2019届高三第二次模拟考试卷理科数学(三) 学生版

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2019年高三二模数学(理科)(含答案)

2019年高三二模数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.计算=（）A. B. i C. D. 12.已知集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2-4x＞0}，则A∩B=（）A. 5，B.C. D. 或3.已知{a n}为等差数列，且a7-2a4=-1，a3=0，则公差d=（）A. B. C. D. 24.如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆．将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在扇形OEF（阴影部分）内”，则P（A）=（）A. B. C. D.5.已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A. B. C.D.6.执行如图所示的程序框图，则输出的k=（）A. 7B. 8C. 9D. 107.已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A. B.C. D.8.为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位9.已知变量x，y满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为A. B. C. D.10.已知三棱锥S-ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC=3，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.11.在的展开式中的x3的系数为（）A. 210B.C.D. 28012.函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. 或 D. 或二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.点P从（-1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为______．14.已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a= ______ ．15.已知数列{a n}中，a1=3，a2=7．当n∈N*时，a n+2是乘积a n•a n+1的个位数，则a2019=______．16.已知F是双曲线的右焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18、某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．（参考公式：，其中n=a+b+c+d）19、在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.（1）求证：;（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.20、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．求该椭圆的方程；过点作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．21、已知函数f（x）=4x2+-a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．22、已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：=．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的运算性质求值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的化简与运算问题，以及一元二次不等式的解法，是基础题目．化简集合A、B，再根据交集的定义求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈R|x2-4x＞0}={x∈R|x＜0或x＞4}，∴A∩B={5，6}．故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，即，解得d=-，故选B ． 4.【答案】C【解析】解：由图可知：正方形的边长为2， S 阴==，S 正=2×2=4，则P （A ）===，故选：C ．由扇形的面积得：S 阴==，由几何概型中的面积型得：则P （A ）===，得解．本题考查了扇形的面积及几何概型中的面积型，属简单题． 5.【答案】D【解析】解：若a ＞1，则由log a b ＞1得log a b ＞log a a ，即b ＞a ＞1，此时b-a ＞0，b ＞1，即（b-1）（b-a ）＞0，若0＜a ＜1，则由log a b ＞1得log a b ＞log a a ，即b ＜a ＜1，此时b-a ＜0，b ＜1，即（b-1）（b-a ）＞0，综上（b-1）（b-a ）＞0，故选：D ．根据对数的运算性质，结合a ＞1或0＜a ＜1进行判断即可．本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础． 6.【答案】C【解析】解：∵=-，∴s=++…+=1…+-=1-，由S≥得1-≥得≤，即k+1≥10，则k≥9，故选：C．由程序框图结合数列的裂项法进行求解即可．本题主要考查程序框图的应用，根据数列求和以及裂项法是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：令g（x）=x-lnx-1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．8.【答案】B【解析】解：由题意y=cos2x=sin（2x+），函数y=sin（2x+）的图象经过向右平移，得到函数y=sin[2（x-）+]=sin （2x-）的图象，故选：B．先根据诱导公式进行化简y=cos2x为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案．本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意x的系数的应用，以及诱导公式的应用．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值，关键是求出a+b=2，对所求变形为基本不等式的形式求最小值．【解答】解：约束条件对应的区域如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过点C（1,1）时取最小值为2，所以a+b=2，则+=（+）（a+b）=（4+）≥2+=2+；当且仅当a=b，并且a+b=2时等号成立；故选A．10.【答案】C【解析】解：将该三棱锥补成正方体，如图所示；根据题意，2R=，解得R=；∴该三棱锥外接球的表面积为=4πR2=4π•=27π．S球故选：C．把该三棱锥补成正方体，则正方体的对角线是外接球的直径，求出半径，计算它的表面积．本题考查了几何体的外接球表面积的应用问题，是基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，体现了分类讨论与转化的数学思想，属于基础题．由于的表示7个因式（1-x2+）的乘积，分类讨论求得展开式中的x3的系数．【解答】解：由于的表示7个因式（1-x2+）的乘积，在这7个因式中，有2个取-x2，有一个取，其余的因式都取1，即可得到含x3的项；或者在这7个因式中，有3个取-x2，有3个取，剩余的一个因式取1，即可得到含x3的项；故含x3的项为××2×-××23=210-1120=-910.故选C.12.【答案】D【解析】【分析】作出函数的图象，根据图象的平移得出a的范围．本题考查了图象的平移和根据图象解决实际问题，是数型结合思想的应用，应熟练掌握．【解答】解：画出函数f（x）=的图象如图：与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则可使log2x图象左移大于1个单位即可，得出a＞1；若使log2x图象右移，则由log2（1+a）=-2，解得a=-，∴a的范围为a＞1或a≤-，故选：D．13.【答案】（-，）【解析】解：如图所示，点P沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则∠xOQ=，∴Q点坐标为（cos，sin），即（-，）．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形求出点Q的坐标．本题考查了单位圆与三角函数的定义和应用问题，是基础题．14.【答案】1【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题.【解答】解：由f（x）=ax3+x+1，得f′（x）=3ax2+1，∴f′（1）=3a+1，即f（x）在x=1处的切线的斜率为3a+1，∵f（x）在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，∴3a+1=4，即a=1．故答案为1．15.【答案】1【解析】解：由题意得，数列{a n}中，a1=3，a2=7，当n≥2时，a n+1是积a n a n-1的个位数；则a3=1，依此类推，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，a9=1，a10=7，数列{a n}是以周期T=6的周期数列，则a2019=a3+336×6=a3=1；故答案为：1．根据题意可得：由数列的递推公式可得a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，a9=1，a10=7，据此可得到数列的一个周期为6，进而可得a2019=a3+336×6=a3，即可得答案．本题考查数列的递推公式以及数列的周期，关键是分析数列{a n}的周期，属于基础题．16.【答案】5【解析】解：∵F是双曲线的右焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点∴而|PA|+|PF|≥|AF|=5当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为：5．根据PA|+|PF|≥|AF|=5求得答案．本题考查了三点共线，距离公式，属于基础题17.【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知2cos C（a cos B+b cos A）=c，利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，整理得：2cos C sin（A+B）=sin C，即2cos C sin[π-（A+B）]=sin C，∴2cos C sinC=sin C，∴cos C=，∵C为三角形ABC的内角，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2-2ab•，∴（a+b）2-3ab=7，∵S=ab sin C=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2-18=7，∴a+b=5或a+b=-5（舍去）∴△ABC的周长为5+.【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．18.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，解得a=0.005；（Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25，所以晋级成功的人数为100×0.25=25（人），填表如下：根据上表数据代入公式可得，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1-0.25=0.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以X可视为服从二项分布，即，，故，，，，，所以X的分布列为数学期望为，或（）．【解析】（Ⅰ）由频率和为1，列出方程求a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望；本题考查了频率分布直方图与独立性检验和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，是中档题．19.【答案】（I）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD；（II）解：过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图,由（I）知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD,以B为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意得：B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，，则，设平面MBC的法向量，则,即，取z0＝1，得平面MBC的一个法向量，设直线AD与平面MBC所成角为θ，则，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.【解析】本题考查面面垂直的性质及线面垂直的判定与性质,同时考查利用空间向量求线面角.（I）利用面面垂直的性质得AB⊥平面BCD,从而AB⊥CD；（II）建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面MBC的法向量,设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式即可得出.20.【答案】解：（1）由题意可知：椭圆+=l（a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2-c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x-）-，则，整理得：（2k2+1）x2-（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）-2k-2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1-）-]x2+[k（x2-）-]x1=2kx1x2-（k+）（x1+x2）=-，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2-c2=1，即可求得椭圆的方程；（2）则直线PQ的方程：y=k（x-）-，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．21.【答案】解：（1）函数f（x）=4x2+-a，则y=xf（x）=4x3+1-ax的导数为y′=12x2-a，由题意可得12-a=0，解得a=12，即有f（x）=4x2+-12，f′（x）=8x-，可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，-7），即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=7（x-1），即为y=7x-14；（2）由f（x）=4x2+-a，导数f′（x）=8x-，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=处取得极小值，且为3-a，由f（x）有两个零点，可得3-a=0，即a=3，零点分别为-1，．令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=-1或，则f（x）=-1-b或f（x）=-b，由题意可得f（x）=-1-b或f（x）=-b都有3个实数解，则-1-b＞0，且-b＞0，即b＜-1且b＜，可得b＜-1，即有a+b＜2．则a+b的范围是（-∞，2）．【解析】（1）求得函数y=xf（x）的导数，由极值的概念可得a=12，求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数和单调区间，以及极值，由零点个数为2，可得a=3，作出y=f（x）的图象，令t=g（x），由题意可得t=-1或t=，即f（x）=-1-b或f（x）=-b都有3个实数解，由图象可得-1-b＞0，且-b＞0，即可得到所求a+b的范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，考查函数零点问题的解法，注意运用换元法和数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5-1）2+3-1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．【解析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．。

2019届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题含解析

2019年高三第二次模拟考试试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求再求即可【详解】因为，，所以，.故选：D【点睛】本题考查集合的运算，熟记并集与补集的定义，准确计算是关键，是基础题2.已知复数，则复数在复平面内对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简z,再求即可【详解】因为，所以，对应点的坐标为.故选：A【点睛】本题考查复数的运算及几何意义，熟记定义，准确计算是关键，是基础题3.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求渐近线的斜率，再求e即可【详解】依题意可得，则，所以.故选：C【点睛】本题考查双曲线的几何性质，渐近线，熟记性质，准确计算是关键，是基础题4.高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为，它们的平均数为，方差为；其中扫码支付使用的人数分别为，，，，，它们的平均数为，方差为，则，分别为（）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案.【详解】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为数据的平均数为：，数据的方差为，数据的方差为：故选C.【点睛】本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.已知变量满足约束条件，则的最小值为（）A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】A。

2019届高三下学期高三第二次模拟联考数学(理)试题—含答案

《2019届高三下学期高三第二次模拟联考数学（理）试题—含答案》摘要：数学（理科）试卷年级班级姓名学号注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡，将条形码准确粘贴在条形码区域内，解：（1）设等比数列{an}的公比为，由题意可得：即：，即：，所以（2） 18. 解：（1）连接，平面，又，，故点在线段的垂直平分线上．为等腰三角形，由等腰三角形的三线合一可知线段的垂直平分线即为直线，故点在直线上．（2）为二面角的平面角．，，．过作平行于的直线，并将其作为轴，建立如图所示的空间直角坐标系则，．设与所成的角为，则． 19. 解(1)由统计数据得2×2列联表：甲班乙班总计成绩优良 9 16 25 成绩不优良 11 4 15 总计 20 20 40 根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为k＝≈5．2275．024，∴能在犯错概率不超过0．025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”． X 0 1 2 3 P (2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为×8＝3，则X的可能取值为0，1，2，3．P(X＝0)＝＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝． 20. 解(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝．又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1．故E的方程为＋y2＝1． (2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y ＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0．当Δ＝16(4k2－3)0，即k2时，x1，2＝．从而|PQ|＝|x1－x2|＝．又点O到直线PQ的距离d＝．所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝．设＝t，则t0，S△OPQ＝＝．因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ0．所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2． 21. 解（1）函数的定义域为，. 若，，则在区间内为增函数2019学年度第二学期高三第二次模拟联考数学（理科）试卷年级班级姓名学号注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

东北三省三校2019届高三第二次模拟考试理科数学答案

2019高三第二次联合模拟考试理科数学答案一．选择题1-6 DCABBC7-12 AABDCD 二．填空题13. e 14. 16- 15. 16. 32 三．解答题17. 解：（I ）21,n n S a n =+-()21111,n n S a n ++=++-1121n n n a a a n ++∴=-++，21n a n ∴=+3'1155,1b b =∴=，又5235,8,4S S q ==∴=14n n b -∴=6'（II ）()1214n n n a b n -⋅=+()2135474214n n T n -=+⨯+⨯+++()()2143454214214n nn T n n -∴=⨯+⨯++-++10'()21332444(21)4n nn T n -∴-=++++-+⋅()141411332(21)424333n n nn T n n --⎛⎫∴-=+⋅-+⋅=-+⋅ ⎪-⎝⎭1214939nn n T ⎛⎫∴=-++⋅ ⎪⎝⎭12'18. 解：（Ⅰ）证明：连接AB 1，交A 1B 于点O ，则O 为AB 1中点，连接OD ，又D 是B 1C 1中点，∴OD ∥AC 1 ∵OD ⊂平面A 1BD ，AC 1⊄平面A 1B ∴AC 1∥平面A 1BD4' （Ⅱ）解：由已知，AB ⊥AC ，则AB ，AC ，AA 1两两垂直以A 为原点，如图建立空间直角坐标系-A xyz1111112202022=-+==+=BAz A D x y 122122202022=-==+=A M ay z AD x y则1(0,0,2),2),B A DC ，设(0,0)，M a (0≤≤a则1(=BA ，12(=A D ，1(0,,2)=-AM a 设平面1BA D 的法向量为n 111(,,)=x y z ，则n n ⋅⎧⎪⎨⎪⋅⎩∴取平面1BA D 的一个法向量n ,2,1=7'设平面1A DM 的法向量为m 222(,,)=x y z ，则m m ⋅⎧⎪⎨⎪⋅⎩∴取平面1A DM 的一个法向量m (2,2,)=-a10'cos 45︒=cos ,<>=mn=∴23240+-=a ，得=-a 3=a ∵0≤≤a ，∴3=a ∴存在点M ，此时23AM AC =，使二面角1--B A D M 的大小为45°12'19.解：（Ⅰ）不妨设(),)-M m N m1=k 2=k212214(1)44=-=--m k k m ，14λ∴=4'（Ⅱ）2244=+⎧⎨+=⎩y kx mx y222(14)8440+++-=k x km m 2216(41)0k m ∆=+->设1122(,),(,)M x y N x y2121222844,1414-+=-=++km m x x x x k k6'1212121212()()322(2)(2)4y y kx m kx m k k x x x x ++==-----=12124()()3(2)(2)0∴+++--=kx m kx m x x 221212(43)(46)()4120∴++-+++=k x x km x x m22222448(43)(46)41201414--∴++-++=++m km k km m k k22230∴++=k m km ==2m k m k∴--或，均符合0∆>10'若2m k =-，直线MN ：(2)y k x =-过(2,0)A ，与已知矛盾.=m k∴-,直线MN :(1)y k x =-过定点(112'20.解：（I ）四月前10天订单中百合需求量众数为2551'平均数250)265263255255252251244243241231(101=+++++++++⨯=x3'频率分布直方图补充如下：5'（II ）（1）由（I ）频率分布直方图知，ξ分布列为7'（2）①235245,x x N ≤<∈235ξ=，=Y ,6.14706.12235x x -=-⨯245ξ=，=Y ,492.0)245(8.16.12245+=---⨯x x x 255ξ=，=Y ,512.0)255(8.16.12255+=---⨯x x x 265ξ=， =Y ,532.0)265(8.16.12265+=---⨯x x x()0.1(470 1.6)0.3(0.249)0.4(0.251)0.2(0.253)0.0292.7E Y x x x x x =⨯-+⨯++⨯++⨯+=+9'②245255,x x N ≤<∈235ξ=，=Y ,6.14706.12235x x -=-⨯ 245ξ=，=Y ,6.14906.12245x x -=-⨯255ξ=，=Y ,512.0)255(8.16.12255+=---⨯x x x265ξ=， =Y ,532.0)265(8.16.12265+=---⨯x x x()0.1(470 1.6)0.3(490 1.6)0.4(0.251)0.2(0.253)0.52225E Y x x x x x =⨯-+⨯-+⨯++⨯+=-+10'③255265,x x N ≤≤∈235ξ=，=Y ,6.14706.12235x x -=-⨯245ξ=，=Y ,6.14906.12245x x -=-⨯ 255ξ=，=Y ,6.15106.12255x x -=-⨯265ξ=，=Y ,532.0)265(8.16.12265+=---⨯x x x()0.1(470 1.6)0.3(490 1.6)0.4(510 1.6)0.2(0.253)1.24408.6E Y x x x x x =⨯-+⨯-+⨯-+⨯+=-+11'245=∴x 时，max ()97.6E Y =（元）12'故每天空运245支百合，四月后20天每天百合销售利润Y 的期望值最大. 21. 证明:(Ⅰ)()()()=2+l 11n ,2,1f x x f f ''==()y f x =在1,1（）处的切线方程为21y x =- ()()()=22(1),2,111g x ax a g g ''--== ()y g x =在1,1（）处的切线方程为21y x =- 所以切线重合 2'（Ⅱ）（1）令()2()()2(1)1ln 1)F x g x f x ax a x a x x x x =-=--+---≥（()2(1)ln F x a x x '=--① 0()0 1 =a F x x '≤≤=当时，，当且仅当时取“”[)()()1+()(1)0,()F x F x F f x g x ∞≤=≤在，递减，不恒成立3'②1210()2ax a F x a x x-''>=-=当时，(i)111,()0,()22a x F x F x a ⎛⎫'''<<∈< ⎪⎝⎭当0时，时，递减 1()(1)0,()2F x F F x a''<=在(1,)递减()()(1)0,()F x F f x g x <=≤不恒成立5'(ii ）[)1()0,()1+2a F x F x '''≥≥∞当时，在，递增 [)()(1)0,()1+F x F F x ''≥=∞在，递增 ()()(1)0,()F x F f x g x ≥=≤恒成立综上，12a ≥7'（Ⅱ）（1）法2：2ln 2(1)1x x x ax a x a +≤--+-1(21)ln a ax a x x---+≥（1x ≥）设1()21ln a p x ax a x x-=+-+- 3'（）2(1)(1)()ax a x p x x +--'=()(1)(1)q x ax a x =+-≥(1)0a ≤当时，()0q x <，()0p x '<，()p x 在[1,)+∞递减，1,x ∴>当时()0p x <，与已知矛盾4'（）(2)0a >当时，()(1)21q x ax a a =+-≥-①12a ≥当时，()0q x ≥，()0p x '≥()p x ∴在[1,)+∞递增()(1)0p x p ∴≥=，满足题意 5'（）②当102a <<时，取11a x a -<<，()0p x '<，()p x ∴在1(1,)aa-递减，()(1)0p x p <=，不满足题意 7'（）综上，12a ≥（2）证明：由（1）知当1=2a 时，()()1f x g x x ≤∀≥恒成立得11ln ()(1)2x x x x≤-≥ 8'令=1,2,x n ，得n 个不等式相加得11(1)1ln !22n i n n n i =+⎡⎤<-⎢⎥⎣⎦∑1(1)12ln !2n i n n n i=+∴<-∑1(1)1ln +1+2ln !ln +12n i n n n n n i=+∴<-+∑（）（）[]1(1)1ln (+1)!!ln +12n i n n n n n i =+∴<-+∑（）10'下面只要证明11ln(+1)2(1)ni nn i n =<-+∑-即11ln(+1)2(1)ni n n i n =<-+∑ 再由不等式11ln ()(1)2x x x x<-> 令1k x k +=得1+1111ln +1ln ()()2121k k k k k k k k <-=+++（）-取=1,2,k n ，得n 个不等式累加得11ln(+1)2(1)ni nn i n =<-+∑成立故原不等式成立.12'22.解：（Ⅰ）易知直线l的方程为1y x =+2'曲线C的方程为22143x y += 4'（Ⅱ）12()2x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数,代入22143x y +=中得27180t --=,0∆> 设,A B 所对应的参数分别为12,.t t127t t +=，12187t t =-7'12247AB t t =-==10'23.证明：（Ⅰ）0,0,>>a b 2222244()1()1422222⎡⎤++∴+≥≥=⨯=⎢⎥⎣⎦a b a b a b5' (II)0,0,0>>>a b c ，33333111()18a b c a b c ⎛∴+++++≥≥ ⎝9'当且仅当a b c ===时，原式取最小值18.10'。

2019届高三理科数学二模试卷.docx

.精品文档 .2019 届高三理科数学二模试卷高三第二轮复习质量检测数学试题 ( 理科 )2019.4一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A．(1 ，2]B． (1，]． [0， 1)D． (1， +∞)2．已知i为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则的值为A．2B．．D．3．设等差数列的前n项和为，若A．8B．9．10D．114．为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为：A．①③B．①④．②③D．②④5．根据如下样本数据：得到的回归方程为，则每增加一个单位，y 就A．增加 1.4个单位B．减少 1.4个单位．增加 1.2个单位D．减少 1.2 个单位6．已知 x ， y 满足约束条件则的取值范围是A．[2 ，4] B ． [4 ， 6]．[2 ，6]D ．( －∞， 2]7．执行如图所示的程序框图，若输入的S=12，则输出的S=A．B．8．已知数列．5D．6的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且A． B ．19 9．设双曲线．20 D ．23的左、右焦点分别为，P 是双曲线上一点，点 P 到坐标原点的距离等于双曲线焦距的一半，且，则双曲线的离心率是A．B．．D．10．已知函数恰有1 个零点，则的取值范围是A．B．．D．11．如图，在下列四个正方体中，P， R， Q，，N， G， H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与 PRQ所在平面平行的是12．若函数上单调递增，则实数的取值范围为A．B．．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．如图，已知正方体ABD—的棱长为1，点 P 为棱上任意一点，则四棱锥P—的体积为▲ ．14．某外商计划在4 个候选城市中投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案有▲ 种．15．抛物线的焦点为F，动点 P 在抛物线上，点取得最小值时，直线AP的方程为▲ .16．如图，在△ AB中，为 D 上一点，且满足的面积为，则的最小值为▲ ．三、解答题：共70 分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤．第17 题~第21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 . 第 22 题 ~第 23 题为选考题，考生根据要求作答．17．( 本小题满分12 分 )3 / 6已知函数 .(1)求函数的单调递增区间；(2) 在△ AB中，内角A， B，的对边分别为，求的值．18．( 本小题满分12 分 )如图，正方形ABD边长为，平面平面ED，．(1)证明：；(2)求二面角的余弦值．19．(本小题满分12 分)某社区为了解居民参加体育锻炼情况，随机抽取18男性居民， 12 名女性居民对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查．现按参加体育锻炼的情况将居民分成 3 类：甲类 (参加体育锻炼 ) ，乙类 ( 参加体育锻炼，但平均每周参加体育名不锻炼的时间不超过 5 个小时 ) ，丙类 ( 参加体育锻炼，且平均每周参加体育锻炼的时间超过 5 个小时 ) ，调查结果如下表：(1)根据表中的统计数据，完成下面列联表，并判断是否有 90％的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关?(2)从抽出的女性居民中再随机抽取 3 人进一步了解情况，记 X 为抽取的这 3 名女性居民中甲类和丙类人数差的绝对值，求X 的数学期望．附：20． ( 本小题满分12 分)已知椭圆的右顶点为A，左焦点为，离心率，过点A 的直线与椭圆交于另一个点B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为点，若．(1)求椭圆的标准方程；(2)过圆上任意一点 P 作圆 E 的切线与椭圆交于， N 两点，以 N 为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．21．( 本小题满分12 分 )已知函数．(1)若函数存在极小值点，求的取值范围；(2)证明：．请考生在第22~23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．( 本小题满分10 分 )在平面直角坐标系xy 中，直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的普通方程；(2)过点 P(1 ，0) 作直线的垂线交曲线于， N 两点，求的值.23．( 本小题满分10 分 )已知函数．(1)当时，解不等式；(2)若不等式有解，求的取值范围．。

2019届高三理科数学测试卷(三)附答案

第1页（共8页）第2页（共8页）2019届高三理科数学测试卷（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|3A x x =≤，集合(){|lg B x y a x ==-，且}x ∈N ，若集合{}0,1,2A B =，则实数a的取值范围是（） A ．[]2,4B ．[)2,4C ．(]2,3D ．[]2,32．已知i 是虚数单位，复数z 是z 的共轭复数，复数1i3i 1iz -=+-，则下面说法正确的是（）A ．z 在复平面内对应的点落在第四象限B ．22i z =+C ．2+z z的虚部为1 D ．22zz =+ 3．已知双曲线()22106x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（）A ．14222=-y x B ．18422=-y x C ．1822=-y x D ．18222=-y x 4．据统计一次性饮酒4．8两诱发脑血管病的概率为0．04，一次性饮酒7．2两诱发脑血管病的概率为0．16．已知某公司职员一次性饮酒4．8两未诱发脑血管病，则他还能继续饮酒2．4两不诱发脑血管病的概率为（） A ．87B ．65 C ．43 D ．2120 5．某四棱锥的三视图如图所示，其中每个小格是边长为1的正方形，则最长侧棱与底面所成角的正切值为（）A ．552 B ．25 C ．38 D ．23 6．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足()1502n n n a S S n -+=≥，则下列说法正确的是（）A ．数列{}n a 的前n 项和为n S n 5=B ．数列{}n a 的通项公式为()151n a n n =+，115a =C ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列D ．数列{}n a 是递增数列7．古代著名数学典籍《九章算术》在“商功”篇章中有这样的描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，问积几何？”其中“圆亭”指的是正圆台体形建筑物．算法为：“上下底面周长相乘，加上底面周长自乘、下底面周长自乘的和，再乘以高，最后除以36．”可以用程序框图写出它的算法，如图，今有圆亭上底面周长为6，下底面周长为12，高为3，则它的体积为（）A ．32B ．29C ．27D ．218．若(),M x y 为⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≥+-0202302y x y x y x 区域内任意一点，则()22216z x y λλλ=++-的最大值为（）A ．2B ．28λ-C ．262+λD ．242--λ此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号第3页（共8页）第4页（共8页）9．已知实数a ，b ，c ，a a2log 2-=，121log 2b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2312c c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b a c >>10．将函数()22cos ()16g x x π=+-的图象，向右平移4π个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()f x ，则下列说法正确的是（） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 在区间75,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 在区间25,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为3-D ．3x π=是函数()f x 的一条对称轴 11．已知函数()2e 3,0241,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程()0f x kx -=有4个不同的实数解，则k 的取值范围为（） A ．()(),4223e,-∞--+∞B ．()e 3,422--C ．()(),422422,-∞-++∞D ．()3e,422-+12．已知过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且FB AF 3=，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，l AA ⊥1于点1A ，且四边形CF AA 1的面积为36，过()1,0K -的直线'l 交抛物线于M ，N 两点，且(]()1,2KM KN λλ=∈，点G 为线段MN 的垂直平分线与x 轴的交点，则点G 的横坐标0x 的取值范围为（） A ．133,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．92,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．93,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,72⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，2AD =，则向量BD 在向量AC 上的投影为．14．二项式()742111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为．15．已知数列{}n a 满足31=a ，且对任意的m ，*n ∈N ，都有n mmn a a a =+，若数列{}n b 满足()23log 1n n b a =+，则数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 的取值范围是．16．已知正方形ABCD 的边长为22，将ABC △沿对角线AC 折起，使平面⊥ABC 平面ACD ，得到如图所示的三棱锥ACD B -，若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为DC ，BO 上的动点（不包括端点），且CM BN =，设x BN =，则三棱锥AMC N -的体积取得最大值时，三棱锥ADC N -的内切球的半径为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知在ABC △中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22sin 12sin 32A C B B +⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求B 的大小；（2）若B C A 2sin sin sin =，求ca的值．第5页（共8页）第6页（共8页）18．（12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，四边形CA C A 11为菱形，111160B A A C A A ∠=∠=︒，4AC =，2AB =，平面⊥11A ACC 平面11A ABB ，Q 在线段AC 上移动，P 为棱1AA 的中点．（1）若Q 为线段AC 的中点，H 为BQ 中点，延长AH 交BC 于D ，求证：AD ∥平面PQ B 1；（2）若二面角11C PQ B --的平面角的余弦值为1313，求点P 到平面1BQB 的距离．19．（12分）2018年1月26日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见》，卫生部对16所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估．满10分者为“安全食堂”，评分7分以下的为“待改革食堂”．评分在4分以下考虑为“取缔食堂”，大部分大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：（1）现从16所大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个评分不低于9分的概率；（2）以这16所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选3个，记X 表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X 的分布列及数学期望．20．（12分）椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为22，已知过y 轴上一点()0,M m 作一条直线l ：()0y kx m m =+≠，交椭圆于A ，B 两点，且1ABF △的周长最大值为8．（1）求椭圆方程；（2）以点N 为圆心，半径为ON 的圆的方程为()222x y m m ++=．过AB 的中点C 作圆的切线CE ，E 为切点，连接NC ，证明：当NC NE取最大值时，点M 在短轴上（不包括短轴端点及原点）．第7页（共8页）第8页（共8页）21．（12分）已知函数()212f x x =，()ln g x a x =．（1）若曲线()()y f x g x =-在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数1x ，2x ，()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[]1,e 上存在一点0x ，使得()()()()00001'''f x g x g x f x +<-成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y tx （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且90AOB ∠=︒．（1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于M ，N 两点，证明：22C M C N ⋅（2C 为圆心）为定值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()241f x x x =-++．（1）解不等式()9f x ≤；（2）若不等式()2f x x a <+的解集为A ，{}2|30B x x x =-<，且满足A B ⊆，求实数a 的取值范围．答案第1页（共6页）答案第2页（共6页）高三理科数学（三）答案一、选择题． 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】A 二、填空题． 13．【答案】2-14．【答案】22- 15．【答案】12,2115⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．【答案】3622-三、解答题．17．【答案】（1）3B π=或56B π=；（2）1=ca ．【解析】（1）∵22sin 12sin 3cos22A C B B +⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴22sin 12sin 3cos 202A C B B +⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即02cos 3cos sin 2=+B B B ，∴02cos 32sin =+B B ，∴sin 203B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴()23B k k π+=π∈Z ，又()0,B ∈π，∴3B π=或56B π=．（2）∵B C A 2sin sin sin =，∴2b ac =，又由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=，∴()2212cos a c ac B +=+，当3B π=时，则0222=-+ac c a ，∴c a =，∴1=ca ，当56B π=时，则()22310a c ac ++-=，∴()23110a ac c⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，()2314230∆=--=-<，此方程无解．综上所述，当且仅当3B π=时，可得1=ca ． 18．【答案】（1）见解析；（2）26．【解析】（1）证明：如图，取1BB 中点E ，连接AE ，EH ， ∵H 为BQ 中点，∴1EH B Q ∥，在平行四边形B B AA 11中，P ，E 分别为1AA ，1BB 的中点，∴1AE PB ∥，又E AE EH = ，111B Q B PB = ，∴平面EHA ∥平面QP B 1． ∵⊂AD 平面EHA ，∴AD ∥平面PQ B 1．（2）连接1PC ，1AC ，∵四边形CA C A 11为菱形，∴4111===C A AC AA ，又1160C A A ∠=︒，∴11AC A △为正三角形． ∵P 为1AA 的中点，∴11AA PC ⊥，∵平面⊥11A ACC 平面11A ABB ，平面 11A ACC 平面111AA A ABB =，⊂1PC 平面11A ACC ， ∴⊥1PC 平面11A ABB ，在平面11A ABB 内过点P 作1AA PR ⊥交1BB 于点R ，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则答案第3页（共6页）答案第4页（共6页）()0,0,0P ，()10,2,0A ，()0,2,0A -，()10,0,23C ，()0,4,23C -，设()0,2,23AQ AC λλ==-，[]0,1λ∈，∴()()0,21,23Q λλ-+，∴()()0,21,23PQ λλ=-+， ∵211==AB B A ，1160B A A ∠=︒，∴()13,1,0B ，∴()13,1,0PB =，设平面1PQB 的法向量为(),,x y z =m ，则100PQ PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得()2123030y z x y λλ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩，令1=x ，则3y =-，1z λλ+=-，∴平面1PQB 的一个法向量为11,3,λλ+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭m ，设平面C C AA 11的法向量为()1,0,0=n ，二面角11C PQ B --的平面角为θ，则2113cos 13113θλλ⋅==+⎛⎫++- ⎪⎝⎭m nm n， ∴21=λ或41-=λ（舍），∴AC AQ 21=，∴()0,3,3Q -．又()3,3,0B-，∴()3,0,3QB =-，∴336QB =+=，连接BP ，设点P 到平面1BQB 的距离为h ，则h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯6421313342131，∴26=h ，即点P 到平面1BQB 的距离为26． 19．【答案】（1）121140；（2）见解析，()0.75E X =．【解析】（1）设i A 表示所抽取3个中有i 所大学食堂评分不低于9分，至多有1个评分不低于9分记为事件A ，则()()()3121241201331616C C C 121140C C P A P A P A =+=+=．（2）由表格数据知，从16所大学食堂任选1个评分不低于9分的概率为41164=，由题知X 的可能取值为0，1，2，3．()33270464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()121313271C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()21231392C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3313464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为∴()27911230.75646464E X =⨯+⨯+⨯=． 20．【答案】（1）12422=+y x ；（2）见解析．【解析】（1）由题意得11122148AF BF AB AF BF AF BF a ++≤+++==， ∴2=a ∵22=a c ，∴2=c ，∴2=b ， ∴所求椭圆方程为12422=+y x ．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立⎩⎨⎧=++=4222y x m kx y 得()222214240k x kmx m +++-=，由0>∆得2422+<k m ，且124221+-=+k km x x ，∴122221my y k +=+， ∴222,2121kmm C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．∵以点N 为圆心，ON 为半径的圆的方程为()222x y m m ++=，∴()0,N m -，∴2222222121km m NC m k k ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得()()22422241321m k k NC k ++=+， ∵NE m =，∴()()()2422222224138312121k k NC k NEkk+++==+++．令()2833t k t =+≥，∴41122+=+t k ，∴()222161611112NC t t NE t t=+=++++，令()13y t t t =+≥，则011'2>-=t y ， ∴tt y 1+=在[)3,+∞上单调递增，∴3101≥+t t ，当且仅当3=t 时等号成立，答案第5页（共6页）答案第6页（共6页）此时NC NE取得最大值，且0=k ，∴22422=+<k m ，∴22<<-m 且0≠m ，∴点M 在短轴上（不包括短轴端点及原点）． 21．【答案】（1）2-=a ；（2）[)1,+∞；（3）()2e 1,2,e 1⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭．【解析】（1）()()21ln 2y f x g x x a x =-=-，'ay x x=-，由题意得322=-a，解得2-=a ，（2）()()()21ln 2h x f x g x x a x =+=+，对任意两个不等的正数1x ，2x ，()()12122h x h x x x ->-恒成立，令21x x >，则()()()12122h x h x x x ->-，即()()112222h x x h x x ->-恒成立，则问题等价于()21ln 22F x x a x x =+-在()0,+∞上为增函数，()'2a F x x x=+-，则问题转化为()'0F x ≥在()0,+∞上恒成立，即22x x a -≥在()0,+∞上恒成立，所以()2max21a x x ≥-=，即实数a 的取值范围是[)1,+∞．（3）不等式()()()()00001'''f x g x g x f x +<-等价于0000ln 1x a x a x x -<+，整理得01ln 000<++-x a x a x ，构造函数()1ln am x x a x x +=-+，由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <， ()()()()22221111'1x ax a x a x a a m x x x x x --+--++=--==，因为0>x ，所以01>+x ，令()'0m x =，得a x +=1．①当11≤+a ，即0≤a 时，()m x 在[]1,e 上单调递增，只需()120m a =+<，解得2-<a ； ②当11e a <+≤，即0e 1a <≤-时，()m x 在a x +=1处取得最小值．令()()11ln 110m a a a a +=+-++<，即()11ln 1a a a ++<+，可得()11ln 1a a a++<+ 令1+=a t ，则1e t <≤，不等式()11ln 1a a a ++<+可化为t t t ln 11<-+，因为1e t <≤，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立． ③当1e a +>，即e 1a >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减，只需()1e e 0eam a +=-+<，解得2e 1e 1a +>-．综上所述，实数a 的取值范围是()2e 1,2,e 1⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭． 22．【答案】（1）2=b ；（2）见解析．【解析】（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，()2224x y ++=， ∵90AOB ∠=︒，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，∴2=b ．（2）证明：曲线1C 的普通方程为()20x ay a =>，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty tx 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得214022t t ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 04212>+=∆a a 恒成立，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则821=t t ， ∴228C M C N =， ∴22C M C N 为定值8．23．【答案】（1）[]2,4-；（2）5a ≥．【解析】（1）由()9f x ≤可得2419x x -++≤，即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x ，解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ，故不等式()9f x ≤的解集为[]2,4-．（2）易知()0,3B =，由题意可得2412x x x a -++<+在()0,3上恒成立，⇒241x x a -<+-在()0,3上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在()0,3上恒成立， 3->⇒x a 且5a x >-+在()0,3上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒5a a 5≥⇒a ．。

2019年高三第二次模拟考试数学理试题含答案

2019年高三第二次模拟考试数学理试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共1 50分．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第1I卷j_}=I O．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收同．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共1 O小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数（其中i为虚数单位），则复数z在坐标平面内对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知，则a，b ，c的大小关系是A．c<a<b B．c<b<a C．a<b<c D．b<a<c3．将函数图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为A．B．c．D．4．“m<0”是“函数存在零点"的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．若空间几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为A．B．C．D．86．下列四个判断：①某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m，n，某次测试教学平均分别是a，b，则这两个班的数学平均分别为；②从总体抽取的样本（1，2，5），（2，3，1），（3，3，6），（4，3，9），（5，4，4），则回归直线必过点（3，3，6）；③已知服从正态分布N （1，22），且=0.3，则其中正确的个数有A．0个B．1个C．2个D．3个7．将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有A．18种B．36种C．48种D．60种8．已知点M（a，b）（a>0，b>0）是圆C：x2+y2=1内任意一点，点P（x，y）是圆上任意一点，则实数ax+by一1A ．一定是负数B ．一定等于0C ．一定是正数D ．可能为正数也可能为负数9．等差数列的前n 项和为，公差为d ，已知，则下列结论正确的是A ．B ．C ．D ．10．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2CD ，设∠DAB=，∈（0，），以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，设的大致图像是第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．曲线与坐标轴所围成押科形面积是 .12．已知集合}032|{},22,2|{22≤-+=≤≤-+==x x x B x x x y y A ，在集合A 中任意取一个元素a ，则a ∈B 的概率是 .13．执行如图所示的程序框图，若输入a 的值为2，则输出的p 值是 .14．观察下面两个推理过程及结论：（1）若锐角A ，B ，C 满足A+B+C=，以角A ，B ，C 分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：A CBC B A cos sin sin 2sin sin sin 222-+= （2）若锐角A ，B ，C 满足A+B+C=，则=，以角分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式：2s i 2c o 2c o s 22c o s 2c o s 2c o s 222A C B C B A -+= 则：若锐角A ，B ，C 满足A+B+C=，类比上面推理方法，可以得到一个等式是 .三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分。

东北三省三校2019届高三第二次模拟数学(理)试题(解析版)

【详解】由，得 .
设，，则，，
.
又到直线的距离，
则的面积，
当且仅当，即时，的面积取得最大值.
此时， .
故选A
【点睛】本题主要考查椭圆中的弦长问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、以及弦长公式等求解，属于常考题型.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数，则 ______．
设平面的法向量为，
则
∴取平面的一个法向量 .
设平面的法向量为，
则
∴取平面的一个法向量 .
∴ ，得或
∵ ，∴
∴存在点，此时，使二面角的大小为45°.
【点睛】本题主要考查线面平行、以及已知二面角求其它量的问题，通常需要熟记线面平行的判定定理来证明平行；另外，向量法求二面角是最实用的一种做法，属于常考题型.
设，求出两平面的法向量，根据法向量夹角余弦值以及二面角的大小列出等式，即可求出，进而可得出结果.
【详解】解：（Ⅰ）证明：连接，交于点，则为中点，
连接，又是棱的中点，
平面，平面，
平面 .
（Ⅱ）解：由已知，，则，，两两垂直
以为原点，如图建立空间直角坐标系
则，
设
则，，
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，，在棱上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先连接，交于点，再由线面平行的判定定理，即可证明平面；
（Ⅱ）先由题意得，，两两垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系
【详解】解：（Ⅰ）不妨设

2019-2020年高三第二次模拟考试数学理科试题.doc

绝密★启用前试卷类型：A2019-2020年高三第二次模拟考试数学理科试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷进（非选择题）两部分，共4页，满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题12小题。

每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}222|,,1|x y x N R x x y y M -==∈-==，则N M ⋂= （A ）),1[+∞- （B ）)2,1[- （C ）),2[+∞ （D ）ø(2）已知i 为虚数单位，复数ii z -+=121，则复数z 的虚部是（A ）i 21- （2）21- （C)i 23 (D ）23 （3）要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、200户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的5名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况。

宜采用的方法依次为（A ）①简单随机抽样，②系统抽样（B ）①分层抽样，②简单随机抽样（C ）①系统抽样， ②分层抽样（D ）①②都用分层抽样（4）已知直线α平面⊥l ，直线β平面⊂m ，则“βα//”是“m l ⊥”的（A ）充要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分不必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）要得到函数)42cos(3π-=x y 的图象，可以将函数x y 2sin 3=的图象（A ）沿x 轴向左平移8π个单位（B ）沿x 向右平移8π个单位（C ）沿x 轴向左平移4π个单位（D ）沿x 向右平移4π个单位（6）已知62)2(px x -的展开式中常数项为2720，那么正数p 的值是（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4（7）右图所示的是根据输入的x 值计算y 的值的程序框图，若x 依次取数列)(162*∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧+N n n n 中的项，则所得y 值的最小值为（A ）4 （B ）8（C ）16 （D)32(8)如图，由曲线x y sin =，直线π23=x 与x 轴围成的阴影部分的面积是（A ）1 （B ）2（C ）22 （D ）3（9）在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名。

2019届好教育高三第二次模拟考试理科数学(三)解析附后

2019届好教育高三第二次模拟考试理科数学（三）解析附后注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·湘潭一模]设集合，，则等于（）A ．B ．C ．D ．2．[2019·郴州质检]设，则的虚部是（） A ．B ．C ．D ．3．[2019·河南实验中学]如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）()(){}140A x x x =+->{}09B x x =<<A B ()1,4-()4,9()0,4()1,9-312ii 2iz +=--z 1-45-2i -2-A ．B ．C ．D ．4．[2019·潍坊期末]若（）A ．B ．C ．D ．5．[2019·佛山质检]展开式中的系数为（） A ．B ．120C ．160D ．2006．[2019·宜昌调研]已知两点，以及圆，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．7．[2019·山东外国语]若函数在上为减函数，则函数的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．8．[2019·龙岩质检]已知定义在上的可导函数、满足，，，如果的最大值为，最小值为，则（）A ．B ．2C ．D ．39．[2019·泉州质检]已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为（）24π36π48π60πcos π2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos2α=23-13-1323()()522x y x y -+33x y 40-()1,0A -()1,0B ()()()222:340C x y r r -+-=>C P 0AP PB ⋅=r []3,6[]3,5[]4,5[]4,6()()01x x f x a a a a -=->≠且R ()log 1a y x =-R ()f x ()g x ()()263f x f x x +-=+()()113f g -=()()6g x f x x ''=-()g x M N M N +=2-3-A BCD -O AD ⊥ABC 90BAC ∠=︒2AD =O 29πA BCD -A ．B ．C ．D ． 10．[2019·辽宁期末]在中，角，，所对的边分别是，，，已知，且，，则的面积是（） ABCD11．[2019·湖北联考]如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（）ABC ．2D12．[2019·哈尔滨六中]定义域为的函数，若关于的方程，恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（） A ．0 B ．2C ．8D ．10254272252ABC △A B C a b c ()()sin sin 3sin2B A B A A ++-=c =π3C =ABC △A ()222210,0x y a b a b-=>>P PB x ⊥B A OB A AP C C R ()()()2212x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩x ()()20f x bf x c ++=1x 2x 3x 4x 5x ()12345f x x x x x ++++二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·揭阳毕业]若向量、不共线，且，则_______． 14．[2019·荆州质检]函数在处的切线于坐标轴围成的三角形的面积为__________．15．[2019·盐城一模]设函数，其中．若函数在上恰有2个零点，则的取值范围是________．16．[2019·湖南联考]已知直线被抛物线截得的弦长为5，直线经过的焦点，为上的一个动点，设点的坐标为，则的最小值为______．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·呼和浩特调研]已知数列是等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是递增的等比数列且，，求．()1,x =a ()1,2=--b ()()+⊥-a b a b ⋅=a b ()ln f x x x =1x =()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>()f x []0,2πω:2l y x b =+()2:20C y px p =>l C M C N ()3,0MN {}n a 81a =1624S ={}n a n a {}n b 149b b +=238b b =()()()()1133552121n n a b a b a b a b --++++++++18．（12分）[2019·山东外国语]某公司共有10条产品生产线，不超过5条生产线正常工作时，每条生产线每天纯利润为1100元，超过5条生产线正确工作时，超过的生产线每条纯利润为800元，原生产线利润保持不变．未开工的生产线每条每天的保养等各种费用共100元．用表示每天正常工作的生产线条数，用表示公司每天的纯利润．（1）写出关于的函数关系式，并求出纯利润为7700元时工作的生产线条数；（2）为保证新开的生产线正常工作，需对新开的生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数，标准差，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估计值．为检测该生产线生产状况，现从加工的产品中任意抽取一件，记其数据为，依据以下不等式评判（表示对应事件的概率）．①；②； ③，评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线．试判断该生产线是否需要检修．x y y x 14x =2s =XP ()0.6826P x s X x s -<<+≥()220.9544P x s X x s -<<+≥()330.9974P x s X x s -<<+≥19．（12分）[2019·牡丹江一中]在三棱柱中，，，为的中点．（1）证明：；（2）若，点在平面的射影在上，且与平面，求三棱柱的高．111ABC A B C -2AC BC ==120ACB ∠=︒D 11A B 11AC BC D ∥平面11AA AC =1A ABC AC BC 1BC D 111ABC A B C -20．（12分）[2019·丰台期末]已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线与椭圆交于不同两点，，直线，分别交轴于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）求证：．()2222:10x y C a b a b+=>>()1,0F 12()():40l y k x k =-≠C M N FM FN y A B C FA FB =21．（12分）[2019·河南联考]已知，函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．a ∈R ()()2e 3e 32x x af x a x =-++()f x ()f x a请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·济南外国语]在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点的坐标为，直线与曲线相交于，两点，求的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·皖南八校]已知函数．（1）解不等式：；（2）若函数的最小值为，且，求的最小值．xOy l 1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩t 0πα≤<x C 2221sin ρθ=+C M ()1,0l C A B 11MA MB+()224f x x x =-++()34f x x ≥-+()f x a ()0,0m n a m n +=>>11m n+2019届好教育云平台高三第二次模拟考试卷理科数学（三）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】由题意，集合，，根据集合的交集运算，可得，故选C ． 2．【答案】D【解析】，∴的虚部是，故选D ． 3．【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是4的正方体的一半．可得：该几何体的外接球的半径，故选C ．4．【答案】C【解析】，所以，故选C ．5．【答案】B【解析】展开式中的项为，{}14A x x =-<<{}09B x x =<<{}04A B x x =<<()()()()312i 2i 12i 5ii i i 2i 2i 2i 2i 5z +++=-=--=--=---+z 2-r =(24π48π=⨯=cos sin 2παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭sin α=211cos212sin 1233αα=-=-⋅=()()522x y x y -+33x y ()()()323223333333552C 2C 216040120x x y y x y x y x y x y ⋅⋅+-⋅⋅=-=则展开式中的系数为120，故选B ． 6．【答案】D 【解析】，点在以，两点为直径的圆上，该圆方程为，又点在圆上，两圆有公共点．两圆的圆心距，，解得，故选D ． 7．【答案】D【解析】由函数在上为减函数，故．函数是偶函数，定义域为或，函数的图象，时是把函数的图象向右平移1个单位得到的，故选D ． 8．【答案】D 【解析】，，，则，故，，则，，，故的图象关于对称，，，故选D ．9．【答案】A【解析】设球的半径为，，，33x y 0AP PB ⋅=∴P ()1,0A -()1,0B 221x y +=P C∴5d 151r r ∴-≤≤+46r ≤≤()()01x x f x a a a a -=->≠且R 01a <<()log 1a y x =-1x >1x <-()log 1a y x =-1x >log a y x =()()6g x f x x ''=-()()23g x f x x c =-+()()113f g -=0c =()()23g x f x x =-()()263f x f x x +-=+()()22333f x x f x x -=--++()()()22333f x x f x x ⎡⎤∴-=----+⎣⎦()()3g x g x ∴=--+()g x 30,2⎛⎫⎪⎝⎭322M N +∴=3M N +=O R AB x =AC y =由，得．又，得．三棱锥的侧面积，由，得，当且仅当时取等号，由，得时取等号， ∴，当且仅当时取等号．∴三棱锥的侧面积的最大值为．故选A． 10．【答案】D【解析】依题意有，即或．当时，由正弦定理得①，由余弦定理得②，解由①②组成的方程组得，，所以三角形面积为当时，，三角形为直角三角形，24π29πR =2429R =()222222x y R ++=2225x y +=A BCD -11122222ABD ACD ABC S S S S x y xy =++=⋅+⋅+△△△222x y xy +≥252xy ≤x y ==()()2222222x y x xy y x y +=++≤+x y +≤x y ==12525224S ≤⨯=x y ==A BCD -254sin cos cos sin sin cos cos sin 6sin cos B A B A B A B A A A ++-=sin 3sin B A =cos 0A =sin 3sin B A =3b a =222π2cos 3a b ab =+-1a =3b =1π1sin 13232ab =⨯⨯=cos 0A =π2A =b ==故三角形面积为D ． 11．【答案】A【解析】由题意可得，为线段的中点，可得，令，代入双曲线的方程可得，可设，由题意结合图形可得圆经过双曲线的左顶点，即，即有，可得，A ．12．【答案】C【解析】一元二次方程最多两个解，当时，方程至多四个解，不满足题意，当是方程的一个解时，才有可能5个解，结合图象性质，可知，即，故答案为C ．1122bc =(),0A a A OB ()2,0B a 2x a =y =()2,P a A (),0a -2AP a =2a a b =c e a =2x ≠()()20f x bf x c ++=2x =()()20f x bf x c ++=()f x 123452222210x x x x x ++++=⨯+⨯+=()()12345108f x x x x x f ++++==二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】3【解析】由于，故，即，即，解得，当时，，两者共线，不符合题意．故．所以．14．【答案】【解析】，，则，，故曲线在点处的切线的方程为，令，得；令，得，则直线与两坐标轴的交点为和，所围成三角形的面积为，故答案为．15．【答案】【解析】取零点时满足条件，当时的零点从小到大依次为，，，所以满足，解得． 16．【答案】【解析】（1），则，又直线经过的焦点，则，， ()()+⊥-a b a b ()()0+⋅-=a b a b 22=a b ()()222112x +=-+-2x =±2x =()1,2==-a b 2x =-143⋅=-+=a b 12()ln f x x x =()ln 1f x x '∴=+()10f =()11f '=()f x ()1,0P l 1y x =-0x =1y =-0y =1x =l ()0,1-()1,0111122⨯⨯=1254,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x x ()π3πk x k ωω=-+∈Z 0x >12π3x ω=25π3x ω=38π3x ω=5π2π38π2π3ωω⎧⎪≤⎨>⎪⎪⎪⎩54,63ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()222244202y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-=+⎨⎩=()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎣⎦=⎥l C 22b p -=b p ∴=-由此解得，抛物线方程为，，，则，故当时，即答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知得，，，．（2）由已知得：，又是递增的等比数列，故解得，，，，∴． 18．【答案】（1），8条生产线；（2）见解析．【解析】（1）由题意知：当时，，当时，，，2p =24y x =()00,M x y 204y x ∴=()()()222220000033418MN x y x x x =-+=-+=-+01x =MN =7n a n =-24173n n n --+12712153a d a d +=+=⎧⎨⎩16a ∴=-1d =()6117n a n n =-+-⋅=-141498b b b b ⋅+==⎧⎨⎩{}n b 11b =48b =2q =12n n b -∴=()()()()1133552121n n a b a b a b a b --++++++++()()13211321n n a a a b b b --=+++++++()()16422814164n n -=---++-+++++()()2146284172143nn n n nn --+--=+=-+-()()12001000,5 900500,510x x x y x x x ⎧-≤∈⎪∴=⎨+<≤∈⎪⎩**N N 且且5x ≤()11001001012001000y x x x =-⨯-=-510x <≤()()11005800510010900500y x x x =⨯+⨯--⨯-=+()()12001000,5 900500,510x x x y x x x ⎧-≤∈⎪∴=⎨+<≤∈⎪⎩**N N 且且当时，，，即8条生产线正常工作．（2），，由频率分布直方图得：，，，不满足至少两个不等式，该生产线需重修． 19．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）连结交于点，连结，则是的中点，又为的中点，所以，且面，面，所以面．（2）取的中点，连结，因为点在面上的射影在上，且，所以面，可建立如图的空间直角坐标系，设，因为，，7700y =9005007700x +=8x =14μ=2σ=()()12160.290.1120.80.6826P x ∴<<=+⨯=>()()10180.80.040.0320.940.9544P X <<=++⨯=<()()8200.940.0150.00520.980.9974P X ∴<<=++⨯=<∴1B C 1BC E DE E 1B C D 11A B 1DE AC ∥DE ⊂1BC D 1AC ⊄1BC D 1A C ∥1BC D AC O 1A O 1A ABC AC 11A A AC =1AO ⊥ABC O xyz -1A O a =2AC BC ==120ACB ∠=︒则，，，，，，，设为面的法向量，，取，则，由与平面，即，解得所以三棱柱20．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）由题意得，解得的方程为．（2）设，．由，得，依题意，即，则，因为 ()B -()1,0,0C -()12,0,C a -32D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()1,BC =()10,BC a =112C D ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭(),,x y z =n 1BC D 1130102BC az C D x ⎧⋅⎪⎨⎪=-+=⋅==⎩n n y a =-,,a =-n BC 1BC D cos ,BC ==n a 111ABC A B C -22143x y +=222112c c a a b c===+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2a b ⎧==⎪⎨⎪⎩C 22143x y +=()11,M x y ()()22121,1N x y x x ≠≠且()224143y k x x y ⎧=-+=⎪⎨⎪⎩()2222433264120k x k x k +-+-=()()()22223244364120Δk k k =--⋅+⋅->2104k <<212221223243641243k x x k k x x k +=+-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()()()()()1212121212121225844111111MF NF k x x x x k x k x y y k k x x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦+=+=+=------．所以直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，即．因为，所以．21．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）的定义域为，． ①当时，，令，得；令，得，所以在上单调递增，上单调递减．②当时，，（i ）当，即时，因为，所以在上单调递增；（ii ）当，即时，因为，所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增；（iii ）当，即时，因为，所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减，要使有两个零点，只要，所以．（因为当时，，()()2222126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--MF NF OFA OFB ∠=∠OF AB ⊥FA FB =6a <-()f x (),-∞+∞()()()()2e e 3e 3e 31x x x x f x a a a '=-++=--0a ≤e 30x a -<()0f x '<0x >()0f x '>0x <()f x (),0-∞()0,+∞0a >()()()()e e 11e 3e 3x x x x f x a a a ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭'31a=3a =()()2e 310x f x '=-≥(),-∞+∞301a <<3a >()()e e 31x x f x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭()f x 3,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3ln ,0a ⎛⎫⎪⎝⎭()0,+∞31a >03a <<()()e e 31x xf x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭()f x (),0-∞30,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭3ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()f x (),0-∞()0,+∞()f x ()0302af =-->6a <-x →+∞()f x →-∞当时，）下面我们讨论当时的情形： ①当，即时，在上单调递增，不可能有两个零点； ②当，即时，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；因为，，所以，没有两个零点；③当时，即时，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，没有两个零点．综上所述：当时，有两个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）；（2）【解析】（1）曲线，即，，，曲线的直角坐标方程为，即．（2）将代入并整理得，x →-∞()f x →-∞0a >31a=3a =()f x (),-∞+∞301a <<3a >()()e e 31x xf x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭()f x 3,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3ln ,0a ⎛⎫⎪⎝⎭()0,+∞()0302a f =--<3ln 0a<393ln 33ln 02f a a a ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭()f x 31a >03a <<()()e e 31x xf x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭()f x (),0-∞30,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭3ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0302af =--<393ln 33ln 02f a a a ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭()f x 6a <-()f x 2212x y +=11MA MB +=2221sin ρθ=+222sin 2ρρθ+=222x y ρ=+sin y ρθ=∴C 2222x y +=2212x y +=1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩2222x y +=()221sin 2cos 10t t αα++-=，，，，． 23．【答案】（1）；（2）1．【解析】（1），可得当时，，即，所以无解；当时，，得，可得；当时，，得，可得．∴不等式的解集为．（2）根据函数，可知当时，函数取得最小值，可知，∵，，，∴．当且仅当，即时，取“”，∴的最小值为1．1222cos 1sin t t αα∴+=-+12211sin t t α-=+⋅121211MA MB AB t t MA MB MA MB MA MB t t +-∴+===-⋅⋅⋅12t t -=2111sin 11sin MA MB αα+∴+==+12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭()32,22246,2232,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪+>⎩2x <-3234x x --≥-+24-≥22x -≤≤634x x +≥-+12x ≥-122x -≤≤2x >3234x x +≥-+13x ≥2x >12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭()32,26,2232,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩2x =-()24f -=4a =4m n +=0m >0n >()()111111*********n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n m m n =2m n ===11m n+。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三数学第二次模拟试题理(含解析)

黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三数学第二次模拟试题理（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（） A. 1 B. -1C. 3D. -3【答案】D 【解析】【分析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解. 【详解】()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-，由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题.2.若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =U （） A. {0,1,2} B. {0,1,2,3} C. {0,1,2,4} D. {1,2,4}【答案】C 【解析】【分析】先求出集合B ，再求并集即可.【详解】由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4aB x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C.【点睛】本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.3.向量(2,)a t =r ，(1,3)b =-r ，若a r ，b r的夹角为钝角，则t 的范围是（）A. 23t <B. 32>t C. 23t <且6t ≠- D. 6t <-【答案】C 【解析】【分析】若a v ，b v 的夹角为钝角，则0a b v n v <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解.【详解】若a v，b v的夹角为钝角，则0a b v n v<且不反向共线，230a b t =-+<vv n ，得23t <.向量()2,a t =v ，()1,3b =-v 共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b v v =-.所以23t <且6t ≠-. 故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.4.双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于（）A.5B.45C.25D.5【答案】A 【解析】【分析】分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线2214xy-=的顶点为()2,0±.渐近线方程为：12 yx=±.双曲线2214xy-=的顶点到渐近线的距离等于25114=+.故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C【解析】试题分析：因,故应选C．考点：排列数组合数公式及运用．6.已知某个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（）A.5603B. 200C.5803D. 240【答案】B【解析】【分析】还原几何体得四棱柱，利用三视图求底面积和高可得解.【详解】由三视图可知，该几何体是以侧视图的四边形为底面的四棱柱，高为10，底面面积为()284202+⨯=，故体积为：2010200⨯=.故选B.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及柱体的体积的求解，属于基础题.7.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（）A. )32sin(2π+=x y B. )62sin(2π-=x y C. 2sin()23x y π=+D. 2sin(2)3y x π=-【答案】B 【解析】试题分析：首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为4，故排除C ；将3x π=分别代入A ，B ，D ，得函数值分别为0,，而函数()sin y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值，故选B ．考点：三角函数的周期性、对称性．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A. 20i <，1S S i=-，i i 2= B. 20i ≤，1S S i=-，i i 2=C. 20i <，2SS =，1i i =+ D. 20i ≤，2SS =，1i i =+ 【答案】D 【解析】【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D.【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.9.已知α是第二象限角，且53)sin(-=+απ，则tan 2α的值为（） A.45B. 237-C. 724-D. 249-【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.【详解】由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-.34sin tan cos ααα==-.232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.10.P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（） A.2513 B.35C.1225πD.35π【答案】B 【解析】【分析】先求得M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，根据几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【详解】设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入229x y +=，得()()2200229x x y y -+-=，化简得：22009224x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又220025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有222(14)x y r r +=剟，那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为1615325255πππ-==，故选B.【点睛】本题主要考查了几何概型的求解，涉及轨迹问题，是解题的关键，属于中档题.11.已知抛物线24x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，②121AB y y =++，③112A FB π∠=，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由0FA FB ⋅=u u u r u u u r可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④.【详解】物线24x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 为1y kx =+.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=.则4,42121-==+x x k x x ，①正确；1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确；1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴⋅=+=∴⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，112A FB π∠=，③正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离21112121111(||||)(2)(112)(44)22222d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ .当0k =时取得最小值2. ④正确. 故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题.12.已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式1221()()f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（） A. (,]e -∞ B. (,)e -∞C.(,)2e-∞ D.(,]2e -∞ 【答案】D 【解析】【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数a 的取值范围即可. 【详解】不等式()()12210f x f x x x -<即()()1122120x f x x f x x x -<，结合210x x >>可得()()11220x f x x f x -<恒成立，即()()2211x f x x f x >恒成立，构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，由题意可知函数()g x 在定义域内单调递增，故()'20xg x e ax =-≥恒成立，即2xe a x≤恒成立，令()()02xe h x x x =>，则()()21'2x e x h x x -=，当01x <<时，()()'0,h x h x <单调递减；当1x >时，()()'0,h x h x >单调递增；则()h x 的最小值为()11212e eh ==⨯，据此可得实数a 的取值范围为,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 2sin c A =，c =ABC ∆的面积为2，a b +的值为__________．【答案】5 【解析】【分析】由正弦定理边化角可得3π=C ，由面积公式和余弦定理列方程可得a b +.【详解】由2sin c A=，结合正弦定理可得2sin sin ,sin 0,sin A C A A C =≠∴=Q . 在锐角三角形ABC 中，可得3π=C .所以ABC ∆的面积1sin 2S ab C ===6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=，解得5a b +=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题.14.在三棱锥S ABC -中，90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=︒，2=AC ，13=BC ，29SB =，则异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为__________．【答案】17 【解析】【详解】如图,取A 为原点、AB 和AS 所在直线分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系.则点()(1317,0,0,0,23,2,1717B S C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,故132,231717SC ⎛=- ⎝u u u v ,()17,0AB =u u uv .于是,所求夹角的余弦值为17SC AB SC AB⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v . 1715.如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为(n)f ，则()f n =__________．【答案】7,2n-1; 【解析】解：设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1；n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]， h （3）=h （2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1， …以此类推，h （n ）=h （n-1）×h（n-1）+1=2n-1，故答案为：7；2n -1．16.一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是5)A ，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，3,1,5)D ，则该四面体的外接球的体积为__________．【答案】29π【解析】【分析】3,1,5. 【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体3,1,53153++=，所以球半径为23，体积为34932r ππ=.【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共60分） 17.设数列{}n a 满足1123n n a a +=+，14a =. （1）求证{3}n a -是等比数列，并求n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】（1）113()3n n a -=+（2）313123nn T n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据条件可得()11333n n a a +-=-，从而证得等比关系，再利用等比数列的通项公式求解即可；（2）利用分组求和即可. 【详解】（1）∵1123n n a a +=+，14a =， ∴()11333n n a a +-=-，故{}3n a -是首项为1，公比为13的等比数列， ∴1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故0111113...333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1131333112313nnn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. 【点睛】本题主要考查了构造新等比数列，考查了数列的递推关系及分组求和，属于基础题.18.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N μσ（0u u =，σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%；（i ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）（ii ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y .（说明11()1()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6ϕ=，(0.6554)0.4ϕ=）【答案】（1）103；（2）（i ）117;(ii) 58. 【解析】【分析】（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令11030.725719.3x -=计算1x 的值；（ⅱ）根据二项分布的概率公式得出Y 的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望. 【详解】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ，根据题意，111103()110.419.3x u x P x x φφσ--⎛⎫⎛⎫>=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.619.3x φ-⎛⎫= ⎪⎝⎭. 由()0.72570.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分.（ⅱ）因为24,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()442355i ii P Y i C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4i =. 所以Y 的分布列为 Y 01234P 816252166252166259662516625所以()28455E Y =⨯=. 【点睛】本题主要考查直方图的应用、正态分别的应用以及二项分布的数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．19.如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA AD =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：平面ANB ⊥平面PCD ；（2）若直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，求二面角N MD C --的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）36【解析】【分析】（1）通过证明MN ⊥面PCD ，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设2AB t =，由向量的夹角公式先求解线面角得t ，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取PD 中点E ，连接EN ，AE . （1）证明：∵M ，N ，E 为中点， ∴//EN AM ，12EN AM AB ==， ∴AMNE 是平行四边形，//MN AE ，又∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，∴CD ⊥面PAD ，∴面⊥PCD 面PAD .∵PA AD =，E 为中点，,AE PD ⊥AE ⊥面PCD ， ∴MN ⊥面PCD ，∵MN ⊂面ANB ， ∴平面ANB ⊥平面PCD . （2）建立如图所示坐标系，()0,0,0A ，()2,0,0B t ，()2,2,0C t ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，(),0,0M t ，(),1,1N t .由（1）知MN ⊥面PCD ，∴()2,0,2PB t u u u v =-，()0,1,1MN =u u u u v.∵直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，∴由PB MN PB MN⋅=u u u v u u u u v u u u v u u u u v 得2t =.设(),,m x y z =v为面NMD 的法向量，则()2,2,0DM =-u u u u v ，()0,1,1MN =u u u u v . 由00DM m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v vu u u u v v 得()1,1,1m v =-，m =v， ∵AP ⊥面CMD ，()0,0,2AP =u u u v，设二面角N MD C --为θ，θ为锐角，则cos AP m AP mθ⋅==u u u v v u u u v v ，∴sin 3θ=. 【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.20.动点(,)M x y6=. （1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知D ，直线l：y kx =-交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DBλ=u u u r u u u r且12λ<<，求k 的取值范围.【答案】（1）2219x y +=（2）k >k <【解析】【分析】（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得,a c 从而可得解；（2）由AD DB λ=u u u v u u u v得12y y λ=-，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得2321912k λλ+=+-，设()12f λλλ=+-，求其范围即可得解.【详解】（1）解：M点的轨迹是以()，()-为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2219x y +=.（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由AD DB λ=u u u v u u u v得12y y λ=-……① 由12λ<<得0k ≠，由y kx =-得x =2219x y +=整理()222190k yk ++-=……②显然②的判别式∆>0恒成立，由根与系数的关系得12y y +=……③ 212219k y y k=-+……④由①③得()()12119k y k λ=-+，()()22119y k λ=--+代入④整理得()22323219112k λλλλ+==-+-. 设()12f λλλ=+-，则由对勾函数性质知()f λ在()1,2上为增函数，故得()102f λ<<. 所以21964k +>，即k的取值范围是k >k <【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数()ln()xf x e x m =-+，其中1m ≥.（1）设0x =是函数()f x 的极值点，讨论函数()f x 的单调性；（2）若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，（i ）求参数m 的取值范围；（ii ）求证：2121ln(1)1x x ex x e ---+>-【答案】（1）见解析；（2）（i ）e m >，（ii ）见解析. 【解析】【分析】（1）求函数导数，由()'0011f m=-=可得解，进而得单调区间；（2）（i ）分析函数导数可得函数单调性，结合,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，可得解；（ii ）先证当m e =时，若()ln()0xf x ex e =-+=，得存在3()(0)0f x f ==，进而证31x <-，再证e m >时，11x <-，可得211t x x =->，构造函数()ln(1)th t e t =-+，利用函数单调性即可证得.【详解】（1）()1'xf x e x m=-+，若0x =是函数()f x 的极值点，则()'0011f m=-=，得1m =，经检验满足题意，此时()1'1xf x e x =-+，()'f x 为增函数，所以当(1,0),'()0x f x ∈-<，()f x 单调递减；当(0,),'()0x f x ∈+∞>，()f x 单调递增（2）（i ）1m ≥， ()1'xf x e x m=-+，记()()'h x f x =，则()()21'0xh x e x m =+>+，知()'f x 在区间(),m -+∞内单调递增. 又∵()1'010f m=->， ()1'101m f e m -=+-<-， ∴()'f x 在区间()1,0m -内存在唯一的零点0x ，即()0001'0xf x e x m =-=+，于是001x e x m=+， ()00ln x x m =-+.当0m x x -<<时， ()()'0,f x f x <单调递减；当0x x >时， ()()'0,f x f x >单调递增.若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，易知,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，解得e m >. （ii ）当me =时有()ln()xf x ex e =-+，令()ln()0x f x e x e =-+=.由（i ）中的单调性知，存在3()(0)0f x f ==，当3(,0),()0x x f x ∈<. 111(1)ln(1)ln(1)ln1.7022f e e e -=--<--<-=<，所以31x <-.下证当e m >时，11x <-.由()ln()ln()x xf x e x m e x e =-+<-+，所以33333()ln()ln()0x xf x e x m e x e =-+<-+=，由（i ）知，当12(,),()0x x x f x ∈<，得131x x <<-.. 所以211x x ->，令211t x x =-> 要证2121ln(1)1x x ex x e ---+>-，即证ln(1)1t e t e -+>-.令1()ln(1),'()1tth t e t h t e t =-+=-+单调递增，且1'(1)02h e =->，所以'()0,()h t h t >单调递增，所以()(1)ln 21h t h e e >=->-.得证.【点睛】本题主要研究了函数的极值和函数的单调性，考查了构造函数的思想及放缩法证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为()2211x y -+=，2C 的方程为3x y +=，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求3OA OB-的取值范围.【答案】（1）1C 的极坐标方程为θρcos 2=，2C 的极坐标力程为3cos sin ρθθ=+（2）3(1,1)OA OB-∈- 【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可；（2）设3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，分别与1C 和2C 的极坐标方程联立，可得2cos OA α=和3cos sin OB αα=+，进而看化简求值.【详解】解：（1）曲线1C 的方程为()2211x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 2C 的方程为3x y +=，其极坐标力程为3cos sin ρθθ=+.（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，联立1C 与3C 的极坐标方程2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得2cos ρα=，即2cos OA α=，联立1C 与2C 的极坐标方程3cos sin ρθθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得3cos sin ραα=+，即3cos sin OB αα=+，所以32cos cos sin OA OB ααα-=-- 4πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()31,1OA OB -∈-. 【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲（1）已知+∈R c b a ,,，且1a b c ++=，证明9111≥++cb a ；- 21 - （2）已知+∈R c b a ,,，且1abc =111a b c ≤++. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++展开利用基本不等式证明即可；（2）由11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭12⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，结合条件即可得解.【详解】证明：（1）因为111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 111b c a c a b a a b b c c=++++++++ 39b a b c a c a b c b c a=++++++≥，当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立. （2）因为11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭12⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，∴()111a b c ++≥. 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立，即原不等式成立.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.。

2019哈三中二模理科数学题及答案

2019年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理科数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合{||1|2}A x x =-<，1{|39}3x B x =<<，则A B = A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(1,3)D ．(1,3)-2．设S n 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则“d < 0”是“数列{}n S 有最大项”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．ΔABC 中，(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n B B =-，若12m n ⋅=，则角C 为 A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π 4．已知11ea dx x =⎰，则61()x ax-展开式中的常数项为 A ．20B ．-20C ．-15D ．155．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为A ．12B ．14C ．23D ．46．已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωφωφωφ=++><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递减函数7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的外接球半径为A ．12 B ．316 C ．174D ．1748．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的摄影为C ，若AF FB =，36BA BC ⋅=，则抛物线的方程为A ．26y x =B ．23y x =C ．212y x =D ．223y x =9．阅读右面的程序框图，输出结果s 的值为A ．12 B ．3 C ．116D ．1810．在平行四边形ABCD 中，AE EB =，2CF FB =，连接CE 、DF 相交于点M ，若AM AB AD λμ=+，则实数 λ与μ的乘积为A ．14B ．38C ．34D ．4311．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞12．设点P 在曲线xy e =上，点Q 在曲线11(0)y x x=->上，则||PQ 的最小值为 A．1)2e - B1)e -C．2D第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

齐齐哈尔市2019年高三第二次模拟考试理科数学试卷及答案

齐齐哈尔市2019年高三第二次模拟考试数学试卷(理科) 参考答案及评分标准一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 13． 214 ．4π 15．49100 16．三．解答题17.解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(1－a n )－12(1－a n －1) ＝－12a n ＋12a n －1，2a n ＝－a n ＋a n －1∴由题意可知a n －1≠0，a n a n －1＝13，所以{a n }是公比为13的等比数列． ------ 4分 S 1＝a 1＝12(1－a 1)，a 1＝13.a n ＝13×11()3n -＝1()3n ----- 6分 (2)证明：b n ＝n 1()3n ，设T n ＝1×11()3＋2×21()3＋3×31()3＋…＋n ×1()3n，① ∴13T n ＝1×21()3＋2×31()3＋3×41()3＋…＋n ×11()3n +，② ------ 8分 ①－②，化简得∴T n ＝34－341()3n －3211()3n n +<34. ---- 12分18. (1)证明：连接FO ，四边形ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥且O 为AC 的中点，又FA FC =,,BDEF,BDEF AC FO FO BD O FO BD ∴⊥=⊂⊂平面平面 AC BDEF ∴⊥平面 -------- 6分(2) 四边形ABCD 是菱形，60DBF ∠=，DBF ∴∆为等边三角形O 为BD 的中点，OF BD ∴⊥，又AC BD O =OF ABCD ∴⊥平面 ----- 7分,,OA OB OF ∴两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -设2AB =四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=，则 2BD =1,OB OA OF === (0,0,0),(0,1,0),((0,1,0)O A B C F D ∴-(3,1,0),(0,CB BF ∴==-设(,,)n x y z =为平面FBC 的法向量，则有00,00n CB y n BF y ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩令y =(1,3,1),n ∴=--易知平面FAC 的一个法向量为(0,1,0),m ∴= ---------- 9分设二面角A FC B --的大小为θ，θ为锐角15cos cos ,n mn m n m θ⋅∴=<>==⋅ 所以二面角A FC B -- ---------- 12分19.解：(1)由频率分布直方图知，成绩在190cm 以上的运动员频率为0.05，所以全体运动员总人数240(0.05a ==人）乙队中成绩在[)160170，内的运动员人数400.339b =⨯-=（人）---------- 4分 (2) 由频率分布直方图知，乙队成绩在180cm 以上的没有丢失，全体队员中成绩在180cm 以上的共有10人，其中成绩优秀的有6人，设至少有一人成绩优秀的为事件A ，两人成绩均优秀为事件B.则26221062224104210()5P(B )()131C C C P A B A C P A C C C ====-- ---------- 8分 (3) 成绩“优秀”的运动员共6人,甲队4人,乙队2人.随机变量X 所有可能取值为0,1,2.0242261(0)15C C P X C ===,1142268(1)15C C P X C ===,20422662(2)155C C P X C ====------10分 X ∴数学期望812204()1515153E X =+==. -------------12分 20.解: (1)依题意30.OB BOy=∠=设点(,),B x y 则sin 3043,83cos3012,x y ===⋅=所以B 在抛物线上，所以2212,p =⨯所以2p =抛物线的方程为24x y = ----------- 4分 (2) 设点000(,),0,P x y x ≠因为21,42xy x y '== 切线方程0001(),2y y x x x -=-即 20011,24y x x x =- ---------- 6分由220000411,,22411x x y x x x x y y ⎧-⎧==-⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩得所以2004(,1),2x Q x -- 设1(0,),M y 所以001(,),MP x y y =-20104(,1),2x MQ y x -=-- ---------- 8分假设以PQ 为直径的圆过点M 则0MP MQ ⋅=，得2200011140,2x y y y y y ---++=又20001,(0)4y x x =≠ 所以联立解得11,y =故以PQ 为直径的圆过y 轴上的定点(0,1)M ---------- 12分21.解: (1) 对()f x 求导得：1()ln(1)1axf x a x b x-'=-++-+，根据条件知(0)0f '=，所以101b b -=⇒=. ----------4分(2) 由(1)得()(1)ln(1)f x ax x x =-+-，01x ≤≤1()ln(1)11axf x a x x-'=-++-+ ()()g x fx '=令 22(1)(1)21()1(1)(1)a a x ax ax a g x x x x -+--++'=-+=-+++. ① 当12a ≤-时，由于01x ≤≤，有221()()0(1)a a x a g x x ++'=-≥+，于是()f x '在[0,1]上单调递增，从而()(0)0f x f ''≥=，因此()f x 在[0,1]上单调递增，即()(0)0f x f ≥=而且仅有(0)0f =； ----------6分②当0a ≥时，由于01x ≤≤，有221()0(1)ax a g x x ++'=-<+，于是()f x '在[0,1]上单调递减，从而()(0)0f x f ''≤=，因此()f x 在[0,1]上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =； ----------8分 ③当102a -<<时，令21min{1,}a m a+=-，当0x m ≤≤时，221()()0(1)a a x a g x x ++'=-≤+，于是()f x '在[0,]m 上单调递减，从而()(0)0f x f ''≤=，因此()f x 在[0,]m 上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =. ----------10分综上可知，所求实数a 的取值范围是1(,]2-∞-. ----------12分 22.解: （Ⅰ）因为AE 与圆相切于点A ，所以BAE ACB ∠=∠．因为AB AC ＝，所以ABC ACB ∠=∠，所以ABC BAE ∠=∠，所以AE BC ∥． ---------- 3分因为BD AC ∥，所以四边形ACBE 为平行四边形． ---------- 5分（Ⅱ）因为AE 与圆相切于点A ，所以2()AE EB EB BD =⋅+，所以4BE = ，所以4AC = ----------7分因为AFC ∆与DFB ∆相似得6AC CFBD CF=- 3611CF =----------10分 23.解：(1) 对于曲线1C 有1x y +=，对于曲线2C 有2214x y +=. -------- 5分(2) 显然曲线1C ：1x y +=为直线，则其参数方程可写为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（为参数）与曲线2C ：2214x y +=联立，可知0∆>，所以1C 与2C 存在两个交点，由12t t +=，1285t t =，得21||d t t =-==. -----10分24.解：（Ⅰ）由已知可得：4,2()2,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩()2f x ≥的解集为{1}x x ≥. ----------5分(II)由（Ⅰ）知，224x x +--≤；11111()[(1)]24111y yy y y y y y y y -+=++-=++≥---11221x x y y∴+--≤+-. ……………………10分。