第五章++卡方拟合优度检验

F1(X)和F2(X) 在A1,…, As上的分布或比例是否一致。
• 对这两个独立样本 X1,, X n 和Y1,, Yn 在 Aj ( j 1,, s)中 出现的频数分别进行统计，记作 n1 j 和n2 j ( j 1,, s)。
1 2
Hale Waihona Puke • 数据结构：总体分类 X 频数 Y 频数 A1 n11 n21 …… …… …… As n1s n2s 合计 n1 n2
在近似计算方面，尽可能要求所有观测频数Oi≥5， 容许个别为3或4；否则，对某些类进行合并。
例2：骰子的检验 某人在赌场对掷骰子观测了120次，获得数据：
朝上的面 i 理论值 Ei 1 20 2 20 3 20 4 20 5 20 6 20 合计 120
观测值 Oi
Ei–Oi (Ei–Oi)2 (Ei–Oi)2/ Ei
1
r
d) 计算观测频数O1,…, Os的理论值E1,…, Es，即在H0 下等于： ˆ i 0 nP Ei np ˆ ,, ˆ ( Ai ), i 1, s
1 r
e) 理论H0的检验统计量及其分布：
2 s
(Oi Ei ) 2 2 c ~ c ( s r 1) Ei i 1
2.56
0.36 6.25 0.25 0.24 0.76
0.104
0.015 0.338 0.024 0.053 0.405 1.042
2 2 c 2 1.042 12.02 c0 ( 7 ) c .1 0.1 (10 2 1)
P值为0.99，故不拒绝正态性假设。
120名成年男子红细胞数的直方图
• 数据结构：
总体分类
X1 频数 …… Xr 频数 合计
r s
A1
n11 …… nr1 n· 1
s i 1 j 1
……
…… …… …… ……
r
As
n1s …… nrs n·s
i 1
合计
n1· …… nr · n
这里 n nij , ni nij , n j nij , (i, j 1,, s)
• 例6：比较两种花卉的栽培方法，两种方法各自独立 地种植100颗，到花卉成熟时对它们的品质进行评定， 得到统计数据如下：
花卉等级 方法1频数 方法2频数 合计 1级
20
25
2级
40
37.5
3级
25
22.5
4级
10
7.5
5级
5
7.5
合计
7.5 100
30
50
25
35
75
37.5
20
45
22.5
5
15
10
15
7.5 100
200
H0: 两种栽培方法无差异；H1: 两种栽培方法有差异。 应用c2齐一性检验方法，各观测值的理论值写在表中 右下的红字，由此就容易计算出c2值：
c 2
i 1 j 1 2 5
(nij ni n* j n) 2 ni n* j n
21 0.167 0.278 0.277 3.444 9.488 c 02.05 (4) ，P值0.49
j 1
• 检验统计量： 2 r s (n n n r s (nn n n ) 2 n ) ij i j ij i j 2 2 c ~ c ((r 1)(s 1)) nin j n n nin j i 1 j 1 i 1 j 1
2 且 c12和c2 相互独立，所以
Nij • H0：F1(X)＝F2(X)成立时，意味着 X1,, X n1 和Y1,, Yn2 是来自同一个总体，且 P( X Ai ) P(Y Ai ), (i 1,, s) 所以N1j和N2j的估计值为 n* j n* j ˆ ˆ N1 j n1 和 N 2 j n2 , ( j 1,, s) n n 由此得到检验统计量： 2 2 s (n n n 2 s ( nn n n ) 2 n ) ij i *j 2 c 2 ij i * j ~ c ( s 1) ni n* j n n ni n* j i 1 j 1 i 1 j 1
0.15 150 180 –30 900 6
0.1 100 90 10 100 1
合计 0.05 1 50 1000 60 1000
7
–10 0 100 2 26.83
2 c 2 26.83 22.46 c0 .001 (6) P值＝0.0002 因此，可以认为该调查的随机性是有问题的。
1. 两个总体分布的齐一性检验
比较两个总体的分布函数F1(X)和F2(X)是否一致？ 假设检验： H0：F1(X)＝F2(X) ；H1：F1(X)≠F2(X) 。 • 对这两个总体进行独立抽样，分别获得F1(X)和F2(X) 的独立样本 X1,, X n 和Y1,, Yn 。
1 2
• 这两个总体变量的值域应该一致。我们把该值域分成 s 段 A1,…, As（分类方法要求与样本独立），比较
合计
n*1
……
n*s
n
这里
n n1 n2 , n* j n1 j n2 j , ( j 1,, s)
当s = 2 时，上面的数据结构就是四格表。
•
n1 j 和n2 j ( j 1,, s)的理论值分别为： N1 j n1P( X Aj ) 和 N2 j n2 P(Y Aj ), ( j 1,, s) 故 s (n N ) 2 s (n N ) 2 1j 1j 2j 2j 2 2 2 c1 和 c2 ~ c ( s 1) N1 j N2 j j 1 j 1
数据分组 1 2 3 4 5 6
各组比例 理论值 Ei 观测值 Oi Ei–Oi (Ei–Oi)2 (Ei–Oi)2/ Ei
0.15 0.2 150 200 130 240 20 –40 400 1600 2.67 8
0.2 200 170 30 900 4.5
0.15 150 130 20 400 2.67

i! 1 1 ˆ 的估计值： iOi (0 54 1 211 ) 3.87 n i 0 2608 ˆi ˆ 3.87i 3.87 ˆ i n e 2608 e , i 0,1,2 理论值Ei：Ei np i! i!
第二节 齐一性检验
第五章 c 2 拟合优度检验及其应用
第一节 c 2 拟合优度检验
1. 二项分布（0－1数据） 考虑比例问题：P(X=1)=p，P(X=0)=1–p 假设检验： H0：p=p0；H1：pp0。 样本统计：1 的频数为k，0 的频数为n–k。
检验统计量及其分布： Z
等价的检验统计量及其分布
k np0 ~ N (0,1) np0 (1 p0 )
2 2 2 ( k np ) ( k np ) [( n k ) n ( 1 p )] 2 0 0 0 c2 ~ c (1) np0 (1 p0 ) np0 n(1 p0 )
也可以写成：
总体分类 理论频数 观测频数 A1(X=1) E1=np0 O1=k A2 (X=0) E2=n(1–p0) O2=n–k 合计 n n
例5：30年代卢瑟福观测了在7.5秒时间内X射线到达 指定区域的质点数，共观测2608次，获得统计数据：
出现点数 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ≥10 合计
理论值 Ei
观测值 Oi Ei– O i
57
54 3
203 383 525 532 408 273 139
211 407 526 508 393 254 140 –8 –24 –1 24 15 19 –1
总体分类 A1(X=1) …… As (X=s)
s
考虑多项分布问题： P( X i) pi , i 1,, s; ( pi 1)
i 1
s
合计
理论频数
观测频数
E1=np10
O1
……
……
Es=nps0
Os
n
n
理论H0的检验统计量及其分布：
s (Os Es ) 2 (Oi Ei ) 2 (O1 E1 ) 2 2 c ~ c (s 1) E1 Es Ei i 1 2
i 1 j 1
2 c 2 c12 c 2
2
s
(nij Nij ) 2
2 ~ c (2( s 1))
• 当s = 2 时，就得到四格表的检验统计量： 2 2 2 ( nn n n ) 2 n ( n n n n ) 2 c 2 ij i * j 11 22 12 21 ~ c (1) n ni n* j n1n2 n*1n*2 i 1 j 1
3. 一般分布的检验（属性数据或连续数据） H0 : F F0 ( x;1,r ); H1 : F F0 ( x;1,r ) 检验方法： a) 对总体进行随机抽样，得样本X1,… , Xn； b) 按某种方式所得到的总体分类A1,… , As对样本进 行频数统计，得观测频数O1,… , Os； ˆ , ˆ c) 用极大似然法估计参数1,… , r；得估计值
13
7 49 2.45
28
–8 64 3.20
16
4 16 0.80
10
10 100 5.00
32
–12 144 7.20
21
–1 1 0.05
120
0 18.70
2 c 2 18.70 15.09 c0 .01 (5) P值＝0.003
因此，可以认为骰子不均匀或赌场有作弊行为。
例3：判定样本的不随机性 有一项调查据称是在某地区随机进行的。该地区 各年龄段（或其它分组方式）的人口比例是已知的。 样本量为1000，具体数据如下：