2017届高考数学(文)一轮复习讲练测：专题7.4 基本不等式及其应用(测).doc
届高考数学一轮复习讲义74基本不等式及其应用PPT课件
等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤a＋2 b2，要弄清它们的作用和 使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 a＋b 的转化
关系．
2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆 用，例如 a2＋b2≥2ab 逆用就是 ab≤a2＋2 b2；a＋2 b≥ ab (a， b>0)逆用就是 ab≤a＋2 b2 (a，b>0)等．还要注意“添、拆项” 技巧和公式等号成立的条件等．
当且仅当xx＋ ＋12＝ y＋22y＋xy＝1，8， 即xy＝＝12， 时等号成立． ∴x＋2y 的最小值是 4. (2)∵a>b>0，∴b(a－b)≤b＋2a－b2＝a42， 当且仅当 a＝2b 时等号成立．
∴a2＋ba1－6 b≥a2＋1a62＝a2＋6a42 4
≥2 a2·6a42＝16，当且仅当 a＝2 2时等号成立．
同理abc＋acb≥2a，acb＋bac≥2b， ∴2bac＋abc＋acb≥2(a＋b＋c)， 即bac＋abc＋acb≥a＋b＋c.
(2)∵a>0，b>0，c>0，∴ab2＋b≥2a，
①
同理bc2＋c≥2b，
②
ca2＋a≥2c，
③
①＋②＋③得ab2＋bc2＋ca2＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，
一轮复习讲义
基本不等式及其应用
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高考理科数学一轮复习《第7章不等式》7.4 基本(均值)不等式及其应用试题
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．【答案】 C2．(2016·河南百校联盟质检)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a ，b (2≤a ≤10)，剪去部分的面积为8，则1b ＋1＋9a ＋9的最大值为( )A ．1 B.1110C.65D ．2【解析】 由题意，2ab ＝8，∴b ＝4a .∵2≤a ≤10，∴1b ＋1＋9a ＋9＝14a ＋1＋9a ＋9＝1＋5a ＋36a＋13≤1＋52a ·36a＋13＝65， 当且仅当a ＝36a ，即a ＝6时，1b ＋1＋9a ＋9取得最大值65.【答案】 C3．(2016·新疆乌鲁木齐第二次诊断)已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A.1315B ．2 C.94D ．3 【解析】 由题意知，x ＋2＞0，y ＋1＞0， (x ＋2)＋(y ＋1)＝4， 则4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4（y ＋1）x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋24（y ＋1）x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23，y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94.【答案】 C4．(2016·甘肃白银会宁一中第三次月考)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ．[－2，2]D ．[0，＋∞) 【解析】 当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |，故a 大于或等于－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值．由基本不等式可得|x |＋1|x |≥2， ∴－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |≤－2，即－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值为－2，故实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.【答案】 B5．(2016·武汉模拟)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．0【解析】 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x ＞0，y ＞0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy ＋4≥4＋4＝8. 【答案】 A6．(2015·陕西)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 【解析】 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C. 【答案】 C7．(2016·银川模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a ＞0，b ＞0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( ) A ．2－2 B.2－1 C ．3＋22 D ．3－2 2【解析】 ∵圆心为(1，2)在直线2ax ＋by －2＝0上，∴a ＋b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋2ba ＋ab≥3＋2 2.当且仅当2ba＝ab，即a＝2－2，b＝2－1时等号成立．【答案】C8．(2016·安徽安庆二中第一次质检)若x＞0，y＞0，则x＋yx＋y的最小值为()A. 2 B．1C.22 D.12【解析】设t＝x＋yx＋y，则t＞0，∵t2＝x＋yx＋y＋2xy ≥x＋yx＋y＋x＋y＝12，∴t≥22，当且仅当x＝y时取等号．∴x＋yx＋y的最小值为22.故选C.【答案】C9．(2016·湖北华师一附中等八校联考)若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．【解析】因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x·22y＝22x＋2y，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.【答案】210．(2016·南京金陵中学第一次联考)已知实数x，y满足x－x＋1＝y＋3－y，则x＋y的最大值为________．【解析】∵x－x＋1＝y＋3－y，∴x＋y＝x＋1＋y＋3≤2x＋y＋42，则(x＋y)2≤2(x＋y＋4)，解得－2≤x＋y≤4.∴x＋y的最大值为4.【答案】411．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．【解析】 (1)∵x ＞0，y ＞0， ∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x ＞0，y ＞0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20 ＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)12．(2016·重庆巴蜀中学期中)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵y ＝f (x )在x ＝1处有极值，∴a ＋b ＝6.∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴ab 的最大值等于9.故选D.【答案】 D13．(2016·云南大理祥云一中第二次月考)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a （a －b ）≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1ab，a （a －b ）＝1a （a －b ）时取等号，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝22. ∴a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值为4.【答案】 D14．(2016·天津河西模拟)函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)的最小值为________． 【解析】 ∵x ＞2，∴x －2＞0，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x ＝2＝1，即x ＝3时取等号．∴函数f (x )的最小值为f (3)＝4. 【答案】 415．(2016·广东北师大东莞石竹附中期中)已知x ＞0，y ＞0，若不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，则m 的最大值为________．【解析】 ∵x ＞0，y ＞0，不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，∴m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立．又∵⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )＝6＋9y x ＋xy ≥6＋29y x ·x y ＝12，当且仅当9y x ＝xy，即x ＝3y 时取等号， ∴⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )的最小值为12.由m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立，得m ≤12，即m 的最大值为12. 【答案】 1216．(2016·山东齐鲁名校第二次调研)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解析】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为12x ＋45 000x －200≥212x ·45 000x－200＝100， 当且仅当12x ＝45 000x ，即x ＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．(2)获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝200x －y ＝－12x 2＋400x －45 000＝－12(x －400)2＋35 000.因为x ∈[300，600]，所以S ∈[15 000，35 000]．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．。
高考数学一轮复习 第七章 不等式 第四节 基本不等式及
3
2
4
3
(2)已知a>0,b>0,a+b=1,则 1 + 1 的最小值为
.
ab
(3)(2017北京通州期末)已知y=x+ 1 (x>1),那么y的最小值是
.
x 1
答案 (1)B (2)4 (3)3
解析 (1)∵0<x<1,
∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3
x
(1 2
x)
2
=
3 4
.
当且仅当x=1-x,
(4)
b a
+
a b
≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当⑤ x=y 时,x+y有最⑥ 小 值,是
⑦ 2 p .(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当⑧ x=y 时,xy有最⑨ 大 值,是
x
x
x
即x= 1 时,“=”成立.
2
(2)∵a>b,b>0,a+b=1,
∴ 1 + 1 = a b + a b =2+ b + a ≥2+2 b a =4,
ab a b
ab
ab
即 1 + 1 的最小值为4,
ab
当且仅当a=b= 1 时等号成立.
2
(3)∵x>1,∴y=x-1+ 1 +1≥2 (x 1) 1 +1=3,当且仅当x=2时取等号,
30
元(试剂的总产量为x单位,50≤x≤200).设P(x)(元)是生产每单位试剂的
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及不等式的应用学案
§7.4基本不等式及不等式的应用考纲解读20152.分析解读 1.基本不等式是不等式这章的重要内容之一,主要考查用基本不等式求最值.2.不等式的综合应用问题常结合函数、导数、数列、解析几何等知识,难度较大,不等式的综合应用是高考命题的热点.3.预计2019年高考中,仍会对利用基本不等式求最值进行考查.不等式综合应用问题仍是考查的重点之一,考查仍会集中在与函数、数列、解析几何相综合的题目上,复习时应引起高度重视.五年高考考点一基本不等式1.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时,+-的最大值为( )A.0B.1C.D.3答案 B2.(2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是.答案3.(2017山东文,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.答案84.(2017天津文,13,5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.答案 45.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a= 时,+取得最小值.答案-2考点二不等式的综合应用1.(2014浙江,10,5分)设函数f1(x)=x2, f2(x)=2(x-x2), f3(x)=|sin 2πx|,a i=,i=0,1,2,…,99.记I k=|f k(a1)-f k(a0)|+|f k(a2)-f k(a1)|+…+|f k(a99)-f k(a98)|,k=1,2,3,则( )A.I1<I2<I3B.I2<I1<I3C.I1<I3<I2D.I3<I2<I1答案 B2.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是( )A. B.C.[-2,2]D.答案 A3.(2013课标全国Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]答案 D4.(2013浙江文,16,4分)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab= .答案-15.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案306.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案7.(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1].证明:(1)f(x)≥1-x+x2;(2)< f(x)≤.证明(1)因为1-x+x2-x3==,由于x∈[0,1],有≤,即1-x+x2-x3≤,所以f(x)≥1-x+x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+≤x+=x+-+=+≤, 所以f(x)≤.由(1)得f(x)≥1-x+x2=+≥,又因为f=>,所以f(x)>.综上,<f(x)≤.8.(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若ab>cd,则+> +;(2)+> +是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+> +.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+> +.(ii)若+> +,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.9.(2015湖南,16(3),6分)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.教师用书专用(10)10.(2013湖南,20,13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.解析设点P的坐标为(x,y).(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|.因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*)当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立.又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立.所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立.d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|,此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一基本不等式1.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,9)已知实数m满足|m|≥1,且b=ma+m2+2,则a2+b2的最小值为( )A.2B.4C.D.答案 D2.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,7)已知b>2a>0,则M=的最小值是( )A.2B.2C.4D.8答案 C3.(2017浙江“超级全能生”3月联考,16)已知1=x2+4y2-2xy(x<0,y<0),则x+2y的取值范围为.答案[-2,-1)4.(2017浙江绍兴质量调测(3月),16)已知正实数x,y满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最小值为. 答案55考点二不等式的综合应用5.(2018浙江杭州二中期中,17)已知正实数x,y满足x+3y++=10,则xy的取值范围为.答案6.(2017浙江宁波期末,16)若正实数a,b 满足(2a+b)2=1+6ab,则的最大值为.答案7.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,16)已知4y>x>0,且+≤m恒成立,则m的最小值是.答案28. (2016浙江名校协作体测试,13)若存在正实数y,使得=,则实数x的最大值为.答案B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2018浙江9+1高中联盟期中,6)已知实数a>0,b>0,+=1,则a+2b的最小值是( )A.3B.2C.3D.2答案 B2.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),7)已知x2+4xy-3=0,其中x>0,y∈R,则x+y的最小值是( )A. B.3 C.1 D.2答案 A二、填空题3.(2018浙江镇海中学期中,14)设实数x,y满足4x2-2xy+y2=8,则2x+y的最大值为,4x2+y2的最小值为.答案4;4.(2018浙江杭州二中期中,14)已知实数x,y满足则z=y+2x的最小值为;当实数u,v满足u2+v2=1时,ω=ux+vy的最大值为.答案;25.(2017浙江五校联考(5月),17)设实数x>0,y>0,且x+y=k,则使不等式≥恒成立的k的最大值为.答案26.(2017浙江金华十校联考(4月),17)已知实数x,y,z满足则xyz的最小值为.答案9-327.(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,16)已知正数a,b满足3a+b=14,则+的最小值为.答案 3C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 利用基本不等式求最值的解题策略1.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,15)已知x>0,y>0,x y=x+2y,若x+2y≥m2+2m恒成立,则实数m 的取值范围是.答案[-4,2]方法2 不等式综合应用的解题策略2.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,17)已知正实数x,y满足x++2y+=6,则xy的取值范围为.答案。
高三一轮专题复习基本不等式及其应用有详细答案
§7.3 基本不等式及其应用1.基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)ab ≤(a ＋b 2)2成立的条件是ab >0.( × )(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × )(4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( × )(5)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × )(6)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).( √ )2.当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1x －1，下列叙述正确的是( )A.函数f (x )有最小值2B.函数f (x )有最大值2C.函数f (x )有最小值3D.函数f (x )有最大值3答案 C3.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A.a 2＋b 2>2ab B.a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误. 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误. 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 4.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A.2B.32C.1D.12答案 C解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1. 5.(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值. 答案 －2解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2 b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b，a <0，即a ＝－2.题型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________.思维启迪 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋22 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号.(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.(1)已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(x y ＋y )·(yx＋x )的最小值为________.(2)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________.答案 (1)4 (2)3解析 (1)依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2y 2x ×x 2y＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故(x y ＋y )·(yx ＋x )的最小值为4.(2)∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号. 题型二 不等式与函数的综合问题例2 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1) C.(－1,22－1)D.(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.思维启迪 对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围. 答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞).思维升华 (1)a >f (x )恒成立⇔a >(f (x ))max ， a <f (x )恒成立⇔a <(f (x ))min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12)成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3答案 C解析 方法一 设f (x )＝x 2＋ax ＋1， 则对称轴为x ＝－a2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，12)上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0. 当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a ≥－52，故选C.方法二 当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1x )恒成立.又φ(x )＝x ＋1x 在(0，12)上是减函数，∴φ(x )min ＝φ(12)＝52，∴[－(x ＋1x )]max ＝－52，∴a ≥－52.题型三 基本不等式的实际应用例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪 把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解.解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米.思维升华 对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值.(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件B.80件C.100件D.120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________.答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.(2)设原价为1，则提价后的价格为 方案甲：(1＋p %)(1＋q %)， 方案乙：(1＋p ＋q2%)2，因为(1＋p %)(1＋q %)≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，且p >q >0，所以(1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q2%)2，所以提价多的方案是乙.忽视基本不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C.5D.6 (2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________.易错分析 (1)对x ＋3y 运用基本不等式得xy 的范围，再对3x ＋4y 运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6.解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5， 当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x )≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y 有最小值1＋2 6. 答案 (1)C (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.方法与技巧1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.失误与防范1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号.2.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于() A.1＋2B.1＋ 3C.3D.4答案 C解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2.∵x >2，∴x －2>0.∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2 (x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立.又f (x )在x ＝a 处取最小值.∴a ＝3.3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A.a <v <abB.v ＝abC.ab <v <a ＋b 2D.v ＝a ＋b 2答案 A解析 设甲、乙两地相距s ，则小王往返两地用时为s a ＋s b， 从而v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b . ∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，2ab a ＋b >2ab 2b＝a ， ∴2a ＋b <1ab ，即2ab a ＋b<ab ，∴a <v <ab . 4.若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( ) A.14B.1C.4D.8 答案 C解析 由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1a >0b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1(a ＋b 2)2＝1(12)2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”. 5.(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ， 所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确.二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________. 答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立.7.已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________.答案 94解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94. 8.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是__________________.答案 20解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x ＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨.三、解答题9.(1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； (2)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y的最小值. 解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x ). ∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0， ∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (2)∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y)(x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋2 8y x ·2x y ＝18， 当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝23，y ＝13时等号成立， ∴8x ＋2y的最小值是18. 10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米. 总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x)＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100x)＋12 960 ≥1 296×2 x ·100x＋12 960＝38 880(元)， 当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号. ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元.(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<162x ≤16，∴818≤x ≤16. 设g (x )＝x ＋100x (818≤x ≤16)， g (x )在[818，16]上是增函数， ∴当x ＝818时(此时162x ＝16)，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×(818＋80081)＋12 960＝38 882(元). ∴当污水处理池的长为16米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为38 882元. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A.4B.16C.9 D.3答案 B解析 因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立.因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b ＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.2.(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A.0B.1C.94D.3 答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 3.定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1].答案 1解析 ∵1]6ab )，∴ab ≤23.当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，所以当a ＝1时，ab 取最大值23. 4.(1)若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值.(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值. 解 (1)xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，令xy ＝t 2，可得t 2－22t －6≥0，注意到t >0，解得t ≥32，故xy 的最小值为18.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t >0)，∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.5.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值.解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值). 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元.。
高三数学一轮复习精品学案3：§7.4 基本不等式及其应用
§7.4 基本不等式及其应用考纲展示1.了解基本(均值)不等式的证明过程．2．会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题． 考点1 利用基本(均值)不等式求最值 第1步 回顾基础 一、自读自填1.基本(均值)不等式a ＋b ≤a ＋b2(1)基本(均值)不等式成立的条件：________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时等号成立． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥________(a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥________(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本(均值)不等式可叙述为：________________________________. 4．利用基本(均值)不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，x ＋y 有最________值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，xy 有最______值是p 24.(简记：和定积最大)二、易错问题1.基本不等式的两个易错点：忽视不等式成立的条件；忽视等号成立的条件．(1)函数y ＝x ＋1x 在区间(0，＋∞)上的最小值是________，在区间(－∞，0)上的最大值是________． (2)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2的最小值为________． 2．应用基本不等式的技巧：凑；拆．(1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时，x 的值为________． (2)若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 三、通性通法利用基本不等式确定最值的两种常见类型：代换变形；变量是负数． 已知0<x <1，则y ＝lg x ＋4lg x 的最大值是________．第2步 多角探明考情聚焦 利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定积求其和的最小值，是每年高考的重点内容． 主要有以下几个命题角度： 角度一通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值典题1 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23(2)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．(3)已知x 为正实数且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值． (4)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值．点石成金1.利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．2．在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式． 角度二通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值典题2 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．题点发散1 本例的条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 题点发散2 本例的条件和结论互换，即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＝4，则a ＋b 的最小值为________．题点发散3 若将本例中的“a ＋b ＝1”换为“a ＋2b ＝3”，如何求解？题点发散4 若将本例变为：设a ，b ，c 均为正数，满足a －2b ＋3c ＝0，则b 2ac 的最小值是________．题点发散5 若将本例变为：已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4n的最小值为________．点石成金 将条件灵活变形，利用常数代换法求最值是解决此类问题的常用方法． 角度三通过消元法利用基本(均值)不等式求最值典题3 已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 点石成金消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本(均值)不等式求解． 考点2 基本(均值)不等式与函数的综合问题 第1步 师生共研典题4 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1) D ．(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________． 点石成金1.a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ，a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .2.求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本(均值)不等式的问题可考虑利用函数的单调性.第2步 跟踪训练已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0) ，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p ＝( ) A ．2 B.94 C ．4D.92考点3 基本(均值)不等式的实际应用 第1步 回顾基础 一、链接教材(1)现有一段长为18 m 的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是( ) A ．1 m B ．1.5 m C ．0.75 mD ．0.5 m (2)将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.(3)建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为________元． 第2步 师生共研典题5 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时． 点石成金 解实际应用题的三个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 第3步 跟踪训练某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件课堂总结 方法技巧1.基本(均值)不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本(均值)不等式的切入点．2．对使用基本(均值)不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋m x (m >0)的单调性．易错防范1.使用基本(均值)不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2.连续使用基本(均值)不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．——★ 参 考 答 案 ★——考点1 利用基本(均值)不等式求最值 第1步 回顾基础 一、自读自填1. (1)a >0，b >0 (2)a ＝b 2． (1)2ab (2)23．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4． (1)x ＝y 小 (2)x ＝y 大 二、易错问题 1. (1)『答案』 2 －2『解析』 当x >0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，故y 的最小值为2. 当x <0时，－x >0，y ＝x ＋1x＝－⎣⎡⎦⎤－x ＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2(－x )×⎝⎛⎭⎫－1x ＝－2， 当且仅当－x ＝－1x ，即x ＝－1时取等号，故y 的最大值为－2. (2)『答案』 5『解析』 y ＝sin x ＋4sin x≥2sin x ·4sin x ＝4，当sin x ＝4sin x时，sin x ＝±2，显然取不到等号．事实上，设t ＝sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则t ∈(0,1』，易知y ＝t ＋4t 在(0,1』上为减函数，故当t ＝1时，y 取得最小值5. 2． (1)『答案』 12『解析』 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，等号成立．(2)『答案』 5『解析』 x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立.三、通性通法 『答案』 －4『解析』 ∵0<x <1，∴lg x <0，－lg x >0， ∴－y ＝－lg x ＋⎝⎛⎭⎫4－lg x ≥2(－lg x )×⎝⎛⎭⎫4－lg x ＝4，当且仅当－lg x ＝4－lg x ，即x ＝1100时，等号成立，故y max ＝－4.第2步 多角探明角度一通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值 典题1 (1)『答案』 B 『解析』 因为0<x <1， 所以x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎡⎦⎤x ＋(1－x )22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．(2)解：因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)解：因为x ＞0，所以x 1＋y 2＝2x 2⎝⎛⎭⎫12＋y 22≤2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫12＋y 222.又x 2＋⎝⎛⎭⎫12＋y 22＝⎝⎛⎭⎫x 2＋y 22＋12＝32，所以x 1＋y 2≤ 2⎝⎛⎭⎫12×32＝324， 即(x 1＋y 2)max ＝324. (4)解：令t ＝x －1 ≥0，则x ＝t 2＋1， 所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4，当且仅当t ＝2时等号成立，所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．角度二典题2 『答案』 4『解析』 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b的最小值为4， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．题点发散1 『答案』 9『解析』 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ·⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．题点发散2 『答案』 1『解析』 由1a ＋1b ＝4，得14a ＋14b ＝1.∴a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫14a ＋14b (a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ·a4b＝1. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．题点发散3 解：∵a ＋2b ＝3，∴13a ＋23b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b3a ≥1＋22ab 9ab ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b ＝32－3时等号成立． 故1a ＋1b 的最小值为1＋223. 题点发散4 『答案』 3『解析』 ∵a －2b ＋3c ＝0，∴b ＝a ＋3c 2，∴b 2ac ＝a 2＋9c 2＋6ac 4ac ≥6ac ＋6ac 4ac ＝3，当且仅当a ＝3c 时等号成立． 题点发散5 『答案』 95『解析』 设公比为q (q ＞0)，由a 7＝a 6＋2a 5⇒a 5q 2＝a 5q ＋2a 5⇒q 2－q －2＝0(q ＞0)⇒q ＝2. a m ·a n ＝22a 1⇒a 12m －1·a 12n －1＝8a 21⇒2m －1·2n －1＝8⇒m ＋n －2＝3⇒m ＋n ＝5， 则1m ＋4n ＝15⎝⎛⎭⎫1m ＋4n (m ＋n ) ＝15⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥15×(5＋24)＝95， 当且仅当n ＝2m ＝103时等号成立．角度三典题3 『答案』 6 『解析』 由已知，得x ＝9－3y1＋y. 解法一：∵x ＞0，y ＞0，∴0＜y ＜3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3(y ＋1)－6＝6， 当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，等号成立，故(x ＋3y )min ＝6.解法二：∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0， 又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.考点2 基本(均值)不等式与函数的综合问题 第1步 师生共研 典题4 (1)『答案』 B『解析』 由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x ＋23x .∵3x ＋23x ≥22，∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)『答案』 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 『解析』 由f (x )≥3恒成立，得x 2＋ax ＋11x ＋1≥3，又x ∈N *，∴x 2＋ax ＋11≥3(x ＋1)， ∴a －3≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x .令F (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ，x ∈N *， 则F (x )max ＝F (3)＝－173，即a －3≥－173，∴a ≥－83.第2步 跟踪训练 『答案』 B『解析』 由题意，得x －1>0， f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1， 当且仅当x ＝p ＋1时等号成立． 因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4， 所以2p ＋1＝4, 解得p ＝94.考点3 基本(均值)不等式的实际应用 第1步 回顾基础 一、链接教材 (1)『答案』 A (2)『答案』 4＋22『解析』 设两直角边分别为a m ，b m ，框架的周长为l ，则12ab ＝2，即ab ＝4，∴ l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋22)m. (3)『答案』 1 760『解析』 池底一边长为x 米，则另一底边为4x 米，则总造价y ＝4×120＋4⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×80≥1 760，当且仅当x ＝2时取得最小值． 第2步 师生共研典题5 『答案』 (1)1 900 (2)100 『解析』 (1)当l ＝6.05时， F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v，即v ＝11时等号成立．高三数学一轮复习11 ∴最大车流量F 为1 900辆/时．(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v＋18， ∴F ≤76 0002v ·100v ＋18＝2 000， 当且仅当v ＝100v，即v ＝10时等号成立． ∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100(辆/时)．第3步 跟踪训练『答案』 B『解析』 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x 8元， 总的费用是800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时等号成立.。
高考一轮作业：7-4基本不等式及其应用(含答案)
时间：45分钟 满分：100分 班级：________姓名：________ 学号：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2018·长春月考)设a ，b 是正实数，以下不等式：(1)a ＋1b≥2；(2)2＋b 2≥a＋b ；(3)ab ≥2ab a ＋b ；(4)a ＜|a －b|＋b ，其中恒成立的有( ) A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(3)(4)D ．(2)(4) 解析：根据基本不等式，有2＋b 2＝2＋b 2＋2＋b 2 ≥2＋b 2＋2ab ＝a ＋b ，故(2)正确；由a ＋b≥2ab ，则2ab a ＋b ≤1，两边同乘以ab ，得2ab a ＋b ≤ab ，故(3)正确．答案：B2．(2018·诸城一中月考)若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )A ．18B ．6C ．2 3D ．3 3 解析：法一：3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝6. 当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故3a ＋3b 的最小值是6.法二：由a ＋b ＝2，得b ＝2－a ，∴3a ＋3b ＝3a ＋32－a ＝3a ＋93a ≥23a ·93a ＝6. 当且仅当3a ＝93a ，即a ＝1时等号成立． 答案：B3．(2018·桦甸一模)已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝(12)x 2－2(x ＜0)，则m 、n 之间的大小关系是( ) A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．m≤n 解析：∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2－1a －2＋2＝4(当且仅当a ＝3时等号成立)， n ＝22－x 2<4，∴m ＞n.答案：A4．(2018·延吉二模)不等式1a －b ＋1b －c ＋λc －a ＜0对满足a ＞b ＞c 恒成立，则λ的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1)C ．(－∞，4]D ．(4，＋∞)解析：变形λ＞(a －c)(1a －b ＋1b －c )＝[(a －b)＋(b －c)]·(1a －b ＋1b －c )＝1＋a －b b －c ＋b －c a －b＋1≥4，(当且仅当(a －b)2＝(b －c)2时，等号成立)∴λ＞4.故应选D.答案：D5．(2018·莱州模拟)若a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a(a ＋b ＋c)＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A.3－1 B.3＋1 C ．23＋2D ．23－2 解析：∵a(a ＋b ＋c)＋bc ＝a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝(a ＋c)(b ＋a)＝4－23，∴2a ＋b ＋c ＝(a ＋b)＋(a ＋c)≥2＋＋＝23－2，当且仅当a ＋b ＝a ＋c ＝3－1时取等号．答案：D6．(2018·江西红色六校联考)已知a ，b ∈R ＋，且2a ＋b ＝1，则s ＝2ab －4a 2－b 2的最大值为( ) A.2－12 B.2－1C.2＋1D.2＋12 解析：∵a ，b ∈R ＋，1＝2a ＋b≥22ab ，∴ab ≤24，4a 2＋b 22≥2a ＋b 2，∴4a 2＋b 2≥12，－4a 2－b 2≤－12，∴s ＝2ab －4a 2－b 2≤2ab －12≤2－12，当且仅当2a ＝b 时等号成立，故选A. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2018·临汾百题精选)若2y ＋4x ＝xy(x ＞0，y ＞0)，则xy 的最小值为________．解析：22y·4x≤2y＋4x ＝xy(x ＞0，y ＞0)，当且仅当2y ＝4x 时“＝”成立，∴xy≥32.答案：328．(2018·山东实验中学诊断)已知不等式(x ＋y)(1x ＋a y)≥9，对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是________．解析：由于x ＞0，y ＞0，所以(1x ＋a y )(x ＋y)＝1＋a ＋(y x ＋ax y )≥1＋a ＋2a(当且仅当y x ＝ax y时“＝”成立)，此不等式恒成立，由题设1＋a ＋2a ≥9，∴a ＋1≥3，a≥4，a min ＝4.答案：49．(2018·陕西)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn)(bm ＋an)的最小值为________． 解析：∵a ＋b ＝1，mn ＝2，∴(am ＋bn)(bm ＋an)＝(a 2＋b 2)mn ＋ab(m 2＋n 2)＝2(a 2＋b 2)＋ab(m 2＋n 2)≥2(a 2＋b 2)＋ab·2mn＝2(a ＋b)2＝2.当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立．答案：210．(2018·许昌模拟)已知a 、b 、c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是________． 解析：1a ＋1b ＋1c ＝(1a ＋1b ＋1c)(a ＋2b ＋c) ＝4＋(2b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋2b c)≥6＋4 2. 答案：6＋4 2三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．设a ，b ，c 为正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a＋b ＋c. 证明：∵a ，b ，c 均是正数，∴bc a ，ca b ，ab c均是正数， ∴bc a ＋ca b ≥2c，ca b ＋ab c ≥2a，ab c ＋bc a≥2b. 三式相加，得2(bc a ＋ca b ＋b c)≥2(a＋b ＋c)， ∴bc a ＋ca b ＋ab c≥a＋b ＋c. 12．设函数f(x)＝x ＋a x ＋1，x ∈[0，＋∞)． (1)当a ＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0＜a ＜1时，求函数f(x)的最小值．解：(1)把a ＝2代入f(x)＝x ＋a x ＋1中， 得f(x)＝x ＋2x ＋1＝x ＋1＋2x ＋1－1. 由于x ∈[0，＋∞)，所以x ＋1＞0，2x ＋1＞0， 所以f(x)≥22－1.当且仅当x ＋1＝2x ＋1， 即x ＝2－1时，f(x)取得最小值，最小值为22－1.(2)因为f(x)＝x ＋a x ＋1＝x ＋1＋a x ＋1－1，(此时再利用(1)的方法，等号取不到) 设x 1＞x 2≥0，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1＋a x 1＋1－x 2－a x 2＋1＝(x 1－x 2)·[1－a 1＋2＋]．由于x 1＞x 2≥0，所以x 1－x 2＞0，x 1＋1＞1，x 2＋1≥1，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＞1，而0＜a ＜1，所以a 1＋2＋＜1，所以f(x 1)－f(x 2)＞0，即f(x 1)＞f(x 2)，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min ＝f(0)＝a.13．(2018·贺兰一中期末)一变压器的铁芯截面为正十字型(两个全等的长方形，它们完全重合，把其中一个长方形绕中点旋转90°后而得的组合图叫正十字型)，为保证所需的磁通量，要求十字应具有4 5 cm 2的面积，问应如何设计十字型宽x 及长y ，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．解：设y ＝x ＋2h ，由条件知：x 2＋4xh ＝45，即h ＝45－x 24x ，设外接圆的半径为R ，即求R 的最小值，∵4R 2＝x 2＋(2h ＋x)2＝2(x 2＋2hx ＋2h 2)，∴2R 2＝f(x)＝x 2＋45－x 22＋80－85x 2＋x 48x 2＝5＋58x 2＋10x 2(0＜x ＜2R)， ∴2R 2≥5＋2254＝5＋5， 等号成立时，58x 2＝10x2⇒x ＝2， ∴当x ＝2时2R 2最小，即R 最小，从而周长l 最小，此时x ＝2 cm ，y ＝2h ＋x ＝(5＋1) cm.。
高考数学一轮复习学案：7.4 基本不等式及其应用(含答案)
高考数学一轮复习学案：7.4 基本不等式及其应用（含答案）7.4基本不等式及其应用基本不等式及其应用最新考纲考情考向分析1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大小值问题.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值常与函数.解析几何.不等式相结合考查，加强数形结合.分类讨论.转化与化归等数学思想的应用意识作为求最值的方法，常在函数.解析几何.不等式的解答题中考查，难度中档.1基本不等式abab21基本不等式成立的条件a0，b0.2等号成立的条件当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式1a2b22aba，bR2baab2a，b同号3abab22a，bR4a2b22ab22a，bR以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为ab2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则1如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2p.简记积定和最小2如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值p24.简记和定积最大知识拓展不等式的恒成立.能成立.恰成立问题1恒成立问题若fx在区间D上存在最小值，则不等式fxA在区间D上恒成立fxminAxD；若fx在区间D上存在最大值，则不等式fxAxD；若fx在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式fxA的解集为D；不等式fx0”是“xyyx2”的充要条件4若a0，则a31a2的最小值为2a.5不等式a2b22ab与ab2ab有相同的成立条件6两个正数的等差中项不小于它们的等比中项题组二教材改编2P99例12设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为A80B77C81D82答案C解析x0，y0，xy2xy，即xyxy2281，当且仅当xy9时，xymax81.3P100A组T2若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.答案25解析设矩形的一边为xm，则另一边为12202x10xm，yx10xx10x2225，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.题组三易错自纠4“x0”是“x1x2成立”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析当x0时，x1x2x1x2.因为x，1x同号，所以若x1x2，则x0，1x0，所以“x0”是“x1x2成立”的充要条件，故选C.5设x0，则函数yx22x132的最小值为A0B.12C1D.32答案A解析yx22x132x121x1222x121x1220，当且仅当x121x12，即x12时等号成立函数的最小值为0.故选A.6若正数x，y满足3xy5xy，则4x3y的最小值是A2B3C4D5答案D解析由3xy5xy，得3xyxy3y1x5，所以4x3y4x3y153y1x15493yx12xy15492365，当且仅当3yx12xy，即y2x时，“”成立，故4x3y的最小值为5.故选D.题型一利用基本不等式求最值命题点1通过配凑法利用基本不等式典例1已知00，b0，lgalgblgab，则ab的最小值为A8B6C4D2答案C解析由lgalgblgab，得lgablgab，即abab，则有1a1b1，所以ab1a1bab2baab22baab4，当且仅当ab2时等号成立，所以ab的最小值为4，故选C.思维升华1应用基本不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”2在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积.和为常数的形式，然后再利用基本不等式3条件最值的求解通常有两种方法一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值跟踪训练1若对x1，不等式x1x11a恒成立，则实数a的取值范围是__________答案，12解析因为函数fxx1x1在1，上单调递增，所以函数gxx11x12在0，上单调递增，所以函数gx在1，上的最小值为g112，因此对x1，不等式x1x11a恒成立，所以agxmin12，故实数a的取值范围是，12.2xx武汉模拟已知正数x，y满足x2yxy0，则x2y的最小值为________答案8解析由x2yxy0，得2x1y1，且x0，y0.x2yx2y2x1y4yxxy4448，当且仅当x2y时等号成立题型二基本不等式的实际应用典例xx淄博质检某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为Cx，当年产量不足80千件时，Cx13x210x万元当年产量不小于80千件时，Cx51x10000x1450万元每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完1写出年利润Lx万元关于年产量x千件的函数解析式；2当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大解1因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051000x万元，依题意得当00，所以4cbbc24cbbc4.当且仅当4cbbc时等号成立由此可得b2c，且bc1，即当b23，c13时，4b1c取得最小值9.2设等差数列an的公差是d，其前n项和是SnnN*，若a1d1，则Sn8an的最小值是________答案92解析ana1n1dn，Snn1n2，Sn8ann1n28n12n16n1122n16n192，当且仅当n4时取等号Sn8an的最小值是92.命题点2求参数值或取值范围典例1已知a0，b0，若不等式3a1bma3b恒成立，则m的最大值为A9B12C18D24答案B解析由3a1bma3b，得ma3b3a1b9baab6.又9baab629612当且仅当9baab，即a3b时等号成立，m12，m的最大值为12.2已知函数fxx2ax11x1aR，若对于任意的xN*，fx3恒成立，则a的取值范围是________答案83，解析对任意xN*，fx3恒成立，即x2ax11x13恒成立，即知ax8x3.设gxx8x，xN*，则g26，g3173.g2g3，gxmin173，x8x383，a83，故a的取值范围是83，.思维升华1应用基本不等式判断不等式是否成立对所给不等式或式子变形，然后利用基本不等式求解2条件不等式的最值问题通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解3求参数的值或范围观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围跟踪训练1已知函数fxxax2的值域为，04，，则a的值是A.12B.32C1D2答案C解析由题意可得a0，当x0时，fxxax22a2，当且仅当xa时取等号；当x0，y0，且1x2y1，则xy的最小值是________2函数y12x3xx0，y0，11x2y22xy，xy22，xy2xy42，xy 的最小值为42.22x3x26，y12x3x126.函数y12x3xx0，y0，xyxy1x2y3yx2xy322当且仅当y2x时取等号，当x21，y22时，xymin322.2x0，y12x3x12x3x122x3x126，当且仅当x62时取等号，故函数y12x3xx0的值域为126，答案13222126，纠错心得利用基本不等式求最值时要注意条件一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件。
2017版高考数学一轮复习第七章不等式第3讲基本不等式及其应用练习理
【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式第3讲 基本不等式及其应用练习 理基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.(2015·湖南卷改编)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________.解析 因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ，b 同号且均大于零，由基本不等式可得ab ＝1a ＋2b≥22ab，所以ab ≥2 2.当且仅当1a ＝2b时取等号.所以ab 的最小值为2 2. 答案 2 22.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是________.解析 由于a >0，b >0，依题意，得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a ＞0，b ＞0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.答案 923.若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是________.解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 24.(2015·重庆卷)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________.解析 ∵a ，b ＞0，a ＋b ＝5，∴(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1b ＋3≤a ＋b ＋4＋(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＝72，b ＝32时，等号成立，则a ＋1＋b ＋3≤32，即a ＋1＋b ＋3最大值为3 2.答案 3 25.(2016·南京、盐城一模)若实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2x －y的最小值为________.解析 因为log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝1，所以xy ＝2.因为x >y >0，所以x －y >0.所以x 2＋y 2x －y＝（x －y ）2＋2xy x －y ＝x －y ＋4x －y ≥24＝4，当且仅当x －y ＝4x －y ，即x ＝3＋1，y ＝3－1时取等号. 答案 46.(2015·南通一模)已知函数y ＝a x＋b (b >0)的图象经过点P (1，3)，如图所示，则4a －1＋1b的最小值为________. 解析 法一 (基本不等式法)由图可知a >1，点(1，3)在函数y ＝a x＋b 的图像上，所以a ＋b ＝3，且1<a <3，0<b <3.所以4a －1＋1b ＝12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －1＋1b ＝12[(a －1)＋b ]⎝⎛⎭⎪⎫4a －1＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b a －1＋a －1b ≥92.当且仅当4b a －1＝a －1b ，即a ＝73，b ＝23时取等号，所以4a －1＋1b 的最小值为92. 法二 (判别式法)由法一可知a ＋b ＝3.令u ＝4a －1＋1b ＝4a －1＋13－a，去分母整理得ua 2－(4u ＋3)a ＋11＋3u ＝0.因为a ∈R ，当u ≠0时，Δ＝(4u ＋3)2－4u (11＋3u )＝4u 2－20u ＋9≥0，解得u ≥92或u ≤12.又因为u ＝4a －1＋1b >2＋12＝52，所以u ≥92.当a ＝73，b ＝23时，u＝4a －1＋1b ＝92，所以4a －1＋1b 的最小值为92. 法三 (柯西不等式法)由法一可知a ＋b ＝3，且1<a <3，0<b <2.所以4a －1＋1b ＝12[(a －1)＋b ]·⎝⎛⎭⎪⎫4a －1＋1b ≥12(2＋1)2＝92(由柯西不等式得).以下同法一.答案 927.(2016·苏、锡、常、镇四市调研)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为________.解析 因为x ，y 为正数，且x ＋2y ＝2，x ＋8y xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y ＝x 2y ＋8yx＋5≥2 x 2y ·8yx＋5＝9，当且仅当x ＝4y ＝43时，等号成立，所以x ＋8yxy 的最小值为9.答案 98.(2015·镇江期末)已知正数x ，y 满足1x ＋1y ＝1，则4x x －1＋9yy －1的最小值为________.解析 因为1y ＝1－1x ，所以4x x －1＋9y y －1＝4x x －1＋91－1y＝4x x －1＋9x ＝4＋4x －1＋9(x －1)＋9＝13＋4x －1＋9(x －1).又因为1y ＝1－1x >0，所以x >1，即x －1>0.所以13＋4x －1＋9(x －1)≥13＋24×9＝25，当且仅当x ＝53时取等号，所以4x x －1＋9y y －1的最小值为25.答案 25 二、解答题9.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值.解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立.因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时等号成立.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x＝2x y，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 10.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2015·西安模拟)设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为________.解析 由a x＝b y＝3，得x ＝log a 3，y ＝log b 3，则1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝lg a ＋lg b lg 3＝lg ab lg 3.又a ＞1，b ＞1，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝3，所以lg ab ≤lg 3，从而1x ＋1y ≤lg 3lg 3＝1，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立.答案 112.(2015·苏州调研)已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________. 解析 依题意得(x ＋1)(y ＋2)＝6，(x ＋1)＋(y ＋2)≥2（x ＋1）（y ＋2）＝26，即x ＋y ≥26－3，当且仅当x ＋1＝y ＋2＝6时取等号，因此x ＋y 的最小值是26－3. 答案 26－313.(2016·苏、锡、常、镇调研)已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为________.解析 设⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝m ，x －y ＝n .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3n 4，y ＝m －n 4.所以x ＋y ＝m ＋n 2≤2，即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2m ＋1n ，所以4t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224，当且仅当2n m ＝mn，即m ＝2n 时取等号. 答案3＋22414.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米.总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2×162x＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x＋12 960＝1 296⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ＋12 960≥1 296×2x ·100x＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x(x ＞0)，即x ＝10时取等号.∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元. (2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤16，0＜162x ≤16，∴818≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x ⎝ ⎛⎭⎪⎫818≤x ≤16， g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤818，16上是增函数，∴当x ＝818时(此时162x＝16)，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×⎝⎛⎭⎪⎫818＋80081＋12 960＝38 882(元).∴当污水处理池的长为16米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为38 882元.。
高三数学一轮复习精品教案4：7.4 基本不等式及其应用教学设计
7.4 基本不等式及其应用『考纲要求』1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题．2．考查应用基本不等式解决实际问题．『复习指导』1．突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练．2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养．『基础梳理』1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件： .(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b≥ (a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为 ． 4．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最 值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当 时，xy 有最 值是p 24.(简记：和定积最大) 『助学微博』一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2) a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 『考向探究』考向一 利用基本不等式求最值『例1』(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．『训练1』 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．考向二 利用基本不等式证明不等式『例2』►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c .『训练2』 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.考向三 利用基本不等式解决恒成立问题『例3』若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．『训练3』已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．考向四利用基本不等式解实际问题『例4』某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？『训练4』东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝80n＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．(1)求出f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？答案『基础梳理』1．(1) a ＞0，b ＞0 (2) a ＝b 2．(1)2ab (2) 23．两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．4．(1) x ＝y 小 (2) x ＝y 大『例1』『审题视点』 第(1)问把1x ＋1y中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式； 第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式．『解析』 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y≥3＋2 2. 当且仅当y x ＝2x y时，取等号． (2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号． 『答案』(1)3＋22 (2)1利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．『训练1』『解析』 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号． (2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )， ∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0， ∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y＝10＋2⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2× 4y x ·x y＝18， 当且仅当4y x ＝x y，即x ＝2y 时取等号， 又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.『答案』(1)3 (2)15(3)18『例2』 『审题视点』 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到． 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ； bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ； ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c＝2a . 以上三式相加得：2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．『训练2』证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．『例3』『审题视点』 先求x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值，要使得x x 2＋3x ＋1≤a (x ＞0)恒成立，只要x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值小于等于a 即可． 『解析』 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞『答案』⎣⎡⎭⎫15，＋∞当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．『训练3』『解析』 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.『答案』10『例4』『审题视点』 用长度x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x ≤5；函数取最小值时的x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x×400)＋5 800＝900⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)， 则y ＝900⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x，即x ＝4时取等号． 故当侧面的长度为4米时，总造价最低．解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．『训练4』解 (1)第n 次投入后，产量为(10＋n )万件，销售价格为100元，固定成本为80n ＋1元，科技成本投入为100n 万元．所以，年利润为f (n )＝(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n (n ∈N *)． (2)由(1)知f (n )＝(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n ＝1 000－80⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)． 当且仅当n ＋1＝9n ＋1， 即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．。
高考数学一轮总复习 7.4 基本不等式及其应用精品课件 理 新人教版
梳理自测
-5-
2.利用基本不等式求最值问题
已知 x>0,y>0,则
(1)如果积 xy 是定值 P,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有 最小值
是 2 ������ (简记:积定和最小).
(2)如果和 x+y 是定值 S,那么当且仅当 x=y 时,xy 有 最大 值
是
������2 4
(简记:和定积最大).
760(元),当且仅当 a=b=2 时取“=”.
答案
探究突破
-11-
考点一 利用基本不等式证明不等式
【例 1】 设 a,b 均为正实数,求证:���1���2 + ���1���2+ab≥2 2.
关闭
由于
a,b
均为正实数,所以������12
+
1 ������ 2
≥2
1 ������ 2
·1
������ 2
������ ������ ������ ������ ������ ������
������������������
≥
������������ ≥ 1������+21������(a,b>0).
(5)������������ + ������������≥2(a,b 同号且不为 0).
梳理自测
-7-
基础自测
1.若 x+2y=4,则 2x+4y 的最小值是( )
A.4B.8C.2 2 NhomakorabeaD.4 2
∵2x+4y≥2· 2������ ·22������ =2· 2������+2������ =2· 24=8, B 当且仅当 2x=22y,即 x=2y=2 时取等号,∴2x+4y 的最小值为 8.
高考数学一轮总复习 7.4 基本不等式及其应用精品课件 理 新人教版
考点(kǎo diǎn)四
探究
(tànjiū)突
破
考点四
基本不等式的实际应用
【例 4】首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生
态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,
把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少 关闭
(1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为
造价分别为 120 元和 80 元,求水池表面积的最低造价是多少.
关闭
设水池底面的长度、宽度分别为 a m,b m,则 ab=4,
令水池表面的总造价为 y,
则
y=ab×120+2(2a+2b)×80=480+320(a+b)≥480+320×2 =480+320×4=1
760(元),当且仅当 a=b=2 时取“=”.
5
2
C.-
考点(kǎo
diǎn)三
第十九页，共28页。
D.-3
考点(kǎo diǎn)四
探究(tànjiū)
突破
解析:法一:设 f(x)=x2+ax+1,则对称轴为 x=- .
2
1
1
2
2
2
当- ≥ ,即 a≤-1 时,f(x)在 0,
5
5
2
2
上是减函数,应有 f
1
≥0,解得
2
a≥- ,∴- ≤a≤-1.
是指从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,
经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,
逐步推向“未知”.
2017年高考数学(文)一轮复习讲练测 专题7.4 基本不等式及其应用(测) 含解析
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.)1。
【2016江西于都模拟】下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()xx x R +≥∈D ．211()1x R x >∈+【答案】C2。
（2016·南昌一模）若a ＞0，b ＞0,且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是（ ) A 。
错误!>错误! B.错误!＋错误!≤1 C 。
错误!≥2 D 。
错误!≤错误!【答案】B【解析】 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4,∴4＝a ＋b ≥2错误!，∴错误!≤2，即ab ≤4.A 项，∵ab ≤4，∴错误!≥错误!，故A 不恒成立；B 项，∵ab ≤4＝a ＋b ,∴错误!＋错误!≥1，故B 不恒成立；C 项,∵错误!≤2,∴C 不恒成立；D 项，因为2＝错误!≤错误!，所以a 2＋b 2≥8，所以错误!≤错误!.∴D 恒成立。
3. 若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30,则xy 的最大值是( ) A.错误! B.错误! C.2 D 。
错误!【答案】C【解析】由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·（3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30,即xy ≤2,∴xy 的最大值为2。
4。
【2015届山东省高密市高三12月检测数学】设0,1a b >>，若3121a b a b +=+-，则的最小值为A 。
23B 。
8 C.43 D 。
423+【答案】D5。
（2015·江西五校联考)已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4,则xy 的最小值为( ）A.错误! B 。
2017年高考数学(文)一轮复习讲练测 专题7.4 基本不等式及其应用(讲) 含解析
【课前小测摸底细】1。
【课本典型习题,必修五P113练习第2题】已知直角三角形的面积等于50,两条直角边各为多少时？两条直角边的和最小，最小值为多少？【答案】10a b ==，20【解析】设两条直角边长分别,,0,0a b a b >>,因为直接三角形面积为50，即1502ab =，所以220a b ab +≥=,当且仅当10a b ==时取等号．2. （2016上海理10)设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是．【答案】()2,+∞3.【名校学术联盟﹒2015—2016学年度高考押题卷一】若一组数据2,4，6,8的中位数、方差分别为,m n ，且()10,0ma nb a b +=>>，则11ab+的最小值为（ ）A ．623+B ．435+C ．945+D ．20【答案】D【解析】由题意得15,(9119)54m n ==+++=，所以11115555()(55)1010220a b a ba b a b a b b a b a+=++=++≥+⋅=，当且仅当a b =时取等号,选D.4。
【基础经典试题】已知0,0x y >>，且131xy+=，则2x y +的最小值为( ）A ．726+B ．23C ．723+D ．14 【答案】A【解析】因为0,0x y >>，且131xy+=，所以1323232(2)()772726y x y xx y x y xyxy x y+=++=++≥+⋅=+，选A 。
5.【改编自2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】设实数0,0,0x y z <<<满足22340x xy y z -++=，则当zxy取得最小值时，z y x 212-+的最小值为（ )A.0B. —1C.49 D.3【答案】B【考点深度剖析】基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．【经典例题精析】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【解析】∵a 、b 、c 都是正数 ∴20a b ab +≥>(当且仅当a b =时，取等号）20b c bc +≥> (当且仅当b c =时，取等号） 20c a ca +≥>(当且仅当c a =时，取等号）∴()()()2228a b b c c a ab bc ca abc +++≥⋅⋅=（当且仅当a b c ==时,取等号）即()()()8a b b c c a abc +++≥。
2017届高三数学(理)新课标一轮复习练习：7.4 基本不等式及不等式的应用 含解析
§7。
4 基本不等式及不等式的应用考点一 基本不等式4.（2012湖南，8，5分)已知两条直线l 1:y=m 和l 2：y=82m+1（m 〉0),l 1与函数y=｜log 2x ｜的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y=|log 2x ｜的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b.当m 变化时，b a 的最小值为( ） A 。
16√2 B 。
8√2 C.8√43D 。
4√43答案 B 在平面直角坐标系中作出函数y=｜log 2x ｜的图象如图所示，不妨设点A （x 1，m ），B （x 2,m),C (x 3,82m+1),D (x 4,82m+1)，则0〈x 1〈1〈x 2，0〈x 3〈1〈x 4,此时有:—log 2x 1=m ，log 2x 2=m,—log 2x 3=82m+1，log 2x 4=82m+1，解得x 1=(12)m,x 2=2m,x 3=(12)82m+1,x 4=282m+1,线段AC 与BD 在x 轴上的投影长度分别为a=|x 1-x 3｜=|(12)m -(12)82m+1|,b=｜x 2—x 4｜=｜2m —282m+1|,则b a=|2m -282m+1(12)m -(12)82m+1|=2m+82m+1,令t=m+82m+1(m>0),则t=m+4m+12=(m +12)+4m+12—12≥4-12=72,当且仅当(m+12)2=4,即m=32时，t 取最小值为72，此时ba的最小值为8√2.评析 本题综合考查了函数、不等式、方程等有关知识，借助图象分析问题是解题关键,考查了运用数学知识推理论证的能力. 考点二 不等式的综合应用4.（2012福建,5,5分）下列不等式一定成立的是( ）A 。
lg (x 2+14)>lg x （x>0） B.sin x+1sinx≥2（x≠kπ,k∈Z) C.x 2+1≥2｜x|（x∈R) D 。
2017版高考数学一轮总复习课件：第七章 第四节基本不等式及其应用
(2)法一 由 2x＋8y－xy＝0，得 y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝x－2x8， ∴x＋y＝x＋x－2x8＝x＋（2x－x1－6） 8 ＋16 ＝(x－8)＋x－168＋10≥2 （x－8）×x－168＋10＝18. 当且仅当 x－8＝x－168，即 x＝12 时，等号成立. ∴x＋y 的最小值是 18.
第二十四页，编辑于星期六：十九点 五十八分。
[解析] 设池底长为 x m，宽为 y m，则 xy＝4，所以 y＝4x，则 总造价为 f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋8x0＋20x＝20x＋4x ＋80，x∈(0，＋∞). 所以 f(x)≥20×2 x·4x＋80＝160，当且仅当 x＝4x，即 x＝2， 等号成立，所以最低总造价是 160(元). [答案] 160
2.常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)；
(2)ab ≤ a2＋b2
(3) 2
a＋2 b2(a，b∈R)； ≥ a＋2 b2(a，b∈R)；
(4)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号且不为零).
第四页，编辑于星期六：十九点 五十八分。
►两个易错点：基本不等式满足条件；不等号方向.
第四节 基本不等式及其应用
第一页，编辑于星期六：十九点 五十八分。
第二页，编辑于星期六：十九点 五十八分。
知识点一 基本不等式
1.基本不等式： ab≤a＋2 b
(1பைடு நூலகம்基本不等式成立的条件：
a>0，b. >0
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号.
第三页，编辑于星期六：十九点 五十八分。
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班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1. 【2016江西于都模拟】下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4x x x +>>B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈C ．212||()x x x R +≥∈D ．211()1x R x >∈+ 【答案】C2. (2016·南昌一模)若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤18【答案】B【解析】 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，∴4＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤2，即ab ≤4.A 项，∵ab ≤4，∴1ab ≥14，故A 不恒成立；B 项，∵ab ≤4＝a ＋b ，∴1a ＋1b ≥1，故B 不恒成立；C 项，∵ab ≤2，∴C 不恒成立；D 项，因为2＝a ＋b 2≤a 2＋b 22，所以a 2＋b 2≥8，所以1a 2＋b 2≤18.∴D 恒成立.3. 若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53C.2D.54【答案】C【解析】由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2.4. 【2015届山东省高密市高三12月检测数学】设0,1a b >>，若3121a b a b +=+-，则的最小值为A. B.8 C. D.4+【答案】D5. (2015·江西五校联考)已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22B.2 2C. 2D.2【答案】D【解析】 ∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ，∴4≤4xy －22xy ，即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0， ∴2xy ≥2，∴xy ≥2.6. 已知函数()lg 1xf x x=-，若()()0f a f b +=且01a b <<<，则ab 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由已知得：()()lglg lg 0111(1)(1)a b abf a f b a b a b a b +=+==⇒+=----，所以21()24a b ab +<=.注意，因为a b <，所以不能取等号.选D. 7. 【2016贵州模拟】点()2,2A 在由点(),0B a 、()0,C b 确定的直线上，且0ab ≠，则11a b+的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．13D ．2 【答案】A 【解析】由题意得221a b +=，则111.2a b +=选A. 8. 【2016海南模拟】设,x y 均为正数，且111112x y +=++，则xy 的最小值为（ ） A ．16 B ．15 C ．10 D ．9 【答案】D9. 【2016山东师大模拟】已知直线1ax by +=经过点()1,2，则24ab+的最小值为（ ）A B ． C ．4 D ．【答案】B 【解析】试题分析：因为直线1ax by +=经过点()1,2，所以21a b +=，24a b +≥==2a b =时，等号成立，所以24a b +的最小值为，故选B.10. 【2016青海模拟】已知M 是ABC ∆内的一点，且30⋅=∠=︒AB AC BAC ，若,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y+的最小值为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．9 【答案】B【解析】由已知得cos 4⋅=∠=⇒=AB AC b BAC bc ，所以11sin 22ABC S x y bc A ∆=++=12x y ⇒+=，而141442()()2(5)2(518y x x y x y x y x y +=+⨯+=++≥+=，故选B ．11.【2015届四川省泸州市高三一模】已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，2221a b c ++=，则a b +的取值范围是（ ）A 、[1,1]-B 、1[,0]3- C 、4[0,]3D 、[0,2] 【答案】C12．(2015·宁夏模拟)已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立，则m 的最大值为( )A ．4B ．16C ．9D ．3【答案】B【解析】∵a >0，b >0，∴由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤⎝⎛⎭⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3b a ＋3ab 恒成立．∵3b a ＋3a b≥23b a ·3a b ＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，故10＋3b a ＋3ab≥16，∴m ≤16，即m 的最大值为16.故选B .填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．【2016黑龙江模拟】已知向量()(),1,4,2a m b n ==-，0,0m n >>，若a ∥b ，则18m n+的最小值为 ． 【答案】29【解析】∵b //a ，∴024=--m n ，即42=+m n ．∵0>m ，0>n ，∴()1811824n m m n m n+=++116191010442n m m n ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当384==m n 时取等号．∴n 8m 1+的最小值是29．故答案为：29． 14.函数)1(122>-+=x x x y 的最小值是 ．【答案】23＋2 【解析】试题分析：()()()22121323=122111x x x y x x x x -+-++==-++≥---15.【2016海南模拟】 已知正数y x ,满足22=+y x ，则xyyx 8+的最小值为______. 【答案】916．【2016广西柳州4月模拟】已知正实数y x 、满足y x xy +=，若2-≥m xy 恒成立，则实数m 的最大值是 . 【答案】6【解析】因y x xy +=,故xy xy 2≥,即4≥xy ,所以42≤-m ,即6≤m ,故应填6. 解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．利用基本不等式求最值： （1）若0>x ，求函数 xx y 4+= 的最小值，并求此时x 的值. （2）设230<<x ，求函数 )23(4x x y -= 的最大值.18．若对任意x >0，231xx x ++≤a 恒成立，求a 的取值范围． 【解析】∵a ≥231x x x ++＝113x x++对任意x >0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥1u 恒成立即可．∵x >0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)． 由u ≥5，知0<1u ≤15，∴a ≥15. 19．如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？【解析】(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件，知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼的面积为S ，则S ＝xy . 解法一：由于2x ＋3y ≥22x ×3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272.当且仅当2x ＝3y 时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，2x ＋3y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大． 解法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x ＞0，∴0＜y ＜6. S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎫9－32y y ＝32(6－y )y . ∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0. ∴S ≤32⎣⎡⎦⎤（6－y ）＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5. 故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使每间虎笼面积最大． (2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .20．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60B = ,4a c +=． （1）当,,a b c 成等差数列时，求ABC ∆的面积； （2）设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值． 【解析】（1）因为,,a b c 成等差数列，所以22a cb +==， 由余弦定理，得22222cos ()31634b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-=，解得4ac =，从而1sin 22ABC S ac B ∆===. （2）方法一：因为D 为AC 边的中点，所以1()2BD BA BC =+，则222211()(2)44BD BA BC BA BA BC BC =+=+⋅+22211(2cos )(())44c ac B a a c ac =++=+-144ac=- 214()342a c +≥-=，当且仅当a c =时取等号，所以线段BD。