北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的背景-汽车行驶的路程

n
2
1 1 1 n −1 1 = −0 ⋅ − ⋅ − L − ⋅ +2 n n n n n 1 2 2 2 = − 3 1 + 2 + L + ( n − 1) + 2 n 1 1 1 1 ( n − 1) n ( 2n − 1) + 2 = − 1 − 1 − + 2 =− 3 3 n 2n 6 n 1 1 1 从而得到 S 的近似值 S ≈ Sn = − 1 − 1 − + 2 3 n 2n 9
n
1 1 1 5 = lim − 1 − 1 − + 2 = n →∞ 3 n 2n 3
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思考： 结合求曲边梯形面积的过程， 思考： 结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行 驶 的 路 程 S 与 由 直 线 t = 0 , t =1 ,v = 0 和 曲 线 2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？ v = −t + 2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
i ⋅ b ( i − 1) b b b − = 把在分段 0 , ， 其长度为 ∆x = n n n n ( n − 1) b b 2b 上所作的功分别记作 分别记作： , b 上所作的功分别记作： n , n ， …， n
∆W1 ， ∆W2 ，…， ∆Wn
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练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 即力 F ( x ) = kx （ k 为常数， x 是伸长量） 求弹簧从 为常数， 是伸长量） ，求弹簧从 ， 平衡位置拉长 b 所作的功
解： 将物体用常力 F 沿力的方向移动距离 x ，则所 作的功为 W = F ⋅ x ． 个点， 1．分割 在区间 [ 0 , b ] 上等间隔地插入 n − 1 个点，将 个小区间： 区间 [ 0 ,1] 等分成 n 个小区间：
北师大版高中数学选修2 北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》 四章《定积分》
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一：教学目标 1、知识与技能目标：了解求曲边梯形面积的过程和解决有关 、知识与技能目标： 汽车行驶路程问题的过程的共同点； 汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思 想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。 想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。 2、过程与方法：通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车 、过程与方法：通过与求曲边梯形的面积进行类比， 行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想。 行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想。 3、情感态度与价值观：在体会微积分思想的过程中，体会人 、情感态度与价值观：在体会微积分思想的过程中， 类智慧的力量，培养世界是可知的等唯物主义的世界观。 类智慧的力量，培养世界是可知的等唯物主义的世界观。 二：教学重难点 重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（ 重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极 难点： 限）难点：过程的理解 教学方法：探析归纳， 三：教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 为常数， 是伸长量） ，求弹簧从 即力 F ( x ) = kx （ k 为常数， x 是伸长量） 求弹簧从 ， 平衡位置拉长 b 所作的功
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近 分析： 似代替、求和、取极限的方法求解．
（2）近ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ代替
( i − 1) b ( i − 1) b ⋅ b 有条件知： 有条件知 ： ∆Wi ' = F ⋅ ∆x = k ⋅ n n n 14 (i = 1, 2 , L , n)
练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 为常数， 是伸长量） ，求弹簧从 即力 F ( x ) = kx （ k 为常数， x 是伸长量） 求弹簧从 ， 平衡位置拉长 b 所作的功
（3）求和
Wn = ∑ ∆Wi ' = ∑
i =1 i =1
n
n
( i − 1) b ⋅ b k⋅
n
n
kb 2 = 2 0 + 1 + 2 + L + ( n − 1) n 2 n ( n − 1) kb 2 1 kb = 2 = 1 − n 2 2 n
kb 2 1 从而得到 W 的近似值 W ≈ Wn = 1 − 2 n
( n − 1) b b b 2b , b 0 , n ， n , n ，…， n
( i − 1) b i ⋅ b 记第 i 个区间为 , (i = 1, 2 , L , n) ， n n
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练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 为常数， 是伸长量） ，求弹簧从 即力 F ( x ) = kx （ k 为常数， x 是伸长量） 求弹簧从 ， 平衡位置拉长 b 所作的功
问题： 汽车以速度 v 组匀速直线运动时， 组匀速直线运动时， 问题： 经过时间 t 如果汽车作变速直线运动， 所行驶的路程为 S = vt ． 如果汽车作变速直线运动， 单位：km/ ， ，那 在时刻 t 的速度为 v ( t ) = −t 2 + 2 （单位：km/h） 那 1(单位 h) 单位： h)这段时间内行驶的路程 么它在 0≤ t ≤1(单位： 这段时间内行驶的路程 S 单位：km）是多少？ （单位：km）是多少？
i −1 i −1 i −1 点 处的函数值 v = − + 2 ，从物理意义 n n n i −1 i , (i = 1, 2 , L , n) 上的 上看， 上看，即使汽车在时间段 n n i −1 速度变化很小， 速度变化很小， 不妨认为它近似地以时刻 处的速度 n
结合上述求解过程可知， 结合上述求解过程可知， 汽车行驶的路程 S = lim Sn
n →∞
在 数 据 上 等 于 由 直 线 t = 0 , t =1 ,v = 0 和 曲 线 2 所围成的曲边梯形的面积． v = −t + 2 所围成的曲边梯形的面积．
一般地， 如果物体做变速直线运动， 一般地 ， 如果物体做变速直线运动 ， 速度函数为 v = v ( t ) ，那么我们也可以采用分割、近似代替、求 那么我们也可以采用分割、近似代替、 和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及 取极限的方法，利用“以不变代变” 无限逼近的思想， 无限逼近的思想，求出它在 a≤ t ≤b 内所作的位移 11 ． S
n
kb 所作的功为： 所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功为： 2
2
作业：课本 作业：课本P80A组2、3 组 、 五、教学后记
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再见
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分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变” 分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变” 的方法，把求匀变速直线运动的路程问题， 的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀 速直线运动的路程问题． 速直线运动的路程问题 ． 把区间 [0,1] 分成 n 个小区 在每个小区间上， 的变化很小， 间，在每个小区间上，由于 v(t ) 的变化很小，可以近 似的看作汽车作于速直线运动， 似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个 小区间上行驶路程的近似值， 单位：km） 小区间上行驶路程的近似值，在求和得 S （单位：km） 的近似值， 单位： 的近似值，最后让 n 趋紧于无穷大就得到 S （单位： km）的精确值． 思想：用化归为各个小区间上匀速 km）的精确值． 思想： （ 直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直 线运动的路程） ． 线运动的路程）
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练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 即力 F ( x ) = kx （ k 为常数， x 是伸长量） 求弹簧从 为常数， 是伸长量） ，求弹簧从 ， 平衡位置拉长 b 所作的功
（4）取极限
kb 2 1 kb 2 W = lim Wn = lim ∑ ∆Wi ' = lim 1 − = n →∞ n →∞ n →∞ 2 2 n i =1
显然， 显然， S = ∑ ∆Si
i =1 n
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（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 ∆t 很 小 时 ， 在 区 间 i −1 i , 上 ， 可以认为函数 v ( t ) = −t 2 + 2 的值变化很 n n 近似的等于一个常数， 小， 近似的等于一个常数， 不妨认为它近似的等于左端
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解：1．分割 个点， 在时间区间 [ 0 ,1] 上等间隔地插入 n − 1 个点 ， 将区间 个小区间： [0 ,1] 等分成 n 个小区间：
1 1 2 n −1 0 , n ， n , n ， … ， n ,1 记 第 i 个 区 间为 i i −1 1 i −1 i n , n (i = 1, 2 , L , n) ，其长度为 ∆t = n − n = n 1 1 2 n −1 ,1 上行 把汽车在时间段 0 , ， , ，…， n n n n 驶的路程分别记作 分别记作： 驶的路程分别记作： ∆S1 ， ∆S 2 ，…， ∆S n
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i −1 i −1 v = − + 2 作匀速直线运动 n n
2
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即使汽车在时间段即在局部小范围内“ 即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变 速” 于是的用小矩形的面积 ∆Si′ 近似的代替 ∆Si ， ， 则有
i − 1 2 1 i −1 ∆Si ≈ ∆Si′ = v ⋅ ∆t = − + 2 ⋅ n n n