2019-2020学年度最新高中数学人教B版必修二学案：2-3-4 圆与圆的位置关系

2019-2020学年度最新高中数学人教B 版必修二学案：2-3-4
圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系
[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.体会用代数方法处理几何问题的思想.
[知识链接]
1.判断直线与圆的位置关系的两种方法为代数法、几何法.
2.两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含. [预习导引]
圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：
⎭⎪⎬⎪
⎫圆C 1方程圆C 2方程消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含
要点一 与两圆相切有关的问题
例1 求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则
(a －1)2＋b 2＝r ＋1，①
b ＋3a －3
＝3，②
|a ＋3b |
2
＝r .③ 联立①②③解得a ＝4，b ＝0，r ＝2，或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.
规律方法 两圆相切时常用的性质有：
(1)设两圆的圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，
则两圆相切⎩
⎪⎨⎪⎧
内切⇔|O 1O 2|＝|r 1－r 2|，
外切⇔|O 1O 2|＝r 1＋r 2.
(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 跟踪演练1 求与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程. 解 设所求圆的圆心为P (a ，b )，则 (a －4)2＋(b ＋1)2＝1.① (1)若两圆外切，则有
(a －2)2＋(b ＋1)2＝1＋2＝3，②
联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为 (x －5)2＋(y ＋1)2＝1； (2)若两圆内切，则有
(a －2)2＋(b ＋1)2＝|2－1|＝1，③
联立①③，解得a ＝3，b ＝－1，所以，所求圆的方程为 (x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 综上所述，所求圆的方程为
(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 要点二 与两圆相交有关的问题
例2 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
解 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0 ①
x 2＋y 2
－4x ＋2y －11＝0 ②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，
∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r 1＝3.
又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋(－4)2
＝95.
∴|AB |＝2
r 21－d 2
＝2
32－⎝⎛⎭⎫952＝24
5.
即两圆的公共弦长为24
5
.
规律方法 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. 2.公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
跟踪演练2 求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长.
解 联立两圆的方程得方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0
x 2＋y 2
＋2x ＋2y －8＝0
，两式相减得x －2y ＋4＝0， 此即为两圆公共弦所在直线的方程. 方法一 设两圆相交于点A ，B ，
则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋4＝0x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4y ＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝0y ＝2.
所以|AB |＝
(－4－0)2＋(0－2)2＝25，
即公共弦长为2 5.
方法二 由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，
得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为
d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)
2
＝3 5.
设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2， 即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5. 要点三 直线与圆的方程的应用
例3 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，
则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9， 港口所对应的点的坐标为(0,4)，
轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)， 则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y
4＝1，
即4x ＋7y －28＝0.
圆心(0,0)到航线4x ＋7y －28＝0的距离
d ＝
|－28|42＋72
＝
28
65
，而半径r ＝3，∴d >r ， ∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.
规律方法 解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：
跟踪演练3 台风中心从A 地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( ) A.0.5小时 B.1小时 C.1.5小时 D.2小时
答案 B
解析 以台风中心A 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，
则台风中心在直线y ＝x 上移动，又B (40,0)到y ＝x 的距离为d ＝202，由|BE |＝|BF |＝30知|EF |＝20，即台风中心从E 到F 时，B 城市处于危险区内，时间为t ＝20千米
20千米/时＝1小时.故
选B.
1.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( ) A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
答案 B
解析 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1<|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，即两圆相交.
2.圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A.(1,0)和(0,1) B.(1,0)和(0，－1) C.(－1,0)和(0，－1) D.(－1,0)和(0,1)
答案 C
解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝1，
x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0；
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝0.
3.圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.2x －y ＋1＝0 C.x －2y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0
答案 A
解析 直线AB 的方程为4x －4y ＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，即两圆连心线.
4.两圆x 2＋y 2＝r 2与(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值是( ) A.10 B. 5 C.5 D.
102
答案 D
解析 由题意可知(3－0)2＋(－1－0)2＝2r ，
∴r ＝
10
2
. 5.已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是________. 答案 x ＋3y ＝0
解析 ⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝10x 2＋y 2－2x －6y ＝10
⇒2x ＋6y ＝0，
即x ＋3y ＝0.
1.判断圆与圆位置关系的方法通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.
2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：。