人教版数学九年级 上册25.3用频率估计概率课件
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人教版数学九年级上册25.3用频率估计概率课时2课件
.
对接中考
1
解：随机产生m个有序数对(x,y)，对应的点在平面直角坐标系中全部在如图
所示的正方形的边界及其内部，
这些点中到原点的距离小于或等于1的n个点在图中阴影部分内，
则有
∴π=
1
4
1
4
=
．
，
对接中考
2
如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字.小明做了60次
投掷试验，结果统计如下：
答：该地区还需移植这种树苗约15万棵.
新知探究
根据估计的概率可以知道，在 10 000 kg 柑橘中完好柑橘
的质量为
10 000×0.9＝9 000（kg）．
设每千克柑橘售价为 x 元，则
9 000x -2×10 000＝5 000．
解得
x ≈ 2.8（元）．
因此，出售柑橘时，每千克定价大约2.8元可获利润5000元．
课堂小结
频率与概率
从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，
进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数
据记录在下表中．请你帮忙完成下表．
柑橘在运输、储存
中会有损坏，公司必
须估算出可能损坏的
柑橘总数，以便将损
坏的柑橘的成本折算
到没有损坏的柑橘售
价中.
柑橘总质量 n /kg
柑橘损坏的概
50
0.1
率是
.(保留
100
一位小数)
150
损坏柑橘质量 m /kg
“兵”字面朝上的次数 14
“兵”字面朝上的频率 0.70
40
18
0.45
60
38
0.63
80
47
人教版数学九年级上册 25.3用频率估计概率课件(共27张PPT)
94 187 282 338 435 530 624 718 814 981
第二十一页，共27页。
解答:这批种子的发芽的频率稳定在0.9即种子发芽的概率 为90%,不发芽的概率为0.1,即不发芽率为10%
所以: 1000×10%=100千克
1000千克种子大约有100千克是不能发芽的. 第二十二页，共27页。
的方式得出概率，当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结
果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计频率来估计概率．
成活的频率（ ）
幼树移植成活的频率在_____0_.9___左右摆 从表可以发现, 3、某批乒乓球产品质量检查结果表：
由于“正面向上”的频率呈现出上述稳定性，我们就用0.
动,并且随着统计数据的增加,这种规律愈加越明显,所以
频率和概率有何联系和区别？
频率是计算出来的，概率是通过多个频率估计出来的
第九页，共27页。
讨论
频率表示了事件发生的可能性的 大小，那么，频率的范围是怎样的呢 ？
第十页，共27页。
探究
在 n次试验中，事 A发件生的频m数
满足0 ≤m ≤n ， 0≤所 m 以 ≤1 ,进
n 而可知频m率所稳定到的常 p满数足:
0.94
销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在表中，请你帮忙完成下表．
第二十五章 概率初步
即 P(必然事件)=1.
270
235
0.871
抛掷一枚质地均匀的硬币时， 可能性大的是“正面向上”还是“反面向上” ？试估计这两个事件发生的可能性的大小。
400 5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小。
估计幼树移植成活率的概率为________ 0.9
九年级数学上册-25.3-用频率估计概率课件新人教版
练习：某射击运动员在同一条件下练习射击, 结果如下表所示:
射击次数n10 20 50 Nhomakorabea00 200 500
击中靶心次数m 8
19 44 92 178 452
击中靶心频率 m/n
0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.94
(1)计算表中击中靶心的各个频率并填入表中.
(2)这个运动员射击一次,击中靶心的概率多少
教学重难点
教学重点
理解当试验次数较大时，试验频 率稳定于理论概率。
教学难点
对概率的理解。
事件发生的概率与事件发生的频 率有什么联系和区别？
则估计抛掷一枚硬币正面朝上的概率为＿0.＿5
数学史实
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由 于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果 虽不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应 客观规律.这称为大数法则,亦称大数定律.
愈加明显. 所以估计幼树移植成活的概率为＿0＿.9．
移植总数（n） 10
成活数（m） 8
成活的频率( m ) n
0.8
50
47
0.94
270
235
0.870
400
369
0.923
750
662
0.883
1500
1335
0.890
3500
3203
0.915
7000
6335
0.905
9000
8073
0.897
必然事件
不可能事件 随机事件(不确定事件) 可能性
0
不可 能发
生
½(50%)
可 能 发 生
1(100%)
必然 发生
人教版九年级数学上册《用频率估计概率》概率初步PPT优质课件
10
10
=
小练习
1. 在一次质检抽测中，随机抽取某摊位20袋食盐，测得各袋的质量分别
为（单位：g）:492，496，494，495，498，497，501，502，504，
496，497，503，506，508，507，492，496，500，501，499根据
以上抽测结果，任买一袋该摊位的食盐，质量在497.5g~501.5g之间的概
在抛掷一枚硬币时，结果不是“正面向上”，就是“反面向上”
因此，从上面的试验中也能得到相应的“反面向上”的频率。当
“正面向上”的频率稳定于0.5时，“反面向上”的频率也稳定于
0.5.它也与前面用列举法得出的“反面向上”的概率是同一个数值。
探索新知
历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些
动物1200只，作标记后放回。若干天后，再逮到该种动物1000只，其中
有100只作过标记。按概率方法估算，保护区内这种动物有 12000 只。
【解析】∵该种动物1000只，其中有100只作过标记。∴作过标记的动物占这种动物总
100
数的
1000
=
12000只。
1
1
。∵该种动物共1200只做了标记，∴保护区内这种动物有1200 ÷
试验结果见下表。
探索新知
实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般
的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验
次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个
固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。因
此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随
机事件发生的频率去估计它的概率。
探索新知
从抛掷硬币的试验还可以发现，“正面向上”的概率是
植成活的概率为 0.9 。
10
=
小练习
1. 在一次质检抽测中，随机抽取某摊位20袋食盐，测得各袋的质量分别
为（单位：g）:492，496，494，495，498，497，501，502，504，
496，497，503，506，508，507，492，496，500，501，499根据
以上抽测结果，任买一袋该摊位的食盐，质量在497.5g~501.5g之间的概
在抛掷一枚硬币时，结果不是“正面向上”，就是“反面向上”
因此，从上面的试验中也能得到相应的“反面向上”的频率。当
“正面向上”的频率稳定于0.5时，“反面向上”的频率也稳定于
0.5.它也与前面用列举法得出的“反面向上”的概率是同一个数值。
探索新知
历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些
动物1200只，作标记后放回。若干天后，再逮到该种动物1000只，其中
有100只作过标记。按概率方法估算，保护区内这种动物有 12000 只。
【解析】∵该种动物1000只，其中有100只作过标记。∴作过标记的动物占这种动物总
100
数的
1000
=
12000只。
1
1
。∵该种动物共1200只做了标记，∴保护区内这种动物有1200 ÷
试验结果见下表。
探索新知
实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般
的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验
次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个
固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。因
此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随
机事件发生的频率去估计它的概率。
探索新知
从抛掷硬币的试验还可以发现，“正面向上”的概率是
植成活的概率为 0.9 。
《用频率估计概率》ppt课件
频率的定义
01
频率是指在一定数量的 试验或观察中某一事件 发生的次数与总次数之 比。
02
03
04
频率通常用分数或小数 表示，并且具有以下特 点
• 频率介于0和1之间， 即0≤频率≤1。
• 当试验次数趋向于无 穷时，频率趋向于某 一固定值，即概率。
频率与概率的关系
频率是概率的近似值，当试验次数足够多时，频率趋近于概率。
人工智能算法
人工智能算法中，频率估计概率的方法也被 广泛应用。许多机器学习算法和自然语言处 理算法都需要用到概率和统计学的知识，而 频率估计概率是其中的重要组成部分。
例如，在自然语言处理中，词频统计是一种 常见的方法，通过对大量文本数据的分析， 可以估计某个词出现的概率，从而更好地理 解和处理自然语言。同样地，在机器学习中 ，频率估计概率的方法也被用于分类、聚类
交叉验证
采用交叉验证等方法评估频率 估计概率的准确性，以提高预
测的可靠性。
05
频率估计概率的应用场景
统计学研究
统计学研究是频率估计概率的重要应用领域之一。在统计 学中，频率估计概率的方法被广泛应用于数据分析和推断 中，例如在样本大小的计算、假设检验和置信区间的确定 等方面。
频率估计概率可以帮助统计学家了解数据分布的特征和规 律，从而为决策提供科学依据。例如，在市场调研中，通 过频率估计概率可以对市场趋势和消费者行为进行预测和 分析。
0到1之间，其中0表示事件不可能发 生，1表示事件一定发生。
概率的估计方法
01
02
03
直接估计
通过观察和实验直接得到 随机事件的频率，从而估 计概率。
间接估计
通过已知的概率分布函数 或者概率密度函数来计算 概率。
人教版九年级数学上册《25.3用频率估计概率》课件(共27张PPT)
3 B．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比5为3︰8
C．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的
D．在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是喜欢足球
练习巩固
3．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他相
同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中
白球可能有( D )．
在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活 的频率．随着移植数n越来越大，频率 m 会越来越稳定，于是就可以把频
n 率作为成活率的估计值．
从表中可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳 定．当移植总数为14 000时，成活的频率为0.902，于是可以估计幼树移植 成活的概率为0.9．
转动转盘的次数n
落在“铅笔”的次数m
落在“铅笔”的频率
m n
100 150 200 500 800 1 000 68 111 136 345 546 701
（2） 请估计，当n很大时，频率将会接近多少？
（3） 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？
（4） 在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大
如果随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化在0．5的左右摆动幅度不完全是越来越小，本次实验依然不能称为严格意义上的大量重复实验． 2．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 902，于是可以估计幼树移植成活的概率为 ． 例2 某水果公司以2元/kg的成本价新进了10 000 kg的柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润5 000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适 ？ 2．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
约是多少(精确到1°）．
人教版数学九年级上册课件31-第二十五章25.3用频率估计概率
典例剖析
例 (2017江苏南京江宁期中)某批足球的质量检测结果如下:
抽取足球数
100
200
400
600
800
n
合格的频数
93
m
192
384
564
759
合格的频率
0.93
0.96
0.96
0.94
m n
1 000 950
(1)填写表中的空格;(精确到0.01) (2)在图25-3-3中画出合格的频率折线统计图; (3)从这批足球中任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值是多少?并说明理由.
当试验的所有可能结果不是有限个,或各种结果发生的可能性不相等时,可通过统计频 率来估计概率
计算方法
一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率 m稳定于某个常数p,那么事件A发生
n
的概率P(A)=P
例1 (2019陕西渭南韩城期末)在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球
共50个,这些球除颜色外其余完全相同.王颖做摸球试验,搅匀后,她从盒子里随机
25.3 用频率估计概率
全解版
教材知识全解
知识点一 用频率估计概率
用频率 估计概率
在随机事件中,一个随机事件发生与否事先无法预测,表面上看似无规律可循,但当我们 做大量重复试验时,这个事件发生的频率就呈现出稳定性.因此,做了大量试验后,可以用 一个事件发生的频率作为这个事件发生的概率的估计值
适用对象
摸出一个球记下颜色后,再把球放回盒子中,不断重复上述过程,下表是试验中的一
组统计数据:
摸球的 次数n
100
200
300
500
800
1 000
3 000
人教版九年级上册2用频率估计概率课件
400
369
0.923
750
662
0.883
1 500
1 335
0.890
3 500
3 203
0.915
7 000
6 335
0.905
9 000
8 073
0.897
14 000
12 628
0.902
（2）你能估算出幼树移植成活的概率吗？ 由上表可以发现，随着移植数的增加，该种幼树移植成活
的频率越来越稳定于 0.9 ，移植棵数越多，这种规律愈加
问题引入
问题3.抛掷一枚质地均匀的硬币100次，就会有“正面向上” 50次吗？多次抛掷会出现什么情况?
实验探究
1.全班同学分成8组,每组同学抛掷一枚硬币50次，第1组的数据填在 第1列，第1、2组的数据之和填在第2列……8个组的数据之和填在第 8列，并算出“正面朝上”的频率，完成下表:
累计抛掷次数n
用频率估计概率,虽然不像列举法能确切地计算出随 机事件的概率,但由于不受“各种结果出现的可能性相等” 的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大.
例如，抛掷一枚图钉，不能用列举法求“针尖朝上” 的概率，但可以通过大量重复实验估计出它的概率.
追问4：频率和概率有什么联系和区分呢？
联系：度量某个事件产生可能性大小的特征数:频率、概率. 实验次数越多，频率越趋向于概率.
1061 2048 4979 6019 12012
“正面朝上” 的频率 m
n
0.5181 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
实验探究
追问2：随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋 势是什么?
一般的，随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的稳定性, 在0.5附近摆动的幅度会越来越小.
人教版数学九年级上册第二十五章《25.3.1 用频率估计概率》课件(共26张PPT)
55 56.25 55 55 54 55 57 56.4 56.6 56
(2) 根据上表画出统计图表示“钉帽着地”的频率.
(%) 70
60
56.5
50
40
30
20
10
0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
(3) 这个试验说明了什么问题.
在图钉落地试验中，“钉帽着地”的频率随着试验次数的增加，稳定在常 数56.5%附近.
试验中，某事件发生的次数与总次数的比值叫做频率.
用频率估计概率：从长期实践中，人们观察到对一般的随机事件，在做大 量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件发生的频率，总在一个固 定数的附近摆动，显示出一定的稳定性.因此，我们可以通过大量的重复试 验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可 能性不相等时，我们一般通过事件发生的频率来估计其概率. 计算方法：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某 个常数 p，那么估计事件A发生的概率P(A) =p.
图钉落地的试验 从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果？ 其中钉帽着地的可能性大吗？
(1) 选取20名同学，每位学生依次使图钉从高处落下20次，并根据试验结果 填写下表.
试验累计次数
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
钉帽着地的次数(频数) 9 19 36 50 61 68 77 84 95 109
频率 试验值或使用时的统计值
概率 理论值
区别
与试验次数的变化有关
人教版数学九年级上册课件：25.3 用频率估计概率
1.88
12．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树 苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)这种树苗成活的频率稳定在____，成活的概率估计值为____；
0.9
0.9
(2)该地区已经移植这种树苗5万棵． ①估计这种树苗成活___4_.万5 棵； ②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约 多少万棵？
D 次、100次、200次，其中实验相对科学的是( )
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 5．在一所有2000名学生的小学学校中，随机调查了300名学生，其 中269人认为月球上有水，那么在这所小学学校里随机问1名学生，认 为月球上有水的概率约是( ) A．0.9 B．0.10 C．0.8 DA ．0.2
6．(2016·湖北)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、 4个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放 回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4， 由此可估计袋中约有红球__8__个．
7．在一个不透明布袋中，红色、黑色、白色乒乓球共有20个，除颜 色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后，发 现其中摸到红色、黑色乒乓球的频率稳定在5%和15%，则口袋中白色 乒乓球的个数很可能是____．
九年级上册人教版数学
第二十五章 概率初步
25.3 用频率估计概率
对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一 个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动， 显示出一定的 稳定性，因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个 随机事件发生的___频_去率估计它的概率．
练习：(2016·宿迁)某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：
12．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树 苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)这种树苗成活的频率稳定在____，成活的概率估计值为____；
0.9
0.9
(2)该地区已经移植这种树苗5万棵． ①估计这种树苗成活___4_.万5 棵； ②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约 多少万棵？
D 次、100次、200次，其中实验相对科学的是( )
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 5．在一所有2000名学生的小学学校中，随机调查了300名学生，其 中269人认为月球上有水，那么在这所小学学校里随机问1名学生，认 为月球上有水的概率约是( ) A．0.9 B．0.10 C．0.8 DA ．0.2
6．(2016·湖北)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、 4个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放 回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4， 由此可估计袋中约有红球__8__个．
7．在一个不透明布袋中，红色、黑色、白色乒乓球共有20个，除颜 色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后，发 现其中摸到红色、黑色乒乓球的频率稳定在5%和15%，则口袋中白色 乒乓球的个数很可能是____．
九年级上册人教版数学
第二十五章 概率初步
25.3 用频率估计概率
对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一 个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动， 显示出一定的 稳定性，因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个 随机事件发生的___频_去率估计它的概率．
练习：(2016·宿迁)某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：
相关主题
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（2）有时候试验也可能出现频率偏 离“常数”较大的情形，但是随着试 验次数的增大，频率偏离“常数”的 可能性会减小.
想一想
重复抛掷硬币，出现“正面朝上”的频率是实现无法确定的. 但是在大量重复抛掷硬币时，出现“正面朝上”的频率具有稳定性— —它在0.5附近摆动.
事件发生的概率与事件发生的频率有什么联系和区别？
【解析】根据概率的意义,可以认为其概率大约等于 250/2 000=0.125. 该镇约有100 000×0.125=12 500人看中央电视台的
早
判断题
（1）频率等于概率 （× ）
（2）频数等于频率 （× ） √ （3）当试验次数很大时，频率稳定在概率附近 ( )
（× （4）当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 ） √ （5）试验得到的频率与该事件概率可能不完全相等 ( )
（2）必然事件的概率是 1 ；
（3）不可能事件的概率是 0 .
数学史实
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由 于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果 虽不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应 客观规律.这称为大数法则,亦称大数定律.
频率稳定性定理
由频率可以估计概率是 由瑞士数学家雅各布·伯努 利（1654－1705）最早阐明 的，因而他被公认为是概率 论的先驱之一．
弄清一种关系------频率与概率的关系
当试验次数很多或试验时样本容量足够大 时,一件事件发生的频率与相应的概率会非常接 近.此时,我们可以用一件事件发生的频率来估 计这一事件发生的概率.
2.（郴州·中考）小颖妈妈经营的玩具店某次进了
一箱黑白两种颜色的塑料球3 000个，为了估计两种
颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从
中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，
多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.7
附近波动，据此可以估计黑球的个数约
是
．
答案:2 100个.
4.在有一个10万人的小镇上,随机调查了2 000人,其中 有250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个 人,他看早间新闻的概率大约是多少?该镇看中央电视 台早间新闻的大约是多少人?
则估计抛掷一枚硬币正面朝上的概率为＿0.＿5
抽象概括
的频率一Mn般会地在，某在个大常量数重p复附试近验摆中动，，随即机随事机件事A件发A生发 生的频率具有稳定性.这是我们把这个常数p叫做随
机事件A的概率，记作 P（A）=p
概率的基本性质：
（1）任何事件A的概率P（A）总介于0与1之间， 即 0≤P（A）≤1 ；
3500
3203
0.915
7000
6335
0.905
9000
8073
0.897
14000
12628
0.902
1.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共20 000尾，一渔 民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频 率是31%和42%，则这个水塘里有鲤鱼__6_2_0_0__尾,鲢 鱼___8_4_0_0_尾.
（2）汇总每小组所得的数据，并将每个 人的数据进行编号，分别得出前20次、前40次 、前60次……试验出现“钉尖朝上”的频率.
（3）在直角坐标系中，横轴表示掷图钉 的次数，纵轴表示以上试验得到的频率， 将上面算出的结果表示在坐标系中. （4）从图上观察出现“钉尖朝上”的频 率的变化趋势，你会得出什么结论？
移植总数（n）
成活数（m）
成活的频率( )
10
8
0.8
50
47
1.林27业0 部门种植了2该35幼树1000棵0,.估08.790计4 能
成活40_0__9_0_0__棵. 369
2化.我校17550们园00 学,则校至需少种向植林16这36业325样部的门树购苗买5约000_.008棵_..9598_0285来_336_绿棵.
发生的可能性不相同时，比如如何求出抛图钉尖朝上的概率呢？
动手实践
从一定高度按相同的方式让一枚图钉自 由下落，图钉落地或可能钉尖朝上，也可能钉 尖着地.大量重复试验时，观察出现“钉尖朝上 ”的频率的变化情况.
（1）从一定高度(1.2m左右）让一枚图钉 自由下落并观察图钉落地后的情况，每小组试 验20次，记录下“钉尖朝上‘出现的次数.
25.3 用频率估计概率
1.什么叫概率？
事件发生的可能性的大小叫这一事件发生的概率.
2.有限等可能事件概率计算公式：
若事件发生的所有可能结果总数为n，且每种结果出现的可
能性相等。事件Ａ发生的可能结果数为m，则Ｐ（Ａ）＝ m .
3.估计概率
n
在实际生活中，我们常常碰到试验的所有结果不是有限个或各种结果
成活数（m）
成活的频率( )
10
8
0.8
50
47
0.94
270
235
0.870
400
369
0.923
750
662
0.883
1500
1335
0.890
3500
3203
0.915
7000
6335
0.905
9000
8073
0.897
14发现，幼树移植成活的频率在＿0.＿9 左 右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加 明显.所以估计幼树移植成活的概率为＿0.＿9 ．
成活的频率( ) 0.8 0.94 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897
0.902
估计移植成活率
由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿0.＿9 左右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律 愈加明显. 所以估计幼树移植成活的概率为＿0＿.9．
移植总数（n）
估计移植成活率
某观林察业在部各门次要试考验查中某得种到幼的树幼在树一成定活条的件频下率， 的谈移谈植你成的活看率法,应．采用什么具体做法?
移植总数（n） 10 50 270 400 750
1500 3500 7000 9000 14000
成活数（m） 8 47
235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
通过上面的试验，我们可以看出：出现
“钉尖朝上”的频率是一个变化的量，但 是在大量重复试验时，它又具有“稳定 性”——在一个“常数”附近摆动.
思考交流
在上面掷图钉的活动中， 随着试验次数的增加，出现 “钉尖朝上”的频率在这个 “常数”附近的摆动幅度是否 一定越来越小？
抽象概括
（1）在大量重复试验的情况下， 出现“钉尖朝上”的频率会呈现出稳 定性，即频率在一个“常数”附近摆 动.随着试验次数的增加，摆动的幅度 具有越来越小的趋势.
想一想
重复抛掷硬币，出现“正面朝上”的频率是实现无法确定的. 但是在大量重复抛掷硬币时，出现“正面朝上”的频率具有稳定性— —它在0.5附近摆动.
事件发生的概率与事件发生的频率有什么联系和区别？
【解析】根据概率的意义,可以认为其概率大约等于 250/2 000=0.125. 该镇约有100 000×0.125=12 500人看中央电视台的
早
判断题
（1）频率等于概率 （× ）
（2）频数等于频率 （× ） √ （3）当试验次数很大时，频率稳定在概率附近 ( )
（× （4）当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 ） √ （5）试验得到的频率与该事件概率可能不完全相等 ( )
（2）必然事件的概率是 1 ；
（3）不可能事件的概率是 0 .
数学史实
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由 于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果 虽不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应 客观规律.这称为大数法则,亦称大数定律.
频率稳定性定理
由频率可以估计概率是 由瑞士数学家雅各布·伯努 利（1654－1705）最早阐明 的，因而他被公认为是概率 论的先驱之一．
弄清一种关系------频率与概率的关系
当试验次数很多或试验时样本容量足够大 时,一件事件发生的频率与相应的概率会非常接 近.此时,我们可以用一件事件发生的频率来估 计这一事件发生的概率.
2.（郴州·中考）小颖妈妈经营的玩具店某次进了
一箱黑白两种颜色的塑料球3 000个，为了估计两种
颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从
中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，
多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.7
附近波动，据此可以估计黑球的个数约
是
．
答案:2 100个.
4.在有一个10万人的小镇上,随机调查了2 000人,其中 有250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个 人,他看早间新闻的概率大约是多少?该镇看中央电视 台早间新闻的大约是多少人?
则估计抛掷一枚硬币正面朝上的概率为＿0.＿5
抽象概括
的频率一Mn般会地在，某在个大常量数重p复附试近验摆中动，，随即机随事机件事A件发A生发 生的频率具有稳定性.这是我们把这个常数p叫做随
机事件A的概率，记作 P（A）=p
概率的基本性质：
（1）任何事件A的概率P（A）总介于0与1之间， 即 0≤P（A）≤1 ；
3500
3203
0.915
7000
6335
0.905
9000
8073
0.897
14000
12628
0.902
1.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共20 000尾，一渔 民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频 率是31%和42%，则这个水塘里有鲤鱼__6_2_0_0__尾,鲢 鱼___8_4_0_0_尾.
（2）汇总每小组所得的数据，并将每个 人的数据进行编号，分别得出前20次、前40次 、前60次……试验出现“钉尖朝上”的频率.
（3）在直角坐标系中，横轴表示掷图钉 的次数，纵轴表示以上试验得到的频率， 将上面算出的结果表示在坐标系中. （4）从图上观察出现“钉尖朝上”的频 率的变化趋势，你会得出什么结论？
移植总数（n）
成活数（m）
成活的频率( )
10
8
0.8
50
47
1.林27业0 部门种植了2该35幼树1000棵0,.估08.790计4 能
成活40_0__9_0_0__棵. 369
2化.我校17550们园00 学,则校至需少种向植林16这36业325样部的门树购苗买5约000_.008棵_..9598_0285来_336_绿棵.
发生的可能性不相同时，比如如何求出抛图钉尖朝上的概率呢？
动手实践
从一定高度按相同的方式让一枚图钉自 由下落，图钉落地或可能钉尖朝上，也可能钉 尖着地.大量重复试验时，观察出现“钉尖朝上 ”的频率的变化情况.
（1）从一定高度(1.2m左右）让一枚图钉 自由下落并观察图钉落地后的情况，每小组试 验20次，记录下“钉尖朝上‘出现的次数.
25.3 用频率估计概率
1.什么叫概率？
事件发生的可能性的大小叫这一事件发生的概率.
2.有限等可能事件概率计算公式：
若事件发生的所有可能结果总数为n，且每种结果出现的可
能性相等。事件Ａ发生的可能结果数为m，则Ｐ（Ａ）＝ m .
3.估计概率
n
在实际生活中，我们常常碰到试验的所有结果不是有限个或各种结果
成活数（m）
成活的频率( )
10
8
0.8
50
47
0.94
270
235
0.870
400
369
0.923
750
662
0.883
1500
1335
0.890
3500
3203
0.915
7000
6335
0.905
9000
8073
0.897
14发现，幼树移植成活的频率在＿0.＿9 左 右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加 明显.所以估计幼树移植成活的概率为＿0.＿9 ．
成活的频率( ) 0.8 0.94 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897
0.902
估计移植成活率
由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿0.＿9 左右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律 愈加明显. 所以估计幼树移植成活的概率为＿0＿.9．
移植总数（n）
估计移植成活率
某观林察业在部各门次要试考验查中某得种到幼的树幼在树一成定活条的件频下率， 的谈移谈植你成的活看率法,应．采用什么具体做法?
移植总数（n） 10 50 270 400 750
1500 3500 7000 9000 14000
成活数（m） 8 47
235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
通过上面的试验，我们可以看出：出现
“钉尖朝上”的频率是一个变化的量，但 是在大量重复试验时，它又具有“稳定 性”——在一个“常数”附近摆动.
思考交流
在上面掷图钉的活动中， 随着试验次数的增加，出现 “钉尖朝上”的频率在这个 “常数”附近的摆动幅度是否 一定越来越小？
抽象概括
（1）在大量重复试验的情况下， 出现“钉尖朝上”的频率会呈现出稳 定性，即频率在一个“常数”附近摆 动.随着试验次数的增加，摆动的幅度 具有越来越小的趋势.