高中数学必修内容复习(09)--- 直线、平面、简单几何体1

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高二数学第九章直线、平面、简单几何体复习教案

高二数学第九章直线、平面、简单几何体复习教案一、平面1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2．平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC 等3．空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A = a αØα=∅ A α=l β= aα=∅或4平面的基本性质公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⎬∈⎭Ø．如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l 唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，l αØ推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a b αØ推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b αØ5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形二、空间直线1空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点； 2公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ⇒．3等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等5空间两条异面直线的画法ab1AA6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B lααα∉∈⊂∉⇒AB与l是异面直线7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b，经过空间任一点O作直线//,//a ab b''，,a b''所成的角的大小与点O的选择无关，把,a b''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b所成的角（或夹角）．为了简便，点O通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：]2,0(π8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b垂直，记作a b⊥．9．求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求向量法：用向量的夹角公式10两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条计算方法：①几何法；②向量法三、直线与平面平行和平面与平面平行1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:aαØ，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: a Aα=，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为: //aα．2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m lααα⊄⇒Ø．3线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l mαβαβ=⇒Ø．4．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．5．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．6．平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：：a β⊂，b β⊂，ab P =，//a α，//b α//βα⇒．7平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．推理模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''==⇒刎刎．8．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．推理模式：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒．9面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．推理模式：//,//a a αβαβ⊂⇒．四、直线与平面垂直和平面与平面垂直 1线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α 2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 3直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭5．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭．注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用6两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面 7．两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直推理模式：a αØ，a β⊥⇒αβ⊥．8．两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面推理模式：,,,l a a l αβαβα⊥=⊥Ø a β⇒⊥9向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行； ②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直五、空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算：OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa4共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．5．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式OP OA t =+a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量6空间直线的向量参数表示式：OP OA t =+a或()OP OA t OB OA =+-(1)t OA tOB =-+，中点公式．1()2OP OA OB =+ 7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作O A a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的 8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA y MB=+ ① 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++② 或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++= ③ 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式9空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++10空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AO B ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥11．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||c o s ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影 A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅． 14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）六、空间向量的坐标运算 1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i jk 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则21||a a a a =⋅=+2||b b b b =⋅=+．5．夹角公式：2cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==，或,A B d =七、空间角1．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：]2,0(π2．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法 3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角4．公式：平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=5二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--； 6．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AO B ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：①二面角的平面角范围是[0,180]；②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法8求二面角的射影公式：SS '=θcos ，其中各个符号的含义是：S 是二面角的一个面内图形F 的面积，S '是图形F 在二面角的另一个面内的射影，θ是二面角的大小 9．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量八、空间距离1点到平面的距离：已知点P 是平面α外的任意一点，过点P 作PA α⊥，垂足为A ，则PA 唯一，则PA 是点P 到平面α的距离即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离结论：连结平面α外一点P 与α内一点所得的线段中，垂线段PA 最短2 异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线． 3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度说明：两条异面直线的距离AB 即为直线a 到平面α的距离即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离7直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段（3）两个平行平面的公垂线段都相等（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求 10用向量法求距离的公式：⑴异面直线,a b 之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,,,n a n b A a B b ⊥⊥∈∈⑵直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A a B ∈∈是平面α的法向量⑶两平行平面,αβ之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A B αβ∈∈n 是平面α的法向量⑷点A 到平面α的距离：||AB n d n ⋅=，其中B α∈，n 是平面α的法向量另法：点000(,,),A x y z 平面0Ax By CzD +++=则 d =⑸点A 到直线a的距离：|d a =⎪⎭，其中B a ∈，a 是直线a 的方向向量 ⑹两平行直线,ab之间的距离：|d a =⎪⎭，其中,A a B b ∈∈，a 是a 的方向向量九、棱柱1多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形；（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形7平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．8．平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点且互相平分．(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和特别地，正方体的一条对角线长等于棱长的3倍。

高二数学直线平面简单几何体知识点

高二数学直线平面简单几何体知识点
直线、平面、简单几何体是中学数学的三大内容之一，下面是店铺给大家带来的高二数学直线平面简单几何体知识点，希望对你有帮助。

直线平面简单几何体知识点
1、学会三视图的分析：
2、斜二测画法应注意的地方：
(1)在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。

画直观图时，把它画成对应轴 o'x'、o'y'、使∠x'o'y'=45°(或135° );(2)平行于x轴的线段长不变，平行于y轴的线段长减半.(3)直观图中的45度原图中就是90度，直观图中的90度原图一定不是90度.
3、表(侧)面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底;②侧面积：S侧= ;③体积：V=S底h
⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底;②侧面积：S侧= ;③体积：V= S底h：
⑶台体①表面积：S=S侧+S上底S下底②侧面积：S侧=
⑷球体：①表面积：S= ;②体积：V=
4、位置关系的证明(主要方法)：注意立体几何证明的书写
(1)直线与平面平行：①线线平行线面平行;②面面平行线面平行。

(2)平面与平面平行：①线面平行面面平行。

(3)垂直问题：线线垂直线面垂直面面垂直。

核心是线面垂直：垂直平面内的两条相交直线
5、求角：(步骤-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角)
⑴异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形;
⑵直线与平面所成的角：直线与射影所成的角
以上就是高二数学知识点：直线平面简单几何体，更多精彩请进入高中频道。

直线平面简单几何体练习题。

09直线、平面、简单几何体(高中数学)

直线和平面平行的判定与性质（二）一、素质教育目标（一）知识教学点直线和平面平行的性质定理．（二）能力训练点用转化的方法掌握应用直线与平面平行的性质定理，即由线面平行可推得线线平行．（三）德育渗透点让学生认识到研究直线和平面平行的性质定理是实际生产的需要，充分体现了理论联系实际的原则．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：直线和平面平行的性质定理．2．教学难点：直线和平面平行的性质定理的证明及应用．理4，平面α内与b平行的所有直线都与a平行（有无数条）．否则，都与a是异面直线．三、课时安排1．7直线和平面的位置关系和1．8直线和平面平行的判定与性质这两个课题安排为2课时，本节课为第二课时，讲解直线和平面平行的性质定理．四、教与学过程设计（一）复习直线和平面的位置关系及直线和平面平行的判定（幻灯显示）师：直线和平面的位置关系有哪几种？生：有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．直线与平面相交或平行统称为直线在平面外．直线在平面内，说明直线与平面有无数个公共点；直线与平面相交，说明直线与平面只有1个公共点；直线与平面平行，说明直线与平面没有公共点．师：直线和平面的判定方法有哪几种？生：两种．第一种根据定义来判定，一般用反证法．第二种根据判定定理来判定：只要在平面内找出一条直线和已知直α，a∥b，则a∥α．（二）直线和平面平行的性质师：命题“若直线a平行于平面α，则直线a平行于平面α内的一切直线．”对吗？（幻灯显示）生：不对．师：为什么不对？（出示教具演示）平行的所有直线（为b′，b″）都与a平行（有无数条），否则，都与a是异面直线．师：在上面的论述中，平面α内的直线b满足什么条件时，可以与直线a平行呢？我们有下面的性质．直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．求证：a∥b．师提示：要证明同一平面β内的两条直线a、b平行，可用反证法，也可用直接证法．证明：（一）反证法．假设直线a不平行于直线b．∴直线a与直线b相交，假设交点为O，则a∩b＝O．∴a∩α＝O，这与“a∥α”矛盾．∴a∥b．（二）直接证法∵a∥α，∴a与α没有公共点．∴a与b没有公共点．a和b同在平面β内，又没有公共点，∴a∥b．下面请同学们完成例题与练习．（三）练习例2 有一块木料如图1-65，已知棱BC平行于面A′C′．要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC 有什么关系？解：（1）∵BC∥面A′C′，面BC′经过BC和面A′C′交于B′C′，∴BC∥B′C′．经过点P，在面A′C′上画线段EF∥B′C′，由公理4，得：EF∥BC．的线．（2）∵EF∥BC，根据判定定理，则EF∥面AC；BE、CF显然都和面AC相交．总结：解题时，应用直线和平面平行的性质定理，要注意把线面平行转化为线线平行．练习：（P．22中练习3）在例题的图中，如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关系．为什么？∥面BC′．同理AD∥面BF．又因为BC∥面A′C′，过BC的面EC与面A′C′交于EF，（四）总结本节课我们复习了直线和平面平行的判定，学习了直线和平面平行的性质定理．性质定理的实质是线面平行，过已知直线作一平面和已知直线都与已知直线平行．五、作业P．22—23中习题三5、6、7、8．六、板书设计直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．性质定理的证明：求证：a∥b．例：有一块木料，已知棱BC平行于面A′C′，要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC有什么关系？练习：在例中，若AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关系，为什么？。

高中数学重点手册9——直线、平面、简单几何体

9．直线、平面、简单几何体「平面」平面是一个只描述而不定义的最基本的概念。

可以从下述几方面加深认识：①平面的最本质的一个属性就是具有无限延展性。

应注意把立体几何中的平面与日常接触到的平面严格加以区分，不能混为一谈。

作为立体几何概念的平面，已经不再具有平面形象物体的属性，它不计厚薄，不计质量，没有任何物理的或化学的属性。

②可以将平面几何中直线的无限延展性与立体几何中平面的无限延展性加以类比，从而加深对平面的认识：直线可以看成是一点沿一定方向运动以后形成的；平面可以看成是一条直线沿一定方向运动以后形成的。

一条直线把它所在平面分成两部分；一个平面把空间分成两部分。

「平面的画法及其表示法」用图形表示直线只有一种方法，而用图形表示平面的方法却不是惟一的。

它可以用常见的图形，如三角形、平行四边形、矩形、正方形、平面多边形和圆等表示。

总之，可以用任意封闭的平面图形表示平面。

值得注意的是，虽然是用有限的封闭图形表示具有无限延展性的平面，但不能动摇对平面无限延展性的认识。

立体几何中，通常用平行四边形表示平面，画表示水平平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍，如图（1）所示，画非水平平面时，只要画成适当的平行四边形即可，如图（2）所示；画直立的平面时，应把一组对边用铅垂线表示，如图（3）所示。

一个平面通常用一个字母表示，如平面M，平在α，也可以用表示平面的平行四边形的顶点上的字母表示，如平面ABCD或平面AC。

「用集合符号表示点、直线和平面之间的基本关系」①点和平面的位置关系：点A在平面α内，记作A∈平面α；点B不在平面α内，记作B∉平面α。

②直线和平面的位置关系：直线l在平面M内，记作直线l⊂平面M，在不发生误会的前提下，可⊂；直线l不在平在M内，记作直线l⊂平面M。

以记作l M③平面和平面的位置关系：平面α和平面β相交于直线l，记作平面αI平面β=直线l。

「平面的基本性质」公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

高三数学第九章直线、平面、简单几何体知识点课件

a
命题
// , a a //
// , a , b a // b
l

// , l l
§9.5平面与平面垂直一、垂直关系的转化（说出相关定理）：
面面垂直判定
A

D
C B
AB ,AB
b a // b
二、面面平行的判定图形面面平行的判定

命题 a b l
A

a ,b ,a b=A, a// ,b// //

l, l //
*

// , // //
三、面面平行的性质图形面面平行的性质
(2) (3) (7)
线线垂直(12)(13)
(8) (12)三垂线定理 (9) (13)三垂线逆定理
线面平行 (4) (5)
线面垂直 (10) (11)
面面平行(6)
面面垂直
9.1平面的性质
公理1
作用
公理2
如果一条直线上的两点在一个平面内，判断直线在平那么这条直线上所有的点都在这个平面面内的依据内如果两个平面有一个公共点，那么它们两个平面相交还有其他公共点，且所有这些公共点的以及它们的交点共线的依据集合是一条过这个公共点的直线
PA
§9.4线面平行与面面平行
一,直线与平面平行的判定和性质
线面平行判定线面平行性质
a

a a//
a , b , a // b a //

高中文科数学直线、平面、简单几何体复习

第八讲、直线、平面、简单几何体三、立体几何初步（一）空间几何体1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征，2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，会用斜二测法画出它们的直观图。

3.会用平行投影与中心投影这两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

4.能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化。

5.会计算球、柱、锥、台的表面积和体积（不要求记忆公式）。

（二）点、直线、平面之间的位置关系1.理解空间直线、平面的位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。

◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内。

◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

2.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。

理解以下判定定理：◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。

理解以下性质定理，并能够证明：◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行。

◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。

◆垂直于同一个平面的两条直线平行。

◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。

3.理解两条异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念。

高三复习九直线、平面、简单多面体

高三数学概念、方法、题型总结（九）九、直线、平面、简单多面体第一部分：数学高考基础知识详解1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

能够用斜二测法作图．．．．．．．。

2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。

3.直线与平面①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。

②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。

③直线与平面垂直的证明方法有哪些？④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.4.平面与平面(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。

(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。

尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。

(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→⎩⎨⎧体积法直接法 (5)二面角。

二面角的平面交的作法及求法：①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。

③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法。

5．棱柱（1）掌握棱柱的定义、分类，理解直棱柱、正棱柱的性质。

（2）掌握长方体的对角线的性质。

（3）平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质。

（4）S 侧＝各侧面的面积和。

思考：对于特殊的棱柱，又如何计算？（5）V=Sh 特殊的棱柱的体积如何计算？6．棱锥①棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）,性质②相关计算：S侧＝各侧面的面积和，V=31Sh7．球的相关概念：S球=4πR2V球＝34πR3经纬度,球面距离的概念8．正多面体：掌握定义和正多面体的种数（是哪几个？）。

高一数学直线和平面知识点

高一数学直线和平面知识点直线和平面是高一数学中非常重要的知识点，对于学习几何学以及解题方法非常关键。

本文将从几何基础开始，逐步介绍直线和平面知识的相关内容。

一、直线基础知识直线是最基本的几何元素，它是由无数个点构成的一条路径。

直线可以通过两点确定，且直线上的任意两点可以确定一条直线。

直线有许多重要的性质，例如：1. 两条平行的直线永远不会相交；2. 两条直线如果相交，那么它们只会相交于一个点；3. 如果两条直线相互垂直，那么它们的斜率乘积为-1。

二、直线的方程直线可以用方程的形式表示，例如一般式、截距式和斜截式等。

其中，斜截式方程最常用，它的形式为y = mx + c。

其中m是直线的斜率，c是直线在y轴上的截距。

直线的方程可以提供很多有用的信息，例如直线的斜率可以告诉我们直线的倾斜程度，截距可以告诉我们直线与y轴的交点等。

三、平面基础知识平面是一个二维的几何空间，它由无限多的点构成。

平面可以通过三个点确定，且平面上的任意三个点不共线可以确定一个平面。

平面的性质也十分重要，例如：1. 两个平行的平面永远不会相交；2. 两个平面如果相交，那么它们的交线是一条直线；3. 三个平面如果相交于同一条直线，那么它们的交点也在同一条直线上。

四、直线与平面的关系直线和平面之间存在密切的联系，它们可以相互交互影响。

常见的直线与平面的关系包括：1. 直线与平面的相交：当一条直线与平面相交时，它们的交点将成为解题的关键；2. 直线与平面的平行：当一条直线与平面平行时，我们可以利用这个性质来解题；3. 直线与平面的垂直：当一条直线与平面垂直时，它们的斜率乘积为0，我们可以利用这个性质来解题。

五、直线和平面的相关应用直线和平面的知识在实际生活中有广泛的应用，例如建筑设计中的平面布局、地图上的路径规划等等。

在解决实际问题时，我们可以通过运用直线和平面的知识，来计算距离、判定位置以及解决线路问题。

六、直线和平面的进一步研究高一阶段的数学课程只是对直线和平面的基础知识进行了初步的介绍，如果对直线和平面有更深入的了解，可以进一步研究解析几何、向量等相关的知识，来丰富自己的数学知识储备。

高考数学基础知识复习第九章直线、平面、简单的几何体

2008高考数学基础知识复习第九章直线、平面、简单的几何体引言立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形.平面及空间直线1.平面的基本性质:(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条直线. 公理3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面（不共线的三点确定一平面）．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3；经过两条平行直线有且只有一个平面．注：⑴水平放置的平面图形的直观图的画法——用斜二测．．．．画．法．．其规则是：①在已知图形取水平平面，取互相垂直的轴,Ox Oy，再取0z轴，使90xOz∠=，且90yOz∠=；②画直观图时，把它们画成对应的轴,,O x O y O z''''''，使45x O y'''∠=(或135)，90x O z'''∠=,x Oy''所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段；④已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半．⑵运用平面的三个公理及推论，能证明共点、共线、共面一类问题。

2.空间两条直线位置关系有：相交、平行、异面.⑴相交直线───共面有且只有一个公共点；⑵平行直线───共面没有公共点；①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行;②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．⑶异面直线───不同在任．一平面内.平面及空间直线(Ⅰ)两条异面直线所成的角(或夹角)：对于两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ，则a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直.异面直线所成的角的范围是(0,90⎤⎦． (Ⅱ)两条异面直线的距离：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线. 两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离．注：①如图:设异面直线a ，b 所成角为θ, 则EF 2=m 2+n 2+d 2±2mnc os θ 或AB EF d AB⋅=②证明两条直线是异面直线一般用反证法。

高二数学期末复习立体几何知识要点之直线与平面

高二数学期末复习立体几何知识要点之直线与平面一、知识提纲（一）空间的直线与平面⒈平面的基本性质 ⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途． ⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线． ⑴公理四（平行线的传递性）．等角定理． ⑵异面直线的判定：判定定理、反证法． ⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围．⒊直线和平面平行直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质． ⒋直线和平面垂直⑴直线和平面垂直：定义、判定定理． ⑵三垂线定理及逆定理． 5.平面和平面平行两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质． 6.平面和平面垂直互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）（三）夹角与距离7.直线和平面所成的角与二面角⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平面所成的角、直线和平面所成的角．⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角． ②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理． 8.距离⑴点到平面的距离．⑵直线到与它平行平面的距离．⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段． ⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段．二、常用结论、方法和公式1.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；2. 已知:直二面角M －AB －N 中，AE ⊂ M ，BF ⊂ N,∠EAB=1θ,∠ABF=2θ，异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则;coscos cos 21θθθ= 3.立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，BC 和AB 的射影BA 1成2θ，设∠ABC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ；4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 5.直线与平面所成的角BC AD A 1α斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。

高中数学知识点专题复习-直线、平面、简单几何-01

立体几何序言课教案设计一、充分认识序言课的重要性，是上好立体几何序言课的前提。

立体几何序言课以课本中的“引言”为主要教学内容，让学生对立体几何这门功课有一个粗略的整体性了解，在学习具体内容之前有一个积极的思想准备。

通过序言课的教学，学生明白了立体几何研究的内容及学习立体几何的目的，就能为以后的学习打下一个良好的基础。

然而有的老师对序言课却不够重视，把已经十分抽象概括的“引言”进一步抽象概括，开课后草草几句便开始了“平面”的教学。

教师急急匆匆，学生稀里糊涂，极易给后继学习带来消极影响。

由此可见，教师在充分认识序言课重要性的前提下，认真组织教学，努力完成序言课的教学任务，对提高立体几何课的教学效益是至关重要的。

二、排除心理障碍，激发学习兴趣，是立体几何序言课的主要任务。

部分学生认为立体几何比平面几何难学，存在畏惧心理；多数学生对能不能学好这门功课信心不足，对怎样学习这门功课心中无数。

这种消极心理状态必然会给学习造成消极影响。

因此在序言课教学中，应把排除上述心理障碍，激发学生学习立体几何的兴趣作为首先任务。

1.尽量引用实例。

“引言”中指出，“建造厂房、制造机器、修筑堤坝等，都需要进一步研究空间图形的问题。

”为了使学生真正认识到立体几何是一门应用广泛的基础学科，我们在序言课上展示学校教学楼的建筑图纸，学生争相观看，兴趣盎然，并能辨认出：“这就是我们的教学楼！”教者由此指出：“没有立体几何知识，这张图纸是画不出来的。

”“同学们能从图纸上看出是我们的教学楼，这说明大家已具有一定的空间想象能力，这正是学习立体几何的基础。

有这样好的基础，何愁学不好它？”听到这些鼓励，学生常露出自信的微笑。

2.巧用教具、模型。

要求学生自制简单几何体的模型这样在序言课上就可以让学生观看前届学生自制的各种模型。

那些自制的模型，有纸质的，有木质的，有用铅丝做的，也有用粘土做的，看颜色，五彩缤纷，望形状，新颖别致。

学生看了这些精美的并留有制作者姓名的模型后，赞叹不已，大有“跃跃欲试”之势。

高考数学复习专题八直线、平面、简单几何体

高考数学复习专题八直线、平面、简单几何体【考点聚焦】考点1：空间两条直线的位置关系.考点2：直线与平面平行与垂直.考点3：两平面平行与垂直.考点4：空间角与距离.考点5：棱柱的概念与性质.考点6：棱锥的概念，正棱锥的性质.考点7：球的概念、性质.考点8：异面直线间的距离、多面体的欧拉公式、简单几何体的面积和体积.【自我检测】1、平面的基本性质：公理1：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.公理2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.公理3：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.推论1：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.推论2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.推论3：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做异面直线.判断异面直线的方法有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.直线与直线直线与平面平面与平面平行1、定义2、公理43、线面平行性质定理4、线面垂直性质定理5、面面平行性质定理1、定义2、判定定理3、面面平行性质定理1、定义2、判定定理及推论3、线面垂直性质定理垂直1、定义2、线面垂直性质定理3、三垂线定理及逆定理1、定义2、判定定理1、23、面面垂直性质定理4、面面平行性质定理1、定义2、判定定理4、空间中的角异面直线直线与平面平面与平面角1、定义：2、范围：3、求法：1、定义：2、范围：3、求法：1、定义：2、范围：3、求法：5、空间中的距离空间中的八种距离：两点间距离、点到直线距离、点到平面距离、平行直线间的距离、异面直线间距离、直线到平面距离、两平行平面间的距离、球面上两点间距离.【重点•难点•热点】问题1：位置关系的判断根据概念、性质和定理进行判断，认定是正确的，要能证明；认定上不正确的，只需举反例.注意作图辅助说明.例1．设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，l⊂α，则l∥β；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．其中真命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 思路分析：根据面面平行的判定和性质定理来判断.解：①显然不对；②要保证m 、n 相交才有α∥β，此选项不对；③由面面平行性质定理可知对；④∵l ∥γ，β∩γ=m ，l ⊂β，∴l ∥m ，又m ⊂α，∴l ∥α，又α∩β=l 且l β，∴l ∥n ．从而l ∥m ∥n ，故④对．最后应选B ．点评：本题主要考查空间想象能力，判定定理、性质定理的理解与掌握及简单的推理论证能力．演变1：已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题：①若α⊥m ，β⊥m ，则βα//；②若γα⊥，γβ⊥，则βα//； ③若α⊂m ，β⊂n ，n m //，则βα//；④若m 、n 是异面直线，α⊂m ，β//m ，β⊂n ，α//n ，则βα//，其中真命题是Ａ.①和②Ｂ.①和③Ｃ.③和④Ｄ.①和④点拨与提示：解立几推断题应联系具体图形以及相关定理解决．问题2：证明空间线面平行与垂直由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路. 例1：如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点，（I ）求证：AC ⊥BC 1；（II ）求证：AC 1//平面CDB 1；思路分析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.解法一：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC =3，BC =4AB =5，∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1；（II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1，∵ DE ⊂平面C D B 1，AC 1⊄平面C D B 1，∴ AC 1//平面C D B 1；解法二：∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直，如图，以C 为坐标原点，直线CA 、CB 、C 1C 分别为x 轴、y 轴、z 轴，ABCE z转化转化转化转化建立空间直角坐标系，则C （0,0，0），A （3,0，0），C 1（0,0，4），B （0,4，0），B 1（0,4，4），D （23，2,0）（1）∵AC ＝（－3,0，0），1BC ＝（0，－4,0），∴AC •1BC ＝0，∴AC ⊥BC 1. （2）设CB 1与C 1B 的交战为E ，则E （0,2，2）.∵DE ＝（－23，0,2），1AC ＝（－3,0，4），∴121AC DE =，∴DE ∥AC 1. 点评：2．平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关定义及判定定理和性质定理．演变2：如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，a B A A A AC AB AC A AB A ===∠=∠1111,,，侧面11BCC B 与底面ABC 所成的二面角为120，E 、F 分别是棱A A C B 111、的中点（Ⅰ）求A A 1与底面ABC 所成的角；（Ⅱ）证明E A 1∥平面FC B 1 点拨与提示：例2在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC(1)若D 是BC 的中点，求证 AD ⊥CC 1；(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1，求证截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；思路分析：（1）线面垂直⇒线线垂直；（2）利用面面垂直的判断定理证明面面垂直.证明 (1) ∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ，∴AD ⊥CC 1 (2) 延长B 1A 1与BM 交于N ，连结C 1N ，∵AM =MA 1，∴NA 1=A 1B 1，∵A 1B 1=A 1C 1， ∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1， ∴C 1N ⊥C 1B 1，∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ，∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C 点评：（1）本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线（2）垂直问题的转化：面面垂直线面垂直线线垂直；C1B 1ABC D EM A 1D 1C 1B 1A BCD A 1演变3：已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1C 1=B 1C 1=2，D 、D 1分别是AB 、A 1B 1的中点，平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1，异面直线AB 1和C 1B 互相垂直(1)求证 AB 1⊥C 1D 1；(2)求证 AB 1⊥面A 1CD ；问题3：求空间图形中的角与距离根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法另也可借助空间向量求这三种角的大小.例4：在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点(1)求直线A ′C 与DE 所成的角；(2)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角； (3)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角思路分析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法求二面角的大小也可应用面积射影法(1)解如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ，则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角在△A ′CP 中，易得A ′C =3a ，CP =DE =25a ,A ′P =213a 由余弦定理得cos A ′CP =1515故A ′C 与DE 所成角为1515 (2)解 ∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF的平分线上（如图）又可证明四边形B ′EDF 为菱形（证明略），∴DB ′为∠EDF 的平分线，故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′，在Rt △B ′AD 中，AD =2a ，AB ′=2a ,B ′D =2a ，则cos ADB ′=33，故AD 与平面B ′EDF 所成的角是33 (3)解如图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心，作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心，再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ，故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角在Rt △DOE 中，OE =22a ,OD =23a ,斜边DE =25a ,则由面积关系得OM =1030=⋅DE OE OD a 在Rt △OHM 中，sin OMH =630=OM OH 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为630方法二（向量法）G F D'C'A'DC B A PD'C'B'A'D A F C'A'DBA H O M FC'A'DCBA（1）如图建立坐标系，则(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2a A a C a a D a E a ' (,,),(,,0)2aA C a a a DE a '⇒=-=-15cos ,15||||A C DE A C DE A C DE ''⇒<>==' 故A ′C 与DE 所成角为arccos 1515（2）∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上如下图所示又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线，故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′，如图建立坐标系，则(0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a '(0,,0),(,,)DA a DB a a a '⇒=-=- 33||||,cos !!!=⋅>=<⇒DB DA DB DA DB DA ，故AD 与平面B ′EDF 所成的角是arccos33 (3) 由(1)知(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,,0)2aA A aB a a D a E a ''，所以面ABCD 的法向量为 (0,0,),m AA a '==下面求面B ′EDF 的法向量n设(1,,)n y z =，由(,,0),(0,,),22a a ED a EB a '=-=-⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥02021az y a y a ax EBn ED n 取z=1，得(1,2,1)n = ∴66||||,cos =⋅>=<m n m n m n . 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为6arccos6点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法. 演变4：已知四棱锥P-ABC D 的底面为直角梯形，AB ∥D C ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABC D ，且P A =A D=D C =21AB =1，M 是P B 的中点.（Ⅰ）证明：面P A D ⊥面P C D ；（Ⅱ）求AC 与P B 所成的角；（Ⅲ）求面A M C 与面B M C 所成二面角的大小.例5：在长方体ABC D —A 1B 1C 1D 1，中，A D=AA 1=1，AB =2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；FE D'C'B'A'D C B Axy z（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面AC D 1的距离；（3）A E 等于何值时，二面角D 1—E C —D 的大小为4π. 思路分析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识, 本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中，要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解决，此外用向量也是一种比较好的方法.解法一：（1）证明：∵A E ⊥平面AA 1DD 1，A 1D ⊥A D 1，∴A 1D ⊥D 1E.（2）设点E 到面AC D 1的距离为h ，在△AC D 1中，AC =C D 1=5，A D 1=2，故.2121,232152211=⋅⋅==-⋅⋅=∆∆BC AE S S ACE C AD 而 .31,23121,3131111=∴⨯=⨯∴⋅=⋅=∴∆∆-h h h S DD S V C AD AEC AEC D（3）过D 作DH ⊥C E 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥C E ， ∴∠DHD 1为二面角D 1—E C —D 的平面角. 设A E=x ，则B E=2－x,,,1,.1,4,211x EH DHE Rt x DE ADE Rt DH DHD DH D Rt =∆∴+=∆=∴=∠∆中在中在中在 π.4,32.32543.54,3122π的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=⇒+-=+∴+-=∆=∆解法（二）：以D 为坐标原点，直线D A ，D C ，DD 1分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设A E=x ，则A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0）C （0，2，0）（1）.,0)1,,1()1,0,1(1111E D DA x E D DA ⊥=-⋅=⋅所以因为（2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0），从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，)1,0,1(1-=AD ，设平面AC D 1的法向量为),,(c b a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01AD n AC n 也即⎩⎨⎧=+-=+-002c a b a ，得⎩⎨⎧==ca ba 2，从而)2,1,2(=n ，所以点E 到平面A D 1C 的距离为.313212||||1=-+=⋅=n n E D h 点评：立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较好写出来.演变5：如图所示的多面体是由底面为ABC D 的长方体被截面A E C 1F 所截面而得到的，其中AB =4，BC =2，CC 1=3，B E=1. （Ⅰ）求B F 的长；（Ⅱ）求点C 到平面A E C 1F 的距离. 问题4：与几何体的侧面积和体积有关的计算问题根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用.例6：如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF =2，则该多面体的体积为（）（A ）32 （B ）33（C ）34（D ）23思路分析：将该几何体分割成一个柱体和两个锥体，然后再利用柱体和锥体的体积公式求它的体积.解：过A 、B 两点分别作AM 、BN 垂直于EF ，垂足分别为M 、N ，连结DM 、CN ，可证得DM ⊥EF 、CN ⊥EF ，多面体ABCDEF 分为三部分，多面体的体积V 为+=-BNC AMD ABCDEF V VBNC F AMD E V V --+，∵21=NF ，1=BF ，∴23=BN ，作NH 垂直于点H ，则H 为BC的中点，则22=NH ，∴4221=⋅⋅=∆NH BC S BNC ，∴24231=⋅⋅=∆-NF S V BNC BNC F ，242==--BNC F AMD E V V ， 42=⋅=∆-MN S V BNC BNC AMD ，∴32=ABCDEF V ，故选A ．点评：将不规则的多面体分割或补全为规则的几何体进行计算．演变6：如图，在体积为1的三棱锥A —BC D 侧棱AB 、AC 、A D 上分别取点E 、F 、G ，使A E : E B =A F : F C =A G : GD=2 : 1，记O 为三平面BC G 、C DE 、D B F 的交点，则三棱锥O —BC D 的体积等于（）EFABCDM NHA ．91 B ．81 C ． 71 D ．41 问题5：翻折与展开要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变.例7：如图1，已知ABC D 是上．下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图2.（Ⅰ）证明：AC ⊥B O 1；（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的大小.思路分析：（1）由题知可证得A O ⊥平面O BC O 1 ，O C 为AC 在平面O BC O 1内的射影，只要证明B O 1⊥O C 即可；（2）由（1）结论可证明B O 1⊥平面A O C ，由三垂线定理找出二面角的平面角即可.解：（I ）证明由题设知O A ⊥OO 1，O B ⊥OO 1，所以∠A O B 是所折成的直二面角的平面角，即O A ⊥O B . 从而A O ⊥平面O BC O 1， O C 是AC 在面O BC O 1内的射影.因为3tan 11==∠OO OB B OO 33tan 111==∠OO C O OC O ，所以∠OO 1B =60°，∠O 1O C =30°，从而O C ⊥B O 1，由三垂线定理得AC ⊥B O 1.（II ）解由（I ）AC ⊥B O 1，O C ⊥B O 1，知B O 1⊥平面A O C .设O C ∩O 1B =E ，过点E 作EF ⊥AC 于F ，连结O 1F （如图3），则EF 是O 1F 在平面A O C 内的射影，由三垂线定理得O 1F ⊥AC .所以∠O 1FE 是二面角O —AC —O 1的平面角. 由题设知O A =3，OO 1=3，O 1C =1，所以13,3221212121=+==+=C O A O AC OO OA A O ，从而1332111=⋅=AC C O A O F O ，又O 1E=OO 1·sin30°=23，所以.413sin 111==∠F O E O FE O 即二面角O —AC —O 1的大小是.43arcsin 点评：平面图形的翻折与空间图形的展开近两年的高考中都出现了，通过对图形的翻折与展开，很好地考查了学生的空间想象能力，体现了解决立体几何问题的基本思想：空间问题平面化.演变7：设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE⊥B 于(如．现△图3ABOCO 1DF EA BC DE MNADE 沿D E折起，使二面角A －DE －B 为，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．专题小结 1、位置关系的判断，根据概念、性质和定理进行判断，认定是正确的，要能证明；认定上不正确的，只需举反例.注意作图辅助说明. 2、证明空间线面平行与垂直，是必考题型，解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路. 3、空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法另也可借助空间向量求这三种角的大小.4、与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用5、平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变. 【临阵磨枪】一．选择题1 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是( ) A 38 B 83 C 34 D 432 在直二面角α—l —β中，直线a ⊂α,直线b ⊂β,a 、b 与l 斜交，则( ) A a 不和b 垂直，但可能a ∥b B a 可能和b 垂直，也可能a ∥b C a 不和b 垂直，a 也不和b 平行 D a 不和b 平行，但可能a ⊥b3 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是( )A6π B4π C 3π D 2π 4 正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角(如图)，M 为矩形AEFD 内一点，如果∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为( )A 2B 1C 3D 125 三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=1，AB =4，BC =3，∠ABC =90°,设平面A 1BC 1与平面ABC 的交线为l ，则A 1C 1与l 的距离为( )A 10B 11C 2.6D 2.46．△ABC 的顶点B 在平面a 内，A 、C 在a 的同一侧，AB 、BC 与a 所成的角分别是30°和45°,若AB =3,BC =24 ,AC =5,则AC 与a 所成的角为 (A )60° (B )45° (C )30° (D)15° 7．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：MABC FE①若c a c b b a //,,则⊥⊥；②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48、如图，正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面 A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为（B ） A 、21B 、42C 、22D 、239．设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为（）（A ）3R （B ）6R π（C ）56R π （D ）23R π10．矩形ABC D 中，AB =4，BC =3，沿AC 将矩形ABC D 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABC D 的外接球的体积为（）A ．π12125B ．π9125C ．π6125D ．π3125二、填空题11 设X 、Y 、Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的是_________(填序号)①X 、Y 、Z 是直线；②X 、Y 是直线，Z 是平面；③Z 是直线，X 、Y 是平面；④X 、Y 、Z 是平面.12 已知∠AOB =90°,过O 点引∠AOB 所在平面的斜线OC ，与OA 、OB 分别成45°、60°，则以OC 为棱的二面角A —OC —B 的余弦值等于______13 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_________14．空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为_________三、解答题15 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点(1)求证 CD ⊥PD ; (2)求证 EF ∥平面PAD ; (3)当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平面PCD ？ 16 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，D 、E 分别是CC 1和AB 1的中点，点F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3 (1)若M 为AB 中点，求证 BB 1∥平面EFM ；(2)求证 EF ⊥BC ；(3)求二面角A 1—B 1D —C 1的大小17 如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°,(1)证明 C 1C ⊥BD ；A CEF PC 1B AB C DE FA 1A 1CBAB 1C 1D 1 DO(2)假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α,面CBD 为β,求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；(3)当1CC CD的值为多少时，可使A 1C ⊥面C 1BD ？ 18 设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =120°，求(1)直线AD 与平面BCD 所成角的大小； (2)异面直线AD 与BC 所成的角； (3)二面角A —BD —C 的大小19 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =2π,AB = 31AD =a ,∠ADC =arccos552,PA ⊥面ABCD 且PA =a (1)求异面直线AD 与PC 间的距离；(2)在线段AD 上是否存在一点F ，使点A 到平面PCF 的距离为36 参考答案1 C 解析设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，∵B 1D 1⊥A 1O 1，B 1D 1⊥AA 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1O 1，故平面AA 1O 1⊥AB 1D 1，交线为AO 1，在面AA 1O 1内过A 1作A 1H ⊥AO 1于H ，则易知A 1H 长即是点A 1到平面AB 1D 1的距离，在Rt △A 1O 1A 中，A 1O 1=2，AO 1=32，由A 1O 1·A 1A =h ·AO 1,可得A 1H =34答案 C2 C 解析如图，在l 上任取一点P ，过P 分别在α、β内作a ′∥a ,b ′∥b ,在a ′上任取一点A ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，则AC ⊥β,过C 作CB ⊥b ′交b ′于B ，连AB ，由三垂线定理知AB ⊥b ′， ∴△APB 为直角三角形,故∠APB 为锐角3 D 解析 (特殊位置法）将P 点取为A 1，作OE ⊥AD 于E ，连结A 1E ，则A 1E 为OA 1的射影，又AM ⊥A 1E ，∴AM ⊥OA 1，即AM 与OP 成90°角答案 D4．A 解析过点M 作MM ′⊥EF ,则MM ′⊥平面BCF ，∵∠MBE =∠MBC ，∴BM ′为∠EBC 为角平分线，∴∠EBM ′=45°,BM ′=2,从而MN =22 5 C 解析交线l 过B 与AC 平行，作CD ⊥l 于D ，连C 1D ，则C 1D 为A 1C 1与l 的距离，而CD 等于AC 上的高，即CD =512,Rt △C 1CD 中易求得C 1D =513=2.6.答案 C6、C 解：如图，A E ⊥平面α于E,C D ⊥平面α于D,EF ∥AC ,EF 交C D 于F,则∠AB E=300,∠CB D=450,由此得C D=4,A E=1.5,∴EF=2.5,而EF=AC =5 ∴∠FED=300,即AC 与平面α所成的角为300,∴选(C ) 7、A 解：①③④⑤是假命题,②是真命题,选(A ) 8．B 解：取B 1C 1的中点M ，连B 1C 交BC 1于O '，取O 'C 1的中点N ，连MN ，则MN 1BC ⊥又在正方体ABC D-A 1B 1C 1D 1中OM 平行于平面ABC 1D 1. 则O 到平面D 1C 1B 1ABCDA 1βαPa'bb'aC B A ABCACD PA B C E D FABC 1D 1距离转化为M 到平面ABC 1D 1的距离，即MN=42，故选B 9．D10．C 解析：连接矩形ABC D 的对角线AC 、B D 交于O ，则A O ＝B O ＝C O ＝DO ，则O 为四面体ABC D的外接球的圆心，因此四面体ABC D 的外接球的半径为52，体积为345125()326ππ=.选C . 11 ②③ 解析 ①是假命题，直线X 、Y 、Z 位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X 、Y 、Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例12 －33解析在OC 上取一点C ，使OC =1，过C 分别作CA ⊥OC 交OA 于A ，CB ⊥OC 交OB 于B ，则AC =1，，OA =2，BC =3，OB =2，Rt △AOB 中，AB 2=6，△ABC 中，由余弦定理，得cos ACB =－33 答案－33 13 60° 解析设一个侧面面积为S 1，底面面积为S ，则这个侧面在底面上射影的面积为3S ，由题设得321=S S ，设侧面与底面所成二面角为θ,则cos θ=2133111==S S S S,∴θ=60° 答案 60°1422a 解析以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，因为AQ =BQ =22a ,∴PQ ⊥AB ,同理可得PQ ⊥CD ，故线段PQ 的长为P 、Q 两点间的最短距离，在Rt △APQ 中，PQ =22)2()23(2222=-=-a a AP AQ a.答案 22a 15 证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ，∴AD 是PD 在平面ABCD 内的射影，∵CD ⊂平面ABCD 且CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD (2)取CD 中点G ，连EG 、FG ，∵E 、F 分别是AB 、PC 的中点，∴EG ∥AD ，FG ∥PD ∴平面EFG ∥平面PAD ，故EF ∥平面PAD(3）解当平面PCD 与平面ABCD 成45°角时，直线EF ⊥面PCD证明G 为CD 中点，则EG ⊥CD ,由(1)知FG ⊥CD ，故∠EGF 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角即∠EGF =45°，从而得∠ADP =45°，AD =AP由Rt △PAE ≌Rt △CBE ,得PE =CE又F 是PC 的中点，∴EF ⊥PC ，由CD ⊥EG ，CD ⊥FG ，得CD ⊥平面EFG ，CD ⊥EF 即EF ⊥CD ，故EF ⊥平面PCD16 (1)证明连结EM 、MF ，∵M 、E 分别是正三棱柱的棱AB 和AB 1的中点，∴BB 1∥ME ，又BB 1⊄平面EFM ，∴BB 1∥平面EFM(2)证明取BC 的中点N ，连结AN 由正三棱柱得 AN ⊥BC ，又BF ∶FC =1∶3，∴F 是BN 的中点，故MF ∥AN ， ∴MF ⊥BC ，而BC ⊥BB 1，BB 1∥ME∴ME ⊥BC ，由于MF ∩ME =M ，∴BC ⊥平面EFM ，又EF ⊂平面EFM ，∴BC ⊥EF(3)解取B 1C 1的中点O ，连结A 1O 知，A 1O ⊥面BCC 1B 1，由点O 作B 1D 的垂线OQ ，垂足为Q ，连结A 1Q ，由三垂线定理，A 1Q ⊥B 1D ，故∠A 1QD 为二面角A 1—B 1D —C 的平面角，易得∠A 1QO 1517 (1)证明连结A 1C 1、AC ，AC 和BD 交于点O ，连结C 1O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BC =CD又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C 是公共边，∴△C 1BC ≌△C 1DC ，∴C 1B =C 1D ∵DO =OB ，∴C 1O ⊥BD ，但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O =O ∴BD ⊥平面AC 1，又C 1C ⊂平面AC 1，∴C 1C ⊥BD (2)解由(1)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ，∴∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角在△C 1BC 中，BC =2，C 1C =23，∠BCC 1=60°， ∴C 1B 2=22+(23)2－2×2×23×cos60°413∵∠OCB =30°,∴OB =21,BC =1,C 1O =23,即C 1O =C 1C作C 1H ⊥OC ，垂足为H ，则H 是OC 中点且OH =23，∴cos C 1OC =33(3)解由(1)知BD ⊥平面AC 1，∵A 1O ⊂平面AC 1，∴BD ⊥A 1C ，当1CC CD=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC 1⊥A 1C ，又∵BD ∩BC 1=B ，∴A 1C ⊥平面C 1BD 18 解 (1)如图，在平面ABC 内，过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，则AH ⊥平面DBC ，∴∠ADH 即为直线AD 与平面BCD 所成的角由题设知△AHB ≌△AHD ，则DH ⊥BH ，AH =DH ， ∴∠ADH =45°(2)∵BC ⊥DH ，且DH 为AD 在平面BCD 上的射影， ∴BC ⊥AD ，故AD 与BC 所成的角为90°(3)过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连结AR ，则由三垂线定理知，AR ⊥BD ，故∠ARH 为二面角A—BD —C 的平面角的补角设BC =a ,则由题设知，AH =DH =2,23a BH a =,在△HDB 中，HR =43a ，∴tan ARH =HRAH=2 故二面角A —BD —C 大小为π－arctan2 19 解 (1)∵BC ∥AD ,BC ⊂面PBC ,∴AD ∥面PBC从而AD 与PC 间的距离就是直线AD 与平面PBC 间的距离过A 作AE ⊥PB ，又AE ⊥BC ∴AE ⊥平面PBC ，AE 为所求在等腰直角三角形PAB 中，PA =AB =a∴AE =22a R HAB C(2)作CM ∥AB ，由已知cos ADC =552∴tan ADC =21,即CM =21DM ∴ABCM 为正方形，AC =2a ,PC =3a 过A 作AH ⊥PC ,在Rt △PAC 中，得AH =36下面在AD 上找一点F ，使PC ⊥CF取MD 中点F ，△ACM 、△FCM 均为等腰直角三角形 ∴∠ACM +∠FCM =45°+45°=90°∴FC ⊥AC ,即FC ⊥PC ∴在AD 上存在满足条件的点F【挑战自我】如图，已知PD ⊥平面ABC D ，A D ⊥D C ，A D ∥BC ，PD ∶D C ∶BC＝1∶1∶2.（1）求二面角D －P B －C 的正切值；（2）当A D ∶BC 的值是多少时，能使平面P AB ⊥平面P BC ？证明你的结论.解：（1）如图，取P C 中点E ，连DE.∵PD ＝D C ，∴DE ⊥P C .又∵BC ⊥D C ，BC ⊥PD ， ∴BC ⊥平面PD C ，则面B P C ⊥面PD C ，∴DE ⊥面P BC .过E 作EF ⊥P B 于F ，连DF ，则由三垂线定理有DF ⊥P B .∴∠DFE ＝θ为二面角D －P B －C 的平面角.设PD ＝D C ＝1，则BC ＝2，DE ＝22，P C ＝2.又∵在Rt △DEF 中，ta nθ=2=EFDE∴二面角D －P B －C 的正切值为2（2）A D ∶BC ＝1∶2时，平面P AB ⊥平面P BC . 设PD ＝1，x BCAD=时，平面P AB ⊥平面P BC ，则D C ＝1，BC ＝P C ＝2，A D ＝2x.过A 作A G ⊥P B 于G 点，∵平面P AB ⊥平面P BC ，∴A G ⊥面P BC ，又∵DE ⊥面P BC （已证），∴A G ∥DE ，而A D ∥BC ，∴A D ∥面P BC ，故A D ∥GE ，进而有GE ∥BC ，又E 为P C 中点，∴G 为P B 中点，故GE ＝2221=BC . 即21222=⇒=x x . ∴当平面P AB ⊥平面P BC 时，21=BC AD 【答案及点拨】PAB C DPA BCDGEθ F演变1：因为垂直于同一条直线的两平面互相平行，所以①正确；因为垂直于同一平面的两平面不一定平行，所以②错误；因为当α与β相交时，若m 、n 平行于两平面的交线，则n m //，所以③错误；因为若m 、n 是异面直线，α⊂m ，β//m ，β⊂n ，α//n ，当且仅当βα//，所以④正确．演变2：（Ⅰ）过1A 作⊥H A 1平面ABC ，垂足为H ．连结AH ，并延长交BC 于G ，于是AH A 1∠为A A 1与底面ABC 所成的角． ∵AC A AB A 11∠=∠，∴AG 为BAC ∠的平分线．又∵AC AB =，∴BC AG ⊥，且G 为BC 的中点．因此，由三垂线定理BC A A ⊥1． ∵B B A A 11//，且B B EG 1//，∴BC EG ⊥．于是AGE ∠为二面角E BC A --的平面角，即120=∠AGE ．由于四边形AGE A 1为平行四边形，得601=∠AG A ．（Ⅱ）证明：设EG 与C B 1的交点为P ，则点P 为EG 的中点．连结PF ．在平行四边形1AGEA 中，因F 为A A 1的中点，故FP E A //1．而⊂FP 平面FC B 1，⊄E A 1平面FC B 1，所以//1E A 平面FC B 1．演变3： (1)证明 ∵A 1C 1=B 1C 1，D 1是A 1B 1的中点，∴C 1D 1⊥A 1B 1于D 1，又∵平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1，∴C 1D 1⊥平面A 1B 1BA ，而AB 1⊂平面A 1ABB 1，∴AB 1⊥C 1D 1 (2)证明连结D 1D ，∵D 是AB 中点，∴DD 1CC 1，∴C 1D 1∥CD ，由(1)得CD ⊥AB 1，又∵C 1D 1⊥平面A 1ABB 1，C 1B ⊥AB 1，由三垂线定理得BD 1⊥AB 1，又∵A 1D ∥D 1B ，∴AB 1⊥A 1D 而CD ∩A 1D =D ，∴AB 1⊥平面A 1CD 演变4：（Ⅰ）证明：∵P A ⊥面ABC D ，C D ⊥A D ， ∴由三垂线定理得：C D ⊥PD.因而，C D 与面P A D 内两条相交直线A D ，PD 都垂直， ∴C D ⊥面P A D.又C D ⊂面P C D ，∴面P A D ⊥面P C D.（Ⅱ）解：过点B 作B E//CA ，且B E=CA ，则∠P B E 是AC 与P B 所成的角.连结A E ，可知AC =CB =B E=A E=2，又AB =2，所以四边形ACB E 为正方形. 由P A ⊥面ABC D 得∠PE B =90°在Rt △PE B 中B E=2，P B =5， .510cos ==∠∴PB BE PBE .510arccos所成的角为与PB AC ∴ （Ⅲ）解：作A N ⊥C M ，垂足为N ，连结B N.在Rt △P AB 中，A M=M B ，又AC =CB ，∴△A M C ≌△B M C , ∴B N ⊥C M ，故∠A N B 为所求二面角的平面角. ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥P C ，在Rt △P CB 中，C M=M B ，所以C M=A M. 在等腰三角形A M C 中，A N ·M C =AC AC CM ⋅-22)2(， 5625223=⨯=∴AN . ∴AB =2，322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).32arccos(-演变5：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则C H=B E=1，EH//A D ，且EH=A D.又∵A F ∥E C 1，∴∠F A D=∠C 1EH.∴Rt △A DF ≌Rt △EH C 1. ∴DF=C 1H=2..6222=+=∴DF BD BF（Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连A G ，则平面A E C 1F 与平面ABC D 相交于A G. 过C 作C M ⊥A G ，垂足为M ，连C 1M ，由三垂线定理可知A G ⊥C 1M.由于A G ⊥面C 1M C ，且A G ⊂面A E C 1F ，所以平面A E C 1F ⊥面C 1M C .在Rt △C 1C M 中，作C Q ⊥M C 1，垂足为Q ，则C Q 的长即为C 到平面A E C 1F 的距离..113341712317123,17121743cos 3cos 3,.17,1,2211221=+⨯=⨯=∴=⨯===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CGBGCC EB 知由从而可得由演变6：如图,B M 是平面BC G 与平面B DF 的交线,C L 是平面BC G 与平面C DE 的交线,则B M 子C L 的交点即为O.作EG ⊥平面BC D,LN ⊥平面BC D,OQ ⊥平面BC D,设A 到平面BC D 的高为h,由题意可知L AGEEK=13h,LN=33115535EK h h=⋅=,∵32CM BLMG LG==,∴75CLCQ=∴OQ=5511 7757LN h h=⋅=,∴11137173BCDO BCDA BCDBCDhSVV hS--⋅==,选(C).演变7：如左图,在平面A ED内作MQ∥A E交ED于Q,则MQ⊥ED,且Q为ED的中点,连结QN,则NQ⊥ED且QN∥E B,QN=E B,∠MQN为二面角A－DE－B的平面角,∴∠MQN=45°，∵AB⊥平面BC DE,又∠A E B=∠MQN=45°,MQ=12A122B,在平面MQN内作MP⊥B Q,得QP=MP=12E B,故P B=QP=12E B,故QMN是以∠QMN为直角的等腰三角形,即MN⊥QM,也即MN子A E所成角大小等于90°。

SXB208高考数学必修_直线、平面、简单几何体知识梳理

直线、平面、简单几何体知识梳理一、直线、平面位置关系内容提要：立体几何需要我们去解决的问题概括起来就是三个方面，证明位置关系、求距离和求角；具体内容见下表：二、主要解题方法：（一）位置关系1、两条异面直线相互垂直证明方法：○1证明两条异面直线所成角为90º；○2证明两条异面直线的方向量相互垂直2、直线和平面相互平行证明方法：○1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；○2证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；○3证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

3、直线和平面垂直证明方法：○1证明直线和平面内两条相交直线都垂直，○2证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；○3证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。

4、平面和平面相互垂直证明方法：○1证明这两个平面所成二面角的平面角为90º；○2证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；○3证明两个平面的法向量相互垂直。

（二）求距离求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

1、两条异面直线的距离求法：○1如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度，线段长度的求法也可以用向量来帮助解决，求线段AB 的长度，可以利用()22NB MN AM AB ++= 来帮助解决，但是前提条件是我们要知道,,的模和每两个向量所成的角。

○2利用公式d =（其中A 、B 分别为两条异面直线上的一点，为这两条异面直线的法向量）2、点到平面的距离求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

○2等体积法。

○3向量法，利用公式d =（其中A 为已知点，B 为这个平面内的任意一点，这个平面的法向量）（三）求角1、两条异面直线所成的角求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2,0(π，向量所成的角范围是],0[π，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。