(全国通用版)2020高考数学二轮复习 板块四 考前回扣 专题4 数列学案 理

回扣4 数列

1．牢记概念与公式

等差数列、等比数列

等差数列等比数列通项公式a n＝a1＋(n－1)d a n＝a1q n－1(q≠0)

前n项和S n＝

n(a1＋a n)

2

＝na1＋

n(n－1)

2

d

(1)q≠1，S n＝

a1(1－q n)

1－q

＝

a1－a n q

1－q

；

(2)q＝1，S n＝na1

2.活用定理与结论

(1)等差、等比数列{a n}的常用性质

等差数列等比数列

性质①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p

＋q，则a m＋a n＝a p＋a q；②a n＝a m

＋(n－m)d；③S m，S2m－S m，S3m－S2m，…

仍成等差数列

①若m，n，p，q∈N*，且m＋n

＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q；②a n

＝a m q n－m；③S m，S2m－S m，S3m－

S2m，…仍成等比数列(S m≠0)

(2)判断等差数列的常用方法

①定义法

a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．

②通项公式法

a n＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．

③中项公式法

2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．

④前n项和公式法

S n＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．

(3)判断等比数列的常用方法

①定义法

a n＋1

a n

＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．

②通项公式法

a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．

③中项公式法

a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *

)⇔{a n }是等比数列．

3．数列求和的常用方法

(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．

(2)形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列，利用错位相减法求和． (3)通项公式形如a n ＝c

(an ＋b 1)(an ＋b 2)

(其中a ，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法求和．

(4)通项公式形如a n ＝(－1)n

·n 或a n ＝a ·(－1)n

(其中a 为常数，n ∈N *

)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论．

(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．

(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .

1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.

2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .

3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n }与{b n }的前

n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a n

b n

时，无法正确赋值求解．

4．易忽视等比数列中公比q ≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解． 5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论． 6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 7．裂项相消法求和时，裂项前后的值要相等， 如

1n (n ＋2)≠1n －1

n ＋2，

而是

1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

n －1n ＋2.

8．通项中含有(－1)n

的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．

1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 13>0，S 14<0，若a k ·a k ＋1<0，则k 等于( ) A ．6 B ．7 C ．13 D ．14

2019年

答案 B

解析 因为{a n }为等差数列，S 13＝13a 7，S 14＝7(a 7＋a 8)， 所以a 7>0，a 8<0，a 7·a 8<0，所以k ＝7.

2．已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝12，则a 5＋a 6等于( ) A ．3 B ．15 C ．48 D ．63 答案 C 解析

a 3＋a 4a 1＋a 2

＝q 2＝4，所以a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)·q 2

＝48. 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．12 D ．13

答案 C

解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，

∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零， 又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0， ∴S 12>0，S 13<0，

∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.

4．已知数列{a n }满足13n a ＋＝9·3n a (n ∈N *

)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则15793

log ()a a a ＋＋等于( )

A ．－13

B ．3

C ．－3 D.13

答案 C 解析 由已知1

3

n a ＋＝9·3n a ＝2

3n

a ＋，所以a n ＋1＝a n ＋2，所以数列{a n }是公差为2的等差数列，

a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋3d )＋(a 4＋3d )＋(a 6＋3d )

＝(a 2＋a 4＋a 6)＋9d ＝9＋9×2＝27，

所以15793

log ()a a a ＋＋＝13

log 27＝－3.故选C.