太原市高三上学期期末考试数学(文)试题(有答案)-优选
2019届山西省太原市高三第一学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2019届山西省太原市高三第一学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，根据交集的运算运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据交集的运算规律知，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2．复数（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据复数的四则运算，即可化简，求得答案.【详解】由复数四则运算规律知，故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3．已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，根据正切函数倍角公式化简，即可求得答案.【详解】由题意，根据正切函数倍角公式知，故选B.【点睛】本题主要考查了正切的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记正切倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4．函数的大致图像为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，当时，求得，单调递增，排除A，B；当时，令，求得在单调递增，在单调递减，即可得到答案.【详解】由题意，当时，，，单调递增，排除A，B当时，，，令，在单调递增，在单调递减，选D【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理利用导数得到函数的单调性是解答的本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．设，为两个的平面，，为两条不同的直线，则下列命题的假命题（）A．若，，则B．，，，则C．若，，则D．，，，则【答案】B【解析】由题意，根据线面垂直的性质，可知A是正确的；根据线面位置关系的判定，可得与可能是异面直线，所以不正确；根据面面平行的性质，可知C是正确的；根据线面垂直和面面垂直的判定，可知D是正确.【详解】由题意，对于A中，若，，根据线面垂直的性质，可知是正确的；对于B中，若，，，则与可能是平行直线，所以不正确；对于C中，若，，根据面面平行的性质，可知是正确的；对于D中，若，，，线面垂直和面面垂直的判定，可知是正确，故选B.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面、面面垂直的判定与性质，合理准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6．已知点是所在平面内一点，且满足，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，根据向量的线性运算可得，进而得到，即可求得，得到答案.【详解】由题意，如图所示，因为，所以，又因为，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记平面向量的基本定理，利用向量的三角形法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．已知实数，满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，化简目标函数，转化为平面区域内点和定点产生的斜率，结合图象确定最优解，即可得到答案.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由，因为看成图形上的点和定点产生的斜率，结合图象知，当取点A点时，此时取得最小值，当取点B时，此时取得最大值，又由，解得，此时；由，解得，此时，所以目标函数的最小值为，最大值为，所以目标函数的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）正视图侧视图俯视图A．B．C．D．【答案】C【解析】根据给定的几何体的三视图，还原三视图可得几何体为正四面体，其中棱长为正方体面的对角线，正方体减去四个三棱锥，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图，还原三视图可得几何体为正四面体（如图所示），其中棱长为正方体面的对角线，正方体减去四个三棱锥，则该正四面体的体积为，故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图及三棱锥的体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.9．已知函数是定义在上的单调函数，则对任意都有成立，则（）A．B．C．D．【解析】由题意，设，则，得，可得，即可求解.【详解】由题意，因为在为单调函数，且，设，则，即，所以，可得或（负值舍），所以，故选A.【点睛】本题主要考查了抽象函数的函数值的计算，以及复合函数的单调性的应用问题，其中解答中合理利用换元法和函数的关系式，求得的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10．已知数列是等差数列，，且，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用函数的性质，求得，再由等差数列的性质，得到，代入即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据等差数列的性质可知，因为，则，又由，则，所以，同理，，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及函数的性质的应用，其中解答中熟练应用得出数列的性质，得到，再函数的函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题11．已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为________【答案】40【解析】利用分层抽样的性质直接求解．【详解】某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为：20040．故答案为：40【点睛】本题考查抽取的高中生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．命题“，”是假命题，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，借助二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，又由二次函数的性质，可得即，解得或.【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求解参数问题，其中解答中根据命题为假命题，转化为二次函数的图象与轴没有公共点，再借助二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.13．在三棱锥中，顶点在底面的投影是的外心，，则面与底面所成的二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】由题意，取的中点为，证得是等边三角形，求得，又面与底面所成的二面角的大小为，所以角，进而求得球的半径，即可求解.【详解】由题意，取的中点为，由平面可得，又是的外心，可得，所以平面，所以，所以，又可得是等边三角形，所以，又面与底面所成的二面角的大小为，所以角，过的中心（为三等分点）做一条垂线与交于点，则为外接球球心，所以，所以外接球表面积为.【点睛】本题主要考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，其中解中正确认识几何体的结构特征，熟练应用线面位置关系的判定和性质，确定球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于中档试题.14．已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有，且当时，都有，若，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】令，则，得在上单调递减，且关于对称，在上也单调递减，又由，可得，则，即，即可求解.【详解】由题意，知，可得关于对称，令，则，因为，可得在上单调递减，且关于对称，则在上也单调递减，又因为，可得，则，即，解得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及不等关系式的求解，其中解答中令函数，利用导数求得函数的单调性和对称性质求解不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题15．已知等比数列的公比，，是，的等差中项，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，根据等比数列的性质和通项公式，求得等比数列的的值，即可求得数列的通项公式；（2）由数列的前项和为，利用数列与的关系，即可求解.【详解】（1）由题可知，，又，即，或（舍去）.（2）数列的前项和为，当时，当时，.，经检验，满足上式，.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.16．已知，，分别是的内角，，所对的边，.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，由正弦定理，得，化简得，即可求解.（2）由（1）及余弦定理和基本不等式，求得，再利用面积公式，即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理，可得，又，，即，整理得：，又，.（2）由（1）及余弦定理得：，即，又，当且仅当时等号成立，，解得：，，（当且仅当时等号成立），故面积的最大值为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．17．已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由题意，求得，令，分类讨论，即可求得函数的单调区间；（2）由（1）根据函数的单调性，求得函数的最值，令，得到，即可求解.【详解】（1）定义域，，令，，当时，，，则在单调递增，当时，，，，，则在单调递增；，，，则在单调递减.综上述：当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减（2）由（1）可知，当时，在单调递增，又，不可能满足题意，舍去.当时，在单调递增，在单调递减.若恒成立，则，令，则，解得，即，故，综上述：.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.18．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与有且只有一个公共点.（1）求实数的值；（2）已知点的直角坐标为，若曲线与：（为参数）相交于，两个不同点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）求得曲线的平面直角坐标方程和曲线的平面直角坐标方程，再根据直线与圆的位置关系，即可求解.（2）把直线的参数方程代入曲线的方程，根据参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）由曲线的参数方程，消去参数，得曲线的平面直角坐标方程为，根据极坐标与直角坐标的互化公式，得曲线的平面直角坐标方程为，曲线与有且只有一个公共点，即与相切，有，或(舍)，综上.（2），：，曲线的参数方程为（为参数），知曲线是过定点的直线，把直线的参数方程代入曲线得，所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数的几何意义的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．已知函数，（1）当时，解不等式；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，得，分类讨论，即可求解.（2）由题意对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立，借助函数的图象，即可求解.【详解】（1）当时，，所以，即求不同区间对应解集，所以的解集为.（2）由题意，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，所以函数的图象应该恒在的下方，数形结合可得.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
山西省太原市高三数学上学期期末考试试题文
太原市2016—2017学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,1,|12A B x x ==-≤≤，则AB =A. {}0,1B. {}1,0,1-C. []1,1-D.{}1 2.设复数21iz i=+，则其共轭复数为 A. 1i -- B. 1i - C. 1i -+ D.1i + 3.给出下列命题：①若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等差数列； ②若数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等比数列； ③若数列{}{},n n a b 均为等差数列，则数列{}n n a b +为等差数列； ④若数列{}{},n n a b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅为等比数列 A. 1 B. 2 C. 3 D.44.设,m n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是 A.,//m n m n αα⊥⇒⊥ B. ,//m n m n αα⊥⊥⇒ C. //,////m n m n αα⇒ D. //,m n m n αα⊥⇒⊥5.已知sin αα=，则tan 2α=B. 6.执行如图所示的程序框图，输入1,5x n =-=，则输出s = A. -2 B. -3C. 4D.37.如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图可能是8.将函数()2cos sin f x x x x =+的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的一条对称轴是 A. 6x π=- B. 4x π=- C.3x π= D.2x π=9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD相交于点F ，则AF =A.1142AC BD + B. 1124AC BD + C. 1223AC BD + D. 2133AC BD +10.甲、乙两位同学约定周日早上8:00—8:30在学校门口见面，已知他们到达学校的时间是随机的，则甲要等乙至少10分钟才能见面的概率为A.23 B. 13 C. 29 D. 7911.如图，正方体1111ABCD A BC D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是A.56π B. 34π C. 23π D. 35π12.已知(),01,0x x e ax x f x ax x e⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 有四个零点，则实数a 的取值范围是A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. (),e -∞-C. (),e +∞D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.数据0.7,1,0.8,0.9,1.1的方差是 .14.已知向量()()1,1,1,2a b =-=，则b a -与2a b +的夹角为 .15.已知平面区域()33,,32233x y D x y z x y x y x y ⎧⎫⎪⎪+≥⎪⎪==-⎨⎬-≤⎪⎪⎪⎪+≤⎩⎭，若命题()00",,"x y D z m ∃∈>为假命题，则实数m 的最小值为 .16.已知数列{}n a 的前n 项和()221n n n S a n N *=-+∈，则其通项公式n a = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列，且满足3455,,3a a a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若()31log n n b a n N *-=∈，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .18.（本题满分12分）如图，已知AD 是ABC ∆内角BAC ∠的角平分线. （1）用正弦定理证明：AB DBAC DC=； （2）若120,2,1B A C A B A C ∠===，求AD 的长.19.（本题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D 处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格.（1）将硬币连续投掷三次，求筹码停在C 处的概率；（2）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A 或B 或C 或D 处，则甲赢；否则，乙赢.问该约定对乙公平吗？请说明理由.20.（本题满分12分）如图，在六面体1111ABCD A BC D -中，平面//ABCD 平面1111A B C D ，1//DD 平面11A B BA ,1//DD 平面11B C CB .（1）证明：11//DD BB ；（2）已知六面体1111ABCD A BC D -的棱长均为2，且1BB ⊥平面A B C D ，60,,BAD M N ∠=分别为棱1111,A B B C 的中点，求四面体D MNB -的体积.21.（本题满分12分） 已知函数()()ln x xf x ax x a R e=-∈在1x =处的切线的斜率 1.k =- （1）求a 的值；（2）证明：()2.f x e<（3）若正实数,m n 满足1mn =，证明 ：()112m nm n e e +<+.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2024年山西省太原市重点中学数学高三第一学期期末复习检测试题含解析
2024年山西省太原市重点中学数学高三第一学期期末复习检测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5 B 5C 2D ．23．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 4．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( )A ．152- B ．512C 51- D 51+51- 5．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．136．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．3y x =B ．3y x =C ．22y x =±D ．2y x =±7．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．32B ．33C ．12D ．228．设12,x x 为()()3sin cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．πB ．2π C ．3π D ．4π 9．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭10．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．2B ．153C ．163D ．311．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．141512．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
太原市高三上学期期末考试数学(文)试题(有答案)-原创
太原市2016—2017学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,1,|12A B x x ==-≤≤，则A B =A. {}0,1B. {}1,0,1-C. []1,1-D.{}12.设复数21i z i=+，则其共轭复数为 A. 1i -- B. 1i - C. 1i -+ D.1i +3.给出下列命题：①若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等差数列；②若数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等比数列；③若数列{}{},n n a b 均为等差数列，则数列{}n n a b +为等差数列；④若数列{}{},n n a b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅为等比数列A. 1B. 2C. 3D.44.设,m n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是A.,//m n m n αα⊥⇒⊥B. ,//m n m n αα⊥⊥⇒C. //,////m n m n αα⇒D. //,m n m n αα⊥⇒⊥5.已知sin αα=，则tan 2α=B. 6.执行如图所示的程序框图，输入1,5x n =-=，则输出s = A. -2 B. -3C. 4D.37.如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图可能是8.将函数()2cos sin f x x x x =+的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原的2倍，再沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的一条对称轴是 A. 6x π=- B. 4x π=- C.3x π= D.2x π=9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF = A.1142AC BD + B. 1124AC BD + C. 1223AC BD + D. 2133AC BD + 10.甲、乙两位同学约定周日早上800—830在学校门口见面，已知他们到达学校的时间是随机的，则甲要等乙至少10分钟才能见面的概率为 A. 23 B. 13 C. 29 D. 7911.如图，正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是 A. 56π B. 34π C. 23π D. 35π 12.已知(),01,0x x e ax x f x ax x e⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 有四个零点，则实数a 的取值范围是 A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B. (),e -∞- C. (),e +∞ D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.数据0.7,1,0.8,0.9,1.1的方差是 .14.已知向量()()1,1,1,2a b =-=，则b a -与2a b +的夹角为 .15.已知平面区域()33,,32233x y D x y z x y x y x y ⎧⎫⎪⎪+≥⎪⎪==-⎨⎬-≤⎪⎪⎪⎪+≤⎩⎭，若命题()00",,"x y D z m ∃∈>为假命题，则实数m 的最小值为 .16.已知数列{}n a 的前n 项和()221n n n S a n N *=-+∈，则其通项公式n a = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列，且满足3455,,3a a a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若()31log n n b a n N *-=∈，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .18.（本题满分12分）如图，已知AD 是ABC ∆内角BAC ∠的角平分线.（1）用正弦定理证明：AB DB AC DC=； （2）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长.19.（本题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D 处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格.（1）将硬币连续投掷三次，求筹码停在C 处的概率；（2）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A 或B 或C 或D 处，则甲赢；否则，乙赢.问该约定对乙公平吗？请说明理由.20.（本题满分12分）如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，平面//ABCD 平面1111A B C D ，1//DD 平面11A B BA ,1//DD 平面11B C CB .（1）证明：11//DD BB ；（2）已知六面体1111ABCD A B C D -的棱长均为2，且1BB ⊥平面ABCD ，60,,BAD M N ∠=分别为棱1111,A B B C 的中点，求四面体D MNB -的体积.21.（本题满分12分）已知函数()()ln x xf x ax x a R e =-∈在1x =处的切线的斜率 1.k =-（1）求a 的值；（2）证明：()2.f x e <（3）若正实数,m n 满足1mn =，证明 ：()112m n m n e e +<+.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
山西省太原市理工大学实验中学高三数学文上学期期末试题含解析
山西省太原市理工大学实验中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．【解答】解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）（+）=（）（）=（+）（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．2. 如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A．4 B．6 C．8 D．10 参考答案：D3. 下列函数f(x)中，满足“且”的是A. B. C. D.参考答案：C略4. 在中，，若O为内部的一点，且满足，则=（）A. B. C. D.参考答案：C略5. 设是奇函数，则的解集为A．（－1，0） B．（0，1） C．（－，0） D．（－，0）∪（1，+）参考答案：A略6. 若不等式＋＋≥k（a＋b＋c）对任意正数a，b，c均成立，则k 的最大值为A． B．2 C． D．3参考答案：A7.参考答案：D8. 若x，y满足,则的最大值为A. 4B. 2C. 1D. 0参考答案：A【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用线性规划求最值得解.【详解】当x≥y时，设z=x-y,由题得，不等式组对应的可行域如图所示，当直线z=x-y经过点B(2,-2)时，直线的纵截距-z最小，z最大，此时z取最大值2-(-2)=4.当x＜y时，设z=y-x,由题得，不等式组没有可行域，所以该情况不存.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9. 已知等比数列，则（）A． B．C． D．参考答案：A略10. 已知全集U=R ，集合A ＝{1,2,3,4,5｝,B ＝[3，十），则图中阴影部分所表示的集合为A. {0，1，2}B. {0，1}，C. {1，2}D.｛1｝参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在小时内的人数为_____．参考答案：54 12. cos=．参考答案：【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值． 【分析】直接利用诱导公式化简求解即可． 【解答】解：cos =cos （3π﹣）=﹣cos=．故答案为：【点评】本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题． 13. 设a=dx ，则二项式（x+）（2x ﹣）5的展开式中的常数项是 ．参考答案：120【考点】DC ：二项式定理的应用；61：变化的快慢与变化率．【分析】求定积分得到a 的值，再利用二项式定理把（2x ﹣）5 展开，可得（x+）（2x ﹣）5的展开式中的常数项． 【解答】解：∵a=dx=lnx=2，则二项式（x+）（2x ﹣）5=（x+）（2x ﹣）5=（x+）?（?（2x ）5+?（2x ）4?（﹣）+?（2x ）3?+?（2x ）2?+?（2x ）?+（﹣）5 ，=（x+）?（32x 5﹣80x 3+80x ﹣40?+10?﹣），故展开式中的常数项为﹣40+2?80=120，故答案为：120．14. 游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路．线路1是从A 沿直线步行到C ，线路2是先从A 沿直线步行到景点B 处，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C 处．经测量，AB=1040m ，BC=500m ，则sin∠BAC 等于 ．参考答案：【考点】余弦定理的应用．【专题】应用题；方程思想；数学模型法；解三角形． 【分析】设乙的速度为x （m/s ），则甲的速度为x （m/s ），利用两人达到的时间相等列出表达式、计算可知AC=1260m ，进而利用余弦定理及平方关系计算即得结论． 【解答】解：依题意，设乙的速度为x （m/s ），则甲的速度为x（m/s），∵AB=1040m，BC=500m，∴=，解得：AC=1260m，∴△ABC为锐角三角形，由余弦定理可知cos∠BAC===，∴sin∠BAC====．故答案为：．【点评】本题考查三角函数模型的选择与应用，涉及余弦定理、平方关系等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．15. 三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为______.参考答案：取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知.且.所以，即。
山西省太原市成成中学高三数学文上学期期末试卷含解析
山西省太原市成成中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，一条侧棱垂直正方形的底面，根据三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是四棱锥，一条侧棱垂直正方形的底面，底面边长为：1，高为：1，所以几何体是体积为： =故选：C．2. 已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.给出下列命题：①若集合，，则是的一个二元基底；②若集合，，则是的一个二元基底；③若集合是集合的一个元基底，则；④若集合为集合的一个元基底，则的最小可能值为．其中是真命题的为( )A. ①③B. ②④C. ①③④D. ②③④参考答案：D3. 已知在处连续,则=( )A. B.2 C.4D.参考答案：C4. 已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．【点评】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目．5. 已知函数，则的零点所在的区间为（）A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)参考答案：B6. 双曲线C的左，右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），抛物线y2=4x与双曲线C的一个交点为P，若（+）?（﹣）=0，则C的离心率为（）A．B．1+C．1+D．2+参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点和准线，运用向量的平方即为模的平方，可得|PF2|=2，由抛物线的定义，可得P的横坐标，可得P的坐标，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），准线为x=﹣1，设P（m，n），若（+）?（﹣）=0，则2﹣2=0，由F1（﹣1，0），F2（1，0），可得|F1F2|=2，即有|PF2|=2，由抛物线的定义可得x P+1=2，即有x P=1，可得P（1，±2），由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=﹣=2﹣2，可得双曲线的a=﹣1，c=1，可得e==1+．故选：B．7. 复数A．i B．－i C．D．参考答案：C据已知得：【点睛】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．8. 为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文（加密）,接收方由密文→明文（解密）,已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为（）A．．4,6,1,7 B．7,6 ,1,4 C．6,4,1,7D．1,6,4,7参考答案：C9. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是A．6 B．5C. 4 D．3参考答案：B10. 数80100除以9所得余数是（）A．0 B．8 C．﹣1 D．1参考答案：D【考点】同余方程．【专题】计算题；二项式定理．【分析】利用二项式定理展开80100=（81﹣1）100=C 100081100﹣C 10018199+…﹣C 1009981+1，即可得出． 【解答】解：因为80100=（81﹣1）100=C 100081100﹣C 10018199+…﹣C 1009981+1． 显然展开式中出最后一项不含81，其余各项都能被81整除， 所以80100除以9所得余数是为1． 故选：D ．【点评】本题考查了二项式定理的应用和整除的方法，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正数x ，y 满足：x+4y=xy ，则x+y 的最小值为 ．参考答案：9考点：基本不等式. 12. 已知m=3sinxdx ，则二项式（a+2b ﹣3c ）m的展开式中ab 2cm ﹣3的系数为 ．参考答案：﹣6480【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】求定积分得到m=6，再利用二项式定理求得展开式中ab 2c m﹣3的系数即可． 【解答】解：∵m=3sinxdx=﹣3cosx=6，∴二项式（a+2b ﹣3c ）6 =[（2b ﹣3c ）+a]6展开式中含ab 2c 3的项 为?a?（2b ﹣3c ）5；对于（2b ﹣3c ）5，含b 2c 3的项为?（2b ）2?（﹣3c ）3， 故含ab 2c 3的项的系数为?22??（﹣3）3=﹣6480．故答案为：﹣6480． 13. 若幂函数的图象过点（8,4），则该幂函数的解析式为参考答案：14.．参考答案：∵，，∴故答案为15. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，,,则角A 的大小为__________.参考答案：略16. 设a ＞0，b ＞0，且a+b=1，则+的最小值为 ．参考答案：4【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式的应用，即可求+的最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴+=（a+b）（+）=2+，当且仅当，即a=b=时，取等号．故答案为：4．17. 已知双曲线：（）的其中一条渐近线经过点(1,1)，则该双曲线的右顶点的坐标为，渐近线方程为．参考答案：的渐近线方程过点，，，右顶点为，渐近线方程为，即，故答案为，.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山西省太原市数学高三上学期文数期末考试试卷
山西省太原市数学高三上学期文数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019·全国Ⅰ卷文) 已知集合 U= （），A=，B=则=A.B.C.D.2. （2 分） (2017 高二下·合肥期中) 若复数 z=，则|z|=（ ）A. B.2 C.D.3. （2 分） (2017·鞍山模拟) “α=2kπ﹣ （k∈Z）”是“cosα= A . 充分不必要条件”的（ ）B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件第 1 页 共 15 页4. （2 分） 等差数列的前 n 项和分别为，且，则（）A.B.C.D.5. （2 分） (2017 高三上·孝感期末) 设 0＜x＜ 的大小关系为（ ），记 a=lnsinx，b=sinx，c=esinx ， 则比较 a，b，cA . a＜b＜cB . b＜a＜cC . c＜b＜aD . b＜c＜a6.（2 分）(2019 高三上·沈阳月考) 已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域是，且它们在的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）A. B. C.第 2 页 共 15 页D. 7. （2 分） 已知点 为 A. B. C. D.的外接圆的圆心，且8. （2 分） (2018·攀枝花模拟) 若,且，则的内角 等于（ ），则的值为（ ）A.B.C.D.9. （2 分） (2017 高一下·株洲期中) 若先将函数 y= sin（x﹣ ）+cos（x﹣ ）图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 （）倍，再将所得图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是A . x=B . x=C . x=D . x=10. （2 分） (2019 高三上·广东月考) 已知三棱锥的四个顶点在球 的球面上，点分别是的中点，第 3 页 共 15 页，则球 的表面积为（ ）A. B. C. D. 11. （2 分） 已知数列：2，0，2，0，2，0，…．前六项不适合下列哪个通项公式A . ＝1＋(―1)n+1（）B . ＝2|sin|C . ＝1－(―1)nD . ＝2sin12. （ 2 分 ） (2020· 内 江 模 拟 ) 已 知 函 数，若，则下列结论：① ，其中正确的个数是（ ），②，③A.1B.2C.3D.4二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2015 高二下·射阳期中) 曲线 y=ex 在点 A（0，1）处的切线斜率为________．14. （1 分） 已知 =（2，1）， =（3，4），则 在 方向上的投影为________ ．第 4 页 共 15 页，且 ，④15. （1 分） (2020·西安模拟) 如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C 是圆柱下底面弧是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为________.的中点，16. （2 分） (2017 高二下·衡水期末) 设 A（n）表示正整数 n 的个位数，an=A（n2）﹣A（n），A 为数列{an}的前 202 项和，函数 f（x）=ex﹣e+1，若函数 g（x）满足 f[g（x）﹣ {bn}的前 n 项和为________．]=1，且 bn=g（n）（n∈N*），则数列三、 解答题 (共 7 题；共 65 分)17. （10 分） (2018 高一下·攀枝花期末) 已知正项数列 的前 项和 满足.（Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）若，求数列 的前 项和 ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对任意恒成立，求实数 的取值范围.18. （10 分） (2017 高三上·集宁月考) 如图,在菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,AC 与 BD 相交于点 O,AE⊥平面 ABCD,CF//AE,AB=AE=2.第 5 页 共 15 页（1） 求证:BD⊥平面 ACFE;（2） 当直线 FO 与平面 BDE 所成的角为 45°时,求二面角 B﹣EF﹣D 的余弦值.19. （5 分） (2019 高三上·广东月考) 在中，角所对的边分别为，；（1） 证明：为等腰三角形；（2） 若 为 边上的点，，且，，求 的值．20. （10 分） (2019 高二上·扶余期中) 在直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于 ， 两点，弦 的中点 的轨迹记为 .（1） 求 的方程；（2） 已知直线与 相交于 ， 两点.（i）求 的取值范围；（ii） 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有？说明理由.21. （10 分） (2017·潮州模拟) 已知函数 g（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x，a∈R．（1） 求 g（x）的单调区间；（2） 若函数 f（x）=g（x）+（a+1）x2﹣2x，x1，x2（x1＜x2）是函数 f（x）的两个零点，f′（x）是函数f（x）的导函数，证明：f′（ ） ＜0．22. （10 分） (2018·石家庄模拟) 在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为（， 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为，若直线 与曲线 相切；（1） 求曲线 的极坐标方程；（2） 在曲线 最大值.上取两点， 与原点 构成，且满足第 6 页 共 15 页，求面积的23. （10 分） 已知 a+b+c=1， （1）求 S=2a2+3b2+c2 的最小值及取最小值时 a，b，c 的值． （2）若 2a2+3b2+c2=1，求 c 的取值范围．第 7 页 共 15 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 15 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 65 分)17-1、18-1、第 9 页 共 15 页18-2、 19-1、第 10 页 共 15 页19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
山西省太原市2021届高三数学上学期期末考试试题 文(含解析).doc
山西省太原市2021届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1.设集合{}0,12A =，，{}1B x y x ==-，则下列图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {}1B. {}0C. {}1,2D. {}0,1 【答案】B【解析】 集合B 表示函数1y x =-{}{}11B x y x x x ==-=≥. 故图中阴影部分所表示的集合为{}{}0,1,2{|1}0R A C B x x ⋂=⋂<=，故选B. 2.若复数13z i =+，则z =（ ）A. 12 3 C. 1 D. 2【答案】C【解析】试题分析：因为()()2131322131313i z i i i ===-++- 所以，2213122z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C. 考点：复数的概念与运算.3.命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题是（ ）A. 若a c b c +≤+，则a b ≤B. 若a b ≤，则a c b c +≤+C. 若a c b c +>+，则a b >D. 若a b >，则a c b c +≤+【答案】B【解析】【分析】根据命题“若p ，则q ”的否命题是“若￢p ，则￢q ”．【详解】命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题是“若a b ≤，则a c b c +≤+” 故选B【点睛】本题考查了命题与它的否命题的应用问题，是基础题．4.tan105︒=（ ）A. 2B. 2-C. 2D. 2-【答案】D【解析】【分析】根据4505610︒=+，然后利用两角和的正切公式，结合特殊角的正切值，可得结果.【详解】由4505610︒=+，所以 ()45tan tan1tan 60456045tan 6005tan 1tan ︒-+==+则11tan105︒==所以tan1052︒=--故选：D【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，关键在于将非特殊角转化为特殊角，识记公式，细心计算，属基础题.5.已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ）A. 1B. 1或2C. 2或-1D. -1【答案】C【解析】试题分析：设等比数列的公比为q ，由题设得：2111242a q a a q =+因为10a ≠，所以，220q q --=解得：2q 或1q =-故选C.考点：等差数列与等比数列.6.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（ ）3B. 2C. 3D. 9【答案】C【解析】【分析】 根据三视图的还原以及直观想象，可知该几何体是底面为正方形的四棱锥，然后根据长对正，高平齐，宽相等，可知四棱锥的底面边长以及高度结合锥体体积公式，可得结果.【详解】由图可知：几何体是底面为正方形的四棱锥且底面边长为3，四棱锥的高为1 所以该四棱锥的体积为：213133V =⨯⨯= 故选：C【点睛】本题主要考查三视图的还原，考验空间想象能力以及对常见几何体的三视图的认识，属基础题.7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入x 的值为2，则输出v 的值为（ ）A. 721-B. 72C. 621-D. 62【答案】A【解析】【分析】 采用依次计算，第一次：1,121k v ==⨯+，第二次：22,22+1k v ==+，…依次类推，直到6k >，简单计算，可得结果.【详解】当输入x 的值为2时第一次：1,121k v ==⨯+第二次：22,22+1k v ==+第三次：323,22+2+1k v ==+第四次：4324,22+2+2+1k v ==+第五次：54325,22+2+2+2+1k v ==+第六次：654326,2+22+2+2+2+1k v ==+则当7k =时，7>6，输出结果.所以()7654321122+22+2+2+2+1=12v ⨯-=+-即721v =-故选：A【点睛】本题考查程序框图，对这种问题按部就班，依次计算，掌握该算法的功能，细心计算，属基础题.8.函数()cos(2)2sin sin()f x x x θθθ=+++的最大值是（ ）A. 2 C. 1 【答案】C【解析】【分析】根据()2x x θθθ+=++，利用两角和的余弦公式展开化简，可得()cos f x x =，根据余弦函数的性质，可得结果.【详解】()cos(2)cos x x θθθ+=++⎡⎤⎣⎦所以()()cos(2)cos cos sin sin x x x θθθθθ+=+-+所以()()()cos cos sin sin f x x x θθθθ=+++即()()cos cos f x x x θθ=+-=⎡⎤⎣⎦由1cos 1x -≤≤所以可知max ()1f x =故选：C【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，重在于对公式的识记，属基础题.9.已知三个村庄,,A B C 所处的位置恰好位于三角形的三个顶点处，且6,8,10AB km BC km AC km ===.现在ABC ∆内任取一点M 建一大型的超市，则M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km 的概率为（ ）B. 12πD. 1212π- 【答案】D【解析】【分析】采用数形结合，计算ABC S ∆，以及“M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km ”这部分区域的面积S ，然后结合几何概型，可得结果.【详解】由题可知：222AB BC AC +=所以该三角形为直角三角形分别以,,A B C 作为圆心，作半径为2的圆如图所以则 “M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km ”该部分即上图阴影部分，记该部分面积为S11682422ABC S AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯= 又三角形内角和为π， 所以2122422ABC S S ππ∆=-⨯=- 设M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km 的概率为P 所以242122412ABC S P S ππ∆--=== 故选：D 【点睛】本题考查面积型几何概型问题，重点在于计算面积，难点在于计算阴影部分面积，考验理解能力，属基础题.10.若对任意的实数0,ln 0x x x x a >--≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,1]-∞-B. (,1]-∞C. [1,)-+∞D. [1,)+∞【答案】A【解析】【分析】 构造函数()ln f x x x x a =--，利用导数研究函数()f x 在()0,∞+单调性，并计算()min 0f x ≥，可得结果.【详解】令()ln f x x x x a =--，()0,x ∈+∞则()'ln f x x =，令()'01f x x =⇒= 若01x <<时，()'0fx < 若1x >时，()'0f x >所以可知函数()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增所以()()min 11f x f a ==--由对任意的实数0,ln 0x x x x a >--≥恒成立所以()min 101f x a a =--≥⇒≤-故选：A【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数研究函数性质，属基础题.11.在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 为正方形，QA //,60PC PBC AQB ︒∠=∠=，己四棱锥P ABCD -与四棱锥Q ABCD -的外接球的半径分别为12,R R ，则12R R =（ ）A. 7B. 7C. 9D. 9【答案】B【解析】【分析】假设正方形的边长，然后利用勾股定理计算,PA CQ ，根据墙角模型以及直观想象，可知,PA CQ 分别为四棱锥P ABCD -与四棱锥Q ABCD -的外接球直径，最后计算可得结果.【详解】设正方形的边长为2如图由PC ⊥底面ABCD ，QA //PC所以QA ⊥底面ABCD又60PBC AQB ︒∠=∠= 所以可知2323,PC QA == 根据墙角模型，将四棱锥P ABCD -补全是长方体PA 为该长方体的一条体对角线所以四棱锥P ABCD -的外接球的直径为PA同理四棱锥Q ABCD -的外接球的直径为QC22225PA PC BC CD ++=222221QC QA AB AD =++=所以12215223,R R PA QC ==== 所以12105R R = 故选：B【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，熟悉墙角模型，可快速找到外接球的球心，属基础题.12.已知,01,()11,1.x e x f x e x e x⎧<⎪=⎨+-<⎪⎩若方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解，则实数k 的取值范围是（ ）A. (0,]eB. 21,ee e -⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 11,4e e -⎛⎤- ⎥⎝⎦ D. 211,4e e -⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】【分析】 采用数形结合的方法，作出()f x 图像，根据直线y kx e =+过定点()0,e 以及两函数图像有3个交点，可得结果.【详解】由方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解等价于函数()f x ，y kx e =+图像有3个交点且直线y kx e =+过定点()0,e如图根据图形可知：k 0<当直线y kx e =+与()11g x e x =+-相切时 设切点001,1P x e x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 又()'21g x x =-，所以()'0201g x x =-在点P 处的切线方程：()0200111y x x e x x =--++- 又过定点()0,e ，代入上式，可得02x =所以()'124k g ==- 当直线y kx e =+过点1,1A e e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭时 则21110e e e e k e e+---==- 所以可知2114e k e--<≤ 故选：D【点睛】本题考根据方程根的个数求参数，熟练使用等价转化的思想以及数形结合的方法，使问题化繁为简，考验对问题的分析能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数2()log f x a x x =+的图象过点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则实数a =_________. 【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算，直接代值计算即可.. 【详解】由题可知：21111()log 2222f a =+=- 则11122a a -+=-⇒= 故答案为：1【点睛】本题考查对数式的运算，属基础题.14.若,x y 满足20,40,0,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2z y x =-的最小值为____________.【答案】8-【解析】【分析】数形结合，作出可行域，利用目标函数的等值线2y x =在可行域中平移，根据z 或含z 式子的含义，找到目标函数取最小值的最优解，简单计算，可得结果. 【详解】如图令0z =，可得目标函数2z y x =-的一条等值线2y x = 则将2y x =移至点()4,0A 处，目标函数取最小值 所以最优解为点()4,0A 则min 0248z =-⨯=- 故答案为：8-【点睛】本题考查线性规划，基本思路：（1）作出可行域；（2）理解z 或含z 式子的意义，然后使用目标函数的一条等值线在可行域中平移找到最优解，最后计算，可得结果.15.若01,,,log b ab a b x a y b z a <<<===，则,,x y z 由小到大排列为_______________.【答案】x y z << 【解析】 【分析】根据指数函数、幂函数、对数函数的单调性以及借助特殊值1进行比较大小，可得结果. 【详解】由01a b <<<，且xy a =单调递减所以b a a a <又a y x =在()0,x ∈+∞递增，所以1a a a b << 所以01b a a b <<<由log b y x =单调递减，所以log log 1b b a b >=所以log b ab a b a <<，即x y z <<故答案为：x y z <<【点睛】本题考查指数式，对数式比较大小，熟悉基本函数的单调性以及借助中间值比较大小，比如中间值常用：0，1，属基础题.16.赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.【答案】1213【解析】 【分析】利用建系的方法，假设1AF =，根据120ADB ∠=，利用余弦定理可得AB 长度，然后计算cos ,sin DAB DAB ∠∠，可得点D 坐标，最后根据点,B C 坐标，可得结果.【详解】设1AF =，则3,1AD BD AF === 如图由题可知：120ADB ∠=，由2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠ 所以13AB =13AC AB == 所以)133913,0,BC ⎝⎭，()0,0A又39sin sin sin BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠所以2713cos 1sin 26BAD BAD ∠=-∠=所以()cos ,sin D AD AD BAD BAD ∠∠即2113339,2626D ⎛ ⎝⎭所以()2113339,13,0,AD AB ⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭1339AC ⎛ =⎝⎭又AD AB AC λμ=+所以2113139132621333393913262λμλμμ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩所以1213λμ+=故答案为：1213【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） （一）必考题：共60分.17.为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.【答案】(1) 0.040a =；中位数为82.5. (2) 35【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1，结合频率分布直方图对应矩形区域面积求解即可；先结合数值预判中位数所在组距应在80到90之间，设综合评分的中位数为x ，结合频率计算公式求解即可； （2）先结合分层抽样计算出一等品所占比例，再采用列举法表示出所有基本事件，结合古典概率公式求解即可【详解】（1）由频率和为1，得(0.0050.0100.0250.020)101a ++++⨯=，0.040a =； 设综合评分的中位数为x ，则(0.0050.0100.025)100.040(80)0.5x ++⨯+⨯-=，解得82.5x =，所以综合评分的中位数为82.5.（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为(0.0400.020)100.6+⨯=，即概率为0.6； 所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2； 所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为a 、b 、c ，非一等品2个，记为D 、E ； 从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：ab 、ac 、aD 、aE 、bc 、bD 、bE 、cD 、cE 、DE 共10种；抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：aD 、aE 、bD 、bE 、cD 、cE 共6种， 所以所求的概率为63105P ==. 【点睛】本题考查频率分布直方图中具体数值的求解，中位数的计算，求解具体事件对应的概率，属于中档题18.在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114- 【解析】 【分析】（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅱ）根据余弦定理求a ，代入条件求得sinB =cos B =，最后根据两角和余弦定理得结果.【详解】（Ⅰ）解：由条件1cos 2a C c b +=，得1sin sin sin sin 2A C CB +=，又由()sin sin B AC =+，得1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C +=+.由sin 0C ≠，得1cos 2A =，故π3A =.（Ⅱ）解：在ABC 中，由余弦定理及π4,6,3b c A ===，有2222cos a b c bc A =+-，故a =由sin sin b A a B =得sin B =b a <，故cos B =因此sin22sin cos 7B B B ==，21cos22cos 17B B =-=.所以()11cos 2cos cos2sin sin214A B A B A B +=-=-. 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*2N n n S a n n =-∈.（Ⅰ）证明：{}1n a +是等比数列； （Ⅱ）求13521n a a a a -+++⋯+的值.【答案】（I ）见解析；（II ）()2413n n --【解析】 【分析】（I ）计算1n S -，根据,n n S a 关系，可得121n n a a -=+，然后使用配凑法，可得结果. （II ）根据（1）的结果，可得n a ，然后计算21n a -，利用等比数列的前n 和公式，可得结果. 【详解】（I ）由2n n S a n =-① 当1n =时，可得111211S a a =-⇒= 当2n ≥时，则()1121n n S a n --=--② 则①-②：()12212n n n a a a n -=--≥ 则()1121121n n n n a a a a --=+⇒+=+ 又112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列（II ）由（I ）可知：1221n nn n a a +=⇒=-所以2121121412nn n a --=-=⋅-记13521n n T a a a a -=+++⋯+ 所以()2144 (42)n n T n =+++- 又()()241444144 (414)3n n n --+++==-所以()()4412411233nnnT n n --=⋅-=- 【点睛】本题考查,n n S a 的关系证明等比数列以及等比数列的前n 和公式，熟练公式，以及掌握,n n S a 之间的关系，属基础题.20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，点D 是棱11B C 的中点，2AB AC ==，12BC BB ==.（Ⅰ）求证：1AC //平面1A BD ； （Ⅱ）求点D 到平面1ABC 的距离.【答案】（Ⅰ）见解析；3【解析】 【分析】（Ⅰ）连接1AB 交1A B 于点M ，连DM ，根据中位线定理可得1AC //DM ，然后根据线面平行的判定定理，可得结果.（Ⅱ）计算11,ABC BDC S S ∆∆，根据等体积法，11D ABC A BDC V V --=，可得结果.【详解】（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中 连接1AB 交1A B 于点M ，连DM 如图由四边形11ABB A 为平行四边形，则M 为1AB 中点 又点D 是棱11B C 的中点，所以1AC //DM 因为1AC ⊄平面1A BD ，DM ⊂平面1A BD 所以1AC //平面1A BD（Ⅱ）设点D 到平面1ABC 的距离为h 由1A A ⊥底面ABC ，AB 底面ABC所以1A A AB ⊥， 由2AB AC ==12BC BB ==所以222AB AC BC +=，则AC AB ⊥由1,AC AA ⊂平面11ACC A ，所以AB ⊥平面11ACC A1AC ⊂平面11ACC A ，所以1AB AC ⊥()222211226AC AC CC =+=+=所以11132ABC S AB AC ∆=⋅⋅=1111112122BDC S DC CC ∆=⋅⋅=⨯⨯= 连接AD ，作AN BC ⊥交BC 于点N由三角形ABC 为等腰直角三角形，所以1AN = 又AN ⊂底面ABC ，所以1AN AA ⊥， 又1AA //1CC ，所以1AN CC ⊥1,CC BC ⊂平面11B BCC ，1CC BC C ⋂=所以AN ⊥平面11B BCC 由11D ABC A BDC V V --= 则111133ABC BDC S h S AN ∆∆⋅⋅=⋅⋅所以h【点睛】本题考查线面平行的判定以及使用等体积法求点到面的距离，识记线面平行的判定，熟练掌握使用等积法解决点到面的距离，细心观察，耐心计算，属中档题. 21.已知函数()e ln x f x a x x =--.（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 在区间(0,1)上存在极值点，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）10ex y --=；（Ⅱ）(0,e 1)- 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求解；（Ⅱ）根据极值点的定义域导函数与原函数的性质求解. 【详解】解：（Ⅰ） 当1a =-时，()ln xf x e x x =+-，0x >.所以()11x f x e x='+-， 所以 ()11f e =-，()1f e '=，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()11y e e x --=-， 整理得 10.ex y --= （Ⅱ）因为()ln xf x e a x x =--，0x >.所以()1x xa xe x af x e x x'--=--=，依题意，()f x '在区间()0,1上存在变号零点.因为0x >，设()xg x xe x a =--，所以()g x 在区间()0,1上存在变号零点.因()()11x g x e x ='+-，所以，当()0,1x ∈时，1x e >，11x +>，所以()11xe x +>，即()0g x '>，所以()g x 在区间()0,1上为单调递增函数，依题意， ()()00,10,g g ⎧<⎪⎨>⎪⎩即0,10.a e a -<⎧⎨-->⎩解得 01a e <<-.所以，若()f x 在区间()0,1上存在极值点，a 的取值范围是()0,1e -.【点睛】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,2x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos240ρθ+=.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点A ，直线l 与曲线C 相交于点,M N ，求11||||AM AN +的值. 【答案】（Ⅰ）直线l的普通方程为：20x y -+=，曲线C 的直角坐标方程为：2240x y -+=；（Ⅱ）4【解析】 【分析】（Ⅰ）使用代入法消参，可得直线l 的普通方程，根据cos ,sin x y ρθρθ==，结合二倍角的余弦公式，可得曲线C 的直角坐标方程（Ⅱ）写出直线l 参数方程的标准形式，然后联立曲线C 的方程，可得关于参数t 的一元二次方程，根据t 的几何意义，可得结果.【详解】（Ⅰ）由,2x t y t=⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），所以2y x = 则直线l的普通方程为：20x y -+= 由2cos240ρθ+=，所以()222cos s 40in θθρ+-= 又cos ,sin x y ρθρθ==，所以2240x y -+= 则曲线C 的直角坐标方程为：2240x y -+=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：直线l参数方程标准形式为：,55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将该方程代入曲线C 的直角坐标方程化简可得：232050t t ++=设点,M N 所对应的参数分别为12,t t 所以1212205,33t t t t +=-=，则120,0t t << 所以1212111111||||AM AN t t t t ⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭则1212114||||t t AM AN t t ++=-= 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程，普通方程之间的转换，还考查直线参数方程参数的几何意义，熟练公式以及直线参数方程参数的几何意义，注意直线参数方程的标准化，属中档题23.已知f （x ）＝﹣x+|2x+1|，不等式f （x ）＜2的解集是M ．（Ⅰ）求集合M ；（Ⅱ）设a ，b∈M，证明：|ab|+1＞|a|+|b|．【答案】（Ⅰ）M＝{x|﹣1＜x＜1}；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）分12≥-，x12-＜去绝对值可得M＝{x|﹣1＜x＜1}．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得|a|＜1，|b|＜1，将不等式作差即可得证．【详解】（Ⅰ）当12≥-时，f（x）＝﹣x+2x+1＝x+1．由f（x）＜2，得x＜1，所以12-≤x＜1．当x12-＜时，f（x）＝﹣x﹣2x﹣1＝﹣3x﹣1．由f（x）＜2，得x＞﹣1，所以﹣11x2-＜＜综上可知，M＝{x|﹣1＜x＜1}．（Ⅱ）因为a，b∈M，所以﹣1＜a，b＜1，即|a|＜1，|b|＜1 所以|ab|+1﹣（|a|+|b|）＝（|a|﹣1）（|b|﹣1）＞0 故|ab|+1＞|a|+|b|．【点睛】本题考查了绝对值不等式解法，考查了作差法证明不等式，准确计算是关键，属于中档题．。
山西省太原市长安综合高级中学高三数学文上学期期末试题含解析
山西省太原市长安综合高级中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：B考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．解答：解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．点评：本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．2. 本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．72种B．144种C．288种D．360种参考答案：B第一步排语文，英语，化学，生物科，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前科除最后位置外的个空挡中的个，有种排法，所以不同的排表方法共有，故选B．3. 已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（）A. B.C. D.参考答案：4. 函数f（x）=3sin（2x﹣+φ），φ∈（0，π）满足f（|x|）=f（x），则φ的值为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件可得f（x）为偶函数，故有﹣+φ=kπ+，由此求得φ 的值．【解答】解：函数f（x）=3sin（2x﹣+φ），φ∈（0，π）满足f（|x|）=f（x），∴f（x）为偶函数，故有﹣+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈Z．当k=0时，φ=，故选：C．5. 复数的虚部是A. B. C. D.参考答案：B，所以虚部为1，选B.6. 对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是（A）若则（B）若则（C）若则（D）若、与所成的角相等，则参考答案：答案：C解析:对于平面和共面的直线、，真命题是“若则”，选C.7. 已知函数，其中，，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为（）A. B. C.D.参考答案：D8. 已知，为单位向量，且满足，则A. B. C. D.参考答案：C9. 已知双曲线M：和双曲线N：，其中b＞a＞0，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，得交点坐标为：（c，c），其中c是两个双曲线公共的半焦距．将点（c，c）代入双曲线M（或双曲线N）的方程，结合b2=c2﹣a2化简整理，得e4﹣3e2+1=0，解之得e2==（）2，从而得到双曲线M的离心率e=．【解答】解：∵双曲线M方程为：，双曲线N方程为：，其中b＞a＞0，∴两个双曲线的焦距相等，设其焦距为2c，其中c满足：∵双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，∴交点坐标为：（c，c），代入双曲线M（或双曲线N）的方程，得，结合b2=c2﹣a2得：，去分母，得c2（c2﹣a2）﹣a2c2=a2（c2﹣a2），整理，得c4﹣3a2c2+a4=0，所以e4﹣3e2+1=0，解之得e2==（）2（另一值小于1舍去）∴双曲线M的离心率e=故选A【点评】本题给出两个形状相同，但焦点分别在x、y上的双曲线，它们的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，求该双曲线的离心率，着重考查了双曲线的简单性质与基本概念，属于中档题．10. “”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+?）的图象重合”的（）A分析：当时，由诱导公式化简可得图象充分；而当图象重合时可得，k∈Z，由充要条件的定义可得．解答：解：当时，可得函数g （x ）=sin （x+）=cosx ，故图象重合；当“函数f （x ）=cosx 与函数g （x ）=sin （x+?）的图象重合”时，可取，k ∈Z 即可， 故“”是“函数f （x ）=cosx 与函数g （x ）=sin （x+?）的图象重合”的充分不必要条件． 故选A点评： 本题考查充要条件的判断，涉及三角函数的性质，属基础题．11. 设等差数列的前项和为，若,则=______ .参考答案：24【考点】等差数列 【试题解析】等差数列中，，所以所以12. 任意幂函数都经过定 点，则函数经过定点．参考答案：a ≥113. 已知函数与，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是 ．参考答案：14. 已知x 与y 之间的一组数据如表所示，当m 变化时，y 与x 的回归直线方程必过定点 ． x0 1 2 3【考点】线性回归方程．【分析】直接求出回归直线方程的经过的样本中心即可．【解答】解：由题意可得： =， =4．可得样本中心（）．y 与x 的回归直线方程必过定点：（）．15. 如图，⊙O 的直径AB ＝6cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝_____________参考答案：16. 函数)的单调减区间是 ▲ ．参考答案：17. 已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集用区间表示为___________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山西省太原市2022-2023学年高三上学期期末测试 数学含答案
2022~2023学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（答案在最后）（考试时间：上午8:00—10:00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}220,{lg(1)}A x x x B x y x =-<==-，则A B =（ ）A ．(0,1)B ．(0,)+∞C ．(1,2)D ．(,0)(1,)-∞+∞2．设复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知||||1,||3a b a b ==-=，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，ABCD ，13AA =，底面扇环所对的圆心角为2π，弧AD 的长度是弧BC 长度的2倍，1CD =，则该曲池的体积为（ ）A ．94π B ．34π C ．92π D ．32π 5．某学校音乐社团为庆祝学校百年华诞将举办歌曲展演，要从4首独唱歌曲和2首合唱歌曲中选出4首歌曲安排演出，若最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法种数为（ ） A ．96 B ．120 C ．240 D ．3606．已知sin 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A ．49 B ．49- C ．59 D ．59-7．如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设(,)f m n 表示该数阵中第m 行、第n 列的数，则下列说法正确的是（ ）A ．(3,18)49f <B ．(6,8)49f >C ．(7,7)49f =D ．(12,4)49f =8．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若(22),(1)f x g x --均为偶函数，当[2,0]x ∈-时，32()3f x ax x b =++，且(1)1f -=，则201|()|n f n =∑=（ ）A ．20B ．30C ．35D ．40二、选择题全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知正数x ，y 满足2x y +=，则下列结论正确的是（ ） A ．xy 的最大值是1 B ．22x y +的最小值是4C ．(1)x y -的最大值是14D ．11x y +的最小值是110．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线712x π=对称 B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度可以得到函数()f x 的图象D ．方程()f x =在(0,3)π上有7个不相等的实数根11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于A ，B 两个不同点，则下列结论正确的是（ ） A ．若点(2,2)P ，则||||AF AP +的最小值是3 B ．||AB 的最小值是2C ．若||||12AF BF ⋅=，则直线AB 的斜率为2±D ．过点A ，B 分别作抛物线C 的切线，设两切线的交点为Q ，则点Q 的横坐标为1-12．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱13AA =，P 为上底面1111A B C D 上的动点，M 为棱AD 的中点，下列结论正确的是（ ） A ．三棱锥P CDM -的体积为定值1 B ．当直线AP 与平面ABCD 所成角为3π时，点P 的轨迹长度为34πC ．若直线PD ∥平面1ACB ，则线段PDD ．直线PM 被正四棱柱1111ABCD A B C D -外接球所截得线段长度的取值范围是三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数2()2ln f x x a x =+的图象在1x =处的切线经过坐标原点，则实数a =____________．14．()82113x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_________．（用数字作答）15．在临床上，经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症，设A =“试验结果为阳性”，B =“试验者患有此癌症”，据临床统计显示()0.99,()0.98P A B P A B ==．已知某地人群中患有此种癌症的概率为0.001，现从该人群中随机抽在了1人，其试验结果是阳性，则此人患有此种癌症的概率为_____________．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作圆222:O x y a +=的切线，切点为T ，延长2F T 交双曲线E 的左支于点P ．若2232PF TF >，则双曲线E 离心率的取值范围是__________． 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，求{}n a 的通项公式； （2）设()2212231log log n n n b n N a a *++=∈⋅，记{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意正整数的n ，不等式n T λ<恒成立，求λ的最小值．条件①212a a =+，且12n n a a S =+；条件②{}n a 为等比数列，且满足12n n S k +=+；（注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．）18．（本小题12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22b bc a +=． （1）求证：2A B =； （2）求62b cbcosB+的取值范围．19．（本小题12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，整理测量结果得到如下频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数2,x σ近似为样本方差2s ．（ⅰ）利用该正态分布，求(175.6224.4)P Z <<；（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(175.6,224.4)的产品件数．利用（ⅰ）的结果，求()E X ．12.2≈；若()2,Z Nμσ~，则()0.6826,(2Z 2)0.9544P Z P μσμσμσμσ-<<+=-<<+=． 20．（本小题12分）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：AO BC ⊥；（2）若OCD △是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为60︒，求直线AC 与平面BCE 所成角的正弦值．21．（本小题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆C 经过点(0,2)A ，且直2AF ，与圆222x y +=相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线1(0)y kx k =+>与椭圆C 交于P ，Q 两点，点M 在x 轴上，且满足0MP PQ MQ PQ ⋅+⋅=，求点M 横坐标的取值范围．22．（本小题12分）已知函数2()(2)2(0)xf x x e ax ax a =--+>． （1）若()f x 在1x =处取得极大值，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 恰有三个零点，求实数a 的取值范围．2022-2023学年太原市第一学期期末高三数学试题参考答案及评分建议一、选择题：B DC A B CD B二、选择题：9．AC 10．AB 11．ACD 12．ACD三、填空题：13．2- 14．98- 15．1123316． 四、解答题：17．解：（1）选择条件①212a a =+，且12n n a a S =+，由题意可得1112n n a a S ++=+，∴11122n n n n n a a S S a +++-=-=，∴12n n a a +=，∴{}n a 为公比2q =的等比数列，∵212a a =+，∴1122a a =+，∴12a =，∴()2nn a n N *=∈；选择条件②{}n a 为等比数列，且满足12n n S k +=+，由题意可得221332(8)(4)4,(16)(8)8a S S k k a S S k k =-=+-+==-=+-+=， ∴322a q a ==，∴()222n n n a a q n N -*==∈； （2）由（1）得()2nn a n N *=∈,∴22122311111log log (21)(23)22123n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++++⎝⎭,∴1211111111112355721232323n n T b b b n n n λ⎤⎡⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎥⎪⎢+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎦， ∴λ的最小值为16．18．解：（1）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， ∵22b bc a +=，∴(12cos )b A c +=，由正弦定理得sin sin b cB C=，∴sin (12cos )sin sin()B A C A B +==+，∴sin sin()B A B =-， ∵0,A B π<<，∴0B A π<<<，∴B A B =-，∴2A B =；（2）由（1）得2,(12cos )A B c b A ==+，∴()2624cos 16248cos cos cos cos B b c B b B B B+-+==+， ∵2A B =，∴03B π<<，∴1cos 12B <<， ∴48cos 12cos B B ≤+<，∴62cos b cb B+的取值范围为． 19．解：（1）由题意得(1700.0021800.0091900.0222000.033x =⨯+⨯+⨯+⨯2100.0242200.0082300.002)10200+⨯+⨯+⨯⨯=，22222(170200)0.002(180200)0.009(190200)0.022(200200)0.033s ⎡=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⎣222(210200)0.024(220200)0.008(230200)0.00210150⎤+-⨯+-⨯+-⨯⨯=⎦；（2）由题意得22200,150,(200,150)x s Z N μσ====~，12.2=，∴(175.6224.4)0.9544P Z <<=；（ⅱ）由（ⅰ）得从该企业购买了1件这种产品，其质量指标值位于区间(175.6,224.4)的概率为0.9544p =，∴(100,0.9544)X B ~，∴()1000.954495.44E X =⨯=． 20．解：（1）∵O 为BD 的中点，AB AD =，∴AO BD ⊥，∵平面ABD ⊥平面BCD ，∴AO ⊥平面BCD ，∴AO BC ⊥；（2）由（1）得AO ⊥平面BCD ，以点O 为原点，,OB OA 所在的直线分别为x 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设OA a =，由题意可得112(0,0,0),(0,0,),(10.0),,,0,233a O A a B C E ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()111,,m x y z =是平面BCE 的一个法向量，则,,m BC m BE ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩∴111130,22420,33x y a x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令1y =111,2,x z a =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴21,3,m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由题意可知(0,0,1)n =是平面BCD 的一个法向量， ∴211cos ,cos60||||2m n m n m n a ⋅====+︒，∴a =∴1,3,m ⎛= ⎝⎭，12AC ⎛=- ⎝，∴cos ,||||m AC m AC m AC ⋅==-∴直线AC 与平面BCE21．解：（1）∵椭圆C 经过点(0,2)A ，∴2b =，由题意得直线2AF 的方程为12x yc +=，即220x cy c +-=， ∵直线2AF 与圆222x y +=相切，∴d ==2c =，∴2228a b c =+=，∴椭圆C 的方程为22184x y +=； （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，点()00,N x y 是PQ 的中点，由221,184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2212460k x kx ++-=，∴122412k x x k -+=+，∴02212k x k =-+， ∵()20MP PQ MQ PQ MP MQ PQ MN PQ ⋅+⋅=+⋅=⋅=， ∴MN PQ ⊥，∴1MN k k=-， ∴直线MN 的方程为()001y y x x k-=--， ∴点M 的横坐标为()20002111122k x ky x k x k k kk=+=++=-=-++， ∵0k >，∴12k k +≥4x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭． ∴“点M的横坐标的取值范围为,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 22．解：（1）由题意得()()(1)2,xf x x e a x R =--'∈， 令()0f x '=，则1x =或ln2x a =，①当ln21a <时，即02ea <<时， 令()0f x '<，则ln21a x <<：令()0f x '>，则ln2x a <，或1x >，∴()f x 在(ln2,l)a 上递减，在(1,)+∞上递增， ∴()f x 在1x =处取得极小值，此时不符合题意；②当ln21a =时，即2e a =时，则()()(1)20xf x x e a '=--≥，∴()f x 在R 上递增， ∴()f x 在1x =处不取极值，比时不符合题意③当ln21a >时，即2ea >时， 令()0f x '<，则1ln2x a <<；令()0f x '>，则1x <，或ln2x a >， ∴()f x 在(,1)-∞和(ln 2,)a +∞上递增，在(1,ln 2)a 上递减， ∴()f x 在1x =处取得极大值，此时符合题意；综上，()f x 的单调减区间为(1,ln 2)a ，单调增区间为(,1)-∞和(ln 2,)a +∞； （2）由题意得()()(2),xf x x e ax x R =--∈，显然2x =是()f x 的零点， 则方程0xe ax -=，即1xxa e =恰有两个不为2的实数根， 令(),x x g x x R e =∈，则1()xxg x e-='，令()0g x '<，则1x >；令()0g x '>，则1x <， ∴()g x 在(,1)-∞上递增，在(1,)+∞上递减，当(,1]x ∈-∞时，()g x 的值域为1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；当(1,)x ∈+∞时，()g x 的值域为10,e⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴110a e <<，且212a e≠，∴a e >，且22e a ≠，综上，实数a 的取值范围为22,,22e e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。
2021-2022学年山西省太原市城第二中学高三数学文上学期期末试卷含解析
2021-2022学年山西省太原市城第二中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 《九章算术》中记载了一种标准量器﹣﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），则该几何体的容积为（）立方寸．（π≈3.14）A．12.656 B．13.667 C．11.414 D．14.354参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，左边是圆柱，底面半径为0.5寸，母线长为1.6寸，右边为长方体，3.8寸，3寸，1寸．然后由长方体与圆柱的体积得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为组合体，左边是圆柱，底面半径为0.5寸，母线长为1.6寸，右边为长方体，3.8寸，3寸，1寸．则其体积V=3.14×（0.5）2×1.6+3.8×3×1=12.656．故选：A．2. 在等比数列{a n}中，若a3a5a7a9a11=243，则的值为A．3 B．C．±3 D．参考答案：A 3. 设a=0.23，b=log0.30.2，c=log30.2，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：a=0.23=0.008，b=log0.30.2＞log0.30.3=1，c=log30.2＜1，∴b＞a＞c，故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 若函数的定义域为A，函数,的值域为B，则A B为A. B. C. D.参考答案：C略5. ，若，则A. 0B. 3C. -1D. -2参考答案：A略6. 执行如图所示的程序框图，则输出的S值为.(A)3 (B)6 (C) 7 (D) 10参考答案：D第一次循环，，不满足条件，；第二次循环，，不满足条件，；第三次循环，，不满足条件，；第四次循环，，不满足条件，；第五次循环，，此时满足条件，输出，选D.7. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（A）向左平移2个单位（B）向右平移2个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位参考答案：D8. 如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A．B． C.D．参考答案：C9. 设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )A．p为真B．﹁q为假C．p∧q为假D．p∨q为真参考答案：C略10. 过双曲线的右焦点与x垂直的直线与双曲线交于A，B两点，若(O 为坐标原点)为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为A. 2B.C.D.参考答案：C【分析】由为等腰直角三角形，可得，即，化为，进而可得结果. 【详解】过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线，交双曲线于两点，由可得，所以，又因为为等腰直角三角形，所以，可得，解得，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的性质及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知是方程的复数解，则参考答案：12. 已知O为坐标原点，P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，记直线OP的斜率k=f（x）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（m，m+）（m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数t的取值范围．参考答案：略13. 从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个，则取出的非空子集中所有元素之和恰为5的概率为 .参考答案：14. 已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②?x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是．参考答案：（﹣4，﹣2）【考点】全称命题；二次函数的性质；指数函数综合题．【专题】简易逻辑．【分析】①由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求②由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质可求【解答】解：对于①∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．故答案为：（﹣4，﹣2）．【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键．15. 对任意，的概率为______．参考答案：【分析】由几何概率列式求解即可.【详解】设事件，则构成区域的长度为，所有的基本事件构成的区域的长度为，故.故答案为：．【点睛】本题主要考查了长度型的几何概型的计算，属于基础题.16. 已知直线l：y=kx+b与曲线y=x3+3x﹣1相切，则斜率k取最小值时，直线l的方程为．参考答案：3x﹣y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；方程思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】求出原函数的导函数，得到导函数的最小值，求出此时x的值，再求出此时的函数值，由直线方程的点斜式，求得斜率k最小时直线l的方程．【解答】解：由y=x3+3x+1，得y′=3x2+3，则y′=3（x2+1）≥3，当y′=3时，x=0，此时f（0）=1，∴斜率k最小时直线l的方程为y﹣1=3（x﹣0），即3x﹣y+1=0．故答案为：3x﹣y+1=0．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．17. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，M，N是圆O上相异两点，且，若，则的取值范围是__________.参考答案：试题分析：由已知可得设到直线的距离分别是，，又，设，，,,,又，，可知分别在圆,由下图可得的取值范围是．考点：向量及其运算.【方法点晴】本题主要考查向量及其运算，其中涉及数形结合思想，计算繁杂，属于较难题型。
山西省太原市2020届高三数学上学期期末考试试题文
太原市2020 届高三上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共50 分）1. 已知集合 A={0,1,2,3},B＝{x ∈R|－2<x<2},则A∩B＝ ( )A、 {0,1}B、{1}C、{0,1}D、{0,2}【答案】 A2.复数11ii-+( )A、1 B . i C、－1 D . i 【答案】 D3.已知 tan＝2，则tan2＝( )A、43B、－43C、45D、－45【答案】B4.函数函数1()||f x xx=-的大致图像为（）【答案】 D5. 设为两个不同平面，m , n为两条不同的直线，下列命题是假命题的是（）A、若 m , n ，则 m n；B、若m，n，则 m n；C、若，m ，则mD、若 m n, m , n ，则；【答案】B6.已知点 D 是ABC 所在平面内一点，且满足4A D D B=-，若(,)C D x C A y C B x y R=+∈，则x－y＝( )A、－43B、1C、－53D、53【答案】 C7.将函数2()cos cos f x x x x =+的图象向左平移6π个单位得到函数g ( x) 的图象，则函数 g ( x ) 的一个单调递增区间是（） A 、［－2π，0］ B 、［0，2π］ C 、[,]63ππ- D 、[,]36ππ-【答案】 D8. 赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3 全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设 DF 2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）AB 、413 CD 、47【答案】 D9. 已知实数 x, y 满足50304x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则1x y z x +=+实数的取值范围为A 、［53，5］ B 、55[,]42 C 、75[,]42 D 、75[,]44【答案】 B10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A 、8B 、4C 、83D 、163【答案】 C11.已知函数 f (x) 是定义在（0，+）上的单调函数，则对任意（0，+）都有2(())f f x x+＝－1成立，则 f (1)= ( )A 、－1B 、－4C 、－3D 、 0 【答案】 A12.已知数列{ a n } 为等差数列，1(*)n a n N ≠∈,101012a ==1， 若1()21f x x =+-， 则122019()()()f a f a f a ⨯⨯⨯＝（ ） A 、 22019B 、22020C 、 22017D 、22018【答案】A二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取 200 名学生进行调查，则抽取高中生的人数为____【答案】 40 14.命题“x R , x 2 －2 ax+1＞0”是假命题，则实数 a 的取值范围是______【答案】15.在三棱锥 P ABC中，顶点 P 在底面 ABC 的投影 G 是 ABC 的外心， PB ＝BC ＝2 ，则面 PBC 与底面 ABC 所成的二面角的大小为 60，则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为______ 【答案】649π16.已知定义在 R 上的可导函数 f (x) ，对于任意实数 x 都有()()2f x f x +-=，且当 x(－,0] 时，都有'()1f x <，若()1f m m >+，则实数 m 的取值范围为 ______ 。
太原市2023-2024学年高三上学期期末学业诊断数学(含解析)
太原市2023～2024学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷（考试时间：上午8:00—10:00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|22xB x =>，则A B =（ ）A.[0,)+∞B.[0,1)C.(1,2]D.[2,)+∞2.已知复数z 满足(1i)2i z -=，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A.(1,1)B.(1,1)-C.(1,1)-D.(1,1)--3.圆22420x y x y +-+=的圆心坐标为（ ） A.(2,1)-B.(2,1)-C.(4,2)-D.(4,2)-4.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功举办.杭州亚运会期间，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法种数为（ ） A.18B.24C.32D.365.已知α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan 3α=，tan 2β=，则αβ+=（ ） A.512πB.23π C.34π D.56π 6.如图是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式为（ ）A.sin 6()22x x xf x -=-B.cos6()22x x xf x -=-C.sin 6()22x xxf x -=-D.cos6()22x xxf x -=-7.已知椭圆22:12x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 为C 上异于长轴端点的任意一点，12F MF ∠的角平分线交线段12F F 于点N ，则11MF NF =（ ）B.2C.5D.28.若实数a ，b ，c 满足3log a π=，ln b π=，2c =，则（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.b c a <<二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知数列{}n a 中，11a =，()*121n n a a n +=+∈N ，数列{}na 的前n 项和为nS ，则下列结论正确的是（ ）A.{}n a 是等比数列B.415a =C.101000a <D.2n n S a n =-10.已知函数()2sin sin 6f x x x π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A.32f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C.()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D.将()f x 的图象先向左平移3π个单位长度后得到的函数图象关于原点对称11.已知函数22|ln |,0e()44,ee ex x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且满足1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）A.01a <<B.122x x +∈C.123414e 2,5e e x x x x ⎛⎫+++∈++⎪⎝⎭D.()2212343e ,4ex x x x ∈12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，点P 和Q 分别满足111D P D C λ=，11D Q D B μ=，其中λ，[0,1]μ∈，则下列结论正确的是（ ） A.当12λ=时，三棱锥Q PDE -的体积为定值 B.当12μ=时，四棱锥Q ABCD -的外接球的表面积是94πC.当1λ=时，不存在μ使得11PQ B D ⊥D.PQ EQ +的最小值为6三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.双曲线2214y x -=的渐近线方程为______.14.4211(12)x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______. 15.已知非零向量a ，b 夹角为23π，则|2|||a b b +的最小值为______. 16.已知实数λ，k 分别满足2e e λλ=，3(ln 1)k k e -=，其中e 是自然对数的底数，则k λ=______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）已知在等差数列{}n a 中，23a =，833a a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，且满足()*231n n S b n =-∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设()*N n n n c a b n =∈，求数列{}nc 的前n 项和nT .18.（本小题12分）在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，点D 在线段BC 上，BD DC λ=，2AD =，ABC △的面积为（1）当2λ=，且60ADB ∠=︒时，求B ；（2）当1λ=，且2228b c +=时，求ABC △的周长. 19.（本小题12分）“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，SA AB ⊥，SC BC ⊥，SA SC ==（1）证明：四棱锥S ABCD -是一个“阳马”；（2）已知点E 在线段AC 上，且AE EC λ=，若二面角A SE D --的余弦值为15-，求直线SE 与底面ABCD 所成角的正切值.20.（本小题12分）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为13；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为23.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为23.（1）求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第()*n n ∈N 天选择米饭套餐的概率为nP ，（i ）证明：12n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （ii ）证明：当2n ≥时，59n P <. 21.（本小题12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与x 轴相交于点D ，过抛物线C 焦点F 的直线与C 相交于A ，B 两点，DAB △面积的最小值为4. （1）求抛物线C 的方程；（2）若过点(5,2)E 的动直线l 交C 于M ，N 两点，试问抛物线C 上是否存在定点P ，使得对任意的直线l ，都有PM PN ⊥.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，则说明理由. 22.（本小题12分）已知函数()ln (1)f x x x k x k =--+，1k ≥. （1）当1k =时，求()f x 的最小值；（2）当(1,)x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立，求实数k 取得的最大整数值.太原市2023～2024学年第一学期高三年级期末学业诊断参考答案及评分标准一.单项选择题：CBABC CAA二.多项选择题：9.BD 10.AC11.ACD 12.ABD三.填空题：13.2y x =±14.2516.3e四.解答题：17.解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得()1113,732,a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩()1*1,21N 2,n a a n n d =⎧∴∴=-∈⎨=⎩； 当1n =时，则1112231S b b ==-，11b ∴=，当2n ≥时，则11231n n S b --=-，112233n n n n S S b b --∴-=-，13n n b b -∴=，∴{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列，∴()1*3N n n b n -=∈；（2）由（1）得()1*(21)3N n n n n c a b n n -==-⋅∈，2211231113353(23)3(21)3n n n n n T c c c c c n n ---∴=+++++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，①2313133353(23)3(21)3n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，②①－②得()2312123333(21)3n n n T n --=+⨯++++--⨯，∴()*(1)31N n n T n n =-⨯+∈.18.解：（1）由题意得1sin 2ABC S a AD ADB ∆=⋅∠==6a ∴=2BD DC =，4BD ∴=，2CD =，∴2222cos 12AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=，AB ∴=∴222cos 2AB BD AD B AB BD +-==⋅0180B ︒<<︒，30B ∴=︒；（2）由题意得BD CD =，1()2AD AB AC ∴=+， ∴()()222222111()22cos 4444AD AB AC AB AC AB AC c b bc BAC =+=++⋅=++∠=，2228b c +=，cos 6bc BAC ∴∠=-，∴2222cos40 a b c bc BAC=+-∠=，a∴=，1sin2ABCS bc BAC∆=∠=sinbc BAC∴∠=，12bc∴=，∴222()252b c b c bc+=++=，b c∴+=∴a b c++=，ABC∴△的周长为.19.（1）证明：四边形ABCD是正方形，∴AB AD⊥，SA AB⊥，SA AD A=，AB∴⊥平面SAD，SD AB∴⊥，同理可证SD BC⊥，AB BC B=，SD∴⊥平面ABCD，∴四棱锥S ABCD-是一个“阳马”；（2）由（1）得SD⊥平面ABCD，SD AD∴⊥，SA=3AB=，3SD∴=，以点D为原点，DA，DC，DS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得(0,0,0)D，(3,0,0)A，(3,3,0)B，(0,3,0)C，(0,0,3)S，AE ECλ=，33,,011Eλλλ⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭，设()111,,m x y z=是平面SAE的一个法向量，则,,m ACm SA⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩∴1111330,330,x yx z-+=⎧⎨-=⎩令11z=，则111,1,xy=⎧⎨=⎩，(1,1,1)m∴=，设()222,,n x y z=是平面SDE的一个法向量，则,,n SDn DE⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩∴22230,330,11zx yλλλ=⎧⎪⎨+=⎪++⎩令21y=-，则22,0,xzλ=⎧⎨=⎩，(,1,0)nλ∴=-，∴cos ,||||3m n m n m n λλ⋅-〈〉===13λ∴=，∴93,,044E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4DE ∴==，SD ⊥平面ABCD ，∴直线SE 与底面ABCD 所成角的正切值为SD DE =. 20.解：（1）设i A =“第i 天选择米饭套餐”(1,2)i =，则i A =“第i 天选择面食套餐”， 根据题意()123P A =，()113P A =，号()211|3P A A =，()212|3P A A =， 由全概率公式，得()()()()()2121121||P A P A P A A P A P A A =+2112433339=⨯+⨯=； （2）（i ）设n A =“第n 天选择米饭套餐”(1,2,)n =，则()n n P P A =，()1n n P A P =-，()11|3n n P A A +=，()12|3n n P A A +=， 由全概率公式，得()()()()()11112||33n n n nnn nnP A P A P A A P A P A A P +++=+=-+，即11233n n P P +=-+，1111232n n P P +⎛⎫∴-=-- ⎪⎝⎭，11126P -=，12n P ⎧⎫∴-⎨⎬⎩⎭是以16为首项，13-为公比的等比数列； （ii ）由（i ）可得()1*111N 263n n P n -⎛⎫=+⨯-∈ ⎪⎝⎭，当n 为大于1的奇数时，12111111145263263279n n P -⎛⎫⎛⎫=+⨯-≤+⨯=< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 当n 为正偶数时，11111526329n n P -⎛⎫=-⨯<< ⎪⎝⎭. 21.解：（1）由题意得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，,02p D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设直线AB 的方程为(R)2px ty t =+∈，()11,A x y ，()22,B x y ，由2,22p x ty y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220y tpy p --=，∴122y y tp +=，212y y p =-，∴()()()2222121212441y y y y y y p t -=+-=+，∴DAB △面积2121||2DAB S DF y y p p ∆=⋅-=≥， 当0t =时，DAB S ∆取最小值2p ，2p ∴=，∴抛物线C 的方程为24y x =；（2）由（1）得抛物线2:4C y x =，假设存在定点()00,P x y ，设直线l 的方程为5(2)()x m y m R -=-∈，()33,M x y ，()44,N x y ，则30y y ≠，40y y ≠， 由25(2),4x m y y x-=-⎧⎨=⎩得244(25)0y my m -+-=， 344y y m ∴+=，344(25)y y m =-，PM PN ⊥，0PM PN ∴⋅=，()()()()()()()()22223040304030403040116PM PN x x x x y y y y y y yy y y y y ⋅=--+--=--+--，()2034034160y y y y y y ∴++++=，()()2004240y m y ∴++-=， 当020y +=时，即002,1y x =-⎧⎨=⎩时，PM PN ⊥恒成立，∴存在定点(1,2)P -.22.解：（1）当1k =时，()ln 1f x x x =+，(0,)x ∈+∞，则()ln 1f x x '=+， 令()0f x '<，则10x e <<；令()0f x '>，则1x e>， ∴()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()f x 在1x e =处取得最小值111f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）①当1k =时，则()ln 110f x x x =+>>，显然成立；②当1k >时，原不等式等价于ln 1x x xk x +<-，令ln ()1x x x g x x +=-，1x >，则2ln 2()(1)x x g x x --'=-， 令()ln 2h x x x =--，1x >，则1()0x h x x-'=>，()h x ∴在(1,)+∞上单调递增，(3)1ln30h =-<，(4)2(1ln 2)0h =->，∴0(3,4)x ∃∈，()00h x =，即00ln 20x x --=，002ln x x ∴-=，当()01,x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x ∴在()01,x 上单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x ∴在()0,x +∞上单调递增，∴()g x 在0x x =处取得最小值为()000000ln 1x x x g x x x +==-，∴()00k g x x <=，且0(3,4)x ∈，综上，实数k 的最大整数值为3. 注：以上各题其它解法请酌情赋分.。
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太原市2016—2017学年第一学期高三年级期末考试
数学试卷（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合{}{}0,1,|12A B x x ==-≤≤，则A B =
A. {}0,1
B. {}1,0,1-
C. []1,1-
D.{}1
2.设复数21i z i
=+，则其共轭复数为 A. 1i -- B. 1i - C. 1i -+ D.1i +
3.给出下列命题：
①若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等差数列；
②若数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等比数列；
③若数列{}{},n n a b 均为等差数列，则数列{}n n a b +为等差数列；
④若数列{}{},n n a b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅为等比数列
A. 1
B. 2
C. 3
D.4
4.设,m n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是
A.,//m n m n αα⊥⇒⊥
B. ,//m n m n αα⊥⊥⇒
C. //,////m n m n αα⇒
D. //,m n m n αα⊥⇒⊥
5.已知sin αα=，则tan 2α=
B. D.6.执行如图所示的程序框图，输入1,5x n =-=，则输出s = A. -2 B. -3
C. 4
D.3
7.如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图可能是
8.将函数(
)2cos sin f x x x x =+的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原的2倍，再沿x 轴向右平移
6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的一条对称轴是 A. 6x π
=- B. 4x π=- C.3x π
= D.2x π
=
9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF = A.
1142AC BD + B. 1124AC BD + C. 1223AC BD + D. 2133
AC BD + 10.甲、乙两位同学约定周日早上800—830在学校门口见面，已知他们到达学校的时间是随机的，则甲要等乙至少10分钟才能见面的概率为 A. 23 B. 13 C. 29 D. 79
11.如图，正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1
BD 旋转θ之
后与其自身重合，则θ的值可以是 A. 56π B. 34π C. 23π D. 35π 12.已知(),01,0x x e ax x f x ax x e
⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 有四个零点，则实数a 的取值范围是 A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B. (),e -∞- C. (),e +∞ D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.数据0.7,1,0.8,0.9,1.1的方差是 .
14.已知向量()()1,1,1,2a b =-=，则b a -与2a b +的夹角为 .
15.已知平面区域()33,,32233x y D x y z x y x y x y ⎧⎫⎪⎪+≥⎪⎪==-⎨⎬-≤⎪⎪⎪⎪+≤⎩⎭
，若命题()00",,"x y D z m ∃∈>为假命题，则实数m 的最小值为 .
16.已知数列{}n a 的前n 项和()221n n n S a n N *=-+∈，则其通项公式n a = .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分12分）
已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列，且满足3455,,3
a a a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若()31log n n b a n N *-=∈，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .
18.（本题满分12分）
如图，已知AD 是ABC ∆内角BAC ∠的角平分线.
（1）用正弦定理证明：AB DB AC DC
=； （2）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长.
19.（本题满分12分）
甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D 处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格
.
（1）将硬币连续投掷三次，求筹码停在C 处的概率；
（2）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A 或B 或C 或D 处，则甲赢；否则，乙赢.问该约定对乙公平吗？请说明理由.
20.（本题满分12分）如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，平面//ABCD 平面1111A B C D ，1//DD 平面11A B BA ,1//DD 平面11B C CB .
（1）证明：11//DD BB ；
（2）已知六面体
1111ABCD A B C D -的棱长均为2，
且1BB ⊥平面ABCD ，60,,BAD M N ∠=分别为棱
1111,A B B C 的中点，求四面体D MNB -的体积.
21.（本题满分12分）
已知函数()()ln x x
f x ax x a R e =-∈在1x =处的切线的斜率 1.k =-
（1）求a 的值；
（2）证明：()2
.f x e <
（3）若正实数,m n 满足1mn =，证明 ：()1
12m n m n e e +<+.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
已知平面直角坐标系xoy 中，点()1,0P ，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩
（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l 的极坐标方程为
()sin sin .ραθα-=
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 与直线l 交于,M N 两点，且
1113
PM PN -=，求α的值.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知实数,,a b c 均大于0.
（1a b c ≤++；
（2）若1a b c ++=，求证：
2221ab bc ac a b b c a c ++≤+++.
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