2016聚焦中考数学(辽宁省)习题课件：专题二+类型三 图形折叠问题

2．(2015· 聊城)如图，点 O 是圆形纸片的圆心，将这个圆形 ︵ 和AC ︵ 都经过圆心 O，则阴影部分的 纸片按下列顺序折叠，使AB 面积是⊙O 面积的( B 1 1 2 3 A. B. C. D. 2 3 3 5 )
1 解析： 作 OD⊥AB 于点 D， 连接 AO， BO， CO， ∵OD＝ AO， 2 ∴∠OAD＝30°，∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，同理∠AOC＝ 1 120°， ∴∠BOC＝120°， ∴阴影部分的面积＝S 扇形 BOC＝ ×⊙O 3 面积
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[ 分析 ] 根据正方形的性 质 和折叠的性 质 可得 AD ＝ DF ， ∠ A＝ ∠GFD＝90°，于是可判定△ADG≌△FDG，再由 GF＋GB＝GA＋GB ＝12，EB＝EF，△BGE 为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出 AG ＝4， BG＝8， 进而求出△BEF 的面积， 由△BEF 是等腰三角形， 而△GED 显然不是等腰三角形，可判断两个三角形不相似． 解析：由折叠可知，DF＝DC＝DA， ∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG ＝∠A＝90°，∴△ADG≌△FDG，①正确；∵正方形边长是 12，∴BE ＝EC＝EF＝6，设 AG＝FG＝x，则 EG＝x＋6，BG＝12－x，由勾股定 理得 EG2＝BE2＋BG2，即(x＋6)2＝62＋(12－x)2，解得 x＝4，∴AG＝GF ＝4，BG＝8，BG＝2AG，②正确；BE＝EF＝6，△BEF 是等腰三角形， 1 EF 易知△GED 不是等腰三角形， ③错误； S△GBE＝2×6×8＝24， S△BEF＝EG· S 6 72 ＝ · 24 ＝ △GBE 10 5 ，④正确，故选 C
3．(2015· 鄂州)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝12， 点 E 是 BC 的中点，连接 AE，将△ABE 沿 AE 折叠，点 B 落在点 F 处，连接 FC，则 sin∠ECF＝( D ) A. 3 4 3 4 B. C. D. 4 3 5 5
解析：过 E 作 EH⊥CF 于 H，由折叠的性质得：BE＝EF，∠ BEA＝∠FEA，∵点 E 是 BC 的中点，∴CE＝BE，∴EF＝CE，∴ ∠FEH＝∠CEH，∴∠AEB＋∠CEH＝90°，又∵∠ECF＋∠CEH 1 ＝90°，∴∠ECF＝∠AEB，在 Rt△ABE 中，AB＝8，BE＝ BC 2 AB 4 ＝6，∴AE＝10，∴sin∠ECF＝sin∠AEB＝ ＝ AE 5
数学
辽宁省
专题二 选择、填空题重难点突破
类型三 图形折叠问题
对于图形折叠问题，常考类型包括：求线段长，求角度大小， 求一个角的三角函数值等．解答这类问题，需掌握以下知识： 1．折叠的性质：①位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；② 折叠前后的两部分图形全等，对应线段、角和面积等都相等；③ 折叠后对应点的连线被折痕垂直平分； 2．找出折叠前后隐含的位置关系和数量关系； 3．一般运用三角形全等、勾股定理、相似三角形等知识及方程
5．(2015· 内江)如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠C＝ 90°，E 为 CD 上一点，分别以 EA，EB 为折痕将两个角(∠D， ∠C)向内折叠，点 C，D 恰好落在 AB 边的点 F 处．若 AD＝2，
[对应训练] 1．(2015· 玉林)如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B，∠D， 使 AD，BC 边与对角线 AC 重叠，且顶点 B，D 恰好落在同一点 AE O 上，折痕分别是 CE，AF，则 等于( B EB A. 3 B．2 C．1.5 D. 2 )
解析：∵ABCD 是矩形，∴AD＝BC，∠B＝90°，∵翻折∠B，∠ D，使 AD，BC 边与对角线 AC 重叠，且顶点 B，D 恰好落在同一 点 O 上，∴AO＝AD，CO＝BC，∠AOE＝∠COF＝90°，∴AO ＝CO，AC＝ AO＋CO＝ AD＋BC＝2BC，∴∠CAB＝30°，∴∠ 1 ACB＝60°，∴∠BCE＝∠ACE＝ ∠ACB＝30°，∴∠CAB＝∠ 2 1 AE AE ACE＝30°，∴AE＝CE，∴BE＝ AE，∴ ＝ ＝2 2 EB 1 AE 2
解析：根据折叠的性质可知 CD＝AC＝3，B′C＝BC＝4，∠ACE＝ ∠DCE， ∠ BCF＝∠ B′ CF， CE ⊥ AB，∴ B′ D＝4－ 3＝1，∠ DCE ＋ ∠B′CF＝∠ACE＋∠BCF， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECF＝45°， ∴△ECF 是等腰直角三角形， ∴EF＝CE， ∠EFC＝45°， ∴∠BFC＝∠B′FC＝135 1 1 ° ， ∴∠ B′ FD＝ 90 °， ∵ S△ ABC ＝ 2 AC· BC ＝ 2 AB · CE ， ∴ AC· BC ＝ 12 12 AB· CE，∵根据勾股定理求得 AB＝5，∴CE＝ ，∴EF＝ ，ED＝AE 5 5 9 3 4 ＝ AC2－CE2＝ ，∴DF＝EF－ED＝ ，∴B′F＝ B′D2－DF2＝ 5 5 5
思想，设出恰当的未知数，解方程求线段长；
4．求一个角的三角函数有两种方法：①直接法：找这个角所在 的直角三角形或构造一个关于这个角的直角三角形；②间接法： 找出一个与这个角相等的角，再在相应的直角三角形求出．
【例 5】 (2015· 深圳)如图，已知正方形 ABCD 的边长为 12，BE ＝EC， 将正方形边 CD 沿 DE 折叠到 DF， 延长 EF 交 AB 于 G， 连接 DG， 现 在 有 如 下 4 个 结 论 ： ①△ADG≌△FDG ； ②GB ＝ 2AG ； 72 ③△GDE∽△BEF； ④S△BEF＝ 5 .在以上 4 个结论中， 正确的有( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
4．(本溪模拟)如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3， BC＝4，将边 AC 沿 CE 翻折，使点 A 落在 AB 上的点 D 处；再 将边 BC 沿 CF 翻折，使点 B 落在 CD 的延长线上的点 B′处，两 条折痕与斜边 AB 分别交于点 E，F，则线段 B′F 的长为( B ) 3 4 2 3 A. B. C. D. 5 5 3 2