1-4平面向量的内积

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初中数学平面向量常用公式归纳

初中数学平面向量常用公式归纳数学中的向量是表示大小和方向的物理量，常用于解决空间几何和物理问题。

平面向量是指在平面上的向量，它由两个有序的数或字母组成。

在初中数学中，掌握平面向量的常用公式是非常重要的基础知识。

本文将对初中数学中平面向量的常用公式进行归纳总结。

1. 向量的加法和减法公式向量 $\overrightarrow{AB}$ 的加法和减法公式可以直接应用于平面向量的加法和减法。

加法公式：$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$减法公式：$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$2. 向量的数量积公式向量的数量积（也称为点积或内积）是指两个向量相乘得到的一个数。

在平面向量中，计算数量积有以下两种常用公式：（1）坐标法公式：设向量 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}(x_1,y_1)$，向量 $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{a}(x_2, y_2)$，则数量积$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$（2）模长法公式：设向量 $\overrightarrow{AB}$ 的模长为$|\overrightarrow{AB}|$，向量 $\overrightarrow{CD}$ 的模长为$|\overrightarrow{CD}|$，$\theta$ 为$\overrightarrow{AB}$ 与$\overrightarrow{CD}$ 的夹角，则有数量积公式 $\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{CD} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}| \cdot\cos{\theta}$3. 向量的向量积公式向量的向量积（也称为叉积或外积）是指两个向量相乘得到的另一个向量。

平面向量的内积与外积的几何意义

平面向量的内积与外积的几何意义平面向量是二维几何中常见的概念，它们不仅可以进行加减乘除等基本运算，还有很多与几何意义相关的应用。

其中，内积和外积是平面向量较为重要的运算，它们在几何上具有独特的意义。

本文将详细探讨平面向量的内积和外积，并解释它们在几何中的作用。

一、内积内积是平面向量运算中的一种重要形式，也称为点积或数量积。

给定两个向量a和b，它们的内积表示为a·b。

内积具体的计算方法是将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加。

例如，对于二维向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)，它们的内积为：a·b = a1 * b1 + a2 * b2内积具有以下几何意义：1. 投影：内积可以用来计算向量在另一个向量上的投影长度。

设向量a表示一条线段，而向量b表示一条方向，那么a·b的结果就是一个长度，表示a在b上的投影长度。

2. 角度：内积还可以用来计算两个向量之间的夹角。

设两个非零向量a和b，它们的夹角θ满足以下关系：cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)这个公式可以用来判断两个向量是否垂直或平行。

3. 正交：内积为0的向量称为正交向量，它们之间的夹角是90度。

正交向量在几何中具有重要的应用，例如，平面直角坐标系中的x轴和y轴就是正交的。

二、外积外积是平面向量运算中的另一种形式，也称为叉积或向量积。

给定两个向量a和b，它们的外积表示为a×b。

外积具体的计算方法是使用行列式的形式来计算，结果是一个向量。

例如，对于二维向量a=(a1,a2)和b=(b1, b2)，它们的外积为：a×b = a1 * b2 - a2 * b1外积具有以下几何意义：1. 方向：外积的结果是一个向量，它的方向垂直于原来两个向量所在的平面，并且遵循右手法则。

具体来说，如果右手的四指指向a的方向，中指指向b的方向，那么大拇指的方向就是a×b的方向。

平面向量及运算法则

平面向量及运算法则平面向量是指可以完整描述平面上的有方向和大小的物理量。

在数学中，平面向量通常用箭头上的字母表示，例如a或b，有时也用粗体字母表示，例如a或a。

平面向量具有位移、速度、加速度、力等物理量的特性。

平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法、点积和叉积等。

1.平面向量的加法：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的加法结果为a+a=(a+a)a+(a+a)a。

即，将两个向量的分量分别相加得到新向量的分量。

2.平面向量的减法：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的减法结果为a-a=(a-a)a+(a-a)a。

即，将两个向量的分量分别相减得到新向量的分量。

3.平面向量的数量乘法：设有一个平面向量a=aa+aa，它的数量乘法结果为aa=aaa+aaa。

即，将向量的每个分量都乘以一个标量k得到新向量的分量。

4.平面向量的点积（内积）：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的点积结果为a·a=aa+aa。

即，将两个向量的对应分量相乘并相加得到点积的结果。

点积的结果是一个标量，表示两个向量的夹角余弦乘以两个向量的长度之积。

5.平面向量的叉积（外积）：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的叉积结果为a×a=(0,0,aaa)，其中k为垂直于平面向量的单位向量。

即，叉积的结果是一个新的向量，其方向垂直于两个向量所在的平面，大小为两个向量长度的乘积与它们夹角的正弦值之积。

平面向量的运算法则有很多，下面列举几个常用的法则。

1.交换律：平面向量的加法满足交换律，即a+a=a+a。

2.结合律：平面向量的加法满足结合律，即(a+a)+a=a+(a+a)。

3.分配律：数量乘法和加法之间满足分配律，即a(a+a)=aa+aa。

4.点积的分配律：点积的分配律表示为(a+a)·a=a·a+a·a，其中a、a和a 分别是平面向量。

平面向量的内积

平面向量的内积平面向量的内积概念解释内积是向量的一种运算，也叫点积。

对于两个向量a和b，它们的内积可以表示为a·b，其中“·”表示内积符号。

在平面直角坐标系中，向量a和b的内积可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

性质1. 内积具有交换律：a·b=b·a2. 内积具有分配律：(c+a)·b=c·b+a·b3. 内积具有结合律：k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)4. 如果两个向量的夹角为90度，则它们的内积为0。

5. 如果两个向量不共线，则它们的内积不为0。

6. 如果一个向量与自身做内积，则结果为该向量模长的平方。

应用1. 向量投影通过计算一个向量在另一个向量上的投影长度，可以得到这两个向量之间夹角的余弦值。

这在计算机图形学中非常常见。

2. 判断两条直线是否垂直如果两条直线所对应的向量垂直，则它们的内积为0。

3. 计算向量的模长通过向量的内积公式，可以计算出一个向量的模长。

4. 计算两个向量之间的夹角通过向量的内积公式，可以计算出两个向量之间的夹角。

5. 判断两条直线是否平行如果两条直线所对应的向量平行，则它们的内积为两个向量模长之积乘以它们之间夹角的余弦值。

6. 判断三角形是否直角三角形如果一个三角形中有一条边与另一条边垂直，则这两条边所对应的向量垂直，它们的内积为0。

如果这个三角形中有两条边所对应的向量垂直，则这个三角形是直角三角形。

总结平面向量内积是一种非常重要且常用的运算，它不仅可以用于计算向量投影、判断两条直线是否垂直或平行、计算夹角等问题，还可以用于解决几何问题和物理问题。

因此，在学习数学和物理时，掌握平面向量内积是非常重要和必要的。

平面向量的数量积和点积

平面向量的数量积和点积在数学中，向量是用来表示有大小和方向的量的。

而平面向量是指在一个平面内的向量，它由两个实数（或复数）组成。

平面向量的数量积和点积是两个重要的概念，它们在向量运算中起着关键的作用。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，表示了两个向量之间的夹角关系。

设有两个平面向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$和$\vec{b}=(x_2,y_2)$，它们的数量积可以用如下公式表示：$$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$$其中，$\cdot$表示数量积的运算符。

从公式中可以看出，数量积的结果是一个标量，即一个实数。

根据数量积的定义，我们可以得到一些重要的性质：1. 交换律：$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$，表示数量积满足交换律，与向量的顺序无关。

2. 分配律：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c} $，表示数量积满足分配律，可以按照矩阵乘法的性质进行运算。

二、点积与夹角的关系数量积不仅可以表示两个向量之间的夹角关系，还可以通过夹角的余弦值来计算数量积。

根据余弦定理，两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$之间的夹角$\theta$可以用下面的公式表示：$$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$其中，$|\vec{a}|$和$|\vec{b}|$分别表示向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的模。

这个公式非常重要，因为它可以帮助我们计算向量的夹角，而不需要直接通过几何图形进行推导。

三、数量积的几何意义数量积还有一个重要的几何意义，它可以帮助我们计算向量之间的投影。

设有向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，以及它们之间的夹角$\theta$，那么$\vec{b}$在$\vec{a}$上的投影可以表示为：$$\text{proj}_\vec{a}\vec{b}=|\vec{b}|\cos\theta$$通过数量积的计算，我们可以轻松得到投影的结果。

《平面向量的内积》教案

W可由下式计算：W＝｜｜·｜｜cosθ，其中θ是与的夹角.
若把功W看成是两向量和的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量的内积（数量积）的概念.
力与位移都是向量，功W叫做向量与向量的内积，它是一个数量，又叫做数量积。
四．新知探究
1.两个非零向量的夹角定义：设有两个非零向量与，作＝ , ＝ , 则由射线OA与OB所形成的角∠AOB 叫做向量与的夹角，记做〈，〉,规定0º≤〈，〉 ≤180º
7.3.1《平面向量的内积》教案9-10
课题
7.3.1平面向量的内积
主备人
赵志慧
课时
2
时间
6月
学习目标：
1.掌握平面向量数量积的定义
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律
学习重点：平面向量的数量积定义.
学习难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
学习过程：
一．知识回顾：
1.向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量的积是__________，记作_____，
二．情景创设
问题1.我们已经学习了向量的加法，减法和数乘向量，它们的运算结果都是___量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？
三．学生探究
联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。
问题2.在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功为多少？
⑴当〈，〉＝0º时，向量与同向;
⑵当〈，〉＝180º时，向量与反向;
⑶当〈，〉＝0º或〈，〉＝180º时，与平行（共线），记做 ∥ ；
⑷当〈，〉＝90º时，与垂直，记做 ⊥ 。

平面向量内积

7.3
平面向量内积
【考纲要求】 1.理解平面向量内积(数量积)及其运算法则;
2.能运用平面向量内积运算解决有关实际问题.
【学习重点】
平面向量内积计算公式的应用.
一、自主学习
(一)知识归纳
1.平面向量的夹角
→
→
设有非零向量 a 和 b,如图 7-10,作=a,=b,则由有向线段
→
→
,所夹的角叫做向量 a 和 b 的夹角,记作<a,b>,我们不妨简记为 θ,
(5)|a·b|≤|a||b|.
4.向量内积的运算法则
(1)a·b=b·a.(交换律);
(2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)(数乘结合律);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
注意:(a·b)·c=a·(b·c)不成立,并且 a·b=a·c 也不能推出 b=c.
5.向量内积的坐标表示
→
→
∴·=6×6×cos120°=-18;
→
→
·
=6×3 cos150°=-27.
→
→
→
6.已知 n=(-1,1),=(3,-2),n ·=10,求 n ·.
→
解:∵n=(-1,1),=(3,-2),
→
∴n ·=-5;
→
→
→
→
又 n ·=10,∴n ·=n ·(-)
解:∵a·b=1×3-2×(-1)=5,
|a|= + (−) = ,
|b|= + (−) = ,
·

∴cosθ=| ·|= × = ,

∵0°≤θ≤180°,
∴θ=450.
二、探究提高

平面向量的内积

a b b a
•
（2）

(a b) ( a) b a ( b)
•
（3）

(a b) c a c b c
例3、已知|

a |
5,|

b
|
4,

600
，求

(2 a b) b 。
课堂小结
• 1、两平面向量夹角； • 2、平面向量的内积及性质； • 3、运算方法和运算律。
平面向量的内积平面向量的内积ppt平面向量平面向量的内积教案向量的内积向量内积的几何意义复向量的内积复数向量的内积向量的内积公式向量的内积和外积
平面向量的内积
复习
• 1、向量的坐标表示：
平面直角坐标系中的任一向量都可以唯一
表示成

a

xi

yj
的形式。
我们把

a xiy j
叫做向量的
y
a
坐标形式，记作

a
=（x，y），
N

a
=（x，y）叫做向量

a
的坐标
j
o i
P(x,y)
M
x
表示。
•
对于直角坐标平面上任意向量

a
，
将它的起点移至原点O，则其终点的坐标为
P（x，y）就是向量

a
的坐标 . 即

a =（x，y）
y
a
N
j
o i
P(x,y)
M
x
•
2、向量

a

xi
y

j

平面向量的内积教案

平面向量的内积教案一、教学目标1.了解平面向量的定义；2.掌握平面向量的表示方法；3.理解平面向量的内积的概念；4.学会求解平面向量的内积；5.应用平面向量的内积解决实际问题。

二、教学重点1.平面向量的内积的概念；2.平面向量的内积的计算方法；3.平面向量内积在实际问题中的应用。

三、教学难点1.平面向量内积的计算方法；2.平面向量内积在实际问题中的应用。

四、教学准备1.教师准备：教案、黑板、彩色粉笔等；2.学生准备：课本、笔记本。

五、教学过程1.引入新课（5分钟）教师通过提问：平面上有哪些物理量是有方向的？学生回答：力、速度、位移等。

教师进一步引导学生思考：这些具有方向性的物理量是如何表示的？学生回答：用向量表示。

教师指出：在平面上，我们可以用平面向量来表示有方向的物理量。

2.讲解平面向量的定义和表示方法（10分钟）教师将平面向量的定义和表示方法写在黑板上，然后对其进行详细解释和讲解，并配以例题进行说明。

3.讲解平面向量的内积的概念（10分钟）教师通过出示两个平面向量的图形，引导学生思考：如何判断两个向量之间的夹角是否为直角？学生回答：可以通过两个向量的乘积来判断。

教师进一步解释：这个乘积就是平面向量的内积，记作A·B，其中A和B 表示两个平面向量。

4.讲解平面向量的内积的计算方法（15分钟）教师通过例题向学生展示平面向量内积的计算方法，并对其进行详细解答。

教师还可以通过练习题让学生进行练习，加强对内积的计算方法的理解。

5.通过实际问题应用平面向量内积（15分钟）教师出示一个实际问题，引导学生运用平面向量内积的概念和计算方法来解决问题。

教师可以给予学生一定的提示，帮助学生解决问题，并鼓励学生自己找到问题的解决方法。

6.总结与扩展（10分钟）教师对本节课的内容进行总结回顾，并强调平面向量内积的重要性和应用范围。

教师还可以通过给出一些拓展问题来进一步提高学生的思维能力和解决问题的能力。

七、教学反思本节课通过引入新课、讲解平面向量的定义和表示方法、讲解平面向量的内积的概念和计算方法以及通过实际问题应用平面向量内积等步骤，全面深入地讲解了平面向量的内积。

平面向量内积推导

平面向量内积推导
摘要：
一、平面向量内积的定义与意义
二、平面向量内积的性质与运算规律
三、平面向量内积的推导过程
四、平面向量内积在实际问题中的应用
正文：
一、平面向量内积的定义与意义
平面向量内积是一种度量向量之间相似度的方法，它反映了两个向量在方向和长度上的相似程度。

给定两个二维平面向量A=(a1, a2)和B=(b1, b2)，它们的内积定义为：
A·B = a1*b1 + a2*b2
内积的值范围在-1到1之间，接近1表示两个向量高度相似，接近-1表示两个向量高度相反，等于0表示两个向量垂直。

二、平面向量内积的性质与运算规律
1.交换律：A·B = B·A
2.结合律：(A·B)·C = A·(B·C)
3.分配律：A·(B+C) = A·B + A·C
4.对称性：A·B = B·A
5.标量乘法的传递性：kA·kB = (k·k)·A·B
三、平面向量内积的推导过程
平面向量内积的推导过程主要包括以下几个步骤：
1.基于向量的点积定义，展开A·B的计算过程。

2.利用向量的坐标运算，将点积表达式转化为坐标形式。

3.化简坐标形式的点积表达式，得到内积的简化形式。

四、平面向量内积在实际问题中的应用
1.几何问题：求解向量的夹角、向量的模长、判断向量之间的共线关系等。

2.线性代数问题：求解矩阵的特征值、特征向量，以及矩阵的秩等。

3.机器学习问题：应用于文本相似度计算、图像特征提取、推荐系统等。

求平面向量数量积的5种方法

求平面向量数量积的5种方法平面向量的数量积（也称为内积、点积或标量积）是两个向量的乘积，结果是一个标量（即一个数），代表了两个向量之间的相似度。

平面向量数量积可以通过多种方法进行计算。

本文将介绍五种常用方法，包括点乘法、分量法、向量夹角法、模长法和运算法。

一、点乘法点乘法是最常用的计算平面向量数量积的方法。

给定两个向量A=(a1,a2)和B=(b1,b2)，则它们的数量积记作A·B，计算公式如下：A·B=a1*b1+a2*b2二、分量法分量法是另一种常用的计算平面向量数量积的方法。

当向量A=(a1,a2)和B=(b1,b2)的夹角为θ时，它们的数量积可以用以下公式表示：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。

三、向量夹角法向量夹角法是通过向量夹角公式直接计算平面向量数量积的方法。

若向量A与向量B之间的夹角为θ，则它们的数量积可以计算如下：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。

四、模长法模长法是一种通过计算向量的模长与夹角的余弦值来求解平面向量数量积的方法。

若向量A的模长为，A，向量B的模长为，B，向量A与向量B之间的夹角为θ，则它们的数量积可以计算如下：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。

五、运算法运算法是一种通过平面向量的加、减、乘、除等运算求解数量积的方法。

根据数量积的性质，有以下运算法则：-若A·B=0，则向量A与向量B相互垂直。

-若A·B>0，则向量A与向量B夹角小于90度，即为锐角。

-若A·B<0，则向量A与向量B夹角大于90度，即为钝角。

数学复习：平面向量数量积的计算

数学复习：平面向量数量积的计算一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19352.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b 满足a =，)(21R e e b ∈+=λλ ，其中21,e e 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b ，恒有4a b +≥ ，则21,e e 夹角的最小值是（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π2例2-2.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点E 在边BC 上，3BC BE =，若G 为线段DC 上的动点，则AG AE ⋅的最大值为（）A ．2B ．83C ．103D ．43.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（）6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC =，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6平面向量数量积的计算答案一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a b+=，因此，()1919cos,5735a a ba a ba a b⋅+<+>===⨯⋅+.2.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b满足4a=，)(21Reeb∈+=λλ，其中21,ee为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b，恒有4a b+≥，则21,ee夹角的最小值是（）A．6πB．π4C．π3D．π2【解析】因a=221()||cos,0||cos,8a b a b b b a b b a b+⇔+≥⇔〈〉≥⇔≥〈〉，依题意，||2b≥恒成立，而21eebλ+=，21,ee为不共线的单位向量，即有2221,cos21be=++λλ，于是得21,cos221,cos21221221++⇔≥++λλλλeee恒成立，则02,cos4212≤-=∆ee，即有22,cos2221≤≤-e，又π≤≤21,0ee，解得43,421ππ≤≤ee，所以21,ee夹角的最小值是π4.例2-2.已知菱形ABCD的边长为2，120BAD︒∠=，点E在边BC上，3BC BE=，若G为线段DC上的动点，则AG AE⋅的最大值为（）A．2B．83C．103D．4【答案】B【解析】由题意可知，如图所示因为菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，所以2AB AD == ,1cos1202222AB AD AB AD ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，设[],0,1DG DC λλ=∈ ，则AG AD DG AD DC AD AB λλ=+=+=+ ，因为3BC BE =，所以1133BE BC AD ==,13AE AB BE AB AD =+=+ ,()2211(1333AG AE AD AB AB AD AD AB AD ABλλλ⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪⎝⎭ ()22110222123333λλλ⎛⎫=⨯+⨯++⨯-=- ⎪⎝⎭,当1λ=时，AG AE ⋅ 的最大值为83.3.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]【答案】D【解析】在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图：则(3,0)A ，(0,4)B ，(0,0)C ，设(,)P x y ，因为1PC =，所以221x y +=，又(3,)PA x y =-- ，(,4)PB x y =--，所以22(3)(4)34341PA PB x x y y x y x y x y ⋅=----=+--=--+，设cos x θ=，sin y θ=，所以(3cos 4sin )15sin()1PA PB θθθϕ⋅=-++=-++ ，其中3tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，PA PB ⋅有最小值为4-，当sin()1θϕ+=-时，PA PB ⋅有最大值为6，所以[4PA PB ⋅∈- ，6].变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．【答案】98-【解析】建立平面直角坐标系如下，则(2,0)B ，(0,2)C ，(1,0)M ，直线BC 的方程为122x y+=，即2x y +=，点P 在直线上，设(,2)P x x -，∴(1,2)MP x x =-- ，(,)CP x x =-，∴22399(1)(2)232()488MP CP x x x x x x x ⋅=---=-=--- ，∴MP CP ⋅ 的最小值为98-．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]【解析】由cos ,AP AB AB AP AP AB ⋅=⋅ ，可得AP AB ⋅ 为AB 与AP 在AB方向上的投影之积.正六边形ABCDEF 中，以D 为圆心的圆Q 与DE 交于M ，过M 作MM AB '⊥于M '，设以C 为圆心的圆Q 与AB 垂直的，切线与圆Q 切于点N 与AB 延长线交点为N '，则AP 在AB方向上的投影最小值为AM '，最大值为AN ',又1AM '=，cos 6014AN AB BC '=++=，则248AP AB ⋅≤⨯= ，212AP AB ⋅≥⨯= ，则AP AB ⋅ 的取值范围是[2,8].5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-【解析】（方法1.几何法）设点M 为BC 中点，可得→→→=+PM PC PB 2，再设AM 中点为N ，这样用极化恒等式可知：22212→→→→-=⋅AM PN PM P A ，在等边三角形ABC ∆中，3=AM ，故→→⋅PM P A 取最小值当且仅当2322-=⋅→→→PN PM P A 取最小，即0||=→PN ，故23)(min -=⋅→→PM P A .（方法2.坐标法）以BC 中点为坐标原点，由于(0A ，()10B -，，()10C ，．设()P x y ，，()PA x y =- ，()1PB x y =--- ，，()1PC x y =--，，故()2222PA PB PC x y ⋅+=-+ 2233224x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，32y =．例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P ，则PA PB PA PC ⋅+⋅ 的最小值为（）A ．14B ．10C ．8D ．2【解析】（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记BC 中点为M ，AM 中点为N .由于→→→→→⋅=+⋅PM P A PC PB P A 2)(，而)41(2222→→→→-=⋅AM PN PM P A .由于ABC ∆为等边三角形，则M O A ,,三点共线，且由于O 是外心，也是重心，故32=⇒=AM OA .则→→→→⇔+⋅min min ||)]([PN PC PB P A ，显然，由P 在圆外，且N O ,共线（AM 中点为N ），则25||||||min =-=→→→ON OP PN .综上所述，8212)]([22min min =⋅-=+⋅→→→→→AM PN PC PB P A .（法2.基底法）()()()()PA PB PA PC PO OA PO OB PO OA PO OC ⋅+⋅=+++++ 22()()PO PO OA OB OA OB PO PO OA OC OA OC=+++⋅++++⋅ 22()PO PO OA OB OA OC OA OB OA OC =+++++⋅+⋅ ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，因此1cos 22()22OA OB OA OB AOB ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯-=- ，3OP == ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，所以原点O 是等边ABC ∆的重心，因此0OA OB OC ++= ，所以有：18221414cos PA PB PA PC PO OA OP OA OP OA AOP⋅+⋅=+⋅--=-⋅=-⋅⋅∠ 146cos AOP =-∠，当0AOP ∠=时，即,OP OA 同向时，PA PB PA PC ⋅+⋅ 有最小值，最小值为1468-=.6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，点O 在AB 、AC 上的射影是点D 、E ，它们分别为AB 、AC 的中点．由数量积的几何意义，可得21182BO BA BA BD AB ⋅=⋅== ，23212BC BO BC BE BC ⋅=⋅== ．又2π3B =，所以1cos 68242BA BC BA BC B ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又BO xBA yBC =+ ，所以()2362418BO BA xBA yBC BA BA C x y BA x B y =+⋅⋅=+⋅=-= ，即1286x y -=．同理()2246432BO BC xBA yBC BC C y x B BC y BA x ⋅⋅=++⋅=+==- ，即384x y -+=，解得1091112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以710113434912x y +=⨯+=⨯．例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC = ，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】如图，O 为ABC ∆的外心，设,D E 为,AB AC 的中点，则,OD AB OE AC ⊥⊥,故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅ ||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅ ||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ 2222111||41||2222210AB AC +=+⨯⋅== .。

(完整版)平面向量的内积教案.doc

平面向量的内积【教学目标】知识目标：（ 1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（ 2）了解平面向量内积的计算公式. 为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义, 培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积 . 其符号是由夹角决定；（ 2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：o（ 1）当 <a,b>＝ 0 时， a· b＝ |a||b|；当 <a,b>＝180时， a· b＝－ |a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（ 2） |a|＝ a a 显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；a b（ 3） cos<a,b>＝，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（ 4）“ a· b＝ 0a b”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时． (80 分钟)【教学过程】【新知识】 * 揭示课题7.3 平面向量的内积* 创设情境兴趣导入F30Os图 7—21如图 7－ 21 所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成30 角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？动脑思考探索新知我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－ 22 所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F x i + y j F sin 30o i F cos30o j ，即力 F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即W ＝｜ F｜ cos 30 ·｜ s｜＝ 100×33 （J）·10＝ 5002yF(x,y)jOi x这里，力 F 与位移 s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量 F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积， W 叫做向量 F 与向量 s 的内积 ,它是一个数量，又叫做数量积．uuur uuur如图 7－ 23，设有两个非零向量 a, b，作 OA ＝ a, OB ＝b,由射线 OA 与 OB 所形成的角叫做向量 a 与向量 b 的夹角，AaO b B图 7－23记作 <a,b>．两个向量 a, b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积，记作 a·b, 即a·b＝｜ a||b|cos<a,b>(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝ F · s.由内积的定义可知a· 0＝ 0, 0· a＝ 0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）（2）（3）o当 <a,b>＝ 0 时， a· b＝ |a||b|；当 <a,b>＝180时， a· b＝- |a||b|.a bcos<a,b>＝.当 b＝a 时，有 <a,a>＝ 0，所以 a· a＝ |a||a|＝ |a|2，即 |a|＝ a a .（ 4）当a, b90o时， a b，因此， a· b＝ a b cos90o0, 因此对非零向量a， b，有a· b＝ 0 a b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1） a· b＝b· a．（2） ( a )· b＝ (a· b)＝ a· ( b)．（3） (a＋ b)· c＝ a· c＋ b· c．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a·(b·c)≠（ a· b）· c.请结合实例进行验证.*巩固知识典型例题例 1 已知 |a|＝ 3,|b|＝ 2, <a,b>＝60 ,求 a· b．解 a· b＝ |a||b| cos<a,b> ＝3× 2× cos 60＝ 3．例 2 已知 |a|＝ |b|＝ 2 ,a· b＝ 2 ,求<a,b>．解cos<a,b>＝ab ＝ 22＝ -. | a ||b | 2 2 2由于0≤ <a,b>≤180，所以<a,b>＝ 135o． * 理论升华整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量a, b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积，记作a·b, 即a· b＝｜ a||b|cos<a, b> (7.10)a· b 的几何意义就是向量 a 的模与向量 b 在向量 a 上的投影的乘积．知识典型例题例 3 求下列向量的内积：（1） a＝ (2,- 3), b＝ (1,3)；运用知识强化练习1.已知 |a|＝ 7， |b|＝ 4， a 和 b 的夹角为60，求 a· b．2.已知 a· a＝ 9,求 |a|．3.已知 |a|＝ 2,|b|＝ 3, <a,b>＝30，求 (2a＋ b)· b．动脑思考探索新知设平面向量a＝ (x1,y1),b＝ (x2,y2)，i，j 分别为 x 轴， y 轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j ＝0，又 | i |＝ |j|＝ 1，所以a· b＝ (x1 i＋ y j)· (x i＋ y j)1 2 2＝ x1 x2 i ?i＋ x1 y2 i ?j ＋ x2 y1 i ?j ＋ y1 y2 j ?j＝ x1 x2 |j |2＋ y1 y2 |j|2＝x1 x2＋ y1 y2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即a· b＝ x x ＋ y y2 (7.11)1 2 1利用公式 (7． 11)可以计算向量的模．设a＝ (x,y)，则a aga x2 y2，即a2 2(7.12) x y由平面向量内积的定义可以得到，当a、 b 是非零向量时，cos<a,b>＝ a b ＝x1 x2 y1 y2 . (7.13)x12 y12 x22| a || b | y22利用公式 (7.13) 可以方便地求出两个向量的夹角.由于 a b a· b＝ 0，由公式 (7.11) 可知a·b＝ 0x1 x2＋ y1 y2＝0．因此a bx1 x2＋ y1 y2＝ 0．(7.14) 利用公式 (7.14) 可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题．*巩固知识典型例题例 3 求下列向量的内积：（2） a＝ (2,- 3), b＝ (1,3)；（3） a＝ (2, - 1), b＝ (1,2)；（4） a＝ (4,2), b＝( - 2, - 3)．解 (1) a·b＝ 2× 1＋(- 3)× 3＝ - 7；(2)a· b＝ 2× 1＋ (- 1)× 2＝0；(3)a· b＝ 2× (- 2)＋ 2× (- 3)＝ - 14．例 4 已知 a＝ (- 1,2),b＝ (- 3,1).求 a· b, |a|,|b|, <a,b>．解a·b＝ (- 1)( - 3)＋ 2× 1＝5；|a|＝ a a ( 1)2 22 5 ；|b|＝ b b ( 3)2 12 10 ；cos<a,b>＝a b＝ 5 2 ，| a || b | 10 5 2 所以<a,b>＝ 45o．例 5 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a＝ (- 2, 3), b＝ (6, 4) ；(2) a＝ (0, - 1), b＝ (1, - 2)．解(1) 因为 a· b＝ (- 2)×6＋ 3× 4＝ 0，所以 a b．(2)因为 a· b＝ 0× 1＋ (- 1)×（ - 2) ＝2，所以 a 与 b 不垂直．运用知识强化练习1．已知 a＝ (5, - 4)， b＝ (2,3)，求 a· b．2．已知 a＝ (1, 3 )，b＝(0, 3 )，求<a,b>．3．已知 a＝ (2, - 3)， b＝ (3,－ 4)，c＝ (- 1,3),求 a· (b＋c)．4.判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a＝ (- 2, - 3)， b＝ (3, - 2)； (2) a＝ (2,0)， b＝ (0, - 3)；(3) a＝ (- 2,1)， b＝ (3,4)．5.求下列向量的模：a＝ (- 2, - 4)， b＝ (3, - 2) ； (2) a＝ (2,1)， b＝ (4, - 3) ；归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知 a＝ (5, - 4),b＝ (2,3), 求 a· b．2.已知 a＝ (2, - 3),b＝ (3, - 4),c＝ (- 1,3),求 a· (b＋ c)．*继续探索活动探究( 1) 读书部分：阅读教材( 2) 书面作业：教材习题7.3 A 组（必做）； 7.3 B 组（选做）。

平面向量内积及其运算

平面向量内积及其运算一 .教学内容分析：本课内容选自中等职业教育课改新教材（人教版基础模块，下册）§7.4 平面向量的内积及其运算。

本课主要内容是向量内积的定义及其运算,本节课是让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程.二.学生学习情况分析：本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的内积。

但是，对职业学校的学生来说，他们基础差，作为初学者不清楚向量内积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量内积的灵活应用。

通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。

利用向量内积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。

利用内积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。

通过物体做功研究向量的内积，深入浅出、符合学生的认知规律，易激发学生的学习兴趣和求知欲望。

三.设计思想：以启发式教学思想和简练结合的教学方法为指导，采用探究式教学，以物理背景入手，建立起学习向量概念及其表示方法的基础，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。

四.教学目标：1、理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件去求向量的内积。

2、理解掌握内积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

五.教学重点和难点:重点是平面向量内积的概念，平面向量内积基本性质及运算律；难点是平面向量内积的定义及运算律的理解，平面向量内积的应用。

六.教学过程设计：活动一：设置问题，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答：向量的加法、减法及数乘运算。

这些运算的结果是向量。

数学课本_平面向量的内积

平面向量的内积本节将介绍向量的另一种运算—内积。

内积的应用非常广泛，它可以用来求两向量的夹角、求两直线的交角、求三角形的面积及求某些函数的极值等，是向量用来处理几何问题的主要工具。

1向量的夹角与内积向量的夹角对于非零向量a与b，若此两向量始点不在同一点，我们可以将其中一个向量平移，使两个向量的始点重合，如图30 所示，此时的夹角θ（0°≦θ≦180°），称为向量a与b的夹角。

当a与b方向相同时，夹角为0°；方向相反时，夹角为180°。

图30注意在求两向量夹角时，必须将两向量的始点重合后再行判断。

例如图31 所示，设△ABC为正三角形，则AB与AC的夹角为60°，但AB与BC的夹角为120°。

图31向量的内积图32向量的内积源于一力对物体所作的“功”。

如图32 所示，设对一物体施力f时，此物体的位移为s，其中f与s的夹角为θ。

那么，在物理学中，我们知道施力f对该物体所作的功为W＝（沿位移方向的分力）‧（位移）＝∣f∣cos θ‧∣s∣＝∣f∣∣s∣cos θ。

在数学上，我们称功（W）为力（f）与位移（s）这两个向量的内积。

注意到功是一个纯量（只有大小，没有方向）。

底下我们以数学的方式介绍内积。

设a，b为平面上两个非零向量，其夹角为θ，如图33 所示，则a和b的内积a‧b定义为a‧b＝∣a∣∣b∣cos θ，即两向量的长度与其夹角余弦值的乘积。

例题1-----------------------------------------------------------------------------------------------------------(1) 设AB与AC两向量的夹角为45°，且∣AB∣＝4，∣AC∣试求AB‧AC之图33值。

(2) 如图34 所示，若∣a∣＝2，∣b∣＝3，试求a‧b之值。

图34------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 解(1) 内积的定义可得AB AC⋅＝cos45AB AC＝4‧2‧1 2＝4。

平面向量的内积PPT课件

(×)
7.对实数a,b,c有 (ab)c=a(bc) 对向量,是否有
(a.b)c=a(b.c)
.
9
4、向量数量积的运算律
运算律和运算紧密相连。引入向量数量积后，自然要看一看它满足怎样的运算律。看看向量数量
积已能知r否向r满量足ar 下r, br面,rcr的运和算实律数？，则向量的数量积满足：
（1）ab rr ba （r交r 换律r ） r
F
┓
s
力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
功是一个标量，它由力和位移两个向量来
确定。这给我们一种启示，能否把“功”
看成这两个向量的一种运算的结果呢？
.
4
a b 2、数量积的概念
已知两个非零向量
r
r
ra
a b cos 叫做 a 与b
r 和 b ，它们的夹角为，我们把数量
r
r
a
ABb O
A
r r 180 a 与 b 反向
.
B
r
r Ob r9ar 0 A a 与rb 垂r直，记作 a b 2
练习1、如图，等边三角形中，求
（1）AB与AC的夹角；
C'
（2）AB与BC的夹角。 C
120 60
A
通过平移变成共起点！
B
.
3
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
r b
.
6
变1：当
0 时求
ar
r •b
变2：当
90时求 ar
•
r b
变3：当
180 时求
ar
•

平面向量的数量积和向量积

平面向量的数量积和向量积平面向量是高中数学中的一个重要概念，它具有方向和大小，并且是可以进行运算的。

在平面向量的运算中，数量积和向量积是两个常见且重要的运算。

一、数量积1. 定义数量积又称为点积、内积或标量积，用符号"·"表示。

对于平面内两个向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，它们的数量积为：A·B = x₁x₂ + y₁y₂其中，x₁、x₂为A和B的横坐标，y₁、y₂为A和B的纵坐标。

2. 计算方法根据数量积的定义，计算方法简单直接。

对于任意两个向量A和B，只需将它们的横纵坐标带入公式即可。

例如，对于向量A(3,2)和向量B(4,-1)，它们的数量积为：A·B = 3*4 + 2*(-1) = 12 - 2 = 103. 特性数量积具有以下几个重要的特性：- 结果为标量：数量积的结果是一个数，即标量，没有方向。

- 交换律：A·B = B·A，即数量积满足交换律。

若夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|为向量的长度。

二、向量积1. 定义向量积又称为叉积、外积或矢量积，用符号"×"表示。

对于平面内两个向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，它们的向量积为：A×B = (0, 0, x₁y₂ - x₂y₁)其中，向量积是一个垂直于平面的向量，其大小为由A和B所张成的平行四边形的面积。

2. 计算方法根据向量积的定义，计算方法稍微复杂一些。

对于任意两个向量A 和B，只需将它们的横纵坐标带入公式，得到一个新的向量。

例如，对于向量A(3,2)和向量B(4,-1)，它们的向量积为：A×B = (0, 0, 3*(-1) - 4*2) = (0, 0, -11)3. 特性向量积具有以下几个重要的特性：- 结果为向量：向量积的结果是一个向量，具有方向和大小。

平面向量的夹角和内积

平面向量的夹角和内积平面向量是数学中重要的概念之一，它用来描述平面上的运动和力的作用。

在平面向量的运算中，夹角和内积是两个重要的概念。

本文将详细介绍平面向量的夹角和内积，并探讨它们的性质和应用。

夹角是指两个向量之间的角度差异。

对于给定的两个向量a和b，它们的夹角可以通过向量的内积来求解。

内积是向量运算中常用的操作，用来求解向量之间的相似度和投影等问题。

设a为向量a的模，b为向量b的模，θ为向量a和b的夹角，则向量a和b的内积可表示为：a·b = |a| |b| cosθ这个公式可以用于计算任意两个向量的夹角，只需要先计算出向量的模和内积，然后通过反余弦函数求解夹角即可。

夹角的性质有以下几点：1. 夹角的范围是0°到180°之间，夹角为0°表示两个向量重合，夹角为180°表示两个向量相互平行但方向相反。

2. 当夹角为90°时，两个向量互相垂直，即两个向量的内积为0。

3. 当夹角为锐角时，两个向量的内积为正数；当夹角为钝角时，两个向量的内积为负数。

平面向量的内积有以下性质：1. 内积满足交换律，即a·b = b·a。

2. 内积满足分配律，即a·(b+c) = a·b + a·c。

3. 内积与向量的模有关系，即a·b = |a| |b| cosθ。

其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示向量a和b的夹角。

4. 若a·b = 0，则说明向量a和向量b垂直。

5. 若a·b > 0，则说明向量a和向量b的夹角为锐角。

6. 若a·b < 0，则说明向量a和向量b的夹角为钝角。

平面向量的夹角和内积在几何和物理问题中具有广泛的应用。

例如，在平面几何中，可以利用夹角的概念来判断两条直线的相互关系。

当两条直线的夹角为90°时，它们互相垂直；当两条直线的夹角小于90°时，它们互相交叉；当两条直线的夹角大于90°时，它们互相分离。

向量内积运算法则

向量内积运算法则向量内积是线性代数中的重要概念，它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨向量内积的运算法则，包括定义、性质和应用。

1. 定义。

在二维空间中，我们可以将两个向量表示为：$\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$。

$\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$。

这两个向量的内积可以表示为：$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$。

在三维空间中，向量的内积可以表示为：$\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}$。

$\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}$。

这两个向量的内积可以表示为：$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$。

一般地，对于n维空间中的向量，其内积可以表示为：$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_ib_i$。

2. 性质。

向量内积具有以下性质：交换律，$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot\vec{a}$。

分配律，$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$。

数乘结合律，$k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = (k\vec{a})\cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b})$。

这些性质使得向量内积在实际应用中具有很大的灵活性，可以方便地进行运算和推导。

数学：《平面向量的内积》(人教A版必修3)

过程教学
整体性
自主性
创造性
五、教学过程设计
B
B
b
θ
b a B1 A
θ
O
B1
B
O
a

复习:指出向量b在向量a上的射影是什么
b
θ
O (B1)
a
A
B
B
b
θ
a
B1 A B B1
b
θ
O
O
a
A
b O (B1)
θ
a
A
射影： b 的模在向量 a 的方向上正射影的数量。
新课引入：
F
小车
θ s
w = F s cos
a· b a b
⑤ a·b ≤ a b
练习:判断下列命题的真假 1)若a=0,则对任意向量b,有a· b=0. ( ) 2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a· b≠0. ( ) 3)若a≠0, a· b=0,则b=0. ( ) 4)若a· b=0,则a,b中至少有一个为0.
( )
例题: a =5, b =4 ,a与b的夹 0 角θ=120 ,求a· b
平面向量的内积
肥城市职业中专赵健
一教材分析
1)教材所处的地位和作用 2)教学目标
延深证明余弦定理求线段长求角
加平面运算法与向量减法
实数与向量的积
向量的应数用量积
解斜三角形
应用能力平面几何
证垂直
巩固提高
1）知识目标： ①掌握平面向量的数量积及其几何意义。 ②了解用平面向量的数量积可以处理的有关长度、角度和垂直的问题。 ③掌握向量垂直的条件。 2）能力目标：掌握数形结合以及转化的数学思想，培养学生探索的能力和创新的精神。 3）德育目标：培养学生用联系、变化的眼光看问题和事物在一定条件下相互转化的辨证唯物主义观点，优化个性品质。