高考数学圆锥曲线大题集大全

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(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+

=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其

中O 为原点）. 求k 的取值范围.

解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-b

y a x ).0,0(>>b a

由已知得.1,2,2,32222==+==

b b a

c a 得再由

故双曲线C 的方程为.13

=-y x （Ⅱ）将得代入13

222

=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.

0)1(36)31(36)26(,

0312

222

k k k k

即.13

22<≠

k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319

,31262

2>+>⋅--=-=

+B A B A B A B A y y x x OB OA k

x x k k x x 得由而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x

3231262319)1(22222

-+=+-+--+=k k k k k k k

于是解此不等式得即,01393,213732

222>-+->-+k k k k .33

故k 的取值范围为).1,3

3()33,1(⋃-

- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22

100道圆锥曲线大题综合

圆锥曲线大题综合

----学而思黎根飞老师

一、轨迹方程（10道）

1．

动圆P 与定圆22:4320B x y y +--=相内切，且过点()02A -，，求动圆圆心P 的轨迹方程．

【解析】如图所示，设动圆P 的半径为r ，圆B 的方程可化为()2

2236x y +-=．

又动圆P 过点()02A -，，从而r PA =， 6PB PA +=．

则点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，且26a =，24c =，即3a =，2c =

，b =．

故所求点P 的轨迹方程为22

195

y x +=．

2．

求到两不同定点距离之比为一常数(0)λλ≠的动点的轨迹方程．

【解析】以两不同定点A B ，所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标

系．设()P x y ，是轨迹上任一点，(0)(0)(0)A a B a a ->，，，．由题设得PA PB λ=

∴22222(1)()(1)20x y a ax λλ-++++=．

当1λ=时，方程0x =表示一条直线．当1λ≠时，方程为2

2221211a x a y λλλλ⎛⎫+⎛⎫

+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝

⎭

，表示一个圆．所以当1λ=时，点的轨迹是一条直线；当1λ≠时，点的轨迹是一个圆．

3．

已知定点(30)，B ，点A 在圆221x y +=上运动，M 是线段AB 上的一点，且13

AM MB =

，则点M 的轨迹方程是___________．

【解析】设11()()，，，M x y A x y ．∵13AM MB = ，∴111

高考圆锥曲线经典大题

圆锥曲线经典大题

1.过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：*2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直

线l 的斜率是12时，AC

→＝4AB →.

(1)求抛物线G 的方程；

(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值围．

2.如图，(10)F ，，直线:1l x =-，点P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．

〔Ⅰ〕求动点P 的轨迹C 的方程。

〔Ⅱ〕过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．〔1〕1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；〔2〕求MA MB ⋅的最小值． 3.设点F 是抛物线G :*2=4y 的焦点.

〔1〕过点P 〔0，-4〕作抛物线G 的切线，求切线的方程；

〔2〕设A ，B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足

0·=FB FA ,分别延长

AF ，BF 交抛物线G 于C ,D 两点，求四边形ABCD 面积的

最小值.

4.设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，．

〔Ⅰ〕求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；

〔Ⅱ〕当M 点的坐标为(22)p -，

时，AB = 5.设椭圆22

2:12

x y M a +

=(a >的右焦点为1F ，直线2

2-=

a a x l 与x 轴交于点

A ，假设112OF AF +=0〔其中O 为坐标原点〕

．〔1〕求椭圆M 的方程；〔2〕设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线经典题型

一．选择题（共10小题）

1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离

心率的范围是（）

A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）

A．B．C． D．

3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）

A．B． C．D．

4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．

5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此

双曲线的离心率的取值范围是（）

A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）

6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线

的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）

A．B．C．D．2

7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的

左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x

8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心

率的取值范围是（）

A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）

全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全

全国卷高考数学圆锥曲

线大题集大全

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高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集

1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点

B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹

C 的方程．

(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足：

(R);AG AD λλ=∈?2;GE GF GH +=?0.GH EF ⋅= 求点G 的横坐标的取值范围．

2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率

e ，已知点

)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.

3. 已知椭圆

的一条准线方程是

其左、右顶

点分别

是A、B；双曲线

的一条渐近线方程为3x－5y=0.

（Ⅰ）求椭圆C

1的方程及双曲线C

的离心率；

（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C

2上一点P，连结AP交椭圆C

于点M，连

结PB并延长交椭圆C

1于点N，若MP

AM=. 求证：.0

•AB

4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa.

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高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集

1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上

(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|.

(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程．

(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足：

①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ⋅= 求点G 的横坐标的取值范围．

2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23

e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆

上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.

3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是

425=x 其左、右顶点分别

是A 、B ；双曲线1

:22

222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0.

（Ⅰ）求椭圆C 1的方程及双曲线C 2的离心率；

（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C 2上一点P ，连结AP 交椭圆C 1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C 1于点N ，若MP AM =. 求证：.0=•AB MN

4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tan α;

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高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集

1.如图,直线l 1与12是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是

A,点B 、D 在直

线1 i 上(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点, M 在1i 上的射影点是 N,且|BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系,求动点

M 的轨迹C 的方程.

(II)过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G H 满足:

uuur UULT uuur 2G H

;?GH EF 0.

L 1 2 b 的一条渐近线万程为 3x- 5y=0.

(I)求椭圆C 的方程及双曲线 C 的离心率;

(n)在第一象限内取双曲线 C 2上一点P,连结AP 交椭圆G 于点M,连结PB 并延长交椭圆C 于点N,假设AM MP .求证：MN ?AB 0.

4.椭圆的中央在坐标原点 O,右焦点F(c,0 )到相应准线的距离为1,倾斜角为45 的直线交椭圆于 A, B 两点.设AB 中点为M,直线AB 与OM 的夹角为 a.

(1)用半焦距c 表示椭圆的方程及tan

C ■— C 2 - 2 uuur uuur uuur UULT

AG AD(

R); ?GE GF

(2)假设2<tan <3,求椭圆率心率e的取值范围.

X 2 y 2 • 6

2 "

、,, 一一

5 .椭圆a b (a>b>0)的离心率

,过点A (0, -b)和B (a, 0)的

、.3

直线与原点白距离为方 (1)求椭圆的方程

高考圆锥曲线经典大题

圆锥曲线经典大题

1.已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B、C两点．当

直线l的斜率是1

时，AC→＝4AB→.

(1)求抛物线G的方程；

(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

2.如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，点P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程。

（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．

（1）已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；

（2）求MA MB ⋅的最小值．

P B Q

F O A

3.设点F是抛物线G:x2=4y的焦点.

（1）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线的方程；

（2）设A，B为抛物线G上异于原点的两点，且满足0

FA,分别延长AF，

BF交抛物线G于C,D两点，求四边形ABCD面积的最小值.

4.设抛物线方程为22(0)

=>，M为直线2

x py p

=-上任意一点，过M引抛物

y p

线的切线，切点分别为A B

，．

（Ⅰ）求证：A M B

，，三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当M点的坐标为(22)p

，时，410

AB=．求此时抛物线的方程；

5.设椭圆22

2:12

x y M a +=()

2a >的右焦点为1F ，直线2

2-=

a a x l 与x 轴交于点

A ，若112OF AF +=0（其中O 为坐标原点）

．（1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:2

圆锥曲线--2023高考真题分类汇编完整版

圆锥曲线--高考真题汇编

第一节椭圆

1.（2023全国甲卷理科12）已知椭圆22

196

x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，

123

cos 5

F PF ∠=，则OP =（）

A.25 C.35【解析】解法一（利用焦点三角形面积公式）:设122F PF θ∠=，π

02θ<<.

22212222cos sin 1tan 3

cos cos 2cos sin 1tan 5

F PF θθθθθθθ--∠====

++，解得1tan 2θ=.由椭圆焦点三角形面积公式得1222121

tan

tan 6322

F PF F PF S b b θ∠===⨯=△.

121211

322

F PF P P S F F y ===△，解得23P y =.

则代入椭圆方程得292P x =

，因此30

OP ==.故选B.解法二（几何性质+定义）:因为1226PF PF a +==①，

222

12121122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=，即2

12126

125

PF PF PF PF +-

⋅=②，联立①②，解得12152

PF PF ⋅=，22

1221PF PF +=.

由中线定理可知，()(

)22

12122242OP F F PF PF +=+=，

而12F F =，解得30

OP =

.故选B.解法三（向量法）:由解法二知12152

PF PF ⋅=

，22

1221PF PF +=.而()

1212

PO PF PF =+

，

所以12130

PO PF PF =+=

历年高考圆锥曲线大题精选

1.（2018全国I理19）

设椭圆C： +y²=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

2.(2018全国II理）

3.(2018全国III理）

4.（2018全国I文）

5.(2018浙江）

6.（2017全国I理20）

9.(2017全国III理）

10.（2017全国I文20）

11.（2016全国I理20）

12.(2016全国III理20）

13.（2016山东理）平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是

，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

①求证：点M在定直线上;

②直线与y轴交于点G，记△PFG的面积为，△PDM的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.

14.（2015全国I理）

15.(2015全国II理）

16.

17.

18.

高考圆锥曲线经典大题

圆锥曲线经典大题

1.已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的

斜率是12

时，AC →＝4AB →. (1)求抛物线G 的方程；

(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．

2.如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，点P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程。

（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．

（1）已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；

（2）求MA MB ⋅的最小值．

3.设点F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.

（1）过点P （0，-4）作抛物线G 的切线，求切线的方程；

（2）设A ，B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,分别延长AF ，BF 交抛物线G 于C ,D 两点，求四边形ABCD 面积

的最小值.

4.设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一

点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，．

（Ⅰ）求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为(22)p -，时，410AB =．求此时抛物线的方程； 5.设椭圆22

2:12x y M a +=()2a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若

112OF AF +=0（其中O 为坐标原点）

圆锥曲线专题40大题练习（含答案）

圆锥曲线44道特训

1.已知双曲线C：「-仁=1的离心率为心，点（V3,o）是双曲线的一个顶点.

a-b'

（1）求双曲线的方程；

（2）经过的双曲线右焦点旦作倾斜角为30°直线/，直线/与双曲线交于不同的A,3两点,求A3的长.

22[

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆、+与=1（。〉力〉0）的离心率为一，过椭圆右

a2b22

焦点F作两条互相垂直的弦A3与CQ.当直线A3斜率为0时，AB+CD=7.

（1）求椭圆的方程；

（2）求AB+CD的取值范围.

3.已知椭圆C：「+「=1（。〉力〉0）的一个焦点为尸（1,0）,离心率为土.设P是椭圆

Zr2

C长轴上的一个动点，过点P且斜率为1的直线/交椭圆于A,B两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求|PA|2+|PB|2的最大值.

4.已知椭圆C：「+七=1（0〉力〉0）的右焦点为『（L°）,短轴的一个端点B到F的距离

a'd

等于焦距.

（1）求椭圆。的方程；

（2）过点万的直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,是否存在直线/,使得△3加与△B月V的面积比值为2?若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.

.2,2

5.已知椭圆C：=■+%■=1（a>b>0）过点p（—1,—1）-c为椭圆的半焦距，且c=姻b.过

a"b~

点P作两条互相垂直的直线L,L与椭圆C分别交于另两点M,N.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线L的斜率为一1,求APMN的面积；

第1页共62页

(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.

6.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0)，离心率e=—.

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高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集

1.如图，直线 l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是 A，点 B、D 在直线 l1

上(B、D 位于点 A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是 N，且|BN|=2|DM|.

(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹 C 的方程．

(Ⅱ)过点 D 且不与 l1、l2垂直的直线 l 交(Ⅰ)中的轨迹 C 于E、F 两点；另外平面上的点G、H 满足：

①AG =AD(∈ R); ②GE +GF ③

求点 G 的横坐标的取值范围．

e =

2.设椭圆的中心是坐标原点，焦点在

x 轴上，离心率上的点的最远距离是 4，求这个椭圆的方程. ，已知点

P(0,3) 到这个椭圆

x 2 y 2 25

3.已知椭圆C1 :

= 1(a >b > 0) x =

的一条准线方程是

4 其左、右顶点分别

A D N

B l1

a b

是A、B；双曲线

x 2 y 2

C2 :

a 2

b 2

= 1

的一条渐近线方程为 3x－5y=0.

（Ⅰ）求椭圆 C1的方程及双曲线 C2的离心率；

（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP 交椭圆C1于点M，连结PB 并延长交椭圆C1于点 N，若 AM =MP . 求证： MN •AB = 0.

4.椭圆的中心在坐标原点 O,右焦点 F（c,0）到相应准线的距离为 1，倾斜角为45°的直线交椭圆于 A，B 两点.设 AB 中点为 M，直线 AB 与OM 的夹角为 a.

（1）用半焦距 c 表示椭圆的方程及 tan;