数列极限的运算法则
(完整版)数列极限的四则运算
教材：数列极限的四则运算
目的：要求学生掌握数列极限的四则运算法则，并能运用法则求数列的极限。 过程：
一、复习：数列极限的N -ε定义 二、提出课题：数列极限的四则运算法则
1．几个需要记忆的常用数列的极限
1．2
31
2lim ++∞→n n n
解：原式=3
203022lim
3lim 1lim
2lim )23(lim )12(lim 2312lim =++=++=++=++∞→∞→∞→∞
→∞→∞→∞→n n n
n n n n n n n n n n
2．1645lim 323-+++∞→n n n n n 解：原式=6
5116415lim 3
23
=-+++
∞→n n n n n 3．1645lim 523-+++∞→n n n n n 解：原式=06
0116415lim 5
4532==-+++∞→n
n n n n n
小结：．．．⎪⎧→lim 0a n )(q p = ，求n n T ∞→lim
解： T 当当q 当1
+∞
→∞
→n n n n 当1=q 时，n n T ∞
→lim 不存在
四、小结：运算法则、常用极限及手段
五、作业：练习1、2 习题1 补充：（附纸）
1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则
例如：两个收敛数列{ 1 } 与{ 1 } ， nn
对 n
N
，总有
1 n
1 n
，但 lim( n
1) n
lim
n
1 n
0
。
6
数列极限的性质和运算法则
1.2.3. 数列极限的运算法则 1、四则运算法则
定理 1
设 lim n
xn
a，
lim
n
yn
b ，则：
（1）
xn
必存在。
（2）
若
{
xn
}
单调不增且有下界，则
lim
n
xn
必存在。
定理的几何解释：若数列{ xn } 单调增加且有上界，即
xn xn1 且 xn M (n 1, 2,) ，则在数轴上点 xn 随着
n 的增大不断向右方移动，因为有上界，所以这些点必
无限地趋向于某一定点 a，即{ xn } 收敛于数 a。
lim
n
a0nk b0nm
a1nk 1 b1 n m 1
ak bm
a0 b0
,
0,
k m, k m.
9
数列极限的性质和运算法则
例 2．求下列极限：
（1）
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则
的证明
work Information Technology Company.2020YEAR
数列极限四则运算法则的证明
设limAn=A,limBn=B,则有
法则1:lim(An+Bn)=A+B
法则2:lim(An-Bn)=A-B
法则3:lim(An·Bn)=AB
法则4:lim(An/Bn)=A/B.
法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)
(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)
首先必须知道极限的定义:
如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使
得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,
则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.
根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身)
法则1的证明:
∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)
同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②
设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.
此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.
由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.
即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.
由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.
为了证明法则2,先证明1个引理.
引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)
极限四则运算法则
02
极限四则运算的基本方法
直接法求解极限
直接法求解极限的原理
直接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，直接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式化简
• 求出极限的值
间接法求解极限
间接法求解极限的原理
• 错误地使用极限的四则运算规律
• 熟练掌握极限的四则运算规律，避免错误应用
• 错误地判断函数的连续性和可导性
• 在求解极限时，仔细分析函数的性质，确保逻辑正确
• 错误地求解极限
• 在判断函数的连续性和可导性时，严格按照定义进行判
断
提高极限运算正确率的策略
提高极限运算正确率的策略
• 熟练掌握极限的基本概念和性质
复杂函数的极限运算案例分析
复杂函数的极限运算方法
• 通过分析函数的性质，将复杂函数化简
• 求出化简后的函数的极限
复杂函数的极限运算案例
• 求复杂函数在无穷大处的极限
• 求复杂函数在无穷小处的极限
05
极限四则运算的错误分析与防范
极限运算中的常见错误分析
极限运算中的常见错误
• 忽略了极限存在的条件
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明
设limAn=A,limBn=B,则有?
法则1:lim(An+Bn)=A+B?
法则2:lim(An-Bn)=A-B?
法则3:lim(An·Bn)=AB?
法则4:lim(An/Bn)=A/B.???
法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)?
(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)?
首先必须知道极限的定义:?
如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,?
则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.?
根据这个定义,首先容易证明:?引理1: limC=C.?(即常数列的极限等于其本身)?
法则1的证明:?
∵limAn=A,? ∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)? 同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-B|＜ε.②?
设N=max{N?,N?},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.?
此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.?
由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.?
即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.?
由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.?
为了证明法则2,先证明1个引理.?
引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)?
证明:∵limAn=A,? ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)?
数列极限的运算法则
数列极限的运算法则(5月3 日)
掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。 运用数列极限的运算法则求极限 数列极限法则的运用 教学目标 教学重点 教学难点 教学过程 一、复习引入： 函数极限的运算法则：如果 lim X X o
lim f(x).g(x)
X 冷
二、新授课： 数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似: 如果 lim a n A, lim b n B,那么
n n lim (a n b n ) A B
n f(x) A, lim g(x) B,则 lim f (x) x x o ..f(x) lim
x x0
g(x)
x X o n im(a n b n
) A
lim (a n .b n ) A.B lim n
a n
b n
B
(B
推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。 例如,
a n
b n
g(x )
0)
有极限，
则：lim (a n b n c n ) lim a n
lim b n n
n n lim n
C n
特别地，如果
C 是常数，那么
lim (C.a n ) lim C.lim a n
一
-
n
CA
例1•已知lim a n n
5, lim b n 3，求 lim (3a n
4b n ).
n
n
例2•求下列极限： 4、
(1) lim (5 ); n n
(2) lim (- 1)2
n n
例3•求下列有限：
/ 八,■ 2n 1 /c 、 ,■ n （1） lim
（2） lim ——
n
3n 1
n
n 1
分析：（1） （2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限, 上面的极限运算法则不能直接运用。
数学分析 第二章21-2数列极限的准则、运算法则
ak bl
, a0
0, b0
0
例9.求 lim[ 1 cos n n2 1 ]
n n
2n2 1
例10. lim n ( n 1 n ) n
2021/3/22
19
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 单调数列 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
n n2 n
2021/3/22
8
例4 1. 求 lim n 1n 2n 3n . n
解 n 3n n 1n 2n 3n n 3 3n ,
3 n 1n 2n 3n 3 n 3,
又 lim 3 3 , lim 3 n 3 3 ,
n
n
由夹逼定理得
lim n 1n 2n 3n 3 .
lim n
xn
a.
2021/3/22
3
推论（夹逼准则）
若数列( xn )n1, ( yn )n1,(zn ) 满足下列条件：
(1) a xn zn ,( yn xn a) ,(n N),
(2)
lim
n
zn
a,
则
数列
(
xn
)n1的极
限存在,
且
lim
n
xn
a.
2021/3/22
4
例1 求 lim( 1 1 1 ).
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则是数学中非常重要的一条定理，它可以帮助我们在进行数列极限运算时更加方便和简化计算。本文将从定理的定义、证明思路、具体证明过程以及应用等方面进行详细介绍和阐述。
让我们来了解一下数列极限四则运算法则的定义。数列极限四则运算法则是指在满足一定条件的情况下，对数列的极限进行加、减、乘、除运算，得到的结果仍然是一个数列，并且这个数列的极限等于对原数列的极限进行相应的运算得到的结果。简单来说，就是对数列的极限进行四则运算，可以直接对数列的极限进行运算，而不需要对数列的每一项进行运算。
接下来，我们来探讨数列极限四则运算法则的证明思路。证明数列极限四则运算法则的关键在于如何证明对于两个数列极限的和、差、乘积和商，它们的极限分别等于原数列极限的和、差、乘积和商。我们可以通过数学归纳法来证明这一点，即先证明对于两个数列极限的和，它们的极限等于原数列极限的和，然后再逐一证明差、乘积和商的情况。
然后，让我们来具体证明数列极限四则运算法则。首先，考虑两个数列{a_n}和{b_n}，它们的极限分别为A和B。我们要证明数列{a_n+b_n}的极限为A+B。假设存在ε>0，对于任意的N>0，当n>N 时，有|a_n-A|<ε/2和|b_n-B|<ε/2成立。那么对于n>N，有
|a_n+b_n-(A+B)|=|(a_n-A)+(b_n-B)|≤|a_n-A|+|b_n-
B|<ε/2+ε/2=ε。由此可得，数列{a_n+b_n}的极限为A+B。
极限四则运算法则条件(一)
极限四则运算法则条件(一)
极限四则运算法则条件
引言
在数学中，四则运算是最基本也是最常见的运算形式之一。它包括加法、减法、乘法和除法，是数学基础的重要组成部分。然而，在进行四则运算时，我们需要遵守一些条件和法则，以确保运算结果的准确性和合法性。本文将介绍一些关于极限四则运算的法则和条件。加法法则和条件
1.加法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷
小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限和等于各自极限的和。
2.加法条件：在进行加法运算时，要确保所涉及的实数
或数列都是有限的或者都是收敛的。
减法法则和条件
1.减法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷
小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限差等于各自极限的差。
2.减法条件：在进行减法运算时，要确保所涉及的实数
或数列都是有限的或者都是收敛的。
乘法法则和条件
1.乘法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷
小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限积等于各自极限的乘积。
2.乘法条件：在进行乘法运算时，要确保所涉及的实数
或数列都是有限的或者都是收敛的。
除法法则和条件
1.除法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷
小数列，并且它们的极限存在且除数不为0，则它们的极限商等于各自极限的商。
2.除法条件：在进行除法运算时，要确保所涉及的实数
或数列都是有限的或者都是收敛的，并且除数不为0。
结论
四则运算是数学中最基本的运算形式之一，在进行极限四则运算时，我们需要遵守一些法则和条件，以确保运算结果的准确性和合法性。这些法则和条件适用于加法、减法、乘法和除法运算，并且适用于有限实数和无穷小数列的极限运算。在进行运算时，要仔细考虑所涉及的实数或数列的性质，并遵守相应的法则和条件，以确保运算结果的正确性。
求数列极限的方法
求数列极限的方法
要求解数列极限，我们首先需要了解数列的定义和性质。数列是指按照一定规律排列的一系列数的集合。数列的极限是指当数列中的数字无限接近某个固定值时，该固定值就是数列的极限。求数列极限的方法有很多，下面我将介绍几种常见的方法。
1. 通过数列的定义求极限。
要求解数列的极限，可以通过对数列的定义进行推导。数列的定义是指按照一定规律排列的一系列数的集合。根据定义，我们可以通过逐渐增加数列的项数，观察数列的变化趋势，推测数列的极限。例如，对于递归数列an = n^2，我们逐渐增加n的值，可以观察到当n趋近于无穷大时，an也趋近于无穷大。因此，可以猜测该数列的极限是正无穷大。
2. 使用极限运算法则求极限。
极限运算法则是指通过对数列中的各个项进行特定的运算，从而得到数列的极限。常见的极限运算法则有加法法则、乘法法则和除法法则等。例如，对于数列an = 1/n，可以将每一项分子分母都乘以n，得到新的数列bn = 1。由于bn的每一项都是常数1，因此bn的极限是1。根据极限的乘法法则，我们可以得到原数列an的极限也是1。
3. 利用数列的收敛性求极限。
数列中的一部分项可能已经足够接近极限值，我们可以利用数列的收敛性来求解
数列的极限。数列的收敛性是指当数列中的项逐渐增加时，数列的极限趋于一个固定值。例如，对于递归数列an = 1/n，随着n的增大，an逐渐接近于0。因此，我们可以推测该数列的极限是0。
4. 利用夹逼定理求极限。
夹逼定理是利用数列的中间项来确定数列的极限。夹逼定理是指当一个数列在某一项之后受到两个趋于同一极限的数列夹逼时，该数列的极限也趋于相同的极限。夹逼定理常用于求解复杂的数列极限。例如，对于递归数列an = (n^2 +
数列极限的运算法则
数列极限的运算法则
数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列，而数列的极限是指当数列中的项无限接近某个特定值时，该特定值就是该数列的极限。数列的极限可以通过一些运算法则来求解，这些运算法则包括以下几个方面。
1. 线性运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么对于任意
实数c，数列{can}的极限为cA，数列{an+bn}的极限为A+B，数列{an-bn}的极限
为A-B。
2. 乘法运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{anbn}的极限为AB。
3. 除法运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，且B不等于0，那么数列{an/bn}的极限为A/B。
4. 幂运算法则：如果数列{an}的极限为A，且m是一个正整数，那么数列{an^m}的极限为A^m。
5. 复合函数运算法则：如果函数f(x)在x=A处连续，并且数列{an}的极限为A，那么数列{f(an)}的极限为f(A)。
6. 夹逼准则：如果数列{an}，{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，并且数列{an}和{cn}的极限都为A，那么数列{bn}的极限也为A。
7. 极限的唯一性：如果数列{an}的极限存在，那么该极限是唯一的。
这些运算法则可以帮助我们计算数列的极限，使得我们能够更加方便地求解数列的极限问题。但需要注意的是，这些运算法则只适用于满足一定条件的数列，例如乘法运算法则中要求乘积数列的每一项都存在，除法运算法则中要求除数数列的每一项都不为0等。在应用运算法则时，我们需要仔细分析数列的性质，确保运算的合理性。
极限的四则运算2
2n2 n
(3)
lim
n
3n2
2
(2) lim 3n 2 n n
3n3 n
(4)
lim
n
2n4
n2
方 法：分子，分母同除以n的最高次幂 总 结：
Lim f (n)其中f(n)，g(n)都是关于n的多项式
n g (n)
1）如果f(n)的次数 = g(n)的次数, 则极限为最高次系数比 2）如果f(n)的次数 < g(n)的次数, 则极限为0 3）如果f(n)的次数 > g(n)的次数, 则极限不存在
1)
例5:如图所示,在Rt ABC内有一系列正方形,面积分别
为S1,S2,…,Sn,…,已知 tan A=1/2,BC=a,求所有这
些正方形的面积的和
B
解: BC a, tan A 1/ 2, AC 2a. 由ΔA1B1C1∽ΔABC:
B1C1 AC1 AC B1C1 ,
BC AC
AC
（3） 当项数无限时，要先求和（或积）再求极限
2n 2n
•
1 n
(2) lim[ 1 1 1
1
]
n 2 5 58 811
(3n 1) (3n 2)
.
..
..
例4:化下列循环小数为分数: (1)0.7;(2)0.28;(3)0.214.
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明
设 limAn=A,limBn=B, 则有
法则 1:lim(A n+B n)=A+B
法则 2:lim(An-Bn)=A-B
法则 3:lim(An • Bn)=AB
法则 4:lim(An/Bn)=A/B.
法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)
(n T + g的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.)
首先必须知道极限的定义：
如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？£>0(不论它多么小)，总存在正数 N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A|
则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A.
根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身)
法则1的证明：
•••limAn=A,二对任意正数£ ,存在正整数N?,使n > N?寸恒有|An-A| <£ .(极限定义)
同理对同一正数& ,存在正整数N?,使n > N?时恒有|Bn-B| <£ .②
设N=max｛N ?,N?｝,由上可知当n > N时①②两式全都成立.
此时 |(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn- B)| < |AA|+|Bn-B| <£ + £ =2 £.
由于&是任意正数，所以2 &也是任意正数.
即:对任意正数2 £ ,存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 £.
由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B.
为了证明法则2,先证明1个引理.
引理 2:若 limAn=A,贝U lim(C • An)=C(C・是常数)
数列的极限数学归纳法
数列的极限、数学归纳法
一、知识要点 （一） 数列的极限
1.定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<ε恒成立，则称常数A 为数列{a n }的极限，记作
A a n n =∞
→lim .
2.运算法则：若lim n n a →∞
、lim n n b →∞
存在，则有
lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞
→∞
→∞
±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞
→∞
→∞
⋅=⋅
)0lim (lim lim lim ≠=∞→∞
→∞→∞→n n n n n
n n
n n b b a b a 3.两种基本类型的极限：<1> S=⎪⎩
⎪
⎨⎧-=>=<=∞
→)11()
1(1)
1(0lim a a a a a n n 或不存在 <2>设()f n 、()g n 分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为p a 、
p b 且)(0)(N n n g ∈≠,则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>=<=∞→)()()
(0)()(lim q p q p b a q p n g n f q
p
n 不存在
4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：1
1a S q
=
- （|q|<1） 无穷数列{a n }的所有项和：lim n n S S →∞
= （当lim n n S →∞
存在时）
（二）数学归纳法
极限的六个运算法则
极限的六个运算法则
问题，介绍极限的六个运算法则。
一、引言
极限是数学分析中的一个重要概念，它广泛应用于数学、物理、工程、经济等领域。在研究极限时，我们经常需要对极限进行一系列运算，比如加减乘除、求导、积分等，在这些运算过程中，我们需要遵循一些特定的规则和定理，这些规则和定理被称为极限的六个运算法则。本文将一步一步回答问题，介绍这六个运算法则。
二、什么是极限？
在介绍极限的六个运算法则之前，我们需要了解什么是极限。极限是数列或函数在无限趋近于某个数或者无限趋近于正无穷或负无穷时的极值，通俗来讲，就是一种趋于无穷小或无穷大的状态。因此，极限的研究是对无限趋近的一种研究。
三、极限的六个运算法则是什么？
极限的六个运算法则包括加减乘除、复合、取极限、求导、积分等运算。这些运算法则在解决极限问题中被广泛使用。接下来，我们将逐一讲解这些运算法则。
1、加减乘除运算法则
加减乘除是求极限过程中常用的运算法则，其规则如下：（1）极限的加减法法则
当lim[a_n] = A ,lim[b_n] = B时，有:
lim[a_n+b_n] = A + B
lim[a_n-b_n] = A - B
（2）极限的乘法法则
当lim[a_n] = A ,lim[b_n] = B时，有：
lim[a_n*b_n] = A*B
（3）极限的除法法则
当lim[a_n] = A ,lim[b_n] = B且B≠0时，有：
lim[a_n/b_n] = A/B
2、复合运算法则
复合是指将一个函数代入到另一个函数中的运算，其规则如下：
(1) 复合函数的极限法则
(完整版)极限四则运算法则
极限四则运算法则
由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且
)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。
证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当
100δ<-
)(ε
<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当2
00δ<-
)(ε
<
-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有
ε
ε
ε
=+
<
-+-≤-+-=+-+2
2
)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f
所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0
。
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且
)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。
证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f （βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记
αβαβγ++=B A ， γ⇒为无穷小， AB x g x f =⇒)()(lim 。
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数列极限的运算法则（5月3日）
教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。 教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：数列极限法则的运用 教学过程： 一、复习引入：
函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0
B x g A x f x x x x ==→→则[]=±→)
()(lim 0
x g x f x x ＿＿＿
[]=→)().(lim 0
x g x f x x ＿＿＿＿，=→)
()
(lim
x g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠） 二、新授课：
数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞
→∞
→那么
B A b a n n n +=+∞
→)(lim B A b a n n n -=-∞
→)(lim
B A b a n n n .).(lim =∞
→ )0(lim
≠=∞→B B A
b a n
n n
推广：上面法则可以推广到有限．．
多个数列的情况。例如，若{}n
a ，{}n
b ，{}n
c 有极限，
则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞
→∞
→∞
→∞
→++=++lim lim lim )(lim
特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞
→∞
→∞
→lim .lim ).(lim
二.例题：
例1.已知,5lim =∞
→n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞
→
例2.求下列极限： （1）)45(lim n
n +
∞
→； （2）2)11
(lim -∞→n n
例3.求下列有限：
（1）1312lim
++∞→n n n （2）1
lim 2-∞→n n
n
分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，
上面的极限运算法则不能直接运用。
例4.求下列极限： （1） )1
1
2171513(
lim 2
222+++++++++∞
→n n n n n n （2）)39312421(
lim 1
1
--∞→++++++++n n n
说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。 当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。
2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。
3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。
小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。 练习与作业：
1.已知,2lim =∞
→n n a 3
1
lim -
=∞
→n n b ，求下列极限 （1）)32(lim n n n b a +∞
→； （2）n
n
n n a b a -∞→lim
2.求下列极限： （1）)1
4(lim n
n -
∞
→； （2）n
n 3
52lim
+
-∞→。
3.求下列极限 （1）n n n 1lim +∞→； （2） 2
3lim -∞→n n
n ；
（3）2123lim n n n --∞→； （4）1
325lim 22
--∞→n n n n 。
4.求下列极限
已知,3lim =∞
→n n a ,5lim =∞
→n n b 求下列极限：
（1）. ).43(lim n n n b a -∞
→ （2）. n
n n
n n b a b a +-∞→lim
5.求下列极限:
（1）. );27(lim n n -∞
→ （2）. )51
(
lim 2-∞
→n
n
（3）. )43
(1lim +∞→n n n (4).11
1
1lim -+∞→n
n n
(5). 2
2321lim n n n ++++∞→ (6).11657lim -+∞→n n
n
(7). 91lim 2-+∞→n n n （8）)1412lim(22
n n n
n +-+∞→
（9）n
n n 3
1913112141211lim ++++++++
∞→ （10）.已知,2lim =∞→n
n a 求n n n a n a n -+∞→lim