5_1反比例函数课件
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5-1反比例函数
（1）反比例函数中两个变量的积是一个 （2）自变量x的次数不同：反比例函 非零定值；正比例函数中两个变量的商 （3）自变量x的取值范围不同：反比例 数中自变量x的次数为-1；正比例函 （4）函数y的取值范围不同：反比例函 是一个非零定值。 函数中自变量x取除零外的任何实数；正 数中自变量x的次数为1。 数中y取除零外的任何实数；正比例函 比例函数中自变量x可取任何实数。 数中y可取任何实数。
k y=— x
y kx
（ k是不等于零的常数）. （ k是不等于零的常数）.
1
形式4： x y= k (k≠0)
形式5： ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量 y 与 x 成反比例，比例系数为k(k≠0)
课外练习
( ( ( ( ( (
判断下列说法是否正确(对”√”, 错”×”)
)(1)一矩形的面积为 cm2 , 相邻的两条边长分别为 (cm)和y (cm)， 20 x 则变量y是变量x的反比例函数 . )(2)圆的面积公式s r 2中，s与r成正比例 . )(3)矩形的长为a，宽为b，周长为C，当C为常量时， a是b的反比例函数 . )(4)一个正四棱柱的底面正 方形的边长为x，高为y， 当其体积V为常量时，y是x的反比例函数 . )(6)当被除数（不为零）一 定时，商和除数成反比 . 例 )(8)计划修建铁路 1200km, 则铺轨天数y (d )是每日铺轨量 x(km / d )的反比例函数 .
k y ( k为常数， k 0) x
练 习 1
1 、在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ C ） 2 8 （A）y = （B）y = 2 + 7 x X+5 （C）x y = 5
3 （D）y = x
练 习 2
2.已知函数 y = xm－7 是正比例函数,
k y=— x
y kx
（ k是不等于零的常数）. （ k是不等于零的常数）.
1
形式4： x y= k (k≠0)
形式5： ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量 y 与 x 成反比例，比例系数为k(k≠0)
课外练习
( ( ( ( ( (
判断下列说法是否正确(对”√”, 错”×”)
)(1)一矩形的面积为 cm2 , 相邻的两条边长分别为 (cm)和y (cm)， 20 x 则变量y是变量x的反比例函数 . )(2)圆的面积公式s r 2中，s与r成正比例 . )(3)矩形的长为a，宽为b，周长为C，当C为常量时， a是b的反比例函数 . )(4)一个正四棱柱的底面正 方形的边长为x，高为y， 当其体积V为常量时，y是x的反比例函数 . )(6)当被除数（不为零）一 定时，商和除数成反比 . 例 )(8)计划修建铁路 1200km, 则铺轨天数y (d )是每日铺轨量 x(km / d )的反比例函数 .
k y ( k为常数， k 0) x
练 习 1
1 、在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ C ） 2 8 （A）y = （B）y = 2 + 7 x X+5 （C）x y = 5
3 （D）y = x
练 习 2
2.已知函数 y = xm－7 是正比例函数,
关于反比例函数的ppt课件
05
反比例函数的学习方 法
理解概念和定义
总结词：掌握基础
详细描述：首先需要理解反比例函数的基本概念和定义，包括反比例函数的表达 式、自变量和因变量的关系等。
学习图像和性质
总结词：深入理解
详细描述：通过学习反比例函数的图像和性质，可以更好地理解函数的特性，包括函数的单调性、奇 偶性等。
掌握应用和比较
图像特性
正比例函数图像是一条通过原点 的直线，而反比例函数的图像则 位于第一象限和第三象限，且在 x轴和y轴上分别存在一个无穷远
点。
增减性
正比例函数随着x的增大而增大 或减小，而反比例函数在x增大 时y减小，在x减小时y增大。
与一次函数的比较
01
定义
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k和b为常数且k≠0；反比例函数
题目2
已知反比例函数$y = frac{k}{x}$的图 象经过第一、三象限，且与直线$y = mx + b$相交于两点，求证：这两点 的横坐标互为相反数。
题目1
已知点$(m,n)$和$(p,q)$在反比例函 数$y = frac{k}{x}$的图象上，且$m times n = p times q$，求证：$k = 0$。
双曲余切函数
01
02
03
定义
双曲余切函数是双曲函数 的一种，定义为 (e^x + e^-x) / (e^x - e^-x)。
性质
双曲余切函数在实数范围 内是连续且可导的，具有 类似于余切函数的周期性 和奇偶性。
应用
双曲余切函数在解决某些 数学问题、优化算法和工 程计算中有应用。
双曲反正切函数
定义
关于反比例函数的 ppt课件
反比例函数应用课件ppt课件ppt课件
• 举例说明如何利用已知条件求反比例函数的解析 式。
例题一：求反比例函数的解析式
例题与实战演练
1. 已知某地电话费每分钟0.5元，求通话时间t(分)与电话费y(元)之间的函数关系式。
2. 如果某地有甲、乙两个车站，相距400km，甲站到乙站的距离为s(km)，求甲车到乙站所 需时间t(h)与速度v(km/h)之间的函数关系式。
VS
详细描述
在解决一些实际应用问题时，常常需要将 不等式与反比例函数的知识结合起来，例 如在研究某些物理量之间的关系时，利用 反比例函数和不等式可以更好地描述它们 之间的关系。
与对数函数的结合
总结词
反比例函数与对数函数的结合，可以解决一 类实际应用问题。
详细描述
在解决一些实际应用问题时，常常需要将反 比例函数和对数函数的知识结合起来，例如 在研究某些传染病传播问题时，利用反比例 函数和对数函数可以更好地描述其传播速度 和时间的关系。
02
反比例函数通常表示为y=k/x或 x=k/y，其中k是常数且不为零。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式是y=k/x，其 中k是常数且不为零。
在这个函数中，x和y都是变量，而k是 一个常数。
反比例函数的图像特征
反比例函数的图像是一个双曲 线。
双曲线有两条曲线，一条在第 一象限，另一条在第三象限。
力学中的反比关系
在力学中，有些量之间存在反比关系，例如重力与距离的平方成反比，可以利用 反比例函数进行描述。
化学中的应用
化学反应速率
在化学反应中，反应速率与反应物的浓度成正比，与反应时 间成反比。利用反比例函数可以描述反应速率、反应物浓度 和反应时间之间的关系。
酸碱度与氢离子浓度
在酸碱度与氢离子浓度的关系中，氢离子浓度与酸碱度成反 比，可以利用反比例函数进行描述。
例题一：求反比例函数的解析式
例题与实战演练
1. 已知某地电话费每分钟0.5元，求通话时间t(分)与电话费y(元)之间的函数关系式。
2. 如果某地有甲、乙两个车站，相距400km，甲站到乙站的距离为s(km)，求甲车到乙站所 需时间t(h)与速度v(km/h)之间的函数关系式。
VS
详细描述
在解决一些实际应用问题时，常常需要将 不等式与反比例函数的知识结合起来，例 如在研究某些物理量之间的关系时，利用 反比例函数和不等式可以更好地描述它们 之间的关系。
与对数函数的结合
总结词
反比例函数与对数函数的结合，可以解决一 类实际应用问题。
详细描述
在解决一些实际应用问题时，常常需要将反 比例函数和对数函数的知识结合起来，例如 在研究某些传染病传播问题时，利用反比例 函数和对数函数可以更好地描述其传播速度 和时间的关系。
02
反比例函数通常表示为y=k/x或 x=k/y，其中k是常数且不为零。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式是y=k/x，其 中k是常数且不为零。
在这个函数中，x和y都是变量，而k是 一个常数。
反比例函数的图像特征
反比例函数的图像是一个双曲 线。
双曲线有两条曲线，一条在第 一象限，另一条在第三象限。
力学中的反比关系
在力学中，有些量之间存在反比关系，例如重力与距离的平方成反比，可以利用 反比例函数进行描述。
化学中的应用
化学反应速率
在化学反应中，反应速率与反应物的浓度成正比，与反应时 间成反比。利用反比例函数可以描述反应速率、反应物浓度 和反应时间之间的关系。
酸碱度与氢离子浓度
在酸碱度与氢离子浓度的关系中，氢离子浓度与酸碱度成反 比，可以利用反比例函数进行描述。
《反比例函数》PPT课件
称y是x的反比例函数。
注意:变量x,y都不能等于0.
基础练习
下列函数表达式中，x表示自变量，哪些是反比 例函数？若是，请指出相应的k值。
（1）y
=
4
x
（2）
y
=
-
1
2x
（3）
y
=
1-x
（4）xy = 1
（5）y
=
x
2
（6） y = 2x-1
反比例函数的三种表示形式
1、 xy = k 2、 y = kx -1 3、 y = k （k为常数，k ≠0）
些这样的实际例子吗？
问题4：
若y =(m + 1)xm 2-2 是关于x的反比例
函数,确定m的值,并求其函数关系式。
说说收获
1.通过本节课的学习，你有哪些收获？ 2.你还存在什么疑问？
课后作业
1.课本:习题1，2，3，4 2.举两个生活中有关反比例函数
的例子。
爬上最高的境界，你会陡然发现：那里的景色竟然是你司空见惯的。 古之学者为己（所谓为己之学），今之学者为人。——《论语·宪问》 人必须有自信，这是成功的秘密。 益者三友：友直友谅友多闻。——《论语·季氏》 让珊瑚远离惊涛骇浪的侵蚀吗？那无异是将它们的美丽葬送。 不愤不启，不悱不发；举一隅不以三隅反，则不复也。——《论语·述而》（举一反三） 应当在朋友正是困难的时候给予帮助，不可在事情已经无望之后再说闲话。 业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 只要更好，不求最好！奋斗是成功之父。 美好的生命应该充满期待、惊喜和感激。 阴谋陷害别人的人，自己会首先遭到不幸。——伊索 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。
(1) 求I与R之间的函数关系式。
(2) 当电流I=0.5安时,求电阻R的值。
注意:变量x,y都不能等于0.
基础练习
下列函数表达式中，x表示自变量，哪些是反比 例函数？若是，请指出相应的k值。
（1）y
=
4
x
（2）
y
=
-
1
2x
（3）
y
=
1-x
（4）xy = 1
（5）y
=
x
2
（6） y = 2x-1
反比例函数的三种表示形式
1、 xy = k 2、 y = kx -1 3、 y = k （k为常数，k ≠0）
些这样的实际例子吗？
问题4：
若y =(m + 1)xm 2-2 是关于x的反比例
函数,确定m的值,并求其函数关系式。
说说收获
1.通过本节课的学习，你有哪些收获？ 2.你还存在什么疑问？
课后作业
1.课本:习题1，2，3，4 2.举两个生活中有关反比例函数
的例子。
爬上最高的境界，你会陡然发现：那里的景色竟然是你司空见惯的。 古之学者为己（所谓为己之学），今之学者为人。——《论语·宪问》 人必须有自信，这是成功的秘密。 益者三友：友直友谅友多闻。——《论语·季氏》 让珊瑚远离惊涛骇浪的侵蚀吗？那无异是将它们的美丽葬送。 不愤不启，不悱不发；举一隅不以三隅反，则不复也。——《论语·述而》（举一反三） 应当在朋友正是困难的时候给予帮助，不可在事情已经无望之后再说闲话。 业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 只要更好，不求最好！奋斗是成功之父。 美好的生命应该充满期待、惊喜和感激。 阴谋陷害别人的人，自己会首先遭到不幸。——伊索 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。
(1) 求I与R之间的函数关系式。
(2) 当电流I=0.5安时,求电阻R的值。
《反比例函数》ppt完美课件1
第26章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质的认识
情境层，请君入内
1. 我们学习一次函数和二次函数时，研究了函 数的哪些内容?是如何进行研究的?
我们研究了函数的解析式、图象、性质，根 据解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象， 从图象的形状、位置、增减性等多个方面分析归 纳函数的性质.
yLeabharlann k(xx0)
的图象是双曲线，它
x
具有以下性质：
当 k 0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在
每一个象限内, y 随 x 的增大而减小；
当 k 0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在
每一个象限内, y 随 x 的增大而增大.
《反比例函数》完美实用课件1（PPT 优秀课 件）
《反比例函数》完美实用课件1（PPT 优秀课 件）
象限，在每一个象限内, y 随 x 的增大而减小.
《反比例函数》完美实用课件1（PPT 优秀课 件）
《反比例函数》完美实用课件1（PPT 优秀课 件）
探究园，任你驰骋
活动2：类比探究
回顾以上研究过程，你能用类似的方法研究函
数 y k (k 0) 的图象和性质吗？
x
结论2：一般地，当 k 0 时，反比例函数
2.实践性作业：教材第10页“信息技术的应用： 探索反比例函数的性质”.
要求：（1）探究反比例函数图象的对称性，并 找出对称轴或对称点；
（2）探究 k 值对函数图象的影响，以及随着 k 的变化，函数图象相对于坐标原点的变化；
（3）把你的探究过程和探究结果写成数学小论 文，供全班交流、学习.
《反比例函数》完美实用课件1（PPT 优秀课 件）
26.1 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质的认识
情境层，请君入内
1. 我们学习一次函数和二次函数时，研究了函 数的哪些内容?是如何进行研究的?
我们研究了函数的解析式、图象、性质，根 据解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象， 从图象的形状、位置、增减性等多个方面分析归 纳函数的性质.
yLeabharlann k(xx0)
的图象是双曲线，它
x
具有以下性质：
当 k 0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在
每一个象限内, y 随 x 的增大而减小；
当 k 0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在
每一个象限内, y 随 x 的增大而增大.
《反比例函数》完美实用课件1（PPT 优秀课 件）
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象限，在每一个象限内, y 随 x 的增大而减小.
《反比例函数》完美实用课件1（PPT 优秀课 件）
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探究园，任你驰骋
活动2：类比探究
回顾以上研究过程，你能用类似的方法研究函
数 y k (k 0) 的图象和性质吗？
x
结论2：一般地，当 k 0 时，反比例函数
2.实践性作业：教材第10页“信息技术的应用： 探索反比例函数的性质”.
要求：（1）探究反比例函数图象的对称性，并 找出对称轴或对称点；
（2）探究 k 值对函数图象的影响，以及随着 k 的变化，函数图象相对于坐标原点的变化；
（3）把你的探究过程和探究结果写成数学小论 文，供全班交流、学习.
《反比例函数》完美实用课件1（PPT 优秀课 件）
关于反比例函数的ppt课件
。
鼓励提问
02
鼓励学生提出自己的疑问和不解，可以是对知识点的理解问题
，也可以是相关应用问题。
问题记录
03
老师或助教将学生的问题记录下来，以便在后续环节中进行解
答。
小组讨论环节组织安排
分组方式
根据学生的座位或者自愿组合，将学生分成若干小组，每 组4-6人。
讨论时间
给每个小组分配5-8分钟的讨论时间，要求学生在规定时 间内围绕主题展开讨论。
标轴是反比例函数的渐近线。
对称性
反比例函数图像关于原点对称，即 如果(x,y)在图像上，那么(-x,-y)也 在图像上。
增减性
在第一象限和第三象限内，随着x的 增大，y的值逐渐减小；在第二象限 和第四象限内，随着x的增大，y的 值逐渐增大。
与正比例函数关系
• 正比例函数与反比例函数的关系：正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x的图像都经过原点，但它们的图像形状和性质完全 不同。正比例函数的图像是一条过原点的直线，而反比例函数的图像是一条以原点为中心的双曲线。当k>0时，正比例函数 的图像在第一、三象限，而反比例函数的图像也在第一、三象限；当k<0时，正比例函数的图像在第二、四象限，而反比例 函数的图像也在第二、四象限。因此，我们可以通过观察函数的图像来判断它是正比例函数还是反比例函数。
变化。
弹簧振子运动规律
胡克定律
描述弹簧伸长或压缩量与弹力之间的关系，即F=kx，其中 k为弹簧常数，x为伸长或压缩量。当弹力固定时，伸长或 压缩量与弹簧常数成反比。
振动周期与弹簧常数
弹簧振子的振动周期与弹簧常数成反比，可以用反比例函 数来描述这种关系。
能量与振幅
弹簧振子的振动能量与其振幅的平方成正比，而振幅与弹 簧常数成反比，因此能量与弹簧常数之间具有复杂的反比 例关系。
课件《反比例函数》优秀PPT课件 _人教版1
D．
D 大小关系不能确定
（2）过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A、B，则矩形OAPB的面积是
。
已知点A、B、C、D在反比函数 的图象上。
B.
A．S=2 B．S=4 C．
D．
当k＞0 时，在
内，y的x增大而
．
归纳：利用反比例函数
比较函数值（或自变量x）的大小。
课前练习：
1. 函数 y 6 的图象在第 二、四 象限。
x
2. 已知反比例函数
y 2m x
的函数图象位
于第一、三象限，则m的取值范围是m<2。
3. 若函数 y(3m1)xm25是反比例函数，且图 象位于第一、三象限，则m的值为 m=2 。
C
北师大版九年级数学上册
6.2.2 反比例函数的图象和性质
数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。
及时小结，自我评价
1.通过本节课的学习，你有什么收获？ 2反比例函数的性质（二）
当k＜0时，在
内，y的x增大而
．
归纳：利用反比例函数
比较函数值（或自变量x）的大小。
还有什么困惑吗？ 北师大版九年级数学上册
有用的数学应当人人所学； 通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的增减性，反比例函数的图象下的面积问题。
S OA 1 2 P OA A P 1 2|m |•|n|1 2|k|
y
y
P(m,n)
P(m,n)
oA
x
oA
x
合作探究二 2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过 点 积P为分3,别则向这x个轴反、比y轴例作函垂数y 线的,关若3x 系阴式影是部分面 .
反比例函数优质课ppt课件
利用反比例函数的图像的对x 称性。 B(x2,y2)，则2x1y2-7x2y1=___2_0___.
精选ppt课件
15
四、与面积有关的问题：
设P(m,n)是双曲 y线 k(k0)上任意,一点 x
过P作x轴的垂 ,垂线足A为 ,则
S OAP
1 OA 2
AP
1 | m | • | n | 1 mn 1 | k |
6、如图所示.如果函数y=-kx(k≠0)与
y
4
x图像
交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足
为点C，则△BOC的面积为 .
2
S⊿AOC =∣-4 ∣= 2 S ⊿BOC =S ⊿AOC
D
精选ppt课件
26
火眼金睛：
7、四边形ADBC的面积=___2__
y
y
A
D
o
x
C
B
D
A
o
x
B
C
精选ppt课件
x
四象限，那么m的范围为
.
m＞
1 3
由1－3m＜0 得－3m＜－ 1
∴
m＞
1 3
精选ppt课件
8
6、如图，函数
和y=－kx+1(k≠0)在同一坐
标系内的图象大致是 （ D ）
6y
6y
以前做过这
4
4
样的题目吗？
2
2
-5
O
-2
-4
A
6y
4
2
-5
O
-2
-4
C
5x 5x
-5
O
-2
-4
B
6y
4
2
-5
精选ppt课件
15
四、与面积有关的问题：
设P(m,n)是双曲 y线 k(k0)上任意,一点 x
过P作x轴的垂 ,垂线足A为 ,则
S OAP
1 OA 2
AP
1 | m | • | n | 1 mn 1 | k |
6、如图所示.如果函数y=-kx(k≠0)与
y
4
x图像
交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足
为点C，则△BOC的面积为 .
2
S⊿AOC =∣-4 ∣= 2 S ⊿BOC =S ⊿AOC
D
精选ppt课件
26
火眼金睛：
7、四边形ADBC的面积=___2__
y
y
A
D
o
x
C
B
D
A
o
x
B
C
精选ppt课件
x
四象限，那么m的范围为
.
m＞
1 3
由1－3m＜0 得－3m＜－ 1
∴
m＞
1 3
精选ppt课件
8
6、如图，函数
和y=－kx+1(k≠0)在同一坐
标系内的图象大致是 （ D ）
6y
6y
以前做过这
4
4
样的题目吗？
2
2
-5
O
-2
-4
A
6y
4
2
-5
O
-2
-4
C
5x 5x
-5
O
-2
-4
B
6y
4
2
-5
反比例函数反比例函数ppt
化学反应速率
在化学反应中，反应速率与反应物的浓度成正比，与反应物的活化能成反比。当 反应物的浓度一定时，反应速率与活化能成反比。
分子间作用力
分子间作用力与分子间的距离成反比，当分子间距离减小时，作用力增强；反之 ，作用力减弱。
反比例函数在生物中的应用
酶促反应
在生物化学中，酶促反应的速率与底物的浓度成正比，与酶 的浓度成正比，与酶与底物之间的距离成反比。
02
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
严格单调
对于$y=k/x$，当$k>0$时，函数在 $(0,+\infty)$上严格单调递减，在$(\infty,0)$上严格单调递增；当$k<0$时 ，函数在$(0,+\infty)$上严格单调递增， 在$(-\infty,0)$上严格单调递减。
VS
单调性与$k$值的关系
解决距离和时间问题
解决角度和时间问题
反比例函数在物理化学中的应用
1
描述物质的性质：如密度、折射率、介电常数 等
2
描述物理量之间的关系：如速度和时间、距离 和时间等
3
描述化学反应速率和反应物浓度之间的关系等
THANK YOU.
反比例函数与对数函数的区别与联系
01
表达式差异
反比例函数的一般表达式为$y=k/x$，其中$k$为常数，而对数函数
的表达式为$y=log_{a}x$，其中$a$$\neq$$1$且$a$$\neq$$0$。
02
图像差异
反比例函数的图像在第一、三象限，而对数函数的图像根据底数的不
同而有所差异。
03
取值差异
表达式差异
图像差异
变化规律差异
反比例函数的一般表达式为$y=k/x$ ，其中$k$为常数，而正比例函数的 表达式为$y=kx$，其中$k$为比例系 数。
在化学反应中，反应速率与反应物的浓度成正比，与反应物的活化能成反比。当 反应物的浓度一定时，反应速率与活化能成反比。
分子间作用力
分子间作用力与分子间的距离成反比，当分子间距离减小时，作用力增强；反之 ，作用力减弱。
反比例函数在生物中的应用
酶促反应
在生物化学中，酶促反应的速率与底物的浓度成正比，与酶 的浓度成正比，与酶与底物之间的距离成反比。
02
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
严格单调
对于$y=k/x$，当$k>0$时，函数在 $(0,+\infty)$上严格单调递减，在$(\infty,0)$上严格单调递增；当$k<0$时 ，函数在$(0,+\infty)$上严格单调递增， 在$(-\infty,0)$上严格单调递减。
VS
单调性与$k$值的关系
解决距离和时间问题
解决角度和时间问题
反比例函数在物理化学中的应用
1
描述物质的性质：如密度、折射率、介电常数 等
2
描述物理量之间的关系：如速度和时间、距离 和时间等
3
描述化学反应速率和反应物浓度之间的关系等
THANK YOU.
反比例函数与对数函数的区别与联系
01
表达式差异
反比例函数的一般表达式为$y=k/x$，其中$k$为常数，而对数函数
的表达式为$y=log_{a}x$，其中$a$$\neq$$1$且$a$$\neq$$0$。
02
图像差异
反比例函数的图像在第一、三象限，而对数函数的图像根据底数的不
同而有所差异。
03
取值差异
表达式差异
图像差异
变化规律差异
反比例函数的一般表达式为$y=k/x$ ，其中$k$为常数，而正比例函数的 表达式为$y=kx$，其中$k$为比例系 数。
反比例函数数学PPT课件
第9题图
重难点精讲优练
类型 1 反比例函数图象与性质
m 练习1 已知函数y＝ x 的图象如图所示，以下结论：① m<0；②在每个分支 上，y随x的增大而增大；③若点A(－1，a)、点B(2，b)在图象上，则a<b；④ 若点P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上．其中正确的个数是( )
x
基础点巧练妙记
2．在具体问题中间根据k的几何意义通过求出相应三角形或四边形的面积求出 k的值，从而求得表达式．
提分必练
8．已知点P(－4，－3)在反比例函数y＝ k (k≠0)的图象上，
则k＝__1__2____．
x
提分必练
k 例如函图数，的反解比析例式函为数__y_＝___yx_＝__的_-．图4x象经过点M，矩形OAMB的面积为4，则此反比
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
重难点精讲优练
【解析】①根据反比例函数的图象的两个分支分别位于二、四象限，
可得m＜0，故正确；②在每个分支上y随x的增大而增大，故正确； ③若点A(－1，a)、点B(2，b)在图象上，结合图象可知a＞b，故错 误；④若点P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上，故正 确．故选B.
提分必练
3．如果反比例函数y＝ m＋1 在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m
的取值范围是( D ) x
A. m＜0 B. m＞0 C. m＜－1 D. m＞－1
失分点
反比例函数值的大小比较
4.在函数y＝－ a2＋1 (a为常数)的图象上有三点(－3，y1)，(－1，y2)，(2，
x
y3)，则函数值y1，y2，y3的大小关系是
y
-2 0
3
重难点精讲优练
类型 1 反比例函数图象与性质
m 练习1 已知函数y＝ x 的图象如图所示，以下结论：① m<0；②在每个分支 上，y随x的增大而增大；③若点A(－1，a)、点B(2，b)在图象上，则a<b；④ 若点P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上．其中正确的个数是( )
x
基础点巧练妙记
2．在具体问题中间根据k的几何意义通过求出相应三角形或四边形的面积求出 k的值，从而求得表达式．
提分必练
8．已知点P(－4，－3)在反比例函数y＝ k (k≠0)的图象上，
则k＝__1__2____．
x
提分必练
k 例如函图数，的反解比析例式函为数__y_＝___yx_＝__的_-．图4x象经过点M，矩形OAMB的面积为4，则此反比
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
重难点精讲优练
【解析】①根据反比例函数的图象的两个分支分别位于二、四象限，
可得m＜0，故正确；②在每个分支上y随x的增大而增大，故正确； ③若点A(－1，a)、点B(2，b)在图象上，结合图象可知a＞b，故错 误；④若点P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上，故正 确．故选B.
提分必练
3．如果反比例函数y＝ m＋1 在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m
的取值范围是( D ) x
A. m＜0 B. m＞0 C. m＜－1 D. m＞－1
失分点
反比例函数值的大小比较
4.在函数y＝－ a2＋1 (a为常数)的图象上有三点(－3，y1)，(－1，y2)，(2，
x
y3)，则函数值y1，y2，y3的大小关系是
y
-2 0
3
《反比例函数》PPT优秀课件
1、 xy = k 1 2、 y = kx -
k 3、 y = （k为常数，k ≠0） x
检测练习
下列函数中，x均为自变量，那么哪些y是x的 反比例函数？k值是多少？
（ 1） y = - 3 x；
（4）y = x + 1
5
3x （3）xy=0.4；
2）y = （
2
（5）y =
n
x
例: y是x的反比例函数，下图给出了x与 y的一些值: x －3 －2 1 －1 2
励志学习的名言警句 1、在强者的眼中，没有最好，只有更好。 2、成功是努力的结晶，只有努力才会有成功。 3、只有一条路不能选择——那就是放弃的路；只有一条路不能拒绝——那就是成长的路。 4、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 5、生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。 6、忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。 7、没有天生的信心，只有不断培养的信心。 8、成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。 9、自己打败自己的远远多于比别人打败的。 10、当一个小小的心念变成行为时，便能成了习惯，从而形成性格，而性格就决定你一生的成败。 11、忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。 12、高峰只对攀登它而不是仰望它的人来说才有真正意义。 13、你可以这样理解impossible（不可能）——I'm possible（我是可能的）。 14、自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。 15、你可以选择这样的三心二意：信心恒心决心；创意乐意。 16、成功与不成功之间有时距离很短——只要后者再向前几步。 17、呈概率分布，关键是你能不能坚持到成功开始呈现的那一刻。 18、书是易事，思索是难事，但两者缺一，便全无用处 19、动是成功的阶梯，行动越多，登得越高。 20、天比昨天好，就是希望。 21、力的人影响别人，没能力的人，受人影响。 22、做的事情总找得出时间和机会； 23、要自卑，你不比别人笨。不要自满，别人不比你笨。 24、面对机遇，不犹豫；面对抉择，不彷徨；面对决战，不惧怕！ 25、个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。 26、超越自己，向自己挑战，向弱项挑战，向懒惰挑战，向陋习挑战。 27、不必每分钟都学习，但求学习中每分钟都有收获。 28、取时间就是争取成功，提高效率就是提高分数。 29、紧张而有序，效率是关键。 30、永远不要以粗心为借口原谅自己。
k 3、 y = （k为常数，k ≠0） x
检测练习
下列函数中，x均为自变量，那么哪些y是x的 反比例函数？k值是多少？
（ 1） y = - 3 x；
（4）y = x + 1
5
3x （3）xy=0.4；
2）y = （
2
（5）y =
n
x
例: y是x的反比例函数，下图给出了x与 y的一些值: x －3 －2 1 －1 2
励志学习的名言警句 1、在强者的眼中，没有最好，只有更好。 2、成功是努力的结晶，只有努力才会有成功。 3、只有一条路不能选择——那就是放弃的路；只有一条路不能拒绝——那就是成长的路。 4、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 5、生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。 6、忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。 7、没有天生的信心，只有不断培养的信心。 8、成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。 9、自己打败自己的远远多于比别人打败的。 10、当一个小小的心念变成行为时，便能成了习惯，从而形成性格，而性格就决定你一生的成败。 11、忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。 12、高峰只对攀登它而不是仰望它的人来说才有真正意义。 13、你可以这样理解impossible（不可能）——I'm possible（我是可能的）。 14、自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。 15、你可以选择这样的三心二意：信心恒心决心；创意乐意。 16、成功与不成功之间有时距离很短——只要后者再向前几步。 17、呈概率分布，关键是你能不能坚持到成功开始呈现的那一刻。 18、书是易事，思索是难事，但两者缺一，便全无用处 19、动是成功的阶梯，行动越多，登得越高。 20、天比昨天好，就是希望。 21、力的人影响别人，没能力的人，受人影响。 22、做的事情总找得出时间和机会； 23、要自卑，你不比别人笨。不要自满，别人不比你笨。 24、面对机遇，不犹豫；面对抉择，不彷徨；面对决战，不惧怕！ 25、个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。 26、超越自己，向自己挑战，向弱项挑战，向懒惰挑战，向陋习挑战。 27、不必每分钟都学习，但求学习中每分钟都有收获。 28、取时间就是争取成功，提高效率就是提高分数。 29、紧张而有序，效率是关键。 30、永远不要以粗心为借口原谅自己。
《反比例函数》PPT教学课件
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 y=6 时，求 x 的值.
解：(1) 设 y k . 因为当 x = 3时，y =－4， x
所以有 4 k . 解得 k =－12. 3
因此，y 关于 x 的函数解析式为 y 12 . x
(2)
把
y=6
代入y
12 x
，得
6 12 . x
(3) y与x的乘积为-2，用x表示y的函数表达式为__y___x2_.
问题：我们已经得到了三个函数关系式，试着发现它们之间 的共同点，并进行归纳.
S 15700 , v 10000 , y 2 ,
h
t
x
共同点：
都具有分式 的形式，其中分子是常数．
具有y___kx__k __0_,的形式
如果两个变量 x ，y 之间的函数关系可以表示成＿y ＿kx （k≠0） 的形式，那么y是x的反比例函数，k称为比例系数.
所以
2m2 + 3m－3=－1， 2m2 + m－1≠0.
解得 m =－2.
获取新知 知识点二：待定系数求反比例函数表达式
反比例函数的三种表达方式：(注意 k ≠ 0)
y k， x
y=kx－1
xy=k
求反比例函数的解析式，就是确定反比例函数解析式 y k k 0
x
中常数k的值，它一般需经历：
所以y是x的正比例函数,比例系数k=-1.
(2)因为xy
=-1,即
y
1 x
,
所以y是x的反比例函数,比例系数k=-1.
(3)因为2xy=a，即 y a , 所以y是x的反比例函数2x，比例系数
1 2
a
.
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《反比例函数》课件完美版1
3、在下列函数中，y是x的反比例函数 的是（ C ）
（A）y 8 x5
（C）xy5
（B）y
1 3x
7
（D）y 2 x2
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三、归纳小结
1、反比例函数的定义:形如 y k （k为
x
常数，k≠0）的函数称为反比例函数，自
x
因为 当 x 2 时 y 1
所以有
1
k 2
解得 k 2
所以
y与
x
的函数关系式是
y
2 x
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四、强化训练
（2）当
x
1 4
时，求y的值；
解： 把
x1 4
代入 y
2 x
得
y
2 1
8
4
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九年级数学人教版·下册
第二十六章 反比例函数
26.1.1 反比例函数
授课人：XXXX
一、新课引入
1、什么是函数？
答：在某变化过程中有两个变量x、y，按照
某个对应法则，对于给定的 x，有唯一确定 的y与之对应，那么y就叫做 x的函数。其中 x 叫自变量 ，y叫 因变量.
2、正比例函数一般形式是y= kx (k ≠0) , 它的图象是一条过原点的直线 .
x
(C) y6x1
(D) xy123
2、反比例函数经过点（2，－3），则这个
反比例函数关系式为 y 6 x
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S/m2 1 P/pa 2 3 4 5 6
(3)当s越来越大时，p怎样变化？ 当 越来越大时， 怎样变化？ 越来越大时 怎样变化 越来越小时呢？ 当s越来越小时呢？ 越来越小时呢 （4）变量p是s的函数吗？为什么？ ）变量 是 的函数吗？为什么？ 的函数吗
京沪高速公路全长 约为1262Km， 约为1262Km，汽车沿京 沪高速公路从上海驶往 北京， 北京，汽车行完全程所 需时间t 需时间t（h）与行驶的 平均速度v Km/h） 平均速度v（Km/h）之 间有怎样的关系？变量t 间有怎样的关系？变量t 的函数吗？为什么？ 是v的函数吗？为什么？
8 y = xm -7是正比例函数 则 m = ___ ； 3. 已知函数 是正比例函数,则 6 y = 3xm -7 是反比例函数 则 m = ___ 。 是反比例函数,则 已知函数
做一做
1.一个矩形的面积为20cm2，相邻的两条边长 1.一个矩形的面积为 cm 一个矩形的面积为20 分别为x cm和 cm，那么变量y是变量x 分别为x cm和 y cm，那么变量y是变量x的函 数吗？是反比例函数吗？为什么？ 数吗？是反比例函数吗？为什么？ 2.某村有耕地346.2公顷 人口数量n 2.某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变 某村有耕地346.2公顷， 那么该村人均占有耕地面积m 公顷/ 化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷/人） 是全村人口数n的函数吗？是反比例函数吗？ 是全村人口数n的函数吗？是反比例函数吗？为 什么？ 什么？
反比例函数
想一想：
1、购买单价是0.5元的铅笔，总金额 （元） 、购买单价是 元的铅笔 总金额y（ 元的铅笔， 与铅笔数n（ 的关系是什么？ 与铅笔数 （个）的关系是什么？ 2、等腰三角形的顶角的度数 与底角的度 、等腰三角形的顶角的度数y与底角的度 的关系式是什么？ 数x的关系式是什么？ 的关系式是什么 3、从A地到 地的路程为 地到B地的路程为 、 地到 地的路程为1200km，开车 ， 地到B地 汽车的速度v(km/h)和行 从A地到 地，汽车的速度 地到 和行 完全程所需的时间t(h)之间的关系式是什 完全程所需的时间 之间的关系式是什 么？
2 x
.
变速自行车当花盘转过长度为一定时，飞轮转的圈数n是半 变速自行车当花盘转过长度为一定时，飞轮转的圈数n 的反比例函数， cm时 它转过的圈数是200圈 径r的反比例函数，当r=6 cm时，它转过的圈数是200圈. ①当r是5cm时，它转过的圈数是多少？ cm时 它转过的圈数是多少？ ②当r是4cm时，它转过的圈数是多少？ cm时 它转过的圈数是多少？ ③当r越来越小时，n怎样变化？ 越来越小时， 怎样变化？ 解 :设 n =
k . r
把 r =6, n =200代入上式,得 k =1200. =200代入上式 代入上式, 1200 . 所以 n = r (1)当 =5时 (1)当 r =5时, n =240. (2)当 =4时 (2)当r =4时, (3)当 (3)当
n =300.
r 越来越小时, n 越来-2.5.
试一试 y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值： 的反比例函数，下表给出了x 的一些值： x y -2 2/3 -1 2 -1/2 1/2 1 -1 3
（1）写出这个反比例函数的关系式; 写出这个反比例函数的关系式; （2）根据函数表达式完成上表. 根据函数表达式完成上表. k 解：（1）设y= x . 把x= -1，y=2代入上式，得k= -2. y=2代入上式 代入上式， 所以y= 所以y=−
议一议
由物理学知识可知:压强 、受力面积s与压 由物理学知识可知 压强p、受力面积 与压 压强 之间满足关系式F=p s.当F=600N时 力F之间满足关系式 之间满足关系式 当 时 的代数式表示p吗 （1）你能用含有 的代数式表示 吗？ ）你能用含有s的代数式表示 （2）利用写出的关系式填表： ）利用写出的关系式填表：
例 已知y是x的反比例函数，当x=5时， 已知y 的反比例函数， x=5时 y=2. （1）求y与x的函数关系式； 的函数关系式； （2）当x=-4时，y的值是多少？ x=的值是多少？
k 解：（1）设y= . x
把x=5，y=2代入上式，得 k=10 .
10 所以 y= . x
（2）当x=-4时，y=
;②
y=
x 2
;③ xy=-2;
④ y=
1 ;⑤ y=-0.3x-1; 2x 2x
(m为常数，m≠0）. (m为常数，m≠0）
其中是反比例函数的有： ③ ④ ⑤ ⑥ （填序号）. ① _______________（填序号）.
练习
2.在下列函数中 是x的函数，y是x的反比例函数的 在下列函数中,y是 的函数 的函数， 是 的反比例函数的 在下列函数中 是（ C ） 8 y = X+5 （B） y = 3 + 7 （A） ） ） x 2 （C）xy = 5 （D）y = x2 ） ）
t 解：= 1262 ； v
符合函数的概念，变量t 符合函数的概念，变量t是变量 v的函数. 的函数.
你能举出类似的实例 写出函数表达式， 吗？写出函数表达式， 与同伴进行交流. 与同伴进行交流.
练习
1.在下列函数表达式中，均表示自变量. 1.在下列函数表达式中，均表示自变量. x
5 ① x 3m y= ⑥ x y=
知识回顾： 知识回顾： 1.一般地，在某个变化过程中， 1.一般地，在某个变化过程中， 一般地 有两个变量x 如果给定一个x 有两个变量x和y，如果给定一个x 相应地就确定了一个y 值，相应地就确定了一个y值，那 么我们称y 的函数. 么我们称y是x的函数.
2.若y=kx+b (k、 b 为常数，k≠ 0), 若 、 为常数， ≠ 则称y 则称 是x的一次函数 的一次函数. 当b=0时，即y=kx(k≠ 0),称y是x的 时 ≠ 称 是 的 正比例函数. 正比例函数
(3)当s越来越大时，p怎样变化？ 当 越来越大时， 怎样变化？ 越来越大时 怎样变化 越来越小时呢？ 当s越来越小时呢？ 越来越小时呢 （4）变量p是s的函数吗？为什么？ ）变量 是 的函数吗？为什么？ 的函数吗
京沪高速公路全长 约为1262Km， 约为1262Km，汽车沿京 沪高速公路从上海驶往 北京， 北京，汽车行完全程所 需时间t 需时间t（h）与行驶的 平均速度v Km/h） 平均速度v（Km/h）之 间有怎样的关系？变量t 间有怎样的关系？变量t 的函数吗？为什么？ 是v的函数吗？为什么？
8 y = xm -7是正比例函数 则 m = ___ ； 3. 已知函数 是正比例函数,则 6 y = 3xm -7 是反比例函数 则 m = ___ 。 是反比例函数,则 已知函数
做一做
1.一个矩形的面积为20cm2，相邻的两条边长 1.一个矩形的面积为 cm 一个矩形的面积为20 分别为x cm和 cm，那么变量y是变量x 分别为x cm和 y cm，那么变量y是变量x的函 数吗？是反比例函数吗？为什么？ 数吗？是反比例函数吗？为什么？ 2.某村有耕地346.2公顷 人口数量n 2.某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变 某村有耕地346.2公顷， 那么该村人均占有耕地面积m 公顷/ 化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷/人） 是全村人口数n的函数吗？是反比例函数吗？ 是全村人口数n的函数吗？是反比例函数吗？为 什么？ 什么？
反比例函数
想一想：
1、购买单价是0.5元的铅笔，总金额 （元） 、购买单价是 元的铅笔 总金额y（ 元的铅笔， 与铅笔数n（ 的关系是什么？ 与铅笔数 （个）的关系是什么？ 2、等腰三角形的顶角的度数 与底角的度 、等腰三角形的顶角的度数y与底角的度 的关系式是什么？ 数x的关系式是什么？ 的关系式是什么 3、从A地到 地的路程为 地到B地的路程为 、 地到 地的路程为1200km，开车 ， 地到B地 汽车的速度v(km/h)和行 从A地到 地，汽车的速度 地到 和行 完全程所需的时间t(h)之间的关系式是什 完全程所需的时间 之间的关系式是什 么？
2 x
.
变速自行车当花盘转过长度为一定时，飞轮转的圈数n是半 变速自行车当花盘转过长度为一定时，飞轮转的圈数n 的反比例函数， cm时 它转过的圈数是200圈 径r的反比例函数，当r=6 cm时，它转过的圈数是200圈. ①当r是5cm时，它转过的圈数是多少？ cm时 它转过的圈数是多少？ ②当r是4cm时，它转过的圈数是多少？ cm时 它转过的圈数是多少？ ③当r越来越小时，n怎样变化？ 越来越小时， 怎样变化？ 解 :设 n =
k . r
把 r =6, n =200代入上式,得 k =1200. =200代入上式 代入上式, 1200 . 所以 n = r (1)当 =5时 (1)当 r =5时, n =240. (2)当 =4时 (2)当r =4时, (3)当 (3)当
n =300.
r 越来越小时, n 越来-2.5.
试一试 y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值： 的反比例函数，下表给出了x 的一些值： x y -2 2/3 -1 2 -1/2 1/2 1 -1 3
（1）写出这个反比例函数的关系式; 写出这个反比例函数的关系式; （2）根据函数表达式完成上表. 根据函数表达式完成上表. k 解：（1）设y= x . 把x= -1，y=2代入上式，得k= -2. y=2代入上式 代入上式， 所以y= 所以y=−
议一议
由物理学知识可知:压强 、受力面积s与压 由物理学知识可知 压强p、受力面积 与压 压强 之间满足关系式F=p s.当F=600N时 力F之间满足关系式 之间满足关系式 当 时 的代数式表示p吗 （1）你能用含有 的代数式表示 吗？ ）你能用含有s的代数式表示 （2）利用写出的关系式填表： ）利用写出的关系式填表：
例 已知y是x的反比例函数，当x=5时， 已知y 的反比例函数， x=5时 y=2. （1）求y与x的函数关系式； 的函数关系式； （2）当x=-4时，y的值是多少？ x=的值是多少？
k 解：（1）设y= . x
把x=5，y=2代入上式，得 k=10 .
10 所以 y= . x
（2）当x=-4时，y=
;②
y=
x 2
;③ xy=-2;
④ y=
1 ;⑤ y=-0.3x-1; 2x 2x
(m为常数，m≠0）. (m为常数，m≠0）
其中是反比例函数的有： ③ ④ ⑤ ⑥ （填序号）. ① _______________（填序号）.
练习
2.在下列函数中 是x的函数，y是x的反比例函数的 在下列函数中,y是 的函数 的函数， 是 的反比例函数的 在下列函数中 是（ C ） 8 y = X+5 （B） y = 3 + 7 （A） ） ） x 2 （C）xy = 5 （D）y = x2 ） ）
t 解：= 1262 ； v
符合函数的概念，变量t 符合函数的概念，变量t是变量 v的函数. 的函数.
你能举出类似的实例 写出函数表达式， 吗？写出函数表达式， 与同伴进行交流. 与同伴进行交流.
练习
1.在下列函数表达式中，均表示自变量. 1.在下列函数表达式中，均表示自变量. x
5 ① x 3m y= ⑥ x y=
知识回顾： 知识回顾： 1.一般地，在某个变化过程中， 1.一般地，在某个变化过程中， 一般地 有两个变量x 如果给定一个x 有两个变量x和y，如果给定一个x 相应地就确定了一个y 值，相应地就确定了一个y值，那 么我们称y 的函数. 么我们称y是x的函数.
2.若y=kx+b (k、 b 为常数，k≠ 0), 若 、 为常数， ≠ 则称y 则称 是x的一次函数 的一次函数. 当b=0时，即y=kx(k≠ 0),称y是x的 时 ≠ 称 是 的 正比例函数. 正比例函数