八年级分式和二次根式综合

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(完整版)八年级二次根式综合练习题及答案解析

填空题1. 有意义的条件是。

【答案】x ≥4【分析】二次根号内的数必须大于等于零，所以x-4≥0，解得x ≥42. 当__________【答案】-2≤x ≤21【分析】x+2≥0，1-2x ≥0解得x ≥－2，x ≤213. 11m +有意义，则m 的取值范围是。

【答案】m ≤0且m ≠﹣1【分析】﹣m ≥0解得m ≤0，因为分母不能为零，所以m ＋1≠0解得m ≠﹣14. 当__________x 是二次根式。

【答案】x 为任意实数【分析】﹙1－x ﹚2是恒大于等于0的，不论x 的取值，都恒大于等于0，所以x 为任意实数5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。

【答案】﹙x 2＋3﹚﹙x ＋3﹚﹙x －3﹚，﹙x －2﹚2【分析】运用两次平方差公式：x 4－9＝﹙x 2＋3﹚﹙x 2－3﹚＝﹙x 2＋3﹚﹙x ＋3﹚﹙x －3﹚，运用完全平方差公式：x 2－22x ＋2＝﹙x －2﹚26. 2x =，则x 的取值范围是。

【答案】x ≥0【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2x ≥0，解得x ≥07. 2x =-，则x 的取值范围是。

【答案】x ≤2【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2－x ≥0，解得x ≤28. )1x p 的结果是。

【答案】1－x【分析】122+-x x ＝2)1(-x ，因为()21-x ≥0，x ＜1所以结果为1－x9. 当15x ≤p 5_____________x -=。

【答案】4【分析】因为x ≥1所以()21-x ＝1-x ，因为x ＜5所以x －5的绝对值为5－x ，x －1＋5－x ＝410. 把的根号外的因式移到根号内等于。

【答案】﹣a -【分析】通过a a 1-有意义可以知道a ≤0，a a 1-≤0，所以a a 1-＝﹣⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯a a 12＝﹣a -11. =成立的条件是。

二次根式的混合运算

二次根式的混合运算
本文介绍了二次根式的混合运算，其中重点剖析了有理化因式和分母有理化的方法，以及二次根式混合运算的注意事项。

在计算中，需要注意运算顺序和最简二次根式的表示。

文章提供了典型例题，通过运用相关知识点进行计算。

二次根式的混合运算包括加、减、乘、除和整式的加、减、乘。

在实数范围内，过去学过的运算律仍然适用。

分母有理化的一般方法是用分母的有理化因式同时乘以分子和分母。

二次根式混合运算顺序与实数运算类似，先乘方、再乘除，最后加减，整式与分式的运算法则在根式中仍然适用。

每一个根式可看作是一个“单项式”，多个不是同类二次根式之和可以看成一个多项式，因此多项式乘法法则及乘法公式在根式运算中，仍然适用，以简便计算。

在二次根式的综合运算中，除按运算顺序进行以外，还要注意分式性质的灵活运用。

有理化因式不是唯一的，它可以相差一个常数。

例如，3
的有理化因式可以是3,23,33……但在一般情况下，我们所找
的有理化因式应是最简单的。

一般常见的互为有理化的两个代
数式有如下几种情形：a和a，a+b和a-b，a-b和a+b，ma+nb
和ma-nb。

二次根式的除法一般是先写成分式的形式，然后通
过分母有理化来进行。

典型例题中，例1的计算包括四个部分，分别是(1)、(2)、(3)和(4)。

在计算中，需要注意运用a-b=(a+b)(a-b)、分母有理化、最简二次根式的表示和整式除法法则等知识点。

通过对例题的计算，可以更好地理解二次根式的混合运算。

中考总复习：分式与二次根式—知识讲解(提高)与例题讲解

中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算错误！未找到引用源。

±错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.要点诠释：分式运算的常用技巧（1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111(1)1n n n n =-++进行裂项. (4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.（6）倒数法求值（取倒数法）.（7）活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质1.0(0)≥≥；a a2.()2(0)a a a =≥； 3.2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩； 4. 积的算术平方根的性质：(00)ab a b a b =⋅≥≥，； 5. 商的算术平方根的性质：(00)a a a b b b =≥>，. 6.若0a b >≥，则a b >. 要点诠释：与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：123123123(0000)n n n a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥，，，，2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简. 例如82627⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，没有必要先对827进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884266262327273⎛⎫+⨯=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：()()()()223232321+-=-=，利用了平方差公式. 所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.4．分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）a a 与互为有理化因式；（2）a b a b +-与互为有理化因式；一般地a c b a c b +-与互为有理化因式；（3）a b a b +-与互为有理化因式；一般地c a d b a d b +-与c互为有理化因式.【典型例题】类型一、分式的意义1．若分式211x x -+的值为0，则x 的值等于．【答案】1；【解析】由分式的值为零的条件得2x ﹣1=0，x +1≠0，由2x ﹣1=0，得x =﹣1或x =1，由x +1≠0，得x ≠﹣1， ∴x =1，故答案为1．【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．举一反三：【变式1】如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 .【答案】由分式的值为零的条件得3x 2-27=0且x-3≠0，由3x 2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0， ∴x=-3或x=3，由x-3≠0，得x≠3．综上，得x=-3，分式23273x x --的值为0．故答案为：-3．【分式与二次根式：例1】【变式2】若分式mx x +-212不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围是．【答案】若分式mx x +-212不论x 取何实数总有意义，则分母22x x m -+≠0，设22y xx m =-+，当△＜0即可，440,1m m -＜＞.答案m ＞1.类型二、分式的性质2．已知,b c c a a b abc+++==求()()()abca b b c c a +++的值.【答案与解析】设b c c a a b k abc+++===,所以,,b c ak c a bk a b ck +=+=+= 所以,b c c a a b ak bk ck +++++=++ 所以2()(),()(2)0,a b c k a b c a b c k ++=++++-= 即2k =或()0,a b c ++= 当2k =,所求代数式33118abc abck k ===, 当0a b c ++=,所求代数式1=-. 即所求代数式等于18或1-.【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k 法求解. 举一反三：【变式】已知111111111,,,6915abbcac +=+=+=求abcab bc ac++的值. 【答案】因为 111111111,,,6915abbc a c+=+=+=各式可加得1111112,6915abc ⎛⎫++⨯=++ ⎪⎝⎭所以11131180a b c ++=，所以()1180.111()()31abc abc abc ab bc ac ab bc ac abc c a b÷===++++÷++类型三、分式的运算3．已知1,x y zy z z x x y++=+++且0x y z ++≠,求222x y z y z x z x y +++++的值.【答案与解析】因为0x y z ++≠,所以原等式两边同时乘以x y z ++,得:()(().x x y z y x y z z x y z x y z y z z x x y++++++++=+++++）即222()()(),x x y z y y z x z z x y x y z y z y z z x z x x y x y++++++++=++++++++ 所以222(),x y z x y z x y z y z z x x y +++++=+++++ 所以2220.x y z y z z x x y++=+++ 【总结升华】条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.举一反三：【变式1】已知,,,x y z a b c y z x z x y ===+++且abc o ≠,求111a b ca b c +++++的值. 【答案】由已知得1,y z a x+=所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y za x+++=,所以1a xa x y z=+++,同理,,11b y c z b x y z c x y z==++++++ 所以1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z++++=++==+++++++++++. 【分式与二次根式：例2】【变式2】已知x ＋y=－4，xy=－12，求+++11x y 11++y x 的值．【答案】原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y =1121222++++++++y x xy x x y y 1)(2)(22)(2++++++-+=y x xy y x xy y x 将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式， ∴原式⋅-=+--+-⨯++-=153414122)4(224)4(2类型四、分式方程及应用4．a 何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根? 【答案与解析】方程两边都乘以(2)(2)x x +-,得2(2)3(2).x ax x ++=- 整理得(1)10a x -=-. 当a = 1 时,方程无解. 当1a ≠时,101x a =--. 如果方程有增根,那么(2)(2)0x x +-=,即2x =或2x =-.当2x =时,1021a -=-,所以4a =-; 当2x =-时,1021a -=--,所以a = 6 .所以当4a =-或a = 6原方程会产生增根.【总结升华】因为所给方程的增根只能是2x =或2x =-，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.5．甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．（1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？【答案与解析】（1）设乙单独整理x 分钟完工，根据题意得：120204020=++x解得x ＝80，经检验x ＝80是原分式方程的解．答：乙单独整理80分钟完工．（2）设甲整理y 分钟完工，根据题意，得1408030≥+y 解得：y ≥25答：甲至少整理25分钟完工．【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；（2）设甲整理y 分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．举一反三：【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得（） A ．00253010(18060xx -=+）B ．00253010(180xx-=+）C ．00302510(18060x x -=+） D ．00302510(180x x -=+）【答案】设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，00253010(18060x x -=+）故选A ．类型五、二次根式的定义及性质6．要使式子aa 2+有意义，则a 的取值范围为．【答案】a≥－2且a≠0．【解析】根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥－2且a≠0．故答案为：a≥－2且a≠0．【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．可以求出x 的范围．类型六、二次根式的运算【分式与二次根式：例3】7．（2015春•泗阳县期末）已知m是的小数部分．（1）求m2+2m+1的值；（2）求的值．【答案与解析】解：依题意得21m=-，则121=+m（1）原式=（m+1）2=2；（2）原式=|1m-|=|﹣1﹣（21+）|=2．m【总结升华】此题考查二次根式的化简求值，掌握完全平方公式和无理数的估算是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2018•苏州模拟）计算：．【答案与解析】解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．。

数学知识点二次根式与分式的运算

数学知识点二次根式与分式的运算数学知识点：二次根式与分式的运算在数学中，二次根式与分式是常见的运算形式。

二次根式表示被开方数的平方根，而分式则表示数之间的比值。

正确地运用二次根式与分式的运算规则，能够更高效地解决问题。

本文将详细介绍二次根式与分式的运算方法和规则。

一、二次根式的运算二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。

在运算二次根式时，常见的操作有合并同类项、分解因式、有理化等。

1. 合并同类项合并同类项是将同一根号内的数合并，然后再进行开方。

例如：√9 + √4 = √(9+4) = √132. 分解因式分解因式是将根号内的数按照倍数的形式分解，以便于提取出根号外的因式。

例如：√12 = √(4×3) = √4 × √3 = 2√33. 有理化有理化是将二次根式中含有根号的分母进行处理，使其变为分母不含根号的形式。

例如：1/√2 = (1/√2) × (√2/√2) = √2/2二、分式的运算分式是形如a/b的表达式，其中a为分子，b为分母。

分式的运算包括四则运算、化简、通分、约分等。

1. 四则运算分式的四则运算与整数的四则运算类似，根据需要进行加、减、乘、除的操作。

例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/62. 化简化简是将分式的分子与分母进行约分，使其达到最简形式。

例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/23. 通分通分是将分式的分母化为相同的公共分母，以便于进行加减运算。

例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/64. 约分约分是将分数的分子与分母进行化简，使其达到最简形式。

例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/2三、综合运算在实际问题中，常常需要综合运用二次根式与分式的运算。

例如：例1：计算√(5+2√6) × √(5-2√6) 的值。

二次根式与分式的综合运用

二次根式与分式的综合运用在数学学习中，二次根式与分式是两个重要的概念。

它们在解决实际问题时起到了至关重要的作用。

本文将探讨二次根式与分式的综合运用，揭示其在问题求解中的实际应用。

一、二次根式的综合运用二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

二次根式的运用非常广泛，无论是在几何学还是物理学中，都有其独特的应用。

1. 几何学中的二次根式在几何学中，二次根式被广泛运用于计算图形的周长、面积等属性。

以正方形为例，对于一个边长为a的正方形，其周长可以表示为4a，而面积可以表示为a²。

当我们需要计算边长或面积时，如果给定了周长或面积的数值，就需要通过解二次根式方程来求解。

例如，一块土地的周长为16米，我们需要计算其面积。

假设土地的边长为x，则方程可以表示为4x=16。

通过解方程4x=16，我们可以得到x=4，即土地的边长为4米。

进而，我们可以计算出土地的面积为16平方米。

2. 物理学中的二次根式在物理学领域，二次根式也有广泛的应用。

例如，在求解自由落体问题中，如果知道物体自由落体的时间t，可以通过二次根式来求解它的下落距离。

根据物理学的公式，自由落体的下落距离可以表示为s=1/2gt²，其中g是重力加速度。

如果给定时间t的数值，我们可以通过求解二次根式来计算下落的距离s。

例如，如果一个物体自由落体的时间为2秒，且重力加速度为10米/秒²，我们可以通过计算s=1/2×10×(2²)得出下落的距离为20米。

二、分式的综合运用分式是指形如a/b的表达式，其中a和b都是整数且b不等于零。

分式在数学中广泛应用于比例、概率等问题的解决。

1. 比例中的分式在比例问题中，分式被广泛运用于表示两个量之间的关系。

例如，在解决类似于“甲车每小时行驶100公里，乙车每小时行驶120公里，两车同时出发，多长时间后它们之间的距离将为200公里”的问题时，我们可以通过设置分式来解决。

(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。

如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如25 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。

二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。

（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。

中考数学考前满分计划：整式、分式、二次根式、因式分解(含解析)

○热○点○考○点○解○读一、整式1．单项式与多项式单独的一个数或一个字母也是单项式．2．合并同类项合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变，例如：合并同类项3x 2y 和4x 2y 为3x 2y +4x 2y =（3+4）x 2y =7x 2y ．3．整式的运算（1）整式的加减运算实际就是合并同类项．（2）整式的乘法：()()a b m n am an bm bn ++=+++．（3）整式的除法：单项式除以单项式时，把系数、相同字母的幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则照抄下来；多项式除以单项式时，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．（4）乘法公式①平方差公式：22()()a b a b a b +-=-．②完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．4．幂的运算性质（1）同底数幂相乘法则：m n m n a a a +⋅=（,m n 为整数，0a ≠）（2）幂的乘方法则：()m n mn a a =（,m n 为整数，0a ≠）（3）积的乘方法则：()n n n ab a b =（n 为整数，0ab ≠）整式、分式、二次根式、因式分解常识必背语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．5．用十字相乘法分解因式利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用（ax ＋b ）（cx ＋d ）乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式（2）对于二次项系数不是1的二次三项式（a ，b ，c 都是整数且a ≠0）来说，如果存在四个整数，使，，且，那么．一个式子是分式需满足的三个条件：q px x ++2))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++c bx ax ++22121,,,c c a a a a a =⋅21c c c =⋅21b c a c a =+1221c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=易错易混2．约分（1）分式约分时，要注意不注意符号导致的错误．（2）要注意约分不彻底导致的错误．（3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，再约分．（4）约分的结果是整式或最简分式．（5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变．3．分解因式要彻底．方法必知1．同类项（1）几个项是不是同类项，一看所含字母是否完全相同．二看相同字母的指数是否相同．“二同”缺一不可．（2）同类项与单项式的系数无关，与字母顺序无关，几个常数项也是同类项．（3）同类项不一定是两项，也可以是三项，四项……但至少为两项．2．合并同类项（1）合并同类项时，注意合并的只是系数，字母部分不变，不要漏掉．（2）合并同类项时，注意各项系数的符号，尤其系数为负数时，不要遗漏负号，同时不要丢项．（3）如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项的结果为0．3．整式的加减的最后结果的要求：（1）不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；（2）一般按照某一字母的降幂或升幂排列；（3）不能出现带分数，带分数必须要化为假分数．4．整式的化简求值（1）化简求值题一般先按整式的运算法则进行化简，然后再代入求值．（2）在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来，作为底数的分数也应用括号括起来5．约分时需要注意的问题：（1）如果分子、分母中至少有一个是多顶式，就应先分解因式，然后找出分子、分母的公因式，再约分．（2）注意发现分式的分子和分母的一些隐含的公因式，如a﹣5与5﹣a表面虽不相同，但通过提取“﹣”可发现含有公因式（a﹣5）．（3）当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面．通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化而出错．6．分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．7．因式分解（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．8．提公因式法（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．9．十字相乘法这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数之积；（3）一次项系数是常数项的两个因数之和．◇以◇练◇带◇学1．（鞍山）下列运算正确的是( )A ．222(4)8ab a b =B ．22423a a a +=C ．642a a a ÷=D ．222()a b a b +=+2．（攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（邵阳）下列计算正确的是( )A ．623a a a =B ．235()a a =C ．22()()a ba ba b a b +=+++D ．01()13-=4．（内蒙古）下列运算正确的是( )A+=B ．236()a a -=C ．11223a a a+=D ．21133b ab a b÷=5．（成都）若23320ab b --=，则代数式2222(1)ab b a ba a b---÷的值为．6．x 的取值范围是．7．（扬州）分解因式：24xy x -= ．8．（内蒙古）分解因式：34x x -= ．9．（盐城）先化简，再求值：2(3)(3)(3)a b a b a b +++-，其中2a =，1b =-．10．（滨州）先化简，再求值：22421()244a a a a a a a a -+-÷---+，其中a 满足211(6cos6004a a --⋅+︒=．1．（官渡区校级模拟）按一定规律排列的式子：a ，32a ，54a ，78a ，916a ，⋯，则第2024个式子为( )A ．202320252a B ．20244047(21)a -C ．202340472a D ．202440492a 2．（济南一模）下列运算正确的是( )A ．22a b ab+=B ．2222a b a b a b-=C ．238()a a =D ．84222a a a ÷=3．（金山区二模）单项式22a b -的系数和次数分别是( )A ．2-和2B ．2-和3C ．2和2D ．2和34．（龙岗区模拟）下列计算正确的是( )A ．236a a a ⋅=B ．2323a a a +=C ．2234(3)218ab ab a b -⋅=-D ．326(2)3ab ab b ÷-=-5．（中山市校级一模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( )A ．2()a a b a ab+=+B ．23()3a ab a a b +-=+-C ．22282(4)ab a a b -=-D ．228(2)(4)a a a a --=+-6．（钱塘区一模）下列因式分解正确的是( )A ．241(41)(41)a a a -=+-B ．225(5)(5)a a a -+=+-C ．22269(3)a ab b a b --=-D ．22816(8)a a a -+=-7．（新乡一模）化简2422a a a ---的结果是( )A ．2a +B ．2a -C ．12a +D ．12a -8．（东莞市校级模拟）分式23x x --的值为0时，x 的值是( )A ．0x =B ．2x =C ．3x =D ．2x =或3x =9．（碑林区校级一模）先化简，再求值：2[(2)(2)(2)](4)a b b a b a a --+-÷，其中12a =，2b =．10．（龙湖区校级一模）先化简，再求值：2344(111x x x x -+-÷++，其中3x =．1．按一定规律排列的单项式：3x ，54x -，79x ，916x -，⋯，第n 个单项式是( )A ．1221(1)n n n x ---B ．1221(1)n n n x ++-C ．1221(1)(1)n n n x ---+D ．1221(1)(1)n n n x ++-+2．下列运算正确的是( )A ．22(4)16x x -=-B ．325x y xy +=C ．432x x x ÷=D ．2224()xy x y =3．下列语句正确的是( )A ．5-不是单项式B ．a 可以表示负数C ．25a b -的系数是5，次数是2D ．221a ab ++是四次三项式4．下列因式分解正确的一项是( )A ．222()x y x y +=+B ．24(2)(2)x x x -=+-C ．2221(1)x x x --=-D ．242(2)xy x xy x +=+5．要使分式11x x -+有意义，则x 应满足的条件是( )A ．1x ≠-B ．1x ≠C ．1x <-D ．1x >-6．下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )AB C D7．计算：0|1tan 60|(2024-︒+．8．先化简，再求值：2344(111x x x x -+-÷++，其中3x =．9．先化简，再求值：2(2)(4)a a a -++，其中a =．10．先化简，再求值：(2)(2)4()a b a b a a b -+--，其中2a =-，1b =．1．【答案】C【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A 、222(4)16ab a b =，故A 不符合题意；B 、22223a a a +=，故B 不符合题意；C 、642a a a ÷=，故C 符合题意；D 、222()2a b a ab b +=++，故D 不符合题意；故选：C ．2．【答案】D【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．【解答】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，故选：D ．3．【答案】D【分析】分别根据分式的加减法则、幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂的运算法则对各选项进行逐一计算即可．【解答】解：A 、633a a a=，原计算错误，不符合题意；B 、236()a a =，原计算错误，不符合题意；C 、221()()a b a b a b a b+=+++，原计算错误，不符合题意；D 、01()13-=，正确，符合题意．故选：D ．4．【答案】D【分析】根据二次根式的加法、幂的乘法与积的乘方以及分式的运算的计算方法解题即可．【解答】解：A +=≠B ．2366()a a a -=-≠，故该选项不正确，不符合题意；C ．11123222223a a a a a a+=+=≠，故该选项不正确，不符合题意；21131.333b a D ab a ab b b ÷=⨯=，故该选项正确，符合题意；故选：D ．5．【答案】23．【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：2222(1ab b a b a a b---÷2222(2)a ab b a b a a b--=⋅-222()a b a b a a b-=⋅-()b a b =-2ab b =-，23320ab b --= ，2332ab b ∴-=，223ab b ∴-=，∴原式23=．故答案为：23．6．【答案】3x >．【分析】根据记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：30x ->，解得：3x >，故答案为：3x >．7．【分析】原式提取x ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式2(4)(2)(2)x y x y y =-=+-，故答案为：(2)(2)x y y +-8．【分析】应先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：34x x -，2(4)x x =-，(2)(2)x x x =+-．故答案为：(2)(2)x x x +-．9．【分析】依据题意，利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a ，b 的值代入计算即可求解．【解答】解：2(3)(3)(3)a b a b a b +++-2222699a ab b a b =+++-226a ab =+．当2a =，1b =-时，原式22262(1)=⨯+⨯⨯-812=-4=-．10．【答案】244a a -+，1．【分析】将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，结合负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值化简，整体代入得出答案．【解答】解：原式2421[(2)(2)a a a a a a a -+-=÷---224(2)(2)(1)[](2)(2)a a a a a a a a a a -+--=÷---22244(2)a a a a a a a ---+=÷-24(2)4a a a a a --=⋅-2(2)a =-244a a =-+， 211()6cos6004a a --⋅+︒=，2430a a ∴-+=，243a a ∴-=-，∴原式341=-+=．1．【答案】C【分析】由题目可得式子的一般性规律：第n 个式子为：1212n n a --⋅，当2024n =时，第2024个式子为：202340472a ⋅，即可得出答案．【解答】解：式子的系数为1，2，4，8，16，，则第n 个式子的系数为：12n -；式子的指数为1，3，5，7，9，，则第n 个式子的指数为：21n -，∴第n 个式子为：1212n n a --⋅，当2024n =时，第2024个式子为：202340472a ⋅，故选：C ．2．【答案】B【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方法则、单项式除以单项式法则分别判断即可．【解答】解：A 、2a 与b 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B 、2222a b a b a b -=，故此选项符合题意；C 、236()a a =，故此选项不符合题意；D 、84422a a a ÷=，故此选项不符合题意；故选：B．3．【答案】B【分析】数字与字母的积叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；由此计算即可．【解答】解：单项式22a b -的系数和次数分别是2-和3，故选：B ．4．【答案】D【分析】根据整式相关运算法则逐项判断即可．【解答】解：235a a a ⋅=，故A 错误，不符合题意；a 与22a 不能合并，故B 错误，不符合题意；2234(3)218ab ab a b -⋅=，故C 错误，不符合题意；326(2)3ab ab b ÷-=-，故D 正确，符合题意；故选：D ．5．【答案】D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A ．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B ．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C ．22282(4)2(2)(2)ab a a b a b b -=-=+-，分解不彻底，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D ．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．故选：D ．6．【答案】B【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐个判断即可．【解答】解：A ．241(21)(21)a a a -=+-，故本选项不符合题意；B ．225(5)(5)a a a -+=+-，故本选项符合题意；C ．22269(3)a ab b a b -+=-，故本选项不符合题意；D ．22816(4)a a a -+=-，故本选项不符合题意；故选：B ．7．【答案】A【分析】根据分式的加减法运算法则计算即可．【解答】解：2244(2)(2)22222a a a a a a a a a --+-===+----，故选：A ．8．【分析】分式的值为零时：分子等于零且分母不为零．据此求得x 的值．【解答】解：依题意得：20x -=，解得2x =．经检验当2x =时，分母30x -≠，符合题意．故选：B ．9．【答案】2a b -，1-．【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据多项式除以单项式的法则进行计算，最后把12a =，2b =代入计算即可．【解答】解：原式2222[44(4)](4)a ab b b a a =-+--÷2222(444)(4)a ab b b a a =-+-+÷2(84)(4)a ab a =-÷2a b =-，当12a =，2b =时，原式12212=⨯-=-．10．【答案】12x -，1．【分析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．【解答】解：原式213(2)()111x x x x x +-=-÷+++2211(2)x x x x -+=⋅+-12x =-，当3x =时，原式1132==-．1．【答案】B【分析】根据单项式的数字系数的符号，数字系数和指数的变化规律即可得出结果．【解答】解：在上述单项式中，可以发现：奇数项的数字系数的符号为正，偶数项的数字系数的符号为负，∴可得：第n 个单项式的数字系数的符号为：1(1)n --或1(1)n +-，单项式的数字系数为：1，4，9，16，，∴第n 个单项式的数字系数为：2n ，单项式的指数为：3，5，7，9，，∴第n 个单项式的指数为：21n +，∴第n 个单项式是1221(1)n n n x ++-，故选：B ．2．【答案】D【分析】根据整式的运算法则逐项分析判断即可．【解答】解：A 、22(4)816x x x -=-+，原计算错误，不符合题意；B 、3x 与2y 不是同类项，不能合并，故原计算错误，不符合题意；C 、43x x x ÷=，原计算错误不符合题意；D 、2224()xy x y =，正确，符合题意；故选：D ．3．【答案】B【分析】根据单项式的定义可判断A ，根据字母表示数的意义可判断B ，根据单项式系数和次数的定义可判断C ，根据多项式的项和次数的定义可判断D ，进而可得答案．【解答】解：A 、5-是单项式，故本选项错误，不符合题意；B 、a可以表示负数，故本选项正确，符合题意；C 、25a b -的系数是5-，次数是3，故本选项错误，不符合题意；D 、221a ab ++是二次三项式，故本选项错误，不符合题意；故选：B ．4．【答案】B【分析】根据因式分解的定义进行判断即可．【解答】解：A 、222()x y x y +≠+不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；B 、24(2)(2)x x x -=+-符合因式分解的定义，且因式分解正确，故本选项符合题意；C 、2221(1)x x x --≠-，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；D 、242(2)xy x x y +=+，原因式分解错误，故本选项不符合题意；故选：B ．5．【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【解答】解：由题意，得10x +≠，解得1x ≠-，故选：A ．6．【分析】直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．【解答】解：A =，不是最简二次根式，故此选项错误；B ，是最简二次根式，故此选项正确；C 2=，不是最简二次根式，故此选项错误；D =故选：B ．7．．【分析】根据二次根式的混合运算法则和零指数幂与特殊的三角函数值等知识点计算即可．【解答】解：原式11=---+11=-+=．8．【答案】12x -，1．【分析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．【解答】解：原式213(2)()111x x x x x +-=-÷+++2211(2)x x x x -+=⋅+-12x =-，当3x =时，原式1132==-．9．【答案】224a +，原式8=．【分析】先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把a 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：2(2)(4)a a a -++22444a a a a=-+++224a =+，当a =224224448=⨯+=⨯+=+=．10．【答案】24ab b -，原式9=-．【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把a ，b 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：(2)(2)4()a b a b a a b -+--222444a b a ab=--+24ab b =-，当2a =-，1b =时，原式24(2)11819=⨯-⨯-=--=-．。

专题03 分式与二次根式综合过关检测(原卷版)

专题03 分式与二次根式综合过关检测（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、单选题(每小题2分，共24分)A ．32x -=-B ．()3212x x --=-C ．()3212x x --=D ．632x x --=-8．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一封信件用慢马送到1000里外的城市，需要的时间比规定时间多2天；若用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍．小明认为规定的时间为7天，小亮认为规定的时间为8天，关于两个人的观点，下列说法正确的是（） A ．小明的观点正确B ．小亮的观点正确C ．两人的观点都不正确D ．无法确定9．某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计10．马站四季柚名扬天下，2023年第一季度某农户生产红心柚质量是白心柚的2倍，其中红心柚销售收入18000元，白心柚销售收入7800元，白心柚比红心柚价格每斤少3元.设白心柚价格x元/斤，则下列方程正11．某中学为使初三学生在中考体育测试中取得优异的成绩，在4月初安排全校体育教师对初三全体学生进行了一次模拟检测，在这一次检测中，甲组教师完成300个学生检测，乙组教师完成270个学生检测；已知甲组教师比乙组教师平均每分钟多检测4个学生，所用时间比乙组教师少用30分钟，求本次检测中甲、12．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽” ．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为x二、填空题（每小题3分，共36）三、解答题（每题9分，共27分）26．学校组织学生到距离为15千米的公园参加露营活动，一部分同学骑自行车先走，40分钟后，其余同学乘坐大巴前往，结果他们同时到达．如果大巴的平均速度是自行车平均速度的3倍，那么自行车的平均速度是多少？27．在国庆节期间，学校举行了诗歌朗诵等系列活动，嘉嘉和淇淇负责为班级参赛学生购置纪念品．他们发现，一个笔记本比一支钢笔贵3元，用225元购买的笔记本数量与用180元购买的钢笔数量相同．(1)笔记本和钢笔的单价各多少元？(2)若给参赛的30名学生每人发放一个笔记本或一支钢笔作为活动纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过380元，最多可以购买多少个笔记本？++2018。

人教版八年级数学下册专题01 二次根式的有关概念和性质题型归纳 (解析版)

专题01 二次根式的有关概念和性质【思维导图】◎考点题型1 求二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =时, ）A ．4B ．2CD ．0【答案】B 【解析】【分析】把0x = 【详解】解：把0x =2= 故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质,能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．变式1．（2020·山东定陶·八年级期末）当 x ＝－3 时, ）A ．3B ．－3C ．±3D 【答案】A【分析】把x ＝－3代入二次根式进行化简即可求解. 【详解】解：当x ＝－3时3=. 故选A. 【点睛】本题考查了二次根式的计算,正确理解算术平方根的意义是关键. 变式2．（2020·北京·一模）如果31a ,那么代数式21(1)11aa a +÷--的值为（）A ．3BCD 2【答案】B 【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式,再把a 的值代入化简后的式子计算即可．【详解】解：原式=()()111a a a a a ÷--+=()()1111a a a a a a-+⨯=+-；当31a时,原式11+=故选：B ．【点睛】本题考查了分式的化简求值,属于常考题型,熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．变式3．（2020·湖北鄂城· ）A B ．2 C ．22 D ．2±【答案】B 【解析】【分析】根据乘方和开方的运算法则进行计算即可．【详解】2=故答案为：B ．本题考查了开方和乘方的运算问题,掌握乘方和开方的运算法则是解题的关键．◎考点题型2 求二次根式中的参数例．（山东阳谷·,则正整数n的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】【分析】,=则6n是完全平方数,满足条件的最小正整数n为6．【详解】解：24n=,∴,即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义,关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件,二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答变式1．（全国·,最小的正整数n是（）A．6B．3C．4D．2【答案】B【解析】【分析】根据题意,算数平方根是正整数,可得被开方数是能开方的正整数．【详解】是正整数,所以n 的最小正整数是3,故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义,利用开方运算是解答本题的关键．变式2．（2020·四川三台·,则正整数n 的最小值是（） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】B 【解析】【分析】,然后再判断n 的最小正整数值．【详解】=,,则也是整数； ∴n 的最小正整数值是3；故选B ．【点睛】变式3．（2020·江西南丰·20b -=,则2019()a b +的值是（）． A ．1 B ．－1C ．2019D ．－2019【答案】B 【解析】【分析】利用非负数的性质列出方程组,求出方程组的解得到a 与b 的值,代入原式计算即可求出值．【详解】20b -=,∴3020a b +=⎧⎨-=⎩, ∴32a b =-⎧⎨=⎩, ∴20192019()(32)1a b +=-+=-, 故选择：B. 【点睛】此题考查了非负数的性质及二元一次方程组,熟练掌握几个非负数的和为零,则每一个非负数都为零是解本题的关键．◎考点题型3 二次根式有意义的条件例．（2022·河北·在实数范围内有意义,则x 的值可能为（） A ．0 B ．﹣2 C ．﹣1 D ．1【答案】D 【解析】【分析】,可列不等式组10,10x x 得到不等式组的解集,再逐一分析各选项即可. 【详解】解： , 1010x x ①②由①得：1,x ≥ 由②得：1,x ≠- 所以：1,x ≥故A,B,C 不符合题意,D 符合题意, 故选D 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件,二次根式有意义的条件,掌握“分式与二次根式的综合形式的代数式有意义的条件”是解本题的关键.变式1．（2022·湖南岳阳·,则实数x 的取值范围是（） A ．1x ≥- B ．0x ≠C ．1≥xD ．0x >【答案】C 【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答．解：由题意得10x -≥, 解得1≥x , 故选：C ．【点睛】此题考查了二次根式的非负数,解题的关键是熟练掌握二次根式的双重非负性列式进行解答．变式2．（2022·福建惠安·有意义,则x 的取值范围为（） A ．1x ≥- B ．1x >- C ．1≥x D ．1x ≤【答案】A 【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件分析即可．【详解】, ∴10x +≥ 解得1x ≥- 故选A 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,理解被开方数为非负数是解题的关键．变式3中x 的取值范围是（） A ．x ＞2 B ．x ≥﹣2C ．x ≠2D ．x ≥﹣2且x ≠2【答案】D 【解析】【分析】根据二次根式及分式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：20x +≥且20x -≠,解得：2x ≥-且2x ≠；故选D ．本题主要考查二次根式及分式有意义的条件,熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．◎考点题型4 利用二次根式的性质化简例．（2022·贵州松桃·八年级期末）下列各式中正确的是（）A 2=-B 2=±C ．22= D ．(22=-【答案】C 【解析】【分析】根据二次根式的性质即可依次判断．【详解】A. 2,故错误；B. 2=,故错误；C.22=,正确；D. (22=,故错误；故选C ．【点睛】此题主要考查二次根式的计算,解题的关键是熟知二次根式的性质．变式1．（2022·江苏·2x =-成立,则x 的取值范围是（） A ．2x ≤ B ．2x ≥C ．02x ≤≤D ．任意实数【答案】A 【解析】【分析】根据实数的性质及去绝对值的方法即可求解．【详解】22x x =-=-∴x -2≤0故选A ．【点睛】此题主要考查实数的性质,解题的关键是熟知平方根的性质及去绝对值的方法．变式2．（上海奉贤·七年级期末）下列计算错误的是（）A 2=-B 2C 2D ．2(2=【答案】A 【解析】【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则化简,进而判断即可．【详解】解：A 2,故此选项计算错误,符合题意；B 2=,故此选项计算正确,不合题意；C 2=,故此选项计算正确,不合题意；D ．2(2=,故此选项计算正确,不合题意；故选：A ．【点睛】此题考查了二次根式的性质及二次根式的乘法运算法则,熟记乘法法则是解题的关键．变式3．（2022·2的结果是（） A ．61x -- B ．1-C ．61x +D ．1【答案】D 【解析】【分析】x 的取值范围,,利用二次根式的性质去根号,然后合并同类项即可．【详解】0x ≥∴31=+x故原式化简为：3131x x +-=．故选：D ．【点睛】本题主要是考查了去二次根号以及二次根式的基本性质,熟练掌握二次根式的性质,求解该题的关键．◎考点题型5 复合二次根式的化简例．（浙江滨江·八年级期中）对式子,使根号外不含字母m ,正确的结果是（）A B ．C ．D 【答案】C 【解析】【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：由题意可得：30m -≥,∴0m ≤∴=故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确掌握二次根式的性质是解题关键．变式1．（河南原阳· ）AB C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】根据二次根式成立的条件确定x 的取值,从而利用二次根式的性质进行化简．【详解】解：由题意可得：x ＜0∴(11x x x⋅=⋅-故选：D ．【点睛】本题考查二次根式的化简,理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．变式2．（湖北鄂州·八年级期末）把(2-x) 2-x ）适当变形后移入根号内,得（）AB C ． D ．【答案】D 【解析】【分析】由题意易得x>2,然后根据二次根式的性质可进行求解．【详解】解：由题意得： 102x >-,解得：x>2,∴(2x -= 故选D ．【点睛】本题主要考查二次根式的性质,熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．变式3．（2018·全国·2得（） A ．2 B ．﹣4x+4C ．xD ．5x ﹣2【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的性质求解可得答案. 【详解】解:1-3x≥0,x≤13,∴2x-1≤1-3＜0,∴原式-(1-3x)=1-2x-1+3x=x, 故选C. 【点睛】主要考查了根据二次根式的意义及化简.:当a ＞0时=a;当a<0时,=-a.二次根式2=a,(a≥0).。

《分式与二次根式》专题复习

分式与二次根式一、选择题：1、分式－12x 2 , 5x-14(m-n) ,2n-m的最简公分母为( ) (A) 4(m －n)(n －m)x 2 (B)14x 2(m-n)(C)4x 2(m －n)2 (D)4(m －n)x 2 2、下列各式的变号中,正确的是(A)x-y y-x = － y-x x-y ( B)x-y y-x 2 =y-x y-x 2 (C)-x-1-y+1 =x-1y+1 (D)-x-y y-x ＝－ x+y y-x3、若x >y>0,则x+1y+1 － y x的结果是( ) (A) 0 (B)正数 (C) 负数 (D) 以上情况都有可能4、下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)45、(x －2)2 ＋(2－x )2的值一定是（）（A ）0 （B ）4－2x （C ）2x －4 （D ）4 6、计算3m 2m 963m m 2-÷--+的结果为（）（A ）3m 3m +- （B ）1 （C ）3m 3m -+ （D ）3m 3m + 7、计算)a 1(1a)a 1(-÷-的结果为（）（A ）a －1 （B ）－a －1 （C ）1－a （D ）a+18、适合a 33)(a 2-=-的正整整a 的值有（）个.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49、化简aa 4)2a a a 2a (2-⋅+---的结果是（）（A ）－4 （B ）4 （C ）2a （D ）2a+410、如果a 满足014a a 2=++,那么22a 1a +的值是( ) （A ）154 （B ）14 （C ）174 （D ）4 二、填空题:11、当x=-------------------时，分式|x|-3x 2+4x+12的值为零？ 12、（5827·113 ·354 ）=------------------- 13、18 ＋22－1 －412 －2( 2 ＋1)0=-------------------15、已知962+-a a 与|b －1|互为相反数，则b)(a )abba (+÷-的值是----------------- 16、若|a|=3且|a+2|=－a －2，则a24a )2a a 2a a (-÷++-的值是------------------ 17、化简a2------------------ 18、观察下列一组单项式：0、2x 3、3x 6、4x 32、……，则第10个单项式为-----------------三、解答题：19、化简求值：x 1x )1x 2x 1x x (2-÷---，其中21x =20、先化简代数式1a a )12a a 11a 1a (2-÷+-+-+，然后选取一个使原式有意义的a 值代入求值.21、先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+---÷--1x 12x 1x 1x 2x x 22，其中21x -=22、有一道题：“先化简，再求值：22361()399x x x x x -+÷+--，其中“x=．小亮同学做题时把“x= ，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?23、先化简，再求值:22a b ab b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭，其中3tan 301a =+，45b =．。

分式与二次根式知识点归纳和考点题型

三、分式与二次根式知识点归纳和考点题型一、知识点归纳 ★分式部分1．分式B A 有意义⇔分母_______；分式BA无意义⇔分母_______；⎩⎨⎧=⇔_____0分母分子分式值为． 2．基本概念：（1）分式的约分：把一个分式的分子与分母的_____约去，叫做分式的约分．步骤：①把分式的分子与分母分解因式；②约去分子与分母的公因式．（2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫最简分式．（3）通分：把n 个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 3．分式的基本性质：MB B A ⋅=)(，)(M A B A ÷=（M 是不等于零的整式）． 4．分式的运算：（1）加减法：a a c ab )(=±；acac ac c d a b )()()(=±=±．（2）乘除法：bc c d b a )(=⋅；bdd c b a c d b a )(=⋅=÷．（3）乘方：)()(为正整数n b b a nn=⎪⎭⎫⎝⎛．（4）符号法则：BAB A B A B A --=--=--=．注意：分式运算的结果必须化简为最简分式． ★数的开方与二次根式1．开方：求方根的运算叫开方，乘方与开方互为逆运算．x a x ⇒=2叫a（1）概念：①二次根式：式子a （a _______0）叫二次根式．②最简二次根式：满足①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数式因式． ③同类二次根式：化为_________二此根式后被开方数________的二此根式。

④分母有理化：把_____中的根号化去叫做分母有理化． ⑤有理化分式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式．注：常见的有理化因式有b a +与________，d c b a +与________，a 与___．（2）性质： ①())0(2≥=a a a ；②⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ； ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ；④)0,0(>≥=b a ba b a （3）运算：①二次根式的加减先化简（化为最简二次根式），后合并（同类二次根式）． ②二次根式的乘除乘法：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a多项式的乘法公式适用于二次根式的乘法。

第三讲--分式与二次根式

说明：运算结果必须为最简根式
x2 ±2 时,分式 x 2 4 无意义例1 (1)当x=____ x2 7 x 8 8 (2)如果分式的值为0,则x=_____
x 1
x≤3,且x≠-4 时,分式 (3)当x=___________
义
3－x x 4
有意
例2 (1)下列二次根式中,最简二次根式是 ( B )
2、能使代数式 a 2 的值是一个实数的a值有______ 1 个 3、下列运算：（1） 9 =±3，（2）3+ 2=3 2
2
（3）（ 5 ）² =5 （4） 5 =5 中正确的是：（ _______ 4） 12 4、若y= x 3 3 x +4 ，则xy=___
例5 已知 a=
1 2 3
2 2 1 2 a a a 2a 1 的值求 a 1 a2 a
例6、汽车从A地开往B地，每小时行驶 v1km，t小时可以到达，如果每小时多行 v2km，那么可以提前a小时到达。（1）已知t, v1，v2，求a
（2）已知a, t，v2，求v1
例7、判断下列各式是否成立？
2 2 2 2 3 3
请用含有m的式子表示以上规律：
m m m 2 m m 1 m2 1
3 3 3 3 8 8
4 4 4 4 15 15
（ m为大于1的自然数）请证明之。
5 5 5 =5 24 24
课堂练习： 1、3的平方根为_______ ± 3
第三讲分式与二次根式
式子叫做分式，其中A、B 1、分式的定义：都是整式，且B中含有字母。 2、 B=0 时，分式
A 时，分式的值为0 B
A 无意义 B

分式方程和二次根式试题和答案

分式方程和二次根式专项讲解一．知识框架二．知识概念1、分式：形如BA，A 、B 是整式，B 中含有未知数且B 不等于0的整式叫做分式。

其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.二次根式：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。

当a ＞0时，√a 表示a 的算数平方根,其中√0=0 2、分式有意义的条件：分母不等于03、分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A/B=A*C/B*C A/B=A÷C/B÷C （A,B,C 为整式，且C≠0） 5、最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.6、分式的四则运算：①同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：cba cbc a ±=± ②异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：bdbcad d c b a ±=± ③分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：bdacd c b a =* ④分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.bc ad d c b a =÷(2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数: cd b a d c b a *=÷ 7、理解并掌握下列结论：（1）()0≥a a 是非负数；（2）()()02≥=a a a ；（3）()02≥=a a a ；三、知识讲解【例1】（2009年黔东南州）当x_____时，11+x 有意义．（1-≠x ）★直通中考：1、（2009年漳州）若分式12x -无意义，则实数x 的值是 x=2 ． 2、（2009年天津市）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 x=2 ．3、（2010安徽芜湖）要使式子a ＋2a有意义，a 的取值范围是（ B ） A ．a ≠0 B ．a ＞－2且a ≠0 C ．a ＞－2或a ≠0 D ．a ≥－2且a ≠0 4、已知有意义，则在平面直角坐标系中，点P （m ，n ）位于第 __四__ 象限．【例2】(2009年成都)分式方程2131x x =+的解是 x=2 ★直通中考：1、(2009年潍坊)方程3123x x =+的解是．（x=9） 2、(2009宁夏)解分式方程：1233x x x +=--．（37=x ）【例3】（2009 年佛山市）化简：2211xyx y x y x y⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭ （y 2）★直通中考：1、（2009年湖南长沙）分式111(1)a a a +++的计算结果是（ C ） A ．11a + B ．1a a +C ．1aD ．1a a+ 2、（2009年佳木斯）计算21111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭= （1+a a） 3、(2009年成都)化简：22221369x y x y x y x xy y +--÷--+＝_______ （yx y -2） 4、（2010广东广州）若a ＜1，化简2(1)1a --＝（ D ）A ．a ﹣2B ．2﹣aC ．aD ．﹣a5、已知2＜x ＜5，化简2(2)x -+2(5)x -＝________.（3）【例4】(2009年内江市)已知25350x x --=，则22152525x x x x ----＝__________．（528） ★直通中考：1、（2009烟台市）设0a b >>，2260a b ab +-=，则a bb a+-的值等于．（2） 2、（2009年枣庄市）已知a 、b 为实数，且ab =1，设P =11a b a b +++，Q =1111a b +++，则P = Q （填“＞”、“＜”或“＝”）．3、(2011·呼和浩特)若x 2－3x ＋1＝0，则x 2x 4＋x 2＋1的值为________．（81）4、(2011·乐山)若m 为正实数，且m －1m ＝3，则m 2－1m2＝________.（53）5、（2010四川广安）若|2|20x y y -++=，则xy 的值为（ A ） A ．8 B ． 2 C ．5 D ．6-6、已知522+-+-=x x y ，则x y =________．（52）【例5】(2009年河北)已知a = 2，1-=b ，求2221a b a ab --+÷1a的值．解：化简后1++b a ，代入可得2112=+-★直通中考：1、（2009年莆田）先化简，再求值：2244242x x x x x x +++÷---，其中1x =．解：化简后x -，代入可得-12、（2009年衡阳市）先化简，再求值：212)14(-÷-+-a a a a a ，其中31=a ．解：化简后13-a ，代入可得01313=-⨯3、(2011年中考)已知x 是一元二次方程0132=-+x x 的实数根，求代数式⎪⎭⎫ ⎝⎛--+÷--2526332x x x x x 的值．解：化简后)3(31+x x ，因为0132=-+x x 可化为1)3(=+x x ，故原式可得314、（2009湖北省荆门市）已知x =2＋3，y =2-3，计算代数式2211()()x y x y x y x y x y+----+的值．解：化简后xy 4-，代入可得()()34-32324-=-+5、如图，点A 的坐标为（﹣，0），点B 在直线y=x 上运动，当线段AB 最短时点B 的坐为（ A ）A ．（﹣，﹣）B ．（﹣，﹣）C ．（，）D ．（0，0）6、如图所示，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为__4_______．【例6】(2009年安顺)下表为抄录北京奥运会官方票务网公布的三种球类比赛的部分门票价格，某公司购买的门票种类、数量绘制的统计图表如下：依据上列图表，回答下列问题：（1）其中观看足球比赛的门票有_50__张；观看乒乓球比赛的门票占全部门票的_20_％；（2）公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给100名员工，在看不到门票的条件下，每人抽取一张（假设所有的门票形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），问员工小华抽到男篮门票的概率是；（103）（3）若购买乒乓球门票的总款数占全部门票总款数的61，求每张乒乓球门票的价格。

初中数学分式与二次根式公式定理_公式总结

初中数学分式与二次根式公式定理_公式总结
第六章分式与二次根式
1 分式与分式方程
11 指数的扩充
12 分式和分式的基本性质
设f,g是一元或多元多项式,g的次数高于零次,则称f,g之比f/g为分式
分式的基本性质分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数,分数的值不变
13 分式的约分和通分
分式的约分是将分子与分母的公因式约去,使分式化简
如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式,且各系数没有大于1的公约数,则此分式成为既约分式既约分式也就是最简分式
对于分母不相同的几个分式,将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式,使各分式的分母相同,而各分式的值保持不变,这种运算叫做通分
14 分式的运算
15 分式方程
方程的两遍都是有理式,这样的方程成为有理方程如果有理方程中含有分式,则称为分式方程2 二次根式
21 根式
在实数范围内,如果n个x相乘等于a,n是大于1的整数,则称x为a的n次方根
含有数字与变元的加,减,乘,除,乘方,开方运算,并一定含有变元开方运算的算式成为无理式22 最简二次根式与同类根式
具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:(1)被开方式的每一个因式的指数都小于开方次数(2)根号内不含有分母
如果几个二次根式化成最简根式以后,被开方式相同,那么这几个二次根式叫做同类根式
23 二次根式的运算
24 无理方程
根号里含有未知数的方程叫做无理方程。

初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析)

初二二次根式所有知识点总结和常考题知识点：1、二次根式：形如)0(≥a a 的式子。

①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。

②非负性2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。

3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

3、二次根式有关公式（1）)0()(2≥=a a a （2）a a =2（3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab（4）除法公式)0,0( b a ba b a ≥= 4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。

常考题：一．选择题（共14小题）1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（） A ．B ．C ．D ．2．式子有意义的x 的取值范围是（）A ．x ≥﹣且x ≠1B ．x ≠1C ．D ．3．下列计算错误的是（）A ．B ．C ．D ．4．估计的运算结果应在（）A ．6到7之间B ．7到8之间C ．8到9之间D ．9到10之间5．如果=1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥6．若=（x+y）2，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．78．化简的结果是（）A．B．C．D．9．k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n10．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定11．把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．12．已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．313．若式子有意义，则点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5二．填空题（共13小题）15．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= ．16．计算：的结果是．17．化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ．18．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．19．定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= ．20．化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．21．计算：﹣﹣= ．22．三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为cm．23．如果最简二次根式与能合并，那么a= ．24．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是．（结果保留根号）25．实数p在数轴上的位置如图所示，化简= ．26．计算：= ．27．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．三．解答题（共13小题）28．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2）参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．29．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．30．先化简，再求值：，其中．31．先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．32．先化简，再求值：，其中．33．已知a=，求的值．34．对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=；乙的解答：+=+=+a﹣=a=．请你判断谁的答案是错误的，为什么？35．一个三角形的三边长分别为、、（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．36．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．37．已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．38．计算或化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．39．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．40．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ =（+ ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2005•岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C． D．【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．【解答】解：因为：B、=4；C、=；D、=2；所以这三项都不是最简二次根式．故选A．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．2．（2013•娄底）式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C．D．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣且x≠1．故选A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．（2007•荆州）下列计算错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．【解答】解：A、==7，正确；B、==2，正确；C、+=3+5=8，正确；D、，故错误．故选D．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．4．（2008•芜湖）估计的运算结果应在（）A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．【解答】解：∵=4+，而4＜＜5，∴原式运算的结果在8到9之间；故选C．【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．5．（2011•烟台）如果=1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥【分析】由已知得1﹣2a≥0，从而得出a的取值范围即可．【解答】解：∵，∴1﹣2a≥0，解得a≤．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．6．（2009•荆门）若=（x+y）2，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可求出x、y的值，再代入代数式即可．【解答】解：∵=（x+y）2有意义，∴x﹣1≥0且1﹣x≥0，∴x=1，y=﹣1，∴x﹣y=1﹣（﹣1）=2．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．（2012秋•麻城市校级期末）是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】本题可将24拆成4×6，先把化简为2，所以只要乘以6得出62即可得出整数，由此可得出n的值．【解答】解：∵==2，∴当n=6时，=6，∴原式=2=12，∴n的最小值为6．故选：C．【点评】本题考查的是二次根式的性质．本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案．8．（2013•佛山）化简的结果是（）A．B．C．D．【分析】分子、分母同时乘以（+1）即可．【解答】解：原式===2+．故选：D．【点评】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．9．（2013•台湾）k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n【分析】根据二次根式的化简公式得到k，m及n的值，即可作出判断．【解答】解：=3，=15，=6，可得：k=3，m=2，n=5，则m＜k＜n．故选：D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．10．（2011•菏泽）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定【分析】先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围，然后求出（a﹣4）和（a﹣11）的取值范围，再开方化简．【解答】解：从实数a在数轴上的位置可得，5＜a＜10，所以a﹣4＞0，a﹣11＜0，则，=a﹣4+11﹣a，=7．故选A．【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．11．（2013秋•五莲县期末）把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．【解答】解：∵成立，∴﹣＞0，即m＜0，原式=﹣=﹣．故选：D．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为0．12．（2009•绵阳）已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．3【分析】如果实数n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是1，则等于1，从而得出结果．【解答】解：当等于最小的正整数1时，n取最大值，则n=11．故选B．【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时，n取最大值．13．（2005•辽宁）若式子有意义，则点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为0，对a、b的取值范围进行判断．【解答】解：要使这个式子有意义，必须有﹣a≥0，ab＞0，∴a＜0，b＜0，∴点（a，b）在第三象限．故选C．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，以及各象限内点的坐标的符号．14．（2013•上城区一模）已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5【分析】原式变形为，由已知易得m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，然后整体代入计算即可．【解答】解：m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，原式====3．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．二．填空题（共13小题）15．（2004•山西）实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= 1 ．【分析】根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出a﹣1与0，a﹣2与0的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简．【解答】解：根据数轴上显示的数据可知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，∴|a﹣1|+=a﹣1+2﹣a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了数轴，绝对值的意义和根据二次根式的意义化简．二次根式的化简规律总结：当a≥0时，=a；当a≤0时，=﹣a．16．（2013•南京）计算：的结果是．【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．17．（2013•泰安）化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ﹣6 ．【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可．【解答】解：（﹣）﹣﹣|﹣3|=﹣3﹣2﹣（3﹣），=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题主要考查了二次根式的化简与混合运算，正确化简二次根式是解题关键．18．（2006•广安）如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= 5 ．【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴3a﹣8=17﹣2a，解得：a=5．【点评】此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义．19．（2007•芜湖）定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= 6 ．【分析】认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．【解答】解：∵x@y=，∴（2@6）@8=@8=4@8==6，故答案为：6．【点评】解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．20．（2014•荆州）化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算得到原式=2﹣，然后合并即可．【解答】解：原式=2×﹣4××1=2﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．21．（2014•广元）计算：﹣﹣= ﹣2 ．【分析】分别进行分母有理化、二次根式的化简，然后合并求解．【解答】解：==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次根式的加减法，本题涉及了分母有理化、二次根式的化简等运算，属于基础题．22．（2013•宜城市模拟）三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为5cm．【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为++，化简合并同类二次根式．【解答】解：这个三角形的周长为++=2+2+3=5+2（cm）．故答案为：5+2（cm）．【点评】本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题．23．（2012秋•浏阳市校级期中）如果最简二次根式与能合并，那么a= 1 ．【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．【解答】解：根据题意得，1+a=4a﹣2，移项合并，得3a=3，系数化为1，得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．24．（2006•宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是2﹣2 ．（结果保留根号）【分析】根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为+、，所以矩形的面积是为（+）•=2+6，即可求得矩形内阴影部分的面积．【解答】解：矩形内阴影部分的面积是（+）•﹣2﹣6=2+6﹣2﹣6=2﹣2．【点评】本题要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系，是解决问题的关键．25．（2003•河南）实数p在数轴上的位置如图所示，化简=1 ．【分析】根据数轴确定p的取值范围，再利用二次根式的性质化简．【解答】解：由数轴可得，1＜p＜2，∴p﹣1＞0，p﹣2＜0，∴=p﹣1+2﹣p=1．【点评】此题从数轴读取p的取值范围是关键．26．（2009•泸州）计算：= 2 ．【分析】运用二次根式的性质：=|a|，由于2＞，故=2﹣．【解答】解：原式=2﹣+=2．【点评】合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．27．（2011•凉山州）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5 ．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用﹣a表示．再分别代入amn+bn2=1进行计算．【解答】解：因为2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以2a+b=3﹣0.5=2.5．故答案为：2.5．【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．三．解答题（共13小题）28．（2009•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2）参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．【分析】（1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．【解答】解：（1）=，=；（2）原式=+…+=++…+=．【点评】学会分母有理化的两种方法．29．（2014•张家界）计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2，然后合并即可．【解答】解：原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2=﹣7+3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．30．（2009•广州）先化简，再求值：，其中．【分析】本题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值．【解答】解：原式=a2﹣3﹣a2+6a=6a﹣3，当a=时，原式=6+3﹣3=6．【点评】本题主要考查整式的运算、平方差公式等基本知识，考查基本的代数计算能力．注意先化简，再代入求值．31．（2005•沈阳）先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．【解答】解：原式===；当x=1+，y=1﹣时，原式=．【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．32．（2010•莱芜）先化简，再求值：，其中．【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．本题注意x﹣2看作一个整体．【解答】解：原式====﹣（x+4），当时，原式===．【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．33．（2008•余姚市校级自主招生）已知a=，求的值．【分析】先化简，再代入求值即可．【解答】解：∵a=，∴a=2﹣＜1，∴原式=﹣=a﹣1﹣=a﹣1+=2﹣﹣1+2+=4﹣1=3．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．34．（2002•辽宁）对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=；乙的解答：+=+=+a﹣=a=．请你判断谁的答案是错误的，为什么？【分析】因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，故错误的是乙．【解答】解：甲的解答：a=时，﹣a=5﹣=4＞0，所以=﹣a，正确；乙的解答：因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，错误；因此，我们可以判断乙的解答是错误的．【点评】应熟练掌握二次根式的性质：=﹣a（a≤0）．35．（2011•上城区二模）一个三角形的三边长分别为、、（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．【分析】把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：（1）周长=++==，（2）当x=20时，周长=，（或当x=时，周长=等）【点评】对于第（2）答案不唯一，但要注意必须符合题意．36．（2005•台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．【分析】（1）代入计算即可；（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算．【解答】解：（1）s=，=；p=（5+7+8）=10，又s=；（2）=（﹣）=，=（c+a﹣b）（c﹣a+b）（a+b+c）（a+b﹣c），=（2p﹣2a）（2p﹣2b）•2p•（2p﹣2c），=p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），∴=．（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）【点评】考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力．37．（2009秋•金口河区期末）已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．【分析】观察，显然，要求的代数式可以变成x，y的差与积的形式，从而简便计算．【解答】解：∵，，∴xy=×2=，x﹣y=∴原式=（x﹣y）2+xy=5+=．【点评】此类题注意变成字母的和、差或积的形式，然后整体代值计算．38．（2010秋•灌云县校级期末）计算或化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．【分析】（1）先化简，再运用分配律计算；（2）先化简，再根据乘除法的法则计算．【解答】解：（1）原式==6﹣12﹣6=6﹣18；（2）原式=﹣×=﹣3a2b2×=﹣a2b．【点评】熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．39．（2013秋•故城县期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【解答】解：根据，可得m=13，n=42，∵6+7=13，6×7=42，∴==．【点评】解题关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式．40．（2013•黔西南州）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= m2+3n2，b= 2mn ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 =（ 1+ 1 ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．【解答】解：（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．。

人教版八年级下册数学《二次根式的混合运算》二次根式说课教学复习课件

）
随堂练习
3．已知＝ − ，则代数式(＋ ) ＋＋＋的值是（C
．
A．
4．已知＝

－
，＝
．＋

＋
． −
，则＋＋＝_______．

）
随堂练习
5．计算:
（1） (1＋ )(2－ )；
解： (1＋ )(2－ )
问卷调查，统计如下表所示：
颜色
学生人数
黄色绿色白色紫色红色
100
180
220
80
750
学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是( C )
A. 平均数
C. 众数
B. 中位数
D. 方差
课堂检测
基础巩固题
2.学习了《数据的分析》后，某同学对学习小组内甲、乙、丙、
丁四名同学的数学月考成绩进行了统计，发现他们的平均成绩
这些平均数受这个人的影响，而中位数是210件，众数
是210件，因此我们认为以210件为规定量比较科学.
巩固练习
1.甲、乙两位同学在几次数学测验中，各自的平均分都
是88分，甲的方差为0.61，乙的方差为0.72，则（ A
A、甲的成绩比乙的成绩稳定
B、乙的成绩比甲的成绩稳定
C、甲、乙两人的成绩一样好
D、甲、乙两人的成绩无法比较
＝( )²＋2× ×1＋1²
＝5－2
＝3＋2 ＋1
＝3．
＝4＋2 ．
典例精析
例3
计算下列各式：

（1）
；
−

解：
−
+
＝
( −)( +)
+

复习初中数学揭秘二次根式与分式的计算方法

复习初中数学揭秘二次根式与分式的计算方法复习初中数学揭秘二次根式与分式的计算方法初中数学是我们基础教育中不可或缺的一门学科，而在初中数学中，二次根式与分式是常见的数学概念和计算方法。

了解和掌握二次根式与分式的计算方法对于正确理解和解决数学问题至关重要。

本文将揭秘二次根式与分式的计算方法，帮助大家复习初中数学知识。

一、二次根式的计算方法二次根式是一个数学表达式，其中包含有平方根的形式。

要计算二次根式，需要掌握以下几个基本方法。

1. 二次根式的化简当二次根式中含有分式、复数时，我们需要进行化简，以方便进行计算。

化简的方法主要有：（1）利用平方根的性质将二次根式中的分式转化为有理数，例如：$\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$。

（2）将二次根式中的复数部分分离出来，例如：$\sqrt{-4}=\sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} = 2i$，其中$i$为虚数单位。

2. 二次根式的加减法二次根式的加减法需要满足根号内的数值和分母相同的情况下，才能进行计算。

例如：$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。

3. 二次根式的乘法二次根式的乘法可以通过将根号内的数相乘，然后合并同类项得到最简形式。

例如：$\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}=\sqrt{15}$。

4. 二次根式的除法二次根式的除法可以通过将根号内数的比值相除，然后将分子和分母进行化简。

例如：$\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$。

二、分式的计算方法分式是由分子和分母组成的有理数。

在初中数学中，分式的计算方法主要包括四则运算和简化。

1. 分式的加减法分式的加减法需要满足分母相同的情况下，才能进行计算。

例如：$\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{4}{2}=2$。

2. 分式的乘法分式的乘法可以通过将两个分式的分子和分母分别相乘，然后再将结果化简。

专题03 分式与二次根式(题型归纳)(解析版)

专题03 分式与二次根式1．（2021·浙江·温州市第二中学三模）使分式34x x --有意义的字母x 的取值范围是（） A ．x ≠0 B ．x ≠3 C ．x ≠4 D ．x ≠3且x ≠4【答案】C【分析】根据分式有意义的条件即可作出判断．【详解】解：根据题意得x ﹣4≠0，则x ≠4．故选：C ．2．（2022·甘肃定西·模拟预测）函数32y x=-中，自变量x 的取值范围是（） A ．2x ≠- B ．2x ≠C ．0x ≠D ．2x <【答案】B【分析】根据分母不能为0求解即可．【详解】解：∵分母不能等于0 ∴20x -≠题型一分式有意义、无意义的条件题型演练题型归纳∴2x ≠ 故选B ．3．（2022·江苏淮安·一模）若分式2xx +有意义，则x 的取值范围是（） A ．0x ≠ B ．2x ≠- C ．2x >- D ．2x ≥-【答案】B【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0即可得到．【详解】要分式2xx +有意义，则20x +≠，解得：2x ≠-．故选：B4．（2022·贵州遵义·模拟预测）函数1x y +=x 的取值范围是（） A ．1x ≠- B ．2x ≠C ．1x ≥或2x ≠D ．1x ≥-且2x ≠【答案】D【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．【详解】根据题意，得：10x +≥，20x -≠，解得1x ≥-且2x ≠，故选：D ．5．（2022·浙江·三模）若要使得分式211x -有意义，则x 的取值范围为_______．【答案】x ≠±1【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【详解】解：由题意可知：|x 2-1|≠0， ∴x 2-1≠0， ∴x ≠±1，故答案为：x ≠±1．6．（2022·江苏·南通市海门区东洲国际学校模拟预测）当x ＝_____时，分式225x x -+无意义．【答案】52-【分析】根据分式无意义的条件：分母为零，列出方程，解方程得到答案．【详解】解：由题意得，2x ＋5＝0，25,x ∴=-5,2x ∴=-故答案为：5.2-7．（2022·江苏南京·二模）下列代数式的值总不为0的是（） A ．2x + B ．22x - C ．12x + D ．()22x +【答案】C【分析】根据题目给出的整式和分式，列举x 的值即可判断．【详解】解：A ．当x =-2时，x +2=0，故本选项不合题意； B ．当x =±2时，x 2-2=0，故本选项不合题意； C ．在分式12x +中，因为x +2≠0，所以分式12x +≠0，故本选项符合题意； D ．当x =-2时，（x +2）2=0，故本选项不合题意；故选：C ．8．（2022·贵州毕节·一模）关于分式254x x x a--+，有下列说法，错误的有（）个：（1）当x 取1时，这个分式有意义，则a ≠3；（2）当x ＝5时，分式的值一定为零；（3）若这个分式的值为零，则a ≠﹣5；（4）当x 取任何值时，这个分式一定有意义，则二次函数y ＝x 2﹣4x +a 与x 轴没有交点． A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可．【详解】解：（1）当x 取1时，24143x x a a a -+=-+=-，要使分式有意义即30a -≠，解得3a ≠，故说法正确；（2）当5x =时，2425205x x a a a -+=-+=+，若5a =-，则分式无意义，故说法错误；（3）由题意得25040x x x a -=⎧⎨-+≠⎩，解得55x a =⎧⎨≠-⎩，故说法正确；（4）当x 取任何值时，分式一定有意义，即240x x a -+≠，则y ＝x 2﹣4x +a 与x 轴没有交点，题型二分式的值为零的条件故说法正确；综上所述：错误的说法有1个，故选：B．9．（2022·浙江温州·一模）若分式23xx--的值为0，则x的值为（）A．3-B．2-C．0 D．2【答案】D【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．【详解】解：∵分式23xx--的值为0∴x﹣2＝0，x﹣3≠0，∴x＝2，故选：D．10．（2021·浙江温州·三模）分式31xx+-的值为0，则x的值是（）A．﹣3 B．0 C．1 D．3【答案】A【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【详解】解：∵分式31xx+-的值为0，∴x+3＝0且x﹣1≠0，解得：x＝﹣3，故选：A．11．（2022·浙江丽水·一模）若分式12xx+-的值为0，则x=_____．【答案】-1【分析】若分式12xx+-的值为0，则1x+为0而20x-≠即可．【详解】解：{1020x x+=-≠解得1x=-故填：-112．（2022·江苏盐城·二模）当x为_______时，分式245xx+-的值为0．【答案】2-【分析】根据分式值为0的条件，可知分子为0，分母不为0，即可求解．【详解】解：∵分式245x x +-的值为0， ∴240,50x x +=-≠，解得2x =-．故答案为：2-．13．（2022·四川·眉山市东坡区苏洵初级中学模拟预测）下列各式x 、2x 、1x 、22x +、2x +中，值一定是正数的有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可．【详解】解：x 不一定是正数；2x 是非负数，不一定是正数； 1x一定是正数； 22x +一定是正数；2x +是非负数，不一定是正数；所以值一定是正数的有2个．故选：B14．（2021·浙江温州·三模）若a b＝12，则a b b +的值是（）A ．3B ．23C ．32D ．2【答案】C【分析】根据a b ＝12得2b a =，将2b a =代入a b b +中即可得出答案．【详解】解：∵a b＝12，∴2b a =，将2b a =代入a bb+中，得2322a a a +=，故选：C ．题型三分式的求值15．（2022·江苏宿迁·三模）已知两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=，则b aa b+等于（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．【详解】解：∵22=b a b a a b ab++，∴()2222==a b ab b a b a a b ab ab+-++， ∵两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=，∴()22-2===-2a b ab b a ab a b ab ab +-+，故选：A ．16．（2021·安徽安庆·一模）已知2x y=，则+-x yx y 的值为（）A ．﹣3B ．3C ．13D ．13-【答案】B【分析】直接利用已知得出x ＝2y ，进而代入计算得出答案．【详解】解：∵2xy=， ∴x ＝2y ，∴232x y y yx y y y ++==--．故选：B ．17．（2022·江苏镇江·二模）已知：a 与b 互为相反数，且12a b -=，则21a ab b a ab -+=++______．【答案】116【分析】利用a 与b 互为相反数，12a b -=，求解10,,16a b ab 再整体代入求值即可．【详解】解： a 与b 互为相反数，0,a b ∴+=,b a12a b -= 12,2a1,4a当1,4a = 则1,4b当1,4a =- 则1,4b1,16ab∴()21.1116a ab b ab ab a ab a a b -+-==-=++++ 故答案为：11618．（2022·黑龙江大庆·二模）已知非零实数x ，y 满足1xy x =+，则2x xy y xy --=__________．【答案】-1【分析】将条件式整理可得xy x y =-，代入代数式即可求解．【详解】解：∵1xy x =+， ∴xy x y =-， ∴2x xy y xy --=21xy xy xyxy xy--==-，故答案为：1-.19．若分式2231xx -+的值是负数，则x 的取值范围是（） A ．x ＞32B ．x ＞23C ．x ＜32D ．x ＜23【答案】B【分析】根据题意列出不等式即可求出x 的取值范围．【详解】解：由题意可知：2﹣3x ＜0，且x 2+1＞0恒成立， ∴x ＞23，故选：B ． 20．下列关于分式2x x+的说法，错误的是( ) A ．当x>-2时，分式的值一定为负数 B ．当x=0时，分式没有意义 C ．当x<-2时，分式的值一定为正数题型四分式的值为正或负时未知数的取值范围D ．当x=-2时，分式的值为0 【答案】A【分析】根据“分式的分子分母同号时，分式的值为正数，当分式的分子分母异号时，分式的值为负数”判断A ，C 选项；根据“分式的分母为0时，分式没有意义”判断B 选项；根据“当分式的分母不为0，且分子为0时，分式的值为0”判断D 选项．【详解】解：A 项：当x=1时，分式的值为正数，故此选项错误，符合题意； B 项：当x=0时，分式没有意义，正确，故此选项不合题意； C 项：当x<-2时，分式的值一定为正数，正确，故此选项不合题意； D 项：当x=-2时，分式的值为0，正确，故此选项不合题意．故选A ． 21．已知分式24x x +的值是正数，那么x 的取值范围是（） A ．x ＞0 B ．x ＞-4 C ．x ≠0 D ．x ＞-4且x ≠0【答案】D 【分析】若24x x +的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x ＋4＞0，且x≠0，因而能求出x 的取值范围．【详解】解：∵24x x +＞0， ∴x ＋4＞0，x≠0， ∴x ＞−4且x≠0．故选：D ． 22．若分式2213x x -+的值为正数，则x 需满足的条件是（） A ．x 为任意实数 B ．12x ＜C ．12x ＞D ．12x ＞-【答案】C【分析】因为分母不可能是负数，所以分子的值是正数就可以了，据此可得解. 【详解】∵230x +＞， ∴分式2213x x -+的值为正数时，210x -＞，解得：12x ＞.故选：C. 23．若分式32xx -的值为正数，x 的取值范围是__．【答案】23x >或0x <；【分析】根据分式的值为正数可列不等式组，解不等式组可求解x 的取值范围．【详解】由题：∵ 分式32xx -的值为正数， ∴0320x x >⎧⎨->⎩或0320x x <⎧⎨-<⎩ 解得：23x >或0x <；故填：23x >或0x <． 24．若分式22xx +的值为正，则实数x 的取值范围是__________________. 【答案】x ＞0【分析】分式值为正，则分子与分母同号，据此进行讨论即可得. 【详解】∵分式2xx 2+的值为正， ∴x 与x 2+2的符号同号， ∵x 2+2>0， ∴x>0，故答案为x>0.25．（2022·河北·一模）如果要使分式23aa b-的值保持不变，那么分式应（） A ．a 扩大2倍，b 扩大3倍 B ．a ，b 同时扩大3倍 C ．a 扩大2倍，b 缩小3倍 D ．a 缩小2倍，b 缩小3倍【答案】B【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出答案即可．【详解】A. a 扩大2倍，b 扩大3倍, 2242233293a a aa b a b a b⨯=≠-⨯--，故该选项不正确，不符合题意；B. a ，b 同时扩大3倍，2362333393a a aa b a b a b⨯==-⨯--，故该选项正确，符合题意；C. a 扩大2倍，b 缩小3倍，2242123233a a aa b a b a b ⨯=≠---⨯，故该选项不正确，不符合题意；题型五分式的基本性质D. a 缩小2倍，b 缩小3倍1222123233aa a ab a b a b⨯=≠---⨯，故该选项不正确，不符合题意；故选B26．（2022·山东临沂·二模）下列运算正确的是（） A 623= B ．33a ab b-=- C ．221a a -=D ．（a ﹣12）2＝a 2﹣a -14【答案】C【分析】利用二次根式除法运算、分式的约分、负整数指数幂的性质、完全平方公式计算即可．【详解】解：A 623，故选项A 错误； B 、33a b --不能约分化简，故选项B 错误； C 、221a a -=，计算正确，符合题意； D 、（a ﹣12）2＝a 2﹣a +14，故选项D 错误，故选C ．27．（2022·湖南永州·二模）如果分式xyx y+中的x ，y 都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（） A ．不变B ．缩小为原来的12 C ．扩大为原来的2倍 D ．不确定【答案】C【分析】直接利用分式的基本性质化简得出答案．【详解】解：把分式xyx y+中的x 和y 都扩大为原来的2倍，则原式可变为：2222x y x y⋅+＝2×xyx y +，故分式的值扩大为原来的2倍．故选：C ．28．（2022·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式0.020.50.004x yx y++中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（）A ．2050010004x yx y++B ．205001004x yx y++C ．25010004x yx y++D ．254x yx y++ 【答案】A【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解．【详解】解：0.020.50.004x yx y++()()10000.020.510000.004x y x y ⨯+⨯+＝ 2050010004x yx y++＝，故选：A.29．（2022·湖北襄阳·一模）已知114y x-=，则分式2322x xy y x xy y +---的值为______．【答案】112【分析】先根据题意得出x-y=4xy ，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．【详解】∵114y x-=， ∴x-y=4xy ， ∴原式=2()383112422x y xy xy xy x y xy xy xy -++==---，故答案为：112． 30．（2020·宁夏·银川市第九中学二模）若0234x y z==≠，则x y z 2y +-=_______．【答案】16【分析】首先设恒等式等于某一常数，然后得到x 、y 、z 与这一常数的关系式，将各关系式代入求职【详解】解：x2=y3=z4=k （k≠0)，则2,3,4x k y k z k ===2341=22366+-+-==⨯x y z k k k k y k k 31．（2020·河北·模拟预测）下列分式中，属于最简分式的是（） A ．42xB ．211x x -- C ．221xx + D ．11xx -- 题型六最简分式【答案】C【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【详解】解：A 、原式2x=，不是最简分式，故本选项不符合题意； B 、原式11x =+，不是最简分式，故本选项不符合题意； C 、该式子是最简分式，故本选项符合题意； D 、原式1=-，不是最简分式，故本选项不符合题意；故选：C ．32．（2022·四川绵阳·二模）下列分式属于最简分式的是（） A ．265xy xB ．x y y x--C ．22x y x y ++D ．2293x y x y-+【答案】C【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．【详解】A 、265xy x =65yx，不符合题意； B 、原式=-1，不符合题意； C 、符合题意；D 、2293x y x y-+=x -3y ，不符合题意；故选：C ．33．（2021·江西·一模）下列运算正确的是（） A 235B ．33xy xy -= C ．22a b a b a b+=++ D ．()3263a b a b =【答案】D【分析】根据同类二次根式的定义、合并同类项法则、分式的运算和积的乘方逐一判断即可．【详解】解：23 B.32xy xy xy -=，故本选项错误；C.22a b a b a b+≠++，故本选项错误； D.()3263a b a b =，故本选项正确．故选D ．34．（2022·广东·九年级专题练习）分式22a b a b ++，22a ba b +-，312x y ，2a b a b++中，最简分式有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据最简分式的定义，即分子与分母没有公因式的分式是最简分式，即可求解．【详解】解：()()221a b a b a b a b a b a b ++==-+--，不是最简分式，3124x xy y=，不是最简分式， 22a b a b ++，2a b a b++是最简分式，有2个．故选：B35．（2022·江苏连云港·九年级期末）已知23a b =，则a a b +的值为 _____．【答案】25【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可．【详解】解：设23a bk ==， ∴2a k =，3b k =， ∴a ab +=2222355k k k k k ==+，故答案为：25．36．在分式22222223,,,,332+-++-+-+--b a b m n x xy a b ca ab m n xc a b中，最简分式有______．【答案】2222a b a b +- 【分析】根据最简分式的意义对每项进行检验判断．【详解】解：由33333(1)b ba a =++=1ba+，得到此分式不是最简分式；由22()()m n m n m n m n m n -+-=++=m ﹣n ，得到此分式不是最简分式；由2()22x xy x x y x x ++==2x y+，得到此分式不是最简分式；由()a b c a b cc a b a b c +-+-=---+-=﹣1，得到此分式不是最简分式；而2222a b a b +-分子分母没有公因式，是最简分式．故答案为：2222a b a b +- ． 37．（2022·广西梧州·二模）下列计算正确的是（） A ．5a －3a ＝2 B ．3624233a b a b ab = C ．()222a b a b +=+ D ．256323-÷⨯=【答案】B【分析】根据合并同类项，分式的约分，完全平方公式，有理数的混合运算逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 5a －3a ＝2a ，故该选项不正确，不符合题意；B. 3624233a b a b ab=，故该选项正确，符合题意； C. ()2222a b a b ab +=++，故该选项不正确，不符合题意；D. 235635635272232-÷⨯=-⨯⨯=-=-，故该选项不正确，不符合题意；故选B38．（2022·山西吕梁·一模）解分式方程3732124x x x-=+-时，去分母这一步方程两边不能同时乘以（） A ．()()2124x x +- B ．()()22121x x +- C ．()()22121x x -+- D ．22(21)x -【答案】D【分析】利用解分式方程中的去分母求解即可．【详解】解：将3732124x x x-=+-转化成()37321221x x x -=+--， ∴A.()()2124x x +-，能同时乘以，故不符合题意； B.()()22121x x +-，能同时乘以，故不符合题意； C.()()22121x x -+-，能同时乘以，故不符合题意； D.22(21)x -，不能同时乘以，符合题意；故选：D ．题型七约分与通分39．（2022·云南昆明·模拟预测）若20m n =≠，则222m n mn m --的值为______．【答案】32-【分析】分式约分后，把m =2n 代入即可．【详解】222()()23()22m n m n m n m n n n mn m m m n m n -+-++==-=-=----，故答案为：32-．40．（2022·上海·位育中学模拟预测）化简：2132x x x -=-+________．【答案】12x - 【分析】对分母进行因式分解后约分即可．【详解】解：2132x x x --+()()112x x x -=--12x =-．故答案为：12x -． 41．（2021·内蒙古呼和浩特·二模）分式2211,1a a a-++的最简公分母是________，22111a a a+-++ =__________【答案】 ()()11a a a +-()()111a a a +-【分析】先把两个分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可. 【详解】解：∵()()211111a a a =-+-+，()2111a a a a =++ ∴()()()()21111111a a a a a a a ==-+-+-+，()()21111aa a a a a -=++- ∴211a -+，21a a+的最简公分母为：()()11a a a +- ∴()()()()2221111111111a a a a a a a a a a a a a +-+===-++++-+- 故答案为：()()11a a a +-，()()111a a a +- 42．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）分式22m m n -和3nm n-的最简公分母为_____．【答案】2（m ﹣n ）【分析】利用最简公分母的定义求解，分式22m m n -和3nm n-的分母分别是2（m ﹣n ）、（m﹣n ），故最简公分母是2（m ﹣n ）即是本题答案．【详解】解：∵分式22m m n -和3nm n-的分母分别是2（m ﹣n ）、（m ﹣n ）．∴它们的最简公分母是2（m ﹣n ）．故答案为：2（m ﹣n ）．43．（2022·辽宁沈阳·二模）化简：()224xx x ⋅+=-（） A ．2x x- B ．x C ．2x x - D ．2x -【答案】C【分析】先把分母因式分解，再计算，即可求解．【详解】解：()224xx x ⋅+- ()()()222xx x x =⋅++-2x x =- 故选：C44．（2022·山东滨州·二模）下列运算正确的是（） A ．()333a b a b +=+ B ．()21303xy xy y y÷=≠ C 382-= D ．3a －4a ＝－a【答案】D【分析】根据多项式乘多项式的法则、单项式除单项式、立方根、合并同类项的法则分别进行计算，即可得出答案．【详解】解：A 、应为（a +b ）3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，故本选项错误；B 、应为()22313303xy xy y xy y y⋅÷==≠，故本选项错误； C 382--，故本选项错误；D 、3a －4a ＝－a ，正确，故本选项符合题意；故选：D ．45．（2022·山东· 模拟预测）计算225x xy y xy y x-⋅-的结果是（）题型八分式的乘除法A ．31y B ．31y -C ．41y D ．41y -【答案】B【分析】根据分式的运算法则化简即可求解．【详解】解：225x xy y xy y x -⋅- 25()x x y y xy y x-=⋅-31y =-．故选：B ．46．（2022·湖北武汉·二模）计算：221688164x x x x -÷=+++_____．【答案】48x - 【分析】把被除式的分子分母分别因式分解，然后除变乘颠倒除式的分子分母进行约分，即可得到答案．【详解】解：22168816+4x x x x -÷++ =2(4)(4)(4)48x x x x +-⋅++=48x - 故答案为：48x -． 47．（2022·山西晋中·二模）计算：()2222aa aba ba b +÷=--______．【答案】1a b- 【分析】根据分式的运算法则计算．【详解】解：原式=()()()()2a ab aa b a b a b +÷+--=()2a ab a a b -⨯-=1a b- 故答案为1a b-．48．（2022·甘肃陇南·模拟预测）计算：21211x x x +÷--＝________．【答案】12【分析】先将除法转化为乘法运算，再结合平方差公式分解因式，约分化简即可解答．【详解】解：21211x x x +÷--21=(()11)1x x x x +⨯-+-12=．49．（2022·广东·珠海市文园中学三模）化简111x x x --+的结果是（） A ．1 B ．1x + C ．1x -D ．2211x x +-【答案】D【分析】首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简形式．【详解】解：111x x x --+()()()()()()1111111x x x x x x x +⨯-=-+-+-()()()()1111x x x x x +--=+-()()2111x x x x x +-+=+-2211x x +=-．故选：D ．50．（2022·贵州贵阳·三模）计算222m m m ---的结果是（） A ．2 B ．－2C ．1D ．－1【答案】C【分析】根据分式减法运算法则进行运算，化简即可．【详解】解：221222m m m m m --==---，故选：C ．51．（2021·湖南·长沙市华益中学三模）计算222164a a a ---的结果是 _____．【答案】2816a -【分析】利用异分母分式的加减法法则计算．【详解】原式()()22444a a a a =-+--()()()()()2424444a aa a a a +=-+-+-题型九分式的加减法222816a a a --=-2816a =-，故答案为：2816a -．52．（2022·湖南怀化·模拟预测）计算52x x ++﹣32x +＝_____．【答案】1【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可．【详解】解：52x x ++﹣32x +=532122x x x x +-+==++ 故答案为：1．53．（2022·陕西·交大附中分校模拟预测）化简：（113m +-）÷2269m m m --+ 【答案】3m -【分析】利用通分，约分，因式分解等方法化简即可．【详解】（113m +-）÷2269m m m --+ =（22(3)32m m m m --⨯-- =3m -．54．（2022·安徽·模拟预测）先化简，再求值：22321242a a a a a-+++---，其中1a =-．【答案】2aa -+，1 【分析】原式先通分并利用同分母分式的加法法则计算，再约分即可得到结果，再将字母的值代入求解即可．【详解】原式2(2)32(1)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)a a a a a a a a a a +-++=+--+-+-+()2243232(2)(2)a a a a a a ++--++=-+(2)(2)(2)a a a a -=--+2aa =-+．当1a =-时，原式1112-=-=-+55．（2022·上海普陀·二模）先化简，再求值：223112-⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭a a a a，其中3a = 【答案】2aa+，33 【分析】根据分式的加减乘除法则进行化简，然后代入数值计算即可．【详解】解：原式1(1)2(1)(1)-+=⨯++-a a a a a a 2=+aa当3a =323=+233=．56．（2022·甘肃嘉峪关·三模）先化简，再求值：2222222a b a b a ab b b a a ab ⎛⎫-+÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a ，b 130a b +=．【答案】3,a b 【分析】先利用非负数的性质求得a ，b 的值，然后代入化简后的代数式求值即可．【详解】∵a ，b 130a b +=． ∴a ＋1＝0，b 30，解得a ＝﹣1，b 32222222a b a b a ab b b a a ab ⎛⎫-+÷ ⎪-+--⎝⎭()()()22()a a b a a b a b a b b b a ⎡⎤-=-⋅⎢⎥--⎣+-⎦()2a a b a a b b ba ab -⎡⎤=-⋅⎢⎥--⎣⎦+ ()2a ab a b bb -=⋅-ab = 当a ＝﹣1，b 3 ∴原式33a b === 57．（2022·广东·东莞市光明中学一模）下列实数中等于2的是（） A ．02 B 4C 2D ．1(2)--【答案】B【分析】根据零指数幂的运算法则，算术平方根的定义，负整数指数幂的运算法则解答即可．【详解】解：A 、021=，故此选项不符合题意； B 42=，故此选项符合题意； C 22≠，故此选项不符合题意；题型十零指数幂与负整数指数幂D 、11(2)2--=-，故此选项不符合题意．故选：B ．58．（2022·上海杨浦·二模）下列各式中，运算结果是分数的是（） A ．sin30︒ B ．02π⎛⎫⎪⎝⎭C ．112-⎛⎫ ⎪⎝⎭D 34【答案】A【分析】分别计算出各选项的值，然后再判断即可．【详解】解：A. sin30︒=12，是分数，故该选项符合题意；B. 02π⎛⎫⎪⎝⎭=1，是整数，故该选项不符合题意；C. 112-⎛⎫ ⎪⎝⎭=2，是整数，故该选项不符合题意；D.343 59．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）下列计算正确的是（） A ．2a a a += B ．23a a a ⋅=C ．()426a a =D ．312a a a -÷=【答案】B【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、负整数指数幂、幂的乘方法则逐项判断即可得．【详解】解：A 、2a a a +=，则此项错误，不符题意； B 、23a a a ⋅=，则此项正确，符合题意； C 、()428=a a ，则此项错误，不符题意；D 、313(1)4a a a a ---÷==，则此项错误，不符题意；故选：B ．60．（2021·重庆市綦江区赶水中学三模）101()(1)3π---=______．【答案】2【分析】根据负整数指数幂和零指数幂即可得出答案．【详解】解：原式31=-2=．故答案为：2．61．（2022·重庆·模拟预测）计算011(22)()3-+-=________ ．【答案】－2【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的计算法则计算即可．【详解】)11221323-⎛⎫+-=-=- ⎪⎝⎭，故答案为：-2．62．（2022·湖南娄底·2a +有意义，则a 的取值范围是（） A ．a ≠0 B ．a ＞﹣2且 a ≠0 C ．a ＞﹣2或 a ≠0 D ．a ≥﹣2且 a ≠0【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【详解】解：由题意得，a +2≥0，a ≠0，解得，a ≥﹣2且 a ≠0，故选：D ．63．（2022·浙江杭州·2x -x 的取值范围是（） A ．2x > B ．2x ≥ C ．2x < D ．2x ≤【答案】B【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．【详解】解：根据题意，得 20x -≥，解得2x ≥．故选：B ．64．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数2y x =-x 的取值范围是（） A ．2x -≤ B ．2x ≥-C ．2x ≤D ．2x ≥【答案】D【分析】根据二次根式的被开方数的非负性即可得．【详解】解：由二次根式的被开方数的非负性得：20x -≥，解得2x ≥，故选：D ．65．（2022·安徽合肥·2x -x 的取值范围是___________．【答案】2x ≤a a ≥0）进行解答即可．【详解】解：由题意得：2-x ≥0．题型十一二次根式有意义的条件解得：2x≤，故答案为：x≤2．66．（2022·贵州黔东南·一模）函数y121xx--中自变量x的取值范围是_____．【答案】x≤2且x≠1【分析】根据二次根式的被开方数的取值大于等于零，以及分式的分母不等于零列式计算可得．【详解】解：由题意得，2﹣x≥0且x﹣1≠0，解得x≤2且x≠1．故答案为：x≤2且x≠1．67．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）下列各式正确的是（）A16±4 B2(3)- 3 C64-8 D．343【答案】B【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减法分别化简计算并判断．【详解】解：A16，故该项不正确；B2(3)-，故该项正确；C64-D、33，故该项不正确；故选：B．68．（2022·广东·()23-）A．3 B．﹣3 C．±3 D．9【答案】A2a a直接求解即可．()2333-=-=，故选：A ．69．（2022·湖南怀化·模拟预测）下列计算正确的是（）A．（2a2）3＝6a6B．a8÷a2＝a4C2(2)- 2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2【答案】C【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、完全平方公式求解即可；题型十二利用二次根式的性质化简【详解】解：A.（2a 2）3=8a 6≠6a 6，故错误； B.a 8÷a 2=a 6≠a 4，故错误； 2(2)-，故正确；D.（x ﹣y ）2=x 2﹣2xy +y 2≠x 2﹣y 2，故错误；故选：C ．70．（2021·四川乐山·8______．【答案】22【分析】根据二次根式的性质化简即可． 8422=⨯= 故答案为：2271．（2022·山西·113=_______．233【分析】现将带分数化为假分数，在进行分母有理化即可得出结果．【详解】解：原式43=233=23372．下列运算正确的是（） A ．()4312x x -= B ．23644x x x --⋅= C 61218 D 50210=【答案】D【分析】直接利用幂的运算，二次根式的加法运算和乘法运算逐一计算即可．【详解】A 、()4312x x --=，故选项A 错误；B 、()23235444x x x x -+----=⋅=，故选项B 错误；C 212366=C 错误；D 50250210010=⨯，故选项D 正确；故选：D ．73．（2022·河南·平顶山市第十六中学模拟预测）下列计算正确的是（）题型十三二次根式的乘除A 236=B ．326236a a a ⋅=C ．235a a a +=D ．3223=【答案】A【分析】由二次根式的乘法、单项式乘以单项式、合并同类项，分别进行判断，即可得到答案【详解】解：A 23236=⨯A 选项符合题意； B 、原式56a =，所以B 选项不符合题意； C 、2a 与3a 不能合并，所以C 选项不符合题意； D 、32222=D 选项不符合题意．故选：D ．74．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）下列等式不成立的是（） A 272733=B 273333=C 272733= D 279333⨯【答案】C【分析】根据二次根式的除法法则和二次根式的性质判断即可．【详解】解：A 272733B 273333= C 27279333=≠，原等式不成立，符合题意；D 279333⨯=，等式成立，不符合题意；故选：C ．75．（2022·广西贺州·二模）下列计算正确的是（） A ．2222B 532C ．233D 933=【答案】C【分析】直接利用二次根式的加、减、乘、除运算逐项计算即可求解．【详解】A 、22A 错误；B 5353B 错误；C 、233D 9393=3=÷D 错误，故选C76．（2022·安徽宿州·模拟预测）计算：212623-⎛⎫⎪⎝⎭_______．【答案】2【分析】先化简各项，再相减即可.【详解】解：2126646422 23-⎛⎫==-=⎪⎝⎭，故答案为：2.77．（2022·山东青岛·453×35___．【答案】1【分析】按照二次根式乘除运算法则和运算顺序进行计算即可．1535＝1315 35⨯＝19 3＝1．故答案为：1．78．（2022·上海虹口·二模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A 12B0.4C6D8【答案】C【分析】先将各选项化简，再根据最简二次根式的概念进行判断即可．【详解】A. 122=，不是最简二次根式，不符合题意；B.10 0.4=C. 6是最简二次根式，符合题意；D. 82=故选：C．79．（2022·上海金山·二模）在下列二次根式中，最简二次根式的是（）A0.1B12C10D27题型十四最简二次根式【答案】C【详解】解：A 10.11010B 123423=⨯=C 10D 273933=⨯= 故答案选C ．80．（2022·湖南·长沙市南雅中学二模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（） A 12B 22a b -C 4a D 3x【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义依次判断即可．【详解】选项A 1223 选项B 22a b - 选项C 42a a ，不是最简二次根式；选项D 33x x=. 故选：B.81．（2022·河南南阳·二模）写出一个实数x ，3x -则x 可以是______．【答案】5（答案不唯一）【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义．【详解】解：5x =3532x --2 ∴x 的值可以是5．故答案为：5．（答案不唯一）82．（2022·湖北襄阳·1a +8a ＝______．【答案】1【分析】根据同类二次根式的定义计算求值即可；【详解】解：82，根据题意得：a +1＝2，解得a ＝1，故答案为：1．83．（2022·上海奉贤·123 ） A ．2 B ．3C 3D ．33【答案】C【分析】根据二次根式的减法法则可进行求解．【详解】解：原式=2333 故选：C ．84．（2022·青海西宁·一模）下列各式中，正确的是（） A 9=3± B ()26- C 37=10D 62=3【答案】D【分析】利用二次根式的性质和加减乘除运算法则依次判断即可．【详解】A 93=，故此选项错误； B ()266-=，故此选项错误；C 37D 623= 故选：D ．85．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）计算32542______．【答案】26-【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解．【详解】解：35426236= 26=-．故答案为：6-86．（2022·江苏南京·二模）计算()(271832的结果是______．【答案】3【分析】根据二次根式的混合运算可直接进行求解．【详解】解：原式=(()3332323323⨯=⨯-=；故答案为3．题型十五二次根式的加减87．（2021·四川泸州·二模）先化简，再求值：（22211x x x +++-）÷1x x -，其中x 31．【答案】331x + 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝2(1)2(1)(1)(1)(1)1x x xx x x x x ⎡⎤-++÷⎢⎥+-+--⎣⎦ ＝2221(1)(1)x x x x x x -++-⋅+-＝31(1)(1)x x x x x-⋅+-＝31x + 当x 31311-+3388．（2022·上海松江·二模）计算：111812221-⎛⎫- ⎪+⎝⎭【答案】24-【分析】先计算乘方，化简二次根式，化简绝对值，再合并同类二次根式即可．【详解】解：原式2322121=--24=89．（2022·安徽·二模）2（） A ．23B ．2C ．3D ．32【答案】D【分析】乘积是1的两数互为倒数，依此即可得出答案．【详解】解：∵2232((12==，∴232，故选：D ．90．（2022·广西河池·三模）下列选项错误．．的是（）题型十六分母有理化A ()222-=± B 33C ．()362328a b a b =D ．34a a a ÷=【答案】A【分析】根据二次根式性质化简即可判定A ；根据分母有理化化简即可判定B ；根据积的乘方和幂的乘方法则计算并判定C ；根据同底数幂相除法则计算并判定D ．【详解】解：A ()2242-=，故此选项符合题意；B 133333⨯==⨯C 、()362328a b a b =，故此选项不符合题意； D 、34a a a ÷=，故此选项不符合题意；故选：A ．91．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）计算233____________．【答案】3-【分析】首先分母有理化，然后再进行减法运算即可．【详解】解：939323232323333333⨯⨯===-⨯故答案为：3-92．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校模拟预测）化简：9233=______．【答案】3-【分析】先分母有理化，然后进行计算即可．【详解】解：933=3333=故答案为：3-93．（2022·浙江宁波·一模）计算： (1)221(5)(3)182-(2)(23)(32)23-【答案】(1)5；(2)33【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则进行化简，再利用有理数的运算法则计算可得出答案；（2）直接利用乘法公式、分母有理化及二次根式的性质进行化简，再合并可得出答案．【详解】（1）解：原式539=+533=+-5=；（2）原式()()2234(3)2323+=--+(2234(3)43+=--2343+=-123=+33=+94．（2021·山东淄博·一模）已知：m 2，n 21223m n mn ++＝（） A ．±3B ．﹣3C ．3D 5【答案】C【分析】先根据题意得出m n -和mn 的值，再把式子化成含m n -与mn 的形式，最后代入求值即可.【详解】由题得：2m n -=、1mn = 22223()525193m n mn m n mn ++-+=+⨯=故选：C. 95．（2021·河南省淮滨县第一中学一模）已知44220,24,180x y x y x y x y >+=+=、.则xy=（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】D 【分析】利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可. 【详解】44()()180x y x y += 配方得22222()()2()()180x y x y x y x y ⎡⎤-+⋅=⎣⎦ 22()()2()()180x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦ 22(22)2()180x y x y +-=22162(2)180xy x xy y +-+= 题型十七二次根式的化简求值22122()180xy x y ++=将2224x y +=代入得：12224180xy +⨯=计算得：11xy =故选：D.96．（2022·广东番禺中学三模）已知x 2＝2x +15，则代数式22(2)(2)x x -=__________．【答案】202122-【分析】直接将原式分解因式，再把x 的值代入进而计算得出答案．【详解】解：22(2)(2)x x +-- ＝(22)(22)x x x x ＝2x ×2＝42x ．∵2215x x +＝，∴22150x x ﹣﹣＝，（x ﹣5）（x +3）＝0，∴x ＝5或x ＝﹣3．当x ＝5时，原式＝25202=当x ＝﹣3时，原式＝42(3)122-=-97．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校一模）设53x -=，则代数式x （x ＋1）（x ＋2）（x ＋3）的值为__________．【答案】-1【分析】根据已知条件得出x ＋1、x ＋2和x ＋3的值，再代入代数式中计算即可得出答案．【详解】解：∵53x -=∴x ＋151-=x ＋251+=x ＋353+= ∴53515153--++ 53535151-+-+=⨯⎝⎭⎝⎭595144--=⨯ 11=-⨯＝−1．故答案为：-1． 98．（2022·四川广元·一模）先化简，再求值：222a ab b a b a b a b ab⎛⎫---÷ ⎪--⎝⎭，其中32a =32b =【答案】ab ；7【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入32a =32b =【详解】解：原式222a ab b a b a b ab-+-=÷- ()2a b ab ab a b a b-=⋅=--．当32a =32b = 原式(3232927==-=．99．（2021·江西赣州·模拟预测）先化简，再求值：a 2﹣b （a ﹣b ）﹣（a ﹣b ）2，其中a ＝﹣23b 32．【答案】ab ，1【分析】先对整式进行化简，然后代值进行求解即可．【详解】解：原式=22222a ab b a ab b ab -+-+-=，把23,32a b =-=代入得：原式=()23321-=． 100．（2021·辽宁锦州·一模）先化简，再求值：21111x x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中323x =．【答案】1x +，322．【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式= x+1，然后把代入计算即可．【详解】原式()()11111x x x x x-+-+=⋅-， ()()111x x x x x-+=⋅-， 1x =+，当323x =时，原式13231322x =+=+=，故化简后得原式1x =+，求得1322x +=．。

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辅导教案
18、已知实数x ，y 满足x 2+y 2－4x －2y+5=0，则32x y
y x +-的值为________
19、计算：（318+
151504)322-÷=
20、如果
，则=_______.
21、若
互为相反数，则_______。

22、将
根号外的a 移到根号内，得 __________
23、在实数范围内分解因式（1）
；（2）
24、
的整数部分是_________，小数部分是________。

25、若
=3，则x 的取值范围是______
26、观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
验证： .
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想
4
4
15
的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.
27、已知，则a_________
28、已知，则a______
29、二次根式、、的大小关系是______
30、当0<x<2时，化简2的结果是__________
31、甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：
甲：==；
乙：=其中（）。

A. 甲、乙都正确
B. 甲、乙都不正确
C. 只有甲正确
D. 只有乙正确
32、已知a、b在数轴上的位置如图所示，－│b－a│的化简结果是______
33、若x≠0，y≠0，则成立的条件是__________
34、已知m是小于10的正整数，且可化为同类二次根式，m可取的值有_______
35、如果xy=
，x －y=5－1，那么（x+1）（x －1）的值为________。

36、若m 为正实数，且13m m -
=，221m m
-则= 37、若a<－2，
的化简结果是________
38、已知x=2+1，求（
22121x x x x x x +---+）÷1x 的值．
39、对于题目“化简求值：1a
+2212a a +-，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同．甲的解答是：1a +2212a a +-=1a +21()a a -=1a +1a －a=2495
a a -= 乙的解答是：
1a +2212a a +-=1a +21()a a -=1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？
40、已知x
=12，x=________
41、化简
=
42、已知三个数x ，y ，z 满足xy x y +＝－2，yz y z +＝43，zx z x +＝－43
．则xyz xy yz zx ++的值为 .。