数列极限的运算法则
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
(完整版)数列极限的四则运算
lim qn 0 ( q 1)
n
2．运算法则：
lim a a(a为常数)
n
如果 lim an A lim bn B
n
n
则： lim (an bn ) A B n
lim (an bn ) A B
n
lim a n A , (B 0) b n n B
3．语言表达（见教材，略）
此法则可以推广到有限多个数列的情形
n
1 q
n
1 q
1 q
当
q
1
时，
lim
n
T
n
n
lim
1
n n 1
当
q
1
时，
lim
n
Tn
不存在
四、小结：运算法则、常用极限及手段
五、作业：练习 1、2 习题 1
补充：（附纸）
2
3． lim 5n3 n2 4 n 6n5 n 1
5 1 4
解：原式= lim n n3
5
n
6
1 n2
1 n3
6
514
解：原式= lim
n2
n3
n5
0 0
n 6 1 1
6
n4 n5
a0
小．结．：．lim n
a0 x p b0 x q
a1 x p1 b1 x q1
a2 x p2 b2 x q2
例三（机动，作巩固用）求下列数列的极限：
1． lim 2n 1 n 3n 2
解：原式= lim
2
1 n
lim (2
n
1) n
lim 2 lim 1
n
n n
20
2
1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则
xn
a
，
lim
n
yn
b
，
且 a b ，则 N N ，当 n N xn yn 。
2
数列极限的性质和运算法则
性质 1（唯一性）若{ xn } 收敛，则其极限唯一。
证明：用反证法。
假设
lim
n
xn
a
，
lim
n
xn
b ，（ a b），取
ba 2
0，
∴收敛数列的极限是唯一的。
3
数列极限的性质和运算法则
性质 2（有界性） 若{ xn } 收敛，则{ xn } 必有界，
即 M 0， n N , 有 xn M 。
注证明：②①：收性设敛质ln数im2列的x必n等有价a界命，；题反是之:若有界xn数无列界未，必则收敛xn。发散。
lim
n
n3
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
11
数列极限的性质和运算法则
（2） lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
解： lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
lim[ n (n 1) n (n 1) ] lim 1 [ n2 n n2 n]
n yn lim yn b
n
说明：可以推广到有限多个数列的和差或乘积。
7
数列极限的性质和运算法则
思考：
① 若：{ xn } 收敛，{ yn } 发散， 它们的和、差、积、商 数列的敛散性如何？
② 若：{ xn } ， { yn } 都发散呢？
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有?法则1:lim(An+Bn)=A+B?法则2:lim(An-Bn)=A-B?法则3:lim(An·Bn)=AB?法则4:lim(An/Bn)=A/B.???法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)?(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)?首先必须知道极限的定义:?如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,?则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.?根据这个定义,首先容易证明:?引理1: limC=C.?(即常数列的极限等于其本身)?法则1的证明:?∵limAn=A,? ∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)?同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-B|＜ε.②?设N=max{N?,N?},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.?此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.?由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.?即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.?由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.?为了证明法则2,先证明1个引理.?引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)?证明:∵limAn=A,? ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)?①式两端同乘|C|,得:?|C·An-CA|＜Cε.?由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.?即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.?由极限定义可知,lim(C·An)=C·A.?(若C=0的话更好证)?法则2的证明:?lim(An-Bn)?=limAn+lim(-Bn)??(法则1)?=limAn+(-1)limBn??(引理2)?=A-B.?为了证明法则3,再证明1个引理.?引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.?证明:∵limAn=0,? ∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义)?同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-0|＜ε.④?设N=max{N?,N?},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.?此时有|An·Bn|?=|An-0|·|Bn-0|?＜ε·ε?=ε2.?由于ε是任意正数,所以ε2也是任意正数.?即:对任意正数ε2,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε2.?由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.?法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.?则liman=lim(An-A)?=limAn+lim(-A)??(法则1)?=A-A??(引理2)?=0.?同理limbn=0.?∴lim(An·Bn)?=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)?=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB??(法则1)?=0+B·liman+A·limbn+limAB??(引理3、引理2)?=B×0+A×0+AB??(引理1)?=AB.?引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.?证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε引理5:?若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.?证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可法则4的证明:??由引理4,当B≠0时(这是必要条件),正整数N1和正实数ε0,使得对正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.??由引理5,又正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.??现在对ε>0,正整数N2和N3,使得:??当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；??当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；??现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有??|An/Bn-A/B|??=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|??=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|??≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)??≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε法则5的证明:?lim(An的k次方)?=limAn·lim(An的k-1次方)??(法则3)?....(往复k-1次)?=(limAn)的k次方?=A的k次方. 精心搜集整理，只为你的需要。
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明work Information Technology Company.2020YEAR数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(An+Bn)=A+B法则2:lim(An-Bn)=A-B法则3:lim(An·Bn)=AB法则4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义:如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身)法则1的证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε.由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证)法则2的证明:lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn) (法则1)=limAn+(-1)limBn (引理2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.证明:∵limAn=0, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-0|＜ε.④设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.此时有|An·Bn| =|An-0|·|Bn-0| ＜ε·ε=ε².由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε².由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.则liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A) (法则1)=A-A (引理2) =0.同理limbn=0.∴lim(An·Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB (法则1)=0+B·liman+A·limbn+limAB (引理3、引理2)=B×0+A×0+AB (引理1) =AB.引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε引理5: 若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可法则4的证明:由引理4,当B≠0时(这是必要条件),正整数N1和正实数ε0,使得对正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.由引理5,又正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.现在对ε>0,正整数N2和N3,使得:当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε法则5的证明:lim(An的k次方)=limAn·lim(An的k-1次方) (法则3) ....(往复k-1次) =(limAn)的k次方=A的k次方.。
数列的极限性质与计算方法
数列的极限性质与计算方法数列在数学中起着重要的作用，它们与极限的关系密切相关。
本文将介绍数列的极限性质以及常用的计算方法。
通过了解数列的极限性质，我们可以更好地理解和处理数学问题。
一、数列的极限性质数列的极限是指数列随着项数的增加趋向于某个确定的值。
数列的极限性质包括数列的有界性、单调性和收敛性。
1. 数列的有界性对于数列{an}，如果存在常数M，使得对所有的n，有|an| ≤ M，那么数列{an}是有界的。
数列的有界性是指数列中的所有项都不会无限增加或减小，而是有一个上界和下界。
2. 数列的单调性对于数列{an}，如果对于所有的n，都有an ≤ an+1 或an ≥ an+1，那么数列{an}是单调的。
数列的单调性是指数列中的项是否按照一定的规律递增或递减。
3. 数列的收敛性对于数列{an}，如果存在常数L，使得当n趋向于无穷大时，an趋向于L，那么数列{an}收敛于L。
数列的收敛性是指数列是否有一个确定的极限值。
二、数列的计算方法在计算数列的极限时，我们常用的方法包括通项公式、夹挤准则以及数列的运算法则。
1. 通项公式有些数列可以通过通项公式来表示，通项公式可以帮助我们计算数列的任意一项。
例如，斐波那契数列可以通过通项公式an = (φ^n - (1-φ)^n)/√5来计算。
2. 夹挤准则夹挤准则是一种常用的计算数列极限的方法。
如果存在数列{bn}和数列{cn}，满足对于所有的n，有bn ≤ an ≤ cn，并且{bn}和{cn}的极限都为L，那么数列{an}的极限也是L。
3. 数列的运算法则数列的运算法则包括数列的加法、减法、乘法和除法的性质。
例如，如果数列{an}和{bn}都收敛于L，那么它们的和数列{an + bn}也收敛于2L。
总结：数列的极限性质和计算方法是数学中的重要知识点。
通过了解数列的有界性、单调性和收敛性，我们可以判断数列的特性。
在计算数列的极限时，可以运用通项公式、夹挤准则和数列的运算法则等方法。
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
数学分析 第二章21-2数列极限的准则、运算法则
2021/3/22
1
极限存在准则
1.定理３（夹逼准则）
若数列( xn )n1, ( yn )n1,(zn ) 满足下列条件：
(1) yn xn zn (n N),
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
则数列
(
xn
)n1的极限存在,
且
lim
n
xna.Leabharlann 2021/3/222
证 yn a, zn a,(n )
xn
yn
a b.
3.lim xn a , (b 0).
y n n
b
2021/3/22
11
证1 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a ,
当 n N2时恒有 yn b ,
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N时, 恒有 上两式同时成立,
M | b | (M | b |)
即lim n
xn
yn
ab
lim
n
xn
lim n
yn
特别地,两个无穷小量的积仍是无穷小量.
更一般,一个有界量与一个无穷小量的积仍
是无穷小量.
2021/3/22
15
证3 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a , 当 n N2时恒有 yn b ,
| (xn yn ) (a b) | | xn a | | yn b | 2
即lim( n
xn
yn )
a
b
1.5 极限的运算法则
o
x
例11
当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时求 , a0 x m a1 x m 1 am lim 。 n n 1 x b x b x bn 0 1
x m a0 a1 x 1 am x m ) 解 原 式 l i m( n 1 n x x b0 b1 x bn x
单侧极限为 解 x 0是函数的分段点，两个
x 0
lim f ( x ) lim (1 x ) 1,
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1,
2 x 0
y 1 x
y x2 1
y
左右极限存在且相等,
1
故 lim f ( x ) 1.
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理2.1/2.2 直接得出结论 .
第五节 极限的运算法则
一、极限的四则运算法则 二 、极限的复合运算法则 三、数列极限与函数极限的关系
第一章
一、 极限的四则运算法则
定理 1 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有 证: 因 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
例2. 设有分式函数
其中
都是
多项式 , 若
证:
试证:
x x0 x x0
x x0
lim R( x)
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明数列极限四则运算法则是数学中非常重要的一条定理，它可以帮助我们在进行数列极限运算时更加方便和简化计算。
本文将从定理的定义、证明思路、具体证明过程以及应用等方面进行详细介绍和阐述。
让我们来了解一下数列极限四则运算法则的定义。
数列极限四则运算法则是指在满足一定条件的情况下，对数列的极限进行加、减、乘、除运算，得到的结果仍然是一个数列，并且这个数列的极限等于对原数列的极限进行相应的运算得到的结果。
简单来说，就是对数列的极限进行四则运算，可以直接对数列的极限进行运算，而不需要对数列的每一项进行运算。
接下来，我们来探讨数列极限四则运算法则的证明思路。
证明数列极限四则运算法则的关键在于如何证明对于两个数列极限的和、差、乘积和商，它们的极限分别等于原数列极限的和、差、乘积和商。
我们可以通过数学归纳法来证明这一点，即先证明对于两个数列极限的和，它们的极限等于原数列极限的和，然后再逐一证明差、乘积和商的情况。
然后，让我们来具体证明数列极限四则运算法则。
首先，考虑两个数列{a_n}和{b_n}，它们的极限分别为A和B。
我们要证明数列{a_n+b_n}的极限为A+B。
假设存在ε>0，对于任意的N>0，当n>N 时，有|a_n-A|<ε/2和|b_n-B|<ε/2成立。
那么对于n>N，有|a_n+b_n-(A+B)|=|(a_n-A)+(b_n-B)|≤|a_n-A|+|b_n-B|<ε/2+ε/2=ε。
由此可得，数列{a_n+b_n}的极限为A+B。
接下来，我们来证明数列{a_n-b_n}的极限为A-B。
同样地，假设存在ε>0，对于任意的N>0，当n>N时，有|a_n-A|<ε/2和|b_n-B|<ε/2成立。
那么对于n>N，有|a_n-b_n-(A-B)|=|(a_n-A)-(b_n-B)|≤|a_n-A|+|b_n-B|<ε/2+ε/2=ε。
数列极限的运算法则
数列极限的运算法则
数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列，而数列的极限是指当数列中的项无限接近某个特定值时，该特定值就是该数列的极限。
数列的极限可以通过一些运算法则来求解，这些运算法则包括以下几个方面。
1. 线性运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么对于任意
实数c，数列{can}的极限为cA，数列{an+bn}的极限为A+B，数列{an-bn}的极限
为A-B。
2. 乘法运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{anbn}的极限为AB。
3. 除法运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，且B不等于0，那么数列{an/bn}的极限为A/B。
4. 幂运算法则：如果数列{an}的极限为A，且m是一个正整数，那么数列{an^m}的极限为A^m。
5. 复合函数运算法则：如果函数f(x)在x=A处连续，并且数列{an}的极限为A，那么数列{f(an)}的极限为f(A)。
6. 夹逼准则：如果数列{an}，{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，并且数列{an}和{cn}的极限都为A，那么数列{bn}的极限也为A。
7. 极限的唯一性：如果数列{an}的极限存在，那么该极限是唯一的。
这些运算法则可以帮助我们计算数列的极限，使得我们能够更加方便地求解数列的极限问题。
但需要注意的是，这些运算法则只适用于满足一定条件的数列，例如乘法运算法则中要求乘积数列的每一项都存在，除法运算法则中要求除数数列的每一项都不为0等。
在应用运算法则时，我们需要仔细分析数列的性质，确保运算的合理性。
数列极限的四则运算
问题2：如果不能看出函数值的变化趋势， 那么怎样才能把问题转化为已知能求的函数 极限？转化的数学方法与依据是什么？
为了解决这些问题，我们有必要给出 函数极限的运算法则：（证明从略）
函数极限的四则运算： 如果
那么
注意：使用极限
运算法则的前提
是各部分极限存
次数相同，这个分式在
的极限是分子与分母中最高次项的系数之
比; ②若分母的次数高于分子的次数，这个分式在
的极限是0
（2） 求
的函数极限问题转化为求
的数列极限问题
（3） 当项数无限时，要先求和（或积）再求极限
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数列极限的四则运算： 如果
那么
特别地，如果C是常数，那么
注：上述法则可推广到有限个数列的加，减，乘，除。
几个基本数列的极限：
观察
归纳
（k是常数， 是正整数）
(c为常数)
c=c (c为常数)
例1 、 求下列极限
一般地，当分子分母是关于n的的多项式时，
①若分子分母的次数相同，这个分式在
的极限是分子与分母中最高次项的系数之比;
②若分母的次数高于分子的次数，这个分式
在
的极限是0
变式练习：
（1）已知
=2 , 求a的值 ( 6 )
（2）求
的极限（
）
(3) 若 a=__-_4__b=___2____
,则
注： 求
的函数极限问题转化为求
列极限问题
的数
例题2、求下列极限
（1）
（2）
方法：分子，分母同除以 绝对值 最大的 底数的n次方
Hale Waihona Puke 例3 、思考:对比解1、解2,判断哪种解法正确,并分析原因
极限的性质与四则运算法则
lim 1 x2 x2 2x
1
1
limx2lim2x 4
x2
x2
5、通分法 两 个 分 式 相 减 ，， 可若 考是 虑0通 式 分 。 化
0
例
求
极lx i限 1m 12x2
1 。 1x
答案 1 2
练习 求极xl i限 m 111x13x3。
(1 ) lim[ f ( x ) g ( x )] A B ;
( 2 ) lim[ f ( x ) g ( x )] A B ;
( 3 ) lim f ( x ) A , 其中 B 0 . g(x) B
推论1 如果 limf(x)存在 ,而c为常,则 数 limc[f(x)]climf(x).
0
lx i m b am nxxm n a bm n 1 1xxn m 11 a b00
a b
n m
nm nm nm
消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。
例 求 极l限 im (2)n 3n 。计算过程 n(2)n1 3n1
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如l果 im fi(x)存,而 在 ai为常 (i1 数 ,2,,n)则 ,
lim a1f1 [(x)a2f2(x)anfn(x)] lim a1f1(x)lim a2f2(x)lim anfn(x)
推论3 如果 limfi(x)存在 (i1,2,,n),则 l i mf1[(x)f2(x) fn(x)]
§2.4 极限的性质与四则运算法则
一、性质
性质1(唯一性) 若极限lim f(x)存在，则极限唯一。 注 此定理对数列也成立。
数列极限地运算法则
3 5
n
n
1 9
0
方法小结：
lim
n
kpn tpn
cqn dqn
1、如果 p q ,那么分子、分母同除以pn; 2、如果 p q ,那么分子、分母同除以qn;
再利用lim rn ,求极限值. n
例3：计算下列数列的极限：
(1) lim(1 2 3 2010) 0
n n n n
lim1 lim 1
n
n n n
(2) lim 2n 1
2 1 lim n
n 3n 2 n 3 2
lim(2
n
1) n
2
lim(3 2) 3
(3) lim 2n 1 n n2 3n
n
lim
2 n
1 n2
n 1 3
n
lim( n
2 n
nn12
)
lim(1 3)
0
n
n
n
(4) lim n2 2n 3 n 2n2 3n 7
(7) 1 6
a 1 (8) b 1
(9)
2 5
,
4 5
(10) 0,4
(11) 1 3
例7、计算下列数列的极限：
(1) lim n
n 1 n2
n
lim
n n
1 1 1 n
1 2 1 n
lim ( n 1 n)( n 1 n) n ( n 2 n)( n 1 n)
lim
1
练习：
书 P-42 练习 7.7（3） 书 P-44 练习 7.7（4）
作业：
一课一练： P-28 练习 7.7（3） 一课一练： P-30 练习 7.7（4）
作业：
1.3.1数列极限的运算法则
（1）若n
N,xn1
xn
0,则xn 0, 则xn
;
（2）若n
N,xn1 xn
11,, 则则xxnn
;
（3）若xn1
f
(xn ),
f
(x) 0,则当当xx11
x2 ,xn x2 , xn
;
这是因为：若x1≤x2,由f(x)的单调递增性有 x2=f(x1)≤f(x2,)=x3,所以 x1≤x2≤x3,以此类推, 即可得到 {xn}是单调递增。
事实上， 0,按上确界定义 , aN an,使得a aN . 又由an的递增性,当n N时有a aN an.
而a是an的一个上界 ,故an ,都有an a a .
所以当n N时有 a an a .
即
lim
n
an
a.
同理可证有下界的递减 数列必有极限.
例1 证明数列{(1 1 )n}单调增加,{(1 1)n1}单调减少,
n
n
且收敛于同一极限.
证：
记
xn
(1
1 )n , n
yn
(1
1 )n1 n
利用平均值不等式
xn
(1
1 )n n
1
n(1 1) n
n 1
n1
1
xn1
xn
1 yn
(
n
n
)n1 1
1
(n
1) n
n
n
2
1
1
n2
1 yn1
yn
又由于 2 x1 xn yn y1 4
同理若x1 x2,由f(x)的单调递增性有 x2=f(x1)f(x2,)=x3,所以 x1x2x3，以此类推， 即可得到 {xn}是单调递减。
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明设 limAn=A,limBn=B, 则有法则 1:lim(A n+B n)=A+B法则 2:lim(An-Bn)=A-B法则 3:lim(An • Bn)=AB法则 4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n T + g的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义：如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？£>0(不论它多么小)，总存在正数 N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| <e都成立，则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A.根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身)法则1的证明：•••limAn=A,二对任意正数£ ,存在正整数N?,使n > N?寸恒有|An-A| <£ .(极限定义)同理对同一正数& ,存在正整数N?,使n > N?时恒有|Bn-B| <£ .②设N=max｛N ?,N?｝,由上可知当n > N时①②两式全都成立.此时 |(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn- B)| < |AA|+|Bn-B| <£ + £ =2 £.由于&是任意正数，所以2 &也是任意正数.即:对任意正数2 £ ,存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 £.由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理 2:若 limAn=A,贝U lim(C • An)=C(C・是常数)证明:vlimAn=A, 二对任意正数e ,存在正整数N,使n > N时恒有|An-A| Ve .(极限定义)①式两端同乘|C|,得：|C • -CA| v C e.由于e是任意正数，所以C e也是任意正数.即:对任意正数 C e ,存在正整数N,使n > N时恒有|C -C A n V C e.由极限定义可知，lim(C ・AAn=O0的话更好证)法则2的证明：lim(A n-B n)=limAn+lim(-Bn)( 法则 1)=limAn+(-1)limBn ( 引理 2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理 3:若 limAn=O,limBn=0, 贝U lim(An • Bn)=0.证明:vlimAn=0, 二对任意正数e ,存在正整数N ?,使n > N ?时恒有|An-0| Ve .(极限定义) 同理对同一正数 e ,存在正整数N?,使n > N?时恒有|Bn-0| Ve .④设N=max{N ?,N?},由上可知当n > N时③④两式全都成立.此时有 |An • =Bnn- 0| • \Bn<£•=££ 2.由于&是任意正数，所以£ 2也是任意正数即:对任意正数£ 2,存在正整数，使n> N时恒有|An -0|B< & 2.由极限定义可知，lim(A n • Bn )=0.法则3的证明：令an=An-A,bn=Bn-B.则 liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A)( 法则 1)=A-A (引理 2) =0.同理 limbn=0./• lim(A n • Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an • bn+B • an+A • bn+AB)=lim(a n • bn )+lim(B • an )+lim(A • b法则mAB=0+B • liman+A • limbn+limAB引理 3、引理 2)=B x 0+A x 0+AB (引理 1) =AB.引理4:如果limXn=L 工0,则存在正整麵和正实数£ ,使得对任何正整数n>N,有|Xn| >£.证明：取£ =|L|/2>0, 则存在正整数使得对任何正整数n>N,有|Xn- L|< £ .于是有|Xn- > |L| |Xn- L| > -L£ = £引理5:若limAn存M,使得对所有正整数n,有|An| wM.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N 有|An- A| w 1,于是有|An| w |A|+1, 我们取 M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1) 即可法则4的证明：由引理4,当B M0时（这是必要条件）,？正整数 N1和正实数£ 0,使得对正整数n>N1,有|Bn| 0.由引理5,又？正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An| < M,|Bn| < K.现在对？£ >0?正整数N2和N3,使得：当 n>N2,有|An- A|< £ 0*|B|* £ /(M+K+1);当 n>N3,有 |Bn- B|< £ 0*|B|* £ /(M+K+1);现在，当 n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|A n*B-B n*A|/|B*B n|=|A n( B-B n)+B n(An-A)|/|B*B n|w (|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A- An|)/(|B|* £ 0)(M+K)/((M+K+1)< £法则5的证明：lim(An 的k次方)=limAn • lim(A的 k-1 次方)(法则 3)....(往复 k-1 次)=(limAn)的k次方=A的k次方.。
数列极限的四则运算法则
数列极限的四则运算法则好嘞，今天咱们聊聊数列极限的四则运算法则。
听起来很严肃，对吧？其实这玩意儿就像你早上喝的豆浆，慢慢喝才有味道。
极限，这个词听上去高大上，其实说白了就是一个数列在无限逼近某个数字时的表现。
就像你追着一只小猫，越追越近，最后它就在你面前停下了。
这就是极限。
咱们得搞清楚，数列是什么东西。
数列就是一个个数字按一定规律排成的队伍。
想象一下，你在吃糖果，巧克力、牛奶糖、果仁糖，一颗接一颗，这些糖果就像数列里的数字。
你一开始可能就吃一颗，但随着时间推移，可能会吃到第十颗、第二十颗，甚至更多。
咱们要知道，每次吃到的新糖果代表数列中的一个数，慢慢地，你就会对它们的味道有个大概的了解。
极限的四则运算就像一场有趣的游戏。
加法、减法、乘法、除法，嘿，听起来是不是很简单？就像你和朋友一起吃火锅，大家分着吃，越吃越快乐。
先说加法，两个数列相加，就像把两盘菜放在一起，嘿嘿，味道更丰盛了。
假如你有两个数列，一个是2、4、6，另一个是3、5、7。
它们的极限分别是6和7，加起来，极限就是13。
这就跟你和朋友一起点了牛肉和虾，最后大家一起分享，肉虾双全，太幸福了。
再说减法，听上去似乎有点伤感。
两个数列相减，就像你从一盘菜里拿走一部分，虽然有点遗憾，但味道还是不错的。
比如说，数列A的极限是10，数列B的极限是4，AB的极限就是6。
别忘了，生活中总会有些失去，重要的是珍惜眼前的美好。
然后，咱们谈谈乘法，嘿，这个可真是让人激动。
两个数列相乘，就像把你最爱的两种口味的冰淇淋混合在一起。
假如一个数列的极限是2，另一个是3，它们的乘积的极限就是6。
这就像你吃到巧克力和香草的组合，哇，简直是味蕾的狂欢，幸福感直线飙升。
别忘了除法。
这个有点儿小心翼翼，毕竟不是所有的数都能被完美地分开。
就像你和朋友一起分披萨，不能让某个人分到0片，那可就没法玩了。
如果数列A的极限是8，B的极限是2，A除以B的极限就是4。
记住，除法的时候一定得小心，确保分母不是零，不然就得抓瞎。
极限的四则运算
一、数列的极限：1.极限的概念和运算法则数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a ，那么就说数列{a n }以a 为极限.数列极限的运算法则：如果A a n n =∞→lim ，Bb n n =∞→lim .则 ① ()B A b a n n n +=+∞→lim .② ()AB b a n n n =∞→lim .② ()0,0lim ≠≠=∞→B b B A b a n n n n .（注意：和与积中包含的数列个数必须是有限的，另外这些运算法则逆命题并不一定成立，例如，若已知()n n n b a ∞→lim 存在，n n a ∞→lim ，nn b ∞→lim 不一定存在，可以进行这样的改编，让学生自行判断和举反例。
）2.基本数列极限①为常数）；C C C n (lim =∞→ ②）；*(01lim N n n n ∈=∞→ ③）；1|(|0lim <=∞→q q n n 而对于n n q lim ∞→，当1=q 时，1lim =∞→n n q ；当1||>q 或1-=q 时，n n q lim ∞→极限不存在。
3.无穷等比数列各项和当公比1||0<<q 时,无穷等比数列ΛΛn a a a a ,,,321的各项和为:）；1||0(11lim <<-==∞→q q a S S n n（可以让学生解释各项和怎么由前n 项和公式演变而来，注意适用范围及两者区别）4.常见的数列极限可以归纳为两大类:第一类是两个关于自然数n 的多项式的商的极限:)0,0,,(.0;,*01110111lim ≠≠∈⎪⎩⎪⎨⎧>==++++++++----∞→l k l l l l k k k k n b a N l k k l k l b a b n b n b n b a n a n a n a 时，当时当ΛΛ当l k >时,上述极限不存在.第二类是关于n 的指数式的极限: ⎩⎨⎧=<=∞→时，当时；当111||,0lim q q q nn当1||>q或1-=q时,上述极限不存在（注意：求极限时，把常数项提到极限记号外面可以使运算变得很简洁。
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数列极限的运算法则（5月3日）
教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。
教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：数列极限法则的运用 教学过程： 一、复习引入：
函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0
B x g A x f x x x x ==→→则[]=±→)
()(lim 0
x g x f x x ＿＿＿
[]=→)().(lim 0
x g x f x x ＿＿＿＿，=→)
()
(lim
x g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠） 二、新授课：
数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞
→∞
→那么
B A b a n n n +=+∞
→)(lim B A b a n n n -=-∞
→)(lim
B A b a n n n .).(lim =∞
→ )0(lim
≠=∞→B B A
b a n
n n
推广：上面法则可以推广到有限．．
多个数列的情况。
例如，若{}n
a ，{}n
b ，{}n
c 有极限，
则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞
→∞
→∞
→∞
→++=++lim lim lim )(lim
特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞
→∞
→∞
→lim .lim ).(lim
二.例题：
例1.已知,5lim =∞
→n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞
→
例2.求下列极限： （1）)45(lim n
n +
∞
→； （2）2)11
(lim -∞→n n
例3.求下列有限：
（1）1312lim
++∞→n n n （2）1
lim 2-∞→n n
n
分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，
上面的极限运算法则不能直接运用。
例4.求下列极限： （1） )1
1
2171513(
lim 2
222+++++++++∞
→n n n n n n （2）)39312421(
lim 1
1
--∞→++++++++n n n
说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。
当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。
2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。
3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。
小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。
练习与作业：
1.已知,2lim =∞
→n n a 3
1
lim -
=∞
→n n b ，求下列极限 （1）)32(lim n n n b a +∞
→； （2）n
n
n n a b a -∞→lim
2.求下列极限： （1）)1
4(lim n
n -
∞
→； （2）n
n 3
52lim
+
-∞→。
3.求下列极限 （1）n n n 1lim +∞→； （2） 2
3lim -∞→n n
n ；
（3）2123lim n n n --∞→； （4）1
325lim 22
--∞→n n n n 。
4.求下列极限
已知,3lim =∞
→n n a ,5lim =∞
→n n b 求下列极限：
（1）. ).43(lim n n n b a -∞
→ （2）. n
n n
n n b a b a +-∞→lim
5.求下列极限:
（1）. );27(lim n n -∞
→ （2）. )51
(
lim 2-∞
→n
n
（3）. )43
(1lim +∞→n n n (4).11
1
1lim -+∞→n
n n
(5). 2
2321lim n n n ++++∞→ (6).11657lim -+∞→n n
n
(7). 91lim 2-+∞→n n n （8）)1412lim(22
n n n
n +-+∞→
（9）n
n n 3
1913112141211lim ++++++++
∞→ （10）.已知,2lim =∞→n
n a 求n n n a n a n -+∞→lim。