立体几何中的体积问题

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立体几何体积问题

1、在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=，//EF 平面ABCD ，22EA ED AB EF ====，M 为BC 中点.

（1）求证//FM 平面BDE ；

（2）若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离.

【答案】（1）见解析；（2

（2取AD 所以所以因为所以S ∆设F 所以由解得h =即F 2、如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，EF DC ，平面ABCD ⊥平面CDEF ，AE CF ⊥.

(1)求证CF DE ⊥；

(2)若CF DE =，24DC EF ==，求五面体ABCDEF 的体积.

【答案】(1)见解析(2)203

（Ⅱ因为平面所以FM 因为CF 所以FM ＝＋＝32MC =，O 为AD （Ⅰ）若（Ⅱ

【答案】方法二

∵平面

∵PAD ∆为等边三角形，2AD AB ==,∴AO =

∵底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，2AB =

由(Ⅰ)BO ⊥AD ∴11222OBC S BC OB ∆=

⨯⨯=⨯=∵PM=2MC

∴22212123333333

P OBM M POB C POB P OBC OBC V V V V S PO ----∆====⨯⨯=⨯= 4、已知多面体ABCDEF 中，四边形ABFE 为正方形，90CFE DEF ︒∠=∠=，22DE CF EF ===，G 为

AB 的中点，3GD =.

（Ⅰ）求证AE ⊥平面CDEF ；

（Ⅱ）求六面体ABCDEF 的体积.

【答案】（1）见解析（2）83

用等体积法解点到平面的距离和体积立体几何题

用等体积法解点到平面的距离和体积立体

几何题

体积立体几何问题是许多数学和工程领域经常遇到的问题之一。解决这类问题的一种方法是使用等体积法，它可以帮助我们计算点

到平面的距离和体积等相关参数。

1. 问题描述

假设有一个点和一个平面，我们想要计算点到该平面的距离和

体积。下面是一个简单的解题步骤：

- 第一步，我们首先需要确定平面的方程。平面的方程通常可

以通过已知的点或者法向量来确定。

- 第二步，通过点到平面的距离公式，我们可以计算出点到平

面的距离。距离公式为：

$$d = \left| \frac{{ax + by + cz + d}}{{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}}

\right|$$

其中，$(x, y, z)$ 是点的坐标，$ax + by + cz + d$ 是平面的方程，$(a, b, c)$ 是平面的法向量，$d$ 是平面的常数项。

- 第三步，如果我们需要计算点在平面上的投影点的坐标，我

们可以使用点到平面的距离公式的推导过程。对于平面的方程 $ax

+ by + cz + d = 0$，我们可以将点到平面的距离公式推导为：

$$P = \left( x-\frac{{a(ax+by+cz+d)}}{{a^2+b^2+c^2}}, y-

\frac{{b(ax+by+cz+d)}}{{a^2+b^2+c^2}}, z-

\frac{{c(ax+by+cz+d)}}{{a^2+b^2+c^2}} \right)$$

- 第四步，如果我们需要计算体积，我们可以将问题转化为计

算封闭图形的体积。具体的方法会根据所涉及的几何形状而有所不同。

【NO.189】空间立体几何体积最大问题（例题）

这个题目是刚刚结束的2019年深圳二模理科试题。

补成长方体或者说正方体是一种重要且简单的解题思路。

这种题目很容易出现下面这种错误的解法：

点评：这也是通过找出截面求体积的一种方法。这种方法将几何与圆锥曲线的有机结合，立意还是不错的，下面给出类似的几个题目供大家思考学习。

以上就是这一期的分享，多多积累方法和解决问题的手法，这样的问题就不再是难题了。

高考数学立体几何专题：等体积法

一、引言

在高考数学中，立体几何是一门重要的学科，它考察了学生的空间想象能力和逻辑推理能力。其中，等体积法是一种常用的方法，它在解决立体几何问题中具有重要的作用。本文将详细介绍等体积法的基本原理和应用，并通过实例来展示其用法。

二等体积法的基本原理

等体积法的基本原理是：对于同一个体积，可以将其分解为不同的几何形状，并且这些几何形状的体积相等。在立体几何中，常见的几何形状有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。这些形状的体积可以通过其高度、底面积和高度的乘积等参数来计算。

三等体积法的应用

等体积法在解决立体几何问题中具有广泛的应用。下面我们将通过几个例子来展示其用法：

1、求几何体的表面积和体积

例1：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的

表面积和体积。

解：该长方体的表面积为2(ab+bc+ac)，体积为abc。

2、判断两个几何体是否体积相等

例2：给定两个几何体，判断它们是否体积相等。

解：根据等体积法，我们可以分别计算两个几何体的体积，如果两个体积相等，则两个几何体体积相等；否则，两个几何体体积不相等。

3、求几何体的重心位置

例3：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的重心位置。

解：根据等体积法，我们可以将该长方体分成两个小的长方体，它们的重心位置与原长方体的重心位置相同。因此，我们只需要找到这两个小长方体的重心位置即可。

四、结论

等体积法是一种常用的方法，在解决立体几何问题中具有重要的作用。它可以帮助我们计算几何体的表面积和体积，判断两个几何体是否体

专题10：立体几何中的体积问题(解析版)

专题10：立体几何中的体积问题（解析版）

⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面

⑶圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面

h S V ⋅=柱体h S V ⋅=31

锥体()

V h S S S S =+⋅+下下台体上上球的表面积和体积 32344R V R S ππ==球球，. 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。

正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。

1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，点D 是AB 的中点.

（1）求证：1AC BC ⊥；

（2）若1CC BC =，求三棱锥1B BCD -的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）4

【分析】

（1）利用勾股定理，可得AC BC ⊥，结合1AC CC ⊥，根据线面垂直的判定定理以及性质定理，可得结果.

（2）计算∆BCD S ，1BB ，然后根据三棱锥的体积公式，可得结果.

【详解】

（1）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，

∴1CC ⊥平面ABC ，

∵AC ⊂平面ABC ，

∴1CC AC ⊥，

∵在ABC ∆中，3AC =，4BC =，5AB =，

∴222AC BC AB +=，

∴90ACB ∠=︒，

∴AC BC ⊥，

∵1CC ⊂平面11CC B B ，CB ⊂平面11CC B B ，

1CC CB C =，

∴AC ⊥平面11CC B B ，

∵1BC ⊂平面11CC B B ，

∴1AC BC ⊥.

培养数学问题的立体几何和体积计算的技巧

培养数学问题的立体几何和体积计算的技巧立体几何和体积计算是数学中的重要部分，它们需要我们掌握一些

技巧和方法。本文将介绍一些培养数学问题的立体几何和体积计算的

技巧，帮助读者更好地理解和解决相关问题。

一、立体几何的基本概念

在开始讨论立体几何问题之前，我们首先需要了解一些基本概念。

比如，什么是点、线、面和体。点是没有长度、宽度和高度的，它只

有位置。线是由无数个点组成的，它有长度但没有宽度和高度。面是

由无数个线组成的，它有长度和宽度但没有高度。体是由无数个面组

成的，它有长度、宽度和高度。

二、常见的立体几何问题

在实际生活中，我们经常会遇到一些立体几何问题。比如，如何计

算一个长方体的体积？如何计算一个圆柱体的体积？如何计算一个球

体的体积？下面，我们将逐个探讨这些问题。

（一）长方体的体积计算

长方体是一个典型的立体几何，它的体积计算非常简单。我们只需

要知道长方体的长、宽和高，然后用公式V = lwh计算体积即可。其中，V代表体积，l代表长，w代表宽，h代表高。

（二）圆柱体的体积计算

圆柱体也是一个常见的立体几何，它的体积计算稍微复杂一些。我

们需要知道圆柱体的底面半径r和高度h，然后用公式V = πr²h计算体积。其中，V代表体积，π代表圆周率，r代表底面半径，h代表高度。

（三）球体的体积计算

球体是一个特殊的立体几何，它的体积计算需要一些特殊的方法。

我们需要知道球的半径r，然后用公式V = 4/3πr³计算体积。其中，V

代表体积，π代表圆周率，r代表半径。

三、解决立体几何问题的技巧

除了上述三个常见的立体几何问题，我们还会遇到一些其他类型的

立体几何中的体积问题

立体几何中求解体积问题的技巧

求解体积是立体几何的重要教学内容，也是数学竞赛的常见考查内容之一。在解决这类问题时，除了要记住公式，还需要巧妙思考，根据具体条件灵活选择计算体积的方法。

一、公式法

举例来说，对于一个四面体ABCD，已知

AB=AC=AD=DB=5，BC=3，CD=4，求该四面体的体积。根据题意，可知BC=3，CD=4，DB=5，因此∠BCD=90°。我们可以取BD的中点E，连结AE、CE，由直角三角形的性质可知BE=CE=DE，而AB=AC=AD=5，因此

△ABE≌△ACE≌△ADE。由此可得AE⊥BD，AE⊥EC，因此AE⊥平面BCD，即AE为平面BCD上的高。计算可知

V(ABCD)=1/3×S(BCD)×AE=1/3×6×4=8/3.

变式1：对于一个三棱锥P-ABC，已知PA=1，AB=AC=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱锥A-PBC的体积。在

△PAB中，有PB²=PA²+AB²-2PA×AB×cos∠PAB=1²+2²-

2×1×2×cos60°=3.同理可得PA⊥PB，PA⊥PC，因此PA⊥平

面PBC。又因为AB=AC=2，∠BAC=60°，所以△ABC为正

三角形，BC=2.取BC的中点D，连结PD，则PD²=PB²-

BD²=3-1=2.因此S(△PBC)=1/2×BC×PD=2.故V(A-

PBC)=1/3×S(△PBC)×PA=2/3.

二、分割法

对于一个正四棱锥P-ABCD的体积为1，已知E、F、G、H分别是线段AB、CD、PB、PC的中点，求多面体BEG-

立体几何与体积计算在实际问题中的应用

立体几何与体积计算在实际问题中的应用近年来，立体几何与体积计算在实际问题中的应用越来越受到人们的关注。无论是建筑设计、工程施工还是制造业等领域，准确计算物体的体积都是必不可少的。本文将探讨立体几何与体积计算在实际问题中的重要性，并通过具体例子来说明其应用价值和方法。

一、立体几何在实际问题中的应用

立体几何是研究三维空间中物体形状、大小以及其相互关系的数学分支。在实际问题中，立体几何可以用于解决各种设计和计算难题。以下是几个典型的应用案例。

1. 建筑设计

在建筑设计中，立体几何的应用非常广泛。设计师需要计算建筑物的体积、表面积、几何中心等信息，以便进行合理的规划和设计。立体几何可以帮助设计师通过计算体积来确定建筑物的大小，确保室内空间的合理利用，从而提高建筑物的舒适性和使用效率。

2. 工程施工

在工程施工中，立体几何的应用也十分重要。施工人员需要准确计算各种工程构件的体积，以便控制材料的使用和成本。例如，在道路施工中，通过计算道路沥青层的体积可以确定所需沥青的用量，从而避免浪费和不必要的成本。立体几何的运用可以使工程施工更加高效和精确。

3. 制造业

在制造业中，立体几何的应用主要体现在产品设计和制造过程中。制造商需要计算产品的体积、容量、表面积等参数，以便确定材料的用量和产品的特征。通过立体几何的计算，制造商可以准确评估产品的质量和效能，并作出相应的调整和优化。

二、体积计算在实际问题中的应用

体积是立体几何中最常用的计量指标之一。体积计算的准确性对于解决实际问题非常重要。以下是体积计算在实际问题中的应用示例。

立体几何中体积与距离的问题

B A

B 1

D 1C 1

A 立体几何中体积与距离的问题

考点一：两条异面直线间的距离

例1 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点.求证：(1)EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；

考点二：点到平面的距离

例2如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，当E 为AB 的中点时，

（1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）求点E 到面ACD 1的距离；

例3正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。（1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离．

考点三：几何体的体积

1、如图所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3CD =，2=PD ．求三棱锥ABC P -的体积；

2、已知四棱锥P ABCD -的底面A B C D 是边长为4的正方形，PD ABCD ⊥平面，6,,PD E F =分别为,PB AB 中点。

(1)证明：BC PDC ⊥平面; (2)求三棱锥P DEF -的体积。

图5

3.已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ∆是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，G F E ,,分别是BC PC PD ,,的中点．

1）求平面EFG ⊥平面PAD ；2）若M 是线段CD 上一点，求三棱锥EFG M -的体积．

立体几何体积问题

1、在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且DAB 60°, EF//平

面ABCD，EA ED AB 2EF 2，M 为BC 中点.

（1）求证FM //平面BDE ；

（2）若平面ADE 平面ABCD，求F到平面BDE的距离.

【答案】（1）见解析；（2）丄5

【解析】试题分析，

⑴取CD中点N,连接磁由线面平行的判定定理可得坤"平面BDE.再^EF!f平面

ABCD可得EF f W;由題青可证得四边形EFND为率亍四边嗷故得KV//ED ,从而得到KV/!平面BDE f由面面平行的判罡可得平面斫皿门平面£DE f由此可得结论成立.⑵ 由⑴ 得FMH平面蛊DE ,故尸到平面*的跑寓等于血到平面EQE的距暮取血的中邑H ,连接EH=RH ,可证得甘丄",BH'AD ,从而可得阳丄平面ABCD,在此基础上可得j j .然后设卩到平面BDE的距离为h ‘由=乩顾可得所求-

试题解析

（1）取8中点N，连播亦用,

因为S 分别为CQ/C卬点，所以，胚VJE6

又RDu平面BDE ?且脸Md平画RDE,所以胚讥仃平面EDE ?

因为平面屈CD ,EF匚平面ABEF,平面ABCDc平面JBEF = AB f

所^EF/fAB .

又AB = CD = 2DN= 2EF=2 ? AB //CD ,

所^EF//CD f EF =DN.

所以四边形皿网洵平彳亍四边形，

所SFWfED.

又ED u平面BDE且EV工平面BDE,所以FM/平面BDE、

又FNr\MN = N f所以平面A1FN!/平面BDE・

解题技巧如何巧妙解决立体几何中的体积与表面积问题

解题技巧如何巧妙解决立体几何中的体积与

表面积问题

立体几何是数学中一个重要的分支，它研究物体的形状、体积、表

面积等性质。在解决立体几何中的体积与表面积问题时，我们需要掌

握一些解题技巧，以便更加高效地解决这类问题。本文以此为出发点，介绍一些巧妙的解题技巧，帮助读者在解决立体几何中的体积与表面

积问题时更加得心应手。

一、立体几何基础知识回顾

在介绍解题技巧之前，我们先来回顾一些立体几何的基础知识。在

三维空间中，我们常见的几何体包括立方体、圆柱体、锥体、球体等。这些几何体的体积和表面积是解题的关键。

二、体积问题的解题技巧

1. 立方体的体积

首先来看立方体的体积计算。立方体的体积等于边长的立方，即V = a³。当只给出边长的一半或者三分之一时，可以通过平方或者立方计算，再乘以相应的系数得到体积。

2. 圆柱体的体积

圆柱体的体积计算公式为V = πr²h，其中π取近似值3.14，r为底面

圆的半径，h为圆柱体的高。当只给出直径或者底面周长时，可以通过

相关公式计算得到半径，再代入体积公式求解。

3. 锥体的体积

锥体的体积计算公式为V = (1/3)πr²h，其中r为底面圆的半径，h为

锥体的高。当只给出锥体的半径或者底面周长时，同样可以通过相关

公式计算得到半径，再代入体积公式求解。

4. 球体的体积

球体的体积计算公式为V = (4/3)πr³，其中r为球体的半径。当只给

出球体的直径时，可以通过直径与半径的关系计算得到半径，再代入

体积公式求解。

三、表面积问题的解题技巧

1. 立方体的表面积

立方体的表面积等于6倍的边长的平方，即S = 6a²。当只给出边长

《立体几何中的体积计算与距离问题》

【分析】
（1）取的中点，连接，求证平面平面，即可证明
平面；
（2）连接，，由题可得异面直线与所成角即为相交线与所成角，求出的三边长，利用余弦定理即可得到答案。
【详解】
（1）证明：取的中点，连接，
在中，为，为；
；
又四边形为菱形，；
；
在中，为，为中点，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又平面平面，
∴ 平面．
（2）解：
∵ 底面，
∴ 底面，
∴ 为三棱锥的高．
∵ ，
∴ ．
又
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查空间中线面关系的证明和三棱锥体积的求法，是立体几何中的常规题型，求三棱锥的体积时常用的方法是等积法，即将所求椎体的体积转化为容易求解的同体积的三棱锥的体积求解．
6．（1）证明见解析（2）三棱锥的体积
【解析】
试题分析：（1）由中位线定理可得 ∥ ∥平面 .再证得 ∥ ∥平面平面 ∥平面；（2）由（1）知，平面 ∥平面点到平面的距离等于点到平面的距离 .
试题解析：（1）证明：∵ 分别为的中点，
则 ∥ .又∵ 平面，平面，
∴ ∥平面 .
在中，，∴ .
立体几何中的体积计算与点到平面的距离问题

立体几何中常见体积问题的求解

立体几何中有关体积的求法

一、常见图形的面积求解方法。

二、空间中常见几何体的体积公式。

三、空间中常见求体积问题变换方法。

等价转换法：当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．

1.在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱11111A B A D A A ，，上的点，且满足

11112A M A B =

，112A N ND =，113

A P A A =（如图1）

，试求三棱锥1A MNP -的体积．

2.（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱

1111ABCD A B C D -中,//AB CD ,AD AB ⊥,2AB =,2AD =,13AA =,E 为CD 上一点,1DE =,

3EC =.求三棱锥111B EA C -的体积．

割补法：割补法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．

3.如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比

4.如图，是一个平面截长方体的剩余部分，已知12,8,5,3,4=====CG BF AE BC AB ，求几何体EFGH ABCD -的体积。

5.如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是菱形，

060ABC ∠=，其侧面展开图是边长为8的正方形。E 、F 分别是侧棱1AA 、

立体几何中的体积公式计算与推导

立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是三维空间中的图形和体积。其中，计算和推导体积公式是立体几何中的关键问题之一。本文将探讨几个常见的立体体积公式，并介绍它们的计算方法和推导过程。

一、长方体的体积公式

长方体是最简单的立体图形，它的体积公式为：体积 = 长 ×宽 ×高。这个公式可以通过将长方体切割成小立方体来推导得到。我们可以将长方体切割成n个小立方体，每个小立方体的体积为单位体积，即1。所以，整个长方体的体积就是n个

单位体积的总和，即n × 1 = n。而n就是长方体的长、宽、高的乘积，即长 ×宽 ×高。

二、正方体的体积公式

正方体是一种特殊的长方体，它的长、宽和高相等。正方体的体积公式可以通

过长方体的体积公式推导得到。因为正方体的长、宽和高相等，所以它的体积公式可以简化为：体积 = 边长 ×边长 ×边长，即体积 = 边长的立方。这个公式可以通

过将正方体切割成小立方体来推导得到，与长方体的推导过程类似。

三、圆柱的体积公式

圆柱是一个常见的立体图形，它的体积公式为：体积 = 底面积 ×高。底面积可以通过圆的面积公式计算得到，即底面积= π ×半径的平方。将这个公式代入圆柱

的体积公式中，即可得到圆柱的体积公式：体积= π × 半径的平方 ×高。这个公式

可以通过将圆柱切割成无数个薄片，然后将这些薄片展开成一个长方体来推导得到。

四、球体的体积公式

球体是一个特殊的立体图形，它的体积公式可以通过球的表面积公式推导得到。球的表面积公式为：表面积= 4π × 半径的平方。将球体切割成无数个薄片，然后

数学立体几何大题

数学立体几何是数学中的一门重要分支，通过研究空间中的各种形状和性质，帮助我们理解和解决现实生活中的实际问题。下面将为大家介绍几道关于数学立体几何的大题，希望能帮助大家更好地理解和应用相关内容。

题目一：长方体体积计算

已知长方体的底面积为25平方厘米，高度为8厘米，请计算该长方体的体积。

解析：长方体的体积可以通过底面积与高度的乘积得到，即V = S×h。根据题目给出的数据，底面积S=25平方厘米，高度h=8厘米，代入公式计算得到该长方体的体积V=25平方厘米×8厘米=200立方厘米。

题目二：正方体表面积计算

已知正方体的边长为6厘米，请计算该正方体的表面积。

解析：正方体的表面积可由六个面的面积之和得到，每个面的面积都是边长的平方。根据题目给出的数据，边长为6厘米，代入公式计算得到该正方体的表面积S=6×6×6=216平方厘米。

题目三：球体体积计算

已知球体的半径为3厘米，请计算该球体的体积。

解析：球体的体积可以通过半径的立方与4/3的乘积得到，即V = (4/3)πr³。其中，π取3.14近似。根据题目给出的数据，半径为3厘米，代入公式计算得到该球体的体积V≈(4/3)×3.14×3×3×3=113.04立方厘米（保留两位小数）。

题目四：圆柱体表面积计算

已知圆柱体的底面半径为2厘米，高度为5厘米，请计算该圆柱体

的表面积。

解析：圆柱体的表面积由底面积、侧面积和顶面积之和得到。底面

积可以通过底面半径的平方与π的乘积得到，即S₁ = πr²。侧面积可以通过底面周长与高度的乘积得到，即S₂= 2πrh。顶面积与底面积相同，即S₃ = S₁。根据题目给出的数据，底面半径r=2厘米，高度h=5厘米，代入公式计算得到底面积S₁≈3.14×2×2=12.56平方厘米，侧面积

(完整word)立体几何中的体积问题

立体几何中体积问题的求解技巧

体积计算是立体几何的教学重点，也是数学竞赛的常见考查内容之一．解决这类问题时，除了牢记公式以外,还需要巧恩妙想,结合具体条件灵活选择计算体积的合适方法．

一、公式法

例 1 （2012 年江苏赛区初赛 7) 在四面体ABCD中, AB = AC =A D =DB=5 ，BC = 3,CD =4 ，则该四面体的体积为________

解析：根据题意，BC=3，CD =4 ,D B=5，则∠B C D =90°．

如图1,取BD的中点 E ，连结 AE、CE ，由直角三角形性质可知 B E = CE =D E ，而 A B = A C =A D =5,

所以△ABE ≌△ACE ≌△ADE ，从而有 AE⊥BD ，AE⊥EC ，故AE⊥平面 BCD,即 AE为平面 BCD 上的高，计算可知

A—BCD =·S

△BCD

·AE=·6·=

变式1：如图 1，在三棱锥 P—ABC中,PA = 1，AB = AC = 2 ∠PAB =∠PA C =∠BAC = 60°，求三棱锥A-PBC的体积

解在△PAB中，

P B²=PA² + A B²一2P A ·A B cos∠P A B

=1 ²+ 2²一2×1 ×2cos60 °= 3

解得 AB²= PA²+ PB²,

即 P A⊥P B ．

同理可得PA⊥PC ，从而PA⊥平面PB C ．

又因为A B = A C = 2 ，∠ B A C = 60°,

所以△ABC为正三角形,B C = 2．

取B C的中点D ，连结P D ,

则PD ===．