岁及以上的有30人.（1）从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人的年龄低于45岁的概率；（2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折. 已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品的消费者的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望.23．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长.我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验.相关试验数据统计如下：已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为5 12.（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b a c c d b d-==+++ ++++24．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如下：（1）从空气质量指数属于[0,50]，(50,100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率.（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为0,0100,220,100250,1480,250300.xy xx⎧⎪=<⎨⎪<⎩假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为16，13，16，112，112,16,9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.25．某校某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图（已知本次测试成绩满分100分，且均为不低于50分的整数），请根据图表中的信息解答下列问题.（1）求全班的学生人数及频率分布直方图中分数在[70，80）之间的矩形的高； （2）为了帮助学生提高数学成绩，决定在班里成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[50，60）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为53分，乙同学的成绩为96分，求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率.26．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，可知其概率平分别为1(),1000P A =101(),1000100P B ==501()100020P C ==． （1）求1张奖券中奖的概率；（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】画出曲线22x y x y +=+与曲线1x y +=的图像,再根据几何概型的方法求解即可. 【详解】当0,0x y >>时,曲线22x y x y +=+、曲线1x y +=分别为2222111222x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⇒-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1x y +=.又22x y x y +=+、1x y +=均关于,x y 轴，原点对称.故两曲线围成的区域Ⅰ（正方形和四个半圆）、Ⅱ(正方形）如图：可知区域Ⅰ的面积为22222S ππ⎛⎫+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭正方形；区域Ⅱ的面积为()222=；∴由几何概率公式得：22p π=+.故选：C. 【点睛】本题主要考查了几何概型的运用,需要根据题意去绝对值画出一象限的图像,再根据对称性补全图像.同时也考查了几何概型中面积型的问题.属于中档题.2．B解析：B 【分析】求出4名同学去旅游的所有情况种数，再求出恰有一个地方未被选中的种数，由概率公式计算出概率． 【详解】4名同学去旅游的所有情况有：44256=种恰有一个地方未被选中共有2113424322144C C C A A ⋅⋅=种情况； 所以恰有一个地方未被选中的概率：144925616p ==； 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，本题属于中档题．3．B解析：B 【分析】 求出满足12y ≥-的角x 的范围，由长度比，即可得到该几何概型的概率. 【详解】1sin ,[,]2y x x ππ=≥-∈-，5[,][,]66x ππππ∴∈--⋃-， 则满足12y ≥-的概率为： 5()()266()3P ππππππ---+--==--.故选：B. 【点睛】本题考查了三角不等式的求解，几何概型的计算，属于中档题.4．B解析：B 【分析】由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=，得解． 【详解】由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有111115*********C C C C ⋅-⋅=种不同的选法，又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有1151260C C ⋅=种不同的选法，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=. 故选：B ． 【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.5．A解析：A 【分析】计算长方形面积，利用定积分计算阴影部分面积，由面积测度的几何概型计算概率即可. 【详解】由已知易得：34200216=42=8=[]|33S S x ⨯==⎰阴影长方形，，由面积测度的几何概型：质点落在图中阴影区域外的概率11=3S P S =-阴影长方形 故选：A 【点睛】本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于基础题.6．C解析：C 【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.7．A解析：A 【分析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可．【详解】8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa=⨯+，解得： 1.8a =-， 则0.65.8ˆ1yx =-， 故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个， 故所求概率是25p =， 故选：A ． 【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．8．C解析：C 【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解． 【详解】联立2y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩(1,1)C . 由图可知基本事件空间所对应的几何度量1OBCA S =正方形，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A）3123120021)()|33x dx x x ==-⎰13=． 所以P （A ）1()1313OBCAS A S ===正方形． 故选：C ． 【点睛】本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．B解析：B 【分析】从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=，由此能求出这两条棱长度相等的概率． 【详解】解：三棱锥P ABC -的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=， ∴这两条棱长度相等的概率715m p n ==． 故选：B ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．B解析：B 【分析】设阴影部分正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a，则七巧板所在正方形的边长为， 由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率()2218a =，故选：B. 【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.11．A解析：A 【分析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率. 【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选A. 【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数.12．C解析：C 【分析】所有的点(,)P m n 共有6636⨯=个，用列举法求得其中满足2217x y +<的点(,)P m n 有8个，由此求得点P 在圆2217x y +=内部的概率.【详解】所有的点(,)P m n 共有6636⨯=个，点P 在圆2217x y +=内部，即点(,)P m n 满足2217x y +<，故满足此条件的点(,)P m n 有：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8个，故点P 在圆2217x y +=内部的概率是82369=， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关古典概型概率的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，在解题的过程中，正确找出基本事件的个数以及满足条件的基本事件数是关键.二、填空题13．【分析】基本事件总数选中的都是男医生包含的基本事件个数根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者所以随机选取2名医生赴湖北支援共有个基本事解析：710基本事件总数2510n C==，选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率.【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者，所以随机选取2名医生赴湖北支援共有2510n C==个基本事件，又因为选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，所以至少有1名女医生被选中的概率为3711010 P=-=.故答案为：7 10【点睛】本题主要考查了排列组合，古典概型，对立事件，属于中档题.14．【解析】从分别写有12345的5张卡片中随机抽取1张放回后再随机抽取1张基本事件总数n=5×5=25抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（21）（31）（32）（41）（42解析：2 5【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=2.5故答案为2 5 .15．【分析】利用微积分基本定理先计算出阴影部分的面积根据几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形面积比等于对应的概率即可计算出概率值【详解】由几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形的面积之比等于所解析：1 e【分析】利用微积分基本定理先计算出阴影部分的面积，根据几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形面积比等于对应的概率，即可计算出概率值.由几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形OABC 的面积之比等于所求概率， 记阴影部分面积为1S ，长方形面积为2S ， 所以()1110111xx S e e dx e ee e =⨯-=-=--=⎰，21S e e =⨯=，所以所求概率为121S P S e==. 故答案为：1e. 【点睛】本题考查几何概型中的面积模型以及利用微积分基本定理求解定积分的值，属于综合型问题，难度一般.几何概型中的面积模型的计算公式：()A A P =构成事件的区域面积全部试验结果所构成的区域面积.16．【分析】先求出从16个图钉中任取3个的所有方法数再求出三个图钉分别位于三行或三列的情况的数量利用排除法即得解【详解】从16个图钉中任取3个共有种取法；三个图钉分别位于三行或三列的情况的数量：种至少有 解析：2935【分析】先求出从16个图钉中任取3个的所有方法数，再求出三个图钉分别位于三行或三列的情况的数量，利用排除法，即得解. 【详解】从16个图钉中任取3个共有316560C =种取法；三个图钉分别位于三行或三列的情况的数量：34432=96C ⨯⨯⨯种 至少有两个位于同行或者同列的情况的数量：56096464-=种. 所以至少有两个位于同行或同列的概率为2935. 故答案为：2935【点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.17．【分析】首先明确试验发生包含的事件是从6个产品中抽2个共有种结果满足条件的事件是检测出至少有一个不合格产品共有种结果根据古典概型概率公式得到结果【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率因为试验发生解析：35首先明确试验发生包含的事件是从6个产品中抽2个，共有26C 种结果，满足条件的事件是检测出至少有一个不合格产品，共有112242C C C +种结果，根据古典概型概率公式得到结果.【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，因为试验发生包含的事件是6个产品中抽取2个，共有2615C =种结果， 满足条件的事件是检测出至少有一个不合格产品，共有1122429C C C +=种结果，所以检测出至少有一个不合格产品的概率是93155=， 故答案是：35. 【点睛】该题考查的是有关等可能事件的概率的求解问题，在解题的过程中，注意对试验所包含的基本事件数以及满足条件的基本事件数，以及概率公式，属于简单题目.18．【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有28种所 解析：725【分析】由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足||1a b -所有可能情况，代入公式得到结果。
高中数学第三章不等式练习题含答案解析
高中数学必修5第三章不等式练习题含答案解析人教版高中数学必修5第三章不等式单元测试题及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．不等式x2≥2x的解集是( )A．{x|x≥2} B．{x|x≤2} C．{x|0≤x≤2} D．{x|x≤0或x≥2}2．下列说法正确的是( )A．a>b⇒ac2>bc2 B．a>b⇒a2>b2 C．a>b⇒a3>b3 D．a2>b2⇒a>b3．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( ) A．(－3,4) B．(－3，－4) C．(0，－3) D．(－3,2)x－14的解集是( ) x＋2A．{x|x<－2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<1} D．{x|x∈R}5．设M＝2a(a－2)＋3，N＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有( )A．M>N B．M≥N C．M<N D．M≤N2x－y＋2≥0，．不等式组＋y－2≤0，A．三角形表示的平面区域的形状为( ) B．平行四边形C．梯形D．正方形＋y－3≥0，7．设z＝x－y，式中变量x和y满足条件则z的最小值为－2y≥0，A．1 B．－1 C．3 D．－3 2m8．若关于x的函数y＝x＋(0，＋∞)的值恒大于4，则( ) xA．m>2 B．m<－2或m>2 C．－2<m<2 D．m<－29．已知定义域在实数集R上的函数y＝f(x)不恒为零，同时满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且当x>0时，f(x)>1，那么当x<0时，一定有( )A．f(x)<－1 B．－1<f(x)<0 C．f(x)>1 D．0<f(x)<1x＋210．若，化简y＝25－30x＋＋－3的结果为( ) 3x－5A．y＝－4x B．y＝2－x C．y＝3x－4 D．y＝5－x二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)111．对于x∈R，式子k的取值范围是_________．kx＋kx＋11112．不等式logx2－2x－15)>log(x＋13)的解集是_________．22x－213．函数f(x)＝lg4－x的定义域是__________．x－314．x≥0，y≥0，x＋y≤4所围成的平面区域的周长是________．15．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共75分)ee16．(12分)已知a>b>0，c<d<0，e<0，比较的大小．a－cb－d17．(12分)解下列不等式：2(1)－x2＋2x－>0；(2)9x2－6x＋1≥0. 318．(12分)已知m∈R且m<－2，试解关于x的不等式：(m＋3)x2－(2m＋3)x＋m>0.＋y－4≤0，19．(12分)已知非负实数x，y满足＋y－(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；(2)求z＝x＋3y的最大值．20．(13分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元) 1均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足f(t)＝20t－2 10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．21．(14分)某工厂有一段旧墙长14 m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m2的厂房，工程条件是：(1)建1 m新墙的费用为a元；(2)修1 m旧墙的费用为a 4a(3)拆去1 m的旧墙，用可得的建材建1 m元．2经讨论有两种方案：①利用旧墙x m(0<x<14)为矩形一边；②矩形厂房利用旧墙的一面长x≥14.试比较①②两种方案哪个更好．必修5第三章《不等式》单元测试题1．解析：原不等式化为x2－2x≥0，则x≤0或x≥2.答案：D2．解析：A中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以A不正确；B中，当a＝0>b＝－1时，a2＝0<b2＝1，所以B不正确；D中，当(－2)2>(－1)2时，－2<－1，所以D不正确．很明显C正确．答案：C3．解析：当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x＋2y＋5>0，可以验证，仅有点(－3,4)的坐标满足3x＋2y＋5>0.答案：Ax－1x－1－34．解析：>1⇔－1>0⇔⇔x＋2<0⇔x<－2. x＋2x＋2x＋2答案：A5．解析：M－N＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，所以M≥N.答案：B6．解析：在平面直角坐标系中，画出不等式组表示的平面区域，如下图中的阴影部分．则平面区域是△ABC.答案：A＋y－3＝0，7．解析：画出可行域如下图中的阴影部分所示．解方程组得A(2,1)．由－2y＝图知，当直线y＝x－z过A时，－z最大，即z最小，则z的最小值为2－1＝1.m28．解析：∵x＋2|m|，∴2|m|>4. x∴m>2或m<－2.答案：B9．解析：令x＝y＝0得f(0)＝f2(0)，若f(0)＝0，则f(x)＝0·f(x)＝0与题设矛盾．∴f(0)＝1.又令y＝－x，∴f(0)＝f(x)·f(－x)，1故f(x)＝－∵x>0时，f(x)>1，∴x<0时，0<f(x)<1，故选D.答案：Dx＋2510．解析：∵，∴－2<x<.而y＝25－30x＋＋－3＝|3x－5|－|x＋33x－5 2|－3＝5－3x－x－2－3＝－4x.∴选A.答案：A二、填空题（填空题的答案与试题不符）111．对于x∈R，式子k的取值范围是__________．kx＋kx＋11解析：式子kx2＋kx＋1>0恒成立．当k≠0时，k>0且Δ＝k2kx＋kx＋1－4k<0，∴0<k<4；而k＝0时，kx2＋kx＋1＝1>0恒成立，故0≤k<4，选C. 答案：C？x－212．函数f(x)＝＋4－x的定义域是__________．x－3解析：求原函数定义域等价于解不等式组x－2≥0，－3≠0，－x>0，答案：A 解得2≤x<3或3<x<4.∴定义域为[2,3)∪(3,4)．答案：[2,3)∪(3,4)13．x≥0，y≥0，x＋y≤4所围成的平面区域的周长是________．解析：如下图中阴影部分所示，围成的平面区域是Rt△OAB.可求得A(4,0)，B(0,4)，则OA＝OB＝4，AB＝42，所以Rt△OAB的周长是4＋4＋2＝8＋4答案：8＋42＋，214．已知函数f(x)＝x－2x，则满足条件的点(x，y)所形成区域的面积－为__________．解析：化简原不等式组－＋－，－＋y－，所表示的区域如右图所示，阴影部分面积为半圆面积．答案：π15．(2010·浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________．解析：由已知条件可得，七月份销售额为500×(1＋x%)，八月份销售额为500×(1＋x%)2，一月份至十月份的销售总额为3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，可列出不等式为11666t＋－≥0.4360＋1000[(1＋x%)＋(1＋x%)2]≥7000.令1＋x%＝t，则t2＋t－≥0，即11又∵t＋0，566∴t≥，∴1＋x%≥，55∴x%≥0.2，∴x≥20.故x的最小值是20.答案：20三、解答题(本大题共6小题，共75分)ee16．(12分)已知a>b>0，c<d<0，e<0，比较与a－cb－d－－－－＋－解：＝＝e. a－cb－－－d－－∵a>b>0，c<d<0，∴a－c>0，b－d>0，b－a<0，c－d<0.eeee又e<0，∴－>0.∴>a－cb－da－cb－d17．(12分)解下列不等式：2(1)－x2＋2x－>0；3(2)9x2－6x＋1≥0.22解：(1)－x2＋2x－⇔x2－2x⇔3x2－6x＋2<0. 3333Δ＝12>0，且方程3x2－6x＋2＝0的两根为x1＝1－x2＝1，3333∴原不等式解集为{x|1－<x<1＋．3322(2)9x－6x＋1≥0⇔(3x－1)≥0.∴x∈R.∴不等式解集为R.18．(12分)已知m∈R且m<－2，试解关于x的不等式：(m＋3)x2－(2m＋3)x＋m>0. 解：当m＝－3时，不等式变成3x－3>0，得x>1；当－3<m<－2时，不等式变成(x－1)[(m＋3)xm－m]>0，得x>1或x<；m＋3m当m<－3时，得1<x<m＋3综上，当m＝－3时，原不等式的解集为(1，＋∞)；当m－3<m<－2时，原不等式的解集为－∞，m＋∪(1，＋∞)；当m<－3时，原不等式m的解集为，m＋＋y－4≤0，19．(12分)已知非负实数x，y满足＋y－(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；(2)求z＝x＋3y的最大值．解：(1)由x，y取非负实数，根据线性约束条件作出可行域，如下图所示阴影部分．(2)作出直线l：x＋3y＝0，将直线l向上平移至l1与y轴的交点M位置时，此时可行域内M点与直线l的距离最大，而直线x＋y－3＝0与y轴交于点M(0,3)．∴zmax＝0＋3×3＝9.20．(13分)(2009·江苏苏州调研)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近1似满足f(t)＝20－t－10|(元)．2(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．解：(1)y＝g(t)·f(t)1＝(80－2t)·(20－|t－10|) 2＝(40－t)(40－|t－10|)＋－，0≤t<10，＝－－，(2)当0≤t<10时，y的取值范围是[1200,1225]，在t＝5时，y取得最大值为1225；当10≤t≤20时，y的取值范围是[600,1200]，在t＝20时，y取得最小值为600.21．(14分)某工厂有一段旧墙长14 m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m2的厂房，工程条件是：(1)建1 m新墙的费用为a元；a(2)修1 m元；4a(3)拆去1 m的旧墙，用可得的建材建1 m元．2经讨论有两种方案：①利用旧墙x m(0<x<14)为矩形一边；②矩形厂房利用旧墙的一面长x≥14.试比较①②两种方案哪个更好．ax解：方案①：修旧墙费用为元)，4a拆旧墙造新墙费用为(14－x)(元)，22×126其余新墙费用为(2x＋－14)a(元)，x2×126axax36则总费用为y＝(14－x)＋(2x＋－14)a＝7a－1)(0<x<14)，42x4xx36∵2＝6，4x4xx36∴当且仅当x＝12时，ymin＝35a，4x方案②：a7a利用旧墙费用为14×＝元)，42252建新墙费用为(2x－14)a(元)，x7a25212621则总费用为y＝(2x＋－14)a＝2a(x＋－(x≥14)，2xx2126可以证明函数x＋在[14，＋∞)上为增函数，x∴当x＝14时，ymin＝35.5a.∴采用方案①更好些．。
高一数学第三章测试题及答案解析
第三章综合检测题时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．若三点A (3,1)，B (－2, b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( )A ．2B ．3C ．9D ．－9 3．过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是( )A ．y ＋2＝33(x ＋1) B ．y －2＝3(x －1) C.3x －3y ＋6－3＝0 D.3x －y ＋2－3＝04．直线3x －2y ＋5＝0与直线x ＋3y ＋10＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．重合 D ．异面 5．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为( ) A ．(－2,1) B ．(2,1) C ．(1，－2) D ．(1,2)6．已知ab ＜0，bc ＜0，则直线ax ＋by ＋c ＝0通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 7．点P (2,5)到直线y ＝－3x 的距离d 等于( )A ．0 B.23＋52 C.－23＋52 D.－23－52 8．与直线y ＝－2x ＋3平行，且与直线y ＝3x ＋4交于x 轴上的同一点的直线方程是( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝12x ＋4C ．y ＝－2x －83D ．y ＝12x －839．两条直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－110．已知等腰直角三角形ABC 的斜边所在的直线是3x －y ＋2＝0，直角顶点是C (3，－2)，则两条直角边AC ，BC 的方程是( )A ．3x －y ＋5＝0，x ＋2y －7＝0B ．2x ＋y －4＝0，x －2y －7＝0C ．2x －y ＋4＝0,2x ＋y －7＝0D ．3x －2y －2＝0,2x －y ＋2＝0 11．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4 D ．以上都不对12．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知点A (－1,2)，B (－4,6)，则|AB |等于________． 14．平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：3x －3y ＋1＝0的距离等于________．15．若直线l 经过点P (2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为________或________．16．(2009·高考全国卷Ⅰ)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°，其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过点A (－2,3)，B (4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式．18．(12分)(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y ＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？19．(本小题满分12分)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．20．(本小题满分12分)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被P点平分，求此直线方程．21．(本小题满分12分)已知△ABC的三个顶点A(4，－6)，B(－4,0)，C(－1,4)，求(1)AC边上的高BD所在直线方程；(2)BC边的垂直平分线EF所在直线方程；(3)AB边的中线的方程．22．(本小题满分12分)当m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.(1)倾斜角为45°；(2)在x轴上的截距为1.第三章综合检测题详解答案1[答案] A[解析] 斜率k ＝(2＋3)－24－1＝33，∴倾斜角为30°.[解析] 由条件知k BC ＝k AC ， ∴b －11－2－8＝11－18－3，∴b ＝－9. 2[答案] D 3[答案] C[解析] 由直线方程的点斜式得y －2＝tan30°(x －1)， 整理得3x －3y ＋6－3＝0. 4[答案] A[解析] ∵A 1B 2－A 2B 1＝3×3－1×(－2)＝11≠0， ∴这两条直线相交． 5[答案] A[解析] 直线变形为m (x ＋2)－(y －1)＝0，故无论m 取何值，点(－2,1)都在此直线上，∴选A. 6[答案] A[解析] ∵ab <0，bc <0，∴a ，b ，c 均不为零，在直线方程ax ＋by＋c ＝0中，令x ＝0得，y ＝－c b >0，令y ＝0得x ＝－ca ，∵ab <0，bc <0，∴ab 2c >0，∴ac >0，∴－ca <0，∴直线通过第一、二、三象限，故选A.7[答案] B[解析] 直线方程y ＝－3x 化为一般式3x ＋y ＝0， 则d ＝23＋52. 8[答案] C[解析] 直线y ＝－2x ＋3的斜率为－2，则所求直线斜率k ＝－2，直线方程y ＝3x ＋4中，令y ＝0，则x ＝－43，即所求直线与x 轴交点坐标为(－43，0)．故所求直线方程为y ＝－2(x ＋43)，即y ＝－2x －83.9[答案] D[解析] ∵两直线互相垂直，∴a ·(a ＋2)＝－1， ∴a 2＋2a ＋1＝0，∴a ＝－1. 10[答案] B[解析] ∵两条直角边互相垂直，∴其斜率k 1，k 2应满足k 1k 2＝－1，排除A 、C 、D ，故选B. 11[答案] A[解析] k P A ＝－4，k PB ＝34，画图观察可知k ≥34或k ≤－4.12[答案] B[解析] 由平面几何知，与A 距离为1的点的轨迹是以A 为圆心，以1为半径的⊙A ，与B 距离为2的点的轨迹是半径为2的⊙B ，显然⊙A 和⊙B 相交，符合条件的直线为它们的公切线有2条． 13[答案] 5[解析] |AB |＝(－1＋4)2＋(2－6)2＝5.14[答案] 23[解析] 直线l 2的方程可化为x －y ＋13＝0，则d ＝|1－13|12＋(－1)2＝23.15[答案] x ＋y －5＝0 x －y ＋1＝0 [解析]设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |，2a ＋3b ＝1，解得a ＝5，b ＝5或a ＝－1，b ＝1，即直线l 的方程为x 5＋y 5＝1或x －1＋y1＝1，即x ＋y －5＝0或x －y ＋1＝0.16[答案] ①⑤[解析] 两平行线间的距离为 d ＝|3－1|1＋1＝2，由图知直线m 与l 1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.[点评] 本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目，但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻，这一问题还是不难解决的．所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂，只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变．17[解析] 过AB 两点的直线方程是y ＋13＋1＝x －4－2－4. 点斜式为：y ＋1＝－23(x －4) 斜截式为：y ＝－23x ＋53截距式为：x 52＋y53＝1.18[解析] (1)直线l 1的斜率k 1＝－1，直线l 2的斜率k 2＝a 2－2，因为l 1∥l 2，所以a 2－2＝－1且2a ≠2，解得：a ＝－1.所以当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行． (2)直线l 1的斜率k 1＝2a －1，l 2的斜率k 2＝4，因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.所以当a ＝38时，直线l 1：y＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．19[解析] (1)设C (x ，y )，由AC 的中点M 在y 轴上得，x ＋52＝0，解得x ＝－5.由BC 中点N 在x 轴上，得3＋y2＝0， ∴y ＝－3，∴C (－5，－3)(2)由A 、C 两点坐标得M (0，－52)．由B 、C 两点坐标得N (1,0)．∴直线MN 的方程为x ＋y－52＝1.即5x －2y －5＝0.20[解析] 设点A 的坐标为(x 1，y 1)，因为点P 是AB 中点，则点B 坐标为(6－x 1，－y 1)，因为点A 、B 分别在直线l 1和l 2上，有⎩⎨⎧2x 1－y 1－2＝06－x 1－y 1＋3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝113y 1＝163由两点式求得直线方程为8x －y －24＝0. 21[解析] (1)直线AC 的斜率k AC ＝－6－44－(－1)＝－2即：7x ＋y ＋3＝0(－1≤x ≤0)．∴直线BD 的斜率k BD ＝12，∴直线BD 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x －2y ＋4＝0 (2)直线BC 的斜率k BC ＝4－0－1－(－4)＝43∴EF 的斜率k EF ＝－34线段BC 的中点坐标为(－52，2) ∴EF 的方程为y －2＝－34(x ＋52) 即6x ＋8y －1＝0. (3)AB 的中点M (0，－3)， ∴直线CM 的方程为：y ＋34＋3＝x－1， 22[解析] (1)倾斜角为45°，则斜率为1. ∴－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，解得m ＝－1，m ＝1(舍去) 直线方程为2x －2y －5＝0符合题意，∴m ＝－1 (2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝－12，或m ＝2当m ＝－12，m ＝2时都符合题意，∴m ＝－12或2.。
高一数学必修一第三章测试题及答案：函数的应用
高一数学必修一第三章测试题及答案：函数的应用高一数学必修一第三章测试题及答案：函数的应用数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛，小编准备了高一数学必修一第三章测试题及答案，具体请看以下内容。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设U=r，A={x|x0}，b={x|x1}，则AUb=()A{x|01} b.{x|0c.{x|x0}D.{x|x1}【解析】 Ub={x|x1}，AUb={x|0【答案】 b2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0，且a1)的反函数，且f(2)=1，则f(x)=()A.log2xb.12xc.log12xD.2x-2【解析】 f(x)=logax，∵f(2)=1，loga2=1，a=2.f(x)=log2x，故选A.【答案】 A3.下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是()A.f(x)=lnxb.f(x)=1x7.定义在r上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(-2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()A.y=x2+1b.y=|x|+1c.y=2x+1，x0x3+1，x0D.y=ex，x0e-x，x0【解析】∵f(x)为偶函数，由图象知f(x)在(-2,0)上为减函数，而y=x3+1在(-，0)上为增函数.故选c.【答案】 c8.设函数y=x3与y=12x-2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A.(0,1)b.(1,2)c(2,3)D.(3,4)【解析】由函数图象知，故选b.【答案】 b9.函数f(x)=x2+(3a+1)x+2a在(-，4)上为减函数，则实数a 的取值范围是()A.a-3b.a3c.a5D.a=-3【解析】函数f(x)的对称轴为x=-3a+12，要使函数在(-，4)上为减函数，只须使(-，4)(-，-3a+12)即-3a+124，a-3，故选A.10.某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y与投放市场的月数x之间的关系的是()A.y=100xb.y=50x2-50x+100c.y=502xD.y=100log2x+100【解析】对c，当x=1时，y=100;当x=2时，y=200;当x=3时，y=400;当x=4时，y=800，与第4个月销售790台比较接近.故选c. 【答案】 c11.设log32=a，则log38-2log36可表示为()A.a-2b.3a-(1+a)2c.5a-2D.1+3a-a2【解析】 log38-2log36=log323-2log3(23)=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.故选A.【答案】 A12.已知f(x)是偶函数，它在[0，+)上是减函数.若f(lgx)f(1)，则x的取值范围是()A.110，1b.0，110(1，+)c.110，10D.(0,1)(10，+)【解析】由已知偶函数f(x)在[0，+)上递减，则f(x)在(-，0)上递增，f(lgx)f(1)01，或lgx0-lgx1110，或0或110x的取值范围是110，10.故选c.【答案】 c二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知全集U={2,3，a2-a-1}，A={2,3}，若UA={1}，则实数a的值是________.【答案】 -1或214.已知集合A={x|log2x2}，b=(-，a)，若Ab，则实数a的取值范围是(c，+)，其中c=________.【解析】 A={x|0【答案】 415.函数f(x)=23x2-2x的单调递减区间是________.【解析】该函数是复合函数，可利用判断复合函数单调性的方法来求解，因为函数y=23u是关于u的减函数，所以内函数u=x2-2x的递增区间就是函数f(x)的递减区间.令u=x2-2x，其递增区间为[1，+)，根据函数y=23u是定义域上的减函数知，函数f(x)的减区间就是[1，+).【答案】 [1，+)16.有下列四个命题：①函数f(x)=|x||x-2|为偶函数;②函数y=x-1的值域为{y|y③已知集合A={-1,3}，b={x|ax-1=0，ar}，若Ab=A，则a 的取值集合为{-1，13};④集合A={非负实数}，b={实数}，对应法则f：求平方根，则f是A到b的映射.你认为正确命题的序号为：________. 【解析】函数f(x)=|x||x-2|的定义域为(-，2)(2，+)，它关于坐标原点不对称，所以函数f(x)=|x||x-2|既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确;函数y=x-1的定义域为{x|x1}，当x1时，y0，即命题②正确;因为Ab=A，所以bA，若b=，满足bA，这时a=0;若b，由bA，得a=-1或a=13.因此，满足题设的实数a的取值集合为{-1,0，13}，即命题③不正确;依据映射的定义知，命题④正确.【答案】②④三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-3x-10的两个零点为x1，x2(x1【解析】 A={x|x-2，或x5}.要使Ab=，必有2m-1-2，3m+25，3m+22m-1，或3m+22m-1，解得m-12，m1，m-3，或m-3，即-121，或m-3.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2ax+2，x[-5,5].(1)当a=-1时，求f(x)的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.【解析】 (1)当a=-1时，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，x[-5,5].由于f(x)的对称轴为x=1，结合图象知，当x=1时，f(x)的最小值为1，当x=-5时，f(x)的最大值为37.(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为x=-a，∵f(x)在区间[-5,5]上是单调函数，-a-5或-a5.故a的取值范围是a-5或a5.19.(本小题满分12分)(1)计算：27912+(lg5)0+(2764)-13;(2)解方程：log3(6x-9)=3.【解析】 (1)原式=25912+(lg5)0+343-13=53+1+43=4.(2)由方程log3(6x-9)=3得6x-9=33=27，6x=36=62，x=2.经检验，x=2是原方程的解.20.(本小题满分12分)有一批影碟机(VcD)原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售，甲商场用下面的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少?【解析】设购买x台，甲、乙两商场的差价为y，则去甲商场购买共花费(800-20x)x，由题意800-20x440.118(xN).去乙商场花费80075%x(xN*).当118(xN*)时y=(800-20x)x-600x=200x-20x2，当x18(xN*)时，y=440x-600x=-160x，则当y0时，1当y=0时，x=10;当y0时，x10(xN).综上可知，若买少于10台，去乙商场花费较少;若买10台，甲、乙商场花费相同;若买超过10台，则去甲商场花费较少.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;【解析】 (1)由1+x0，1-x0，得-1函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)定义域关于原点对称，对于任意的x(-1,1)，有-x(-1,1)，f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x)f(x)为奇函数.22.(本小题满分14分)设a0，f(x)=exa+aex是r上的偶函数.(1)求a的值;(2)证明：f(x)在(0，+)上是增函数.【解析】 (1)解：∵f(x)=exa+aex是r上的偶函数，f(x)-f(-x)=0.exa+aex-e-xa-ae-x=0，即1a-aex+a-1ae-x=01a-a(ex-e-x)=0.由于ex-e-x不可能恒为0，当1a-a=0时，式子恒成立.又a0，a=1.(2)证明：∵由(1)知f(x)=ex+1ex，在(0，+)上任取x1f(x1)-f(x2)=ex1+1ex1-ex2-1ex2=(ex1-ex2)+(ex2-ex1)1ex1+x2.∵e1，0ex1+x21，(ex1-ex2)1-1ex1+x20，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x)在(0，+)上是增函数.高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，小编为大家整理的高一数学必修一第三章测试题及答案，希望大家喜欢。
高等数学：高数第三章自测题答案
第三章单元自测题答案一、填空题：1．满足，2=ξ； 2． 满足,3415=ξ； 3． 3； 4． 1-=a ，4-=b ． 二、选择题:1. B ；2.A ；3.C ；4.A ；5.B .三、计算下列各题: 1.解 ∞→x lim 1lim 1lim 11lim )1(0011==-=-=-→→∞→u u u u x x x e ue xe e x . 2.解 2000)1ln(lim )1ln()1ln(lim )1)1ln(1(lim xx x x x x x x x x x x +-=++-=-+→→→21)1(2lim 2111lim 00=+=+-=→→x x x x x x x . 3.解 设21)(cos x x y =，取对数有2cos ln ln xx y = 因为212tan lim cos ln lim 020-=-=→→x x x x x x ，所以21cos ln 01022lim )(cos lim -→→==e e x x xx x x . 四、应用题:1.解 函数的定义域为),(+∞-∞，因为 x x x e x x e x xe y ----=-=')24(2422,令0='y ，解得2,021==x x .当,0,0<'<y x 当,0,20>'<<y x 当,0,2<'>y x因此,]2,0[为单调增加区间，]0,(-∞)和),2[+∞为单调减少区间.2.解 函数的定义域为),(+∞-∞，因为2222)1(22,12x x y x x y +-=''+=', 令0=''y ，解得1,121=-=x x .当,0,1<''-<y x 时当11<<-x 时,0>''y ,当0,1<''>y x 时，故曲线的凹区间为]1,1[-，凸区间为]1,(--∞和),1[+∞.拐点为)2ln ,1(-，)2ln ,1(.3.解 )5,0(2,2,01232∈=±==-='x x x y 解得, 70)5(,5)0(,11)2(==-=f f f ,故,70max =f 11min -=f .4.解 ,26,232b ax y bx ax y +=''+='由已知得0)2(=''y ，即6,0212b a b a -==+. 又)5,2(为曲线23bx ax y +=上的点,因此有815,42653=+⋅-=b b b .于是16581561-=⋅-=a . 5.解 由已知得x y 2=，且72=xyh ，于是有236xh =， 长方体带盖箱子的表面积)362362(2)(2)(222x x x x x yh xh xy x S S ⋅+⋅+=++== )0(,21642>+=x x x 因为22168)(x x x S -='，令0)(='x S ，解得唯一驻点3=x ， 由问题实际意义知，当长3=x m 时，箱子的用料最省，此时宽m y 6=，高m h 4=.五、证明题:1.证明 令x x f ln )(=，显然)(x f 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理条件，于是有 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ,)(b a <<ξ,即 ξa b a b a b -==-ln ln ln ，)(b a <<ξ， 因为b a <<<ξ0，所以aa b a b b a b -<-<-ξ，因此aa b a b b a b -<<-ln . 2.证明 令221)1ln()(x x x x f +-+=，则)(x f 在],0[x 上连续，且xx x x x f +=+-+='1111)(2， 当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 在),0[+∞上单调增加，又0)0(=f ， 从而，当0>x 时有)0()(f x f >，即当0>x 时，221)1ln(x x x ->+. 3.证明 令1)(5-+=x x x f ，则)(x f 在区间]2,0[上连续,且0122)2(,01)0(5>-+=<-=f f ，由零点定理知方程015=-+x x 在区间)2,0(内有一正根.又在),(+∞-∞内，,015)(4>+='x x f 故)(x f 在),(+∞-∞上单调增加, 因此正根唯一，即方程015=-+x x 只有一个正根.。
高中数学必修第三章经典习题含答案
第三章经典习题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．sin 2π12－cos 2π12的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32[答案] C[解析] 原式＝－(cos 2π12－sin 2π12)＝－cos π6＝－32.2．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π23 B ．π C ．2π D ．4π[答案] B[解析] f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)，故T ＝2π2＝π. 3．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos(3π2＋2θ)＝( ) A ．－429B ．－79C.429D.79[答案] C[解析] cos(3π2＋2θ)＝sin2θ＝2sin θcos θ＝2×223×13＝429. 4．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( ) A ．－3 B ．－13 C ．3 D.13[答案] D[解析] tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 5．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( ) A.54 B.62 C.32 D ．1＋23[答案] A[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝54. 6．y ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x 的最小值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．2 D ．－2 [答案] B[解析] y ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)，∴y max ＝－ 2. 7．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝( ) A ．－1 B ．－15 C.57 D.17[答案] D[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan ?β－α?－tan α1＋tan ?β－α?tan α＝3－21＋6＝17.8．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →|的最大值是( ) A. 2 B ．2 C ．4 D.22[答案] B[解析] PQ →＝(cos β－cos α，sin β－sin α)，则|PQ →|＝?cos β－cos α?2＋?sin β－sin α?2＝2－2cos ?α－β?，故|PQ →|的最大值为2.9．函数y ＝cos2x ＋sin2xcos2x －sin2x 的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D.π4[答案] C[解析] y ＝1＋tan2x 1－tan2x ＝tan(2x ＋π4)，∴T ＝π2.10．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] D[解析] f (x )＝sin 2x －12＝－12(1－2sin 2x )＝－12cos2x ，∴f (x )的周期为π的偶函数．11．y ＝sin(2x －π3)－sin2x 的一个单调递增区间是( ) A ．[－π6，π3] B ．[π12，712π] C ．[512π，1312π] D ．[π3，5π6][答案] B[解析] y ＝sin(2x －π3)－sin2x ＝sin2x cos π3－cos2x sin π3－sin2x ＝－(sin2x cos π3＋cos2x sin π3)＝－sin(2x ＋π3)，其增区间是函数y ＝sin(2x ＋π3)的减区间，即2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，∴k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，当k ＝0时，x ∈[π12，7π12]．12．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log 5(tan αtan β)2等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] C [解析]由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13得⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12sin αcos β－cos αsin β＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝512cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝5， ∴log5(tan αtan β)2＝log552＝4.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________. [答案] 2[解析] 原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又tan(17°＋28°)＝tan17°＋tan28°1－tan17°·tan28°＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28°＝1－tan17°·tan28°，代入原式可得结果为2.14．(2012·全国高考江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为______． [答案]17250[解析] ∵α为锐角，∴π6<α＋π6<2π3，∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35；∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425， cos(2α＋π3)＝cos(α＋π6)2－sin 2(α＋π6)＝725∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π4＝17250.15．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________. [答案] 59[解析] cos2α＝2cos 2α－1＝13得cos 2α＝23，由cos2α＝1－2sin 2α＝13得sin 2α＝13(或据sin 2α＋cos 2α＝1得sin 2α＝13)，代入计算可得．16．设向量a ＝(32，sin θ)，b ＝(cos θ，13)，其中θ∈(0，π2)，若a∥b ，则θ＝________.[答案] π4[解析] 若a ∥b ，则sin θcos θ＝12，即2sin θcos θ＝1，∴sin2θ＝1，又θ∈(0，π2)，∴θ＝π4.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2α1－tan α的值．[解析] 因为cos α－sin α＝325，所以1－2sin αcos α＝1825，所以2sin αcos α＝725.又α∈(π，3π2)，故sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－425， 所以sin2α＋2sin 2α1－tan α＝?2sin αcos α＋2sin 2α?cos αcos α－sin α＝2sin αcos α?cos α＋sin α?cos α－sin α＝725×?－425?325＝－2875.18．(本题满分12分)设x ∈[0，π3]，求函数y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π6)的最值．[解析] y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π6) ＝cos2(x －π6)＋2sin(x －π6)＝1－2sin 2(x －π6)＋2sin(x －π6)＝－2[sin(x －π6)－12]2＋32.∵x ∈[0，π3]，∴x －π6∈[－π6，π6]． ∴sin(x －π6)∈[－12，12]， ∴y max ＝32，y min ＝－12.19．(本题满分12分)已知tan 2θ＝2tan 2α＋1，求证：cos2θ＋sin 2α＝0.[证明] cos2θ＋sin 2α＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋sin 2α＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋sin 2α＝－2tan 2α1＋2tan 2α＋1＋sin 2α＝－tan 2α1＋tan 2α＋sin 2α＝－sin 2αcos 2α＋sin 2α＋sin 2α＝－sin 2α＋sin 2α＝0.20．(本题满分12分)已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x2，－sin x2)，c ＝(3－1)，其中x ∈R .(1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值．[解析] (1)由a ⊥b 得a ·b ＝0，即cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝0，则cos2x ＝0，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，∴x 值的集合是{x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z }．(2)|a －c |2＝(cos 3x 2－3)2＋(sin 3x2＋1)2 ＝cos 23x 2－23cos 3x 2＋3＋sin 23x 2＋2sin 3x 2＋1＝5＋2sin 3x 2－23cos 3x 2＝5＋4sin(3x 2－π3)，则|a －c |2的最大值为9.∴|a －c |的最大值为3.21．设函数f (x )＝22cos(2x ＋π4)＋sin 2x (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；(Ⅱ)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g (x ＋π2)＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )；求函数g (x )在[－π，0]上的解析式。
高中数学必修一第三章测评课后习题 含答案 精品
第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知下列四个函数图象,其中能用二分法求出函数零点的是()解析:由二分法的定义易知选A.答案:A2.已知函数f(x)=2x-b的零点为x0,且x0∈(-1,1),则b的取值范围是()A.(-2,2)B.(-1,1)C. D.(-1,0)解析:解方程f(x)=2x-b=0,得x0=,所以∈(-1,1),即b∈(-2,2).答案:A3.已知函数f(x)=e x-x2,则在下列区间内,函数必有零点的是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)解析:f(-2)=-4<0,f(-1)= -1<0,f(0)=e0=1>0,f(1)=e-1>0,f(2)=e2-4>0.∵f(-1)·f(0)<0,∴f(x)在区间(-1,0)内必有零点.答案:B4.下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y=f(x)-1没有零点的是()解析:把y=f(x)的图象向下平移一个单位长度后,只有C中的图象满足y=f(x)-1与x轴无交点.答案:C5.已知一根蜡烛长为20 cm,若点燃后每小时燃烧5 cm,则蜡烛燃烧剩下的高度h(单位:cm)与燃烧时间t(单位:小时)的函数关系用图象表示为()解析:本题结合函数图象考查一次函数模型.由题意得h=20-5t(0≤t≤4),故选B.答案:B6.已知实数a,b,c是图象连续不断的函数y=f(x)定义域中的三个数,且满足a<b<c,f(a)·f(b)>0,f(b)·f(c)<0,则函数y=f(x)在区间(a,c)内的零点有()A.2个B.奇数个C.偶数个D.至少1个解析:由f(a)·f(b)>0知,f(x)在区间(a,b)内的零点个数不确定,由f(b)·f(c)<0知,f(x)在区间(b,c)内至少有1个零点,故在区间(a,c)内至少有1个零点.答案:D70<a<1,则方程a|x|=|log a x|的实根个数为()A.2B.3C.4D.与a的值有关解析:设y1=a|x|,y2=|log a x|,分别作出它们的图象如图所示.由图可知,两个图象有两个交点,故方程a|x|=|log a x|有两个根.故选A.答案:A8.如图,△ABC为等腰直角三角形,直线l与AB相交且l⊥AB,直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y,点A到直线l的距离为x,则y=f(x)的图象大致为四个选项中的()解析:设AB=a,则y=a2-x2=-x2+a2,其图象为抛物线的一段,开口向下,顶点在y轴上方.故选C.答案:C9.已知某市生产总值连续两年持续增加,若第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A. B.C. D.-1解析:设第一年年初生产总值为1,则这两年的生产总值为(p+1)(q+1).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则(1+x)2=(p+1)(q+1),解得x=-1,故选D.答案:D10.已知函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则函数y=f(x)-x的零点的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:本题主要考查二次函数、分段函数、函数零点及其求法.f(-4)=f(0)⇒b=4,f(-2)=-2⇒c=2,所以f(x)=当x≤0时,由x2+4x+2=x,解得x1=-1,x2=-2;当x>0时,x=3.所以函数y=f(x)-x的零点个数为3,故选C.答案:C11x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则() A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>0解析:设y1=2x,y2=,在同一平面直角坐标系中作出它们图象,如图,在区间(1,x0)内,y2=的图象在y1=2x图象的上方,即,所以<0,即f(x1)<0,同理f(x2)>0.答案:B12.若函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(n∈N*)内,则n=()A.2B.3C.4D.5解析:设g(x)=ln x,h(x)=-3x+7,则函数g(x)和函数h(x)的图象交点的横坐标就是函数f(x)的零点.在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和函数h(x)的图象,如图所示.由图象知函数f(x)的零点属于区间,又f(1)=-4<0,f(2)=-1+ln 2=ln<0,f(3)=2+ln 3>0,所以函数f(x)的零点属于区间(2,3).所以n=2.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数f(x)=的零点是.解析:由f(x)=0,即=0,得x=1,即函数f(x)的零点为1.答案:114.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,则一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过小时才能开车.(精确到1小时)解析:设至少经过x小时才能开车,由题意得0.3(1-25%)x≤0.09,∴0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈4.19.故填5.答案:515.里氏震级M的计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.解析:第一空,lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6.第二空,设9级地震时最大振幅为A1,5级地震时最大振幅为A2,则9=lg A1-(-3),5=lg A2-(-3),所以A1=106,A2=102,=10 000.答案:610 00016.若函数f(x)=2ax2-x-1在区间(0,1)内恰有一个零点,则a的取值范围是.解析:∵f(x)=0在区间(0,1)内恰有一个解,有下面两种情况:①f(0)·f(1)<0或②且其解在(0,1)内.由①得(-1)(2a-2)<0,∴a>1.由②得1+8a=0,即a=-.∴方程-x2-x-1=0,∴x2+4x+4=0,即x=-2∉(0,1),应舍去,综上可得,a>1.答案:a>1三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=log a x+x-b(a>0,且a≠1),当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,求n的值.解:∵a>2,∴f(x)=log a x+x-b在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=log a2+2-b,f(3)=log a3+3-b, ∵2<a<3<b<4,∴0<log a2<1,-2<2-b<-1.∴-2<log a2+2-b<0.又1<log a3<2,-1<3-b<0,∴0<log a3+3-b<2,∴f(2)<0,f(3)>0.又f(x)在(0,+∞)上是单调函数,∴f(x)在(2,3)内必存在唯一零点.∴n=2.18.(本小题满分12分)如图,直角梯形ABCD的两底边分别为AD=2a,BC=a,∠BAD=45°,直线MN⊥AD于点M,交折线ABCD于点N,记AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y 表示为x的函数.解:①当点N在BC上时,y=(2a-x)·a(a<x≤2a);②当点N在AB上时,y=x2(0<x≤a).综上,有y=19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3和2.(1)求f(x);(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时,求函数f(x)的值域.解:(1)∵f(x)的两个零点是-3和2,∴函数的图象经过点(-3,0),(2,0).∴有9a-3(b-8)-a-ab=0, ①4a+2(b-8)-a-ab=0, ②①-②,得b=a+8.③③代入②,得4a+2a-a-a(a+8)=0,即a2+3a=0.∵a≠0,∴a=-3.∴b=a+8=5.∴f(x)=-3x2-3x+18.(2)由(1)得f(x)=-3x2-3x+18=-3+18,函数图象的对称轴方程是x=-.又0≤x≤1,∴f(x)min=f(1)=12,f(x)max=f(0)=18.∴函数f(x)的值域是[12,18].20.(本小题满分12分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中的一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm,继续排气4分钟,又测得浓度为32 ppm,经检验知该地下车库一氧化碳浓度y ppm与排气时间t分钟存在函数关系y=c(c,m为常数).(1)求c,m的值;(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常,问至少排气多少分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态?解:(1)由题意可得方程组解之得所以y=128×.(2)由题意可得不等式y=128×≤0.5,即,即t≥8,解得t≥32.所以至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.21本小题满分12分)如图,长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S成正比,比例系数为;②其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时,(1)写出y的表达式;(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少.解:(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,故y=(3|v-c|+10).(2)由(1)知,当0<v≤c时,y=(3c-3v+10)=-15;当c<v≤10时,y=(3v-3c+10)=+15;故y=①当0<c≤时,y是关于v的减函数.故当v=10时,y min=20-.②当<c≤5时,在(0,c]上,y是关于v的减函数;在(c,10]上,y是关于v的增函数.故当v=c时,y min=.22本小题满分12分)抗战七十周年纪念章从2015年9月1日起开始上市.通过市场调查,得到该纪念章每1枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如表:(1)根据表中数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述抗战七十周年纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系:①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=a log b x.(2)利用你选取的函数,求抗战七十周年纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.(3)设你选取的函数为f(x),若对任意实数k,方程f(x)=kx+2m+120恒有两个相异的实根,求m的取值范围.解:(1)∵随着时间x的增加,y的值先减少后增加,而在所给的三个函数中y=ax+b和y=a log b x 显然都是单调函数,不满足题意,∴y=ax2+bx+c最合适.(2)把点(4,90),(10,51), (36,90)代入方程,得解方程组,得∴y=x2-10x+126=(x-20)2+26.∴当x=20时,y有最小值,y min=26.故抗战七十周年纪念章市场价最低时的上市天数为20,最低价格为26元.(3)由(2)知f(x)=x2-10x+126,∵f(x)=kx+2m+120恒有两个相异的实根,则x2-(k+10)x+6-2m=0恒有两个相异的实根,∴Δ=[-(k+10)]2-4×(6-2m)>0恒成立,即2m>-(k+10)2+6对任意k∈R恒成立,而-(k+10)2+6≤6, ∴只需2m>6,即m>3.故m的取值范围为(3,+∞).。
高等数学第三章之中值定理与导数应用部分测试题(附答案)
高等数学第三章之中值定理与导数应用部分测试题（附答案）一、单选题 （每小题4分，共计20分）1、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,21(内曲线)(x f （ ）（Ａ）单调增凹的； （Ｂ）单调减凹的； （Ｃ）单调增凸的； （Ｄ）单调减凸的。
2、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)(lim0=-→x x f x ，则在点0=x 处)(x f （ ）（Ａ）不可导； （Ｂ）可导，且0)0('≠f ； （C ）取得极大值； （Ｄ）取得极小值。
3、设)(x f 有二阶连续导数，且0)0('=f ，1||)("lim=→x x f x ，则（ ） （Ａ）)0(f 是)(x f 的极大值； （Ｂ）)0(f 是)(x f 的极小值； （Ｃ）))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； （Ｄ）)0(f 不是)(x f 的极值点。
4、设)(x f 、)(x g 在[]b a ,连续可导，0)()(≠x g x f ，且)()()()(x g x f x g x f '<'，则当b x a <<时，则有（ ）（Ａ）)()()()(a g a f x g x f <； （Ｂ）)()()()(b g b f x g x f <； （Ｃ）)()()()(a g a f x g x f <； （Ｄ）)()()()(a f a g x f x g >。
5、)(x f 在),(b a 内连续，0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ，则)(x f 在0x x = 处（Ｄ ） （Ａ）取得极大值； （Ｂ）取得极小值；（Ｃ）一定有拐点))(,(00x f x ； （Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。
二、填空题（每小题4分，共计20分）1、=→x x x ln lim 0_______。
2021_2022学年高中数学第三章导数应用测评含解析北师大版选修
第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设函数f(x)=2x+ln x,则()A.x=12为f(x)的极大值点B.x=12为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点f'(x)=-2x2+1x=1x(1-2x)=0可得x=2.∵当0<x<2时,f'(x)<0,f(x)是减少的,当x>2时f'(x)>0,f(x)是增加的,所以x=2为极小值点.2.函数f(x)=x e x-e x+1的递增区间是()A.(-∞,e)B.(1,e)C.(e,+∞)D.(e-1,+∞)f'(x)=e x(1+x-e),令f'(x)>0,解得x>e-1,∴f(x)=x e x-e x+1的递增区间为(e-1,+∞).3.已知函数f(x)是R上的可导函数,f(x)的导数f'(x)的图像如图,则下列结论正确的是()A.a,c分别是极大值点和极小值点B.b,c分别是极大值点和极小值点C.f(x)在区间(a,c)上是增加的D.f(x)在区间(b,c)上是减少的a是极小值点,无极大值点;由导函数的图像可知函数f(x)在区间(a,+∞)上是增加的,所以选C.4.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系式是R=R(x)={400x-12x2,0≤x≤400,80000,x>400,则总利润P最大时,每年生产的产品是()A.100单位B.150单位C.200单位D.300单位,总成本为C=20000+100x.而总利润为P=P (x )=R-C ={300x -12x 2-20000,0≤x ≤400,60000-100x,x >400.P'(x )={300-x,0≤x ≤400,-100,x >400.令P'(x )=0,得x=300,易知当x=300时,总利润最大.5.已知对任意实数x ,有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ).当x>0时,f'(x )>0,g'(x )>0,则当x<0时,下列各式正确的是( )A.f'(x )>0,g'(x )>0B.f'(x )>0,g'(x )<0C.f'(x )<0,g'(x )>0D.f'(x )<0,g'(x )<0f (x )为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间上的单调性相同;g (x )为偶函数,在对称区间上的单调性相反.∵当x>0时,f (x )是增加的,g (x )是增加的,∴x<0时,f (x )是增加的,g (x )是减少的.∴f'(x )>0,g'(x )<0.6.已知当x ∈(0,π2)时,函数f (x )=tx-sin x (t ∈R )的值恒小于零,则t 的取值范围是( )A.(-∞,2π]B.(-∞,π2] C.[2π,+∞)D.(-∞,π2)(x )=tx-sin x<0在x ∈(0,π2)内恒成立,即t<sinx x在(0,π2)内恒成立.令g (x )=sinx x,则g'(x )=xcosx -sinxx 2.当x ∈(0,π2)时,tan x>x ,∴sin x>x cos x.∴g'(x )<0,g (x )在(0,π2)上是减少的.∴t ≤sinπ2π2=2π.7.若函数f (x )=ax 2+1e x(e 为自然对数的底数)是定义域内的减函数,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.(0,+∞)D.[0,1]f (x )=ax 2+1e x 的定义域为R ,f'(x )=2ax -ax 2-1e x.因为函数f (x )是定义域内的减函数,所以f'(x )≤0恒成立.令g (x )=2ax-ax 2-1,则g (x )≤0恒成立, 当a=0时,g (x )=-1成立;当a<0时,g (x )的图像开口向上,g (x )≤0不恒成立,不符合题意;当a>0时,要使g (x )≤0恒成立,则Δ=4a 2-4a ≤0,解得0≤a ≤1,又a>0,所以0<a ≤1. 综上可得,实数a 的取值范围是[0,1].故选D .8.若a>0,b>0,且函数f (x )=4x 3-ax 2-2bx+2在x=1处有极值,则ab 的最大值等于( ) A.2B.3C.6D.9f'(x )=12x 2-2ax-2b ,Δ=4a 2+96b>0,又x=1是极值点,∴f'(1)=12-2a-2b=0, 即a+b=6,且a>0,b>0.∴ab ≤(a+b)24=9,当且仅当a=b 时“=”成立.∴ab 的最大值为9.9.当a>0时,函数f (x )=(x 2-ax )e x的图像大致是( )(x )=[x 2-(a-2)x-a ]e x,令f'(x )=0,则x 2-(a-2)x-a=0.∵a>0,∴Δ=(a-2)2+4a>0.从而可知函数f (x )有两个极值点,∴排除A,D;再由题意可知,当x<0时,f (x )>0恒成立,∴排除C,从而选B .10.设f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数.当x<0时,f'(x )g (x )+f (x )g'(x )>0,且g (-3)=0,则不等式f (x )g (x )<0的解集是( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)F (x )=f (x )·g (x ),易知F (x )为奇函数,又当x<0时,f'(x )g (x )+f (x )g'(x )>0,即F'(x )>0,知F (x )在(-∞,0)上是增加的.又F (x )为奇函数,∴F (x )在(0,+∞)上也是增加的,且由奇函数的性质知f (0)=0,∴F (0)=0. 又由g (-3)=0,知g (3)=0.∴F (-3)=0,进而F (3)=0.于是F(x)=f(x)g(x)的大致图像如图所示.∴F(x)=f(x)·g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).11.若函数f(x)=x3-3x-1-m有三个不同的零点,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(-3,-1)D.(1,3)(x)=x3-3x-1-m,f'(x)=3x2-3,由f'(x)=0,解得x=-1或1.f(x)在(-∞,-1)上是增加的,在(-1,1)上是减少的,在(1,+∞)上是增加的,故f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1-m,在x=1处取得极小值f(1)=-3-m.要使函数f(x)有三个不同的零点,则需极大值f(-1)=1-m>0,极小值f(1)=-3-m<0,解得-3<m<1,所以m的取值范围是(-3,1).故选A.12.若0<x1<x2<1,则()A.e x2−e x1>ln x2-ln x1B.e x2−e x1<ln x2-ln x1C.x2e x1>x1e x2D.x2e x1<x1e x2f(x)=e x-ln x,则f'(x)=e x-1x,故f(x)=e x-ln x在(0,1)上有一个极值点,即f(x)=e x-ln x在(0,1)上不是单调函数,无法判断f(x1)与f(x2)的大小,故A,B错;构造函数g(x)=e xx,则g'(x)=xe x-e xx2=e x(x-1)x2,故函数g(x)=exx在(0,1)上是减少的,故g(x1)>g(x2),x2e x1>x1e x2,应选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数f(x)=cos 2x+a sin x在区间(π6,π2)上是增加的,则实数a的取值范围是.f(x)=cos2x+a sin x知,f'(x)=-2sin2x+a cos x=-4sin x cos x+a cos x=cos x(-4sin x+a).∵f(x)在(π6,π2)上是增加的,∴当x∈(π6,π2)时,f'(x)≥0恒成立.又cos x>0,∴-4sin x+a≥0,∴a≥4sin x在(π6,π2)上恒成立.而x∈(π6,π2),4sin x∈(2,4),∴a≥4.+∞)14.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是.=2,即a=3,故f(x)=-x3+3x2-4.(x)=-3x2+2ax,根据已知得2a3根据函数f(x)的极值点,可得函数f(m)在[-1,1]上的最小值为f(0)=-4,f'(n)=-3n2+6n在[-1,1]上是增加的,所以f'(n)的最小值为f'(-1)=-9.[f(m)+f'(n)]min=f(m)min+f'(n)min=-4-9=-13.1315.若商品的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:百万件)的函数关系式为y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大利润时的年产量为百万件.y=-x3+27x+123(x>0),∴y'=-3x2+27=-3(x-3)(x+3)(x>0),当0<x<3时,y'>0,当x>3时,y'<0,∴y=-x3+27x+123在(0,3)上是增加的,在(3,+∞)上是减少的,∴当x=3时,y有最大值.故获得最大利润时的年产量为3百万件.x3+ax2-(b2-1)x+2存在极值点的概率16.在区间[0,1]内随机取两个实数分别为a,b,则使函数y=13为.y=1x3+ax2-(b2-1)x+2,所以y'=x2+2ax-(b2-1).又函数存在极值点,则方程x2+2ax-(b2-31)=0必有两个不相等的实数根,所以Δ=4a2+4(b2-1)>0,即a2+b2>1,而基本事件所包含的面积为正方x3+ax2-(b2-1)x+2存在极值点的概率为形,其面积为1×1=1,由几何概型的计算公式知,使函数y=13.P=1-π4-π4三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=(x2+bx+b)·√1-2x(b∈R).(1)当b=4时,求f(x)的极值;)上是增加的,求b的取值范围.(2)若f(x)在区间(0,13,当b=4时,f'(x)=√1-2x由f'(x)=0得x=-2或x=0.当x∈(-∞,-2)时,f'(x)<0,f(x)是减少的;当x∈(-2,0)时,f'(x)>0,f(x)是增加的;)时,f'(x)<0,f(x)是减少的.当x∈(0,12故f(x)在x=-2处取极小值f(-2)=0,在x=0处取极大值f(0)=4.(2)f'(x)=,√1-2x因为当x ∈(0,13)时,√1-2x<0,依题意当x ∈(0,13)时,有5x+(3b-2)≤0,从而53+(3b-2)≤0.所以b ≤19. 所以b 的取值范围为(-∞,19].18.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x-1-a ln x. (1)若f (x )≥0,求a 的值;(2)设m 为整数,且对于任意正整数n ,(1+12)(1+122)…(1+12n )<m ,求m 的最小值.f (x )的定义域为(0,+∞).①若a ≤0,因为f (12)=-12+a ln2<0,所以不满足题意; ②若a>0,由f'(x )=1-ax =x -a x知,当x ∈(0,a )时,f'(x )<0;当x ∈(a ,+∞)时,f'(x )>0.所以f (x )在(0,a )单调递减,在(a ,+∞)单调递增. 故x=a 是f (x )在(0,+∞)的唯一最小值点. 由于f (1)=0,所以当且仅当a=1时,f (x )≥0. 故a=1.(2)由(1)知当x ∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0. 令x=1+12n 得ln (1+12n)<12n . 从而ln (1+12)+ln (1+122)+…+ln (1+12n )<12+122+…+12n =1-12n <1.故(1+12)(1+122)…(1+12n )<e . 而(1+12)(1+122)(1+123)>2,所以m 的最小值为3. 19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=12ax 2-(a 2+1)x+a ln x.(1)若函数f (x )在[1e,e]上是减少的,求实数a 的取值范围;(2)当a ∈(0,35)时,求f (x )在[1,2]上的最大值和最小值.(注意:ln 2<0.7)∵f (x )在[1e ,e]上是减少的,∴f'(x )=ax+a x -(a 2+1)≤0在[1e ,e]上恒成立.∴ax+ax ≤(a 2+1).(可做如下分类讨论) ①当a ≤0时,结论显然成立;②当a>0时,可化为x+1x ≤a+1a 对任意x ∈[1e ,e]恒成立.显然,当x ∈(0,+∞)时,对勾函数h (x )=x+1x 在[0,1]上是减少的,在[1,+∞)上是增加的.∴要使得h (x )≤h (a )在x ∈[1e ,e]上恒成立,只需0<a ≤1e 或a ≥e .综上,可知a ≤1e 或a ≥e . (2)∵f'(x )=ax+ax -(a 2+1)=ax 2-(a 2+1)x+ax=(ax -1)(x -a)x ,令f'(x )=0,则x=1a 或x=a.①当0<a ≤12时,f'(x )≤0, ∴f (x )在[1,2]上是减少的. ∴y min =f (2)=2a-2(a 2+1)+a ln2, y max =f (1)=12a-(a 2+1).②当12<a ≤35时,1≤x<1a 时,f'(x )<0,1a<x ≤2时,f'(x )>0,∴y min =f (1a )=-a-12a -a ln a. f (2)-f (1)=32a-(a 2+1)+a ln2,令h (x )=32x-(x 2+1)+x ln2(12<x ≤35).∴h'(x )=32-2x+ln2. ∵12<x ≤35,∴h'(x )>0. ∴y=h (x )在12<x ≤35上是增加的. ∴h max (x )=h (35)=910−3425+35ln2<-125<0. ∴f (1)>f (2).∴f max =f (1)=12a-(a 2+1).综上所述:当0<a ≤12时,y min =f (2)=2a-2(a 2+1)+a ln2,y max =f (1)=12a-(a 2+1);当12<a ≤35时,y min =f (1a )=-a-12a -a ln a ,y max =f (1)=12a-(a 2+1).20.(本小题满分12分)已知函数f (x )=e xx -a (x-ln x ). (1)当a=1时,试求f (x )在(1,f (1))处的切线方程; (2)当a ≤0时,试求f (x )的单调区间;(3)若f (x )在(0,1)内有极值,试求a 的取值范围.当a=1时,f'(x )=e x (x -1)x 2-1+1x ,f'(1)=0,f (1)=e -1.故所求的切线方程为y=e -1.(2)f'(x)=e x(x-1)x2-a(1-1x)=e x(x-1)-ax(x-1)x2=(e x-ax)(x-1)x2.当a≤0时,对于∀x∈(0,+∞),e x-ax>0恒成立,所以f'(x)>0⇒x>1;f'(x)<0⇒0<x<1.所以f(x)的递增区间为(1,+∞),递减区间为(0,1).(3)若f(x)在(0,1)内有极值,则f'(x)在x∈(0,1)内有解.令f'(x)=(e x-ax)(x-1)x2=0⇒e x-ax=0⇒a=e xx.设g(x)=e xx,x∈(0,1),所以g'(x)=e x(x-1)x,当x∈(0,1)时,g'(x)<0恒成立,所以g(x)是减少的.又因为g(1)=e,又当x→0时,g(x)→+∞, 即g(x)在x∈(0,1)上的值域为(e,+∞),所以当a>e时,f'(x)=(e x-ax)(x-1)x2=0有解.设H(x)=e x-ax,则H'(x)=e x-a<0,x∈(0,1),所以H(x)在x∈(0,1)上是减少的.因为H(0)=1>0,H(1)=e-a<0,所以H(x)=e x-ax在x∈(0,1)上有唯一解x0.所以有:所以当a>e时,f(x)在(0,1)内有极值且唯一.当a≤e时,当x∈(0,1)时,f'(x)≥0恒成立,f(x)是增加的,不成立.综上,a的取值范围为(e,+∞).21.(本小题满分12分)济南市“两会”召开前,某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研,据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源的距离成反比,比例常数为k(k>0).现已知相距36 km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x(km).(1)试将y表示为x的函数;(2)若a=1时,y在x=6处取得最小值,试求b的值.设点C受A污染源污染指数为kax ,点C受B污染源污染指数为kb36-x,其中k为比例系数,且k>0.从而点C处污染指数y=kax +kb36-x(0<x<36).(2)因为a=1,所以y=kx +kb36-x,y'=k[-1x2+b(36-x)2],令y'=0,得x=1+√b,当x∈1+√b)时,函数单调递减;当x∈(1+√b+∞)时,函数单调递增.∴当x=1+√b时,函数取得最小值,又此时x=6,解得b=25,经验证符合题意.故污染源B的污染强度b的值为25.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax-ln x.(1)若f(x)在x=1处取得极值,求实数a的值;(2)若f(x)≥5-3x恒成立,求实数a的取值范围.∵f(x)=ax -ln x,∴f'(x)=-ax2−1x=-x+ax2.由题意得f'(1)=0,即-1+a1=0,解得a=-1.经检验,当a=-1时,函数f(x)在x=1处取得极大值.∴a=-1.(2)设g(x)=f(x)+3x-5=ax-ln x+3x-5,则函数g(x)的定义域为(0,+∞).∴当x>0时,g(x)≥0恒成立.于是g(1)=a-2≥0,即a≥2.∵g'(x)=-ax2−1x+3=3x2-x-ax2,∴方程g'(x)=0有一负根x1和一正根x2,x1<0<x2,其中x1不在函数定义域内.当x∈(0,x2)时,g'(x)<0,函数g(x)是减少的.当x∈(x2,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)是增加的.∴g(x)在定义域上的最小值为g(x2).依题意g(x2)≥0,即g(x2)=ax2-ln x2+3x2-5≥0.又3x22-x2-a=0,于是ax2=3x2-1,又ax2>0,∴x2>13.∴g(x2)=3x2-1-ln x2+3x2-5≥0,即6x2-6-ln x2≥0.令h(x)=6x-6-ln x,则h'(x)=6-1x =6x-1x.当x∈(13,+∞)时,h'(x)>0,∴h(x)是增加的.,+∞)上是增加的,又h(1)=6-6-ln1=0,∴6x2-6-ln x2≥0的解集为[1,+∞).又函数y=3x2-x在(16∴a=3x22-x2≥3×12-1=2.故a的取值范围是[2,+∞).。
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第三章单元自测题答案
一、填空题：
1．满足，2=ξ； 2． 满足, 34
15=ξ； 3． 3； 4． 1-=a ，4-=b ． 二、选择题:
1. B ；
2.A ；
3.C ；
4.A ；
5.B .
三、计算下列各题:
1.解 ∞→x lim 1lim 1lim 11lim )1(0011==-=-=-→→∞→u u u u x x x e u
e x
e e x . 2.解 2000)1ln(lim )1ln()1ln(lim )1)1ln(1(lim x
x x x x x x x x x x x +-=++-=-+→→→ 21)1(2lim 2111lim 00=+=+-
=→→x x x x x x x .
3.解 设21)(cos x x y =，取对数有2cos ln ln x
x y = 因为2
12tan lim cos ln lim 020-=-=→→x x x x x x ，所以2
1cos ln 01022lim )(cos lim -→→==e e x x x
x x x . 四、应用题:
1.解 函数的定义域为),(+∞-∞，因为 x x x e x x e x xe y ----=-=')24(2422,
令0='y ，解得2,021==x x .
当,0,0<'<y x 当,0,20>'<<y x 当,0,2<'>y x
因此,]2,0[为单调增加区间，]0,(-∞)和),2[+∞为单调减少区间.
2.解 函数的定义域为),(+∞-∞，因为
2
22
2)1(22,12x x y x x y +-=''+=', 令0=''y ，解得1,121=-=x x .
当,0,1<''-<y x 时当11<<-x 时,0>''y ,当0,1<''>y x 时，
故曲线的凹区间为]1,1[-，凸区间为]1,(--∞和),1[+∞.
拐点为)2ln ,1(-，)2ln ,1(.
3.解 )5,0(2,2,01232∈=±==-='x x x y 解得,
70)5(,5)0(,11)2(==-=f f f ,故,70max =f 11min -=f .
4.解 ,26,232b ax y bx ax y +=''+='
由已知得0)2(=''y ，即6
,0212b a b a -==+. 又)5,2(为曲线23bx ax y +=上的点,因此有
8
15,42653=+⋅-=b b b .于是16581561-=⋅-=a . 5.解 由已知得x y 2=，且72=xyh ，于是有236x
h =， 长方体带盖箱子的表面积
)362362(2)(2)(222x x x x x yh xh xy x S S ⋅+⋅
+=++== )0(,21642>+
=x x x 因为2
2168)(x x x S -='，令0)(='x S ，解得唯一驻点3=x ， 由问题实际意义知，当长3=x m 时，箱子的用料最省，此时宽m y 6=，高m h 4=.
五、证明题:
1.证明 令x x f ln )(=，显然)(x f 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理条件，于是有 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ,)(b a <<ξ,
即 ξ
a b a b a b -==-ln ln ln ，)(b a <<ξ， 因为b a <<<ξ0，所以a
a b a b b a b -<-<-ξ，因此
a
a b a b b a b -<<-ln . 2.证明 令221)1ln()(x x x x f +-+=，则)(x f 在),0[+∞上连续，且
x
x x x x f +=+-+='1111)(2
， 当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 在),0[+∞上单调增加，又0)0(=f ， 从而，当0>x 时有)0()(f x f >，即当0>x 时，221)1ln(x x x -
>+. 3.证明 令1)(5-+=x x x f ，则)(x f 在区间]1,0[上连续,且
01)1(,01)0(>=<-=f f ，
由零点定理知方程015=-+x x 在区间)1,0(内有一正根.
又在),(+∞-∞内，,015)(4>+='x x f 故)(x f 在),(+∞-∞上单调增加, 因此正根唯一，即方程015=-+x x 只有一个正根.。